ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Έννοια Ορισμοί Τρόπος υπολογισμού Kατανομή πιθανότητας Ασκήσεις
Έννοια τυχαίας μεταβλητής Κατά τον υπολογισμό πιθανοτήτων, συχνά συμβαίνει τα ενδεχόμενα που μας ενδιαφέρουν να μετρούν κάποια ποσότητα. Πχ. Πλήθος φορών που φέρνουμε Κεφαλή αν ρίξουμε ένα κέρμα 10 φορές. Άθροισμα ενδείξεων αν ρίξουμε δύο ζάρια. Συμβολίζουμε τη μετρούμενη ποσότητα με ένα κεφαλαίο λατινικό γράμμα και την ονομάζουμε τυχαία μεταβλητή, για να τη διαχωρίσουμε από μια απλή μεταβλητή. Η τυχαία μεταβλητή ξεχωρίζει από μια άλλη μεταβλητή χάρτη στο γεγονός ότι οι τιμές της τυχαίας μεταβλητής συνοδεύονται από μια πιθανότητα.
Μετρήσεις από «Πείραμα» Tύχης Τα αποτελέσματα ενός πειράματος τύχης, μπορούν να αντιστοιχηθούν σε αριθμό. Η μεταβλητή με τους αριθμούς αυτούς, (μαζί με τις πιθανότητές τους να συμβούν) ονομάζεται τυχαία μεταβλητή. Οι τυχαίες μεταβλητές είναι μόνο ποσοτικές μεταβλητές, που παίρνουν τιμές στις οποίες αντιστοιχεί μια πιθανότητα να εμφανιστούν. Το άθροισμα των πιθανοτήτων όλων των δυνατών τιμών μιας τυχαίας μεταβλητής είναι πάντα ίσο με 1.
Αντιστοίχηση πειραμάτων τύχης σε τυχαίες μεταβλητές Ρίξιμο κέρματος πλήθος Γ Ρίξιμο ζαριού άθροισμα ενδείξεων Επιλογή χαρτιού τράπουλας πλήθος φιγούρων Τυχεροί αριθμοί joker χρήματα που κερδίζω Χρόνος δρομολογίου λεωφορείου από κέντρο μέχρι ΤΕΙ χρόνος σε λεπτά Καιρός σήμερα το απόγευμα λεπτά ηλιοφάνειας Φύλο νεογέννητου μωρού πλήθος Α Πλήθος πελατών σε μια μέρα πλήθος ατόμων Βαθμός εξέτασης στο μάθημα βαθμός
Χαρακτηριστικά τυχαίων μεταβλητών Πρέπει να γνωρίζουμε ποιες τιμές μπορεί να πάρει μια τυχαία μεταβλητή και ποιες τιμές είναι αδύνατο να πάρει. Για τις δυνατές τιμές της τυχαίας μεταβλητής καταγράφουμε την πιθανότητα τους να συμβούν. Την πιθανότητα αυτή για μια τυχαία μεταβλητή Χ τη συμβολίζουμε Ρ(Χ=α) και αντιστοιχεί στην πιθανότητα η τιμή της Χ να είναι α. Η αντιστοίχηση όλων των τιμών με τις πιθανότητές τους ονομάζεται συνάρτηση πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητής. Μερικές φορές μας χρειάζεται και η πιθανότητα η Χ να παίρνει τιμές μικρότερες ή ίσες του α Ρ(Χ α). Η αντίστοιχη συνάρτηση για Ρ(Χ α) ονομάζεται συνάρτηση αθροιστικής κατανομής
Διακριτές και συνεχείς τυχαίες μεταβλητές Αν οι αριθμοί (τιμές) της τυχαίας μεταβλητής είναι ακέραιοι αριθμοί, αυτή ονομάζεται διακριτή τυχαία μεταβλητή. Αν οι αριθμοί (τιμές) της τυχαίας μεταβλητής είναι δεκαδικοί αριθμοί, αυτή ονομάζεται συνεχής τυχαία μεταβλητή. Συμβολίζονται με κεφαλαίο γράμμα π.χ. Χ, Υ, Ζ
Διακριτή τυχαία μεταβλητή Χ= «Πλήθος Κεφαλών αν ρίξουμε ένα νόμισμα 2 φορές». Υπολογισμός των δυνατών τιμών: Ω = {ΚΚ, ΚΓ, ΓΚ, ΓΓ} κεφαλές {2, 1, 1, 0} Τιμές Πιθανότητες εμφάνισης 0 ¼=0,25 1 ¼+¼ =1/2=0,50 2 ¼ = 0,25 Σύνολο 1
Συνεχής τυχαία μεταβλητή Χ= «λεπτά καθυστέρησης έναρξης μαθήματος». Υπολογισμός των δυνατών τιμών: Ω =[0 20] Τιμές (διαστήματα) Πιθανότητες [0-5) 0,70 [5-10) 0,15 [10-15) 0,10 [15-20] 0,05 Σύνολο 1
Κατανομή πιθανότητας τυχαίας μεταβλητής Η συνάρτηση που αντιστοιχεί τις τιμές της τ.μ. με τις πιθανότητές τους. (Πίνακας κατανομής πιθανότητας) Συμβολίζεται με f(χ) Το άθροισμα των f(χ) των μικρότερων από μία συγκεκριμένη τιμή x, συμβολίζεται με F(x) και ονομάζεται αθροιστική συνάρτηση κατανομής πιθανότητας τ.μ.
Αναμενόμενη τιμή τυχαίας μεταβλητής Αντίστοιχη της μέσης τιμής ή μέσου όρου Εκφράζει την τιμή που θα περιμέναμε από την τυχαία μεταβλητή Χ. Συμβολίζεται με Ε(Χ) Υπολογίζεται με Διακριτή τ.μ. Ε(Χ)= Σχ Ρ(χ) άθροισμα τιμής επί πιθανότητα τιμής Συνεχής τ.μ. Ε(Χ)= xf(x)dx
Διασπορά τυχαίας μεταβλητής Αντίστοιχη της διακύμανσης Εκφράζει την τιμή πάνωκάτω από την Ε(Χ). Συμβολίζεται με Var(Χ) Υπολογίζεται με Διακριτή τ.μ Var(Χ)= Σ(χ-E(X)) 2 Ρ(χ) Συνεχής τ.μ. Ε(Χ)= (χ-e(x)) 2 f(x)dx
Παράδειγμα Χ= «πλήθος ζυγών αριθμών με δύο ρίψεις ζαριού» τιμή 0 1 2 πιθανότητα σύνολο 1
Παράδειγμα Χ= «πλήθος ζυγών αριθμών με δύο ρίψεις ζαριού» τιμή πιθανότητα 0 0,25 1 0,50 2 0,25 σύνολο 1 Ε(Χ)= 0x0,25+ 1x0,50+ 2x0,25= 1
ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Μεταξύ των οικογενειών με 3 παιδιά επιλέγουμε τυχαία μια οικογένεια και εξετάζουμε τα παιδιά ως προς το φύλο. Να γράψετε το δειγματικό χώρο του πειράματος. Ορίστε την τυχαία μεταβλητή «πλήθος αγοριών στην οικογένεια» και υπολογίστε την κατανομή πιθανότητας, και την αναμενόμενη τιμή της. 2. Σε ένα δοχείο υπάρχουν 3 κόκκινες και 4 πράσινες μπάλες. Παίρνουμε ταυτόχρονα 3 μπάλες και εξετάζουμε το χρώμα τους. Να γράψετε το δειγματικό χώρο του πειράματος. Ορίστε την τυχαία μεταβλητή «πλήθος κόκκινων» και υπολογίστε την κατανομή πιθανότητας, και την αναμενόμενη τιμή της. 3. Ένας πωλητής μιας φαρμακοβιομηχανίας, κάνει 3 επισκέψεις το χρόνο, σε ένα φαρμακείο. Σε κάθε επίσκεψη η πιθανότητα να πραγματοποιήσει πώληση είναι 80%. α) Να γράψετε το δειγματικό χώρο του πειράματος. (Χρησιμοποιείστε δενδρόγραμμα πιθανότητας) β) Ορίστε την τυχαία μεταβλητή «συνολικός αριθμός πωλήσεων σε ένα χρόνο» και υπολογίστε την κατανομή πιθανότητας, και την αναμενόμενη τιμή της. γ) Ποια η πιθανότητα να πραγματοποιήσει ο πωλητής τουλάχιστον 2 πωλήσεις σε ένα χρόνο; 4. Ένας πλασιέ βιβλίων, κάνει 3 επισκέψεις τη μέρα, σε οικογένειες. Σε κάθε επίσκεψη η πιθανότητα να πραγματοποιήσει πώληση είναι 60%. α) Να γράψετε το δειγματικό χώρο του πειράματος. (Χρησιμοποιείστε δενδρόγραμμα πιθανότητας) β) Ορίστε την τυχαία μεταβλητή «συνολικός αριθμός πωλήσεων σε μία μέρα» και υπολογίστε την κατανομή πιθανότητας, και την αναμενόμενη τιμή της. γ) Ποια η πιθανότητα να πραγματοποιήσει ο πωλητής τουλάχιστον 1 πώληση σε μία μέρα; 5. Πιτσαρία διανομής πακέτου, έχει δύο υπαλλήλους Α και Β, που δέχονται τηλεφωνικές παραγγελίες. Το 40% των παραγγελιών γίνεται στον Α και το 60% στον Β. α) Όταν μέσα σε ένα πεντάλεπτο γίνουν 2 παραγγελίες, ποια είναι η πιθανότητα να δεχθεί και τις δύο ο ίδιος υπάλληλος; β) Ορίστε την τυχαία μεταβλητή «πλήθος παραγγελιών που εξυπηρετεί ο Α όταν γίνουν δύο παραγγελίες σε ένα πεντάλεπτο», δώστε την κατανομή πιθανότητας της και την αναμενόμενη τιμή της.