0.4 ιαφόριση συναρτήσεων

0.4 ιαφόριση συναρτήσεων Ορισµός Έστω f : A R R µια πραγµατική συνάρτηση δύο µεταβλητών µε A ανοικτό και ( α, β ) A. Τότε οι µερικές παράγωγοι της συνάρτησης f ως προς τις µεταβλητές και στο σηµείο ( α, β ) ορίζονται από τους τύπους f f( α + h, β) f( α, β) ( αβ, ) = f ( αβ, ) = lim h 0 h και f f( α, β + h) f( α, β) ( αβ, ) = f ( αβ, ) = lim h 0 h υπό την προϋπόθεση ότι υπάρχουν (στο R ) τα αναφερόµενα όρια. Περιορισµός της f (, ) στο = β f Η (, ) α β είναι η παράγωγος της συνάρτησης f(, β ) στο σηµείο = α

Άσκηση 4.1 Υπολογίστε τις πρώτες µερικές παραγώγους της συνάρτησης i. 3 5 4 f (, ) = + ii. z f (, ) = eηµ συν + iii. f ( z,, ) = z + ( z) z + + iv. 3 f ( z,, ) = ( + )ln(1 + z) + τοξεφ( + z) Άσκηση 4. Εξετάστε αν υπάρχουν οι µερικές παράγωγοι f (0,0) (0,0) και αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο (0,0).,(, ) (0,0) i. f(, ) = + 0( η 1), (, ) = (0,0) ηµ,(, ) (0,0) ii. f(, ) = + 0, (, ) = (0,0) iii. iv. 3 4 4, 0 4 f(, ) = 4 0, = 0 ηµ ( ),(, ) (0,0) f(, ) = + 0, (, ) = (0,0) i. Παρατήρηση 8.6, σελ. 339 1 ii. f (0,0) = f (0,0) = 0. Η f δεν είναι συνεχής στο (0,0), διότι δεν υπάρχει το lim f (, ) (, ) (0,0), αφού για = 0 είναι 0 lim ηµ = lim ηµ = lim 0 = 0 και για = + 1 ηµ 1 lim ηµ = lim ηµ = lim = + (0, ) (0,0) 0 0 (, ) (0,0) 0 0 1 Οι σελίδες αναφέρονται στο ιδακτικό Βιβλίο

iii. f (0,0) = f (0,0) = 0. Η f δεν είναι συνεχής στο (0,0), διότι δεν υπάρχει το lim f (, ) (, ) (0,0), αφού για = 0 3 4 3 lim = lim = lim = 0 (,0) (0,0) 4 0 0 3 4 4 = 0 lim = lim = lim1 = 1 (0, ) (0,0) 4 0 4 0 iv. f (0,0) = f (0,0) = 0. Η f είναι συνεχής στο (0,0), αφού είναι ηµ ( ) ηµ ( ) + lim = lim = 1 0 = 0 = f (0, 0) + + (, ) (0,0) (, ) (0,0) Άσκηση 4.3 Υπολογίστε όλες τις δεύτερες µερικές παραγώγους της συνάρτησης και για i. ii. f z = ze + + 3 (,, ) συν ( ) f z = + + + z + z 3 (,, ) τοξεφ( ) Άσκηση 4.4 Υπολογίστε τις µερικές παραγώγους f της συνάρτησης,(, ) (0,0) f(, ) = + 0, (, ) = (0,0) Αποδείξτε ότι f (0,0) f (0,0) και ότι οι f είναι ασυνεχείς στο (0,0). 4 3 5 + 4,(, ) (0,0) Η γραφική παράσταση της f(, ) = ( + ) 0,(, ) = (0,0) f(0, ) = φαίνονται στο παρακάτω σχήµα και της

f (0,0) = 1 (0,0) = 1. Παράδειγµα 8.14, σελ. 348-349. Οι f είναι ασυνεχείς στο (0,0). Πράγµατι α τρόπος: Εάν η f ήταν συνεχής στο (0,0), τότε θα ήταν και η f (λόγω της µορφής της συνάρτησης). Οπότε από το Θεώρηµα 8.13, Clairaut, σελ. 350, θα έπρεπε f (0,0) = f (0,0). Άτοπο, άρα οι f δεν είναι συνεχείς στο (0,0) β τρόπος: Υπολογίστε τις f (,, ) f (, ) για ασυνέχεια αυτών στο (0,0). (, ) R και αποδείξτε την ιαφορισιµότητα συναρτήσεων Έστω f : A R R µια πραγµατική συνάρτηση δύο µεταβλητών µε A ανοικτό και ( α, β ) A. i. Η f είναι διαφορίσιµη στο ( α, β ) αν και µόνον αν υπάρχει γραµµικός µετασχηµατισµός T : R R, έτσι ώστε να ισχύει f(, ) f( α, β) T( α, β) lim = 0 (, ) ( αβ, ) ( α) + ( β) ii. Εάν η f είναι διαφορίσιµη στο ( α, β ) ο γραµµικός µετασχηµατισµός Df αβ (, ):, R R µε Df( αβ, )(, ) = f( αβ, ) + f( αβ, ),(, ) είναι το διαφορικό της f στο (, ) α β. (Ορισµός 8.14 σελ. 354, Θεώρηµα 8.16 σελ 356-357, Ορισµός 8.17 σελ. 357, Θεώρηµα 8.0 σελ. 359). Στην γραφική παράσταση που ακολουθεί, το επίπεδο που φαίνεται είναι το εφαπτόµενο επίπεδο. Το διαφορικό είναι ο γραµµικός µετασχηµατισµός που περιγράφει το παράλληλο σε αυτό επίπεδο που περνά από την αρχή των αξόνων.

Άσκηση 4.5 Υπολογίστε την κλίση ( - ανάδελτα) (για τις i,ii ), τον πίνακα Jacobi (για τις iii,iv) και το διαφορικό της δοσµένης συνάρτησης στο αναφερόµενο σηµείο. i. f (, ) = + ηµ στο (1, 0) ii. f(,, z) = τοξεφ στο (1,, ) 3 iii. f (, ) = ( + 1, +, ) στο (,1) z 5 iv. f ( z,, ) = ( e, ) στο (1,, 0) Εφαρµόστε το Θεώρηµα 8.5 σελ. 367, Θεώρηµα 9.19 σελ. 4.. Άσκηση 4.6 Υπολογίστε το διαφορικό της f (, ) = e + συν στο σηµείο ( 0, 0) R i. Αποδείξτε ότι (, ) (0,0) lim e + συν = 0 + ii. Υπολογίστε τους αριθµούς Α, ΒΓ, ώστε να ισχύει lim e + συν Α Β Γ = 0 (, ) ( π,1) ( π ) + ( 1)

Οι µερικές παράγωγοι f(, ) = e ηµ (, ) = e + συν είναι συνεχείς στο R, άρα (Θεώρηµα 8.5 σελ. 367) η f είναι διαφορίσιµη στο R µε 0 0 0 0 0ηµ 0 0 0 συν 0 f (, ) = ( e ) + ( e + ), (, ) R και f(, ) f( 0, 0) Df( 0, 0)( 0, 0) lim = 0 (*) (Βλέπε και Θεώρηµα (, ) ( 0, 0) ( 0) + ( 0) 8.0 σελ. 359). i. Προκύπτει από την (*) αν θέσουµε ( 0, 0) = (0,0) ii. Προκύπτει από την (*) αν θέσουµε ( 0, 0) = ( π,1) και αναρωτηθούµε πόσοι γραµµικοί µετασχηµατισµοί την ικανοποιούν. Άσκηση 4.7 Υπολογίστε το διαφορικό της δοσµένης συνάρτησης f στο αναφερόµενο σηµείο i.,(, ) (0,0) f(, ) = + 0, (, ) = (0,0) στο (0,0) ii. 3,(, ) (0,0) f(, ) = + 0, (, ) = (0,0) στο (0,0)

iii. ηµ, 0 f(, ) = στο (0, 0) 0, = 0 iv. 1 ( + ) ηµ, (, ) (0,0) f(, ) = + 0, (, ) = (0,0) στο (0,0) Η γραφική παράσταση της f (, ) και της f (,0) φαίνονται στα παρακάτω σχήµατα

Η γραφική παράσταση της f στην iv) φαίνεται στο παρακάτω σχήµα Η γραφική παράσταση της f στην iv) φαίνεται στο παρακάτω σχήµα iv. i. Παράδειγµα 8.17 σελ. 360 ii. Παράδειγµα 8.18 σελ. 361 (Ανάλογα) iii. Η f είναι ασυνεχής στο (0, 0), 0 0 (γιατί;), άρα δεν είναι διαφορίσιµη στο (0, 0), 0 0. Η f είναι συνεχής στο (0,0) και f (0,0) = f (0,0) = 0 (γιατί;). Έχουµε f (, ) f(0,0) f(0,0)(, ) ηµ = + + ηµ ηµ 1 Όµως το lim = lim δεν υπάρχει άρα (Θεώρηµα 8.0 (, ) (0,0) 0 + σελ. 359) η f δεν είναι διαφορίσιµη στο (0,0). Η f είναι διαφορίσιµη στο σηµείο (0,0), αλλά οι µερικές παράγωγοι δεν είναι συνεχείς στο (0,0) (παράδειγµα 8.1 σελ. 365 367, διδακτικό βιβλίο)..

Ορισµός Έστω f : A R R µια πραγµατική συνάρτηση δύο µεταβλητών µε A ανοικτό και ( α, β ) A και u = ( u1, u) µια κατεύθυνση του R (δηλαδή ότι u = 1). Τότε κατευθυνόµενη παράγωγος της συνάρτησης f στο σηµείο a ως προς την κατεύθυνση u είναι ο πραγµατικός αριθµός f ( a), ο οποίος ορίζεται από τον τύπο f 1 u ( a) = lim = lim h 0 h 0 u f ( α + uh, β + uh) f( α, β) f( a+ hu) f( a) h h Αν επιπλέον η πραγµατική συνάρτηση f : A R είναι διαφορίσιµη στο a = ( α, β ) A τότε υπάρχει η κατευθυνόµενη παράγωγος f u ( a) και ισχύει ο τύπος f ( a ) = Df( a )( u ) = f( a ) u, u = 1 u Περιορισµός της f στην ευθεία η οποία είναι παράλληλη µε το διάνυσµα u και περνά από το σηµείο ( α, β ) Περιορισµός της f στην ευθεία η οποία είναι παράλληλη µε το διάνυσµα u = (1, 0) και περνά από το σηµείο ( α, β ) (α,β) Άρα η κατευθυνόµενη παράγωγος είναι η παράγωγος της (κόκκινης) συνάρτησης σε κάποιο σηµείο (ενώ η µερική παράγωγος ως προς είναι η παράγωγος της µπλε συνάρτησης σε κάποιο σηµείο). Άσκηση 4.8 z Να υπολογιστεί η κατευθυνόµενη παράγωγος της f ( z,, ) = e + e + eηµ στο π σηµείο (0,,0) ως προς την κατεύθυνση u = (1,1,1).

Ανάλογα µε το παράδειγµα 8.39 σελ. 394 Άσκηση 4.9 Υπολογίστε την κατευθυνόµενη παράγωγο της f ( z,, ) = e συν ( π z) στο σηµείο 1 (0,1, ) σε κατεύθυνση παράλληλη µε την ευθεία που τέµνονται τα επίπεδα + + z 1= 0 και + 3z 1= 0. Ένα παράλληλο διάνυσµα προς την ευθεία είναι το α = (5,, 3) σελ 99-100). Συνεχίζουµε όπως στην άσκηση 4.8. (παράδειγµα 3.9 Άσκηση 4.10 Έστω η θερµοκρασία (σε o 3 C ) σε κάθε σηµείο ( z,, ) (, z, σε µέτρα) δίνεται από την συνάρτηση T(,, z) = 75 + z i. Υπολογίστε την κατευθυνόµενη παράγωγο της T στο σηµείο P = (, 1, 1) ως προς την κατεύθυνση του u = (4, 3, 1) ii. Βρείτε το µοναδιαίο διάνυσµα που δείχνει την κατεύθυνση ως προς την οποία η T ελαττώνεται γρηγορότερα στο P και τον ρυθµό µεταβολής κατά την κατεύθυνση αυτή. ii. Ανάλογα µε το παράδειγµα 8.41 σελ 396. Άσκηση 4.11 Υποθέτουµε ότι για τις συναρτήσεις των ασκήσεων ισχύουν οι προϋποθέσεις των θεωρηµάτων που θα χρησιµοποιηθούν i. 1. Αν u = f(, ) και θέσουµε s e συνt = και s eηµ t u u s u u + = e +. s t z z. Αν z = f( ), αποδείξτε ότι ισχύει + = 0. z z 3. i) Εάν z = f( + ) αποδείξτε ότι = 0. =, αποδείξτε ότι ισχύει

z ii) Εάν z = f( e ) βρείτε τη σχέση µεταξύ των και z. 4. Εάν z = f(, ), όπου = s+ t, = s t, υπολογίστε την τιµή του z z z z k (αν υπάρχει) ώστε να ισχύει + k =. s t 5. Εάν z = f( u, v) όπου u = α +, v= + β i) z Υπολογίστε την z z z, και u v uv. ii) z z z Εάν 3 5 = 0, υπολογίστε τις τιµές των α, β ώστε η u u v v z εξίσωση αυτή να µας δίνει την = 0. 6. Θεωρούµε τις διαφορίσιµες συναρτήσεις 3 f = f(,, z): και g = g(, z): και θέτουµε w= f(,, z) και = g(, z). Υπολογίστε w w τις µερικές παραγώγους : και z. Άσκηση 4.1 1. Έστω i) ii) f : και = rσυνθ, = rηµθ, r > 0. Αποδείξτε ότι: f f f 1 f + = + r r θ f f f 1 f 1 f + = + + r r r r θ i) (Παράδειγµα 9.13 σελ 438.). Άσκηση 4.13 Έστω f : 3 και συνθηµφ, = r = rηµθηµφ και z = rσυνφ. Αποδείξτε ότι : f f f f z f 1 f 1 f 1 f + + = + + + + z r r r r r r. Άσκηση 4.14 Αποδείξτε ότι η ηµ φ θ φ συνφ φ 1 + +... + 1 n 4t 1 n n / 1 n f(t,,,..., ) = e,(,,..., n), t > 0 t f f f f ικανοποιεί την εξίσωση τις θερµότητας = + +... +. t 1 n

Άσκηση 4.15 Αποδείξτε ότι η u 1 1 t (,t) [ ( t) ( t) ] ( ),, t 0 f f + = + + g s ds t u u ικανοποιεί την απλούστερη µορφή της κυµατικής εξίσωσης =, t u u (,0) = f( ) και (,0) = g ( ). t Άσκηση 4.16 n Έστω U ανοικτό υποσύνολο του, µε την ιδιότητα { t : t (0, + ) και U} U και f : U µια διαφορίσιµη συνάρτηση οµογενής, βαθµού οµογένειας α a n ( f(t ) = t f( ),, 0, t > 0, a ). Αποδείξτε ότι f( ) = af( ) για κάθε U (Euler). Θεώρηµα 9.3, Euler σελ. 436. Άσκηση 4.17 u u Έστω u (, ) = f. Αποδείξτε ότι + = u. Χρησιµοποιούµαι την 4.16 Άσκηση 4.18 Έστω η βαρυτική συνάρτηση V(,, z) = GMm + + z, (, z, ) U 3 \{(0,0,0)} (Νόµος Newton της Παγκόσµιας Έλξης). Αποδείξτε ότι V V V + + z = V. z Παράδειγµα 9.10 σελ. 437