ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Γ. ίνεται η συνάρτηση f(),. Γ. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να αποδείξετε ότι το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα (, ). Γ. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f( ( )) έχει στο σύνολο των πραγματικών αριθμών μία ακριβώς ρίζα. Μονάδες 6 Μονάδες 8 Γ. Να αποδείξετε ότι: 4 f(t)dt < f(4), για κάθε >. Μονάδες 4 Γ4. ίνεται η συνάρτηση g() Λ Υ Σ Η 4 f, αν., αν Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο [, ). Γ. Η συνάρτηση f() f () ( ) ( ) Επειδή f () είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο με: ( ) ( ) () ( ) Μονάδες 7. και f () μόνο για, έχουμε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο. f() f f() D.L.H D.L.H οπότε το σύνολο τιμών της f είναι το διάστημα (, ). f(α) (, ), Γ. έχουμε f( ( )) ( ) f() f() >, επειδή f( ( )) f() ( ) (, ) f(α) και f υπάρχει μοναδικό
ώστε f( ) (ή Γ. ος τρόπος. (, ), η f είναι συνεχής στο και f άρα η f είναι - οπότε από Θεώρημα Ενδιαμέσων Τιμών υπάρχει ώστε f( ) ) Έχουμε ότι < < t < 4 f f(t) < f(4) 4 f(t)dt < 4 f(4)dt 4 4 f(t)dt < f(4) [t] 4 f(t)dt < f(4), για κάθε >. ος τρόπος Έστω F() f(t)dt μια αρχική της f, με F () f() >, άρα F. Η F είναι συνεχής στο [, 4] (, ), αφού η f είναι συνεχής στο. Η F είναι παραγωγίσιμη στο (, 4) (, ) με F () f() > () Οπότε από Θ.Μ.Τ. υπάρχει ξ(, 4) ώστε: F (ξ) Γ4. έχουμε F(4) F() 4 () f(ξ) Έχουμε ότι < < ξ < 4 f 4 f(t)dt < f(4), για κάθε >. ( 4 f(t)dt ) f(ξ) < f(4) Αν >, η g είναι συνεχής ως πηλίκο συνεχών. f(t)dt 4 f(t)dt 4 f(t)dt < f(4) Για, g() ( 4 f 4 f ) D.L.H f(4) 4 f() 4 4 (4) () 4 () 4 g() () Άρα η g είναι συνεχής στο. Τελικά η g είναι συνεχής στο [, ). Η g είναι παραγωγίσιμη στο (, ), με g () ( 4 f ) - 4 f 4f(4) f() f 4 ( f(4) 4 f() ) f(4) f() f(4) f 4 >
αφού f(4) 4 f > από Γ και < < 4 f f(4) f() > f() < f(4) f() < f(4) Επειδή η συνάρτηση g είναι συνεχής στο [, ) και g () > με (, ) έχουμε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο [, ). ΘΕΜΑ. Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: για την οποία ισχύουν: f ()[ f() - f() ] για κάθε και f().. Να αποδείξετε ότι η f() ln( ),. Μονάδες. α) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση f είναι κυρτή ή κοίλη και να προσδιορίσετε το σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f. (μονάδες ) β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f, την ευθεία y και τις ευθείες και.. Να υπολογίσετε το όριο: f ( ) ln f(). 4. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση: Λ Υ Σ Η έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (, ).. έχουμε για κάθε : f(t ) dt f ()[ f() - f() ] f () f() f () - f() ( f() - f() ) () f() - f() c για έχουμε 8 f f() - f() c - c c c (μονάδες 4) Μονάδες 7 Μονάδες 6, Μονάδες 7 επομένως f() - f() f() ( ) f() f()
4 f() f() f() f() ( f() ) f() () επειδή, έχουμε ότι η k() f(), αφού η k είναι συνεχής διατηρεί σταθερό πρόσημο στο και επειδή k() f() >, έχουμε ότι k() > για κάθε, οπότε () f() f() f() ln( ),.. α) η συνάρτηση f είναι συνεχής και δύο φορές παραγωγίσιμη στο με: f () (ln( )) ( ) ( ) > f () - - ( ) - ( ), με > και > οπότε: η συνάρτηση f είναι κυρτή στο (-, ] η συνάρτηση f είναι κοίλη στο [, ) Το Ο(, ) είναι το σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f, αφού εκατέρωθεν του αλλάζει η κυρτότητα και δέχεται εφαπτομένη σαν παραγωγίσιμη. β) Παρατηρούμε ότι η εφαπτομένη της C f της f στο Ο(, ) είναι: y f() f ()( ) y ( ) y - f f Επειδή η συνάρτηση f είναι κοίλη στο [, ), η εφαπτομένη της y βρίσκεται πάνω από τη C f με εξαίρεση το σημείο επαφής Ο(, ), άρα έχουμε f() y f() f(), για κάθε. Η f() είναι συνεχής, για κάθε, ως πράξεις συνεχών, οπότε: Ε(Ω) f() d f()) d ( d f() d Σ.Κ. [f()] f () d [ f()] d [f()] d [ f()] ( ) d
[f()] [ ] f() f() ln( ) ( Άρα Ε(Ω) ( ln( )) τ.μ. ln( )) τ.μ. είναι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f, την ευθεία y και τις ευθείες και.. από α) έχουμε ότι: f () >, για κάθε, δηλαδή f, άρα > f() > f(), οπότε κοντά στο έχουμε: f() f() (), με >. Η συνάρτηση f είναι συνεχής, άρα f () f () (). f () ( ) ln f() f ( ) lnf() f ln f() D.L.H f f ( ) - f () ln f() f() f () f() ln f() f () f, αφού: (f() lnf()) f() (f() lnf()) f () f ( ) lnf() f() f (t) d t D.L.H f() f () f () f() f () f () ( (f() lnf()) ) - f() - f() f f() f () f f () f() () f() f () 4. Έστω η συνάρτηση k() ( )[ f(t ) dt ] ( )[8 f ], με [, ] Η συνάρτηση k() είναι συνεχής στο [, ] ως πράξεις συνεχών από β) έχουμε f() και από f() > με > (4) k() - [8 f ] 8 <, αφού f από (4) για t[, ], έχουμε: < f(t) t f (t) t
6 t f (t), η t f (t), είναι συνεχής στο [, ] και δεν είναι παντού μηδέν (μόνο για t ) οπότε: (t f (t)) dt > > t dt f f < t dt t 8 f 8 < k() f(t ) dt >, αφού από (4) για t[, ], έχουμε: < f(t) t tt f(t ) t t f(t ), η t f(t ), είναι συνεχής στο [, ] και δεν είναι παντού μηδέν (μόνο για t ) οπότε: (t f(t )) dt > t dt f(t ) dt > f(t ) dt < t dt t f(t ) dt > έχουμε k() k() <, άρα από Θεώρημα Bolzano η εξίσωση k() έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (, ), ισοδύναμα και η εξίσωση: f(t ) dt 8 f, έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (, ).