Ανάλυςη Συνδιακφμανςησ (Alysis of covrice Κατςιλζροσ Αναςτάςιοσ 08
Ανάλυςη Συνδιακφμανςησ Σε πολλζσ περιπτϊςεισ δεν είναι δυνατόν ο ζλεγχόσ μιασ εξωγενοφσ πθγισ παραλλακτικότθτασ παρά τθν ομαδοποίθςθ. Αν όμωσ ζχουμε τθν δυνατότθτα να αναγνωρίςουμε και να μετριςουμε μια ανεξάρτθτθ μεταβλθτι θ οποία ςυνδζεται με αυτι τθν πθγι παραλλακτικότθτασ, τότε μποροφμε να τθν ελζγξουμε προςκζτοντασ τθν μεταβλθτι αυτι (ςυμμεταβλθτι - covrite ςτο μοντζλο. Για τον ςκοπό αυτό χρθςιμοποιοφμε τθν ανάλυςθ ςυνδιακφμανςθσ (ANCOVA θ οποία ςυνδυάηει χαρακτθριςτικά τθσ ανάλυςθσ παραλλακτικότθτασ (διακφμανςθσ και τθσ ανάλυςθσ ςυμμεταβολισ.
Με τθν ανάλυςθ ςυνδιακφμανςθσ απομακρφνουμε από τθν παραλλακτικότθτα των τιμϊν τθσ εξαρτθμζνθσ μεταβλθτισ, τθν παραλλακτικότθτα που μπορεί να προβλεφτεί από τθν ςχζςθ τθσ με τθν ανεξάρτθτθ μεταβλθτι. Η Ανάλυςθ ςυνδιακφμανςθσ αποςκοπεί ςτθν διόρκωςθ των τιμϊν τθσ εξαρτθμζνθσ μεταβλθτισ, με βάςθ τισ τιμζσ τθσ ανεξάρτθτθσ μεταβλθτισ και ςτθν ςφγκριςθ των διορκωμζνων μζςων των πειραματικϊν επεμβάςεων. Η ςχζςθ που χρθςιμοποιείται για τισ διορκϊςεισ των μζςων των επεμβάςεων είναι θ (μζςθ γραμμικι ςυμμεταβολι τθσ εξαρτθμζνθσ με τθν ανεξάρτθτθ μεταβλθτι.
Προχποθζςεισ ανάλυςησ ςυνδιακφμανςησ. Η ςχζςθ μεταξφ τθσ εξαρτθμζνθσ μεταβλθτισ Υ και τθσ ςυμμεταβλθτισ Χ είναι γραμμικι.. Ομοιογζνεια ςυντελεςτϊν ςυμμεταβολισ, θ ςχζςθ μεταξφ τθσ εξαρτθμζνθσ μεταβλθτισ Υ και τθσ ςυμμεταβθτισ Χ είναι ίδια ςε κάκε επζμβαςθ. 3. Οι διακυμάνςεισ είναι ομοιογενείσ. 4. Τα πειραματικά ςφάλματα είναι ανεξάρτθτα και ακολουκοφν τθν κανονικι κατανομι με μζςο όρο μθδζν και κοινι διακφμανςθ.
Το γραμμικό μοντζλο τθσ ανάλυςθσ ςυνδιακφμανςθσ ςε Εντελϊσ Τυχαιοποιθμζνο Σχζδιο: μ τi b( -.. ε Όπου: μ = ο γενικόσ μζςοσ του πειράματοσ τ i = θ επίδραςθ τθσ επζμβαςθσ b = o κοινόσ ςυντελεςτισ ςυμμεταβολισ = θ τιμι του Χ που αντιςτοιχεί ςτο Υ.. = ο γενικόσ μζςοσ του πειράματοσ για το Χ ε = το πειραματικό ςφάλμα
Υπολογιςμόσ Αθροιςμάτων Τετραγώνων και Γινομζνων Ανάλυςη διακφμανςησ Πηγή Παρ/τασ ΒΕ ΑΤ Υ ΑΤ Χ ΑΓ ΧΥ Επεμβάςεισ - Ε Ε Χ Ε ΧΥ Υπόλοιπο ( - Υπ Υπ Χ Υπ ΧΥ Σφνολο - Σ Σ Χ Σ ΧΥ Ανάλυςη Συμμεταβολήσ Πηγή Παρ/τασ ΒΕ ΑΤ Συμμεταβολι (Σ /Σ Αποκλίςεισ - Σ - (Σ /Σ Σφνολο - Σ i j (y y.. i j y y.. i j (x x.. i j x x.. i j (x x.. (y y.. i j (x..(y.. xy i (y i. y.. i y i. y.. i (x i. x.. i x i. x.. i (x i. x.. (y i. y.. i (x..(y.. xi. yi. π i j (y y i. E π i j (x x i. E π i j (x x i. (y y i. E b π b π b Ε b Ε Ε Χ b A b A A Χ
Πίνακασ Ανάλυςησ Συνδιακφμανςησ Πηγή Παρ/τασ ΒΕ Άθροιςμα Τετραγώνων Μζςο Τετράγωνο F Συμμεταβολι (Σ /Σ ΑΤ ςυμ / ΜΤ ςυμ /MΤυπ Επεμβάςεισ διορκ. - Σ - (Σ /Σ - *Υπ - (Υπ /Υπ ] ΑΤεπ /( - MΤεπ /MΤυπ Υπόλοιπο διορκ. ( - - Υπ - (Υπ /Υπ ΑΤυπ /*( - ] Σφνολο - Σ Ο υπολογιςμόσ του διορκωμζνου ακροίςματοσ τετραγϊνου των επεμβάςεων γίνεται ζμμεςα. Αρχικά αφαιροφμε από τθν ολικι παραλλακτικότθτα των τιμϊν Υ, τθν παραλλακτικότθτα που εξθγείται από τθ ςυμμεταβολι με το Χ και από τθν παραλλακτικότθτα των τιμϊν ( - Ȳ i., αφαιροφμε τθν παραλλακτικότθτα που εξθγείται από τθ ςυμμεταβολι με τισ τιμζσ (Χ -.. πρϊτο αποτελζςματα τθσ αφαίρεςθσ από το δεφτερο. και ςτθν ςυνζχεια αφαιροφμε το
Δοκιμαςία ομοιογζνειασ ςυντελεςτών ςυμμεταβολήσ Πηγή Παρ/τασ ΒΕ Άθροιςμα Τετραγώνων Μζςο Τετράγωνο F Ανάμεςα ςτισ ςυμμεταβολζσ Μζςα ςτισ ςυμμεταβολζσ - ( i (π ΑΤ i π ΑΤςυμ/( - MΤςυμ/MΤαπ ( ( ΑΓ i π ΑΤi Αταπ./( - Σφνολο (Υπόλοιπο διορκ. - (π π π
Διόρθωςη μζςων όρων των επεμβάςεων Η διόρκωςθ των μζςων όρων των επεμβάςεων γίνεται ςφμφωνα με τθν ζκφραςθ: i i. b (i... dj. Σφγκριςη μζςων όρων των επεμβάςεων Το τυπικό ςφάλμα τθσ διαφοράσ δφο διορκωμζνων μζςων όρων επεμβάςεων: s ( i. dj. j. dj. s i j (i. - π j. όπου: s π (π π (
Παράδειγμα: Πείραμα με τρεισ επεμβάςεισ και 8 επαναλιψεισ ςε Εντελϊσ Τυχαιοποιθμζνο Σχζδιο (Καλτςίκθσ Επεμβάςεισ 3 5 0 6 4 4 7 6 3 8 9 8 3 4 5 5 8 6 7 4 6 8 8 8 7 3 5 0 9 9 6 3 6 6 0 4 7 8 8 7 7 9 5 0 3 6 8 3 5 9 6 8 Σφνολο 56 63 88 64 96 53 Μ.Ο. 7 7,9 8 6,6.. 63 64 53 80,.. 7,5.. 56 88 96 40,.. 0
E 4 (40 8 (96 (88 (56 A 60 4 (40 6 3... 5 498 60 E 5 9, 4 (80 8 (53 (64 (63 A 4 4 (80 8 6... 6 0 04,75 9,5 4 E 9 4 (80(40 8 (53(96 (64(88 (56(63 A 4 (80(40 (6(3... (6( (0(5 3 9 ( Χ
Ανάλυςη διακφμανςησ για τη μεταβλητή Πηγή Παρ/τασ ΒΕ ΑΤ ΜΤ F Επεμβάςεισ 56,36 s Υπόλοιπο 498 3,7 Σφνολο 3 60 Ανάλυςη διακφμανςησ για τη ςυμμεταβλητή Πηγή Παρ/τασ ΒΕ ΑΤ ΜΤ F Επεμβάςεισ 9,75 4,6 0,93 s Υπόλοιπο 04,75 4,99 Σφνολο 3 4 Ανάλυςη Συμμεταβολήσ Πηγή Παρ/τασ ΒΕ ΑΤ ΜΤ F Συμμεταβολι 0,04 0,04 4,84* Αποκλίςεισ 499,96,73 Σφνολο 3 60
Ομοιογζνεια ςυντελεςτών ςυμμεταβολήσ 9,88 8 (53 (8 (6... (8 (7 AT 34 8 (64 (9 (0... (8 (4 AT 50,88 8 (63 ( (9... (6 (0 AT ( ( AT 3 i. j i 5 8 (53(96 (8(6 (6(3... (8(9 (7(4 AT 4 8 (64(88 (9(5 (0(5... (8(3 (4(6 AT 9 8 (63(56 ((3 (9(7... (6( (0(5 AT (Υ ( (Υ ( AΓ 3 i. i. j iυ
(Α ΑΤπαλ. Γ ΑΤ i i (π π (9 50,88 (4 34 (5 9,88 (3 04,75 30,78 ΑΤαπ. π ( ΑΓ ΑΤ i i (9 498 50,88 (4 34 (5 9,88 303,39 Πηγή Παρ/τασ ΒΕ ΑΤ ΜΤ F Ανάμεςα ςτισ ςυμμεταβολζσ Μζςα ςτισ ςυμμεταβολζσ Σφνολο (Υπόλοιπο διορκ. 30,78 5,39 0,93 s 8 303,39 6,86 0 334,7
3 3 3 3 3 3 3Χ 3ΧΧ 3 Χ ΧΧ Χ ΧΧ 0,75 7 7 0,75*6,6 b 0,75 9,88 5 ΑΤ ΑΓ b 0,7 5,4 5,4 0,7*8 b 0,7 34 4 ΑΤ ΑΓ b,8 7,3 7,3,8*7,88 7 b,8 50,88 9 ΑΤ ΑΓ b,5 04,76 3,4 9,88 34 50,88 (9,88(0,75 (34(0,7 (50,88(,8 ΑΤ ΑΤ ΑΤ ΑΤ b ΑΤ b ΑΤ b Υπ Υπ b 3Χ Χ Χ 3Χ 3 Χ Χ Χ ΧΥ Υ 3 3 3 3 3 3,5 3,4 7,5*6,6 b,5 0,99 5,4,5*8 b,5 -,85 7,3,5*7,88 7 b
Οι ευκείεσ των ςυμμεταβολϊν ανά επζμβαςθ (JMP y 3 = 7 + 0,75*x 3 y = 5,4 + 0,7*x y 3 = 3,7 +,5*x 3 y = 0,99 +,5*x y = -7,3 +,8*x y = -,85 +,5*x
Πίνακασ Ανάλυςησ Συνδιακφμανςησ Πηγή Παρ/τασ ΒΕ Αθροίςματα Γινομζνων και Τετραγώνων ΒΕ Διορθωμζνα Αθροίςματα Τετραγώνων Μζςα Τετράγωνα F Επεμβάςεισ 9,5-9 65,79 8,9 4,96* Υπόλοιπο 498 04,75 3 0 334,7 6,7 Σφνολο 3 60 4 499,96 ΑΤ Συν. ϋ = Σ Υ (Σ /Σ = 60 ( /4 = 60 0,04 = 499,96 ΑΤ Υπ. ϋ = Υπ (Υπ /Υπ = 498 (3 /04,75 = 498 63,83 = 334,7 ΑΤ Επ. ϋ = 499,96 334,7 = 65,79
Διόρθωςη μζςων των επεμβάςεων i i. -b (i. -.. dj. dj.. -b (. -.. 7 -,5(7,88-7,5 7 -,5*0,38 6,5 dj.. -b (. -.. -,5(8-7,5 -,5* 0,5 0,38 3 dj. 3. -b ( 3. -.. -,5(6,6-7,5 -,5*(-,0 3,0
Σφγκριςη μζςων όρων των επεμβάςεων s (. dj.. dj. s i j (. - π. 6,7 8 (7,88-8 04,75 4,8,04 s (. dj. 3. dj. s 3 (. - π 3. 6,7 8 (7,88-6,6 04,75 4,45,04 s (. dj. 3. dj. s (. - π 3. 6,7 8 (8-6,6 04,75 4,49,6 Σφγκριςθ : t s. dj. (. dj.. dj.. dj. 6,53 0,37,04,88 Σφγκριςθ 3: t s. dj. (. dj. 3. dj. 3. dj. 6,53 3,0,04 3, Σφγκριςθ 3: t s. dj. (. dj. 3. dj. 3. dj. 0,37 3,0,6,8 Η κρίςιμθ τιμι του t για ΒΕ = 0 είναι,086.
> Tr= fctor(rep(c(,, 3, 8 > = c(5, 6, 4,, 3, 9, 4, 5, 6, 6, 8, 7, 0, 9, 3, 0, 7, 8, 7, 5, 3, 3, 5, 6 > = c(0, 4, 7, 6, 8, 8, 5, 8, 7, 8, 8, 3, 9, 6, 6, 4,, 8, 9, 0, 6,, 9, 8 > dt= cbid.dt.frme(tr,, Tr 5 0 6 4 3 3 4 7 4 6 5 3 8 6 3 9 8 7 4 5 8 5 8 9 3 6 7 0 6 8 8 3 8 8 9 7 9 0 5 0 3 3 6 3 3 5 9 4 3 6 8
Ανάλυςη διακφμανςησ > fit=ov(~tr, dt > ov(fit Alysis of Vrice Tble Respose: Df Sum Sq Me Sq F vlue Pr(>F Tr 56.000.364 0.88 Residuls 498 3.74 Ανάλυςη ςυμμεταβολήσ > fit=ov(~, dt > ov(fit Alysis of Vrice Tble Respose: Df Sum Sq Me Sq F vlue Pr(>F 0.04 0.035 4.849 0.03857 * Residuls 499.96.76 --- Sigif. codes: 0 *** 0.00 ** 0.0 * 0.05. 0.
Ζλεγχοσ γραμμικότητασ Υ και Χ > fit=lm(~, dt > summry(fit Cll: lm(formul = ~, dt = dt Residuls: Mi Q Medi 3Q Mx -7.563-4.478-0.0439 3.763 7.5088. Coefficiets: Estimte Std. Error t vlue Pr(> t (Itercept.636 3.487 0.755 0.4585 0.985 0.4465.00 0.0386 * --- Sigif. codes: 0 *** 0.00 ** 0.0 * 0.05. 0. Residul stdrd error: 4.767 o degrees of freedom Multiple R-squred: 0.804, Adjusted R-squred: 0.43 F-sttistic: 4.84 o d DF, p-vlue: 0.03857
Ζλεγχοσ ςχζςησ επεμβάςεων με Χ > fit=ov(~tr, dt > ov(fit Alysis of Vrice Tble Respose: Df Sum Sq Me Sq F vlue Pr(>F Tr 9.5 4.650 0.97 0.43 Residuls 04.75 4.988 Ζλεγχοσ ομοιογενείασ διακυμάνςεων > fit=ov(~tr, dt > leveetest(fit Levee's Test for Homogeeity of Vrice (ceter = medi Df F vlue Pr(>F group 0.464 0.6648
Ζλεγχοσ ομοιογζνειασ ςυντελεςτών ςυμμεταβολήσ > fit=ov(~+tr+*tr, dt > ov(fit Alysis of Vrice Tble Respose: Df Sum Sq Me Sq F vlue Pr(>F 0.035 0.035 6.588 0.0988 * Tr 65.793 8.897 4.985 0.0976 * :Tr 30.80 5.40 0.938 0.488 Residuls 8 303.370 6.854 --- Sigif. codes: 0 *** 0.00 ** 0.0 * 0.05. 0. > fit=ov(~+tr, dt > ov(fit Alysis of Vrice Tble Respose: Df Sum Sq Me Sq F vlue Pr(>F 0.04 0.035 6.5855 0.084 * Tr 65.79 8.897 4.963 0.0780 * Residuls 0 334.7 6.709 ---
> fit=lm(~+tr, dt > summry(fit Cll: lm(formul = ~ + Tr, dt = dt Residuls: Mi Q Medi 3Q Mx -7.758 -.5937 0.784.836 7.0000 Coefficiets: Estimte Std. Error t vlue Pr(> t (Itercept -.8484 3.463-0.83 0.405.506 0.3994 3.3 0.0056 ** Tr 3.8437.0444.880 0.07474. Tr3 6.563.039 3.0 0.00540 ** --- Sigif. codes: 0 *** 0.00 ** 0.0 * 0.05. 0. Residul stdrd error: 4.088 o 0 degrees of freedom Multiple R-squred: 0.45, Adjusted R-squred: 0.37 F-sttistic: 5.503 o 3 d 0 DF, p-vlue: 0.006376
> librry(cr > fit=ov(~*tr, dt > Aov(fit, type="ii" Aov Tble (Type II tests Respose: Sum Sq Df F vlue Pr(>F 63.88 9.705 0.005944 ** Tr 65.793 4.985 0.0976 * :Tr 30.80 0.938 0.488 Residuls 303.370 8 --- Sigif. codes: 0 *** 0.00 ** 0.0 * 0.05. 0.
> fit=ov(~+tr, dt > Aov(fit, type="ii" Aov Tble (Type II tests Respose: Sum Sq Df F vlue Pr(>F 63.83 9.8050 0.00558 ** Tr 65.79 4.963 0.07795 * Residuls 334.7 0 --- Sigif. codes: 0 *** 0.00 ** 0.0 * 0.05. 0.
> Υpred=predict(fit > dt= cbid(dt, Υpred > dt Tr Υpred 5 0 9.65758 6 4 5.99763 3 3 4 7.468974 4 6 4.6553 5 3 8.000000 6 3 9 8 3.79570 7 4 5 3.404535 8 5 8.000000 9 3 6 7.468974 0 6 8 7.5635 6 0 4.53938 7 7 4.75790 8 3 8 8 3.79570 9 7 9 8.4069 0 5 0 3.5093 3 3 6.8377 3.587 3 5 9.50597 4 3 6 8 3.79570
> plot(~,pch=c(,, 3, col=c("red","gree","blue" > leged("topleft", c("","","3",pch=c(,, 3,col=c("red","gree","blue" > blie(lm([tr==""]~[tr==""], col="red" > blie(lm([tr==""]~[tr==""], col="gree" > blie(lm([tr=="3"]~[tr=="3"], col="blue
> plot(~,pch=c(,, 3, col=c("red","gree","blue" > leged("topleft", c("","","3", pch=c(,, 3, col=c("red","gree","blue" > blie(lm(pred[tr==""]~[tr==""], col="red" > blie(lm(pred[tr==""]~[tr==""], col="gree" > blie(lm(pred[tr=="3"]~[tr=="3"], col="blue"
> Tr=fctor(c("","","3" > =rep(me(, 3 > djmes =predict(fit, dt.frme(tr, > dt.frme(ggregte( ~ Tr, dt, FUN=me, dj=djmes Tr dj 7 6.53 0.37 3 3 3.09
> librry(multcomp > summry(glht(fit, lifct=mcp(tr="tukey" Simulteous Tests for Geerl Lier Hypotheses Multiple Comprisos of Mes: Tukey Cotrsts Fit: ov(formul = ~ + Tr, dt = dt Lier Hypotheses: Estimte Std. Error t vlue Pr(> t - == 0 3.844.044.880 0.704 3 - == 0 6.563.04 3.0 0.04 * 3 - == 0.70.6.85 0.495 --- Sigif. codes: 0 *** 0.00 ** 0.0 * 0.05. 0. (Adjusted p vlues reported -- sigle-step method
Το γραμμικό μοντζλο τθσ ανάλυςθσ ςυνδιακφμανςθσ ςε Σχζδιο Τυχαιοποιθμζνων Πλιρων Ομάδων: μ τi j b( -.. ε Όπου: μ = ο γενικόσ μζςοσ του πειράματοσ τ i = θ επίδραςθ τθσ επζμβαςθσ β j = θ επίδραςθ τθσ επζμβαςθσ b = o κοινόσ ςυντελεςτισ ςυμμεταβολισ = θ τιμι του Χ που αντιςτοιχεί ςτο Υ.. = ο γενικόσ μζςοσ του πειράματοσ για το Χ ε = το πειραματικό ςφάλμα
Ανάλυςη ςυνδιακφμανςησ ςε ςχζδιο τυχαιοποιημζνων πλήρων ομάδων Πηγή Παρ/τασ ΒΕ ΑΤ Υ ΑΤ Χ ΑΓ ΧΥ ΒΕ Διορθωμζνα AT Επεμβάςεισ - Ε Ε Χ Ε ΧΥ - Σ - (Σ /Σ - *Υπ - (Υπ /Υπ ] Ομάδεσ b - O O Χ O ΧΥ Υπόλοιπο ( (b - Υπ Υπ Χ Υπ ΧΥ ( - (b - - Υπ - (Υπ /Υπ Σφνολο (E + Υ b( Σ Σ Χ Σ ΧΥ b( - - Σ - (Σ /Σ Το τυπικό ςφάλμα τθσ διαφοράσ δφο διορκωμζνων μζςων όρων επεμβάςεων: s (i. - j. s i. dj. j. b π ( dj.