Χρονικές σειρές 8 Ο μάθημα: Μοντέλα κινητού μέσου

Χρονικές σειρές 8 Ο μάθημα: Μοντέλα κινητού μέσου Εαρινό εξάμηνο 2018-2019 Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ Διδάσκουσα: Αγγελική Παπάνα Μεταδιδακτορική Ερευνήτρια Πολυτεχνική σχολή, Α.Π.Θ. & Οικονομικό Τμήμα, Πανεπιστήμιο Μακεδονίας http://users.auth.gr/~agpapana/ 1

Γενική μορφή μοντέλου κινητού μέσου Υ t = μ + ε t + θ 1 ε t 1 + θ 2 ε t 2 + + θ q ε t q Η τάξη q αναφέρεται στο μήκος της υστέρησης της μεταβλητής ε για την οποία υποθέτουμε ότι είναι λευκός θόρυβος. Ο όρος κινητός μέσος αναφέρεται στο γεγονός ότι η Υ t εμφανίζεται ως ένα σταθμισμένο άθροισμα των τιμών της ε t. Θα εξετάσουμε πρώτα την περίπτωση μιας MA(1) διαδικασίας. 2

Μοντέλο κινητού μέσου πρώτης τάξης ΜΑ(1) Για q = 1: Υ t = μ + ε t + θ 1 ε t 1 ή Υ t μ = ε t + θ 1 ε t 1 ή με τον συμβολισμό του τελεστή υστερήσεως L: y t = ε t + θ 1 ε t 1 y t = (1 + θ 1 L)ε t 3

Για θ 1 < 1 η σχέση y t = (1 + θ 1 L)ε t μπορεί να μετασχηματιστεί ως εξής: 1 + θ 1 L 1 y t = ε t (1 θ 1 L + θ 1 2 L 2 θ 1 3 L 3 + )y t = ε t Η σχέση αυτή μπορεί να θεωρηθεί ως μια AR( ) διαδικασία που προέκυψε από μια MA(1) διαδικασία αντιστρέφοντας τον όρο (1 + θ 1 L). Όταν αυτό είναι δυνατό, τότε η ΜΑ(1) διαδικασία είναι αντιστρέψιμη. Δηλαδή, μια ΜΑ(1) διαδικασία είναι αντιστρέψιμη αν μπορεί να διατυπωθεί ως μια AR ( ) διαδικασία. 4

Για μια ΜΑ(1) διαδικασία ισχύουν τα παρακάτω: Ε(Υ t ) = μ γ 0 = Var Y t = (1 + θ 1 2 )σ 2 γ 1 = Cov Y t, Y t 1 = θ 1 σ 2 γ s = 0 για s > 1 ρ 1 = θ 1 1+θ 1 2 γ s = 0 για s > 1 Μόνο η αυτοσυνδιασπορά και η αυτοσυσχέτιση πρώτης τάξης είναι διάφορες του μηδενός. Αυτό σημαίνει ότι η «μνήμη» της διαδικασίας δεν υπερβαίνει τη μια περίοδο. Δηλαδή, μια οποιαδήποτε παρατήρηση της μεταβλητής Υ, συσχετίζεται μόνο με τις διαδοχικές παρατηρήσεις. 5

Μοντέλο κινητού μέσου δεύτερης τάξης ΜΑ(2) Για μια ΜΑ(2) διαδικασία ισχύουν τα παρακάτω: Ε(Υ t ) = μ γ 0 = Var Y t = (1 + θ 1 2 + θ 2 2 )σ 2 γ 1 = Cov Y t, Y t 1 = (θ 1 + θ 2 θ 1 )σ 2 γ 2 = Cov Y t, Y t 2 = θ 2 σ 2 γ s = 0 για s > 2 ρ 1 = θ 1+θ 2 θ 1 1+θ 1 2 +θ 2 2 ρ 2 = θ 2 1+θ 1 2 +θ 2 2 ρ s = 0 για s > 2 6

Για να είναι αντιστρέψιμη μια ΜΑ(2) διαδικασία θα πρέπει να ισχύουν τα παρακάτω: θ 1 + θ 2 < 1 θ 1 + θ 2 < 1 1 < θ 2 < 1 Δηλαδή πρέπει να ισχύουν συνθήκες ανάλογες με αυτές που συνεπάγεται η στασιμότητα μιας AR(2) διαδικασίας. 7

Μοντέλο κινητού μέσου q τάξης, ΜΑ(q) Για μια ΜΑ(q) διαδικασία ισχύουν τα παρακάτω: Ε(Υ t ) = μ Υ t = μ + ε t + θ 1 ε t 1 + θ 2 ε t 2 + + θ q ε t q γ 0 = Var Y t = (1 + θ 1 2 + + θ q 2 )σ 2 γ s = Cov Y t, Y t s = (θ s + θ s+1 θ 1 + + θ q θ q s )σ 2 για s = 1,2, q γ s = 0 για s > q ρ s = θ s+θ s+1 θ 1 + +θ q θ q s 1+θ 1 2 + +θ q 2 για s = 1,2, q ρ s = 0 για s > q 8

ΜΑ(q) Χαρακτηριστικό πολυώνυμο του μοντέλου ΜΑ(q) 1 θ 1 λ θ 2 λ 2 θ q λ q = 0 Αντιστρεψιμότητα Πρέπει οι ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύμου να είναι εκτός του μοναδιαίου κύκλου. Στασιμότητα Πάντα στάσιμο. 9

Γενικά, οι αυτοσυνδιακυμάνσεις και επομένως η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης και μερικής αυτοσυσχέτισης μιας ΜΑ διαδικασίας προσομοιάζουν με αυτές μιας AR διαδικασίας. Ενώ η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης μιας AR διαδικασίας μπορεί να εκτείνεται στο άπειρο, η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης μιας ΜΑ διαδικασίας τερματίζεται (μηδενίζεται) μετά από q υστερήσεις. Δηλαδή η «μνήμη» της εξαντλείται μετά από q περιόδους. Αντίθετα, η συνάρτηση μερικής αυτοσυσχέτισης μιας AR(p) διαδικασίας τερματίζεται μετά από p υστερήσεις, ενώ η συνάρτηση μερικής αυτοσυσχέτισης μιας ΜΑ(q) διαδικασίας επεκτείνεται στο άπειρο. 10

Οι μερικές αυτοσυσχετίσεις (ρ ss ) μιας ΜΑ διαδικασίας μπορούν να εκφραστούν ως συναρτήσεις των αυτοσυσχετίσεων (ρ s ) με τον ίδιο τρόπο όπως και για τις AR διαδικασίες, με βάση τη σχέση R ss = Π 1 R ή ρ ss = 1 ρ 1.. ρ 1 ρ. 1. 1.... ρ. 2. ρ s 1 ρ s 2.. ρ s 1 ρ 1.. ρ s 1 ρ. 1. 1.... ρ s 2.. ρ s 1 ρ s 2.. 1 11

Για την ΜΑ(1) διαδικασία ισχύουν τα παρακάτω: ρ 1 = θ 1 1 + θ 1 2 ρ 2 = 0 ρ 11 = ρ 1 = θ 1 1 + θ 1 2 ρ 22 = 1 ρ 1 ρ 1 ρ 2 1 ρ 1 ρ 1 1 = ρ 1 2 2 2 1 ρ = θ 1 1 1 + θ 2 4 1 + θ 1 ρ 33 = ρ 1 3 1 2ρ 1 2 κ.ο.κ. 12

Παράδειγμα Έστω μια ΜΑ(1) διαδικασίας Y t = 5 + ε t 0.9ε t 1, ε t ~Ν(0,1) Με απευθείας αντικατάσταση στους τύπους έχουμε: γ 0 = Var Y t = 1 + θ 2 1 σ 2 = 1 + 0.9 2 = 1.81 γ 1 = Cov Y t, Y t 1 = θ 1 σ 2 = 0.9 γ s = 0 για s > 1 ρ 1 = ρ 11 = θ 1 1+θ 1 2 = 0.9 1.81 = 0.5, ρ 2 = 0 ρ 22 = ρ 1 2 1 ρ 1 2 = 0.33 ρ 33 = ρ 1 3 1 2ρ2 = 0.25 1 κ.ο.κ 13

Παράδειγμα Έστω μια ΜΑ(2) διαδικασίας Y t = 10 + ε t 0.7ε t 1 + 0.2ε t 2, ε t ~Ν(0,1). Είναι: γ 0 = Var Y t = 1 + θ 1 2 + θ 2 2 σ 2 = 1 + 0.7 2 + 0.2 2 = 1.53 γ 1 = Cov Y t, Y t 1 = θ 1 + θ 2 θ 1 σ 2 = 0.84 γ 2 = Cov Y t, Y t 2 = θ 2 σ 2 = 0.2 γ s = 0 για s > 2 ρ 1 = θ 1+θ 2 θ 1 1+θ 1 2 +θ 2 2 = 0.55 ρ 11 = ρ 1 = 0.55 ρ 2 = θ 2 1+θ 2 1 +θ2 = 0.13 ρ 22 = ρ 2 2 ρ 1 2 1 ρ2 = 0.25 1 ρ s = 0, για s > 2 ρ 22 = ρ 1 3 2ρ 1 ρ 2 ρ 1 ρ 2 2 1 2ρ 1 2 ρ 2 2 = 0.39 κ.ο.κ 14

Παράδειγμα Μια πραγματοποίηση της ΜΑ(1) διαδικασίας Y t = 10 + ε t + 0.9ε t 1 >> model=arima('constant',10,'ma',{0.9},'malags',[1],'variance',1); >> [Y,E] = simulate(model,100); >> plot(y) >> autocorr(y) >> parcorr(y) 15

Εκτίμηση υποδειγμάτων ΜΑ Όπως και στις αυτοπαλίνδρομες διαδικασίες, έτσι και για διαδικασίες κινητού μέσου, η τάξη του υποδείγματος (q) μπορεί να καθοριστεί από την συμπεριφορά της δειγματικής συνάρτησης αυτοσυσχέτισης. Η συνάρτηση αυτοσυσχέτιση μιας ΜΑ(q) διαδικασίας μηδενίζεται μετά από q υστερήσεις. Αυτό σημαίνει ότι οι αυτοσυσχετίσεις για s q θα είναι σημαντικές, ενώ για s > q δεν θα είναι σημαντικές. Ο έλεγχος σημαντικότητας των αυτοσυσχετίσεων μπορεί να γίνει ακριβώς με τον ίδιο τρόπο που εξηγήσαμε προηγουμένως για διαδικασίες AR. Όταν έχει καθοριστεί η τάξη της ΜΑ διαδικασίας, οι παράμετροι του υποδείγματος μπορούν να καθοριστούν από τις σχέσεις Yule-Walker (R = ΠA), οι οποίες συνδέουν τις αυτοσυσχετίσεις με τους συντελεστές αυτοπαλινδρομήσεως. Στην θέση των συντελεστών αυτοσυσχέτισης, αντικαθιστώνται οι εκτιμήσεις τους από το δείγμα. 16

Παρατήρηση Η χρησιμοποίηση της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων δεν είναι εφικτή, όπως στην περίπτωση των αυτοπαλίνδρομων διαδικασιών, γιατί η προς ελαχιστοποίηση συνάρτηση: Τ t=1 ε t 2 = Τ t=1 δεν είναι γραμμική ως προς τις παραμέτρους. (Υ t μ θ 1 ε t 1 θ q ε t q ) 2 Για παράδειγμα, για q = 1, η MA(1) διαδικασία μπορεί να γραφεί ως μια AR( ) διαδικασία: οπότε η παραπάνω σχέση γίνεται: Τ t=1 ε t 2 = Τ t=1 ε t = y t θ 1 y t 1 + θ 1 2 y t 2 θ 1 3 y t 3 + (y t θ 1 ε t 1 ) 2 = Τ t=1 (y t θ 1 y t 1 + θ 1 2 y t 2 θ 1 3 y t 3 +.. ) 2 17

Άρα δεν είναι γραμμική ως προς τις παραμέτρους και δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί η μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων. Σε αυτήν την περίπτωση, για την εκτίμηση της παραμέτρου θ 1 απαιτείται η χρήση μη γραμμικών μεθόδων. 18

Παράδειγμα Θέλουμε να εκτιμήσουμε ένα ΜΑ(1) μοντέλο με βάση ένα δοσμένο δείγμα 100 παρατηρήσεων. Τα δεδομένα κατασκευάστηκαν με βάση το μοντέλο Y t = ε t 0.7ε t 1. >> load c:\bin\yvlec8.dat >> yv = yvlec8; >> plot(yv) 19

>> autocorr(yv) >> parcorr(yv) Bounds for autocorrelation [-0.2000, 0.2000] Bounds for partial autocorrelation [-0.2010, 0.2010] Lag autocorrelation Significant 1-0.4353 Yes 2-0.0835 No 3 0.0951 No Lag autocorrelation Significant 1-0.4376 Yes 2-0.3391 Yes 3-0.1434 No 20

Μια σημαντική αυτοσυσχέτιση άρα η τάξη του ΜΑ μοντέλου είναι 1. >> [nrmsev,~,thetav,sdz,~,~,armamodel]=fitarma(xv,0,1,1) nrmsev = 0.7707 thetav = 0.8118 SDz = 1.0409 armamodel = Discrete-time MA model: y(t) = C(z)e(t) C(z) = 1-0.8118 z^-1 Parameterization: Polynomial orders: nc=1 Number of free coefficients: 1 Fit to estimation data: 22.92% (prediction focus) FPE: 1.106, MSE: 1.062 21

Άσκηση 1 Έστω η ακόλουθη στοχαστική διαδικασία Y t = 4.8 + ε t 0.6ε t 1, όπου ε t λευκός θόρυβος με διακύμανση 1. α) Να διατυπωθεί το μοντέλο με τον συμβολισμό του τελεστή υστερήσεως. β) Είναι η διαδικασία στάσιμη; γ) Είναι η διαδικασία αντιστρέψιμη; δ) Να βρεθούν ο μέσος, η διακύμανση και οι αυτοσυσχετίσεις ρ 1, ρ 2 και ρ 22. ε) Να γίνει το διάγραμμα αυτοσυσχετίσεων. Λύση 22

α) Η διαδικασία Y t = 4.8 + ε t 0.6ε t 1 είναι μια διαδικασία κινούμενου μέσου τάξης 1, ΜΑ(1), και μπορεί να διατυπωθεί ως Y t = 4.8 + ε t 0.6ε t 1 (Θέτω y t = Y t μ) y t = ε t 0.6ε t 1 y t = (1 0.6L)ε t β) Για να είναι στάσιμη μια στοχαστική διαδικασία που έχει διατυπωθεί ως γραμμικό φίλτρο πρέπει να ισχύει i=0 Y t μ = ε t + ψ 1 ε t 1 + ψ 2 ε t 2 + ψ i <, όπου ψ i οι συντελεστές στάθμισης. Εφόσον η συνθήκη αυτή ικανοποιείται για την δοσμένη διαδικασία, άρα είναι στάσιμη. 23

γ) Μια MA(1) είναι αντιστρέψιμη αν μπορεί να διατυπωθεί ως μια AR( ) διαδικασία. Για να συμβεί αυτό, πρέπει ο συντελεστής του ε t 1, δηλαδή το θ 1 πρέπει να είναι κατά απόλυτη τιμή μικρότερος του 1. Επειδή θ 1 = 0.6 < 1, άρα η διαδικασία είναι αντιστρέψιμη. Ως AR( ) διαδικασία διατυπώνεται ως εξής: Θέτω y t = Y t μ y t = θ 1 y t 1 θ 1 2 y t 2 + θ 1 3 y t 3 + ε t y t = 0.6y t 1 ( 0.6) 2 y t 2 + ( 0.6) 3 y t 3 + ε t y t = 0.6y t 1 0.6 2 y t 2 0.6 3 y t 3 + ε t 24

δ) Μέσος: μ = EY t = E 4.8 + ε t 0.6ε t 1 = 4.8 Διακύμανση: Var Y t = 1 + θ 1 2 σ 2 = 1.36 Αυτοσυσχετίσεις: ρ 1 = θ 1 1+θ 1 2 = 0.44 Οι υπόλοιπες αυτοσυσχετίσεις είναι μηδέν. Μερικές αυτοσυσχετίσεις: ρ 11 = ρ 1 = 0.44 ρ 22 = θ 1 2 1 + θ 1 2 + θ 1 4 = 0.25 ε) Διάγραμμα αυτοσυσχέτισης 25

Άσκηση 2 Έστω η ακόλουθη στοχαστική διαδικασία Y t = 2 + ε t 0.5ε t 1 + 0.2ε t 2, όπου ε t λευκός θόρυβος με διακύμανση 4. α) Να διατυπωθεί με τον συμβολισμό του τελεστή υστερήσεως. β) Είναι η διαδικασία στάσιμη; γ) Είναι η διαδικασία αντιστρέψιμη; δ) Να βρεθούν ο μέσος, η διακύμανση και οι αυτοσυσχετίσεις ρ 1, ρ 2 και ρ 22. Λύση 26

α) Η στοχαστική διαδικασία Y t = 2 + ε t 0.5ε t 1 + 0.2ε t 2 μπορεί να διατυπωθεί με τον συμβολισμό του τελεστή υστερήσεως ως εξής: Y t = 2 + ε t 0.5ε t 1 + 0.2ε t 2 (y t = Y t μ) y t = ε t 0.5ε t 1 + 0.2ε t 2 y t = (1 0.5L + 0.2L 2 )ε t β) H διαδικασία είναι στάσιμη αφού το άθροισμα των συντελεστών στάθμισης είναι μικρότερο του άπειρο ( i=0 ψ i < ). γ) Μια MA(2) διαδικασία είναι αντιστρέψιμη αν οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης 1 0.5 λ 0.2λ 2 = 0 είναι κατά απόλυτη τιμή μεγαλύτερες από την μονάδα. 27

1 + 0.5λ 0.2λ 2 = 0 0.2λ 2 0.5λ 1 = 0 Δ = 1.05, λ = 20,5 ή 4,5 Εφόσον οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης είναι κατά απόλυτη τιμή μεγαλύτερες από την μονάδα, άρα η διαδικασία είναι αντιστρέψιμη. δ) Μέσος: ΕY t = Ε 2 + ε t 0.5ε t 1 + 0.2ε t 2 = 2 Διακύμανση: Var Y t = γ 0 = 1 + θ 2 1 + θ 2 2 σ 2 = 5.16 Αυτοσυνδιακυμάνσεις: γ 1 = Cov Y t, Y t 1 = θ 1 + θ 2 θ 1 σ 2 = 2.4 γ 2 = Cov Y t, Y t 2 = θ 2 σ 2 = 0.8 γ s = 0 για s > 2 28

Αυτοσυσχετίσεις: ρ 1 = γ 1 γ 0 = 0.46 ρ 2 = γ 2 γ 0 = 0.16 ρ s = 0 για s > 2 Μερικές αυτοσυσχετίσεις: ρ 11 = ρ 1 = 0.46 ρ 22 = ρ 2 ρ 1 2 1 ρ 1 2 = 0.05 ρ 33 = ρ 1 3 2 ρ 1 ρ 2 ρ 1 ρ 2 2 1 2 ρ 1 2 ρ 2 2 = 0.47 29

Άσκηση 3 Να αποδειχθούν οι παρακάτω σχέσεις που ισχύουν : α) Ε Y t = μ β) Var Y t = γ 0 = 1 + θ 1 2 + θ 2 2 + + θ q 2 σ 2 γ) γ s = θ s + θ s+1 θ 1 + θ s+2 θ 2 + + θ q θ q s σ 2 για s = 1,, q 0 για s > q Λύση 30

Έστω μια διαδικασία κινούμενου μέσου τάξης q όπου ε t λευκός θόρυβος. Υ t = μ + ε t + θ 1 ε t 1 + θ 2 ε t 2 + + θ q ε t q α) Ε Υ t = Ε μ + ε t + θ 1 ε t 1 + θ 2 ε t 2 + + θ q ε t q = μ β) Var Υ t = γ 0 = Ε(Υ t ΕΥ t ) 2 = = Ε(ε t + θ 1 ε t 1 + θ 2 ε t 2 + + θ q ε t q ) 2 = = Ε[ε 2 t + θ 2 2 1 ε t 1 + + θ 2 2 q ε t q +2ε t θ 1 ε t 1 + θ 2 ε t 2 + + θ q ε t q + + 2ε t q 1 ε t q ] = = Ε(ε 2 t + θ 2 2 1 ε t 1 + + θ 2 2 q ε t q ) = (οι υπόλοιποι όροι είναι μηδέν) = σ 2 + θ 1 2 σ 2 + + θ q 2 σ 2 = (θ 1 2 + + θ q 2 )σ 2 31

γ) γ s = Cov Υ t, Υ t s = E Υ t EΥ t Υ t s EΥ t s = = Ε ε t + θ 1 ε t 1 + + θ q ε t q ε t s + θ 1 ε t 1 s + + θ q ε t q s = = Εε t ε t s + θ 1 ε t s 1 + + θ q ε t q s + Για s = 1: Eθ 1 ε t 1 ε t s + θ 1 ε t 1 s + + θ q ε t q s + + Eθ q ε t q s ε t s + θ 1 ε t 1 s + + θ q ε t q s γ 1 = Εε t ε t 1 + θ 1 ε t 2 + + θ q ε t q 1 + Eθ 1 ε t 1 ε t s + θ 1 ε t 2 + + θ q ε t q 1 + + Eθ q ε t q 1 ε t 1 + θ 1 ε t 2 + + θ q ε t q 1 = 2 2 2 = θ 1 Εε t 1 + θ 1 θ 2 Εε t 2 + + θ q θ q 1 Εε t q (οι υπόλοιποι όροι είναι μηδέν) = (θ 1 + θ 1 θ 2 + + θ q θ q 1 )σ 2 Ομοίως προκύπτει το γ s για s = 2,.., q. 32

Άσκηση 4 Από 100 παρατηρήσεις μιας χρονικής σειράς βρήκαμε τις 10 πρώτες αυτοσυσχετίσεις και είναι: ρ 1 =0.61, ρ 2 =0.47, ρ 3 =-0.05, ρ 4 =0.06, ρ 5 =-0.21, ρ 6 =0.11, ρ 7 =0.08, ρ 8 =0.05, ρ 9 =0.12, ρ 10 =-0.01 Θέλουμε να εξετάσουμε από ποια διαδικασία προέκυψε. Λύση Πρέπει να ελέξγουμε την συνάρτηση αυτοσυσχέτισης. Δηλαδή να βρούμε ποιες είναι οι σημαντικές αυτοσυσχετίσεις, δηλαδή ελέγχουμε την υπόθεση H 0 : ρ s = 0, H 1 : ρ s 0 Είναι: ρ s ~N(0, 1 T ), δηλαδή η Η 0 απορρίπτεται αν ρ s > 2 1 Τ = 0.2 Εφόσον υπάρχουν μόνο δύο σημαντικές αυτοσυσχετίσεις (> 0.2), άρα μπορούμε να υποθέσουμε ότι προέρχεται από διαδικασία MA(2). 33

Άσκηση 5 Να ελέξγετε ως προς την στατικότητα την σειρά (ΜΑ( )) Υ t = ε t + c(ε t 1 + ε t 2 + ) όπου c: σταθερά και ε t λευκός θόρυβος με διακύμανση σ 2. Λύση Για να ελέξγουμε την στατικότητα (ή στασιμότητα) της παραπάνω διαδικασίας, πρέπει να ελέγξουμε αν είναι σταθερά τα παρακάτω: ΕΥ t = Ε(ε t + c ε t 1 + ε t 2 + = Ε ε t + ce ε t 1 + = 0 Var Υ t = Ε Υ t ΕΥ t 2 = Ε Υ t 2 = Ε Υ t Υ t = = E ε t + c ε t 1 + ε t 2 + ε t + c ε t 1 + ε t 2 + = E ε 2 t + c 2 2 ε t 1 + c 2 2 ε t 2 + = σ 2 (1 + c 2 + c 2 + ) Μη πεπερασμένη διακύμανση, άρα η σειρά δεν είναι στάσιμη. 34

Άσκηση 6 Να ελέξγετε ως προς την στατικότητα την σειρά των πρώτων διαφορών της (ΜΑ( )): Υ t = ε t + c(ε t 1 + ε t 2 + ) όπου c: σταθερά και ε t λευκός θόρυβος με διακύμανση σ 2. Λύση Έστω η σειρά των πρώτων διαφορών: X t = Υ t Υ t 1 = ε t + c ε t 1 + ε t 2 + ε t 1 + c ε t 2 + ε t 3 + = ε t + cε t 1 + cε t 2 + ε t 1 + cε t 2 + cε t 3 + = ε t + cε t 1 ε t 1 = ε t + (c 1)ε t 1 Η σειρά που προκύπτει X t = ε t + (c 1)ε t 1 είναι μια ΜΑ(1) διαδικασία με θ 1 = c 1. Επομένως η X t είναι στάσιμη, αφου το άθροισμα των συντελεστών στάθμισης είναι μικρότερο του άπειρο. 35

Βιβλιογραφία 1. Ε. Μπόρα Σέντα, Χ. Μωυσιάδης. Εφαρμοσμένη στατιστική, Β έκδοση, Εκδόσεις Ζήτη, 1995. 2. Γ. Κ. Χρήστου. Εισαγωγή στην Οικονομετρία, Β τόμος (Γ έκδοση), Εκδόσεις Gutenberg, 2007. 3. Δ. Κουγιουμτζής. Σημειώσεις μαθήματος Χρονοσειρών. Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών, ΑΠΘ. 4. Γ.Ε. Κοκολάκης. Σημειώσεις ανάλυσης Χρονοσειρών. Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών & Φυσικών Επιστημών, Αθήνα. 36