ISSN

Φύλλ Μθημτικής Πιδείς Φυλλο, Ιουνιου 9 Ανισότητες στο Ολοκλήρωμ. Μπάμπης Στεργίου, Μάκης Πολλάτος Οι νισότητες στο ολοκλήρωμ. ISSN 4-67 Εκδίδετι στην Αθήν. Δινέμετι κι νπράγετι ελεύθερ. Δικτυκός Τόπος: www.nsmvroginnis.gr/ekthetis.htm Στοιχειοθετείτι με το LATEX ε Επιμέλει: Ν.Σ. Μυρογιάννης Μθημτικός, MSc, PhD Ινστιτούτο Εκπιδευτικής Πολιτικής Θ σχοληθούμε μόνο με συνεχείς συνρτήσεις σε ό- λη την έκτση του πρώτου μέρους υτού του κειμένου. Άλλες περιπτώσεις δεν εμπίπτουν στην ύλη της Γ Λυκείου. Ανάμεσ λοιπόν στις πιο χρκτηριστικές περιπτώσεις νισοτήτων με ολοκληρώμτ είνι οι πρκάτω: Οι νισότητες με ολοκληρώμτ προυσιάζουν ιδιίτερο ενδιφέρον κι προυσιάζοντι συχνά στις εξετάσεις. Θ δούμε μερικές χρκτηριστικές περιπτώσεις γι ν φνεί ότι στην ουσί πρόκειτι γι μέσης δυσκολίς ερωτήσεις που μπορούν ν ντιμετωπιστούν κάπως ομοιόμορφ, ν έι δεν νήκουν σε κάποι ιδιάζουσ κι δύσκολη περίπτωση. Στην περίπτωση που το ολοκλήρωμ εκφράζει εμδόν, έχουμε την επιπλέον πληροφορί ότι το ολοκλήρωμ είνι θετικός ριθμός. Στις οδηγίες διχείρισης της ύλης δίνετι γι άμεση χρήση πό τους μθητές, χωρίς δηλδή ν χρειάζετι - πόδειξη, η πρκάτω σική πρότση που στην ουσί κλύπτει το μεγλύτερο μέρος ερωτημάτων υτού του είδους: Η σική πρότση. Η σικότερη πρότση, στην οποί χτίζοντι ερωτήμτ νισοτήτων που περιέχουν ολοκλήρωμ είνι η πρκάτω: Προτση. Εστω f μι συνεχής συνάρτηση σε έν διάστημ [, ]. Αν f() γι κάθε [, ], τότε f()d. Αν η συνάρτηση f δεν είνι πντού μηδέν στο διάστημ υτό, τότε f()d >. Από την πρότση υτή προκύπτουν άμεσ τ πρκάτω συμπεράσμτ, που χρησιμοποιούντι γι την πόδειξη άλλων νισοτήτων: Προτση. Αν οι συνρτήσεις f, g είνι συνεχείς στο [, ] κι f() g(), [, ], τότε: f()d g()d. Αν μάλιστ η ισότητ δεν ισχύει πντού στο [, ], τότε η διάτξη είνι γνήσι, δηλδή: f()d < g()d.. Ανισότητες της μορφής Αντιμετωπιση f()d A. i) Σε προηγούμεν ερωτήμτ έχουν ίσως ρεθεί τ - κρόττ της f. Εκμετλλευόμενοι τον ορισμό του ολικού κροτάτου γράφουμε, π.χ. (γι ολικό ελάχιστο) f() f( ) k γι κάθε D f f()d kd k( ) A Επειδή συνήθως το ίσον δεν ισχύει πντού πρά μόνο σε έν σημείο, το ή σε πεπερσμένο πλήθος σημείων, η νισότητ είνι γνήσι, δηλδή: f()d > kd k( ) A. ii) Αν δεν εξυπηρετούν γι τη λύση τ ολικά κρόττ της f, ρίσκουμε το ελάχιστο m κι το μέγιστο M της f στο διάστημ ολοκλήρωσης [, ]. Στην περίπτωση που η συνάρτηση δεν είνι στθερή ή που το ίσον δεν ισχύει πντού, γράφουμε : m f() M, [, ] md < f()d < Md m( ) < f()d < M( ) iii) Βσιζόμστε στη μονοτονί της f στο διάστημ ο- λοκλήρωσης [, ]. Εστω π.χ. ότι η συνάρτηση είνι γνησίως ύξουσ. Γράφουμε τότε: f() f() f(), [, ] f()d < f()d < f() d f()( ) < f()d < f()( ) μι κι το ίσον δεν ισχύει πντού, πρά μόνο στ άκρ,.

iv) Με άση τη δοσμένη συνάρτηση κι τη οήθει άλλων γνωστών νισοτήτων όπως π.χ. οι : ή κόμ τις νισότητες e +, ln, ηµ ηµ, συν vi) Η νισότητ μπορεί ν προκύψει κι γεωμετρικά, ρκεί ν έχουμε τη γρφική πράστση της συνάρτησης. Ιδιίτερη κι εδώ σημσί μπορεί ν έχει η κυρτότητ. Αν η συνάρτηση είνι κοίλη στο [, ], τότε η γρφική πράστση είνι πάνω πό τη χορδή AB. κτλήγουμε ήμ-ήμ σε μι νισότητ της μορφής f() g() ή f() g(), γι κάποι συνεχή συνάρτηση g. Στη συνέχει κι φού διπιστώσουμε ότι δεν ισχύει πντού η ισότητ, ολοκληρώνουμε στο [, ] κι πίρνουμε: f()d > g()d A v) Γι κυρτές συνρτήσεις στο [, ] κι πό τη θέση εφπτομένης - γρφικής πράστσης κτλήγουμε στη σχέση: f() y ε f() f (γ)( γ) + f(γ) όπου y ε f (γ)( γ) + f(γ) είνι η εφπτομένη της γρφικής πράστσης στο A(γ, f(γ)) κι γ είνι κτάλληλ επιλεγμένος ριθμός (γι τον οποίο έχουμε πληροφορίες). Το γ μπορεί ν είνι κι κάποιο πό τ άκρ, του διστήμτος [, ]. Στη συνέχει ολοκληρώνουμε την νισότητ που προκύπτει στο [, ]. Η νισότητ που θ προκύψει είνι γνήσι, διότι το ίσον ισχύει μόνο σε έν σημείο κι συγκεκριμέν στο σημείο επφής: f()d > (f (γ)( γ) + f(γ)) A Αντίστοιχ εργζόμστε κι γι κοίλες συνρτήσεις. Πριν ολοκληρώσουμε, προσέχουμε ιδιίτερ τ άκρ ολοκλήρωσης διότι ν το κάτω άκρο είνι μεγλύτερο πό το πάνω, η φορά θ λλάξει! Σχολιο. Αν την σχέση f() y ε f() f (γ)( γ) + f(γ) την πολλπλσιάσουμε με μι μη ρνητική συνάρτηση g(), όχι ίση με μηδέν, πίρνουμε : f()g() y ε g(). Από τη σχέση υτή, με ολοκλήρωση στο [, ] προκύπτει ότι f()g()d > y εg()d A Ετσι με άση τον τύπο γι το εμδόν τρπεζίου πίρνουμε f() + f() f()d > ( ) γ + δ ( ) Η ίδι σχέση προκύπτει επίσης ν ρούμε την εξίσωση της ευθείς AB: y k + m κι γράψουμε : f()d > + f() (k + m)d f() ( ). Στην πρπάνω περίπτωση λέπουμε επίσης ότι το ο- λοκλήρωμ I f()d (ως εμδόν) είνι μικρότερο πό το εμδόν του σχεδισμένου ορθογωνίου (μι πλευρά είνι η Γ ) του οποίου φυσικά το εμδόν υπολογίζετι γεωμετρικά. Συνήθως το ύψος του ορθογωνίου είνι όσο το μέγιστο της f στο [, ]. Αν όμως θεωρήσουμε το ορθογώνιο με ύψος f() γ μήκος άσης που ρίσκετι κάτω πό τη C f κι εμδόν E, τότε προκύπτει νισότητ της μορφής f()d > E Αν η συνάρτηση f είνι κυρτή στο [, ], τότε η γρφική πράστση είνι κάτω πό τη χορδή AB κι έτσι με άση τον τύπο γι το εμδόν τρπεζίου πίρνουμε f() + f() f()d < ( ) γ + δ ( )

Η ίδι σχέση προκύπτει επίσης ν ρούμε την εξίσωση της ευθείς AB: y k + m κι γράψουμε: f()d < + f() (k + m)d f() ( ). όπου y AΓ k + m, y ΓB c + d είνι οι εξισώσεις των εφπτομένων στ σημεί A κι B. Πίρνοντς λοιπόν τις δύο εφπτομένες κι όχι μόνο τη μί, η νισότητ γίνετι όπως είνι νμενόμενο πιο σφιχτή. Ανάλογ μπορούμε ν εργστούμε κι με μι κοίλη συνάρτηση, μόνο που τώρ η φορά στις νισότητες που θ προκύψουν έχουν ντίθετη φορά. Είνι προφνές ότι όσες περισσότερες εφπτομένες έχουμε (ή άλλες κτάλληλες ευθείες, που προσεγγίζουν τη γρφική πράστση της f ), τόσο πιο σφιχτή νισότητ δημιουργούμε. Εφρμογη... Δίνετι η συνάρτηση f() ηµ, [, π], κι το σημείο A ( π, π ). Γ. Ν ποδείξετε ότι υπάρχουν κριώς δύο εφπτομένες (ε ), (ε ) της γρφικής πράστσης της f που άγοντι πό το A, τις οποίες κι ν ρείτε. Εστω (ε ) y κι (ε ) y π είνι οι ευθείες του ερωτήμτος Γ. Μι ιδιίτερη περίπτωση Γ. Ν ποδείξετε ότι e f() d > e π. Υποδειξη Γ Από το σχήμ πίρνουμε ότι f() π f() π Αν έχουμε μι κυρτή συνάρτηση στο [, ] κι τις εφπτομένες στ A, B που τέμνοντι στο Γ, τότε: κι το ίσον ισχύει μόνο γι π. Άρ, διιρώντς με < π κι ολοκληρώνοντς στο [, e], πίρνουμε: f()d γ f()d + γ f()d > γ y AΓ d + γ y ΓB d, e f () e d > d π e d

e f () d > (e ) π [ln ]e e f () d > e π. Εφρμογη... Δίνετι η συνάρτηση: f() ηµ +,, +, π < > Δ. Ν ποδείξετε ότι η f στο διάστημ [, ] ικνοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήμτος μέσης τιμής. Αν επιπλέον η f είνι συνεχής στο πεδίο ορισμού της, τότε: Δ. Ν ρείτε την τιμή του R. Δ. Ν μελετήσετε τη μονοτονί της συνάρτησης f. Δ4. Ν ποδείξετε ότι π < π Υποδειξη Δ4. Εχουμε: π f()d π π f()d + π π f()d + f()d < π. f()d ( + )d f()d + [ 4 4 + ] f()d + Επομένως ρκεί ν ποδείξουμε ότι π < π Γι κάθε [ π, ] έχουμε: π f()d f()d + < π. π f f ( π ) f() f() f() π () π π < π < d < π π π f()d f()d < ( π ) π f()d < π. Η φορά στην νισότητ που προκύπτει είνι γνήσι, διότι στη σχέση () δεν ισχύει πντού η ισότητ.. Ανισότητες της μορφής Αντιμετωπιση. g()d A Στην κτηγορί υτή, στο εμφνιζόμενο ολοκλήρωμ δεν έχουμε τη συνάρτηση f, που έχει δοθεί γι μελέτη στον κορμό του θέμτος, λλά μι άλλη συνάρτηση g. Η συνάρτηση υτή, γενικά, πρέπει με κάποιο τρόπο ν είνι συνδεδεμένη ή ν συνδέετι με την f. Η δυσκολί λοιπόν του ερωτήμτος, ν υπάρχει, είνι ν δημιουργήσουμε τη συνάρτηση g ξεκινώντς όμως πό πληροφορίες γι την f κι έχοντς ως οδηγό τη μορφή της g. Θ είνι λοιπόν δόκιμο ν γνοήσουμε τελείως τη συνάρτηση f κι ν ξεκινήσουμε ν μελετάμε τη g, σκεφτόμενοι όπως στην πράγρφο Α. Θ ξεκινήσουμε λοιπόν με τη συνάρτηση f, θ εξετάσουμε μήπως η g είνι κάποιος όρος που υπάρχει στον τύπο της f ή δημιουργείτι πό την f κι με άση τις πληροφορίες που έχουμε γι την f θ φτιάξουμε μι νισότητ της μορφής g() ή g(). Μπορούμε κόμ ν εντοπίσουμε μι νισότητ γι την f ( που προκύπτει πχ είτε πό το κρόττο, είτε πό την κυρτότητ, είτε πό τη μονοτονί, είτε πό το σύνολο τιμών της f στο [, ], είτε με κάποι ντικτάστση, είτε κόμ με κάποι μέθοδο υπολογισμού ολοκληρώμτος κι ν προσπθήσουμε ν φτιάξουμε πό υτήν την νισότητ μι νέ νισότητ (πχ πολλπλσιάζοντς κι τ δύο μέλη με κάποι (μη) ρνητική ή (μη) θετική πράστση), της οποίς το έν το μέλος είνι η συνάρτηση g. Στη συνέχει ολοκληρώνουμε κτάλληλ κλπ. Αν στην νισότητ που προκύπτει πριν την ολοκλήρωση δεν ισχύει πντού η ισότητ, τότε η διάτξη στην νισότητ που πίρνουμε με την ολοκλήρωση είνι γνήσι. Μερικές φορές είνι χρήσιμο ν δούμε μήπως το ολοκλήρωμ g()d κι γενικά η νισότητ μπορούν ν πάρουν μι ισοδύνμη μορφή (πχ μετά πό κάποι ντικτάστση ή ολοκλήρωση κτά πράγοντες ή εφρμογή κάποις ιδιότητς ), ώστε ν εμφνιστεί η συνάρτηση f κι ν ξιοποιήσουμε τις ιδιότητες που γνωρίζουμε ή έχουμε ποδείξει γι υτή. Εφρμογη... Δίνετι η συνάρτηση f() + ln(συν), ( π, π ). Α. Ν μελετήσετε την f ως προς τ κρόττ. Β. Ν ποδείξετε ότι π 6 e d >. 4

Υποδειξη: Α. Η f έχει ολικό μέγιστο το f(). Β. Η συνάρτηση κάτω πό το ολοκλήρωμ πρέπει ν συνδεθεί με την f. Είνι: f() ln(συν), ( π, π ) Η σχέση υτή δίνει : e e ln(συν) συν κι το ίσον δεν ισχύει πντού(ισχύει μόνο γι ). Επομένως: π 6 e d > π 6 συνd [ηµ] π 6 Εφρμογη... Δίνετι συνάρτηση f ορισμένη κι δύο φορές πργωγίσιμη στο R, με συνεχή δεύτερη πράγωγο, γι την οποί ισχύει ότι: π (f() + f ()) ηµd π, f(r) R κι lim f() ηµ, e f() + f(f()) + e γι κάθε R. Δ. Ν ποδείξετε ότι f(π) π κι f (). Δ.) Ν ποδείξετε ότι η f δεν προυσιάζει κρόττ στο R. ) Ν ποδείξετε ότι η f είνι γνησίως ύξουσ στο R. Δ. Ν ποδείξετε ότι < Υποδειξη Δ. Στο ολοκλήρωμ e π e π f (ln ) d < π. f (ln ) d θέτουμε u ln, οπότε du d. Επομένως: u κι e π u π. Το ολοκλήρωμ γίνετι: e π f (ln ) d π f (u) du (). Αφού η f είνι γνησίως ύξουσ στο R, άρ κι στο [, π], κι ισχύει f(), f(π) π, θ είνι: u π f () f (u) f (π) f (u) π. Ετσι, ολοκληρώνοντς την τελευτί νισότητ, φού το ίσον δεν ισχύει πντού, πίρνουμε: < π < f (u) du < e π π πdu π f (ln ) d < π. Εφρμογη... Η γρφική πράστση μις συνεχούς συνάρτησης f [, ] R ρίσκετι ολόκληρη μέσ στο ορθογώνιο OBΓA με O(, ), A(, ), B(, ) κι δεν διέρχετι πό τις κορυφές Ο κι Γ. Ν ποδείξετε ότι: ) Η C f τέμνει τη διγώνιο OΓ σε εσωτερικό της σημείο. ) Η C f τέμνει τη διγώνιο AB. γ) f()d <. δ) f ()d < f()d. Υποδειξη ) Επειδή λ OΓ, η διγώνιος OΓ έχει εξίσωση y. Αρκεί λοιπόν ν ποδείξουμε ότι υπάρχει (, ) τέτοιο, ώστε f( ). Θεωρούμε, όπως είνι λογικό, τη συνάρτηση g() f(), [, ]. Η g είνι συνεχής στο [, ] ως διφορά συνεχών συνρτήσεων. g() f() >, διότι η C f δεν περνάει πό το O κι η C f ρίσκετι μέσ στο ορθογώνιο. g() f() <, διότι η C f δεν διέρχετι πό το Γ, φού ρίσκετι μέσ στο ορθογώνιο, οπότε f() <. Άρ, g()g() <. Σύμφων με το θεώρημ Bolzno, υπάρχει (, ) τέτοιο, ώστε g( ) f( ), που είνι η ζητούμενη σχέση. ) Θ ρούμε πρώτ την εξίσωση της διγωνίου AB. λ AB y B y A B A. (ΑΒ): y y A λ AB ( A ) y ( ) y ( ). Γι ν τέμνει λοιπόν η C f τη διγώνιο ΑΒ ρκεί ν ποδείξουμε ότι υπάρχει [, ] τέτοιο, ώστε: Θεωρούμε τη συνάρτηση f( ) ( ). h() f() + ( ) [, ]. 5

Η h είνι συνεχής στο [, ] ως διφορά συνεχών συνρτήσεων. h() f(), φού < f(). h() f(). Είνι επομένως h()h(). Δικρίνουμε τις περιπτώσεις: i) Αν h()h() (h() ή h() ) επιλέγουμε κι έτσι η C f τέμνει την ΑΒ στο Β ή στο Α ντίστοιχ. ii) Αν h()h() <, τότε πό το θεώρημ Bolzno, υπάρχει (, ) τέτοιο ώστε: h( ) f( ) ( ). Σε κάθε περίπτωση λοιπόν υπάρχει [, ], ώστε f( ) ( ). Άρ η C f τέμνει τη διγώνιο ΑΒ. γ) Επειδή f(), χωρίς όμως ν ισχύει πντού το ίσον (φού f() > κι f() < ), πίρνουμε: f()d < d. δ) Από τη σχέση f(), πίρνουμε οπότε: f() f(), f() (f() ) f () f(), χωρίς ν ισχύει πντού το ίσον. Επειδή η f είνι επιπλέον συνεχής, πίρνουμε ότι Σημειωση f ()d < f()d. Γι το σημείο είνι f( ) κι (, ). Άρ f( ) κι f( ) <, φού <. Εφρμογη..4. Δίνετι η συνάρτηση Ν ποδείξετε ότι f () e R. f () d > 5. Υποδειξη Η συνάρτηση f είνι κυρτή στο [, ], διότι f () (e ) κι έτσι ρίσκουμε γενικότερ την κυρτότητ στο πεδίο ο- ρισμού της. Στο σημείο A (, f ()) η γρφική πράστση της f έχει εφπτομένη (ε) y f () f () ( ) y + ( ) y + Αλλά η f είνι κυρτή στο διάστημ [, + ), οπότε: f () + f () ( + ) γι κάθε [, ] κι το ίσον ισχύει μόνο γι. Επομένως: f () d > ( + ) d Θέτουμε y dy d. Βρίσκουμε τ νέ άκρ ολοκλήρωσης: Επομένως είνι : y, y ( + ) d ( y ) ydy y 5 + y 5 4 ( 5 + ) 5. Άρ f () d > 5. Άλλες περιπτώσεις iv) Μελετάμε τη συνάρτηση G() F () F (), όπου F είνι μι πράγουσ της f κι σε υτή εφρμόζουμε τον ορισμό της μονοτονίς ( > ) ή του κροτάτου. v) Την τκτική υτή εφρμόζουμε κόμ κι στην περίπτωση που θέλουμε ν ρούμε πρόσημο τιμών συνάρτησης (γι ν κάνουμε πχ Bolzno), λλά προυσιάζοντι ορισμέν ολοκληρώμτ (με γνωστά άκρ), τ οποί θέλουμε ν συγκρίνουμε με ριθμητικές τιμές. Αν γι πράδειγμ θέλουμε ν ρούμε το πρόσημο του F () f(t)dt, κι ξέρουμε ότι η f είνι κυρτή, τότε ρίσκουμε την εξίσωση μις εφπτομένης, π.χ. στο κι ν υτή είνι η ε y, τότε πό τη σχέση πίρνουμε: f() () f(t)dt > tdt 6

διότι στην () δεν ισχύει πντού η ισότητ. Επομένως F () f(t)dt <. vi) Ορισμένες φορές ξεκινάμε πό μι σική νισότητ που προκύπτει πό τ δεδομέν ή τ άλλ υποερωτήμτ, ολοκληρώνουμε, κάνουμε πργοντική ολοκλήρωση κι το ρχικό ολοκλήρωμ επνεμφνίζετι. vii) Κάνουμε δύο ΘΜΤ χωρίζοντς κάποιο διάστημ στη μέση κι εργζόμστε σε συνάρτηση της μορφής G() F () F (), όπου F είνι μι πράγουσ της f, η οποί ποδεικνύουμε πρώτ ότι είνι κυρτή ή κοίλη, ώστε ν έχουμε τη μονοτονί της G.. Ανισότητες της μορφής f(t)dt g(t)dt i) Μελετάμε ως προς το πρόσημο στο [, ] τη συνάρτηση της διφοράς d() f() g() κι φού διτάξουμε τις f, g, δηλδή ρούμε πχ ότι f() g() ολοκληρώνουμε κι πίρνουμε f()d g()d. Αν η ισότητ δεν ισχύει πντού, τότε η διάτξη είνι γνήσι. Θυμίζουμε ξνά ότι έχουμε ως εργλείο την πρκάτω σική πρότση : Προτση. Αν οι συνρτήσεις f, g είνι συνεχείς στο [, ] κι f() g() γι κάθε [, ], τότε: f()d g()d. Αν μάλιστ η ισότητ δεν ισχύει πντού στο [, ], τότε η διάτξη είνι γνήσι, δηλδή: f()d > g()d. ii) Θεωρούμε μι ρχική F της f, εφρμόζουμε το θεμελιώδες θεώρημ κι προσπθούμε ν μελετήσουμε κτάλληλη συνάρτηση ως προς τη μονοτονί. Τη συνάρτηση υτή την εντοπίζουμε πό τη μορφή των νισοτήτων που θ προκύψουν. Εφρμογη... Δίνετι η συνεχής συνάρτηση f R R η οποί γι κάθε R ικνοποιεί τις σχέσεις: f() f () f(). f() f(), R ) Ν ποδείξετε ότι f() + + 9. ) Ν ποδείξετε ότι + f()d < + + f()d, R. Υποδειξη Αρκεί ν θεωρήσουμε μι ρχική F της f κι ν εκφράσουμε τ ολοκληρώμτ ως διφορές, με άση το θεμελιώδες θεώρημ. Είνι επομένως : + + f()d < f()d + F ( + ) F () < F ( + ) F ( + ) Η νισότητ υτή πίρνει τη μορφή g() < g( + ) (), όπου g() F ( + ) F (). Αλλά : διότι g () f( + ) f() > f () f() + 9 >, η f είνι τελικά γνησίως ύξουσ κι έτσι η σχέση () είνι προφνής. Εφρμογη... Δίνετι η συνάρτηση Ν ποδείξετε ότι: f() ln( + + ). ) Η συνάρτηση f είνι γνησίως ύξουσ. ) Αν >, τότε f(t)dt < f(). Υποδειξη ) Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το R, διότι Βρίσκουμε: + + + +. f () + + ( + + ) + + + + > + + 7

γι κάθε R. Άρ η f είνι γνησίως ύξουσ. ) Θ εφρμόσουμε την ισχυρή μέθοδο της ρχικής συνάρτησης. Πρτηρούμε ότι η διφορά των άκρων του ο- λοκληρώμτος είνι. Αν F είνι ρχική της f (υπάρχει διότι η f είνι συνεχής), τότε η δοσμένη σχέση, με άση κι το ΘΜΤ γι την F στο διάστημ [, ], γράφετι: f(t)dt < f() F () F () < f() F () F () < f() F (ξ) < f() f(ξ) < f() Η τελευτί σχέση μς οδηγεί στη μονοτονί της f. Πράγμτι, η συνάρτηση f έχει πράγωγο: f () + >, οπότε είνι γνησίως ύξουσ. Επειδή < ξ <, θ είνι f(ξ) < f() κι η ζητούμενη ποδείχθηκε. Με τον ίδιο τρόπο ποδεικνύουμε κι το άλλο σκέλος. Αλλος τροπος. Από τη μορφή του ολοκληρώμτος θεωρούμε t κι πό την μονοτονί της f πίρνουμε f() f(t) f() χωρίς ν ισχύει πντού η ισότητ. Επειδή η f είνι συνεχής, πίρνουμε: Άρ f()dt < f()( ) < f() < f(t)dt < f()dt f(t)dt < f()( ) f(t)dt < f(). f(t)dt < f() Ας προσέξουμε ότι η ολοκλήρωση γίνετι πντού ως t (άζουμε δηλδή πντού dt). Αλλος τροπος. Θ ποδείξουμε ρχικά το δεύτερο σκέλος, δηλδή ότι: Ομως f(t)dt f(). dt. Ετσι, η ζητούμενη σχέση γράφετι (f(t) f())dt, η οποί, όπως περιγράψμε κι στ σχόλι, ισχύει διότι t, η f είνι γνησίως ύξουσ, γεγονός που δίνει ότι f(t) f() κι τέλος διότι η h(t) f(t) f() είνι συνεχής, λλά όχι πντού μηδέν. Με τον ίδιο τρόπο ποδεικνύουμε κι το άλλο σκέλος. Σχολιο. Με τον ίδιο τρόπο ποδεικνύουμε ότι: Αν f() ln( + + ), τότε f() < 5 f(t)dt < f(5) γι κάθε. Η πόδειξη ν γίνει πό το μθητή με όλους τους πρπάνω τρόπους. Εφρμογη... Δίνετι η συνάρτηση f() ln( + + ). Ν μελετήσετε την f ως προς τ κοίλ κι ν ποδείξετε ότι Υποδειξη Είνι: f () Επίσης έχουμε : f(t )dt < 9. + + ( + + ) + + + + + + f () ( + ), οπότε η συνάρτηση είνι κοίλη στο [, + ). Η εξίσωση της εφπτομένης στο σημείο (, ) είνι: y f() f ()( ) y, οπότε φού η συνάρτηση είνι κοίλη, πό την σχέση γρφικής πράστσης κι εφπτομένης πίρνουμε: f() γι κάθε, με την ισότητ ν ισχύει μόνο γι. Επομένως πίρνουμε ότι f(t ) t, η οποί με τη σειρά της, φού δεν ισχύει πντού το ίσον, δίνει ότι: f(t )dt < t dt [ t ] 9.

Το Ολοκλήρωμ κι οι νισότητες πό τη σκοπιά του κθηγητή. Στο ο μέρος θ εμπλουτίσουμε το άρθρο υτό με θεωρί κι εφρμογές που δεν περιορίζοντι σε σχολικό επίπεδο λλά φορούν τον κθηγητή των μθημτικών.. Α. Ανισότητ Cuchy - Bunikovski- Schwrz.. Α. Θεωρητικό Μέρος Προτση 4. Αν f, g [, ] R είνι δύο συνεχείς συνρτήσεις, τότε: f () d g () d f () g () d Αποδειξη Αν μί πό τις f, g είνι η μηδενική συνάρτηση, τότε ισότητ. Εστω ότι η f δεν είνι μηδενική. Από της νισότητ (λf() g()) πίρνουμε ότι: λ f () λf()g() + g () γι κάθε λ R. Επομένως, πό τη σχέση διάτξης κι ολοκληρώμτος προκύπτει ότι: λ f ()d λ f()g()d + g ()d) γι κάθε λ R. Αν τη σχέση υτή τη δούμε ως νίσωση ου θμού ως προς λ, πό το γεγονός ότι ισχύει γι κάθε λ R, πίρνουμε ότι : ( f () g () d) f () d g () d που είνι η ζητούμενη. Η νισότητ υτή πίρνει κι την πρκάτω ισοδύνμη μορφή: f () g () d f () d g () d Γι συντομί θ νφερόμστε σε υτή την νισότητ ως (C-B-S). Ισότητ έχουμε ν μί πό τις συνρτήσεις είνι η μηδενική ή ν η f kg (g kf) με k R. Πράδειγμ. Εστω f R R συνεχής συνάρτηση. Ν ποδειχθεί ότι : ( f()ηµ d) + ( f()συν d) ( ) f ()d Αποδειξη. Σύμφων με την νισότητ Cuchy Schwrz πίρνουμε: ( f()ηµ d) ( f ()d) ( ηµ ()d) ( f()συν d) ( f ()d) ( συν ()d) Με πρόσθεση κτά μέλη των πρπάνω νισοτήτων πίρνουμε: ( f()ηµd) + ( f()συνd) ( f ()d) ( + ( f ()d) ( ηµ ()d) συν ()d) ( f()ηµd) + ( f()συνd) ( f ()d) ( (ηµ () + συν ())) ( f()ηµd) + ( f()συνd) ( ) ( f ()d) Ετσι η νισότητ ποδείχθηκε. Ας σημειώσουμε ότι η άσκηση ισχύει γενικότερ γι ολοκληρώσιμες συνρτήσεις κι όχι πρίτητ συνεχείς. Πράδειγμ. Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο [, ], ν ποδειχθεί ότι : Αποδειξη. ( ef () d e f () d ef () d e f () d (e f () ) d e f () e f () d) f () (e ) d C B S ( d) Σχολιο. Με τον ίδιο κριώς τρόπο μπορούμε ν - ποδείξουμε ότι e d e d, 9

ν κι πρόκειτι γι εφρμογή της πρπάνω γι τη συνάρτηση f(). Πράγμτι, πό την νισότητ Cuchy- Schwrz πίρνουμε : ( C B S e d e d (e ) d (e ) d e.. Εφρμογές e d) ( d) Εφρμογη... Εστω f [, ] R πργωγίσιμη συνάρτηση με f () με f συνεχή. Ν ποδειχθεί ότι: (f ()) d f () d. Λυση Ολοκληρώνουμε κτά πράγοντες κι πίρνουμε: f () f ()d f ()d () f ()d f ()d Με άση τώρ την νισότητ C-B-S, προκύπτει ότι : d f ()d f ()d (f ()) d (f ()) d Εφρμογη... Εστω f [, ] R συνεχής συνάρτηση. Ν ποδείξετε ότι: Αποδειξη. Εχουμε οπότε 7 f () d 7 4 f ( ) d f ()d f ( )d f () d. 6 d f ()d f () d 7 4 f ( )d f () d. Εφρμογη... Εστω f [, ] R μι συνεχής συνάρτηση με f ()d. Αν F είνι ρχική της f με F (), ν ποδειχθεί η νισότητ : f ()d + 5 F ()d Αποδειξη. Επειδή f ()d, πίρνουμε: Επομένως κι συνεπώς: f ()d F () f ()d + 5 F ()d F () F ()d, f () d + 5 F ()d f () F () d. C B S F () F () + 5 F () 6F () f ()F () d. F ()d. Εφρμογη..4. Εστω f [, ] R συνεχής συνάρτηση με Ν ποδειχθεί ότι: f () d f () d. ( ) f () d.

Αποδειξη. Ολοκληρώνουμε κτά πράγοντες κι πίρνουμε : νισότητ C-B-S, με ολοκλήρωση κτά πράγοντες έχουμε Αποδειξη. Πίρνοντς υπόψη ότι f ( + ) κι την - : f (t) dt d f (t) dt d f () d. (f ()) d Στη συνέχει, με άση την πρπάνω νισότητ C-B-S, μπορούμε ν γράψουμε : Επομένως f () d d ( dt ). f () f () d f (t) dt f (t) dt d f (t) dt d f (t) dt d f (t) dt d f () d ( ) f () d ( ) f () d. Εφρμογη..5. Αν η συνάρτηση f [, ] R έχει συνεχή πράγωγο κι επιπλέον ν ποδειχθεί ότι : f ()d f ( + ), + + f (t) dt d + + + + + ( + ) ( + ) + + [( + + + ) [( + ) ( ) + + Προκύπτει έτσι ότι: ( + ( ) ( + ( ) (f ()) d + (f ()) d + + + + f (t) dt d (f (t)) dt d+ (f (t)) dt d + + (f (t)) dt] d+ (f (t)) dt] d (f ()) d ) (f ()) d+ (f ()) d ) (f ()) d. (f ()) d ( + ) (f ()) d ( + ) f () d (f ()) d (f () + f ()) ( ) (f ()) d. (f ()) d+

f () + f () f () d (f ()) d + ( ) (f () + f ()), Πίρνουμε επομένως ότι: (f ()) d (f () + f ()) ( ) f()d (f ()) d. Εφρμογη..6. Αν f [, ] R είνι πργωγίσιμη συνάρτηση με συνεχή πράγωγο στο [, ] με την ιδιότητ ν ποδειχθεί ότι f 4 () 4 f () f ()d Αποδειξη. Αν t [, ], τότε t f ()d, (f ()) d. f (t) f () f () d (f ()) d C B S f () f () dt (f ()) d. Σύμφων με την εκφώνηση έχουμε f () f () f () Επειδή ωστόσο πίρνουμε f () f () f() f () f () d (f ()) d (). (f ()) d f ()d, f () d () Από τις (), () προκύπτει: f 4 () 4 f ()d (f ()) d. Εφρμογη..7. Εστω f [, ] R συνεχής συνάρτηση. Ν ποδειχθεί ότι : f ()d 4 f () d 4 5 f () d. Αποδειξη. Εστω R. Με τη οήθει της νισότητς C-B-S, γράφουμε: ( 4 + ) d 4 f () d f () d f () d ( 4 + ) f () d + 4 AM GM Από εδώ προκύπτει ότι : Επειδή 4 f () d πίρνουμε ότι f ()d 4 f () d 4 f () d f () d ( 6 + + 4 ) 6 + + 4 4 5, 4 f () d 4 5 f () d + f () d. f () d. f (). Εφρμογη... Εστω f [, ] R συνεχής συνάρτηση. Ν ποδειχθεί ότι: 4 f ()d + f () d f ()d f ()d.

Αποδειξη. Εστω Ανζητούμε R ώστε: 4 f ()d + ( + ) f ()d Αν θέσουμε f ()d t, τότε: ( + ) t t Επομένως t 9 9 ( + ) f () ( + ) f () d ( + ) f ()d. ( + ) f ()d + 4 ( + ) f () d ( + ) ( + ) f () d. f ()d. f () d C B S f () d Επομένως, γι προκύπτει ότι t. Άρ γι κάθε t R: ( + ) t t ( + ) f ()d + 4 f ()d. Από την πρπάνω, φού, τελικά πίρνουμε : 4 f ()d + f ()d f () d f ()d.. Μονότονες κυρτές θετικές συνρτήσεις.. Θεωρητικό Μέρος Στην ομάδ υτή περιέχοντι οι πιο σικές νισότητες που φορούν το ολοκλήρωμ κι χρησιμοποιούντι γι συνεχείς συνρτήσεις κι στη σχολική τάξη. Ισχύουν όμως γενικότερ γι ολοκληρώσιμες συνρτήσεις. () Εστω συνεχής συνάρτηση f [, ] R με f (), γι κάθε [, ]. Τότε f ()d. () Εστω οι συνεχείς συνρτήσεις f, g [, ] R με την ιδιότητ f () g (),, γι κάθε [, ]. Τότε f ()d g (). (γ) Αν f [, ] R είνι συνεχής συνάρτηση κι m f () M,, γι κάθε [, ], τότε m ( ) f ()d M ( ). (δ) Αν f [, ] R είνι συνεχής συνάρτηση τότε ισχύει: (ε) f () d f () d. Αν f [, ] [, ) είνι συνεχής συνάρτηση στο διάστημ [, ] κι [c, d] [, ], τότε c d f ()d f ()d. (στ) Αν f [, ] [, ) είνι συνεχής συνάρτηση στο διάστημ [, ] κι υπάρχει [, ] με f ( ) >, τότε f ()d >. Σχολι Η πόδειξη των δύο πρώτων ερωτημάτων δεν θεωρούμε ότι είνι πρίτητη μι κι οι νισότητες υτές ποτελούν σικά εργλεί κόμ κι σε σχολικό επίπεδο. Θ μπορούσε όμως ν χρησιμοποιήσει κνείς το θεώρημ μέσης τιμής του ολοκληρωτικού λογισμού κι ν γράψει: f ()d f(c)( ), c (, ). φού f (), [, ], κι έτσι το συμπέρσμ είνι άμεσο. Προφνώς, η πόδειξη μπορεί ν γίνει

κι με τον ορισμό του ορισμένου ολοκληρώμτος. Η - νισότητ () νάγετι στο (), φού γι τη συνάρτηση h() g() f() ισχύει ότι h (), [, ] κι έτσι: h()d g()d Απόδειξη της νισότητς (γ). Επειδή (g() f())d m f () M, f()d γι κάθε [, ], σύμφων με το () πίρνουμε: m d m( ) f ()d M d f ()d M( ) Απόδειξη της νισότητς (δ). Επειδή ισχύει η νισότητ: f() f() f() σύμφων με το () προκύπτει ότι: f() d f()d f()d Απόδειξη της νισότητς (ε). Είνι f ()d c f ()d+ c d f ()d+ f() d d f() d f ()d φού οι δύο άλλοι όροι είνι μη ρνητικοί. Απόδειξη της νισότητς (στ). c d f ()d Επειδή η f είνι συνεχής στο κι f( ) > υπάρχει διάστημ [c, d] [, ], ώστε f() > γι κάθε [c, d]. Σύμφων με το προηγούμενο θεώρημ είνι: f ()d c f ()d + c d c d f ()d > f () d + d f ()d φού πάλι με το ΘΜΤ γι το ολοκλήρωμ στο [c, d] μπορούμε άμεσ ν συμπεράνουμε ότι f ()d >. d c.. Εφρμογές Εφρμογη... Θεωρούμε τη συνάρτηση f [, ] R, η οποί είνι πργωγίσιμη με συνεχή πράγωγο, ώστε f () f (). Αν M είνι το μέγιστο της f δηλδή M m f () ν ποδειχθεί ότι: [,] Αποδειξη. οπότε Εχουμε f () M f () f (t) dt + f (t) dt f () d., f () f (t) dt + γι κάθε [, ]. Επομένως M f (t) dt f (t) dt f () d. f (t) dt f () d, Εφρμογη... Αν f [, ] R είνι πργωγίσιμη συνάρτηση με συνεχή πράγωγο στο [, ]. Αν M είνι το μέγιστο της f δηλδή M m f (), ν ποδείξετε [,] ότι : Αποδειξη. Εχουμε Είνι επίσης : f ()d + f () d f () d f () d, f () d (t )f (t) dt f () d f () d, M ( t)f () dt. 4

f ()d + ( ) f () f ()d + ( ) f () πό όπου προκύπτει ότι f ()d + ( ) f (), ( ) f () (t )f (t) dt f ()d + (t ) f (t) dt + Προκύπτει έτσι ότι ( ) f () d ( ) (t ) f (t) dt d+ ( ) M, που είνι η ζητούμενη. f ()d ( t)f () dt ( ) f (t) dt, f ()d ( t) f (t) dt d Εφρμογη... Εστω f [, ] R συνεχής συνάρτηση με f ()d, κι M m f () το μέγιστο της f Ν ποδειχτεί η [,] νισότητ: Ολοκληρώνουμε κτά πράγοντες κι πίρ- Αποδειξη. νουμε : f () d 6 M. f ()d tf (t) dt d tdt d M tf (t) dt d t f (t) dt d M d 6 M. 5 Εφρμογη..4. Εστω M το σύνολο των πργωγίσιμων συνρτήσεων f [, ] R με f () κι f (). Ν ποδειχθεί ότι Αποδειξη. Επειδή f () f () d, γι κάθε f M. e (e f ()) e (f () f ()), γι κάθε [, ], γράφουμε : e (e f ()) d f () f () d (e f ()) d (e f ()) d e f () e. Εφρμογη..5. Εστω f [, ] R πργωγίσιμη συνάρτηση με συνεχή πράγωγο κι M m f () το [,] μέγιστο της f (). Ν ποδειχθεί ότι + f ()d Αποδειξη. Εχουμε: + f () d ( ) f () f ()d ( ) 4 ( ) f () d ( ) f () d. M. Από το θεώρημ μέσης τιμής γι τ ολοκληρώμτ υπάρχει c (, ) τέτοιο, ώστε f (c ) Από δω πίρνουμε ότι ( )f () d ( )d f (c ) f ()d ( ) f () f (c ) Ανάλογ, υπάρχει c (, ) ώστε : f ()d ( ) f () f (c ) ( ), ( ). ( ).

Επομένως η νισότητ που πρέπει ν ποδείξουμε γράφετι: ( + ) f ( + ) f ( ) (c ) ( + ) f ( + ) + f (c ) ( ) M ( ) f (c ) + f (c ) ( ) 4 ( ) M. Εφρμογη..6. Αν f, g [, ] (, ) είνι δύο συνεχείς συνρτήσεις, η f είνι ύξουσ κι η g φθίνουσ, ν ποδειχθεί ότι : γι κάθε [, ). f () d f () d g () d, g () d Αποδειξη. Γι η ζητούμενη ισχύει. Εστω (, ). Επειδή η f είνι ύξουσ κι η g είνι θετική, πίρνουμε: f ()g () d Επίσης : f () Ετσι πίρνουμε ότι : f ()g () d + g () d+ f ()g () d f () f ()g () d. f ()g () d f (). g () d f ()g () d g () d f ()g () d g () d+ f ()g () d g () d f ()g () d g () d f ()g () d + g () d Από εδώ προκύπτει ότι: Επομένως : f ()g () d f ()g () d f ()g () d g () d g () d g () d g () d f ()g () d g () d f ()g () d. g () d g () Είνι κόμ : Οπότε : f ()g () d + f ()g () d f () d+ f ()g () d g () f ()g () d f ()g () d. f ()g () d g (), f () d f ()g () d f () d f ()g () d f () d+ f () d f ()g () d 6

Τελικά f () d f () d f () d f ()g () d. f () d f ()g () d f () d f () d f ()g () d f ()g () d g () d g () d f ()g () d f ()g () d g () d. g () d Εφρμογη..7. Εστω f [, ] R μι πργωγίσιμη συνάρτηση με συνεχή πράγωγο f. Εστω m κι M η ελάχιστη κι η μέγιστη τιμή της συνεχούς συνάστησης f () στο [, ]. Ν ποδειχθεί ότι: m f ()d f () d M. Αποδειξη. Γι, y [, ], με τη οήθει του θεωρήμτος Lgrnge, υπάρχει c,y (min (, y), m (, y)), τέτοιο ώστε : m (f () f (y)) (f (c,y )) ( y) m ( y) (f () f (y)) M ( y) m 6 ( y) dy d M f ()d (f () f (y)) dy d ( y) dy d f () d M 6. Εφρμογη... Εστω f [, ] R δυο φορές πργωγίσιμη συνάρτηση με f (), γι κάθε [, ]. Ν ποδειχθεί ότι f ()d f (). Αποδειξη. Υποθέτουμε ότι f () > γιά κάθε [, ]. Η συνάρτηση f είνι γνησίως ύξουσ. Ορίζουμε την πργωγίσιμη συνάρτηση ϕ [, ] R, με Εχουμε: ϕ () t f () d tf ( t ). ϕ (t) f (t) f ( t ) tf ( t ) Lgrnge t c t ( t, t) (f (c t ) f ( t )) >, οπότε η συνάρτηση ϕ είνι γνησίως ύξουσ. Επομένως ϕ () > ϕ () f ()d > f (). Βιλιογρφι. Χρ. Στεργίου - Χρ. Νάκης, Μθημτικά Γ, Εκδόσεις Σάλς, 5. Florin Stnescu, Ineglitti Integrle, Ed.Prlel 45. Hrdy G. H., Littlewood J. E., Poly G., Inequlities, nd edition, Cmridge University Press, Cmridge, 95. 4. Mitrinovic, D. S., Anlytic Inequlities, Springer- Verlg, Berlin, 97. 5. Mitrinovic, D. S., Pecric, J. E., Fink, A. M., Clssicl nd New Inequlities in Anlysis, Kluwer Acdemic Pulishers, Dordrecht 99 6. Bechench, E. F., Inequlities, Springer, Berlin, 9. 7. Constntin P. Niculescu, An Introduction to Mthemticl Anlysis, Universitri Press, Criov, 5. Ευχριστίες Ευχριστώ τους εκλεκτούς συνδέλφους Χρήστο Κυριζή, Φωτεινή Κλδή κι τον Στύρο Ππδόπουλο γι τη συμολή τους κι σε υτή την προσπάθει. 7