ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai2017/lai2017html Παρασκευή 17 Νοεµβρίου 2017 Ασκηση 1 Εστω ότι L είναι ένα σώµα και (E, +, ) είναι µια τριάδα αποτελούµενη από ένα σύνολο E, µια εσωτερική πράξη +: E E E, και µια εξωτερική πράξη : K E E, έτσι ώστε να ικανοποιούνται τα αξιώµατα (1), (5), (6), (7), (8), στον ορισµό διανυσµατικού χώρου και επιπρόσθετα τα αξιώµατα : (3) 0 E, x E: x + 0 = x (4) x E, x E: x + x = 0 Να δειχθεί ότι ικανοποιούνται και τα αξιώµατα (2), (3) και (4) και η τριάδα (E, +, ) είναι ένας διανυσµατικός χώρος υπεράνω του K Ασκηση 2 Στο σύνολο R 2 ορίζουµε πράξεις : R 2 R 2 R 2, (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) = (x 1 + x 2 + 1, y 1 + y 2 + 1) : R R 2 R 2, λ (x, y) = (λx, λy) Ποια αξιώµατα διανυσµατικού χώρου ισχύουν για την τριάδα (R 2,, ) και ποια όχι ; Ασκηση 3 Να δείξετε ότι µε τις συνηθισµένες πράξεις πρόσθεσης και ϐαθµωτού πολλαπλασιαµού πινάκων το σύνολο a 2c 2b V = b a 2c M 3 (R) a, b, c R c b a είναι διανυσµατικός χώρος πάνω από το R Ασκηση 4 Να εξετασθεί ποια από τα παρακάτω υποσύνολα του διανυσµατικού χώρου R n είναι υπόχωροι : (1) V 1 = { (x 1, x 2,, x n ) R n x i Z, 1 i n (2) V 2 = { (x 1, x 2,, x n ) R n x i Q, 1 i n (3) V 3 = { (x 1, x 2,, x n ) R n x 1 + x 2 + + x n = 0 (4) V 4 = { (x 1, x 2,, x n ) R n x 1 + x 2 + + x n = 1 (5) V 5 = { (x 1, x 2,, x n ) R n x 1 = x n (6) V 6 = { (x 1, x 2,, x n ) R n x 2k = 0, 1 2k n (7) V 6 = { (x 1, x 2,, x n ) R n x 2k = x 2l, 1 2k, 2l n (8) V 6 = { (x 1, x 2,, x n ) R n x 2k+1 = 0, 1 2k + 1 n (9) V 6 = { (x 1, x 2,, x n ) R n x 2k+1 = x 2l+1, 1 2k + 1, 2l + 1 n
2 Ασκηση 5 Να εξετασθεί ποια από τα παρακάτω υποσύνολα του διανυσµατικού χώρου E είναι υπόχωροι : (1) E = R 2 και V 1 = { (x, y) R 2 x 0, y R (2) E = R 2 και V 2 = { (x, y) R 2 x R, y = 2x + 1 (3) E = R 2 και V 3 = { (x, y) R 2 x R, y = 2x (4) E = R 2 και V 4 = { (x, y) R 2 y = x, x R (5) E = R 3 και V 5 = { (x, y, z) R 3 x, y R, z = 1 (6) E = R 3 και V 6 = { (x, y, z) R 3 x = y = z R (7) E = R 3 και V 7 = { (x, y, z) R 3 z = x + y, x, y R (8) E = R 3 και V 8 = { (x, y, z) R 3 xy = 0, x, y, z R (9) E = R 4 και V 9 = { (x 1, x 2, x 3, x 4 ) R 4 x 1 x 3 = x 2 x 4, x i R, 1 i 4 (10) E = M n (R) και V 10 = { A = (a ij ) M n (R) a 11 = 0 Ασκηση 6 Θεωρούµε τον R-διανυσµατικό χώρο F(R, R), και το υποσύνολό του : Z = { f F(R, R) υπάρχει κ(f) R : f(x) κ(f) x, x R Να εξετασθεί αν το υποσύνολο Z είναι υπόχωρος του F(R, R) Ασκηση 7 Εστω E ένας K-διανυσµατικός χώρος και x, y E Αν κ, λ K, να δείξετε ότι : κ x + λ y = λ x + κ y κ = λ ή x = y Ασκηση 8 Να εξετασθεί αν το υποσύνολο {( ) a b c V = M d e f 2 3 (R) a = 2c, f = 2e + d είναι υπόχωρος του διανυσµατικού χώρου M 2 3 (R) πάνω από το R Ασκηση 9 Εστω AT n (R) το σύνολο των άνω τριγωνικών n n πινάκων, και KT n (R) το σύνολο των κάτω τριγωνικών n n πινάκων (1) Είναι το υποσύνολο AT n (R) υπόχωρος του διανυσµατικού χώρου M n (R) ; (2) Είναι το υποσύνολο KT n (R) υπόχωρος του διανυσµατικού χώρου M n (R) ; (3) Αν η απάντηση στα ερωτήµατα (1) και (2) είναι ϑετική, να ϐρεθεί η τοµή AT n (R) KT n (R) και το άθροισµα AT n (R) + KT n (R) των υπόχωρων AT n (R), KT n (R) Ασκηση 10 Εστω V το υποσύνολο του R-διανυσµατικού χώρου M n (R) το οποίο αποτελείται από όλους τους πίνακες της ακόλουθης µορφής : a b b b b b b b a b b b b b b b a b b b b A(a, b) =, a, b R b b b b b b b b b b b a b b b b b b b a b b b b b b b a Να εξετασθεί αν το υποσύνολο V είναι υπόχωρος του M n (R)
3 Ασκηση 11 Να δειχθεί ότι δεν υπάρχει K-διανυσµατικός χώρος ο οποίος είναι ένωση δύο γνήσιων υπόχω- ϱών του, δηλαδή : αν V και W είναι δύο υπόχωροι του K-διανυσµατικού χώρου E, τότε : V E και W E = E V W Ασκηση 12 Εστω E ένας K-διανυσµατικός χώρος υπεράνω του σώµατος K, και X, Y δύο υποσύνολα διανυσµάτων του E (1) Να δειξθεί ότι X = X αν και µόνον αν το υποσύνολο X είναι υπόχωρος του E (2) Να δειχθεί ότι αν X Y, τότε X Y Ισχύει το αντίστροφο ; Ασκηση 13 (1) Στον K-διανυσµατικό χώρο K 2 [x] των πολωνύµων υπεράνω του K µε ϐαθµό 2, να προσδιοριστεί ο υπόχωρος 1 + x, 1 + 2x, 1 + x 2, 1 + 2x 2 (2) Θεωρούµε το οµογενές σύστηµα 2x 1 + x 2 + 0x 3 + x 4 = 0 (Σ) x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 0 0x 1 + x 2 + 2x 3 + x 4 = 0 Να ϐρεθούν κατάλληλα διανύσµατα X 1, X 2,, X n του διανυσµατικού χώρου Λ(Σ) των λύσεων του (Σ) έτσι ώστε : Λ(Σ) = X 1, X 2,, X n Ασκηση 14 (1) Στον διανυσµατικό χώρο K 4 υπεράνω του K, να εξετασθεί αν το διάνυσµα x = (1, 1, 0, 3) περιέχεται στον υπόχωρο του K 4 ο οποίος παράγεται από τα διανύσµατα y = (1, 0, 1, 7) και z = ( 1, 1, 0, 3) (2) Να προσδιορισθεί ο υπόχωρος του K 3 ο οποίος παράγεται από τα διανύσµατα x = (1, 0, 1) και y = ( 1, 1, 1) Για ποιές τιµές του πραγµατικού αριθµού a ισχύει ότι : (1, 0, 1), ( 1, 1, 1), (a, 1, 1) = K 3 ; Ασκηση 15 Στον διανυσµατικό χώρο K 3 ϑεωρούµε τα ακόλουθα υποσύνολα : V = { (x, y, 0) K 3 y = 2x, W = { (x+y, 3x, x) K 3 x, y K, U = { (x, y, z) K 3 2x+y z = 0, (1) Να δειχθεί ότι τα υποσύνολα V, W, και U είναι υπόχωροι του K 3 (2) Να προσδιορισθουν οι υπόχωροι V W, V U, και W U (3) Να προσδιορισθουν οι υπόχωροι V + W, V + U, και W + U (4) Να εξετασθεί αν ισχύουν οι εξής ισότητες : V + W = K 3, V + U = K 3, W + U = K 3 Ενας n n πίνακας A = (a ij ) µε στοιχεία από το σώµα K καλείται µαγικός αν, i, j = 1, 2,, n: n n n n a ij = a ij = a kk = a k n k+1, j=1 i=1 k=1 δηλαδή αν το άθροισµα των στοιχείων κάθε γραµµής, κάθε στήλης και το άθροισµα των στοιχείων των κύριων διαγωνίων του είναι είναι ίδιο Ο σταθερός αυτλός αριθµός καλείται ο µαγικός αριθµός του A Για παράδειγµα ο πίνακας 2 7 6 9 5 1 4 3 8 k=1
4 είναι µαγικός : το άθροισµα των στοιχείων κάθε γραµµής, κάθε στήλης και το άθροισµα των διαγωνίων στοιχείων του είναι ίσο µε τον µαγικό αριθµό 15 Ασκηση 16 (1) Να δειχθεί ότι το σύνολο MS n (K) των µαγικών n n πινάκων υπεράνω του K είναι ένας υπόχωρος του K-διανυσµατικού χώρου M n (K) (2) Να δειχθεί ότι το σύνολο 0 MS n (K) των µαγικών n n πινάκων υπεράνω του K µε µαγικό αριθµό ίσο µε 0, είναι ένας υπόχωρος του K-διανυσµατικού χώρου M n (K) (3) Να δειχθεί ότι το σύνολο k MS n (K) των µαγικών n n πινάκων υπεράνω του K µε µαγικό αριθµό ίσο µε k 0, δεν είναι υπόχωρος του K-διανυσµατικού χώρου M n (K) Ασκηση 17 Θεωρούµε το ακόλουθο υποσύνολο του διανυσµατικού χώρου R n : V = { (x 1, x 2,, x n ) R n x 1 + x 2 + + x n = 0 Να δειχθεί ότι το υποσύνολο V είναι ένας υπόχωρος του R n και να ϐρεθεί ένα σύνολο διανυσµάτων x 1, x 2,, x m του R n, για κατάλληλο ϑετικό ακέραιο m, έτσι ώστε : V = x 1, x 2,, x m Ασκηση 18 Εστω V, V 1, V 2, V 3 είναι υπόχωροι του K-διανυσµατικού χώρου E Να εξετασθεί ποιές από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς και ποιές δεν είναι αληθείς : (1) V 1 + (V 2 + V 3 ) = (V 1 + V 2 ) + V 3 (2) V 1 + V 2 = V 2 + V 1 (3) Υπάρχει υπόχωρος W του E έτσι ώστε, για κάθε υπόχωρο V του E: V + W = V = W + V Είναι ο υπόχωρος W µοναδικός ; (4) Αν η απάντηση στο (3) είναι καταφατική, τότε είναι αληθές ότι για κάθε υπόχωρο V του E, υπάρχει υπόχωρος V του E έτσι ώστε V + V = W = V + V; (5) V 1 (V 2 V 3 ) = (V 1 V 2 ) V 3 (6) V 1 V 2 = V 2 V 1 (7) Υπάρχει υπόχωρος Z του E έτσι ώστε, για κάθε υπόχωρο V του E: V Z = V = Z V Είναι ο υπόχωρος Z µοναδικός ; (8) Αν η απάντηση στο (7) είναι καταφατική, τότε είναι αληθές ότι για κάθε υπόχωρο V του E, υπάρχει υπόχωρος V του Eέτσι ώστε V V = Z = V V; Ασκηση 19 Εστω F([0, 1], R) ο διανυσµατικός χώρος των συναρτήσεων ορισµένων επί του κλειστού διαστήµατος [0, 1] R µε τιµές πραγµατικούς αριθµούς, και έστω τα ακόλουθο υποσύνολο του F([0, 1], R): C([0, 1], R) = { f : [0, 1] R f : συνεχής V = { f C([0, 1], R) af (x) + bf (x) + cf(x) = 0, x [0, 1] όπου a, b, c είναι σταθεροί πραγµατικοί αριθµοί (1) Να δειχθεί ότι το υποσύνολο C([0, 1], R) είναι ένας υπόχωρος του F([0, 1], R) (2) Να εξεταστεί ποιά από τα ακόλυθα υποσύνολα του R-διανυσµατικού χώρου C([0, 1], R) είναι υπόχω- ϱος : (αʹ) V 1 = { f C([0, 1], R) f( 1 n ) = 0, n N (ϐʹ) V 2 = { f C([0, 1], R) f (x) = 0, x [0, 1] { 1 (γʹ) V 3 = f C([0, 1], R) f(x)dx = 0 0 (δʹ) V 4 = { f C([0, 1], R) af (x) + bf (x) + cf(x) = 0, x [0, 1], όπου a, b, c είναι σταθεροί πραγµατικοί αριθµοί
5 Ασκηση 20 Εστω το κλειστό διάστηµα [a, b] R και ϑεωρούµε το σύνολο E = { f : [a, b] R + f : συνάρτηση όπου R + = { x R x > 0 Ορίζουµε πράξεις επί του E ως εξής : : E E E, f g = f g, όπου (f g)(x) = f(x)g(x) : R E E, r f = f r, όπου f r (x) = f(x) r Να δειχθεί ότι η τριάδα (E,, ) είναι ένας διανυσµατικός χώρος υπεράνω του R Ασκηση 21 Εστω K ένα σώµα και ϑεωρούµε τον διανυσµατικό χώρο K n [x] των πολυωνύµων υπεράνω του K µε ϐαθµό n Εστω V ένας υπόχωρος του K n [x] και υποθέτουµε ότι ο V περιέχει ένα πολυώνυµο ϐαθµού k για κάθε k = 0, 1, 2,, m, και δεν περιέχει πολυώνυµα ϐαθµού > m Να δειχθεί ότι V = K m [x] Ασκηση 22 Εστω ότι η τριάδα (E, +, ) είναι ένας διανυσµατικός χώρος υπεράνω του R και ϑεωρούµε το σύνολο E E = { ( x, y) x, y E (1) Στο σύνολο E E ορίζουµε πράξεις πρόσθεσης και ϐαθµωτού πολλαπλασιασµού ως εξής : : (E E) (E E) E E, ( x 1, y 1 ) ( x 2, y 2 ) = ( x 1 + x 2, y 1 + y 2 ) : R (E E) E E, r ( x, y) = (r x, r y) Να δειχθεί ότι η τριάδα (E E,, ) είναι ένας διανυσµατικός χώρος υπεράνω του R (2) Στο σύνολο E E ορίζουµε πράξεις πρόσθεσης και ϐαθµωτού πολλαπλασιασµού ως εξής : : (E E) (E E) E E, ( x 1, y 1 ) ( x 2, y 2 ) = ( x 1 + x 2, y 1 + y 2 ) : C (E E) E E, (a + bi) ( x, y) = (a x b y, a y + b x) Να δειχθεί ότι η τριάδα (E E,, ) είναι ένας διανυσµατικός χώρος υπεράνω του C