ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 6 η ΕΚΑ Α 5. ίνεται η συνάρτηση ln, αν > 0 f () 0, αν 0 Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο 0 i Να µελετήσετε την f ως προς την µονοτονία και τα ακρότατα και να βρείτε το σύνολο τιµών της ii Να βρείτε το πλήθος των διαφορετικών θετικών ριζών της εξίσωσης για όλες τις πραγµατικές τιµές του α. iν) Να αποδείξετε ότι ισχύει f ( + ) > f( + ) f() για κάθε > 0. lim f () lim ln 0( ) lim ln + + + 0 0 0 + lim lim ( ) 0 f(0) + 0 + 0 Άρα η f είναι συνεχής στο 0 i Για > 0 είναι f () + ln f () 0 + ln 0 ln - Πρόσηµο της f και µονοτονία της f 0 - + f 0 + f 0 α Η f παρουσιάζει ελάχιστο για -, το f( - ) - Επειδή δε η f είναι συνεχής στο 0, παρουσιάζει τοπικό µέγιστο lim f () + για 0 το f(0) 0 lim f () lim ln (+ )(+ ) + + + Επειδή η f είναι συνεχής στο [0, + ), το σύνολο τιµών της είναι το f(a) [ -, 0] [ -, + ) [ -, + )
ii α Για > 0, η εξίσωση γράφεται : ln α Προσαρµογή της εξίσωσης στην f ln α f() α Πρόχειρο σχήµα Όταν α < -, η ευθεία y α δεν έχει y κοινό σηµείο µε τη C f, άρα η εξίσωση C f y α > 0 f() α είναι αδύνατη Όταν α -, η ευθεία y α έχει ένα O - µόνο κοινό σηµείο (επαφής) θετικής τετµηµένης - - µε τη C f, άρα η εξίσωση f() α έχει µία α y α < - - µόνο θετική λύση. Όταν - < α < 0, η ευθεία y α έχει δύο κοινά σηµεία θετικής τετµηµένης µε τη C f, άρα η εξίσωση f() α έχει δύο θετικές λύσεις. Όταν α 0, η ευθεία y α 0 έχει ένα µόνο κοινό σηµείο θετικής τετµηµένης µε τη C f, άρα η εξίσωση f() α έχει µία µόνο θετική λύση. Όταν α > 0, η ευθεία y α έχει ένα µόνο κοινό σηµείο θετικής τετµηµένης µε τη C f, άρα η εξίσωση f() α έχει µία µόνο θετική λύση. iν) Για > 0 η f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήµατος µέσης τιµής στο διάστηµα [, +]. Άρα θα υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, + ) τέτοιο ώστε f ( + ) f () f (ξ) f( +) f() () + Όµως f () > 0, άρα η f είναι γνησίως αύξουσα Για σχέση µεταξύ των f και f υποψιαζόµαστε Θ. Μ. Τ ξ (, + ) ξ < + f f (ξ) < f ( + ) () f( +) f() < f ( + )
3 5. Έστω συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιµη στο R και τέτοια ώστε f( ) f () για κάθε R. είξτε ότι Υπάρχει ο (0, ) ώστε f ( ο ) 0 i f (0) f () 0 ii Η f έχει δύο τουλάχιστον πιθανά σηµεία καµπής στο διάστηµα (0, ) Η υπόθεση f( ) f () για 0 δίνει f(0) f (0) Πονηρό τρικ f (0) f(0) + 0 (f(0) ) 0 f(0) 0 f(0) Οµοίως, για δίνει. f() Ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήµατος Roll στο [0, ], άρα υπάρχει ο (0, ) ώστε να ισχύει f ( ο ) 0 i f( ) f () f( ) f () 0 () Θέτουµε h() f( ) f () Για 0 δίνει h(0) f(0 ) f (0) 0 Η () γίνεται h() h(0) δηλαδή η h έχει ελάχιστο για 0. Με βάση το θεώρηµα του Frmat θα είναι h (0) 0 Αλλά Για 0 δίνει h () f ( )() f ()f () h (0) f (0)(. 0) f (0)f (0) 0 f (0) 0 f (0) 0 0 f (0) f (0) 0 Οµοίως.. f () 0 ii Η f είναι παραγωγίσιµη σε κάθε ένα από τα διαστήµατα [0, o ], [ o, ] και f (0) f ( o ) f () 0 Από ανισότηττα σε ισότητα υποψιαζό- µαστε Frmat Προσαρµογή στο (i Άρα για την f σε κάθε ένα από τα διαστήµατα αυτά ισχύει το θεώρηµα Roll, οπότε θα υπάρχουν ξ (0, o ) και ξ ( o, ) τέτοια ώστε f ( ξ ) 0 και f ( ξ ) 0, εποµένως η f έχει δύο πιθανά σηµεία καµπής.
53. Έστω z, z µιγαδικοί αριθµοί για τους οποίους ισχύει z + z + i και z z 5 + 5i Nα βρείτε τους z, z i Αν για τους µιγαδικούς αριθµούς z και w ισχύουν z 3i και w 3 i δείξτε ότι α) Υπάρχουν µοναδικοί αριθµοί z και w έτσι ώστε να ισχύει z w και να βρείτε την µέγιστη τιµή του z w β) z min w min 0, z mα w mα 0 + Έστω z + yi και z α + βi τότε z + z + i z z 5+ 5i y Α y ( +α ) + (y +β )i + i ( α ) + (y +β )i 5+ 5i Ο Γ Κ(, 3) Ε Μ + α και y + β και α 5 και y + β 5 Λύνοντας το σύστηµα βρίσκουµε 3, y, α, β 3 Άρα z 3 + i και z + 3i i α) z 3 i z ( + 3 w 3 i w (3 + Επειδή (Κ Λ) ο γ.τ της εικόνας του z είναι ο κυκλικός δίσκος µε κέντρο Κ(, 3) και ακτίνα ρ ο γ.τ της εικόνας του w είναι ο κυκλικός δίσκος µε κέντρο Λ(3, ) και ακτίνα R ( 3) + (3 ) 8 ρ + R, οι δύο κυκλικοί δίσκοι εφάπτονται εξωτερικά σε σηµείο Μ. Εποµένως έχουν ένα µόνο κοινό σηµείο, οπότε υπάρχει ένας µόνο από τους z και ένας µόνο από τους w που να είναι οι µοναδικοί αριθµοί z και w ώστε z w Φέρνουµε τη διάκεντρο ΚΛ η οποία τέµνει τον κύκλο (Κ, ρ) σε σηµείο Α και τον (Λ, R) σε σηµείο B. Β Ζ Λ(3, ) Η ποσότητα z w εκφράζει την απόσταση οποιουδήποτε z από οποιονδήποτε w.
5 Η ποσότητα z w γίνεται µέγιστη όταν η εικόνα του z είναι το Α και η εικόνα του w είναι το Β. Άρα i β) z w ΑΒ ρ + R + ma Φέρνουµε την ΟΚ που τέµνει τον κύκλο (Κ, ρ) στα Γ, και την ΟΛ που τέµνει τον κύκλο (Λ, R) στα Ε, Ζ Τότε z min (OΓ) (ΟΚ) ρ z mα (O ) (ΟΚ) + ρ 3 + 0 3 + + 0 + Οµοίως w min (ΟΕ) 0 w mα (OZ) 0 +
6 5. Έστω συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιµη στο R τέτοια ώστε f () f () + f() 0 για κάθε R και η συνάρτηση g() f (), R Αν η C f διέρχεται από το σηµείο (0, ) και η εφαπτοµένη σ αυτό είναι παράλληλη στην ευθεία + y 0, να βρείτε τους τύπους των f και g i Αν f() ( ) και R να βρείτε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις C f, C g. g() f () f() g() f () g () + g() και f () g () + g () + g () + g() g () + g () + g() Η υπόθεση f () f () + f() 0 γίνεται g () + g () + g() (g () g() ) + g() 0 g () + g () + g() g () g() + g() 0 g () 0 στο R g () c στο R () Από την υπόθεση g() f () g () f () - f() - Για 0 η () δίνει f (0) f(0) c (3) Από υποθέσεις είναι f(0) και f (0) Οπότε η (3) + c c () f () - f() - c () Εποµένως η () γίνεται g () g() + c στο R Για 0 η () δίνει f(0) c Αλλά f(0), άρα c f() - + c στο R () Η () f() - f() ( ), οπότε g()
7 i Μας ενδιαφέρει η διαφορά f() g() ( ) ( ) ( )( ) προφανώς συνεχής Ρίζες της εξίσωσης f() g() (Τοµές των C f, C g ) ηλαδή της εξίσωσης f() g() 0 ( ) ( ) 0 ( )( ) 0 ή 0 Είναι Ε f () g() d 0 ( )( ) d 0 (5) Επειδή 0 και 0 0 και 0 (5) E ( )( )d 0 ( )( ) d 0 ( )( ) + ( )d 0 0 ( )( ) + 0 0..
8 55. π είξτε ότι συν ηµ < 0 για κάθε 0, ηµ π i Να βρείτε το σύνολο τιµών της συνάρτησης f (), 0, π ii είξτε ότι ηµ για κάθε 0, π ηµ π iν) είξτε ότι η εξίσωση έχει µία µόνο λύση στο 0, 5 Ανίσωση από µονοτονία π Έστω g() συν ηµ, 0, συνεχής και παραγωγίσιµη π g () συν ηµ συν ηµ < 0 για κάθε 0, π Άρα η g είναι γνησίως φθίνουσα στο 0, π Οπότε, για κάθε 0,, δηλαδή 0 < < π π g(0) > g() > g( ) 0 > g() > συν ηµ < 0 i ηµ π Η f () είναι συνεχής και παραγωγίσιµη στο 0, µε συν ηµ π f () < 0 για κάθε 0, π οπότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο 0, ηµ π Και επειδή lim f () lim και f 0 0 π, θα είναι f(a), π ii Για 0, η αποδεικτέα σχέση ηµ γίνεται π 0 0 0 που ισχύει ισχύει µε το Για 0, η αποδεικτέα σχέση ηµ γίνεται π ηµ που αποδείχθηκε στο (i π iν) Επειδή f(a), π και 5, π, η εξίσωση f() 5
9 ηµ δηλαδή η εξίσωση 5 π έχει µία τουλάχιστον ρίζα στο 0,, η οποία είναι µοναδική αφού η συνάρτηση ηµ π f() είναι γνησίως φθίνουσα στο 0,
0 56. Η τιµή Ρ ενός προϊόντος σε χιλιάδες ευρώ, t µήνες µετά την εισαγωγή του στην t 6 αγορά, δίνεται από τον τύπο Ρ (t) +, t 0 5 t + Να βρείτε την τιµή του προϊόντος την στιγµή εισαγωγής του στην αγορά. i Να βρείτε το χρονικό διάστηµα κατά το οποίο η τιµή του προϊόντος συνεχώς αυξάνεται. ii Να βρείτε την χρονική στιγµή κατά την οποία η τιµή του προϊόντος γίνεται µέγιστη. iν) Να δείξετε ότι η τιµή του προϊόντος µετά από κάποια χρονική στιγµή συνεχώς µειώνεται, χωρίς όµως να µπορεί να γίνει µικρότερη από την τιµή εισαγωγής του στην αγορά. Η τιµή του προϊόντος την στιγµή εισαγωγής του στην αγορά προκύπτει για t 0 6 76 Ρ(0) + χιλιάδες ευρώ. 5 5 i 5 t + t + Είναι Ρ (t) 5 t + Ρ (t) 0 t + t + 5 0 + 5 69, t Πρόσηµο της Ρ και µονοτονία της Ρ ± 3 ( ) 5 (αφού t 0) 5 Η συνάρτηση Ρ είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα 0,, που σηµαίνει ότι σαυτό το χρονικό διάστηµα η τιµή του προϊόντος συνεχώς αυξάνει. ii Η τιµή του προϊόντος γίνεται µέγιστη 5,5 µήνες από την εισαγωγή του στην αγορά. iν) 0 5/ + Ρ + 0 Ρ Η συνάρτηση Ρ είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα εποµένως η τιµή του προϊόντος συνεχώς µειώνεται. 5, +.
t 6 t 6 Αλλά lim P(t) lim t + t + + lim + lim > 76 + 5 t + t + 5 t + t 5 t + Εποµένως η τιµή του προϊόντος δεν γίνεται ποτέ µικρότερη από την τιµή εισαγωγής του στην αγορά.
57. Έστω οι µιγαδικοί αριθµοί z ( ) ( i ) + µε και η συνάρτηση f() z. Να βρείτε εκείνον τον z που έχει το µεγαλύτερο µέτρο i Nα δείξετε ότι η f αντιστρέφεται ii Να δείξτε ότι η C f και η ευθεία y έχουν ένα τουλάχιστον κοινό σηµείο στο διάστηµα (, ) iν) Γνωρίζοντας ότι η f - είναι συνεχής, να υπολογίσετε το f ()d z ( ) + ( ), αφού 0 Άρα f() ( ) η f είναι συνεχής και παραγωγίσιµη στο [, ] µε Είναι f () ( ) < 0 στο (, ) f γν. φθίνουσα στο [, ] Πρόσηµο της f και µονοτονία της f i f f Η f παρουσιάζει µέγιστο το f() Άρα ο z µε το µεγαλύτερο µέτρο είναι αυτός που προκύπτει για, δηλαδή ο z i Επειδή η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [, ], είναι - άρα αντιστρέψιµη ii Αρκεί να δείξουµε ότι η εξίσωση f() έχει µία τουλάχιστον ρίζα στο (, ) Έστω η συνάρτηση g() f() ( ) H g είναι συνεχής στο [, ] σαν πράξεις συνεχών. g() > 0 και g() < 0 οπότε µε βάση το θεώρηµα Bolzano υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, ) ώστε g(ξ) 0 f(ξ) ξ 0 f(ξ) ξ iν) Έστω Ι f ()d 0 Θέτουµε f - () u f(u), οπότε d f (u)du και
3 Όταν 0 τότε u f - (0) f - (f()) Όταν τότε u f - () f - (f()) Άρα Ι f ()d 0 uf (u)du u u( u) du u (u u ) du u ( ) (u u ) du u (u u ) u ( u) du ( u) du u (u u ) u ( ) u (u u ) u ( u) u u + u du (u u ) ( u) + u
58. Έστω η συνάρτηση f : (, + ) R µε f() 0 + ln( ). Αν c πραγµατικός µε c > 0 και η ευθεία y c τέµνει τη C f στα σηµεία Α και Β, δείξτε ότι οι εφαπτόµενες της C f στα Α και Β είναι κάθετες. i Να εξετάσετε την f ως προς τη µονοτονία και την κυρτότητα ii Να βρείτε το εµβαδόν του χωρίου το οποίο περικλείεται από τη C f, τον άξονα και τις ευθείες µε εξισώσεις και. Τετµηµένες των Α, Β : f() c 0 + ln( ) c ln( ) c 0 ln( ) c 0 ή ln( ) 0 c c 0 ή 0 c + c 0 ή + 0 c Για τον τύπο της συνάρτησης : Όταν ln( ) < 0 Άρα ln( ) < ln < < τότε f() 0 + ln( ) Όταν τότε 0+ ln( ), αν f () 0 ln( ), αν < < f είναι συνεχής στο (, + ) και f() 0 ln( ), αν > f (), αν < < c > 0 c 0 > 0 c 0 0 > c 0 > + c 0 > άρα f ( + c 0 ) c 0 + c 0 και οµοίως f ( + 0 c ) 0 c + 0 c
5 Είναι λοιπόν f (+ c 0 ) f (+ 0 c ) c 0 0 c, οπότε οι εφαπτόµενες στα Α και Β είναι κάθετες. i Πρόσηµο της f και µονοτονία της f + f + f < 0, αν > ( ) f () > 0, αν < < ( ) f κοίλη στο [, + ) f κυρτή στο (, ] ii Για κάθε [, ] είναι f() 0+ ln( ) > 0. Οπότε Ε ( + ) 0 ln( ) d 0d + 0( ) + ln( )d ln( )d 0( ) + [ ln( ) ] 0( ) + [ ln( ) ] 0( ) + [ ln( ) ] d + d d + 0( ) + [ ln( ) ] [ ln( ) ] +...
6 59. Έστω f() + (α + ) α, όπου α >. Να βρείτε τη µέγιστη τιµή της f και στη συνέχεια, για τις διάφορες τιµές του α να βρείτε την εξίσωση της γραµµής στην οποία κινούνται τα σηµεία των µεγίστων της f. i Να βρείτε το εµβαδόν του χωρίου που ορίζεται από τη C f και τον άξονα. ii Το σηµείο Α(α, 0) κινείται στον άξονα µε ταχύτητα υ cm/s. Τη χρονική στιγµή κατά την οποία είναι α 3, να βρείτε α) Το ρυθµό µεταβολής της µέγιστης τιµής της f. β) Το ρυθµό µεταβολής του εµβαδού του χωρίου που ορίζεται από τη C f και τον άξονα. Είναι f () + α + α + f () 0 Πρόσηµο της f και µονοτονία της f α + f + f + f ma α + f α+ + (α + ) ( α+ ) + ( α+ ) α+ α ( α+ ) α α + α+ α α α+ ( α ) () Έστω ( ο, y ο ) οι συντεταγµένες των µεγίστων της f. Απαλοιφή του α α + ( α ) Τότε ο και y ο ο α + και y ο (α ) ο α και y ο (α ) α ( ο ) και y ο ( ο ) y ο ( ο ) Εποµένως το µέγιστο της συνάρτησης κινείται στην καµπύλη µε εξίσωση y ( ) µε > α
7 i f() 0 + (α + ) α 0 α ή α Για κάθε [, α] είναι f() 0, άρα Ε ( + ( α + ) α )d ii ίνεται α (t) 3 + ( α + ) α 3 3 α 3α + 3α ( α ) 6 6 Στην (), όπου α θέτουµε α(t). Έτσι ορίζεται συνάρτηση Μ(t) ( α(t) ) που εκφράζει τη µέγιστη τιµή της f συναρτήσει το χρόνου t. ( α(t) ) α (t) Μ (t) Έστω t o η χρονική στιγµή κατά την οποία είναι α(t o ) 3 ( ) ( ) α(t 0) α (t 0) 3 Οπότε Μ (t ο ) 3( α(t) ) α (t) Οµοίως βρίσκουµε Ε (t) 6 Ε (t o ) 3( α(t 0) ) α (t 0) 6 ( ) 3 3 6 α 3
8 60. Τη χρονική στιγµή t 0 χορηγείται σ έναν ασθενή ένα φάρµακο. Η συγκέντρωση του φαρµάκου στο αίµα του ασθενούς δίνεται από τον τύπο αt f (t), t 0 όπου α, β σταθερές θετικές και ο χρόνος µετράται σε ώρες. t + β Η µέγιστη τιµή της συγκέντρωσης είναι 5 µονάδες και επιτυγχάνεται 6 ώρες µετά την λήψη του φαρµάκου. Να βρείτε τις σταθερές α και β. i Με δεδοµένο ότι η δράση του φαρµάκου είναι αποτελεσµατική όταν η συγκέντρωση είναι τουλάχιστον µονάδες, να βρείτε το χρονικό διάστηµα µέσα στο οποίο το φάρµακο δρα αποτελεσµατικά. αt + α β Η f είναι παραγωγίσιµη στο [0, + ) µε f (t) t + β Επειδή η f είναι παραγωγίσιµη στο [0, + ) και παρουσιάζει µέγιστο στο εσωτερικό σηµείο t 6 του [0, + ), σύµφωνα µε το θεώρηµα του frmat θα ισχύει 36α f (6) 0 + α 0 α(β 36) 0 β 6 β 6α Ακόµα από υπόθεση ισχύει f(6) 5 5 α 5 36 + β i 5t Για α 5 και β 6 έχουµε f (t) t + 6 5t Πρέπει και αρκεί f(t) t + 6 t 5t + 36 0 3 t Το φάρµακο δρα αποτελεσµατικά από το πέρας της 3 ης ώρας µέχρι το πέρας της ης