ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ημερομηνία: Σάββατο 4 Μαΐου 09 Διάρκεια Εξέτασης: ώρες ΘΕΜΑ Α Α.. Βιβλίο, 3. παράγραφος Α.. α. Σ β. Λ γ. Λ δ. Σ ε. Λ Α.3. α. Ψ ΘΕΜΑ Β ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ β. Για τα διανύσματα i = (, 0) και = ( 0,) Β.. Έστω Α( xy, ) τυχαίο σημείο της γ. Τότε για κάθε λλ R έχουμε: j ισχύει i = j, όμως i j x = λ + x = y 3 y = x+ y = λ + 3 Οπότε η γραμμή γ είναι ευθεία με εξίσωση γ : y = x+. ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ ΣΕΛΙΔΑ: ΑΠΟ 6
Β.. Αφού v // γ, θα ισχύει: λ = γ λ λ = = v γ λ γ. Οπότε η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Ι(, ) είναι: γ : y+ = x+ γ : y = x+ 4 Β.3. Το αεροπλάνο που κινείται στην ευθεία γ θα περάσει πιο κοντά από το d Ο, γ < d Ο, γ : αεροδρόμιο Αθηνών διότι Β.4. Σημείο τομής των ευθειών γ, γ : d d Ο, = = ( γ ) 4 Ο, = = ( γ ) y = x+ y = x+ y = x+ y = y = x 4 x+ = x 4 x= 3 x = 3 Άρα το σημείο τομής είναι το Ν ( 3, ). Είναι ΟΝ = ( 3, ) και ΟΙ = (, ) και οπότε το εμβαδόν είναι det( ΟΙ, Ο N) = = 4 3 det( ΟΙ, ΟN) ( ΙΟΝ ) = = τ.μ. ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ ΣΕΛΙΔΑ: ΑΠΟ 6
ΘΕΜΑ Γ Γ.. Επίσης π άρα a, β =. 3 Γ. Έχουμε Οπότε p Άρα Ε,0 =,0 Ακόμη p = β( β a) + 3 = ( α β)( α β ) + = 3α αβ 3αβ β 3α + αβ β = 3+ αβ 4= αβ = αβ = αβ συν a, β = α β = = = β 4αβ = 4 4 = 8 4= 4 = p = και C : y = 4x p, 0 και (δ): x = = =. + + 4 + 5 = 0 x y β x aβ y x y x 4y 5 0 + + = x + y x y = 8 5 0 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ ΣΕΛΙΔΑ: 3 ΑΠΟ 6
Γ.3. Γ.4. Συνεπώς άρα Κ (, 4). Α = = και B 8 = = 4 A + B 4Γ + 8 4 ρ = = 5 = Η εφαπτομένη της παραβολής στο (, ) ( ε ): Α έχει εξίσωση: y = x+ y = x+ x y = 0. Για να εφάπτεται η ευθεία ε στον κύκλο C αρκεί να ισχύει: Πράγματι (, ) d Κ ε = ρ. 4 d ( Κ, ε) = + = = = ρ. + ( E ) Κ = + 0 4 = 0 + 6 = 4 > = ρ συνεπώς το σημείο Ε είναι εξωτερικό του C. Η μέγιστη απόσταση του Ε από τον C ισούται με dmax = ΕΚ + ρ = 4+ και η ελάχιστη απόσταση του Ε από τον C ισούται με dmin = ΕΚ ρ = 4 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ ΣΕΛΙΔΑ: 4 ΑΠΟ 6
ΘΕΜΑ Δ Δ.. Αναγκαία συνθήκη είναι Για λ =, η εξίσωση γίνεται οπότε δεν παριστάνει κύκλο. Για λ =, η εξίσωση γίνεται οπότε παριστάνει κύκλο C Δ.. Για λ =, είναι: α. Κέντρο ( 3, 4) 4 3 λ λ λ λ λ + = + + λ λ + = λ λ + + λ + ( λ )( λ λ ) + + = 0 λ = ή λ = 0x + 0y + 60x 40y + 30 = 0 x + y + x y + = 3 6 0 Α +Β Γ= < 4 5 0 x y x y + 6 + 3 = 0 C x y x y x + y x y + = 6 8 6 0 Α +Β Γ= > : + 6 8 + 6= 0 Θ και ακτίνα ρ = 3. 4 36 0 3 3 + 4 4 + 5 Θ, = 8 3 + 4 β. Είναι d ( η ) Επομένως για την ελάχιστη και μέγιστη απόσταση, αντίστοιχα έχουμε: και: dmin = d Θ, η ρ = 8 3= 5 dmax = d Θ, η + ρ = 8 + 3 = ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ ΣΕΛΙΔΑ: 5 ΑΠΟ 6
γ. Οι ευθείες που διέρχονται από την αρχή των αξόνων είναι: ε : x = 0 και ε : y = λx λ x y = 0 3+ 0+ 0 d ( Θ, ε) = = 3= ρ + 0 Επομένως η ε : x = 0 είναι μια εφαπτομένη του κύκλου C: x + y 6x 8y + 6= 0 η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Αναγκαία συνθήκη είναι: d (, ε ) Θ = (, ) 3λ 4 λ + d Θ ε = ρ = + 3λ 4 3 λ 7 λ = 4 7 Επομένως η ε : y = x είναι μια εφαπτομένη του κύκλου 4 C: x + y 6x 8y + 6= 0 η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων. δ. Επειδή ΚΛ = 6= ρ, η ΚΛ θα είναι διάμετρος του κύκλου. Οπότε το μέσο της ΚΛ θα είναι το κέντρο Θ του κύκλου C: x + y 6x 8y + 6= 0. Επομένως η ΟΘ διάμεσος του τριγώνου ΟΚΛ. Άρα ΟΚ + ΟΛ = ΟΘ = + = 3 4 0 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ ΣΕΛΙΔΑ: 6 ΑΠΟ 6