Κεφάλαιο 7 Επικαμπύλια και Επιφανειακά Ολοκληρώματα

Επικαμπύλια Ολοκληρώματα Κεφάλαιο 7 Επικαμπύλια και Επιφανειακά Ολοκληρώματα 7. Επικαμπύλια Ολοκληρώματα και εφαρμογές. 7.. Επικαμπύλιο Ολοκλήρωμα. Έστω ότι η βαθμωτή συνάρτηση f(,y,z) είναι ορισμένη πάνω σε μία καμπύλη. r(t)=(t)i+y(t)j+z(t)k (την οποία συμβολίζουμε με ) όπου a t b Δηλαδή το παίρνει τιμές από το (t), το y παίρνει τιμές από το y(t), το z παίρνει τιμές από το z(t) όταν a t b. z ( k, yk, zk ) t a s k rt () t b O y Διαμερίζω την καμπύλη σε πεπερασμένο πλήθος τόξων με κέντρο ( k,y k,z k ) και σχηματίζω το άθροισμα n S f (, y, z ) s n k k k k k. Εάν η f(,y,z) είναι συνεχής και οι (t),y(t),z(t) έχουν συνεχείς πρώτες παραγώγους τότε, όταν ο αριθμός των τόξων τείνει στο άπειρο το άθροισμα αυτό συγκλίνει σε μία ποσότητα που ονομάζουμε Επικαμπύλιο ολοκλήρωμα συμβολίζουμε: της f(,y,z) επί της καμπύλης και f (, y, z) ds. Δηλαδή, n f (, y, z) ds lim Sn lim f ( k, yk, zk ) sk n n. k Εάν η καμπύλη είναι λεία για a t b, δηλαδή η v=/ είναι συνεχής και έχει μέτρο είναι πάντα διάφορο του, τότε b a v f (, y, z) ds f ( ( t), y( t), z( t)) ( t)

Επιφανειακά Ολοκληρώματα Ολοκληρώστε την f (, y, z) 3y z στο ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει την αρχή με το σημείο P(,,). z P(,,) O y Παραμετρικοποιούμε το ευθύγραμμο τμήμα. Το διάνυσμα uuur OP ( ) i ( ) j ( ) k i j k είναι παράλληλο στο ευθύγραμμο τμήμα. Οπότε εάν θεωρήσετε την εξίσωση ως προς σημείο αναφοράς την αρχή έχουμε την παραμετρικοποίηση t t, y t t, z t t, t οπότε r( t) ti tj tk, t. d Το διάνυσμα αυτό είναι λείο γιατί η παράγωγός του v( t) r( t) i j k είναι συνεχής γιατί όλες οι συνιστώσες έχουν συνεχείς πρώτες παραγώγους και το μέτρο της v( t) i jk 3. Οπότε (,, ) ( ( ), ( ), ( )) v( ) (,, ) 3 3 ( 3 ) f y z ds f t y t z t t f t t t t t t 3 3 (t 3 t ) 3 t t Εάν η καμπύλη ικανοποιεί... n τότε f (, y, z) ds f (, y, z) ds f (, y, z) ds... f (, y, z) ds n Ολοκληρώστε την f (, y, z) 3y z στα ευθύγραμμα τμήματα OQ, QP που φαίνονται στο ακόλουθο σχήμα:

Επικαμπύλια Ολοκληρώματα z P(,,) O y Q(,, ) Παραμετρικοποιούμε τα ευθύγραμμα τμήματα. Το διάνυσμα uuur OQ ( ) i ( ) j ( ) k i j είναι παράλληλο στο πρώτο ευθύγραμμο τμήμα. Οπότε εάν θεωρήσετε την εξίσωση ως προς σημείο αναφοράς την αρχή έχουμε την παραμετρικοποίηση t t, y t t, z t, t d οπότε r( t) ti tj, t όπου είναι λείο γιατί v( t) r( t) i j είναι συνεχής γιατί όλες οι συνιστώσες έχουν συνεχείς πρώτες παραγώγους και το μέτρο της v( t) i j. uuur Το διάνυσμα QP ( ) i ( ) j ( ) k k είναι παράλληλο στο δεύτερο ευθύγραμμο τμήμα. Οπότε εάν θεωρήσετε την εξίσωση ως προς σημείο αναφοράς το Q έχουμε την παραμετρικοποίηση t, y t, z t t, t οπότε r( t) i j tk, t. d Το διάνυσμα αυτό είναι λείο γιατί η παράγωγός του v( t) r( t) k είναι συνεχής γιατί όλες οι συνιστώσες έχουν συνεχείς πρώτες παραγώγους και το μέτρο της v( t) k. Οπότε f (, y, z) ds f (, y, z) ds f (, y, z) ds f ( t, t,) f (,, t) ( t 3t ) ( 3 t) t 3 t 3 ( t 3 t ) ( ) t t t Παρατηρούμε κάτι που ισχύει για τις περισσότερες συναρτήσεις, ότι η τιμή ενός ολοκληρώματος κατά μήκος μίας καμπύλης μεταβάλλεται εάν αλλάξουμε τη διαδρομή. Υπάρχουν συναρτήσεις που παραμένει σταθερό. 3

Επιφανειακά Ολοκληρώματα Να υπολογισθεί το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα I y z ds α) κατά μήκος της έλικας cos( t), y sin( t), z t από το A(,,) ( t ) στο B(,, ) ( t ). β) κατά μήκος του ευθύγραμμου τμήματος που συνδέει αυτά τα δύο σημεία. Λύση α) Αρχικά διαπιστώνουμε ότι η καμπύλη είναι λεία διότι η παράγωγός της έχει συνεχείς συνιστώσες και το μέτρο της cos t sin t είναι φανερά πάντα διαφορετικό από το. Οπότε cos ( ) sin ( ) I y z ds t t t t c 3 3 t 8 t 3 3 β) Θεωρούμε το διάνυσμα AB ( ) i ( ) j ( ) k i j k k Στη συνέχεια θεωρούμε την εξίσωση ως προς σημείο αναφοράς το A(,,) έχουμε την παραμετρικοποίηση t, y t, z t t, t οπότε r( t) i tk, t. d Το διάνυσμα αυτό είναι λείο γιατί η παράγωγός του v( t) r( t) k συνεχής γιατί όλες οι συνιστώσες έχουν συνεχείς πρώτες παραγώγους και το μέτρο της Οπότε v ( t) tk. (,, ) ( ( ), ( ), ( )) v( ) (,, ) ( ) f y z ds f t y t z t t f t t 3 t 8 3 t 3 3 3 7.. Μήκος Καμπύλης Αν η f(,y,z)= σταθερή τότε το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα ισούται με το μήκος της καμπύλης. Παράδειγμα μήκος καμπύλης= ds v( t) Να υπολογισθεί το μήκος της περιφέρειας της καμπύλης b a c y.

Επικαμπύλια Ολοκληρώματα Η καμπύλη είναι κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα. cos t, y sin t t. Οπότε η παραμετρική της έκφραση είναι : οπότε r( t) cost i sin t j, t όπου είναι λείο γιατί d v( t) r( t) sin ti cos t j, t είναι συνεχής γιατί όλες οι συνιστώσες έχουν συνεχείς πρώτες παραγώγους και το μέτρο της v( t) sin t cos t.. Γνωρίζουμε ότι αν η f(,y,z)= σταθερή τότε το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα ισούται με το μήκος της καμπύλης. Οπότε ds v ( t). 7..3 Υπολογισμοί μαζών και ροπών Για ελατήρια και λεπτές ράβδους που βρίσκονται πάνω σε λεία καμπύλη στο χώρο με δεδομένη συνάρτηση πυκνότητας δ(,y,z) (μάζα ανά μονάδα μήκους): Η μάζα του ελατηρίου ή της ράβδου είναι M (, y, z) ds Η πρώτη ροπή ως προς το επίπεδο y είναι (,, ) M y z y z ds Η πρώτη ροπή ως προς το επίπεδο z είναι (,, ) M z y y z ds Η πρώτη ροπή ως προς το επίπεδο yz είναι (,, ) Οι συντεταγμένες του κέντρου μάζας του συστήματος είναι Myz M M z, y, z M M M Ένα ελατήριο περιγράφεται από την ελικοειδή καμπύλη r( t) cos( t) i sin( t) j tk, t y M yz y z ds Η πυκνότητα του ελατηρίου είναι σταθερή. Βρείτε τη μάζα του και το κέντρο μάζας του. Η καμπύλη είναι λεία: d v( t) r( t) sin( t) i cos( t) j k, t, v ( t) ( sin t) (cos t) 7 8 6 M (, y, z) ds 7 7.5 -.5 - - (,) -.5.5 5

Επιφανειακά Ολοκληρώματα t (,, ) 7 7 7 M y z y z ds t t cos M z y (, y, z) ds sin t 7 7 t sin M yz (, y, z) ds cos t 7 7 Myz M M z y Οπότε, y, z M M M 7. Επικαμπύλιο Ολοκλήρωμα (β είδους). Έστω ένα διανυσματικό πεδίο F (,y,z)=m(,y,z)i+n(,y,z)j+p(,y,z)k είναι ορισμένo πάνω σε μία καμπύλη r(t)=(t)i+y(t)j+z(t)k (την οποία συμβολίζουμε με ) όπου a t b. Δηλαδή το παίρνει τιμές από το (t), το y παίρνει τιμές από το y(t), το z παίρνει τιμές από το z(t) όταν a t b. Δηλαδή ολοκληρώνουμε πάνω στην καμπύλη από το σημείο A( ( a), y( a), z( a )) στο B( ( b), y( b), z( b )). Ορίζουμε το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα β είδους του διανυσματικού πεδίου F κατά μήκος της καμπύλης μέσω του τύπου: Ισχύει: tb F F( ( t), y( t), z( t)) ta tb ta F( ( t), y( t), z( t)) tb d( t) dy( t) dz( t) M ( ( t), y( t), z( t)) i N( ( t), y( t), z( t)) j P( ( t), y( t), z( t)) k i j k ta tb d dy dz M N P Md Ndy Pdz ta To B A B A Md Ndy Pdz είναι μία διαφορική μορφή και θα ασχοληθούμε με αυτήν και αργότερα σε αυτό το κεφάλαιο. Πως υπολογίζουμε το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα β είδους. Βήμα : Υπολογίζουμε την F στην καμπύλη συνάρτηση του t. Βήμα : Υπολογίζουμε την d r (και βλέπουμε εάν η καμπύλη είναι λεία). Βήμα 3: Υπολογίζουμε τo εσωτερικό γινόμενο F Βήμα : Υπολογίζουμε τo ολοκλήρωμα t t b a F 6

Επικαμπύλια Ολοκληρώματα Βρείτε το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα του διανυσματικού πεδίου 3 F(, y, z) ( y ) i ( z y ) j ( z ) k επί της καμπύλης r( t) ti t j t k, t από το σημείο (,,) στο σημείο (,,). z P(,,) O y (,, ) Βήμα : F((t),y(t),z(t)) 3 3 6 3 6 F( t, t, t ) ( t t ) i ( t t ) j ( t t ) k i ( t t ) j ( t t ) k Βήμα : t 3t i j k Όπως βλέπουμε η καμπύλη είναι λεία διότι η παράγωγός της έχει συνεχείς συνιστώσες και το μέτρο της t 3t είναι φανερά πάντα διαφορετικό από το. Βήμα 3: 3 6 F i ( t t ) j ( t t ) k i tj 3t k 3 6 5 3 8 ( t t ) t ( t t )3t t t 3t 3t Βήμα : t t 5 3 8 5 6 9 3 3 9 F t t 3t 3t t t t t 5 6 9 6 t t 7.. Έργο εκτελούμενο από δύναμη επί καμπύλης στο χώρο. Στη φυσική το έργο ισούται με το γινόμενο της δύναμης επί τη μετατόπιση του σημείου εφαρμογής. Έστω ένα διανυσματικό πεδίο F(, y, z) M (, y, z) i N(, y, z) j P(, y, z) k που αντιστοιχεί σε μία δύναμη (βαρυτική, ηλεκτρομαγνητική ή άλλη) που δρα σε μία περιοχή του χώρου και η καμπύλη είναι λεία στο χώρο αυτό. r( t) ( t) i y( t) j z( t) k, a t b Σε ένα σημείο της καμπύλης ( ( tk ), y( tk ), z( tk )) ασκείται δύναμη F ( t ), y( t ), z( t ) M ( ( t ), y( t ), z( t )) i N( ( t ), y( t ), z( t )) j P( ( t ), y( t ), z( t )) k k k k k k k k k k k k k 7

Επιφανειακά Ολοκληρώματα z ( ( tk ), y( tk ), z( tk )) r k O t a t b F( ( t ), y( t ), z( t )) k k k y Διαμερίζω την καμπύλη σε πεπερασμένο πλήθος στοιχειωδών τόξων με αρχή ( ( tk ), y( tk ), z( t k )). Το έργο που εκτελείται από τη δύναμη επί κάθε τόξου ισούται με το γινόμενο της δύναμης επί τη στοιχειώδη μετατόπιση του σημείου εφαρμογής της πάνω στην καμπύλη. Δηλαδή W F ( t ), y( t ), z( t ) r. k k k k k Το συνολικό έργο κατά μήκος της καμπύλης ισούται με το άθροισμα n W F ( k, yk, zk ) rk. k Όταν ο αριθμός των τόξων τείνει στο άπειρο το άθροισμα αυτό συγκλίνει σε ένα επικαμπύλιο ολοκλήρωμα που αντιστοιχεί στο έργο που παράγει η δύναμη επί του τόξου της καμπύλης. Το έργο που εκτελείται από τη δύναμη επί της λείας καμπύλης από το t=α στο t=b ισούται με το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα: W F Όπως είδαμε ισχύει: tb B W F F Md Ndy Pdz ta A Βρείτε το έργο που παράγει η δύναμη έλικας F(, y, z) ( y) z 3 i j k επί της r( t) sin t i cos t j tk, t από το σημείο (,,) στο σημείο (,,π). Βήμα : F((t),y(t),z(t)) 3 F(sin t,cos t, t) sin t i cos t j t k 8

cos sin i j k Βήμα : t t Επικαμπύλια Ολοκληρώματα Όπως βλέπουμε η καμπύλη είναι λεία διότι η παράγωγός της έχει συνεχείς d συνιστώσες και το μέτρο της r cost sin t είναι φανερά πάντα διαφορετικό από το. Βήμα 3: 3 F sin ti cost j t kcost i sin t j k 3 3 sin t cos t sin t cos t sin t t sin( t) t Βήμα : t t d r 3 t F sin t t cos t t t 7..3 Συναρτήσεις Δυναμικού και Συντηρητικά πεδία Έστω ένα διανυσματικό πεδίο F(, y, z) M (, y, z) i N(, y, z) j P(, y, z) k σε ένα ανοικτό χωρίου D και έστω ότι για δύο τυχόντα σημεία α και b του χωρίου. Εάν το έργο b a F, κατά τη μετατόπιση από το α στο b, είναι πάντα το ίδιο ανεξάρτητα από τη διαδρομή που θα επιλέξουμε τότε λέμε ότι το πεδίο είναι συντηρητικό. Εάν επίσης μπορούμε να βρούμε βαθμωτή συνάρτηση f για την οποία ισχύει f f f F(, y, z) M (, y, z) i N(, y, z) j P(, y, z) k f i j k y z σε κάθε σημείο του χωρίου D, τότε η συνάρτηση f ονομάζεται συνάρτηση δυναμικού του πεδίου F στο χωρίο D. Το ηλεκτρικό δυναμικό είναι μία βαθμωτή συνάρτηση της οποίας το πεδίο κλίσεων είναι το ηλεκτρικό πεδίο και το βαρυτικό δυναμικό είναι μία βαθμωτή συνάρτηση της οποίας το πεδίο κλίσεων είναι το βαρυτικό πεδίο. Έστω ένα διανυσματικό πεδίο F(,y,z) σε ένα ανοικτό χωρίου D. Το πεδίο είναι συντηρητικό, (δηλαδή το έργο είναι ανεξάρτητο από τη διαδρομή) αν και μόνο αν υπάρχει συνάρτηση δυναμικού (δηλαδή, f f f υπάρχει f τέτοια ώστε F f i j k ). y z Οπότε σε μία τέτοια περίπτωση ισχύει: F f ( b) f ( a) b a 9

Επιφανειακά Ολοκληρώματα Για κάθε κλειστή διαδρομή στο χωρίο F αν και μόνο αν το πεδίο είναι συντηρητικό Το πεδίο F(,y,z)=M(,y,z)i+N(,y,z)j+P(,y,z)k, με συνιστώσες συναρτήσεις συνεχείς με συνεχείς παραγώγους πρώτης τάξης, είναι συντηρητικό αν και μόνο αν το πεδίο είναι αστρόβιλο. Δηλαδή πρέπει τελικά να ισχύει i j k P N P M N M F y z y z i j z y k i j k M N P η ισοδύναμα να ισχύει : P N M P N M,, y z z y Εξετάστε εάν το πεδίο F yzi zj yk είναι συντηρητικό, βρείτε τη συνάρτηση δυναμικού του και υπολογίστε το έργο κατά μήκος κάθε καμπύλης που συνδέει τα σημεία (-,3,9) και (,6,-) Παρατηρούμε ότι y z P N, y y z z yz y M P y, z z N z yz M z y y οπότε το πεδίο είναι αστρόβιλο άρα και συντηρητικό. Άρα υπάρχει f τέτοια ώστε f f f F f yzi zj yk i j k y z f f Από yz d yzd f (, y, z) yz c ( y, z) Η σταθερά ολοκλήρωσης εξαρτάται από τα y,z. Οπότε από την f c ( y, z) f (, y, z) yz c ( y, z) z όμως από τον τύπο του δυναμικού y y c συμπεραίνω ότι ( y, z ) οπότε η σταθερά ολοκλήρωσης εξαρτάται μόνο y από το z. f c ( z) Τώρα από την f (, y, z) yz c ( z) y. z z

Επικαμπύλια Ολοκληρώματα Όμως από τον τύπο του δυναμικού συμπεραίνω ότι σταθερά ολοκλήρωσης δεν εξαρτάται ούτε από το z. Δηλαδή f (, y, z) yz c και το έργο c ( ) z z οπότε τελικά,6,,3,9 F f,6, f,3,9 c ( 7 c) 3 Εξετάστε εάν το πεδίο F sin( y) cos( ) i cos( y)sin( ) j k είναι συντηρητικό, βρείτε τη συνάρτηση δυναμικού του και υπολογίστε το έργο κατά μήκος κάθε καμπύλης που συνδέει τα σημεία (,,) και (,,) Παρατηρούμε ότι cos( y)sin( ) P N, y y z z sin( y)cos( ) M P, z z N cos( y)sin( ) sin( y)cos( ) M cos( y)cos( ) y y οπότε το πεδίο είναι αστρόβιλο άρα και συντηρητικό. Άρα υπάρχει f τέτοια ώστε f f f F sin( y)cos( ) i cos( y)sin( ) j k f i j k y z Από τον τύπο του δυναμικού έχω: f f sin( y)cos( ) d sin( y)cos( ) d f (, y, z) sin( y)sin( ) c( y, z) Η σταθερά ολοκλήρωσης εξαρτάται από τα y,z. Οπότε από την f c ( y, z) f (, y, z) sin( y)sin( ) c( y, z) cos( y)sin( ) όμως από τον y y c τύπο του δυναμικού συμπεραίνω ότι ( y, z ) οπότε η σταθερά y ολοκλήρωσης εξαρτάται μόνο από το z. Τώρα από την f c( z) f (, y, z) sin( y)sin( ) c( z) z z. Όμως από τον τύπο του δυναμικού συμπεραίνω ότι c ( ) z. Ολοκληρώνοντας συμπεραίνω ότι z c( z) dz dz c ( z ) z c z.δηλαδή f (, y, z) sin( y)sin( ) z c και το έργο,,,, F f,, f,, c ( c)

Επιφανειακά Ολοκληρώματα 7.. Ακριβείς διαφορικές μορφές. Συχνά συναντάμε τα ολοκληρώματα έργου στην διαφορική μορφή: B Md Ndy Pdz A Μία τέτοια διαφορική μορφή ονομάζεται ακριβής σε χωρίο D του χώρου εάν για κάποια βαθμωτή συνάρτηση f,ορισμένη στο D, ισχύει f f f Md Ndy Pdz d dy dz df y z Η διαφορική μορφή είναι ακριβής εάν και μόνο εάν ισχύουν P N M P N M,, y z z y Μνημονικός κανόνας, Πρέπει να ισχύει i j k P N P M N M y z y z i j z y k i j k M N P Όταν η διαφορική μορφή είναι ακριβής τότε το πεδίο F(,y,z)=M(,y,z)i+N(,y,z)j+P(,y,z)k είναι συντηρητικό. Εάν ισχύουν τα παραπάνω B B B f f f Md Ndy Pdz d dy dz f f ( B) f ( A) y z A A A Οπότε εάν η διαφορική μορφή είναι ακριβής τότε αρκεί να βρούμε τη συνάρτηση δυναμικού του πεδίου που αντιστοιχεί σε αυτή και να υπολογίσουμε το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα από τη διαφορά των τιμών της συνάρτησης στα άκρα. Υπολογίστε το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα,3, 6,, d ydy zdz αφού δείξετε ότι η διαφορική μορφή d ydy zdz είναι ακριβής. Η διαφορική μορφή αυτή αντιστοιχεί στο διανυσματικό πεδίο F i yj zk το οποίο θα είναι συντηρητικό εάν η διαφορική μορφή είναι ακριβής. Θα πρέπει να ελέγξουμε εάν ισχύει i j k P N P M N M y z y z i j z y k i j k M N P P N M P N M Παρατηρούμε ότι,, y z z y οπότε η διαφορική μορφή είναι ακριβής. Άρα υπάρχει f τέτοια ώστε

f f f d ydy zdz df d dy dz y z Επικαμπύλια Ολοκληρώματα Με διαδικασία παρόμοια με αυτή του προηγούμενου παραδείγματος από f f d d f (, y, z) c( y, z) Η σταθερά ολοκλήρωσης εξαρτάται από τα y,z. Οπότε από την f c ( y, z) f (, y, z) c ( y, z) όμως από τον τύπο () συμπεραίνω ότι y y c (, ) y z y ολοκληρώνοντας βρίσκουμε y c ( y, z) dy ydy c y z y c z y Τώρα από την (, ) ( ) f c ( z) f (, y, z) y c ( z) z z c ( z) dz zdz c ( z ) z c z. Και τελικά,3, 6,, f (, y, z) y z c () όμως ολοκληρώνοντας συμπεραίνω ότι οπότε και το ολοκλήρωμα είναι ίσο με d ydy zdz f,3, 6 f,, 9 36 c ( c) 9 7..5 Ροή και κυκλοφορία. Όταν το πεδίο δεν είναι βαρυτικό αλλά το πεδίο ταχύτητας κίνησης ενός ρευστού τότε δεν μιλάμε για έργο αλλά για ροή κατά μήκος της καμπύλης και το ολοκλήρωμα ροής Ροή t t όταν η καμπύλη είναι κλειστή μιλάμε για κυκλοφορία κατά μήκος της καμπύλης. Το πεδίο ταχυτήτων ενός ρευστού είναι F(, y, z) i zj yk. Βρείτε τη ροή κατά μήκος της έλικάς Βήμα : F((t ),y(t ),z(t )) F(cos t,sin t, t) cos t t sin t b a F T ds r( t) cos t i sin t j tk, t / i j k Βήμα : sin ti cos t j k Όπως βλέπουμε η καμπύλη είναι λεία διότι η παράγωγός της έχει συνεχείς συνιστώσες και το μέτρο της d r sin t cos t είναι φανερά πάντα διαφορετικό από το. 3

Επιφανειακά Ολοκληρώματα Βήμα 3: F (cos t) i tj sin tksin ti cost j k cos t sin t t cos t sin t Βήμα : cos F costsin t t cost sin t t sin t ( ) / / Βρείτε τη κυκλοφορία του πεδίου F(, y) ( y) i j κατά μήκος του κύκλου r( t) cost i sin t j, t Βήμα : F((t ),y(t )) F(cos t,sin t) (cos t sin t) i cos t Βήμα : sin ti cost j Όπως βλέπουμε η καμπύλη είναι λεία διότι η παράγωγός της έχει συνεχείς συνιστώσες και το μέτρο της d r sin t cos t είναι φανερά πάντα διαφορετικό από το. Βήμα 3: F costsin t sin t cos t costsin t Βήμα : j t cos F costsin t t 7..6 Ροή διαμέσου κλειστής καμπύλης του επιπέδου. Θέλουμε να βρούμε το ρυθμό με τον οποίο εισέρχεται ή εξέρχεται ένα υγρό από μία περιοχή που περικλείεται από μία λεία καμπύλη του επιπέδου: z t / O y η T

Επικαμπύλια Ολοκληρώματα Τα βέλη πάνω στην καμπύλη δείχνουν την φορά της καμπύλης όταν το t αυξάνεται. Παρόμοια θα μπορούσα να έχω ένα ηλεκτρικό ή μαγνητικό πεδίο. Οπότε η έννοια της ροής δεν υπονοεί πάντα κίνηση. Έστω το διανυσματικό πεδίο (π.χ. κίνησης του υγρού) F(,y)=M(,y)i+N(,y)j και η καμπύλη r(t)=(t)i+y(t)j a t b είναι λεία στο χώρο αυτό και κλειστή. Έστω σε ένα σημείο της καμπύλης ((t ),y(t )) στο οποίο το διάνυσμα του πεδίου F((t ),y(t )) και T το μοναδιαίο διάνυσμα που εφαπτόμενο στην καμπύλη στο σημείο αυτό κατά τη φορά της καμπύλης όταν το t αυξάνεται και η το εξωτερικά κάθετο διάνυσμα στην καμπύλη. Τότε η Ροή του πεδίου F(,y)=M(,y)i+N(,y)j καμπύλης του επιπέδου ισούται με ροή διαμέσου της F ηds Για λεία παραμετρικοποίηση της καμπύλης έχουμε διαμέσου κλειστής ροή του F Mi Nj διαμέσου της r ( t) i y( t) j Mdy Nd Όταν το ολοκλήρωμα είναι θετικό τότε συνολικά θα εξέρχεται ρευστό από το εσωτερικό προς το εξωτερικό ενώ όταν το ολοκλήρωμα θα είναι αρνητικό η συνολικά θα εισέρχεται. Ο κύκλος στο ολοκλήρωμα είναι θέμα συμβολισμού και δείχνει τη φορά της κλειστής καμπύλης όταν αυξάνει το t. Βρείτε τη ροή του πεδίου F(, y) ( y) i j διαμέσου του κύκλου του επιπέδου y. Η παραμετρικοποίηση του κύκλου είναι r( t) cost i sin t j, t Βήμα : F((t ),h(t )) F(cos t,sin t) cost sin t i cos t j, οπότε M cost sin t N cost Βήμα : y και sin ti cost j οπότε d sin t και dy cost. Επίσης βλέπουμε ότι η καμπύλη είναι λεία διότι η παράγωγός της έχει συνεχείς συνιστώσες και το μέτρο της d sin t cos t φανερά πάντα διαφορετικό από το. Βήμα 3: Mdy Nd cos t sin tcost cos tsin t cos t Βήμα : Mdy Nd cos t t t cos sin t 5

Επιφανειακά Ολοκληρώματα αφού ισχύει cos t cos t. 7..7 Θεώρημα του Green στο επίπεδο Πυκνότητα ροής σε σημείο ή απόκλιση Η πυκνότητα εξερχόμενης ροής ενός διανυσματικού πεδίου F(,y)=M(,y)i+N(,y)j στο σημείο (,y) ισούται με την απόκλιση του πεδίου στο σημείο αυτό Πυκνότητα εξερχόμενης ροής = div = M F N y Εάν φανταστούμε νερό να εισρέει σε μία περιοχή μέσω μίας μικρής τρύπας σε ένα σημείο (,y) και οι γραμμές ροής θα αποκλίνουν από το σημείο, η απόκλιση θα είναι θετική και νερό θα χύνεται έξω από ένα ορθογώνιο που περιέχει το σημείο. Εάν νερό απορροφάται τότε η απόκλιση θα είναι αρνητική. divf(, y) divf(, y) ( y, ) ( y, ) 7..8 Πυκνότητα κυκλοφορίας Η πυκνότητα κυκλοφορίας ενός διανυσματικού πεδίου F(,y)=M(,y)i+N(,y)j στο σημείο (,y) ισούται με την κ συνιστώσα του στροβιλισμού του πεδίου στο σημείο αυτό Πυκνότητα κυκλοφορίας = curl = N F k M y Εάν φανταστούμε νερό να ρέει σε λεπτό στρώμα του επιπέδου τότε κ συνιστώσα του στροβιλισμού στο σημείο (,y) αποτελεί μέτρο του ρυθμού περιστροφής του υγρού στο σημείο. 6

Επικαμπύλια Ολοκληρώματα ( curlf) k ( curlf) k k k ( y, ) ( y, ) Κυκλοφορία κατά τη θετική φορά Κυκλοφορία κατά την αρνητική φορά 7..9 Θεώρημα Green Κάθετη μορφή θεωρήματος Green H εξερχόμενη ροή του πεδίου F(,y)=M(,y)i+N(,y)j διαμέσου κλειστής απλής καμπύλης του επιπέδου ισούται με το διπλό ολοκλήρωμα της απόκλισης στο χωρίο R που περικλείει η καμπύλη M N F η ds Mdy Nd ddy y Εφαπτομενική μορφή θεωρήματος Green H κυκλοφορία του πεδίου F(,y)=M(,y)i+N(,y)j κατά μήκος της κλειστής απλής καμπύλης του επιπέδου ισούται με το διπλό ολοκλήρωμα κ συνιστώσας του στροβιλισμού στο χωρίο R που περικλείει η καμπύλη N M F T ds Mdy Nd ddy y R R Απλή καμπύλη Μη απλή καμπύλη Ας λύσουμε τώρα δύο παραδείγματα που είδαμε παραπάνω με τη χρήση των θεωρημάτων Green Βρείτε τη κυκλοφορία του πεδίου F(, y) ( y) i j κατά μήκος του κύκλου y του επιπέδου y. N ( ) M ( y), y y N M y, curlf k = ( ) 7

Επιφανειακά Ολοκληρώματα N M ddy ddy ddy y Mdy Nd R R R Ισούται με το διπλάσιο του εμβαδού μοναδιαίου κύκλου. y y Το διπλό ολοκλήρωμα ισούται με R ddy dyd y d d t sint / / / cos t sin t sin t cost cos t / Βρείτε τη ροή του πεδίου F(, y) ( y) i j διαμέσου του κύκλου του επιπέδου y. y M ( y) N ( ) M N,, divf = y y y M N F ηds Mdy Nd ddy ddy ddy y R R R Ισούται με το εμβαδόν μοναδιαίου κύκλου. Το ολοκλήρωμα έχει υπολογιστεί στο προηγούμενο παράδειγμα. 7.3 Επιφανειακά ολοκληρώματα 7.3. Παραμετρικοποίηση επιφανειών: Μία συνεχής διανυσματική συνάρτηση r(u,v)= (u,v)i+y(u,v)j+z(u,v)k που ορίζεται σε χωρίο του επιπέδου uv μαζί με το εύρος των u,v μας δίνουν μία παραμετρική έκφραση μιας επιφάνειας. Για να βρούμε μία παραμετρική έκφραση μία επιφάνειας S χρησιμοποιούμε τις σφαιρικές ή τις κυλινδρικές συντεταγμένες. Παραμετρικοποίηση του κώνου z y, z. 8

Επικαμπύλια Ολοκληρώματα r( r, ) ( r cos ) i ( rsin ) j rk r, r r r Μία παραμετρικοποιημένη επιφάνεια είναι λεία εφόσον τα, είναι συνεχή u v r r και το δεν μηδενίζεται ποτέ στο πεδίο των παραμέτρων. u v Το εμβαδό μίας λείας επιφάνειας r( u, v) ( u, v) i y( u, v) j z( u, v) k, a u b, c v d είναι b d r r A dudv a c u v Συμβολίζω d r r u v dudv, οπότε A Εμβαδό επιφανείας του κώνου z y, z. Είδαμε ότι r( r, ) ( r cos ) i ( r sin ) j rk, r, i j k r r cos sin ( r cos ) i ( r sin ) j ( r cos rsin ) k r rsin cos ( r cos ) i ( r sin ) j rk r R d r r r cos r sin r r r r r r r A d rd d r τετραγωνικές μονάδες μήκους. 9

Επιφανειακά Ολοκληρώματα Αν S είναι μία λεία επιφάνεια που ορίζεται παραμετρικά και G(,y,z) είναι συνεχής συνάρτηση ορισμένη στην επιφάνεια τότε το ολοκλήρωμα της G στην S είναι S b d r r G(, y, z) d G( ( u, v), y( u, v), z( u, v)) dudv ac u v Ολοκληρώστε την z y, z. R G(, y, z) στην επιφάνεια του κώνου r r G(, y, z) d G( ( r, ), y( r, ), z( r, )) d r 3 r r cos rd r cos d cos d cos sin cos d d 7.3. Θεώρημα του Stokes στο χώρο Το θεώρημα του Stokes γενικεύει την εφαπτομενική μορφή του θεωρήματος του Green. Στις τρεις διαστάσεις η κυκλοφορία γύρω από κάποιο σημείο του επιπέδου περιγράφεται από ένα διάνυσμα που είναι κάθετο στο επίπεδο κυκλοφορίας και έχει φορά τέτοια ώστε να αποκτά μια δεξιόστροφη σχέση με τη γραμμή κυκλοφορίας, ( y, ) curlf Κυκλοφορία κατά τη θετική δεξιόστροφη φορά Το μέτρο του διανύσματος μας δίνει το ρυθμό περιστροφής του ρευστού ο οποίος μεταβάλλεται συνήθως καθώς γέρνουμε το επίπεδο κυκλοφορίας ως προς το σημείο. Ο μέγιστος ρυθμός περιστροφής (πυκνότητα κυκλοφορίας) για ένα πεδίο F(,y,z)=M(,y,z)i+N(,y,z)j+P(,y,z)k προκύπτει στην κατεύθυνση του διανύσματος στροβιλισμού Όπως έχουμε δει το διάνυσμα στροβιλισμού είναι το i j k P N M P N M curlf F i j k y z y z z y M N P

Επικαμπύλια Ολοκληρώματα 7.3.3 Θεώρημα του Stokes Η κυκλοφορία ενός διανυσματικού πεδίου κατά μήκος μίας συνοριακής καμπύλης μιας προσανατολισμένης επιφάνειας S, που διαγράφεται κατά τη θετική φορά ως προς το μοναδιαίο κάθετο στην επιφάνεια διάνυσμα n, ισούται με το ολοκλήρωμα της κάθετης συνιστώσας του στροβιλισμού F η στην επιφάνεια S. F S F η d η Βρείτε την κυκλοφορία του πεδίου καμπύλης του κώνου θετική φορά. η F ( y) i zj k κατά μήκος της z y, z και που διαγράφεται κατά τη z r( r, ) ( r cos ) i ( r sin ) j rk r, y Έχουμε από προηγούμενα παραδείγματα την παραμετρική έκφραση της επιφάνειας. Το μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα είναι:

Επιφανειακά Ολοκληρώματα r r r r cos ) i ( r sin j rk η cos i sin j k r r r r r r d d r d r i j k F ( ) i ( ) j ( ) k i j k i rcos j k y z y z F η i j k i j k cos rcos sin cos rsin ( r cos ) cos sin F F ηd cos r sin r d S r r cos sin r d cos sin d sin cos

7. Λυμένες Ασκήσεις: Επικαμπύλια Ολοκληρώματα. Υπολογίστε το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα f (, y ) ds όπου f (, y) y και c η καμπύλη με παραμετρική εξίσωση r( t) cos( t) i sin( t) j, t. Λύση Η καμπύλη είναι λεία γιατί v( t) d r( t) sin( t) i cos( t) j είναι συνεχής γιατί όλες οι συνιστώσες έχουν συνεχείς πρώτες παραγώγους και το μέτρο της v( t) k ( sin( t)) cos( t). Τελικά (, ) ( ( ), ( )) v( ) (cos( ),sin( )) cos( )sin( ) f y ds f t y t t f t t t t cos( ) cos() cos( ) t cos( t)sin( t) sin( t). Ολοκληρώστε το ( y) ds όπου το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει τα σημεία Ρ(,,) και Q(,,). Λύση c Το διάνυσμα PQ ( ) i ( ) j ( ) k i j k είναι παράλληλο στο πρώτο ευθύγραμμο τμήμα. Η παραμετρική εξίσωση του ευθύγραμμου τμήματος είναι t t, y t, z t, t οπότε r( t) ti ( t) j k, t όπου είναι λείο γιατί d v( t) r( t) i j k είναι συνεχής γιατί όλες οι συνιστώσες έχουν συνεχείς πρώτες παραγώγους και το μέτρο της v( t) k. Τελικά f (, y, z) ds f ( ( t), y( t), z( t)) v( t) f ( t, t,) t ( t) 3. Βρείτε τη μάζα ενός καλωδίου που κείται πάνω στην καμπύλη r( t) i ( t ) j tk, t εάν η πυκνότητα του είναι (, y, z) y z / z. Λύση Η καμπύλη είναι λεία διότι 3 3

Επιφανειακά Ολοκληρώματα d v( t) r( t) i tj k, t, είναι συνεχής γιατί όλες οι συνιστώσες έχουν συνεχείς πρώτες παραγώγους και το μέτρο της v ( t) t t είναι φανερά μη μηδενικό. Η μάζα δίνεται από το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα M (, y, z) ds. t 3 M (, y, z) ds ( ( t), y( t), z( t)) v ( t) t t t / 3/ ' 3/ 3 3 3 t t t t t t 3 ' Διότι t t t 3t t 3/ / /. Βρείτε τη μάζα του και το κέντρο μάζας ως προς την αρχή των αξόνων ενός τέταρτου κυκλικού δίσκου z r( t) a cos( t) i () j a sin( t) k, t α του οποίου η πυκνότητα είναι σταθερή z. ( a ) y Λύση Η καμπύλη είναι λεία: d v( t) r( t) a sin t i j a cos t k, v( ) ( sin ) () ( cos ) (sin cos ) t a t a t a t t a a Η μάζα του σώματος είναι: t / M (, y, z) ds a cos t,, a sin t v( t) / / / a cos t a sin t a a cos t sin t a sin t d cos t a 3 / sin a 3 3 α

/ / / 5 / 5 / 5 / 5 Επικαμπύλια Ολοκληρώματα M (, y, z) ds a cos t( a cos t,, a sin t) v( t) a cost a cost asint a yz a a a cost a cost sin t cost sin t sin t 5 / / 5 5 a a / / a cost t sin t 8 8 6 cost Όπου μας χρειάστηκε η ταυτότητα sin t. / M y(, y, z) ds ( a cos t,, a sin t ) v( t) z / / M z(, y, z) ds a sin t ( a cos t,, a sin t ) v( t) y a sin t a cos t a sin t a t / / / 5 5 3 5 3 5 sin a a cos t sin t a sin t d sin t a Οπότε οι συντεταγμένες του κέντρου μάζας είναι: Myz 3 a M M z y 3a, y, z M 6 M M 5. Υπολογίστε το έργο που παράγει η δύναμη F i yj α) κατά μήκος του ευθύγραμμου τμήματος που συνδέει τα σημεία (,) και (,), β) κατά μήκος της υπερβολής που συνδέει τα ίδια σημεία. Τι παρατηρείτε; Εξετάστε εάν το πεδίο είναι αστρόβιλο οπότε και συντηρητικό. Εάν ναι, βρείτε τη συνάρτηση δυναμικού του και με τη χρήση της υπολογίστε το έργο κατά μήκος κάθε καμπύλης που συνδέει τα σημεία (,) και (,). Λύση Στην περίπτωση α) Βήμα : F((t),y(t)) F( t, t) itj Βήμα : η ευθεία που ενώνει τα σημεία (,) και (,) είναι η y οπότε η d r( t) t i t j, t, όπου είναι λείο γιατί v( t) r( t) i j είναι συνεχής γιατί όλες οι συνιστώσες έχουν συνεχείς πρώτες παραγώγους και το μέτρο της v( t) k είναι διάφορο του μηδέν. Βήμα 3: F i tj i j t Βήμα : 5

Επιφανειακά Ολοκληρώματα t F t t ( ) 3 t t t t Στην περίπτωση α) Βήμα : F((t),y(t)) F( t, t) itj Βήμα : η παραβολή που ενώνει τα σημεία (,) και (,) είναι η y οπότε η r( t) t i t j, t, όπου είναι λείο γιατί v( t) d r( t) i tj είναι συνεχής γιατί όλες οι συνιστώσες έχουν συνεχείς πρώτες παραγώγους και το μέτρο της Βήμα 3: v( t) k t είναι διάφορο του μηδέν. F i t j i tj 8t Βήμα : 3 F 8t t 8 ( ) 3 t t 3 t t t Παρατηρούμε ότι το έργο κατά μήκος και των δύο διαδρομών είναι ίδιο, οπότε πιθανά το πεδίο είναι συντηρητικό. Το πεδίο στις τρεις διαστάσεις γράφεται ως F i yj k Mi Nj Pk. Για να είναι αστρόβιλο πρέπει να ισχύει i j k i j k P N P M N M y z y z y z i j z y k i j k M N P y P N M P N M Παρατηρούμε ότι,, οπότε, πράγματι, y z z y το πεδίο είναι αστρόβιλο οπότε και συντηρητικό. Άρα υπάρχει f τέτοια ώστε f f f F f i yj k i j k y z f H συνάρτηση δυναμικού είναι ανεξάρτητη του z αφού. z f f Από d d f (, y ) c ( y ) Η σταθερά ολοκλήρωσης εξαρτάται από τo y. Οπότε από την 6

Επικαμπύλια Ολοκληρώματα f c ( y) f (, y) c( y) όμως από τον τύπο του δυναμικού y y c συμπεραίνω ότι ( y ) y οπότε η σταθερά ολοκλήρωσης y c( y) c( y) y dy ydy c( y) y c y y Δηλαδή f (, y, z) y c και το έργο,, F f, f, 3 c ( c) 3 6. Εξετάστε εάν το πεδίο F i yj zk Mi Nj Pk είναι συντηρητικό, βρείτε τη συνάρτηση δυναμικού του και υπολογίστε το έργο κατά μήκος κάθε καμπύλης που συνδέει τα σημεία (,,) και (,3,6). Λύση Πρέπει να ισχύει i j k P N P M N M y z y z i j z y k i j k M N P P N M P N M Παρατηρούμε ότι,, οπότε είναι y z z y συντηρητικό το πεδίο. Άρα υπάρχει f τέτοια ώστε Από f f f F f i yj zk i j k y z f f d d f (, y, z) c( y, z) Η σταθερά ολοκλήρωσης εξαρτάται από τα y,z. Οπότε από την f c ( y, z) f (, y, z) c ( y, z) όμως από τον τύπο του δυναμικού y y c συμπεραίνω ότι ( y, z ) y οπότε η σταθερά ολοκλήρωσης y c( y, z) c( y, z) y dy ydy c( y, z) y c( z) y y Τώρα από την f c ( z) f (, y, z) y c( z) όμως από τον τύπο του δυναμικού z z c συμπεραίνω ότι ( z ) z οπότε η σταθερά ολοκλήρωσης y c( z) c( z) z dz zdz c( z) z c z z. 7

Επιφανειακά Ολοκληρώματα Δηλαδή f (, y, z) y z c και το έργο,3,6,, F f,3,6 f,,9 9 c ( c) 9 7. Δείξτε ότι το πεδίο F yzi zj yk Mi Nj Pk είναι συντηρητικό και ότι η συνάρτηση δυναμικού του είναι η f (, y, z) yz όπου πραγματική σταθερά. Με τι θα ισούται το έργο κατά μήκος μίας κλειστής καμπύλης του χωρίου στο οποίο ορίζεται το πεδίο; Λύση Πρέπει να ισχύει i j k P N P M N M i j k i j k y z y z z y M N P Παρατηρούμε ότι P N M P N M, y, z οπότε είναι y z z y συντηρητικό το πεδίο. Φανερά για την f ισχύει f f f y z F f i j k yzi zj yk το έργο κατά μήκος κλειστής διαδρομής ισούται με επειδή το πεδίο είναι συντηρητικό 8. Εξετάστε εάν το πεδίο F yi ( z ) j yzk Mi Nj Pk είναι συντηρητικό, βρείτε τη συνάρτηση δυναμικού του και υπολογίστε το έργο κατά μήκος κάθε καμπύλης που συνδέει τα σημεία (,,) και (,,3) Λύση Πρέπει να ισχύει i j k P N P M N M y z y z i j z y k i j k M N P Παρατηρούμε ότι P z N, M P, N M y z z y συντηρητικό το πεδίο. Άρα υπάρχει f τέτοια ώστε Από f f f y z F f yi ( z ) j yzk i j k f f y d yd f (, y, z) y c( y, z) Η σταθερά ολοκλήρωσης εξαρτάται από τα y,z. Οπότε από την οπότε είναι 8

Επικαμπύλια Ολοκληρώματα f c ( y, z) f (, y, z) y c ( y, z) όμως από τον τύπο του δυναμικού y y συμπεραίνω ότι c ( y, z) z. y c( y, z) c( y, z) z dy z dy c( y, z) yz c( z) y y Τώρα από την f c ( z) f (, y, z) y yz c( z) zy όμως από τον τύπο του z z c δυναμικού συμπεραίνω ότι ( z ) οπότε τελικά η σταθερά ολοκλήρωσης z δεν εξαρτάται ούτε από το z. Δηλαδή f (, y, z) y yz c,,3,, και το έργο F f f c c,,3,, 9 ( ) 6 9. Εναλλακτικά θα μπορούσε να ζητηθεί ως εξής: Εξετάστε εάν η διαφορική μορφή yd ( z ) dy yzdz είναι ακριβής και στη συνέχεια υπολογίστε το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα:,,3 ( ),, yd z dy yzdz Λύση P N M P N M Θα πρέπει να ισχύει:,, y z z y ή αντίστοιχα i j k P N P M N M y z y z i j z y k i j k M N P Παρατηρούμε ότι P z N, M P, N M y z z y διαφορική μορφή είναι ακριβής. Άρα υπάρχει f τέτοια ώστε Από f f f yi z j yzk i j k f y z ( ) f f y d yd f (, y, z) y c( y, z) Η σταθερά ολοκλήρωσης εξαρτάται από τα y,z. Οπότε από την οπότε είναι η 9

Επιφανειακά Ολοκληρώματα f c ( y, z) f (, y, z) y c ( y, z) y y οπότε από τα παραπάνω συμπεραίνω ότι z. y c( y, z) c( y, z) z dy z dy c( y, z) yz c( z) y y Τώρα από την f c ( z) f (, y, z) y yz c( z) zy z z οπότε από τα παραπάνω συμπεραίνω ότι c ( ) z. Άρα τελικά η σταθερά ολοκλήρωσης z δεν εξαρτάται ούτε από το z. Δηλαδή f (, y, z) y yz c και το έργο,,3 yd ( z ) dy yzdz f,,3 f,, 3 c ( c) 6,, ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Το παρόν υλικό δεν αποτελεί αυτόνομο διδακτικό υλικό, βασίζεται στο σύγγραμμα που διανέμεται και στην προτεινόμενη βιβλιογραφία του μαθήματος. Το περιεχόμενο του αρχείου απλά αποτελεί περίγραμμα των παραδόσεων του μαθήματος. Αποτελούν τις διαφάνειες της διδασκαλίας μαθήματος από το διδάσκοντα για δική του χρήση και παρακαλώ να μη χρησιμοποιηθεί και να μην αναπαραχθεί και διανεμηθεί για άλλο σκοπό. Ιδιαίτερα παραδείγματα και σχήματα έχουν αντληθεί από τα συγγράμματα :. Thomas alculus th edition, Wier, Hass, Jiordano, Pearson AW. Thomas Απειροστικός Λογισμός, Finney, Hass, Jiordano, Πανεπιστημιακές εκδόσεις Κρήτης 3. Ανώτερα Μαθηματικά ΙΙ για Μηχανικούς Α. Αθανασιάδη Εκδόσεις Τζιόλα. Και υπόκεινται στο opyright των εκδόσεων αυτών. 3