Ψηφιακά Συστήματα. 1. Συστήματα Αριθμών

Ψηφιακά Συστήματα 1. Συστήματα Αριθμών

Βιβλιογραφία 1. Φανουράκης Κ., Πάτσης Γ., Τσακιρίδης Ο., Θεωρία και Ασκήσεις Ψηφιακών Ηλεκτρονικών, ΜΑΡΙΑ ΠΑΡΙΚΟΥ & ΣΙΑ ΕΠΕ, 2016. [59382199] 2. Floyd Thomas L., Ψηφιακά ηλεκτρονικά, ΣΤΕΛΛΑ ΠΑΡΙΚΟΥ & ΣΙΑ ΟΕ, 2007. [14795] 3. Πογαρίδης Δ., Σχεδίαση Ψηφιακών Συστημάτων, ΙΩΝ, 2004. 4. Κ. Φανουράκης, Γ. Πάτσης, Ο. Τσακιρίδης, Σημειώσεις Θεωρίας, Ψηφιακών Ηλεκτρονικών, 2014. 2

Συστήματα Αριθμών: Εισαγωγή Υπάρχουν 10 τύποι ανθρώπων στον κόσμο: αυτοί που καταλαβαίνουν τους δυαδικούς και οι υπόλοιποι Τα συνηθέστερα αριθμητικά συστήματα (Α.Σ.): είναι το δεκαδικό και αυτά που αποτελούν δυνάμεις του δύο Δεκαδικό σύστημα Βάση το 10, Σύμβολα: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Δυαδικό σύστημα Βάση το 2, Σύμβολα: 0, 1 Οκταδικό σύστημα Βάση το 8, Σύμβολα: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Δεκαεξαδικό σύστημα Βάση το 16, Σύμβολα: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F 3

Συστήματα Αριθμών: Εισαγωγή Το δεκαδικό σύστημα (Decimal System) αρίθμησης: χρησιμοποιείται και είναι κατάλληλο για τον άνθρωπο αλλά όμως είναι εντελώς ακατάλληλο για τις ηλεκτρονικές μηχανές όπου τα βασικά στοιχεία τους τα flip-flop, τα Τρανζίστορ κ.λ.π., είναι στοιχεία δυο καταστάσεων (bistable). Έτσι το πιο φυσικό Α.Σ. για αυτές είναι το δυαδικό σύστημα (binary system), το οποίο χρησιμοποιεί δύο μόνο ψηφία, το 0 και το 1, τα οποία ταιριάζουν με τις δυο καταστάσεις των στοιχείων τους. Για τον λόγο αυτό οι ηλεκτρονικοί (ή ψηφιακοί υπολογιστές λειτουργούν στο δυαδικό σύστημα ή σε δεκαδικό κωδικοποιημένο σε κατάλληλο δυαδικό σύστημα (BCD - Binary Coded Decimal) 4

Συστήματα Αριθμών: Εισαγωγή Κάθε αριθμός μπορεί να γραφεί σε οποιοδήποτε Α.Σ. με την μορφή και με την μορφή: όπου: r > 1 Ν a i Ν = a n-1 r n-1 +.. + a 3 r 3 + a 2 r 2 + a 1 r 1 + a 0 r 0 (1.1) για Ν 1 Ν = a -1 r -1 + a -2 r -2 + a -3 r -3 +.. + a m-1 r m-1 + a m r m (1.2) για 0<Ν<1 είναι η βάση (Radix) του αριθμητικού συστήματος είναι o αριθμός και είναι τα ψηφία (digits) του αριθμού με τιμές μεταξύ 0 και (r-1) Οι δυο παραπάνω σχέσεις γράφονται σε μια γενική σχέση την: όπου: n = το πλήθος ακεραίων ψηφίων του αριθμού Ν m = το πλήθος των κλασματικών ψηφίων Ν = σ n 1 i= m a i r i (1.3) 5

Συστήματα Αριθμών: Δεκαδικό (Decimal) Η βάση είναι το 10 (r=10): με ψηφία από το 0 έως το 9 [0 (r-1)] Παράδειγμα 1.1a: ο ακέραιος αριθμός του δεκαδικού συστήματος Ν (10) =3872 με n=4 και m=0 : Ν = σ n 1 i=0 a i r i = a 3 r 3 + a 2 r 2 + a 1 r 1 + a 0 r 0 = = 3*10 3 + 8*10 2 + 7*10 1 + 2*10 0 = = 3000 + 800 + 70 + 2 = 3872 (10) Παράδειγμα 1.1b: ο κλασματικός αριθμός του δεκαδικού συστήματος Ν (10) =0,496 με n=0 και m=3 : Ν = σ 1 i= 3 α i r i = a -1 r -1 + a -2 r -2 + a -3 r -3 = = 4*10-1 + 9*10-2 + 6*10 1-1 = = 0,4 + 0,09 + 0,006 = 0,496 (10) 6

Συστήματα Αριθμών: Δεκαδικό (Decimal) Παράδειγμα 1.1c: ο πραγματικός αριθμός του δεκαδικού συστήματος Ν (10) =236,84 με n=3 και m=2 : 2 Ν = σ i= 2 α i r i = a -2 r -2 + a -1 r -1 + a 0 r 0 + a 1 r 1 + a 2 r 2 = = 4*10-2 + 8*10-1 + 6*10 0 + 3*10 1 + 2*10 2 = = 0,04 + 0,8 + 6 + 30 + 200 = 236,84 (10) 7

Συστήματα Αριθμών: Δυαδικό (Binary) Η βάση είναι το 2 (r=2): με ψηφία τo 0 και το 1, [0 έως (r-1)]. μεγάλο πλεονέκτημά: τα δυο ψηφία παριστάνονται σε όλα τα στοιχεία δυο καταστάσεων π.χ. Transistor Οn-Οff ή 1-0, Flip-Flop, κ.λ.π. ο ακέραιος αριθμός του δυαδικού συστήματος Ν (2) =1100110 με 7 δυαδικά ψηφία (Bits - BInary digits), από τα οποία: το λιγότερο σημαντικό ψηφίο (ΛΣΨ) ή (LSB: Least Significant Bit) είναι το 0 και το περισσότερο σημαντικό ψηφίο (ΠΣΨ) ή (MSB: Most Significant Bit) είναι το 1 Μια ομάδα ψηφίων αποτελεί μια ψηφιολέξη. Η ψηφιολέξη τεσσάρων ψηφίων λέγεται nibble και οκτώ ψηφίων ένα byte. για οκτάμπιτους (8bits = 1 Byte) δυαδικούς αριθμούς: τα 4 πρώτα bit του δυαδικού αριθμού (Hi Byte) και τα 4 επόμενα bit του δυαδικού αριθμού (Low Byte). 8

Συστήματα Αριθμών: Δυαδικό (Binary) Παράδειγμα 1.2a: ο ακέραιος αριθμός του δυαδικού συστήματος με 7 δυαδικά Ν (2) =1100110 με n=7 και m=0 : Ν = σ6 i=0 α i r i = a 6 r 6 + a 5 r 5 + a 4 r 4 + a 3 r 3 + a 2 r 2 + a 1 r 1 + a 0 r 0 = = 1*2 6 + 1*2 5 + 0*2 4 + 0*2 3 + 1*2 2 + 1*2 1 + 0*2 0 = = 64 + 32 + 0 + 0 + 4 + 2 + 0 = 102 (10) Παράδειγμα 1.2b: ο κλασματικός αριθμός του δυαδικού συστήματος Ν (2) =0,1011 με n=1 και m=4 : 0 Ν = σ i= 4 α i r i = a 0 r 0 + a -1 r -1 + a -2 r -2 + a -3 r -3 + a -4 r -4 = = 0*2 0 + 1*2-1 + 0*2-2 + 1*2-3 + 1*2-4 = = 0 + 0,5 + 0 + 0,125 + 0,0625 = 0,6875 (10) 9

Συστήματα Αριθμών: Δυαδικό (Binary) Παράδειγμα 1.2c: ο πραγματικός αριθμός του δυαδικού συστήματος Ν (2) =110,001 με n=3 και m=3 : 2 Ν = σ i= 3 α i r i = a 2 r 2 + a 1 r 1 + a 0 r 0 + a -1 r -1 + a -2 r -2 + a -3 r -3 = = 1*2 2 + 1*2 1 + 0*2 0 + 0*2-1 + 0*2-2 + 1*2-3 = = 4 + 2 + 0 + 0 + 0 + 0.125 = 6,125 (10) 10

Συστήματα Αριθμών: Οκταδικό (Octal) Η βάση είναι το 8 (r=8): με ψηφία από 0 έως 7, [0 έως (r-1)]. πλεονέκτημά: μετατρέπεται εύκολα στο δυαδικό σύστημα αφού ισχύει 2 3 =8 χρησιμοποιείται κυρίως στους μικροϋπολογιστές Παράδειγμα 1.3a: ο ακέραιος αριθμός του οκταδικού συστήματος Ν (8) =216 με n=3 και m=0 : 2 Ν = σ i=0 α i r i = a 2 r 2 + a 1 r 1 + a 0 r 0 = = 2*8 2 + 1*8 1 + 6*8 0 = = 128 + 8 + 6 = 142 (10) 11

Συστήματα Αριθμών: Οκταδικό (Octal) Παράδειγμα 1.3b: ο κλασματικός αριθμός του οκταδικού συστήματος Ν (8) =0,642 με n=1 και m=3 : Ν = σ0 i= 3 α i r i = a 0 r 0 + a -1 r -1 + a -2 r -2 + a -3 r -3 = = 0*8 0 + 6*8-1 + 4*8-2 + 2*8-3 = = 0 + 0,75 + 0,0625 + 0,0039 = 0,816 (10) 12

Συστήματα Αριθμών: Δεκαεξαδικό (Hexadecimal) Η βάση είναι το 16 (r=16): με ψηφία από 0 έως 15, [0 έως (r-1)]. Επειδή η βάση είναι μεγαλύτερη του 10, για να συμπληρωθούν τα ψηφία μετά το 9 χρησιμοποιούνται τα γράμματα του Λατινικού αλφάβητου Α, Β, C, D, Ε, F. Επομένως τα ψηφία του 16 δικού συστήματος είναι: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, Α, Β, C, D, Ε, F. πλεονέκτημά: μετατρέπεται εύκολα στο δυαδικό σύστημα αφού ισχύει 2 4 =16 Χρησιμοποιείται κατά κόρον στην κόσμο των μικροϋπολογιστών και μικροεπεξεργαστών σαν τεχνική σύντμησης ο όρος δεκαεξαδικός (Hexadecimal) είναι μεγάλος, ο όρος hex χρησιμοποιείται συχνά μιλώντας για δεκαεξαδικούς αριθμούς. Ο δεκαεξαδικός αριθμός είναι πιο ευανάγνωστος και πιο ευκολομνημόνευτος. 8 bits : η περιοχή αριθμών είναι από 0000 0000 έως 1111 1111 και αντιστοιχεί στις τιμές 00 έως FF 13

Συστήματα Αριθμών: Δεκαεξαδικό (Hexadecimal) Παράδειγμα 1.4: ο πραγματικός αριθμός του δεκαεξαδικού συστήματος Ν (16) =28A,2C με n=3 και m=2 : 2 Ν = σ i= 2 α i r i = a 2 r 2 + a 1 r 1 + a 0 r 0 + a -1 r -1 + a -2 r -2 = = 2*16 2 + 8*16 1 + A*16 0 + 2*16-1 + C*16-2 = = 512 + 128 + 10 + 0,125 + 0,0469 = 650,172 (10) 14

Συστήματα Αριθμών Αντιστοιχία ψηφίων στα αριθμητικά συστήματα 10-δικος 2-δικος 8-δικός 16-δικος 10-δικος 2-δικος 8-δικός 16-δικος 0 000 0 0 11 1011 13 Β 1 001 1 1 12 1100 14 C 2 010 2 2 13 1101 15 D 3 011 3 3 14 1110 16 E 4 100 4 4 15 1111 17 F 5 101 5 5 16 0001 0000 20 10 6 110 6 6 17 0001 0001 21 11 7 111 7 7 20 0001 0100 24 14 8 1000 10 8 30 0001 1110 36 1E 9 1001 11 9 100 0110 0100 144 64 10 1010 12 Α 15

Μετατροπή από Δεκαδικό σε Δυαδικό (1) Α. Ακέραιος αριθμός: διαιρείται συνεχώς δια του 2 μέχρι να βρεθεί πηλίκο μηδέν (0). Το υπόλοιπο κάθε διαίρεσης αποτελεί και ένα νέο ψηφίο για τον ζητούμενο δυαδικό αριθμό. Το ΛΣΨ (LSB) είναι το 1 o υπόλοιπο. Παράδειγμα 1.5a: Να μετατραπεί σε δυαδικό ο αριθμός Ν (10) =123 : 123 2 ή 1 61 2 0 1 3 7 15 30 61 123 ΛΣΨ 1 30 2 1 1 1 1 0 1 1 0 15 2 ΠΣΨ ΛΣΨ 1 7 2 1 3 2 1 1 2 0 ΠΣΨ Άρα 123 (10) = 1 1 1 1 0 1 1 (2) 16

Μετατροπή από Δεκαδικό σε Δυαδικό (2) Β. Κλασματικός (0<N<1): πολλαπλασιάζεται συνεχώς επί 2 και το ακέραιο μέρος που προκύπτει αποτελεί το επόμενο ψηφίο του δυαδικού αριθμού. Το ακέραιο μέρος του 1 ου πολλαπλασιασμού είναι το ΠΣΨ (MSB). Ο πολλαπλασιασμός συνεχίζεται μέχρις ότου το κλασματικό μέρος του αριθμού γίνει μηδέν ή μέχρι να καλυφθεί το ίδιο μήκος λέξης ή μέχρι να πετύχουμε την ίδια ακρίβεια δεκαδικού και δυαδικού. Παράδειγμα 1.5b: Να μετατραπεί σε δυαδικό ο αριθμός Ν (10) =0,875: 0,875 x 2 1,75 ή ΠΣΨ 1 0,75 x 2 1,5 0,875 0,750 0,500 0 1 0,5 x 2 1,0 1 1 1 ΛΣΨ 1 0 x 2 0 ΠΣΨ ΛΣΨ Άρα 0.875 (10) = 0, 1 1 1 (2) 17

ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ ΑΚΕΡΑΙΟ ΜΕΡΟΣ Μετατροπή από Δεκαδικό σε Δυαδικό (3) Γ. Πραγματικός (τυχαίος θετικός): μετατρέπουμε χωριστά το ακέραιο και χωριστά το κλασματικό μέρος όπως τα περιγράψαμε παραπάνω αναλυτικά. Παράδειγμα 1.5c: Να μετατραπεί σε δυαδικό ο αριθμός Ν (10) =89,75: 89 2 ή 1 44 2 0 1 2 5 11 22 44 89 ΛΣΨ 0 22 2 1 0 1 1 0 0 1 0 11 2 ΠΣΨ ΛΣΨ 1 5 2 1 2 2 0 1 2 0 ΠΣΨ 0,75 x 2 1,5 ή ΠΣΨ 1 0,5 x 2 1,0 0,75 0,5 0 ΛΣΨ 1 0 x 2 0 1 1 ΠΣΨ ΛΣΨ Άρα 89,75 (10) = 1 0 1 1 0 0 1, 1 1 (2) 18

Μετατροπή από Δεκαδικό σε Οκταδικό Παρομοίως: ισχύει η ίδια διαδικασία όπως είδαμε για τους δεκαδικούς αριθμούς, μόνο που εδώ διαιρούμε και πολλαπλασιάζουμε αντίστοιχα με το 8. Παράδειγμα 1.6c: Να μετατραπεί σε οκταδικό ο αριθμός Ν (10) =677: 677 8 ή 5 84 8 0 1 10 84 677 ΛΣΨ 4 10 8 1 2 4 5 2 1 8 ΠΣΨ ΛΣΨ 1 0 ΠΣΨ Άρα 677 (10) = 1 2 4 5 (8) 19

Μετατροπή από Δεκαδικό σε Δεκαεξαδικό Παρομοίως: ισχύει η ίδια διαδικασία όπως είδαμε για τους δεκαδικούς αριθμούς, μόνο που εδώ διαιρούμε και πολλαπλασιάζουμε αντίστοιχα με το 16. Παράδειγμα 1.6c: Να μετατραπεί σε δεκαεξαδικό ο αριθμός Ν (10) =298: 298 16 ή Α 18 16 0 1 18 298 ΛΣΨ 2 1 16 1 2 Α 1 0 ΠΣΨ ΛΣΨ ΠΣΨ Άρα 298 (10) = 1 2 Α (16) 20

Μετατροπή προς Δεκαδικό Σύμφωνα με τη σχέση (1.3): Ν = σ n 1 i= m a i r i (1.3) αντικαθιστούμε τα ψηφία του προς μετατροπή αριθμού (α i ) και το r με την βάση του Α.Σ. που εκφράζεται ο αριθμός, τότε προκύπτει ο αντίστοιχος δεκαδικό αριθμό. Πειραματιστείτε για: Α. Δυαδικό σε δεκαδικό Β. Οκταδικό σε δεκαδικό Γ. Δεκαεξαδικό σε δεκαδικό 21

2 δικό Μετατροπή από 2 δικό σε 8 δικό & 16 δικό και αντίστροφα σε 8 δικό : ισχύει η σχέση 2 3 =8, άμεση σχέση μεταξύ τριών διαδοχικών ψηφίων (σε ομάδες) του δυαδικού αριθμού, με τα αντίστοιχα ψηφία του αριθμού στο 8 δικό σύστημα. Έτσι για την μετατροπή του αριθμού από το 2 δικό σύστημα στο 8 δικό σύστημα, χωρίζεται ο δυαδικός αριθμός σε ομάδες των τριών ψηφίων από την υποδιαστολή προς τ αριστερά για το ακέραιο τμήμα και προς τα δεξιά για το δεκαδικό τμήμα. Όταν τα ψηφία που περισσεύουν προς τα δεξιά ή προς τ αριστερά είναι λιγότερα από τρία, τότε προστίθενται προς τ αριστερά και προς τα δεξιά αντίστοιχα ένα ή δυο μηδενικά προκειμένου να γίνουν τριψήφιες και οι ακριανές ομάδες. Ο αντίστοιχος Οκταδικός θα έχει ΛΣΨ το πρώτο από τα δεξιά. 22

Μετατροπή από 2 δικό σε 8 δικό & 16 δικό και αντίστροφα Παράδειγμα 1.7a: Να μετατραπεί σε οκταδικό ο αριθμός Ν (2) = 1011110010,10101010011: 001 011 110 010, 101 010 100 110 1 3 6 2, 5 2 4 6 Άρα 1011110010,10101010011 (2) = 1362,5246 (8) 23

Μετατροπή από 2 δικό σε 8 δικό & 16 δικό και αντίστροφα 8 δικό σε 2 δικό : αντίθετα τώρα, αν έχουμε ένα οκταδικό αριθμό και θέλουμε τον δυαδικό του αριθμό, ακολουθούμε την αντίστροφη πορεία. Για κάθε ψηφίο του Οκταδικού σχηματίζουμε τον δυαδικό του (τρία ψηφία) Παράδειγμα 1.7b: Να μετατραπεί σε δυαδικό ο αριθμός Ν (8) = 2376,143: 2 3 7 6, 1 4 3 010 011 111 110, 001 100 011 Άρα 2376,143 (8) = 10011111110,001100011 (2) Το ισοδύναμο μήκος μιας ψηφιολέξης στο οκταδικό σύστημα είναι μικρότερο από ότι στο δυαδικό γι αυτό άλλωστε προτιμάται στους μικροϋπολογιστές! αν μετά την μετατροπή του οκταδικού ο προκύπτων δυαδικός έχει μηδενικά στην αρχή, μπορούμε να τα παραλείψουμε. 24

Μετατροπή από 2 δικό σε 8 δικό & 16 δικό και αντίστροφα 2 δικό σε 16 δικό : ισχύει η σχέση 2 4 =16, άμεση σχέση μεταξύ τεσσάρων διαδοχικών ψηφίων (σε ομάδες) του δυαδικού αριθμού, με τα αντίστοιχα ψηφία του αριθμού στο 16 δικό σύστημα. Έτσι για την μετατροπή του αριθμού από το 2 δικό σύστημα στο 16 δικό σύστημα, χωρίζεται ο δυαδικός αριθμός σε ομάδες των τεσσάρων ψηφίων από την υποδιαστολή προς τ αριστερά για το ακέραιο τμήμα και προς τα δεξιά για το δεκαδικό τμήμα. Όταν τα ψηφία που περισσεύουν προς τα δεξιά ή προς τ αριστερά είναι λιγότερα από τέσσερα, τότε προστίθενται προς τ αριστερά και προς τα δεξιά αντίστοιχα ένα, δυο ή τρία μηδενικά προκειμένου να γίνουν τετραψήφιες και οι ακριανές ομάδες. 25

Μετατροπή από 2 δικό σε 8 δικό & 16 δικό και αντίστροφα Παράδειγμα 1.8a: Να μετατραπεί σε δεκαεξαδικό ο αριθμός Ν (2) = 10111101111010,1110110101: 0010 1111 0111 1010, 1110 1101 0100 2 F 7 A, E D 4 Άρα 10111101111010,1110110101 (2) = 2F7A,ED4 (16) 26

Μετατροπή από 2 δικό σε 8 δικό & 16 δικό και αντίστροφα 16 δικό σε 2 δικό : αντίθετα τώρα, αν έχουμε ένα δεκαεξαδικό αριθμό και θέλουμε τον δυαδικό του αριθμό, ακολουθούμε την αντίστροφη πορεία. Για κάθε ψηφίο του Οκταδικού σχηματίζουμε τον δυαδικό του (τρία ψηφία) Παράδειγμα 1.8b: Να μετατραπεί σε δυαδικό ο αριθμός Ν (16) = 4B6C.93: 4 B 6 C, 9 3 0100 1011 0110 1100, 1001 0011 Άρα 4BC.93 (16) = 100101101101100,10010011 (2) Το ισοδύναμο μήκος μιας δεκαεξαδικής ψηφιολέξης είναι μικρότερο από ότι στο 8 δικό και 2 δικό.! αν μετά την μετατροπή του οκταδικού ο προκύπτων δυαδικός έχει μηδενικά στην αρχή, μπορούμε να τα παραλείψουμε. 27

Μετατροπή από 8 δικό σε 16 δικό και αντίστροφα 8 δικό σε 16 δικό : με χρήση ενδιάμεσης μετατροπής σε 10 δικό ή σε 2 δικό Παράδειγμα 1.9a: Να μετατραπεί σε 16 δικό ο αριθμός Ν (8) = 7501 Πρώτα σε 2 δικό (ανά 3 ψηφία): 7 5 0 1 111 101 000 001 Κατόπιν σε 16 δικό (ανά 4 ψηφία) 1111 0100 0001 F 4 1 Άρα 7501 (8) = F41 (16) 28

Μετατροπή από 8 δικό σε 16 δικό και αντίστροφα 16 δικό σε 8 δικό : με χρήση ενδιάμεσης μετατροπής σε 10 δικό ή σε 2 δικό Παράδειγμα 1.9b: Να μετατραπεί σε 8 δικό ο αριθμός Ν (16) = A35 Πρώτα σε 2 δικό (ανά 4 ψηφία): Α 3 5 1010 0011 0101 Κατόπιν σε 8 δικό (ανά 3 ψηφία) 101 000 110 101 5 0 6 5 Άρα Α35 (16) = 5065 (8) 29

Πράξεις: Πρόσθεση στο 2 δικό Η πράξη δεν εκτελείται ακριβώς όπως στους δεκαδικούς αριθμούς αφού πρέπει να κρατήσουμε τόσο το άθροισμα όσο και το κρατούμενο της πρόσθεσης το οποίο θα προσθέσουμε στο επόμενης τάξης ψηφίο. Η τέταρτη γραμμή έχει το ενδιαφέρον γιατί έχουμε να προσθέσουμε 1+1 οπότε το άθροισμα είναι μηδέν- 0 και το κρατούμενο (Carry) από την πρόσθεση είναι ένα 1 που συμβολίζει μια 2 αδα (στο δεκαδικό συμβολίζει μια 10 αδα ). Π.χ α) Δεκαδικός Δυαδικός β) Δεκαδικός Δυαδικός 4 0100 5,25 0101,01 + 3 + 0011 + 3,75 + 0011,11 7 0111 9,00 1001,00 Α + Β = A 0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 0 30

Πράξεις: Πρόσθεση στο 2 δικό Παράδειγμα 1.10a: Να προστεθούν οι αριθμοί 1011,01 (2) + 10,111 (2) Πρόσθεση δυαδικών : Κρατούμενο : 1 1 1 1 1ος Προσθετέος : 1 0 1 1, 0 1 (11,25 ) 10 2ος Προσθετέος : + 1 0, 1 1 1 ( 2,875) 10 Άθροισμα : 1 1 1 0, 0 0 1 (14,125) 10 Άρα 1011,01 (2) + 10,111 (2) = 1110,001 (2)! Στην στοίχιση των σημαντικών ψηφίων και της υποδιαστολής 31

Πράξεις: Πρόσθεση στο 8 δικό Η διαφορά με το 10 δικό σύστημα είναι ότι το κρατούμενο (Carry) από την πρόσθεση είναι ένα 1 που συμβολίζει μια 8 αδα (στο δεκαδικό συμβολίζει μια 10 αδα ) Όταν θα αθροίζουμε δυο οκταδικά ψηφία το αποτέλεσμα θα είναι το πολύ 15 (7+7+1) Πίνακας για ευκολία / ελαχιστοποίηση λαθών Π.χ αν το άθροισμα βγει 5 το αποτέλεσμα θα είναι 5 και κρατούμενο 0 αν το άθροισμα βγει 13 το αποτέλεσμα θα είναι 5 Άθροισμα Αποτέλεσμα 0 8 1 9 2 10 3 11 4 12 5 13 6 14 7 15 Κρατούμενο 0 Κρατούμενο 1 και κρατούμενο 1 32

Πράξεις: Πρόσθεση στο 8 δικό Παράδειγμα 1.10b: Να προστεθούν οι αριθμοί 57,07 (8) + 11,231 (8) Πρόσθεση δυαδικών : Κρατούμενο : 1 1 1ος Προσθετέος : 5 7, 0 7 2ος Προσθετέος : + 1 1, 2 3 1 Άθροισμα : 7 0, 3 2 1 Άθροισμα Αποτέλεσμα 0 8 1 9 2 10 3 11 4 12 5 13 6 14 7 15 Κρατούμενο 0 Κρατούμενο 1 Άρα 57,07 (8) + 11,231 (8) = 70,321 (8) 33

Πράξεις: Πρόσθεση στο 16 δικό Η διαφορά με το 10 δικό σύστημα είναι ότι το κρατούμενο (Carry) από την πρόσθεση είναι ένα 1 που συμβολίζει μια 16 αδα (στο δεκαδικό συμβολίζει μια 10 αδα ) Όταν θα αθροίζουμε δυο δεκαεξαδικά ψηφία το αποτέλεσμα θα είναι το πολύ 31 (15+15+1) Πίνακας για ευκολία / ελαχιστοποίηση λαθών Π.χ αν το άθροισμα βγει 5 το αποτέλεσμα θα είναι 5 και κρατούμενο 0 αν το άθροισμα βγει 13 το αποτέλεσμα θα είναι D και κρατούμενο 0 αν το άθροισμα βγει 19 το αποτέλεσμα θα είναι 3 και κρατούμενο 1 αν το άθροισμα βγει 27 το αποτέλεσμα θα είναι B και κρατούμενο 1 Άθροισμα Αποτέλεσμα 0 16 1 17 2 18 3 19 4 20 5 21 6 22 7 23 8 24 9 25 10 (A) 26 11 (B) 27 12 (C) 28 13 (D) 29 14 (E) 30 15 (F) 31 Κρατούμενο 0 Κρατούμενο 1 34

Πράξεις: Πρόσθεση στο 16 δικό Παράδειγμα 1.10c: Να προστεθούν οι αριθμοί AA,81 (16) + 1C,802 (16) Πρόσθεση δυαδικών : Κρατούμενο : 1 1 1ος Προσθετέος : A A, 8 1 2ος Προσθετέος : + 1 C, 8 0 2 Άθροισμα : C 7, 0 1 2 Άρα AA,81 (16) + 1C,802 (16) = C7,012 (16) Άθροισμα Αποτέλεσμα 0 16 1 17 2 18 3 19 4 20 5 21 6 22 7 23 8 24 9 25 10 (A) 26 11 (B) 27 12 (C) 28 13 (D) 29 14 (E) 30 15 (F) 31 Κρατούμενο 0 Κρατούμενο 1 35

Πράξεις: Αφαίρεση Η πράξη είναι παρόμοια με τους δεκαδικούς αριθμούς αφού και εδώ όταν το ψηφίο του μειωτέου είναι μικρότερο από το ψηφίο του αφαιρετέου (έχουμε δανεικό (Βorrow) ψηφίο: Προσθέτουμε μια 2 άδα στο ψηφίο του μειωτέου (στο δεκαδικό προσθέτουμε 10 άδα ) Προσθέτουμε μια μονάδα στο αριστερό ψηφίο του αφαιρετέου (όπως ακριβώς και στο δεκαδικό) Π.χ α) Δεκαδικός Δυαδικός β) Δεκαδικός Δυαδικός 8 1000 6,25 0110,01-2 - 0010-4,50-0100,10 6 0110 1,75 001,11 Α - Β = S 0-0 = 0 0-1 = 1 1-0 = 1 1-1 = 0 36

Πράξεις: Αφαίρεση 8 δικό & 16 δικό Στην αφαίρεση στο 8δικό : Προσθέτουμε μια 8 άδα στο ψηφίο του μειωτέου Προσθέτουμε μια μονάδα στο αριστερό ψηφίο του αφαιρετέου Στην αφαίρεση στο 16δικό : Προσθέτουμε μια 16 άδα στο ψηφίο του μειωτέου Προσθέτουμε μια μονάδα στο αριστερό ψηφίο του αφαιρετέου Παράδειγμα 1.11: 8 δικό 16 δικό 11 10 21 26-7 3 2 (8) C 5 A (16) 1 6 7 4 (8) - 1 6 7 F (16) 6 4 6 (8) B E B (16) 37

Πράξεις: Πολλαπλασιασμός Η πράξη εκτελείται όπως στους δεκαδικούς αριθμούς. όταν πολλαπλασιαστής είναι το ένα (1), ο πολλαπλασιαστέος προστίθεται στο προηγούμενο άθροισμα, αφού γίνει μια ολίσθηση του πολλαπλασιαστέου κατά μια θέση αριστερά (Shift Left). Αν είναι το μηδέν (0) τότε προστίθεται μηδέν. Στα ψηφιακά κυκλώματα όταν εμφανίζεται μηδέν, στον πολλαπλασιαστή, δεν εκτελείται πρόσθεση αλλά μόνο ολίσθηση προς τα αριστερά του αριθμού 13 1101 * 9 ή * 1001 117 1101 (10) 0000. 0000. 1101. 1110101 1 1 0 1 * 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 S S. 1 1 1 0 1 0 1 Α * Β = M 0 * 0 = 0 0 * 1 = 0 1 * 0 = 0 1 * 1 = 1 38

Πράξεις: Διαίρεση Η διαίρεση αριθμού με μηδέν δεν είναι δυνατή επομένως μόνο η διαίρεση δια ένα έχει νόημα που εκτελείται όπως και στους δεκαδικούς αριθμούς. Από το παράδειγμα φαίνεται ότι όταν διαιρέτης είναι το ένα 1, ο διαιρέτης αφαιρείται από τον διαιρετέο, αφού γίνει μια ολίσθησή του κατά μια θέση δεξιά (Shift Right). Αν τώρα διαιρέτης είναι το μηδέν 0 τότε προστίθεται μηδέν Κάθε ολίσθηση προς τα δεξιά (Shift Right) του δυαδικού αριθμού κατά μια θέση σημαίνει διαίρεσή του δια δύο (/ 2). Α : Β = D 0 : 1 = 0 1 : 1 = 1 39

Πράξεις: Αφαίρεση Στα ψηφιακά συστήματα : μπορεί να γίνει και με την πρόσθεση στο μειωτέο του αντίθετου αριθμού του αφαιρετέου. Για παράδειγμα αντί για 12-9 γράφουμε 12 + (-9). Για να χρησιμοποιήσουμε την διαδικασία αυτή είναι ανάγκη να παραστήσουμε τους αρνητικούς αριθμούς με άλλο τρόπο ώστε να εξυπηρετεί την όλη διαδικασία. Παράσταση αρνητικών αριθμών: Οι αρνητικοί αριθμοί στο δυαδικό σύστημα αναπαρίστανται με δυο τρόπους α) Με το σύστημα προσημασμένου μέτρου και β) με την μορφή συμπληρωμάτων. 40

Παράσταση αρνητικών αριθμών Α) Σύστημα Προσημασμένου Μέτρου (Signed Magnitude System) : το πρόσημο παριστάνεται με ένα επιπλέον ψηφίο που ονομάζεται ψηφίο προσήμου και τοποθετείται στο ΠΣΨ (MSB) του αριθμού. Το 0 χρησιμοποιείται για να παραστήσει το συν (+) και το 1 για να παραστήσει το πλην (-). Το ΣΠΜ χρησιμοποιείται κυρίως για αριθμητική κινητής υποδιαστολής (Floating Point) σε γλώσσες υψηλού επιπέδου (High Level Language). Δεκαδικό ισοδύναμο Δυαδικός Προσημασμένος Μη- προσημασμένος 0 00 +0 0 0 01 +1 1 0 10 +2 2 0 11 +3 3 1 00-0 4 1 01-1 5 1 10-2 6 1 11-3 7! Υπάρχουν 2 παραστάσεις (+0 και -0) του αριθμού 0.! Η περιοχή των ακεραίων που μπορούν να παρασταθούν με τρια δεκαδικά είναι από -3 εως 3 41

Α. Σύστημα Προσημασμένου Μέτρου Στο ΣΠΜ: με μια τελεία (.) χωρίζουμε το ψηφίο (bit) του πρόσημου από τον αριθμό, π.χ. το +6 (ή +110) γράφεται 0.0000110 και το 6 (ή -110) σαν 1.0000110. Το ΣΠΜ χρησιμοποιείται κυρίως για αριθμητική κινητής υποδιαστολής (Floating Point) σε γλώσσες υψηλού επιπέδου (High Level Language). Παράδειγμα: Να υπολογιστεί το άθροισμα των αριθμών +2 (10) και -6 (10) +2 = 0010-6 = 1110 10000! Το αποτέλεσμα αποτελείται από 5 δυαδικά ψηφία, υπερβαίνοντας τη δυνατότητα του Α.Σ. που αποτελείται από το πρόσημο και τρια δεκαδικά ψηφία. Αυτό σημαίνει υπερχείλιση. Επίσης το αποτέλεσμα είναι λάθος, γιατί αντί για -4 (1100) είναι 0. 42

Β. Παράσταση με την μορφή Συμπληρωμάτων (Complement) Η παράσταση των αριθμών με την μορφή συμπληρωμάτων είναι απαραίτητη για την απλοποίηση της εκτέλεσης της πράξης της αφαίρεσης Έχουμε δυο είδη συμπληρωμάτων 1) Συμπλήρωμα προς την βάση του Α.Σ. και 2) Συμπλήρωμα ως προς την βάση του συστήματος μείον ένα. Στο δυαδικό σύστημα έχουμε Συμπλήρωμα ως προς δύο (Σ-2) και Συμπλήρωμα ως προς ένα (Σ-1). 43

Β1. Συμπλήρωμα δυαδικού αριθμού ως προς ένα-1 (Σ-1) Συμπλήρωμα δυαδικού αριθμού ως προς ένα 1 (Οne's ή Complement ή Σ-1): To Σ-1 ενός θετικού αριθμού Ν με βάση r, n πλήθος ακέραιων ψηφίων και m κλασματικών ψηφίων είναι : r n r -m N. Έστω ο δυαδικός αριθμός: 1011,0011 (2) -> 11,1875 (10) Το Σ-1 θα είναι: 2 4-2 -4-11,1875 = 16-0,0625-11,1875 = 4,75 (10) = 100,11 (2) δηλαδή πιο απλά: Το Σ-1 των αρνητικών αριθμών προκύπτει αν αντιστρέψουμε όλα τα ψηφία του αντίστοιχου θετικού αριθμού. Το Σ-1 του 1011,0011 είναι : 0100,1100 44

Β2. Συμπλήρωμα δυαδικού αριθμού ως προς δυο-2 (Σ-2) Συμπλήρωμα δυαδικού αριθμού ως προς 2 (Σ-2): To Σ-2 ενός θετικού αριθμού Ν με βάση r, n πλήθος ακέραιων ψηφίων και m κλασματικών ψηφίων είναι : r n N. Έστω ο δυαδικός αριθμός: 1011,0011 (2) -> 11,1875 (10) Το Σ-2 θα είναι: 2 4-11,1875 = 4,8125 (10) = 100,1101 (2) δηλαδή πιο απλά: Το Σ-2 των αρνητικών αριθμών προκύπτει αν στο Σ-1 προστεθεί η μονάδα. Παράδειγμα: 1011,0011 Σ-1: 0100,1100 +1 Σ-2: 0100,1101 45

Β2. Συμπλήρωμα δυαδικού αριθμού ως προς δυο-2 (Σ-2) Σ-2: Όταν έχουμε παράσταση των αριθμών σε Σ-2, ο υπολογιστής κάνει πρόσθεση, αντί για αφαίρεση, χρησιμοποιεί κανονικά το ψηφίο του πρόσημου, όπως και τα άλλα, και αν προκύψει κρατούμενο το αγνοεί και δεν το χρησιμοποιεί στο τελικό αποτέλεσμα (εδώ φαίνεται και η απλότητα στην εκτέλεση πράξεων με λιγότερα στοιχεία). Σε μια λέξη των 8 ψηφίων (8-bits), ο μέγιστος δεκαδικός αριθμός ο οποίος μπορεί να παρασταθεί με ένα δυαδικό αριθμό είναι ο 2 n -1. Δηλαδή 2 8-1=256-1=255 (10). Εάν χρησιμοποιήσουμε το ΠΣΨ (ΜΣΒ) του αριθμού σαν πρόσημο, τότε η περιοχή περιορίζεται μεταξύ των σημείων -2 7 = Ν = 2 7-1, με μεγαλύτερο θετικό αριθμό τον 2 7-1=127. 46

Β2. Αφαίρεση στο Δυαδικό με Σ-2 Τελικά στα Ψηφιακά Συστήματα: με το Σ-2 έχουμε τη δυνατότητα να κάνουμε πράξεις προσημασμένων δυαδικών Προετοιμάζουμε τους αριθμούς με βάση το μήκος λέξης Οι αρνητικοί απεικονίζονται με Σ-2 Όλες οι πράξεις γίνονται προσθέσεις Τυχόν τελικό κρατούμενο αγνοείται 47

Β2. Αφαίρεση στο Δυαδικό με Σ-2 Παράδειγμα 1.12 : έστω Ψ.Σ. με μήκος λέξης 8 bit, κάνει τις πράξεις 15+17, 15-17, -15+17, -15-17 με Σ-2 48

Συστήματα Αριθμών Άσκηση 1.1: Να μετατραπούν οι παρακάτω αριθμοί 1. 101,010 (2) Ν (10) 2. Α39,6CB (16) Ν (10) 3. 110011001011 (2) Ν (8) 4. 657 (8) Ν (2) 5. 10110001101011,1111001 (2) Ν (16) 6. 306,D (16) Ν (2) 7. ΑΑΑ (16) Ν (8) 8. 1453,3541 (8) Ν (16) 9. 2000,A (16) Ν (10) Α. 404,44 (8) Ν (10) 51

Συστήματα Αριθμών Άσκηση 1.1: Να μετατραπούν οι παρακάτω αριθμοί 1. 101,010 (2) Ν (10) 2. Α39,6CB (16) Ν (10) 3. 110011001011 (2) Ν (8) 4. 657 (8) Ν (2) 5. 10110001101011,1111001 (2) Ν (16) 6. 306,D (16) Ν (2) 7. ΑΑΑ (16) Ν (8) 8. 1453,3541 (8) Ν (16) 9. 2000,A (16) Ν (10) Α. 404,44 (8) Ν (10) ΛΥΣΗ 1. 101,010 (2) = 5,25 (10) 2. Α39,6CB (16) = 2617,424 (10) 3. 110011001011 (2) = 6313 (8) 4. 657 (8) = 110101111 (2) 5. 10110001101011,1111001 (2) =2C6B,F2 (16) 6. 306,D (16) = 1100000110,1101 (2) 7. ΑΑΑ (16) =5252 (8) 8. 1453,3541 (8) = 32B,761 (16) 9. 2000,A (16) = 8192.625 (10) Α. 404,44 (8) = 260,5625 (10) 52

Πράξεις Άσκηση 1.2: Να γίνουν οι παρακάτω πράξεις: 1. 101,010 (2) + 1101,1 (2) 2. 777,77 (8) + 1,01 (8) 3. AA,8 (16) + ABA,4 (16) 4. 1010,11 (2) 111,101 (2) 5. 71,01 (8) 16,54 (8) 6. DAD (16) C7 (16) 53

Πράξεις Άσκηση 1.2: Να γίνουν οι παρακάτω πράξεις: 1. 101,010 (2) + 1101,1 (2) 2. 777,77 (8) + 1,01 (8) 3. AA,8 (16) + ABA,4 (16) 4. 1010,11 (2) 111,101 (2) 5. 71,01 (8) 16,54 (8) 6. DAD (16) C7 (16) ΛΥΣΗ 1. 101,010 (2) + 1101,1 (2) = 10010.11 (2) 2. 777,77 (8) + 1,01 (8) = 1001 (8) 3. AA,8 (16) + ABA,4 (16) = B64.C (16) 4. 1010,11 (2) 111,101 (2) = 0011,001 (2) 5. 71,01 (8) 16,54 (8) = 52,25 (8) 6. DAD (16) C7 (16) = CE6 (16) 54

Πράξεις στα ψηφιακά Άσκηση 1.3: Ένα Ψ.Σ. εκτελεί πράξεις με Σ-2 με 8-bit αριθμούς. Να γίνει η ΛΥΣΗ πράξη 52 (10) 71 (10). 55

Πράξεις στα ψηφιακά Άσκηση 1.3: Ένα Ψ.Σ. εκτελεί πράξεις με Σ-2 με 8-bit αριθμούς. Να γίνει η ΛΥΣΗ πράξη 52 (10) 71 (10). α. 52 (10) -> 0011 0100 (2) 71 (10) -> 0100 0111 (2) β.-> -71 (10) ->Σ-1: 1011 1000 (2) +1 ->Σ-2: 1011 1001 (2) γ. 52 (10) -> 0011 0100 (2) + 1011 1001 (2) 1110 1101 (2) αρνητικός άρα: Σ-1:0001 0010 -> Σ-2: 0001 0011 άρα αποτέλεσμα 0+0+0+2 4 +0+0+2 1 +2 0 = -19 (10) 56

Αναφορές 1. Φανουράκης Κ., Πάτσης Γ., Τσακιρίδης Ο., Θεωρία και Ασκήσεις Ψηφιακών Ηλεκτρονικών, ΜΑΡΙΑ ΠΑΡΙΚΟΥ & ΣΙΑ ΕΠΕ, 2016. [59382199] 2. Floyd Thomas L., Ψηφιακά ηλεκτρονικά, ΣΤΕΛΛΑ ΠΑΡΙΚΟΥ & ΣΙΑ ΟΕ, 2007. [14795] 3. Πογαρίδης Δ., Σχεδίαση Ψηφιακών Συστημάτων, ΙΩΝ, 2004. 4. Κ. Φανουράκης, Γ. Πάτσης, Ο. Τσακιρίδης, Σημειώσεις Θεωρίας, Ψηφιακών Ηλεκτρονικών, 2014. 57