ΑΝΩΤΑΤΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ (Α.Σ.ΠΑΙ.Τ.Ε.)

ΑΝΩΤΑΤΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ (Α.Σ.ΠΑΙ.Τ.Ε.) Τμήμα Εκπαιδευτικών Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Εκπαιδευτικών Ηλεκτρονικών Μηχανικών Δρ. Γερ. Κ. Παγιατάκης Αναπληρωτής Καθηγητής Α.Σ.ΠΑΙ.ΤΕ. ΓΡΑΜΜΕΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ 008

Στο παρόν κείμενο παρουσιάζονται βασικά στοιχεία της θεωρίας των γραμμών μεταφοράς με σκοπό τη υποστήριξη (παράλληλα με το βασικό εγχειρίδιο) του μαθήματος «Μικροκύματα Κεραίες» (Ζ εξάμηνο του Τμήματος Εκπαιδευτικών Ηλεκτρονικής της ΑΣΠΑΙΤΕ). H διάταξη της ύλης είναι η ακόλουθη: Αρχικά (κεφάλαιο 1) γίνεται μια εισαγωγική παρουσίαση των γραμμών μεταφοράς. Στη συνέχεια (κεφάλαια και 3) γίνεται η μαθηματική ανάλυση των γραμμών μεταφοράς (αρχικά η γενικευμένη ανάλυση γραμμών που παρουσιάζουν απώλειες και στη συνέχεια η απλουστευμένη ανάλυση για γραμμές που μπορούν να θεωρηθούν χωρίς απώλειες). Στα κεφάλαια αυτά, γίνεται προσπάθεια να εξηγηθούν, θέματα όπως αυτό της διάδοσης κυμάτων τάσης και ρεύματος κατά μήκος μιας γραμμής μεταφοράς, η δημιουργία στασίμων κυμάτων κλπ. Το κεφάλαιο 4 πραγματεύεται το θέμα της προσαρμογής της γραμμής προς το φορτίο ενώ το κεφάλαιο 5 αναφέρεται στις γραφικές μεθόδους υπολογισμού των παραμέτρων μιας γραμμής (χάρτης Smith). Τέλος, στο κεφάλαιο 6 του κειμένου, εξετάζονται οι σημαντικότεροι τύποι γραμμών μεταφοράς (ομοαξονικές και δισύρματες). Για λόγους αυτονομίας, στο τέλος του κειμένου έχει συμπεριληφθεί σύντομο μαθηματικό Παράρτημα.

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.1. Ορισμοί - Τύποι 1.. Μεθοδολογία ανάλυσης 1.3. Οι γραμμές μεταφοράς υπό το πρίσμα της ηλεκτρομαγνητικής θεωρίας 1.4. Παραδοχές 1.5. Ηλεκτρικό μοντέλο γραμμής μεταφοράς. ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΗΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ.1. Κατάρτιση των διαφορικών εξισώσεων για την τάση και το ρεύμα.. Επίλυση των διαφορικών εξισώσεων για την τάση και το ρεύμα.3. Φυσική ερμηνεία των λύσεων και των σχετικών παραμέτρων 3. ΓΡΑΜΜΕΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΧΩΡΙΣ ΑΠΩΛΕΙΕΣ 3.1. Γενικά 3.. Ανάλυση γραμμής μεταφοράς χωρίς απώλειες 3.3. Δημιουργία στασίμων κυμάτων σε γραμμή μεταφοράς 3.4. Γραμμές μεταφοράς μήκους λ/4 και λ/ 4. ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΓΡΑΜΜΗΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ 4.1. Τεχνικές προσαρμογής: Γενική θεώρηση 4.. Προσαρμογή με χρήση τετράπολων κυκλωμάτων 4.3. Προσαρμογή με χρήση στελεχών 5. ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΜΕ ΤΟ ΧΑΡΤΗ SMITH 5.1. Γενικά 5.. Περιγραφή και χρήση του χάρτη Smith 6. ΟΙ ΓΡΑΜΜΕΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΩΣ ΜΕΣΑ ΜΕΤΑΔΟΣΗΣ ΣΗΜΑΤΩΝ 6.1. Γενική θεώρηση 6.. Οι κύριοι τύποι τηλεπικοινωνιακών γραμμών μεταφοράς Π. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.1. Κύριοι τύποι γραμμών μεταφοράς Η γραμμή μεταφοράς είναι, γενικά, ένα σύστημα δύο παράλληλων αγωγών που χωρίζονται μεταξύ τους από ένα μονωτικό μέσο. Κύρια χρήση των τηλεπικοινωνιακών γραμμών μεταφοράς είναι η μεταφορά σημάτων μεταξύ των δομικών μονάδων ενός τηλεπικοινωνιακού συστήματος (π.χ. μεταξύ ενός τηλεφώνου και του οικείου τηλεπικοινωνιακού κέντρου, μεταξύ ενός πομποδέκτη και της κεραίας κλπ.). Σε ότι αφορά τις ασύρματες επικοινωνίες, η βασική εφαρμογή των γραμμών μεταφοράς είναι η μεταφορά σημάτων μεταξύ του πομποδέκτη και της κεραίας. Σε ότι αφορά τα ενσύρματα τηλεπικοινωνιακά δίκτυα, οι γραμμές μεταφοράς χρησιμοποιούνται κυρίως στο συνδρομητικό μέρος των δικτύων (π.χ. για τη διασύνδεση των συνδρομητικών συσκευών με τα οικεία τηλεπικοινωνιακά κέντρα). Οι κυριότεροι τύποι των τηλεπικοινωνιακών γραμμών μεταφοράς είναι: Η ομοαξονική γραμμή: Αποτελείται από δύο αγωγούς, έναν εσωτερικό κυλινδρικό αγωγό και ένα εξωτερικό αγώγιμο πλέγμα (blentage). Οι δύο αγωγοί χωρίζονται και περιβάλλονται από μονωτικό υλικό. Στις ασύρματες τηλεπικοινωνίες είναι ο τύπος της γραμμής μεταφοράς που χρησιμοποιείται συνηθέστερα. 1 Η δισύρματη γραμμή: Αποτελείται από δύο αγωγούς παράλληλους μεταξύ τους και περιβαλλόμενους από μονωτικό μέσο. Ο συγκεκριμένος τύπος γραμμής χρησιμοποιείται κυρίως σε ενσύρματα δίκτυα (διασύνδεση συνδρομητικών συσκευών με τηλεπικοινωνιακά κέντρα, δίκτυα δομημένης καλωδίωσης κλπ.). 1.. Μεθοδολογία ανάλυσης Αυστηρή μαθηματική ανάλυση των γραμμών μεταφοράς μπορεί να γίνει μόνο με χρήση της θεωρίας των ηλεκτρομαγνητικών πεδίων. Πιο συγκεκριμένα, από τη λύση της κυματικής εξίσωσης (που προκύπτει από τις εξισώσεις του Maxwell) και την εφαρμογή των κατάλληλων συνοριακών συνθηκών, προκύπτει το διαδιδόμενο (κατά μήκος της γραμμής) 1 Άλλα μέσα μεταφοράς ηλεκτρομαγνητικής ισχύος είναι οι κυματοδηγοί (συνήθως, ορθογωνικής ή κυλινδρικής διατομής). Γενικά, οι κυματοδηγοί προτιμώνται για μικρές αποστάσεις (μερικά m) και πολύ υψηλές συχνότητες (συνήθως άνω των 300 MHz). Γερ. Κ. Παγιατάκης: Γραμμές Μεταφοράς 1.1

ηλεκτρομαγνητικό κύμα. Το κύμα αυτό, γενικά, συντίθεται από επιμέρους τρόπους (ρυθμούς) τύπου ΤΕΜ, ΤΕ, ΤΜ κλπ.,3 Στην πράξη, οι γραμμές μεταφοράς λειτουργούν σε συχνότητες στις οποίες μεταδίδονται μόνον εγκάρσιοι ηλεκτρομαγνητικοί τρόποι (τρόποι ΤΕΜ) 4. Στην περίπτωση αυτή, αντί για την αυστηρή ηλεκτρομαγνητική ανάλυση, μπορεί να εφαρμοστεί το απλούστερο «ηλεκτρικό» μοντέλο, στο οποίο η γραμμή θεωρείται κύκλωμα με «κατανεμημένες» ηλεκτρικές παραμέτρους (αντίσταση, αυτεπαγωγή, χωρητικότητα κλπ.) κατά μήκος του οποίου υπολογίζονται η τάση v και το ρεύμα i. 5,6 1.3. Οι γραμμές μεταφοράς υπό το πρίσμα της ηλεκτρομαγνητικής θεωρίας Η σχέση μεταξύ της κυκλωματικής και της ηλεκτρομαγνητικής ανάλυσης των γραμμών μεταφοράς μπορεί να καταδειχθεί από την εξέταση της ιδανικής ομοαξονικής γραμμής του σχήματος 1.1. Πράγματι, θεωρώντας ότι η εν λόγω γραμμή (απείρου μήκους) αποτελείται από τέλειους αγωγούς (σ ) και τέλειο διηλεκτρικό (με σταθερά ε), με εφαρμογή των ολοκληρωτικών εξισώσεων Maxwell, προκύπτει ότι: I Η.dl = I + (D/t).dS H.πr = I H = πr (1.1) q a ε.e.ds = q ε.ε.πrz = q s.πaz E = s (1.) εr Τρόποι (ρυθμοί) ΤΕΜ (Transverse Electr-Magnetic ή Εγκάρσιοι Ηλεκτρο-Μαγνητικοί) τρόποι/ρυθμοί). Είναι κύματα (δηλαδή λύσεις της κυματικής εξίσωσης) με μηδενικές διαμήκεις συνιστώσες (E z = 0, H z = 0). Τρόποι (ρυθμοί) ΤΕ (Transverse Electric ή Εγκάρσιοι Ηλεκτρικοί τρόποι/ρυθμοί). Είναι κύματα (δηλαδή λύσεις της κυματικής εξίσωσης) με μηδενική διαμήκη ηλεκτρική συνιστώσα (E z = 0, H z 0). Τρόποι (ρυθμοί) ΤΜ (Transverse Magnetic ή Εγκάρσιοι Μαγνητικοί) τρόποι (ρυθμοί). Είναι κύματα (δηλαδή λύσεις της κυματικής εξίσωσης) με μηδενική διαμήκη μαγνητική συνιστώσα (E z 0, H z = 0). 3 Παρόμοια ανάλυση εφαρμόζεται και στους κυματοδηγούς με τη διαφορά ότι, σε αυτούς, δεν υποστηρίζονται κύματα ΤΕΜ. 4 Ως γνωστόν, κάθε τρόπος ΤΕ και ΤΜ έχει μια συχνότητα αποκοπής f c κάτω από την οποία η μετάδοσή του είναι αδύνατη. Οι συχνότητες λειτουργίας των γραμμών μεταφοράς είναι χαμηλότερες από τις συχνότητες αποκοπής των τρόπων ΤΕ και ΤΜ (οι γραμμές μεταφοράς, συνήθως, λειτουργούν σε συχνότητες κάτω του 1 GHz) με αποτέλεσμα να υποστηρίζονται μόνον τρόποι ΤΕΜ. 5 Αυτό που καθιστά μια γραμμή μεταφοράς «κατανεμημένο κύκλωμα» (σε αντίθεση με τα συμβατικά «συγκεντρωμένα» ηλεκτρικά κυκλώματα) είναι το γεγονός ότι το γεωμετρικό μήκος των γραμμών μεταφοράς είναι συγκρίσιμο με το μήκος κύματος λειτουργίας (λ ο = c/f ο, f ο η συχνότητα λειτουργίας). Αυτό έχει ως αποτέλεσμα η τάση v και το ρεύμα i της γραμμής να είναι συναρτήσεις όχι μόνον του χρόνου t (όπως στα συγκεντρωμένα κυκλώματα) αλλά και της απόστασης (x) κατά μήκος της γραμμής. 6 Υπό ορισμένες προϋποθέσεις, η θεωρία των γραμμών μεταφοράς μπορεί να χρησιμοποιηθεί (με ικανοποιητικό βαθμό ακρίβειας) για την ανάλυση διατάξεων που κυματοδηγούν εγκάρσιους ηλεκτρικούς (TE) ή εγκάρσιους μαγνητικούς (ΤΜ) τρόπους, όπως π.χ. οι μεταλλικοί κυματοδηγοί. Γερ. Κ. Παγιατάκης: Γραμμές Μεταφοράς 1.

Αυτεπαγωγή.dx:.dx = I 1 ( [a,b] B.dS) (1.3) Δεδομένου ότι I [a,b] B.dS = {. [a,b] μ ο.η.dr}.dx = {. [a,b] μ ο πr.dr}.dx = μ ο π I.ln( a b ).dx (1.4) Προκύπτει, με εφαρμογή της εξίσωσης (1.3), ότι.dx = μ ο b.ln( ).dx (1.5) π a συνεπώς η αυτεπαγωγή ανά μονάδα μήκους της γραμμής ισούται με = b ln π a μο (1.6) Με παρόμοια ανάλυση, μπορεί να προκύψει και η χωρητικότητα C.dx μεταξύ των αγωγών της γραμμής. Πράγματι ισχύει ότι C.dx = V 1 ( [a,b] D.dS) = V 1 ( [0,π] ε.ε.r.dφ.dx) = = πε.dx (1.7) b ln a οπότε η χωρητικότητα C ανά μονάδα μήκους της γραμμής προκύπτει ότι δίνεται από τη σχέση πε C = (1.8) b ln a Η αυτεπαγωγή και η χωρητικότητα C ανά μονάδα μήκους της γραμμής συγκαταλέγονται στις παραμέτρους που υπεισέρχονται στην ανάλυση του κεφαλαίου. Γερ. Κ. Παγιατάκης: Γραμμές Μεταφοράς 1.3

H q s = dq/ds E b a b I a t Εσωτερικός αγωγός Εξωτερικός αγωγός (πλέγμα) x Q = q s.πα.dx Στοιχ. επιφάνεια για μαγνητική ροή: ds E = πr.dx Στοιχ. επιφάνεια για ηλεκτρική ροή: ds M = dr.dx Σχήμα 1.1: Ομοαξονική γραμμή μεταφοράς 1.4. Παραδοχές Η γραμμή μεταφοράς αποτελείται από ευθύγραμμους, παράλληλους αγωγούς και είναι γενικά ομοιόμορφη κατά τη διαμήκη κατεύθυνση. Η γραμμή μεταφοράς λειτουργεί σε συχνότητες στις οποίες υποστηρίζονται μόνον τρόποι ΤΕΜ ώστε να μπορεί να εφαρμοστεί, με ικανοποιητική ακρίβεια, το απλούστερο ηλεκτρικό μοντέλο (τάση v και ρεύμα i αντί για ηλεκτρικό και μαγνητικό πεδίο). Πράγματι, συνήθως, οι γραμμές μεταφοράς λειτουργούν σε συχνότητες κάτω των 300 MHz. Το μήκος μιας τηλεπικοινωνιακής γραμμής μεταφοράς δεν μπορεί να θεωρηθεί αμελητέο συγκριτικά με το μήκος κύματος λειτουργίας της. Για το λόγο αυτόν, τα διάφορα ηλεκτρικά μεγέθη (τάση, ρεύμα κλπ.) παρουσιάζουν, εκτός από χρονική, και χωρική μεταβολή, κατά μήκος της γραμμής. (Αντίθετα, στη θεωρία των εναλλασσομένων κυκλωμάτων, γίνεται, σιωπηρά, η παραδοχή ότι όι διαστάσεις των κυκλωμάτων είναι πολύ μικρότερες από το μήκος κύματος λειτουργίας και για το λόγο αυτό, οι τάσεις και τα ρεύματα θεωρούνται συναρτήσεις μόνον του χρόνου). Η απόσταση μεταξύ των αγωγών είναι μικρή συγκριτικά με το μήκος κύματος λειτουργίας (προκειμένου η γραμμή μεταφορά να μην ακτινοβολεί σαν κεραία). Για το λόγο αυτόν, η τάση v και το ρεύμα i κατά μήκος της γραμμής θεωρείται ότι δεν παρουσιάζουν μεταβολή κατά την εγκάρσια κατεύθυνση. Γερ. Κ. Παγιατάκης: Γραμμές Μεταφοράς 1.4

1.5. Ηλεκτρικό μοντέλο γραμμής μεταφοράς Στο μοντέλο που απεικονίζεται στο σχήμα 1.: R είναι η ωμική αντίσταση των αγωγών της γραμμής ανά μονάδα μήκους (σε Ω/m). είναι η αυτεπαγωγή των αγωγών της γραμμής ανά μονάδα μήκους (σε H/m). G είναι η αγωγιμότητα του διηλεκτρικού υλικού που υπάρχει μεταξύ των αγωγών ανά μονάδα μήκους της γραμμής (σε S/m = 1/Ω.m). C είναι η χωρητικότητα του πυκνωτή που σχηματίζεται από τους αγωγούς της γραμμής και το μεταξύ τους διηλεκτρικό (σε F/m). Στην είσοδο της γραμμής μεταφοράς θεωρούμε ότι εφαρμόζεται ημιτονοειδής τάση v in (t) = V in,m e jωt (1.9) Λόγω των παραδοχών της ενότητας 1.4 και της εξίσωσης (1.9), η τάση v και το ρεύμα i της γραμμής μεταφοράς, θεωρείται ότι έχουν τη μορφή: v = v(x,t) = Re{V(x,t)} = Re{V(x).e jωt } (1.10) i = i(x,t) = Re{I(x,t)} = Re{I(x).e jωt } (1.11) Η ανάλυση που θα γίνει στα επόμενα κεφάλαια, αφορά τη χωρική μεταβολή της τάσης και του ρεύματος V(x) και I(x) αντίστοιχα. Ο παράγοντας e jωt αγνοείται (ως κοινός παράγοντας) κατά την πορεία της ανάλυσης και προστίθεται στις λύσεις εκ των υστέρων. Στο σημείο αυτό πρέπει να αναφερθούν τα εξής: Η ύπαρξη ωμικής αντίστασης στους αγωγούς της γραμμής μεταφοράς και αγωγιμότητας στο μεταξύ τους διηλεκτρικό, προκαλεί απώλεια ηλεκτρικής ισχύος λόγω μετατροπής της σε θερμότητα. Αυτό έχει ως συνέπεια την εκθετική μείωση του πλάτους της τάσης και του ρεύματος κατά μήκος της γραμμής. Μια ιδανική γραμμή μεταφοράς έχει τέλειους αγωγούς (R = 0) και τέλειο μεταξύ τους διηλεκτρικό (G = 0) με αποτέλεσμα να μην παρουσιάζει απώλειες. Σε μια τέτοια γραμμή, οι υπολογισμοί απλοποιούνται σημαντικά. Γερ. Κ. Παγιατάκης: Γραμμές Μεταφοράς 1.5

Rdx dx Rdx dx Gdx Cdx Gdx Cdx Ζ x=-l x =0 (α) I(x) Rdx dx I(x+dx) V(x) Gdx Cdx V(x+dx) dx (β) Σχήμα 1.: Ηλεκτρικό μοντέλο γραμμής μεταφοράς (α) Ολόκληρη η γραμμή (β) Κύκλωμα για το στοιχειώδες μήκος dx της γραμμής 1.6. Ερωτήσεις 1. Ποιες οι βασικές προϋποθέσεις ώστε ένα ενσύρματο μέσο να θεωρηθεί «γραμμή μεταφοράς»;. Να συγκριθούν το «ηλεκτρομαγνητικό» και το «ηλεκτρικό» μοντέλο της γραμμής μεταφοράς ως προς (i) την ακρίβεια και (ii) την απλότητα. 3. Με βάση ποιο σκεπτικό η γραμμή μεταφοράς θεωρείται «κατανεμημένο κύκλωμα»; Πώς διαφοροποιείται η ανάλυσή της συγκριτικά με τα συνήθη «συγκεντρωμένα» κυκλώματα; 4. Τι αντιπροσωπεύουν και σε ποιες μονάδες μετρώνται οι παράμετροι R,, C και G; 5. Τι δηλώνει ο όρος «ιδανική» γραμμή μεταφοράς; 1.7. Παραπομπές Καψάλης Χ., Κωττής Π., Κεραίες Ασύρματες Ζεύξεις (ενότητα Π.1.1). Σταθόπουλος Ν., Γραμμές Μεταφοράς Σημειώσεις (ενότητα 1.). Γερ. Κ. Παγιατάκης: Γραμμές Μεταφοράς 1.6

. ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΗΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ 1.1. Κατάρτιση των διαφορικών εξισώσεων για την τάση V(x) και το ρεύμα I(x) Από το σχήμα 1.1.β, προκύπτει: V(x) V(x+dx) = {R.dx}.I(x) + jω{dx}.i(x) (.1) 3 Ι(x) I(x+dx) = {G.dx}.V(x) + jω{cdx}.v(x) (.) Δεδομένου ότι dv V(x+dx) = V(x) + dx (.3) dx di Ι(x+dx) = I(x) + dx (.4) dx οι (.1), (.) λαμβάνουν τη μορφή dv = (R + jω).i =.I dx (.5) di = (G + jωc).v = Y.V dx (.6) Παραγωγίζοντας τα δύο μέλη της (.5) και εκμεταλλευόμενοι τη (.6) προκύπτει η διαφορική εξίσωση για την τάση V(x) που δίνεται παρακάτω. Με παρόμοιο τρόπο, προκύπτει η διαφορική εξίσωση (.8) για το ρεύμα Ι(x). d V = (R + jω)(g + jωc).v = γ V dx (.7) d I = (R + jω)(g + jωc).i = γ I dx (.8) 1 H έννοια της «γενικευμένης ανάλυσης» είναι ότι λόγω της μη μηδενικής αντίστασης των αγωγών (R 0) και της μη μηδενικής αγωγιμότητας του διηλεκτρικού (G 0) η γραμμή μεταφοράς παρουσιάζει απώλειες (με αποτέλεσμα την εξασθένηση των κυμάτων τάσης και ρεύματος που διαδίδονται στη γραμμή). Υπενθυμίζεται ότι τα V(x) και I(x) αποτελούν τους φασιθέτες της (ημιτονοειδούς) τάσης και του (ημιτονοειδούς) ρεύματος. Οι πλήρεις μορφές για την τάση και το ρεύμα δίνονται από τους τύπους v(x,t) = Re{V(x)e jωt } και i(x,t) = Re{I(x)e jωt }. 3 Οι συγκεκριμένη μορφή εξισώσεων ισχύει για ημιτονοειδείς τάσεις και ρεύματα. Σε περίπτωση που η πηγή τροφοδοτήσει τη γραμμή με σήμα άλλης μορφής (π.χ. παλμικό) αντί για τον παράγοντα «jω» θα πρέπει να γραφεί ο διαφορικός τελεστής d/dt (jω..dx.i.dx.di/dt και jω.c.dx.v C.dx.dV/dt). Γερ. Κ. Παγιατάκης: Γραμμές Μεταφοράς.1

Στις εξισώσεις (.5) έως (.8) χρησιμοποιήθηκαν οι παράμετροι Ζ, Υ και γ που ορίζονται ως εξής: Ζ = R + jω (σε Ω/m) (.9) Υ = G + jωc (σε S/m = 1/Ω.m) (.10) γ = (R + jω)(g + jωc) = Ζ.Υ (σε m 1 ) (.11) H παράμετρος γ (όπως ορίζεται στην παραπάνω εξίσωση (.11)) είναι μιγαδική συνεπώς μπορεί να γραφεί στη μορφή γ = (R jω)(g jωc) = α + jβ (.1) όπου τα α και β (πραγματικό και φανταστικό μέρος της παραμέτρου γ) αποτελούν πολύπλοκες εκφράσεις των ηλεκτρικών παραμέτρων R,, G, C της γραμμής και της συχνότητας ω (και δεν δίνονται εδώ για λόγους συντομίας)... Επίλυση των διαφορικών εξισώσεων για την τάση και το ρεύμα Λύσεις των διαφορικών εξισώσεων (.7), (.8) οι φασιθέτες V(x), I(x) Οι γενικές λύσεις των διαφορικών εξισώσεων (.7) και (.8) είναι οι: V(x) = Ae γx + Be γx (.13) I(x) = Ce γx + De γx (.14) όπου οι όροι Ae γx και Ce γx αντιστοιχούν σε προσπίπτον κύμα (τάσης ή ρεύματος, αντιστοίχως) ενώ οι όροι Be γx και De γx σε ανακλώμενο κύμα (τάσης ή ρεύματος, αντιστοίχως). Για τον προσδιορισμό των (άγνωστων) συντελεστών A, B, C και D, εφαρμόζονται οι συνοριακές συνθήκες στο τέρμα της γραμμής (x = 0): V(0) = V (.15.α) Γερ. Κ. Παγιατάκης: Γραμμές Μεταφοράς.

I(0) = I (.15.β) V V(0) = (αντίσταση φορτίου) (.15.γ) I I(0) Από την εφαρμογή των (.15) στις (.13) και (.14), προκύπτει ότι Α = 1 (V + Ζ I ) Β = 1 (V Ζ I ) C = A D = B (.16) όπου η παράμετρος Ζ, που προκύπτει κατά τη διάρκεια των υπολογισμών, ορίζεται ως: Ζ = R G jω jωc Y (σε Ω) (.17) και είναι γνωστή ως η χαρακτηριστική εμπέδηση της γραμμής μεταφοράς. Εφαρμόζοντας την εξίσωση (.15.γ) απαλειφθεί, οπότε οι εξισώσεις (.15) γράφονται ως εξής: V =, ο ένας εκ των συντελεστών V, I μπορεί να I Α = 1 (V + Ζ I ) = Β = 1 (V Ζ I ) = C = D = V (1 + V (1 ) = Vπ (.18.α) ) = Vα (.18.β) A (.18.γ) B (.18.δ) όπου έγινε χρήση και του γεγονότος ότι ότι οι συντελεστές V (1 + V ) και (1 ) εκφράζουν (αντίστοιχα) τα μιγαδικά πλάτη V π και V α του προσπίπτοντος και του ανακλωμένου κύματος τάσης. Αντικαθιστώντας τους συντελεστές Α, Β, C και D στις (.13) και (.14), προκύπτει ότι V(x) = V (1 + ).e γx + V (1 ).e γx = V π.e γx + V α.e γx (.19) Γερ. Κ. Παγιατάκης: Γραμμές Μεταφοράς.3

Ι(x) = V (1 + ).e γx + V ( 1 + ).e γx = V π e γx V α e γx (.0) Επισημαίνεται ότι οι συντελεστές V π και V α είναι γενικά μιγαδικοί, άρα είναι της μορφής V π = V π.e jφ π V α = V α.e jφ α (.1) (.) Χρησιμοποιώντας τις εξισώσεις (A.6) και (A.7) του Μαθηματικού Παραρτήματος, προκύπτουν οι εξής εναλλακτικές εκφράσεις για την τάση V(x) και το ρεύμα I(x). V(x) = V {csh(γx) + sinh(γx)} (.3) Ι(x) = V { 1 1 csh(γx) + sinh(γx)} (.4) Οι πλήρεις εκφράσεις για την τάση v(x,t) και το ρεύμα i(x,t) Για την εξαγωγή των πλήρων εκφράσεων για την τάση και το ρεύμα, οι εκθετικοί παράγοντες στις εξισώσεις (.19) και (.0) γράφονται ως εξης: e (γx+jωt) = e αx e j(βx+ωt) (.5) e (γx+jωt) = e αx e j(βx+ωt) (.6) Μετά τα παραπάνω (εξισώσεις.19,.0,.5,.6), οι πλήρεις εκφράσεις για την τάση v(x,t) και το ρεύμα i(x,t) είναι οι: Γερ. Κ. Παγιατάκης: Γραμμές Μεταφοράς.4

v(x,t) = Re{V(x).e jωt } V = Re{ (1 + ).e (γx+jωt) + V (1 ).e (γx+jωt) } V ).e αx e j(βx+ωt) + V = Re{ (1 + = Re{V π.e αx e j(βx+ωt) + V α.e αx e j(βx+ωt) } (1 ).e αx e j(βx+ωt) } = V π..e αx cs(βx+ωt+φ π ) + V α.e αx cs(βx+ωt+φ α ) (.7) i(x,t) = Re{I(x).e jωt } V = (1 + ).e (γx+jωt) V + ( 1 + V π = Re{.e αx e j(βx+ωt) V α.e αx e j(βx+ωt) } ).e (γx+jωt) V π = Re{.e j(φ π φ zο ) e αx e j(βx+ωt) V α {.e j(φ α φ zο ).e αx e j(βx+ωt) } V π =.e αx V α cs(βx+ωt+φ π φ z ).e αx cs(βx+ωt+φ α φ z ) (.8) Η παράμετρος γ (σχόλια) Για την παράμετρο γ, μπορούν να γίνουν τα παρακάτω σχόλια: Η παράμετρος γ αποτελεί τη μιγαδική σταθερά διάδοσης των κυμάτων τάσης και ρεύματος που διαδίδονται κατά μήκος της γραμμής μεταφοράς Η παράμετρος α (το πραγματικό μέρος της μιγαδικής σταθεράς διάδοσης) εκφράζει την εκθετική μείωση του πλάτους των παραπάνω κυμάτων, σύμφωνα και με τις εξισώσεις (.33) έως (.36), και ονομάζεται συντελεστής εξασθένησης. Η παράμετρος β (το φανταστικό μέρος της μιγαδικής σταθεράς διάδοσης) εκφράζει τη μεταβολή της φάσης των παραπάνω κυμάτων και ονομάζεται συντελεστής μεταβολής φάσης ή σταθερά διάδοσης. Ισχύουν τα εξής: Γερ. Κ. Παγιατάκης: Γραμμές Μεταφοράς.5

Αν d 1/e είναι η απόσταση κατά την οποία τα πλάτη της τάσης ή του ρεύματος (είτε των προσπιπτόντων είτε των ανακλωμένων) μειώνονται στο e 1 (= e 1 ) τότε ισχύει ότι: d 1/e = α 1 (.9) Αν λ είναι το μήκος κύματος των κυμάτων τάσης και ρεύματος (η απόσταση κατά την οποία για μια δεδομένη χρονική στιγμή το κύμα πραγματοποιεί έναν πλήρη κύκλο χωρικής μεταβολής) τότε ισχύει ότι βλ = π λ = β π (.30) 4 Μέσω της παραπάνω σχέσης, μπορεί να εξηγηθεί γιατί στα συγκεντρωμένα κυκλώματα, δεν λαμβάνεται υπόψη η χωρική μεταβολή της τάσης και του ρεύματος. Στα κυκλώματα αυτά, x << 1 οπότε e jβx = e j(π/λ).x = e jπ.(x/λ) e jπ.0 =1. Τέλος, η ταχύτητα φάσης υ του κύματος, δίνεται από τη σχέση: υ = β ω (.31) Φυσική ερμηνεία των εκφράσεων για την τάση v(x,t) και ρεύμα i(x,t) Η φυσική ερμηνεία των εκφράσεων (.19) και (.7) για τον φασιθέτη V(x) και την πλήρη έκφραση της τάσης v(x,t) (αντίστοιχα σχόλια μπορούν να γίνουν για τα I(x) και i(x,t) εξισώσεις (.0) και (.9)) είναι η εξής: Ο 1ος όρος V (1 + ).e γx = V π.e γx αντιπροσωπεύει το «προσπίπτον κύμα τάσης», το οποίο μεταδίδεται από την πηγή προς το φορτίο. Στο κύμα αυτό, μιγαδικός 4 Δεν θα πρέπει να γίνεται σύγχυση μεταξύ του μήκους κύματος λειτουργίας λ s και του μήκους κύματος διάδοσης λ των κυμάτων τάσης ή ρεύματος. Το πρώτο (λ s ) αφορά τη συχνότητα f s της πηγής (surce) και σχετίζεται με αυτήν μέσω της (γνωστής) σχέσης λ s =c/f s. Αντίθετα το μήκος κύματος λ διάδοσης της τάσης ή του ρεύματος υπαγορεύεται από τις συνθήκες διάδοσης που δημιουργεί η ίδια η γραμμή μεταφοράς και σχετίζεται με τη συχνότητα λειτουργίας συνήθως μέσω μιας μάλλον πολύπλοκής σχέσης που ονομάζεται εξίσωση διασποράς. Επισημαίνεται ότι η κυκλική συχνότητα ω που εμφανίζεται στον παράγοντα e jωt ) αφορά την πηγή (ω = πf s ) γράφεται χωρίς δείκτη (ω αντί για ω s ) καθαρά για λόγους συντομίας. Γερ. Κ. Παγιατάκης: Γραμμές Μεταφοράς.6

εκθετικός παράγοντας e j(βx+ωt+φ π ) εκφράζει την καθαυτό κυματική μεταβολή της τάσης (αφού όταν ληφθεί το πραγματικό μέρος της v(x,t) ο παράγοντας αυτός παρέχει τον ημιτονοειδή όρο cs(βx+ωt+φ π )), ενώ ο παράγοντας e αx μείωση του πλάτους από την τιμή V π.e αl = V π = 0). V (1 + V (1 + εκφράζει την εκθετική ).e αl στην τιμή ) καθώς το κύμα οδεύει από την πηγή (x= l) προς το φορτίο (x= Ο ος όρος αντιπροσωπεύει το «ανακλώμενο» κύμα τάσης, το οποίο μεταδίδεται από το φορτίο προς την πηγή. Στο κύμα αυτό, μιγαδικός εκθετικός παράγοντας e j(βx+ωt+φ π ) εκφράζει την καθαυτό κυματική μεταβολή της τάσης (αφού όταν ληφθεί το πραγματικό μέρος της v(x,t) ο παράγοντας αυτός παρέχει τον ημιτονοειδή όρο cs(βx+ωt φ π )), ενώ ο παράγοντας e αx εκφράζει την εκθετική μείωση του πλάτους από την τιμή V α = V (1 V ) στην τιμή V α = (1 αρνητική κατεύθυνση) από το φορτίο (x= 0) προς την πηγή (x= l). ) e αl καθώς το κύμα οδεύει (στην cs(βx) e αx x e ax cs(βx) x Σχήμα.: Κύματα τάσης στη γραμμή μεταφοράς: (α) Προσπίπτον (β) Ανακλώμενο Γερ. Κ. Παγιατάκης: Γραμμές Μεταφοράς.7

.3. Άλλες παράμετροι της γραμμής μεταφοράς Εμπέδηση (x) και εμπέδηση εισόδου in H εμπέδηση Ζ(x) που φαίνεται από το τυχαίο σημείο x της γραμμής μεταφοράς (κοιτάζοντας προς το φορτίο) ορίζεται ως V(x) Ζ(x) = I(x) (.3) οπότε, αντικαθιστώντας είτε τις (.19) και (.0) είτε τις (.3), (.4) (και επισημαίνοντας ότι tan(q) = tan(q)) προκύπτει ο τύπος V(x) Ζ(x) = = Ζο I(x) tanh(γx) tanh(γx) (.33) Αν ως αντίσταση εισόδου Ζ in της γραμμής μεταφοράς θεωρηθεί η αντίσταση που φαίνεται από την αρχή (x = l) της γραμμής (κοιτάζοντας προς το φορτίο), τότε από την (.33) προκύπτει ότι: in (l) = V(l) = Ζ + Ζ tanh(γl) I(l) + Ζ tanh(γl) (.34) όπου χρησιμοποιήθηκε η σχέση: tanh(γl) = tanh(γl) (Π.8) ~ Ζ in (x) Ζ Ζ x= l x= 0 Σχήμα.1: Σχηματική παράσταση γραμμής μεταφοράς Γερ. Κ. Παγιατάκης: Γραμμές Μεταφοράς.8

Ο συντελεστής ανάκλασης ρ(x) Οι συντελεστές ανάκλασης τάσης και ρεύματος ρ v (x) και ρ i (x) ορίζονται (για τυχαίο σημείο x της γραμμής) ως εξής: ρ v (x) = V e γx α - γx π V e (.35) ρ i (x) = Vα e Vπ e - γx γx = ρ v (x) (.36) Εκμεταλλευόμενοι τις εξισώσεις (.18) και (.19), προκύπτει ότι ρ v (x) = e γx = ρ i (x) (.37) Ενδιαφέρυν κυρίως οι τιμές ρ v, ρ i των συντελεστών ανάκλασης στο τέρμα (φορτίο) της γραμμής (x = 0): ρ v ρ v (0) = (.38) ρ i ρ i (0) = ρ v (.39) Από τις εξισώσεις (.36) έως (.38) προκύπτει ότι οι συντελεστές ανάκλασης είναι γενικά μιγαδικά μεγέθη. Στην πολική τους μορφή ρ = ρ e jφ (.40) το μέτρο ρ εκφράζει (σύμφωνα και με την (.37)) τη μείωση του μέτρου του πλάτους του ανακλώμενου κύματος συγκριτικά με το πλάτος του προσπίπτοντος κύματος ( ρ 1) ενώ η φάση φ την ολίσθηση φάσης του ανακλώμενου σχετικά με το προσπίπτον κύμα (φ αρνητική/θετική τιμή της φάσης φ δηλώνει υστέρηση/προπόρευση του προσπίπτοντος κύματος σχετικά με το ανακλώμενο). Γερ. Κ. Παγιατάκης: Γραμμές Μεταφοράς.9

Με βάση τα παραπάνω, οι εξισώσεις (.18) και (.19) για την τάση V(x) και το ρεύμα I(x), μπορουν, εναλλακτικά, να γραφούν στη μορφή: V(x) = V π e γx + ρ v V π e γx = (1 + ρ v e γx ).V π e γx (.41) Ι(x) = V π e γx V π ρ v e γx = (1 ρ v e γx V ) π e γx (.4) όπου έγινε χρήση της σχέσης V α = ρ v V π (.43) Η χαρακτηριστική εμπέδηση Ζ της γραμμής Από τις εξισώσεις (.30) και (.31) για τις Ζ(x) και τις in αντίστοιχα, προκύπτει ότι η Ζ είναι η εμπέδηση που, αν τοποθετηθεί στο φορτίο της γραμμής, τότε, για όλη τη γραμμή, ισχύει ότι: Ζ(x) = in = Ζ (όταν Ζ = Ζ ) (.44) Επίσης, από την εξίσωση (.38), προκύπτει ότι όταν Ζ = Ζ, οι συντελεστές ανάκλασης τάσης και ρεύματος μηδενίζονται σε όλο το μήκος της γραμμής μεταφοράς, πράγμα που σημαίνει ότι μεγιστοποιείται η μεταφορά ηλεκτρικής ισχύος από τη γραμμή προς το φορτίο. Η κατάσταση αυτή ονομάζεται προσαρμογή και, όσον αφορά τη γραμμή μεταφοράς, είναι η επιθυμητή κατάσταση λειτουργίας. Αντίθετα, η ύπαρξη ανακλωμένων κυμάτων αφενός υποδηλώνει την ύπαρξη ισχύος που δεν αποδίδεται στο φορτίο (αλλά επιστρέφει προς την πηγή) και αφετέρου μπορεί να αποβεί επιβλαβής για τη λειτουργία της πηγής. Γερ. Κ. Παγιατάκης: Γραμμές Μεταφοράς.10

.5. Ισοδύναμα κυκλώματα γραμμών μεταφοράς Για λειτουργία σε σταθερή συχνότητα και, υπό την προϋπόθεση ότι το φυσικό μήκος της γραμμής μεταφοράς είναι μικρό και σχέση με το μήκος κύματος λειτουργίας (l << λ), μια γραμμή μεταφοράς μπορεί να προσομοιωθεί με ένα δίθυρο κύκλωμα, τύπου Π ή Τ. Για κύκλωμα τύπου Π (βλ. σχήμα παρακάτω) μπορεί να αποδειχθεί ότι Ζ P = sinh(γd) D Ζ S = tanh ( ) Οι παραπάνω εξισώσεις ισχύουν και για κύκλωμα τύπου T (βλ. σχήμα παρακάτω) Γερ. Κ. Παγιατάκης: Γραμμές Μεταφοράς.11

.6. Ερωτήσεις - Παραδείγματα - Ασκήσεις Ερωτήσεις 1. Ποια η σχέση των φασιθετών V(x) και Ι(x) με τις αντίστοιχες εκφράσεις v(x,t), i(x,t) για την τάση και το ρεύμα;. Να δοθεί η φυσική ερμηνεία των όρων και των παραμέτρων που εμφανίζονται στις εκφράσεις V(x) και v(x,t) για την τάση (εξισώσεις (.19) και (.7)). 3. Να δοθεί η έκφραση για την παράμετρο γ. Ποια η φυσική σημασία των παραμέτρων α και β; 4. Πώς, μέσω της παραμέτρου β, τεκμηριώνεται το ότι στα συγκεντρωμένα κυκλώματα, η τάση και το ρεύμα μπορούν να θεωρηθούν συναρτήσεις μόνον του χρόνου; 5. Να δοθεί ο ορισμός της αντίστασης (x) σε τυχαίο σημείο της γραμμής μεταφοράς. 6. Να δοθεί ο ορισμός της αντίστασης εισόδου in (x). 7. Να δοθεί ο ορισμός του συντελεστή ανάκλασης τάσης ρ v (x). Να δοθεί η τιμή του ρ v (x) συναρτήσει των αντιστάσεων Ζ και για τυχαία τιμή του x καθώς και στο φορτίο (x = 0). 8. Ο συντελεστής ανάκλασης τάσης ρ v (x) είναι, γενικά, πραγματική ή μιγαδική ποσότητα; (H απάντηση να τεκμηριωθεί με βάση μαθηματικό τύπο). 9. Να δοθεί η έκφραση για τη χαρακτηριστική εμπέδηση. Τι εκφράζει η (σε σχέση και με την αντίσταση εισόδου in ); 10. Να αναφερθούν δύο λόγοι για τους οποίους δεν είναι επιθυμητή η ύπαρξη ανακλώμενων κυμάτων σε γραμμή μεταφοράς. 11. Τι σημαίνει ο όρος «προσαρμογή γραμμής μεταφοράς»; Σε μια προσαρμοσμένη γραμμή, ποια η τιμή των συντελεστών ρ v (x) και ρ i (x); Παραδείγματα Παράδειγμα 1 Δίνεται γραμμή μεταφοράς με τα πιο κάτω χαρακτηριστικά: Μήκος: l= 4 m. Aντίσταση αγωγών: R= 1 Ω/m Αυτεπαγωγή αγωγών: = 100 μh/m Αγωγιμότητα διαχωριστικού υλικού: G= 100 μs/m Xωρητικότητα διαχωριστικού υλικού: C= 0,01 μf/m Αντίσταση φορτίου: Ζ = 00 Ω Συχνότητα λειτουργίας: f s = 1 MHz Γερ. Κ. Παγιατάκης: Γραμμές Μεταφοράς.1

(α) Να υπολογιστεί η χαρακτηριστική εμπέδηση Ζ της γραμμής. (β) Nα υπολογιστεί ο κυματικός συντελεστής γ = α + jβ. (γ) Να υπολογιστεί η απόσταση d 1/e στην οποία τα πλάτος της προσπίπτουσας 1 κυματομορφής μειώνεται στο της αρχικής του τιμής. e (δ) Να υπολογιστεί ο συντελεστής ανάκλασης (τάσης) ρ v της γραμμής. Λύση Προκαταρκτικοί υπολογισμοί: ω. = (π.10 6 ).(100.10-6 ) = π.10 Ω/m ω.c = (π.10 6 ).(0,01.10-6 ) = π.10 - Ω/m (α) Ζ = R G jω jc 1 j.. 10 10 j.. 10 = 4 4 4 10 (10 j.. 10 10 j.. 10 = 4 = 10 Ζ =100 Ω ( 5 ) (β) γ = -4 - -4 (R jω)(g jωc) = (1 j.π10 )(10 jπ10 ) = (1 j.π10 )10 (1 jπ10 ) = = 10 - (1+ j.π.10 ) γ = α + j.β = (0,01 + j.π) m 1 (γ) Πρέπει e αd = e 1 αd 1/e = 1 d 1/e = α 1 = 100 m (δ) ρ v ρ v (0) = - ρ v = 1/3 Ασκήσεις Καψάλης Χ., Κωττής Π., Κεραίες Ασύρματες Ζεύξεις: Ασκήσεις Π.1.5.1, Π.1.5.3..6. Παραπομπές Καψάλης Χ., Κωττής Π., Κεραίες Ασύρματες Ζεύξεις (ενότητα Π.1.). Σταθόπουλος Ν., Γραμμές Μεταφοράς Σημειώσεις (ενότητες 1.31.5) 5 Υπενθυμίζεται ότι σε γραμμές μεταφοράς με απώλειες, η χαρακτηριστική εμπέδηση είναι, γενικά, μιγαδική. Γερ. Κ. Παγιατάκης: Γραμμές Μεταφοράς.13

3. ΓΡΑΜΜΕΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΧΩΡΙΣ ΑΠΩΛΕΙΕΣ 1 3.1. Γενικά Σε πολλές γραμμές μεταφοράς, ισχύει ότι ω >> R και ωc >> G (3.1) Σε μια τέτοια γραμμή, μπορεί, με καλή προσέγγιση, να υποτεθεί ότι R = 0 και G = 0 (3.) δηλαδή ότι η γραμμή αποτελείται από ιδανικούς αγωγούς και τέλειο μεταξύ τους διηλεκτρικό (μονωτικό) υλικό. Η υπόθεση αυτή (που ουσιαστικά ισοδυναμεί με την παραδοχή ότι η υπόψη γραμμή μεταφοράς λειτουργεί χωρίς θερμικές απώλειες) απλοποιεί σημαντικά την ανάλυση που παρουσιάστηκε στο κεφάλαιο. ( ) 3.. Ανάλυση γραμμής μεταφοράς χωρίς απώλειες Στην παρούσα παράγραφο, οι κύριες εξισώσεις που προέκυψαν, κατά τη γενικευμένη ανάλυση του κεφαλαίου, προσαρμόζονται στην περίπτωση της γραμμής μεταφοράς χωρίς απώλειες (R = 0, G = 0). Mιγαδική σταθερά διάδοσης γ Θέτοντας R = 0 και G = 0 στην εξίσωση (.1), προκύπτει ότι (.1) γ = jω. C = j.β (m 1 ) (3.3) μηδενίζεται δηλαδή ο συντελεστής εξασθένησης α. Αυτό είναι κάτι που αναμενόταν, δεδομένου ότι η εμφάνιση εξασθένησης οφείλεται στις θερμικές απώλειες εξαιτίας της 1 Ο αναγνώστης παραπέμπεται και στο βιβλίο: Κωττής Π., Καψάλης Χ., Κεραίες Ασύρματες Ζεύξεις (Παράρτημα 1, ενότητα Π.1.3). Οι προϋποθέσεις (3.1) ικανοποιούνται συνήθως στις υψηλές συχνότητες στις οποίες οι γραμμές μεταφοράς μεταφέρουν διαμορφωμένα σήματα. Αντίθετα, όταν οι γραμμές μεταφέρουν τα σήματα πληροφορίας χωρίς διαμόρφωση (όπως π.χ. στο συνδρομητικό μέρος του τηλεφωνικού δικτύου) οι σχέσεις (3.1) δεν ισχύουν. Γερ. Κ. Παγιατάκης: Γραμμές Μεταφοράς 3.1

αντίστασης R των αγωγών και της αγωγιμότητας G του διηλεκτρικού οι οποίες θεωρούνται ότι έχουν μηδενιστεί. Χαρακτηριστική αντίσταση Ζ Θέτοντας R = 0 και G = 0 στην εξίσωση (.17), προκύπτει ότι (.17) Ζ = C (Ω) (3.4) δηλαδή η χαρακτηριστική εμπέδηση Ζ γίνεται καθαρά ωμική. Ταχύτητα φάσης υ φ υ φ = β ω = 1 c C ε r (m/s) (3.5) Τάση v(x,t) και ρεύμα i(x,t) Θέτοντας α = 0 (όπως προκύπτει για R = 0 και G = 0) στις εξισώσεις (.19) και (.0), προκύπτει ότι Φασιθέτες V(x), I(x) V(x) = V (1 + ).e jβx + V (1 ).e jβx = V π.e jβx + V α.e jβx (3.6) Ι(x) = V (1 + ).e jβx + V ( 1 + ). e jβx = V π e jβx V α e jβx (3.7) Τιμές v(x,t), i(x,t) v(x,t) = Re{V(x).e jωt } V = Re{ (1 + ).e (jβx+jωt) + = Re{V π.e j(βx+ωt) + V α.e j(βx+ωt) } V (1 ).e (jβx+jωt) } = V π..cs(βx+ωt+φ π ) + V α.cs(βx+ωt+φ α ) (3.8) Γερ. Κ. Παγιατάκης: Γραμμές Μεταφοράς 3.

i(x,t) = Re{I(x).e jωt } V π = Re{.e j(βx+ωt) V α.e j(βx+ωt) } V π = Re{.e j(φ π φ zο ).e j(βx+ωt) V α {.e j(φ α φ zο ).e j(βx+ωt) } V π V α =.cs(βx+ωt+φπ φ z ).cs(βx+ωt+φα φ z ) (3.9) δηλαδή, όπως φαίνεται και από τις εξισώσεις (3.8) και (3.9), τα διαδιδόμενα κύματα τάσης και ρεύματος (προσπίπτοντα και ανακλώμενα) έχουν σταθερά (και όχι μειούμενο) πλάτη V π V ( V π, V α για την τάση και, α για το ρεύμα). Αυτό είναι κάτι που αναμενόταν, δεδομένου ότι η μείωση του πλάτους οφείλεται στις θερμικές απώλειες εξαιτίας της αντίστασης των αγωγών και της αγωγιμότητας του διηλεκτρικού (οι απώλειες εδώ εκλείπουν σύμφωνα και με όσα διατυπώθηκαν στην παράγραφο 3.1. Συντελεστές ανάκλασης ρ v (x) και ρ i (x) (.35) (με α = 0) ρ v (x) = e jβ.x = ρ i (x) (3.10) Η τιμή των συντελεστών ανάκλασης στο φορτίο της γραμμής (x = 0) δίνεται (όπως και στην περίπτωση της γενικευμένης ανάλυσης - εξισώσεις (.38), (.39)) από τους τύπους: ρ v ρ v (0) = (3.11) ρ i ρ i (0) = ρ v (3.1) Ορισμένες ενδιαφέρουσες περιπτώσεις φαίνονται στον παρακάτω πίνακα (βλέπε και σχήμα 3.1): Γερ. Κ. Παγιατάκης: Γραμμές Μεταφοράς 3.3

Προσαρμογή (Ζ = Ζ ) Βραχυκυκλωμένο (Ζ = 0) φορτίο ρ v ρ i V(x) - εξίσωση (3.5) I(x) - εξίσωση (3.6) 0 0 V e jβx V jβx e (μόνο προσπίπτον) (μόνο προσπίπτον) 1 +1 V π e jβx V π e jβx = Vπ jβx V e + π jβx e = = j.v π.sin(βx) Ανοικτοκυκλωμένο φορτίο (Ζ = ) Vπ cs(βx) +1 1 V π e jβx + V π e jβx = Vπ jβx e =.V π.cs(βx) Vπ jβx e = Vπ j sin(βx) Πίνακας 3.1: Τιμές των συντελεστών ανάκλασης τάσης (ρ v ) και ρεύματος (ρ i ) στο φορτίο (x=0) για συγκεκριμένες τιμές της αντίστασης φορτίου Ζ προσπίπτον x (προσαρμογή δεν ρ v =0 υπάρχει ανακλώμενο κύμα προσπίπτον x ανακλώμενο ρ v =-1 Προσπίπτον και ανακλώμενο έχουν ίσα πλάτη και αντίθετες φάσεις προσπίπτον ανακλώμενο Σχήμα 3.1: x ρ v =1 Προσπίπτον και ανακλώμενο έχουν ίσα πλάτη και είναι συμφασικά Γερ. Κ. Παγιατάκης: Γραμμές Μεταφοράς 3.4

Η μεταβολή της V(x) κατά μήκος της γραμμής για διάφορες τιμές του συντελεστή ανάκλασης τάσης (ρ v ) Αντίσταση Ζ(x) και αντίσταση εισόδου Ζ in γραμμής μεταφοράς Από τη (.33) με γ = j.β, προκύπτει V(x) Ζ(x) = = Ζο I(x) j. j tan(βx) tan(βx) (3.13) όπου χρησιμοποιήθηκε η σχέση: tanh(j.βx) = j.tan(βx) (Π.1) Δεδομένου ότι η αντίσταση εισόδου in της γραμμής μεταφοράς είναι η αντίσταση Ζ(x) για x = l, από την (3.13) (για x = l) προκύπτει ότι in (l) = V(l) = Ζ + j.ζ tan(βl) I(l) + j.ζ tan(βl) (3.14) Ορισμένες ενδιαφέρουσες περιπτώσεις (που προκύπτουν από τις εξισώσεις (3.13) και (3.14)) φαίνονται στους παρακάτω πίνακες: Προσαρμογή (Ζ = Ζ ) Ζ (βλ. και (.44)) (x) (εξίσ. 3.13) in (εξίσ. 3.14) Ζ (βλ. και (.44)) Βραχυκυκλωμένο φορτίο (Ζ = 0) j.ζ tan(βx) j.ζ tan(βl) Ανοικτοκυκλωμένο φορτίο (Ζ = ) j. tan(βx) j. tan(βl) Πίνακας 3.: Τιμές της αντίστασης (x) και της αντίστασης εισόδου in για συγκεκριμένες τιμές της αντίστασης φορτίου Ζ (σε γραμμές χωρίς απώλειες) Μέτρηση της ο σε γραμμή μεταφοράς (χωρίς απώλειες) Από τον παραπάνω πίνακα 3., προκύπτουν οι παρακάτω εκφράσεις για την in. Γερ. Κ. Παγιατάκης: Γραμμές Μεταφοράς 3.5

Βραχυκυκλωμένο φορτίο (Ζ = 0): in in,0 = j.ζ tan(βl) (3.15) j Ανοικτοκυκλωμένο φορτίο (Ζ = ): in in, = (3.16) tan(βl) Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη, προκύπτει ότι in,0. in, = Ζ (3.17) γεγονός που υποδηλώνει ότι ο υπολογισμός της χαρακτηριστικής εμπέδησης Ζ ο μιας γραμμής μεταφοράς είναι εφικτός μέσω της μέτρησης της αντίστασης εισόδου της γραμμής με ανοικτοκυκλωμένο και βραχυκυκλωμένο φορτίο. 3.3. Δημιουργία στασίμων κυμάτων σε γραμμή μεταφοράς 3 Γενικά περί στασίμων κυμάτων Στάσιμα κύματα γενικά δημιουργούνται από την υπέρθεση δύο οδευόντων (προς αντίθετες κατευθύνσεις) κυμάτων ίδιου πλάτους και ίδιας συχνότητας. Εστιαζόμενοι σε μεταβολές της τάσης (ίδια σχόλια μπορούν να γίνουν και για μεταβολές ρεύματος), αν v + (x,t) = V m.cs(ωt βx) και v (x,t) = V m.cs(ωt + βx) (3.18) τότε, το συνιστάμενο κύμα v(x,t) δίνεται από την εξίσωση: v(x,t) v + (x,t) + v (x,t) = V m.cs(ωt).cs(βx) (3.19) Η διαφορά ενός στάσιμου κύματος τάσης, όπως αυτό που δίνεται από την εξίσωση (3.19) και ενός οδεύοντος (όπως τα προσπίπτοντα ή ανακλώμενα κύματα τάσης της (3.18)) είναι ότι, ενώ σε ένα οδεύον κύμα, η μεταβολή της τάσης που συμβαίνει σε ένα σημείο, μεταδίδεται και προς τα γειτονικά, σε ένα στάσιμο κύμα, η τάση ή το ρεύμα μεταβάλλονται σε κάθε σημείο ανεξάρτητα. Πιο συγκεκριμένα, ενώ σε ένα οδεύον κύμα, σε κάθε σημείο, η τάση παρουσιάζει μεταβολή από V m σε +V m, σε ένα στάσιμο κύμα, στο τυχαίο σημείο x, η τάση μεταβάλλεται από V m.cs(βx ) σε +V m.cs(βx ). Η 3 Στάσιμα κύματα μπορεί να δημιουργηθούν σε οποιαδήποτε γραμμή μεταφοράς, είτε παρουσιάζει απώλειες είτε όχι. Ο λόγος που η δημιουργία στασίμων κυμάτων εξετάζεται σε συσχετισμό με γραμμές χωρίς απώλειες είναι η δυνατότητα για καλύτερη εστίαση στη φυσική σημασία και τις συνέπειες από τη δημιουργία στασίμων κυμάτων αφού εκλείπει το (πρόσθετο) θέμα της απόσβεσης. Γερ. Κ. Παγιατάκης: Γραμμές Μεταφοράς 3.6

μεταβολή αυτή μεγιστοποιείται όταν βx = n.π (κοιλίες) ενώ σε σημεία όπου βx = n.(π/), η τάση παραμένει συνεχώς μηδενική (δεσμοί). Στάσιμα κύματα σε γραμμή μεταφοράς Σε μια τυχαία γραμμή μεταφοράς (χωρίς απώλειες), μπορεί να θεωρηθεί ότι ένα «μέρος» του προσπίπτοντος κύματος (με πλάτος ρ v V π ) υπερτίθεται στο αντίθετης κατεύθυνσης (και ίδιου πλάτους ρ v V π ) ανακλώμενο κύμα, με αποτέλεσμα τη δημιουργία ενός στάσιμου κύματος. Έτσι, μπορεί να θεωρηθεί ότι στη γραμμή μεταφοράς υπάρχει ένα οδεύον κύμα (ουσιαστικά, το «εναπομείναν» προσπίπτον κύμα με πλάτος (1ρ v )V π ) και το δημιουργηθέν στάσιμο κύμα. Αυτό ισοδυναμεί με τον «εγκλωβισμό» ενός τμήματος της μεταδιδόμενης ισχύος εξαιτίας της «σύγκρουσης» του ανακλώμενου με «μέρος» του προσπίπτοντος κύματος. Ισχύουν τα εξής: (3.6) V(x) = (1 + ρ v ).V π e j.βx = (1+ ρ v.e jφ )V π.e j.βx V(x) = 1 + ρ v.e jφ. V π... V(x) = V π.{1 + ρ v.csφ + ρ v } 1/ (3.0) Ο συντελεστής { 1 + ρ v.csφ + ρ v } 1/ λαμβάνει μέγιστες και ελάχιστες τιμές για csφ = 1 και csφ = 1 αντίστοιχα. Έτσι, οι τιμές V(x) max V max = V π.{1 + ρ v } = V (1 + ).{1 + ρ v } (3.1.α) V(x) min V min = V π.{1 ρ v } = V (1 + ).{1 ρ v } (3.1.β) εκφράζουν, αντίστοιχα, τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή που μπορεί να λάβει το πλάτος της συνολικής τάσης κατά μήκος της γραμμής Μετά την παραπάνω ανάλυση (αποτέλεσμα της οποίας ήταν οι εξισώσεις (3.1.α) και (3.1.β)) μπορούν να επισημανθούν οι παρακάτω περιπτώσεις: Γερ. Κ. Παγιατάκης: Γραμμές Μεταφοράς 3.7

1η περίπτωση ( ρ v = 0): Η γραμμή μεταφοράς είναι προσαρμοσμένη οπότε δεν δημιουργείται ανακλώμενο κύμα (V α = 0). Στη γραμμή, υπάρχει μόνον ένα οδεύον κύμα (το προσπίπτον) για το πλάτος του οποίου ισχύει ότι V max = V min = V π = (σταθερό κατά μήκος της γραμμής). V (1 + ) (για ρv = 0) (3.) η περίπτωση (0 < ρ v < 1): Η γραμμή μεταφοράς δεν είναι προσαρμοσμένη οπότε δημιουργείται ανακλώμενο κύμα πλάτους ρ v V π, Στη γραμμή, υπάρχουν ένα στάσιμο και ένα οδεύον κύμα (σύμφωνα με όσα διατυπώθηκαν περί υπέρθεσης του ανακλωμένου με μέρος του προσπίπτοντος κύματος). Το συνιστάμενο κύμα (δηλαδή το διανυσματικό άθροισμα του στάσιμου και του οδεύοντος κύματος) έχει πλάτος το οποίο αυξομοιώνεται κατά μήκος της γραμμής, μεταξύ των τιμών V min και V max, όπως αυτές δίνονται από τις (3.1.α) και (3.1.β). Ενδιαφέρουσες υποπεριπτώσεις αποτελούν οι γραμμές μεταφοράς με καθαρά ωμικό ή άεργο φορτίο ( = R και = j.x, αντίστοιχα). 3η περίπτωση ( ρ v = 1 δηλαδή ρ v = +1 ή ρ v = 1): Η γραμμή μεταφοράς τερματίζεται σε ανοικτοκυκλωμένο (ρ v = +1) ή βραχυκυκλωμένο (ρ v = 1) φορτίο. Σε κάθε περίπτωση, τα πλάτη του προσπίπτοντος και του ανακλωμένου κύματος ( V π και V α = ρ v V π ) είναι ίσα οπότε στη γραμμή (σύμφωνα με όσα εκτέθηκαν στην αρχή της παραγράφου) υπάρχει μόνον ένα στάσιμο κύμα, το πλάτος του οποίου αυξομοιώνεται κατά μήκος της γραμμής, μεταξύ των τιμών V max =. V π (κοιλίες)και V min = 0 (δεσμοί) όπως αυτές δίνονται από τις (3.1) και (3.) 4 Λόγος στασίμου κύματος Ως λόγος στασίμου κύματος (standing wave rati, συντομογραφικά SWR) ορίζεται το μέγεθος: S = V V max min = 1 ρ 1 ρ V V (3.3) 4 Γενικά όπου υπάρχει προσπίπτον και ανακλώμενο κύμα, το συνιστάμενο κύμα μπορεί να θεωρηθεί ως το διανυσματικό άθροισμα είτε του προσπίπτοντος και του ανακλώμενου κύματος (όπως στις εξισώσεις (.7) και (3.8)) είτε ενός οδεύοντος (που είναι «μέρος» του προσπίπτοντος) και ενός στασίμου κύματος, σύμφωνα με όσο εκτέθηκαν στην ενότητα 3.3. Οι δύο θεωρήσεις είναι εντελώς ισοδύναμες. Γερ. Κ. Παγιατάκης: Γραμμές Μεταφοράς 3.8

Ο λόγος στασίμου κύματος είναι πραγματικός αριθμός, για το οποίο ισχύει ότι: S 1 (3.4) Χρησιμοποιώντας το λόγο στασίμου κύματος, οι τρεις περιπτώσεις που εξετάστηκαν παραπάνω μπορούν να διατυπωθούν σύμφωνα με τον παρακάτω πίνακα (βλέπε και σχήμα 3.1): ρ v S V max V min Κύμα 1η περίπτωση 0 (προσαρμογή) 1 V π V π Μόνον οδεύον (προσπίπτον) κύμα V π e j(βx+ωt) η περίπτωση 0 < ρ v < 1 (1< S < ) V π.{1+ ρ v } V π.{1+ ρ v } Στάσιμο + Οδεύον 3η περίπτωση 1 (Ζ =0 ή Ζ =). V π 0 Στάσιμο V π cs(βx)cs(ωt) Πίνακας 3.3: Περιπτώσεις δημιουργίας στασίμων κυμάτων σε γραμμή μεταφοράς (χωρίς απώλειες) 3.4. Γραμμές μεταφοράς μήκους λ/4 και λ/ 3.4.1. Η γραμμή μήκους l = λ/4 Για τη γραμμή αυτή, β.l = 4 = tan(β.l) = (3.5) Συνεπώς, από την εξίσωση (3.16), προκύπτει (με διαίρεση του αριθμητή και παρονομαστή με tan(β.l)) ότι in = (3.6) (βλ. και πίνακα 3.3). Η σχέση (3.7) ισχύει για όλες τις γραμμές μεταφοράς με μήκος l = (ν+1).(λ/4). Οι γραμμές αυτές μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως προσαρμοστικές διατάξεις παρεμβαλλόμενες μεταξύ μιας γραμμής μεταφοράς και του φορτίου της (βλ. και 4.). Γερ. Κ. Παγιατάκης: Γραμμές Μεταφοράς 3.9

3.4.. Η γραμμή μήκους l = λ/ Για τη γραμμή αυτή, β.l = = π tan(β.l) = 0 (3.7) Συνεπώς, από την εξίσωση (3.14), προκύπτει ότι in = Ζ (3.8) (βλ. και πίνακα 3.3). Η ιδιότητα αυτή των γραμμών μεταφοράς μήκους λ/ (που χαρακτηρίζει και όλες τις γραμμές μεταφοράς μήκους l = ν.(λ/)) μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τη διεξαγωγή μετρήσεων. Παραδείγματος χάριν, προκειμένου να μετρηθεί η αντίσταση εισόδου in,antenna μιας κεραίας, η κεραία αυτή μπορεί να διασυνδεθεί με μια γραμμή μεταφοράς μήκους l = ν.(λ/). Σε μια τέτοια διάταξη, η αντίσταση in,antenna συνιστά την αντίσταση φορτίου Ζ της γραμμής, η οποία όμως (λόγω του ότι η γραμμή είναι μήκους l = ν.(λ/) ισούται με την αντίσταση εισόδου in της γραμμής. Άρα, η αντίσταση in,antenna μπορεί να μετρηθεί με απλή μέτρηση της in της γραμμής. l = ν.(λ/) = in,antenna in = = in,antenna Σχήμα 3.: Μέτρηση της αντίστασης εισόδου in,antenna κεραίας με τη βοήθεια γραμμής μεταφοράς μήκους l = ν.(λ/) Γερ. Κ. Παγιατάκης: Γραμμές Μεταφοράς 3.10

3.5. Ερωτήσεις - Παραδείγματα - Ασκήσεις Ερωτήσεις 1. Τι δηλώνει ο όρος «ιδανική» γραμμή μεταφοράς (γραμμή μεταφοράς χωρίς απώλειες);. Να εξαχθεί ο τύπος της μιγαδικής σταθεράς διάδοσης γ σε γραμμή χωρίς απώλειες. 3. Να εξαχθεί ο τύπος της χαρακτηριστικής εμπέδησης σε γραμμή χωρίς απώλειες. 4. Να υπολογιστεί η εμπέδηση εισόδου in (i) σε ανοικτοκυκλωμένη (ii) σε βραχυκυκλωμένη γραμμή μεταφοράς (χωρίς απώλειες). 5. Να υπολογιστεί η εμπέδηση εισόδου in (i) σε γραμμή λ/4 χωρίς απώλειες (ii) σε γραμμή λ/ χωρίς απώλειες. 6. Να υπολογιστεί ο συντελεστής ανάκλασης ρ v στο φορτίο (i) σε ανοικτοκυκλωμένη (ii) σε βραχυκυκλωμένη γραμμή μεταφοράς (χωρίς απώλειες). 7. Ποια είναι η μορφή των κυμάτων που υπάρχουν σε μια γραμμή μεταφοράς (χωρίς απώλειες) όταν (i) ρ v = 0, (ii) 0 < ρ v < 1, (iii) ρ v = 1. 8. Να περιγραφεί μια τεχνική μέτρησης της αντίστασης εισόδου in,antenna κεραίας με τη βοήθεια γραμμής μεταφοράς μήκους λ/. Παραδείγματα Παράδειγμα 1 Δίνεται γραμμή μεταφοράς με τα πιο κάτω χαρακτηριστικά: Μήκος: l= 4 m. Aντίσταση αγωγών: R= 1 Ω/m Αυτεπαγωγή αγωγών: = 100 μh/m Αγωγιμότητα διαχωριστικού υλικού: G= 100 μs/m Xωρητικότητα διαχωριστικού υλικού: C= 0,01 μf/m Αντίσταση φορτίου: Ζ = 00 Ω Συχνότητα λειτουργίας: f s = 1 MHz Στα πλαίσια του κεφαλαίου, για την εν λόγω γραμμή, έγιναν οι παρακάτω υπολογισμοί: Ζ = 100 Ω γ = α + j.β = (0,01 + j.π) m 1 d 1/e = 1/α = 100 m ρ v = 1/3 Αγνοώντας την εξασθένηση, δεδομένου ότι β >> α, να υπολογιστούν: (α) Να υπολογιστεί το μήκος κύματος λ της κυματομορφής. (β) Να δοθεί ο τύπος της τάσης v(x,t) (Nα θεωρηθεί V π = 10 V) (γ) Να σχεδιαστούν η προσπίπτουσα και η ανακλώμενη κυματομορφή (δ) Να υπολογιστεί η τάση V(x) στη θέση x = λ. Γερ. Κ. Παγιατάκης: Γραμμές Μεταφοράς 3.11

Λύση (α) λ = π/β = 1 m (β) (3.5) v(x,t) = V(x)e jωt = (V π /).(1 + Ζ /Ζ ).e j(βx+ωt) + (V π /).(1 Ζ /Ζ ).e j(βx+ωt) v(x,t) = 5.(1 + 1/).e j(βx+ωt) + 5.(1 1/).e j(βx+ωt) v(x,t) = 7,5.e j(πx+πf.t) +,5.e j(πx+πf.t) v(x,t) = V(x)e jωt = [7,5.e j(πx) +,5.e jπx ].e j106.t (γ) λ/ λ 0,5 m 1 m (δ) V(x) = 7,5.e j(πx) +,5.e jπx V(x) = 7,5 +,5 = 10 V δεδομένου ότι για x = n.λ, ισχύει ότι e jβx = e jβx = 1 Παράδειγμα Γραμμή μεταφοράς με χαρακτηριστική εμπέδηση Ζ = 50 Ω, τερματίζεται σε αντίσταση Ζ = 50 + j.100 Ω. Να υπολογιστούν: (α) O συντελεστής ανάκλασης ρ v. (β) O λόγος στάσιμου κύματος S. Λύση (α) ρ v ρ v (0) = (β) S = 1 ρ 1- ρ v v = 5,9 = 0,5 + j.0,5 = 0,71.e j45 Ασκήσεις Καψάλης Χ., Κωττής Π., Κεραίες Ασύρματες Ζεύξεις: Ασκήσεις Π.1.5., Π.1.5.7. 3.6. Παραπομπές Καψάλης Χ., Κωττής Π., Κεραίες Ασύρματες Ζεύξεις (ενότητες Π.1., Π.1.3). Σταθόπουλος Ν., Γραμμές Μεταφοράς Σημειώσεις (Κεφάλαιο ) Γερ. Κ. Παγιατάκης: Γραμμές Μεταφοράς 3.1

4. ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΓΡΑΜΜΗΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ 1 4.1. Τεχνικές προσαρμογής: Γενική θεώρηση Η προσαρμογή της γραμμής μεταφοράς προς το φορτίο της (δηλαδή η ικανοποίηση της απαίτησης Ζ =Ζ ), επιδιώκεται στη συντριπτική πλειοψηφία των σχετικών εφαρμογών. Επειδή όμως, στις περισσότερες εφαρμογές, το μεν φορτίο είναι δεδομένο (π.χ. μια κεραία με καθορισμένα χαρακτηριστικά) η δε δυνατότητα επιλογής γραμμών μεταφοράς είναι περιορισμένη (τόσο οι ομοαξονικές όσο και οι δισύρματες γραμμές είναι συνήθως τυποποιημένες), δημιουργείται η ανάγκη για εφαρμογή τεχνικών με σκοπό την επίτευξη της προσαρμογής μεταξύ γραμμής και φορτίου. Οι κυριότερες τεχνικές που χρησιμοποιούνται είναι η χρήση τετράπολων κυκλωμάτων και η χρήση στελεχών. 4.. Η χρήση τετράπολων κυκλωμάτων Όταν ένα τετράπολο κύκλωμα παρεμβάλλεται μεταξύ της γραμμής μεταφοράς και του φορτίου (βλέπε και σχήμα 4.1), η γραμμή μεταφοράς βλέπει, πλέον, ως φορτίο, την αντίσταση εισόδου Ζ in,4 του τετραπόλου. Άρα, για να επιτυγχάνεται προσαρμογή, θα πρέπει να ισχύει ότι Ζ in,4 = (4.1) Τετράπολα κυκλώματα που χρησιμοποιούνται συνήθως είναι μετασχηματιστές (ιδιαίτερα αν το φορτίο είναι μια ενισχυτική διάταξη), τετράπολα τοπολογίας «Τ» ή «Π» ή γραμμές μεταφοράς μήκους λ/4. Σύμφωνα με την εξίσωση (3.7) και τον πίνακα 3.3, μια γραμμή μεταφοράς μήκους λ/4 έχει εμπέδηση εισόδου in,λ/4 = ο,λ/4 (4.) 1 Αν και οι τεχνικές προσαρμογής εφαρμόζονται ανεξάρτητα από το αν η γραμμή μεταφοράς μπορεί να θεωρηθεί με ή χωρίς απώλειες, οι σχετικοί υπολογισμοί (ιδιαίτερα αυτοί της ενότητας 4.3) αφορούν γραμμές μεταφοράς χωρίς απώλειες. Γερ. Κ. Παγιατάκης: Γραμμές Μεταφοράς 4.1

και, δεδομένου ότι θα πρέπει Ζ in,λ/4 = (4.3) εύκολα προκύπτει ότι η χαρακτηριστική εμπέδηση Ζ ο,λ/4 της γραμμής λ/4 θα πρέπει να ικανοποιεί την εξίσωση Ζ ο,λ/4 =. (4.4) Τετράπολο ~ Ζ Ζ x=-l Ζ in,4= Ζ (α) ~ Ζ Γραμμή λ/4 Ζ x=-l Ζ in,λ/4 =Ζ (β) Σχήμα 4.1: Προσαρμογή γραμμής μεταφοράς στο φορτίο της με χρήση τετράπολου κυκλώματος: (α) Η γενική περίπτωση (β) Χρήση γραμμής μεταφοράς μήκους λ/4 4.3. Η χρήση στελεχών Γερ. Κ. Παγιατάκης: Γραμμές Μεταφοράς 4.

Στελέχη (stubs) είναι βραχυκυκλωμένες γραμμές μεταφοράς, χαρακτηριστικής εμπέδησης ίσης με αυτήν της αρχικής γραμμής που παρεμβάλλονται στην (είτε σε σειρά είτε παράλληλα) μεταξύ πηγής και φορτίου της αρχικής γραμμής (σχήμα 4.). Σε μια τέτοια περίπτωση, το ζητούμενο είναι ο προσδιορισμός του μήκους s του στελέχους και της απόστασης d που αυτό πρέπει να έχει από το φορτίο Ζ της γραμμής, ώστε να επιτυγχάνεται προσαρμογή. 1η περίπτωση: Το στέλεχος παρεμβάλλεται σε σειρά Στην περίπτωση αυτή, για να υπάρχει προσαρμογή πρέπει να ικανοποιείται η σχέση: Ζ ttal (x=d) (x=d) + in,stub = Ζ (4.5) όπου Ζ ttal (x=d) η συνολική αντίσταση στο σημείο x=d, (x=d) η αντίσταση στο σημείο x=d της αρχικής γραμμής (χωρίς να λαμβάνεται υπόψη η παρουσία του στελέχους), in,stub η αντίσταση εισόδου του στελέχους (stub) και η χαρακτηριστική εμπέδηση της αρχικής γραμμής. Δεδομένου ότι από την προσαρμογή των εξισώσεων (3.14) και (3.15), προκύπτει ότι: (x=d) = Ζ ο + j.ζ ο tan(βd) (4.6) + j.ζ tan(βd) in,stub = j.ζ ο tan(βs) (4.7) η απαίτηση (4.5) γίνεται: Ζ ο + j.ζ ο tan(βd) + j.ζ ο tan(βs) = Ζ ο (4.8) + j.ζ tan(βd) Από την εξίσωση του πραγματικού και του φανταστικού μέρους της παραπάνω μιγαδικής εξίσωσης, προκύπτουν οι τιμές του μήκους s του στελέχους και της απόστασης d που αυτό πρέπει να έχει από το φορτίο Ζ της γραμμής, ώστε να επιτυγχάνεται προσαρμογή. Οι σχετικοί υπολογισμοί φαίνονται αμέσως παρακάτω: Στην (4.8), ο παράγοντας Ζ ο, κοινός σε όλους τους όρους της εξίσωσης, μπορεί να απαλειφθεί. Επίσης, δεδομένου ότι στην εξίσωση (4.8) οι άγνωστοι d και s εμφανίζονται υπό τη μορφή tan(βd) και tan(βs), για λόγους ευκολίας, υιοθετείται ο συμβολισμός Γερ. Κ. Παγιατάκης: Γραμμές Μεταφοράς 4.3

tan(βd) = ε tan(βs) = ξ (4.9) οπότε η εξίσωση (4.6) γράφεται ως + j.ζ ο.ε + j.ξ = 1 (4.10) + j.ζ.ε Στη συνέχεια, η αντίσταση φορτίου γράφεται υπό την ανηγμένη μορφή = z Ζ ο, οπότε, με απαλοιφή, στο κλάσμα του αριστερού μέλους, του όρου Ζ ο (που εμφανίζεται ως κοινός παράγοντας τόσο στον αριθμητή όσο και στον παρονομαστή) η εξίσωση (4.10) γράφεται ως ή ισοδύναμα z + j.ε + j.ξ = 1 (4.11) 1 + j.z.ε z + j.ε + j.ξ z.ε.ξ = 1 + j.z.ε z.(1ε.ξ) = 1 και ε + ξ = z.ε (4.1) Το σύστημα (4.1) έχει τις εξής δύο λύσεις: ε = 1 z, ξ = 1 z z και ε = 1, ξ = z z 1 (4.13) z οπότε δεδομένου ότι, από την (4.9), tan(βd) = ε και tan(βs) = ξ, προκύπτει ότι: 1 1 1 1 1 z -1 d = tan ( ), s = tan ( ) β z β z και (4.14) 1 1 1 1 1 z -1 d = tan ( ), s = tan ( ) β z β z Η παραπάνω εξίσωση περιλαμβάνει δύο "οικογένειες" λύσεων, καθεμία από τις οποίες περιλαμβάνει τα μήκη (d,s) με τα οποία επιτυγχάνεται η προσαρμογή της γραμμής. Η επιλογή μιας συγκεκριμένης λύσης από την (4.14) γίνεται με βάση φυσικές και τεχνικές θεωρήσεις. η περίπτωση: Το στέλεχος παρεμβάλλεται παράλληλα Γερ. Κ. Παγιατάκης: Γραμμές Μεταφοράς 4.4

Εδώ, επειδή το στέλεχος παρεμβάλλεται παράλληλα, είναι βολικότερο να χρησιμοποιηθούν οι εκφράσεις για τις αγωγιμότητες. Στην περίπτωση αυτή, η μορφή των χρησιμοποιούμενων εξισώσεων είναι παρόμοια με αυτήν των εξισώσεων (4.3) έως (4.9). Εάν το στέλεχος παρεμβάλλεται παράλληλα, πρέπει να ικανοποιείται η απαίτηση: Υ ttal (x=d) Υ(x=d) + Υ in,stub = Υ (4.15) όπου Υ ttal (x=d) η συνολική αγωγιμότητα στο σημείο x=d, Υ(x=d) η αγωγιμότητα στο σημείο x=d της αρχικής γραμμής (χωρίς να λαμβάνεται υπόψη η παρουσία του στελέχους), Υ in,stub η αγωγιμότητα εισόδου του στελέχους (stub) και Υ η χαρακτηριστική αγωγιμότητα της αρχικής γραμμής. Δεδομένου ότι από την προσαρμογή των εξισώσεων (3.13) και (3.14), προκύπτει ότι: Υ(x=-d) = Υ ο Υ + j.υ ο tan(βd) (4.16) Υ + j.υ tan(βd) Y in,stub = j.υ ο tan(βs) (4.17) η απαίτηση (4.13) γίνεται: Υ ο Υ + j.υ ο tan(βd) + [j.υ ο tan(βs)] = Υ ο (4.18) Υ + j.υ tan(βd) Οι τιμές των s και d προκύπτουν και εδώ από την εξίσωση του πραγματικού και του φανταστικού μέρους της παραπάνω μιγαδικής εξίσωσης. Οι σχετικοί υπολογισμοί φαίνονται αμέσως παρακάτω: Στην (4.1), ο παράγοντας Y ο, κοινός σε όλους τους όρους της εξίσωσης, μπορεί να απαλειφθεί. Επίσης, δεδομένου ότι στην εξίσωση (4.1) οι άγνωστοι d και s εμφανίζονται υπό τη μορφή tan(βd) και tan(βs), για λόγους ευκολίας, υιοθετείται ο συμβολισμός tan(βd) = ε tan(βs) = ξ (4.19) οπότε η εξίσωση (4.8) γράφεται ως Υ + j.υ ο.ε j.ξ = 1 (4.0) Υ + j.υ.ε Γερ. Κ. Παγιατάκης: Γραμμές Μεταφοράς 4.5

Στη συνέχεια, η αγωγιμότητα φορτίου γράφεται υπό την ανηγμένη μορφή Υ = y Υ ο, οπότε, με απαλοιφή, στο κλάσμα του αριστερού μέλους, του όρου Υ ο (που εμφανίζεται ως κοινός παράγοντας τόσο στον αριθμητή όσο και στον παρονομαστή) η εξίσωση (4.10) γράφεται ως ή ισοδύναμα y + j.ε j.ξ = 1 (4.1) 1 + j.y.ε y + j.ε j.ξ + y.ε.ξ = 1 + j.y.ε y.(1 + ε.ξ) = 1 και ε ξ = y.ε (4.) Το σύστημα (4.) έχει τις εξής δύο λύσεις: ε = 1, 1- y ξ = y y και ε = 1, ξ = y 1- y (4.3) y οπότε δεδομένου ότι, από την (4.9), tan(βd) = ε και tan(βs) = ξ, προκύπτει ότι: 1 1 1 1 1 1- y d = tan ( ), s = tan ( ) β y β y και (4.4) 1 1 1 1 1 1- y d = tan ( ), s = tan ( ) β y β y Η παραπάνω εξίσωση περιλαμβάνει δύο "οικογένειες" λύσεων, καθεμία από τις οποίες περιλαμβάνει τα μήκη (d,s) με τα οποία επιτυγχάνεται η προσαρμογή της γραμμής. Η επιλογή μιας συγκεκριμένης λύσης από την (4.4) γίνεται με βάση φυσικές και τεχνικές θεωρήσεις. Γερ. Κ. Παγιατάκης: Γραμμές Μεταφοράς 4.6

s d Ζ in ~ Ζ Ζ x=-l x=-d Ζ tt (x=-d) x=0 (α) s ~ Ζ in Ζ Υ ο Ζ x=-l x=-d Υtt(x=-d) x=0 (β) d Σχήμα 4.: Προσαρμογή γραμμής μεταφοράς στο φορτίο της με χρήση στελέχους (α) Σύνδεση στελέχους σε σειρά (β) Σύνδεση στελέχους παράλληλα 4.4. Ερωτήσεις - Παραδείγματα - Ασκήσεις Ερωτήσεις 1. Να περιγραφεί (με αναφορά μόνο στη βασική εξίσωση) η προσαρμογή γραμμής μεταφοράς με χρήση τετραπόλων.. Να περιγραφεί (με αναφορά μόνο στη βασική εξίσωση) η προσαρμογή γραμμής μεταφοράς με χρήση στελέχους (σε σειρά). 3. Να αποδειχθούν οι σχέσεις (4.) και (4.4). Γερ. Κ. Παγιατάκης: Γραμμές Μεταφοράς 4.7

Παραδείγματα Παράδειγμα 1 Δίνεται γραμμή μεταφοράς, που (πρακτικά) λειτουργεί χωρίς απώλειες και η οποία έχει συντελεστή μεταβολής φάσης β =.π (m 1 ), χαρακτηριστική εμπέδηση Ζ ο = 100 Ω και φορτίο Ζ = 00 Ω. Να υπολογιστεί η θέση d και το μήκος s στελέχους προσαρμογής, χαρακτηριστικής εμπέδησης Ζ ο που τοποθετείται εν σειρά προς το φορτίο. Λύση tt = A,line + A,stub Λαμβάνοντας υπόψη ότι το στέλεχος είναι βραχυκυκλωμένο, προκύπτει ότι tt = Ζ + j.ζ tan(βd) + j.ζ tan(βd) + j.ζ tan(βs) Λαμβάνοντας υπόψη ότι στο συγκεκριμένο παράδειγμα =., προκύπτει ότι tt = Ζ + j.ζ tan(βd) + j.ζ tan(βd) + j.ζ tan(βs) άρα, μετά τις απλοποιήσεις, tt = Ζ { + j. tan(βd) + j.tan(βs) } 1 + j. tan(βd) Πρέπει tt = ο, συνεπώς + j. tan(βd) + j.tan(βs) = 1 1 + j. tan(βd) Οι πράξεις διευκολύνονται αν τεθεί tan(βd) = χ, tan(βs) = ψ. Τότε, Γερ. Κ. Παγιατάκης: Γραμμές Μεταφοράς 4.8

+ j.χ + j.ψ = 1 + j.χ +j.ψ χ.ψ = 1 1 + j.χ 1 + j.χ Εξισώνοντας τα πραγματικά και τα φανταστικά μέρη αριθμητή και παρονομαστή προκύπτει τελικά το σύστημα εξισώσεων.χ.ψ = 1 και χ+ψ = 0 με λύσεις τις χ = ψ = 1/ Συνεπώς είτε tan(βd) = tan(βs) = 1/ βd = βs = tan -1 (1/) = 0,6 rad d = s = 0,10 m είτε tan(βd) = tan(βs) = 1/ βd = βs = tan -1 (1/) = (π0,6) rad d = s = 0,40 m Παράδειγμα Δίνεται γραμμή μεταφοράς, που (πρακτικά) λειτουργεί χωρίς απώλειες και η οποία έχει συντελεστή μεταβολής φάσης β =.π (m -1 ), χαρακτηριστική εμπέδηση Ζ ο = 100 Ω και φορτίο Ζ = 00 Ω. Να υπολογιστεί η θέση d και το μήκος s στελέχους χαρακτηριστικής εμπέδησης Ζ ο που τοποθετείται παράλληλα προς το φορτίο. Λύση Υ tt = Υ A,line + Υ A,stub Λαμβάνοντας υπόψη ότι το στέλεχος είναι βραχυκυκλωμένο, προκύπτει ότι Y tt = Y Y + j.y tan(βd) Y + j.y tan(βd) + j.y / tan(βs) Λαμβάνοντας υπόψη ότι στο συγκεκριμένο παράδειγμα Y =.Y, προκύπτει ότι Y tt = Y Y + j.y tan(βd) Y + j.y tan(βd) + j.y / tan(βs) Γερ. Κ. Παγιατάκης: Γραμμές Μεταφοράς 4.9

άρα, μετά τις απλοποιήσεις, Y tt = Y { 1 + j.tan(βd) + j / tan(βs) } + j. tan(βd) Πρέπει Y tt = Y ο, συνεπώς 1 + j.tan(βd) + j / tan(βs) = 1 + j. tan(βd) Οι πράξεις διευκολύνονται αν τεθεί tan(βd) = χ, tan(βs) = ψ. Τότε, 1 + j.χ + j/ψ = 1 ψ + j.χ.ψ j + χ = 1 + j. χ ψ + j.χψ Εξισώνοντας τα πραγματικά και τα φανταστικά μέρη αριθμητή και παρονομαστή προκύπτει τελικά το σύστημα εξισώσεων χ.ψ = και χ+ψ = 0 με λύσεις τις χ = ψ = Συνεπώς είτε tan(βd) = tan(βs) = βd = βs = tan 1 ( ) = 0,95 rad d = s = 0,15 m είτε tan(βd) = tan(βs) = βd = βs = tan 1 ( ) = (π0,95) rad d = s = 0,35 m 4.5. Παραπομπές Καψάλης Χ., Κωττής Π., Κεραίες Ασύρματες Ζεύξεις (ενότητα Π.1.4). Γερ. Κ. Παγιατάκης: Γραμμές Μεταφοράς 4.10

5. ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΜΕ ΤΟ ΧΑΡΤΗ SMITH 5.1. Γενικά Ο χάρτης Smith (που επινοήθηκε από τον P. H. Smith το 1939) είναι μια γραφική μέθοδος επίλυσης προβλημάτων γραμμών μεταφοράς. Η βασική αρχή της μεθόδου είναι η χρήση του μιγαδικού επιπέδου του συντελεστή ανάκλασης τάσης ρ v (x) = ρ v (x).e jφ που ουσιαστικά μεταφράζεται στη χρήση ενός κύκλου μοναδιαίας ακτίνας στον οποίο έχουν περιληφθεί οι σημαντικότερες πληροφορίες που χαρακτηρίζουν μια γραμμή μεταφοράς. Στην περιγραφή του χάρτη Smith που ακολουθεί, οι γραμμές μεταφοράς υποτίθεται ότι δεν παρουσιάζουν απώλειες. Υπό την έννοια αυτή, ισχύει η θεωρητική ανάλυση του κεφαλαίου 3, από την οποία τονίζονται τα εξής δύο βασικά σημεία: Σύμφωνα με την (3.4), η χαρακτηριστική εμπέδηση Ζ ο της γραμμής είναι καθαρά ωμική. Το μέτρο ρ v (x) του συντελεστή ανάκλασης λαμβάνει τιμές από 0 έως 1. Επίσης, στην παράγραφο 5., χρησιμοποιείται η έννοια της ανηγμένης αντίστασης φορτίου z που ορίζεται ως ακολούθως: z R X j r j.x (5.1) όπου στο τελευταίο μέλος χρησιμοποιείται το γεγονός ότι η Ζ ο είναι ωμική. 5.. Περιγραφή και χρήση του χάρτη Smith Ο χάρτης Smith (σχήμα 5.1) είναι ουσιαστικά ένας κύκλος μοναδιαίας ακτίνας, στον οποίο έχουν σχεδιαστεί ομάδες κύκλων. Η πρώτη (της οποίας η κύκλοι εφάπτονται στο δεξί άκρο της οριζόντιας διαμέτρου) αναπαριστά το πραγματικό μέρος r της ανηγμένης αντίστασης φορτίου ενώ η δεύτερη (της οποίας οι κύκλοι είναι ορθογώνιοι προς τους κύκλους της πρώτης) το φανταστικό x. Τα βήματα που ακολυθούνται για την επίλυση ενός προβλήματος γραμμής μεταφοράς με χρση του χάρτη Smith είναι τα παρακάτω: Γερ. Κ. Παγιατάκης: Γραμμές Μεταφοράς 5.1

Βήμα 1ο: Εφαρμόζουμε την εξίσωση (5.1). Βήμα ο: Στο χάρτη του Smith εντοπίζουμε το σημείο που αντιστοιχεί στην τομή των κύκλων r και x. Αν το φορτίο είναι επαγωγικό (x > 0), αναζητούμε την τομή στο θετικό ημικύκλιο ενώ αν το φορτίο είναι χωρητικό (x < 0), στο αρνητικό. Βήμα 3ο: Από το κέντρο του χάρτη του Smith, φέρουμε ευθύγραμμο τμήμα που καταλήγει στην παραπάνω τομή των κύκλων. Το μέτρο του τμήματος αυτού και η γωνία του ως προς την οριζόντια διάμετρο αναπαριστούν (αντίστοιχα) το μέτρο και τη φάση του συντελεστή ανάκλασης ρ v. Βήμα 4ο: Πάνω στην οριζόντια διάμετρο του χάρτη του Smith και από το κέντρο του, φέρουμε ευθύγραμμο τμήμα μήκους ίσου με αυτό για το συντελεστή ανάκλασης ρ v. Ο αριθμός που διαβάζουμε στο άκρο του ευθύγραμμου τμήματος είναι ο λόγος στασίμου κύματος S. x =1,0 x =0,6 ρ r =1,0 r =,0 S Σχήμα 5.1: Χάρτης Smith Γερ. Κ. Παγιατάκης: Γραμμές Μεταφοράς 5.

5.3. Παραδείγματα Παράδειγμα 1 Δίνεται γραμμή μεταφοράς με χαρακτηριστική εμπέδηση Ζ ο = 50 Ω και αντίσταση φορτίου Ζ = 50 + j.100 Ω. Να υπολογιστούν με τη βοήθεια του χάρτη Smith: (α) Ο συντελεστής ανάκλασης ρ v. (β) O λόγος στασίμου κύματος S της γραμμής. Λύση Ανηγμένη αντίσταση φορτίου: z = Ζ = 1 +j. σημείο Α = (1,0,,0) Γερ. Κ. Παγιατάκης: Γραμμές Μεταφοράς 5.3

Παράδειγμα Δίνεται γραμμή μεταφοράς με χαρακτηριστική εμπέδηση Ζ ο = 50 Ω και συντελεστή ανάκλασης τάσης ρ v = 0,5.e j60. Να υπολογιστούν με τη βοήθεια του χάρτη Smith: (α) Η αντίσταση φορτίου Ζ = R + j.x (β) O λόγος στασίμου κύματος S της γραμμής. Λύση (α) Από τη σχεδίαση του ρ v = 0,5.e j60 προκύπτει ότι (β) S = 3. R =1 και X =1,, άρα Ζ = 50 + j.60 Ω. 5.4. Παραπομπές Σταθόπουλος Ν., Γραμμές Μεταφοράς Σημειώσεις (Κεφάλαιο 3) Γερ. Κ. Παγιατάκης: Γραμμές Μεταφοράς 5.4

6. ΟΙ ΓΡΑΜΜΕΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΩΣ ΜΕΣΑ ΜΕΤΑΔΟΣΗΣ ΣΗΜΑΤΩΝ 6.1. Γενική θεώρηση Ως μέσα μετάδοσης, οι γραμμές μεταφοράς επενεργούν στα μεταδιδόμενα σήματα κατά διάφορους τρόπους, οι κυριότεροι από τους οποίους είναι οι εξής: Προκαλούν (λόγω θερμικών απωλειών) την εξασθένηση της ισχύος του σήματος, σύμφωνα και με όσα αναφέρθηκαν στο κεφάλαιο. Παραμορφώνουν το σήμα, λόγω εξάρτησης των ηλεκτρικών παραμέτρων τους από τη συχνότητα. Η παραμόρφωση αυτή εκδηλώνεται μέσω των εξής δύο διαφορετικών μηχανισμών: Παραμόρφωση πλάτους: Ο συντελεστής εξασθένησης α (είτε μεγάλος είτε μικρός) είναι συνάρτηση της συχνότητας ω. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα την εξασθένηση των υψηλότερων συχνοτήτων με διαφορετικό ρυθμό απ' ότι οι χαμηλότερες. Το φαινόμενο είναι σημαντικό ιδιαίτερα στις επικοινωνίες ομιλίας. Παραμόρφωση φάσης: Ο συντελεστής φάσης β είναι μη γραμμική συνάρτηση της συχνότητας ω. Συνέπεια της μη γραμμικότητας του β είναι η ομαδική ταχύτητα υ g = dω/dβ να είναι συνάρτηση της συχνότητας με αποτέλεσμα οι συχνότητες του μεταδιδόμενου σήματος να φθάνουν στο δέκτη με διαφορά χρόνου. Το φαινόμενο δεν είναι τόσο σημαντικό στις επικοινωνίες ομιλίας, μπορεί όμως να επηρεάσει σοβαρά τις τηλεοπτικές εκπομπές. Προκειμένου να μην προκαλείται παραμόρφωση πλάτους και φάσης στα μεταδιδόμενα σήματα, στη γραμμή μεταφοράς, πρέπει να ικανοποιούνται οι παρακάτω απαιτήσεις: α = K 1 (συντελεστής εξασθένησης ανεξάρτητος από τη συχνότητα ω) (6.1) β = K ω (συντελεστής φάσης γραμμική συνάρτηση της συχνότητας ω) (6.) Από τις παραπάνω σχέσεις (6.1) και (6.), προκύπτει ότι οι γραμμές μεταφοράς χωρίς απώλειες (α = 0, β = ω C ) δεν προκαλούν παραμόρφωση 1. Από την εξίσωση γ = (R + jω)(g + jωc) = Ζ.Υ (σε m -1 ) (.11) 1 H σχέση β = ω C (για τις γραμμές χωρίς απώλειες) σημαίνει ότι η ταχύτητα ομάδας dω 1 υ g = είναι η ίδια για όλες τις συχνότητες αφού προκύπτει ότι υg = dβ C Γ.Κ. Παγιατάκης: Γραμμές Μεταφοράς 6.1

για τη μιγαδική σταθερά μετάδοσης, προκύπτει ότι γ = [(R + jω)(g + jωc)] 1/ = [RG ω C + jω.rc + jω.g] 1/ (6.3) Θέτοντας G = RC G = RC/ (6.4) προκύπτει ότι γ = [R C/ ω C +.jωrc] 1/ = [(R C + jω C ) ] 1/ = R C + jω C (6.5) δηλαδή ότι α = R C και β = ω C υ ω/β = 1 C (6.6) Από τις παραπάνω εξισώσεις προκύπτει ότι, εφαρμόζοντας τη συνθήκη G = RC (συνθήκη Heavyside), συντελεστής εξασθένησης α ανεξαρτητοποιείται από τη συχνότητα ω, άρα εκλείπει η παραμόρφωση πλάτους. ο συντελεστής μεταβολής φάσης (σταθερά διάδοσης) β γίνεται γραμμική συνάρτηση της συχνότητας ω, (η φασική ταχύτητα υ ανεξαρτητοποιείται από την ω) άρα εκλείπει η παραμόρφωση φάσης. Στις γραμμές μεταφοράς που χρησιμοποιούνται στο τηλεπικοινωνιακό δίκτυο, δεν ισχύει η συνθήκη του Heaviside. Στις γραμμές αυτές, οι παράμετροι R,, G, C είναι τέτοιες ώστε G < RC (6.7) Προκειμένου να ικανοποιηθεί η (6.1), υπάρχουν οι εξής εναλλακτικές λύσεις: Αύξηση της αγωγιμότητας G, που όμως θα προκαλούσε την αύξηση των απωλειών. Μείωση της αντίστασης R, που όμως προϋποθέτει την αύξηση της διατομής των αγωγών, άρα και του κόστους της γραμμής μεταφοράς. Αύξηση της αυτεπαγωγής ή μείωση της χωρητικότητας C, που όμως προϋποθέτει την αύξηση της απόστασης μεταξύ των αγωγών, άρα και του μεγέθους της γραμμής. Γ.Κ. Παγιατάκης: Γραμμές Μεταφοράς 6.

Για τους παραπάνω λόγους, για την ικανοποίηση της συνθήκης (6.3), προτιμάται η τεχνητή αύξηση της αυτεπαγωγής. Αυτή επιτυγχάνεται είτε μέσω της κάλυψης των αγωγών με αγώγιμο πλέγμα (ομοιόμορφη φόρτιση της γραμμής) είτε μέσω της προσθήκης ομοιόμορφα κατανεμημένων πηνίων κατά μήκος της γραμμής (εντοπισμένη φόρτιση ή πουπινισμός της γραμμής). Αξίζει να σημειωθεί ότι, λόγω της ιδιότητας των πηνίων να προκαλούν εξασθένηση στις υψηλές συχνότητες, η καταστολή της παραμόρφωσης πλάτους επιτυγχάνεται για σχετικά χαμηλόσυχνα σήματα. Έτσι, για τη μετάδοση σημάτων υψηλών συχνοτήτων (π.χ. στις συνδέσεις ιδιωτικών τηλεφωνικών κέντρων με κέντρα του ΟΤΕ όπου τα μεταδιδόμενα σήματα είναι τάξης Ε1 ~ Μbit/s) οι χρησιμοποιούμενες γραμμές είναι οπωσδήποτε αφόρτιστες. Στην πράξη, φορτισμένες (πουπινισμένες) γραμμές χρησιμοποιούνται σε μισθωμένες συνδέσεις, προκειμένου να καταστέλλονται οι υψηλές συχνότητες και να περιορίζεται ο θόρυβος. Τέτοιες γραμμές συνήθως χρησιμοποιούνται για τη μεταφορά δεδομένων με ρυθμούς χαμηλότερους από,4 kbit/s. 6.. Οι κύριοι τύποι τηλεπικοινωνιακών γραμμών μεταφοράς 6..1. Γενικά Όπως αναφέρθηκε και στην ενότητα 1.1, για τη μετάδοση σημάτων σε μεγάλες αποστάσεις, ως γραμμές μεταφοράς, χρησιμοποιούνται κυρίως η δισύρματη και η ομοαξονική γραμμή. Στις παραγράφους που ακολουθούν, παρουσιάζονται τα ηλεκτρικά χαρακτηριστικά των γραμμών αυτών και οι ιδιότητές τους ως μέσων μετάδοσης. 6... Δισύρματη γραμμή μεταφοράς (σχήμα 6.1) Η δισύρματη γραμμή μεταφοράς αποτελείται από δύο παράλληλους, μονωμένους μεταξύ τους, αγωγούς που βρίσκονται σε απόσταση από 1 έως μερικά cm. Η δισύρματη γραμμή είναι ισοσταθμισμένη, υπό την έννοια ότι οι δύο αγωγοί έχουν αντίθετα δυναμικά ως προς τη γη (V (x) = V 1 (x)) και συνεπώς, διαρρέονται από αντίθετα ρεύματα. Γ.Κ. Παγιατάκης: Γραμμές Μεταφοράς 6.3

Με εφαρμογή των εξισώσεων Maxwell, προκύπτουν οι παρακάτω εκφράσεις για τις ηλεκτρικές παραμέτρους της δισύρματης γραμμής: 1 ωμ R = (6.8) πa σ πσa μ b 1 ωμ = ln( ) (6.9) π a πα σ ε real 1 G = πωε (6.10) ε a imagin ln( ) b πε C = (6.11) b ln( ) a Οι παραπάνω εκφράσεις απλοποιούνται σημαντικά, όταν οι αγωγοί της γραμμής και το μεταξύ τους μονωτικό μπορούν να θεωρηθούν τέλεια (σ R = 0 και ε real = 0 G = 0). Στην περίπτωση αυτή, η χαρακτηριστική εμπέδηση Ζ ο δίνεται από τον τύπο Ζ ο = 76.lg( a b ) (6.1) αγωγός 1 a <--Μόνωση --> b αγωγός Σχήμα 6.1: Δισύρματη γραμμή μεταφοράς Επειδή η δισύρματη γραμμή είναι ευάλωτη στο θόρυβο καθώς και στις παρεμβολές από παρακείμενες γραμμές, χρησιμοποιείται σε συνεστραμμένη μορφή προκειμένου οι παραπάνω (ανεπιθύμητες) επιδράσεις να αλληλοεξουδετερώνονται. Αξίζει να σημειωθεί ότι στο συνδρομητικό τμήμα του ελληνικού τηλεφωνικού δικτύου (τηλέφωνο - υπαίθριος κατανεμητής - κέντρο), χρησιμοποιούνται σχεδόν αποκλειστικά δισύρματες γραμμές. Οι δισύρματες γραμμές τυποποιούνται σύμφωνα με τους κώδικες SWG (Standard Wire Gauge) και AWG (American Wire Gauge). Για παράδειγμα, μια δισύρματη γραμμή SWG- Γ.Κ. Παγιατάκης: Γραμμές Μεταφοράς 6.4

7 έχει διάμετρο αγωγών 0,4 mm (διατομή 0,14 mm ) και ωμική αντίσταση R = 1,63 Ω/100 m. 6..3. Ομοαξονική γραμμή μεταφοράς (σχήμα 6.) Η ομοαξονική γραμμή μεταφοράς αποτελείται από έναν εσωτερικό αγωγό ο οποίος περιβάλλεται από ένα πλαστικό μονωτικό υλικό. Ο εξωτερικός αγωγός είναι ένα μεταλλικό πλέγμα (blentage), που με τη σειρά του περιβάλλεται από ένα δεύτερο πλαστικό που μονώνει και προστατεύει το καλώδιο. Στην ομοαξονική γραμμή, ο εξωτερικός αγωγός είναι γειωμένος (η γραμμή είναι μη ισοσταθμισμένη) και χρησιμοποιείται ως αναφορά για το δυναμικό του εσωτερικού αγωγού. Με εφαρμογή των εξισώσεων Maxwell, προκύπτουν οι παρακάτω εκφράσεις για τις ηλεκτρικές παραμέτρους της ομοαξονικής γραμμής: 1 1 1 ωμ 1 1 R = ( )( ) ( ) (6.13) a b π σ πσ a t(b t) = G = C = μ b 1 1 1 ωμ ln( ) ( )( ) (6.14) π a a b π σ ε real 1 πωε (6.15) ε a imagin ln( ) b πε (6.16) b ln( ) a Οι παραπάνω εκφράσεις απλοποιούνται σημαντικά, όταν οι αγωγοί της γραμμής και το μεταξύ τους μονωτικό μπορούν να θεωρηθούν τέλεια (σ R = 0 και ε real = 0 G = 0). Στην περίπτωση αυτή, η χαρακτηριστική εμπέδηση Ζ ο δίνεται από τον τύπο Ζ ο = 138.lg( a b ) (6.17) Για ιδανικές ομοαξονικές γραμμές (σ ), οι σχέσεις (6.14) και (6.16) μεταπίπτουν στις (1.5) και (1.8) Γ.Κ. Παγιατάκης: Γραμμές Μεταφοράς 6.5

Τυπικά παραδείγματα ομοαξονικής γραμμής: Τύπος a (mm) b (mm) Ζο (Ω) RG-11/U,9 10,3 75 RG-14/U 4,5 10,3 50 b a t Σ Σχήμα 6.: Ομοαξονική γραμμή Εξωτερικός αγωγός Εσωτερικός αγωγός (πλέγμα) 6..4. Σύγκριση μεταξύ δισύρματης και ομοαξονικής γραμμής Το κύριο πλεονέκτημα της δισύρματης γραμμής είναι ο μικρός (συγκριτικά με την ομοαξονική γραμμή) συντελεστής απόσβεσης στις χαμηλότερες συχνότητες καθώς και η οικονομικότητα της κατασκευής τους. Για το λόγο αυτόν, καλώδια με δισύρματες γραμμές χρησιμοποιούνται ευρύτατα στο συνδρομητικό τμήμα του τηλεφωνικού δικτύου (σύνδεση των συνδρομητών με τον υπαίθριο κατανεμητή και στη συνέχεια με το τηλεφωνικό κέντρο). Αντίθετα στις υψηλές συχνότητες (άνω των 00 ΜΗz και μέχρι GHz) οι ομοαξονικές γραμμές παρουσιάζουν σημαντικά χαμηλότερο συντελεστή απόσβεσης, οπότε μπορούν να παράσχουν εύρος ζώνης μέχρι 400 ΜΗz. Για το λόγο αυτό, και δεδομένου ότι οι ομοαξονικές γραμμές παρέχουν πολύ καλή προστασία έναντι θορύβου και παρεμβολών, χρησιμοποιήθηκαν ευρύτατα στο ζευκτικό τηλεφωνικό δίκτυο (όπου όμως, πλέον, αντικαθίστανται από πολύ υψηλότερων επιδόσεων καλώδια οπτικών ινών) καθώς και για τη μεταφορά τηλεοπτικών σημάτων είτε σε μεγάλες αποστάσεις (τα πρώτα -αναλογικά- δίκτυα καλωδιακής τηλεόρασης, στις ΗΠΑ, χρησιμοποιούσαν ομοαξονικά) είτε για τοπικές συνδέσεις (π.χ. πομποδεκτών και κεραιών). Γ.Κ. Παγιατάκης: Γραμμές Μεταφοράς 6.6