6 Β..6. Γεωετρικός έος. α) Τα δεδοέα δίοται ααλυτικά Οριός Β.. Έτω ότι τα δεδοέα είαι δοέα ααλυτικά ( τιές που ατιτοιχού τα άτοα του πληθυού): i, i,,,..., Οοάζουε Γεωετρικό έο τω δεδοέω i, τη -οτή ρίζα του γιοέου τους: G * * *...* β) Τα δεδοέα είαι καταεηέα ε κ κλάεις: Οριός Β.. Έτω ότι τα δεδοέα είαι καταεηέα ε κ κλάεις: i, i,,,...,κ. Οοάζουε Γεωετρικό έο τω δεδοέω αυτώ τη -οτή ρίζα τω γιοέω τω παραγότω i fi : G f * f * f *...* κ fκ Παρατήρηη: Μια ηατική ιδιότητα του γεωετρικού έου είαι πως επηρεάζεται λιγότερο απ' ότι ο αριθητικός έος, από τις ακραίες εγάλες τιές, εώ επηρεάζεται περιότερο του από τις ικρες ακραίες τιές. Ας υπολογίουε, για παράδειγα, το αριθητικό και το γεωετρικό έο τω τιώ: i,,,,, (για i,,..,6). x ()/6.666 6 G x * * * * * 6.
6 Παράδειγα Β.. Θα προπαθήουε α δείξουε τη χρηιότητα του Γεωετρικού έου ε το εξής παράδειγα: Κάποιος αγοράζει τη η Ιαουαρίου του, ε το ποό του εός εκατουρίου έτοκα γραάτια του Ελληικού ηοίου και έκτοτε το ααεώει κάθε η Ιαουαρίου ε το τρέχο επιτόκιο, εωατώοτας το κυρίως κεφάλαιο και τους τόκους. Προκύπτει λοιπό ο παρακάτω πίακας: ροολογία ρη.ποό Τρέχο επιτόκιο Τελικό ποό αρχής έτους % Σχετ.εταβολή τέλος έτους 6 6 6 6,,,,,,,....... 6 6 6 6 Η χετική ετήια εταβολή είαι ο υτελετής ο οποίος πολλαπλαιάζει το κεφάλαιο της αρχής του έτους για α ας δώει το κεφάλαιο το τέλος του έτους. Για επιτόκιο α%, ο υτελετής εταβολής δίεται από τη χέη: Συτελετής εταβολής α/ Εποέως εά το επιτόκιο είαι.%, τότε ο υτελετής εταβολής θα ιούται ε.. Ας υπολογίουε τώρα το έο όρο τω χετικώ εταβολώ της επταετίας: ε (...)/.6/.6 και το Γεωετρικό τους έο: G ε. *. *. *...*.., Στη υέχεια θα φτιάξουε έα πίακα χρηιοποιώτας τη θέη του τρέχοτος επιτοκίου το αριθητικό έο τη ια φορά και το Γεωετρικό έο τη άλλη:
6 ροολογία Τελικό ποό βάη χετ.εταβολής του Τελικό ποό βάη χετ.εταβολής του G Πραγατικό τελικό ποό. 6 6 6 6 66 6 6 6 6 6 6 Αξίζει α παρατηρήουε ότι ο Γεωετρικός έος, α και δε δίει απολύτως ωτά εδιάεα αποτελέατα, όπως άλλωτε και ο έος όρος, ε τούτοις υπολογίζει ακριβέτατα το τελικό αποτέλεα, κάτι που δε καταφέρει α επιτύχει ο αριθητικός έος (). Παρατηρήεις: η) Ο Γεωετρικός έος υπάρχει και έχει όηα όο ότα τα δεδοέα είαι θετικοί αριθοί, ακόη και τη περίπτωη που η ρίζα δίει πραγατική τιή. Για παράδειγα ο γεω.έος τω τιώ: -, και είαι το -, που βέβαια δε πορεί α θεωρηθεί κετρική τάη τω τριώ αυτώ τιώ. η) Ο γεωετρικός έος είαι ίος ε το έο όρο όο ότα όλες οι τιές είαι ίες εταξύ τους (... ). Σε κάθε άλλη περίπτωη ο έος όρος είαι εγαλύτερος. Αυτή η ιδιότητα πορεί α αποδειχθεί πολύ εύκολα για δύο τιές. Να το δείξετε! Το παράδειγα αυτό θα το ξααδούε το Κεφάλαιο τω Αριθοδεικτώ (τη Στατιτική ΙΙ), οπότε θα δειχθεί το γιατί ο Γεωετρικός έος δίει το ακριβές αποτέλεα.
6 B... Επααληπτικό παράδειγα. ιακόιοι αθητές της Α Λυκείου πήδηξα τρία άλατα εις ήκος, από τα οποία διαλέξαε το καλύτερο. Τα αποτελέατα παρουιάζοται το διπλαό πίακα. ητούται: i) Ο πλήρης Στατιτικός πίακας, ii) το ραβδόγραα υχοτήτω και η παράταη της αθροιτικής υχότητας, iii) ία αιτιολογηέη εκτίηη, ε το άτι, τω τιώ, Τ και δ. iv) o ακριβής υπολογιός του τύπου Τ, v) ο υπολογιός της διαέου δ, vi) ο υπολογιός τω τεταρτηορίω Q, Q, Q, vii) ο υπολογιός του έου όρου, και iix) ο υπολογιός του γεωετρικού έου G. Άλα i.6.....6.. Συχότητα f i 6 Λύη: i) Στατιτικός Πίακας: α/α Κλάη i Όρια κλάης Συχ. f i Σχετική υχ. P i Σχετική υχ.(%) Αθροιτ. υχ. F i Σχετική αθρ.υχ. Σχετ.αθρ. υχ.(%) 6.6.....6... -.. -.. -.6.6 -.. -.. -.. -.. -.6 6.......... 6 6 6 6....6.... 6... Σ ύ ο λ ο,,
6 fi.6....6.6 i Fi.6....6.. i ii) To ραβδόγραα τω υχοτήτω και της αθροιτικής υχότητας. iii) ε είαι λίγες οι φορές που αποφεύγουε ηατικότατα λάθη ε το α έχουε υπ όψη ας ια εκτίηη για τις τιές τω παραέτρω που ψάχουε. Για το λόγο αυτό θα προπαθήουε α δώουε ια πρώτη εκτίηη για τις τιές τω παραέτρω, Τ και δ, παρατηρώτας το ραβδόγραα τω υχοτήτω. α) Για το έο όρο (). Η καταοή τω υχοτήτω το ραβδόγραα τω υχοτήτω είαι οοκόρυφη και χεδό υετρική. Στη περίπτωη αυτή ο έος όρος είαι το κέτρο, δηλαδή το έο της κλάης, η οποία είαι και η επικρατούα υιή Τ τω τιώ i. Βέβαια, το έο της κλάης είαι το όοά της, δηλαδή. έτρα. Παρατηρώτας προεκτικότερα ατιλαβαόατε πως όλες οι κλάεις που βρίκοται δεξιά της, έχου εγαλύτερες υχότητες απ αυτές που βρίκοται τα δεξιά της, ε υετρική θέη, πράγα που ηαίει πως το ποοτό του πληθυού που βρίκεται δεξιά της είαι εγαλύτερο απ αυτό που βρίκεται αριτερά. Άεη υέπεια αυτώ είαι η ικρή ετακίηη του προς τα δεξιά του.. Είαι λογική λοιπό ια εκτίηη για το γύρω το.... Θεωρούε πως οι αθητές αποτελού το πληθυό του προβλήατος που ελετούε ( ατί του x )
66 β) Για το τύπο Τ. Η πλειοψηφούα κλάη είαι η, πράγα που είαι φαερό από το ραβδόγραα υχοτήτω, οπότε χοδρικά έχουε πως: Τ. Επειδή όως η κλάη που βρίκεται δεξιά της (η ) έχει εγαλύτερη υχότητα απ αυτή που βρίκεται αριτερά της (τη ), η ακριβής τιή του Τ θάαι λίγο ετακιηέη προς τα δεξιά του.. Θα δώουε α προεγγιτική τιή και πάλι τα. έτρα. γ) Για το Γεωετρικό έο G. Ο G, όπως έχει ήδη ειπωθεί, είαι πάτα ικρότερος από το. Άρα περιέουε α είαι πιό κοτά το. (το κέτρο της πλειοψηφούας κλάης). iv) Η κλάη ε τη εγαλύτερη υχότητα είαι η. (f ). Σε πρώτη προέγγιη πορούε α δεχθούε πως η επικρατούα τιή είαι Τ. έτρα. Στο εωτερικό της κλαης θα βρίκεται η ακριβής τιή του τύπου Τ. Έχουε πως: f - f, f τ f εώ το κάτω όριο της κλαης είαι το Ο.6, ε εύρος ε.. Τώρα πορούε α υπολογίουε το τύπο Τ: T O ft f ε,6 *, f T T, v) Η πραγατική θέη της διαέου (η ειρά της δηλαδή αάεα τα τοιχεία του πληθυού ας) είαι η: ξ ()/ /. και «φιλοξεείται» το εωτερικό της κλάης (ια και η αθροιτ. υχότητα F 6, είαι η πρώτη που ξεπεράει το ξ). Εύκολα τώρα υάγουε τα υπόλοιπα τοιχεία που χρειάζοται το τύπο της διαέου: Ο.6, F δ- 6, f δ και ε. δ Ο ξ Fδ, 6 ε,6 *, fδ,
6 vi) Η πραγατική ειρά τω τριώ τεταρτηορίω δίεται είαι η: ξ ()/ /., ξ ξ. και ξ ξ. Οι κλάεις που φιλοξεού το καθέα από τα τρία τεταρτηόρια, βρίκοται ακριβώς ε το ίδιο τρόπο αυτό της διαέου. ε ξεχούε βέβαια πως το δεύτερο τεταρτηόριο είαι ίο ε τη διάεο (Q δ). Έχουε λοιπό πως το Q φιλοξεείται τη κλάη, το Q τη επίης και το Q τη. ξ Fq. 6 Q O ε.6 *..6 f Q δ. q ξ Fq. 6 Q O ε *..66 f q vii) Σύφωα ε το τύπο του έου όρου για δεδοέα ε κλάεις έχουε: 6 *.6 *... *. 6 x f. iix) Εφαρόζουε τέλος και το τύπο για το Γεωετρικό έο: G f i * f *...* fκ κ.6 6 * *...*..*.
6 Β... Άκηη. ητήαε από τους αθητές δύο τηάτω της Β Λυκείου α βαθολογήου το κοιό καθηγητή Μαθηατικώ, που έχου (βαθοί από έως ). Τα ακατέργατα αποτελέατα που πήραε εφαίζοται το επόεο πίακα: 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 i) Να κατατάξετε τα αποτελέατα κατ αύξουα ειρά. ii) Να αποφαίετε για το πλήθος τω κλάεω τις οποίες θα εταχθού τα παραπάω δεδοέα. iii) Να κάετε το πλήρη Στατιτικό πίακα. iv) Nα υπολογίετε το τύπο Τ και το έο όρο (κλάεις). v) Να υπολογίετε τη διάεο για τα ααλυτικά δεδοέα και για τα δεδοέα τω κλάεω.
6 Β.. ΜΕΤΡΑ ΙΑΣΠΟΡΑΣ. Β... Ααγκαιότητα τω έτρω διαποράς. Οι παράετροι κετρικής τάης (ή έτρα θέης), που γωρίαε τη προηγούεη παράγραφο, αποτελού ια ηατική προπάθεια α δηλωθού ε το υοπτικότερο δυατό τρόπο, οι τιές που παίρει ια τυχαία εταβλητή τα τοιχεία εός πληθυού. Όως η Λακωικότητα αυτή ας τερεί από ουιατικές πληροφορίες, οι οποίες άλιτα θα πορούα α εταβάλου ηατικά τη άποψη που δηιουργού για τη τυχαία εταβλητή, τα έτρα θέης. Ας δούε λοιπό έα παράδειγα... Παράδειγα Β.. Η επιτροπή υποτροφιώ καλείται α εκλέξει έα πουδατή που θα πάρει τη υποτροφία για τη επόεη χροιά. Οι υποψήφιοι που απέεια τη τελική εκλογή είαι τρείς. Απ'αυτούς η επιτροπή θα ξεχωρίει τους δύο (το βαικό υπότροφο και το επιλαχότα). Η βαθολογία τους τα αθήατα της περαέης πουδατικής χροιάς, βάει της οποίας θα κρίει η επιτροπή και τα οποία θεωρούται ιοδύαα, είαι η παρακάτω: Μάθηα Σπουδατής Σπουδατής Υ Σπουδατής ο ο ο ο ο 6ο ο ο ο ο 6 6 Η επιτροπή αποφαίζει πως το βαικό κριτήριο ε το οποίο θα ααδείξει το υπότροφο και το επιλαχότα θα είαι ο έος όρος της βαθολογίας τους. Όως αποφαίζει πως για παραπλήιους έους όρους θα λάβει υπ'όψη της και τη οοιογέεια τω βαθώ του κάθε πουδατή, θεωρώτας πιο αξιόπιτο το πουδατή του οποίου οι βαθοί έχου ικρότερες αποκλίεις από το έο όρο.
Ας υπολογίουε αρχικά τους τρείς έους όρους: (6...)/ / Υ (...)/ / (...)/ / Παρατηρούε πως και οι τρεις πουδατές επέτυχα το ίδιο έο όρο. Θα πρέπει λοιπό α ορίουε ία έα παράετρο που α προδιορίζει το τρόπο ε το οποίο καταέοται οι δοέες αριθητικές τιές γύρω από το έο όρο τους. Το τρόπο αυτό καταοής τω δεδοέω θα το οοάουε διαπορά τω δεδοέω γύρω από το έο όρο. Οι διάφορες παράετροι που θα αποδίδου τη διαπορά λέγοται υχά έτρα διαποράς. Β... Μέη απόκλιη. Μια πρώτη ιδέα είαι α χρηιοποιήουε α έτρο διαποράς τη έη τιή τω "αποτάεω" τω αριθητικώ δεδοέω i (i,,...,) από το αριθητικό έο (δοέες ε απόλυτη τιή). Το έο όρο δηλαδή τω ποοτήτω: -, -, -,..., - Οριός Β.. Έτω οι τιές ιας τυχαίες εταβλητής i, ε αριθητικό έο το. Οοάζουε έη απόκλιη τω τιώ i από το τη ποότητα: A... Ότα τα δεδοέα δίοται καταεηέα ε κ-κλάεις: i, i,,...,κ, η έη απόκλιη δίεται από τη χέη: A f f... f κ κ κ f
Παρατηρήεις: η) Είπαε πως η έη απόκλιη είαι τη ουία ο έος όρος τω αποτάεω της κάθε έτρηης i από το έο όρο. Βέβαια η απόταη που ορίζεται εδώ είαι η Ευκλείδεια απόταη, η οποία είαι ια ποότητα θετική ή ηδέ. η) Η ερηεία του τύπου που χρηιοποιεί τις υχότητες f i είαι ακριβώς όοια ε τη ερηεία που δίεται το ατίτοιχο τύπο για το έο όρο (η παρατήρηη). η) Να παρατηρήουε πως το τύπο της έης απόκλιης χρηιοποιούε απόλυτες τιές γιατί το αλγεβρικό άθροια τω διαφορώ ( i -) είαι ίο ε το ηδέ. Ιχύει δηλαδή: (x -) (x -) (x -)... (x -) Πρόκειται για ια ηατική ιδιότητα του έου όρου τη οποία αζί ε άλλες θα τη ελετήουε τη εθεπόεη παράγραφο (Β..). Προς το παρό αξίζει το κόπο α κάετε ια δοκιή για τη ιχύ της. Παράδειγα Β.. (υέχεια η...) Αφαιρώτας από τους βαθούς τω τριώ πουδατώ τη τιή του κοιού έου όρου () και παίροτας τη απόλυτη τιή του αποτελέατος καταλήγουε το επόεο πίακα: Mάθηα i - Y i - Z i - o o o o o 6o o o o o Σύολο 6 6
Τα αποτελέατα: Α x 6/.6 Α y 6/.6 Α z /. Τα αποτελέατα κάου φαερό το ότι οι βαθοί του Υ πουδατή είαι πολύ κοτά το έο όρο (), εώ δεύτερος ε οοιογέεια βαθώ έρχεται ο πουδατής. Πρόκειται βέβαια για κάτι που διαφαιότα από το πίακα τω αποτελεάτω, τώρα όως πιτοποιείται "επίηα" από τις έες αποκλίεις. Β... ιακύαη και τυπική απόκλιη. Έα ηατικό ειοέκτηα της έοιας της έης απόκλιης είαι η χρήη τω απολύτω τιώ το Μαθηατικό της τύπο, κάτι που υχά δυκολεύει τις πράξεις. Για το λόγο αυτό, α έτρο της διαποράς τω τιώ της τυχαίας εταβλητής γύρω από τη έη τους τιή, χρηιοποιείται υήθως ο έος όρος τω τετραγώω τω "αποτάεω" τω δεδοέω i από το αριθητικό έο. Πρόκειται δηλαδή για το έο όρο τω ποοτήτω: ( -), ( -), ( -),..., ( -) Οριός Β.. Έτω οι τιές ιας τυχαίες εταβλητής i, ε αριθητικό έο το. Οοάζουε διακύαη τω τιώ i τη ποότητα: ( ) ( )... ( ) ( ) και τυπική απόκλιη ή διαπορά τω i τη ποότητα: Εύκολα διαπιτώουε πως ότα τα αριθητικά δεδοέα διατάοται κατά κλάεις, i i,,...,κ, ο τύπος της διακύαης δίεται από τη χέη: f ( ) f ( )... f ( ) κ κ f ( )
όπου, α ξααθυίουε, κ είαι το πλήθος τω κλάεω και f i η υχότητα της i- οτής κλάης. Κάοτας πράξεις () τις χέεις που δίου τη διακύαη καταλήγουε τις παρακάτω χέεις, που είαι πιο εύχρητες [] : [ ]... ότα έχουε ααλυτικά αριθητικά δεδοέα τα τοιχεία του πληθυού f f... f [ f ] κ κ και ότα έχουε δεδοέα καταεηέα ε κ κλάεις. Παράδειγα Β.. (υέχεια η...) Ας επαέλθουε το παράδειγα, ε το οποίο ξεκιήαε τη τρέχουα παράγραφο. Θα επιχειρήουε α υπολογίουε τη διακύαη που έχου οι βαθοί του κάθε πουδατή γύρω από το έο όρο τους. Συβολίζουε ε i τους βαθούς του πρώτου πουδατή, Υ i τους βαθούς του δεύτερου και i τους βαθούς του τρίτου (i,,...,). Συχά διευκολυόατε τους υπολογιούς κατακευάζοτας το παρακάτω πίακα, το οποίο δίπλα από τις τιές i, Y i και Z i τις τιές i, Y i και Z i. Συβολίζοτας ε, Υ και τις τυπικές απικλίεις τω βαθώ τω ατίτοιχω πουδατώ και χρηιοποιώτας το δεύτερο τύπο της διακύαης, που βγάλαε ετά τις πράξεις, έχουε: Οι πράξεις αυτές δε παρατίθεται το ηείο αυτό για α η αποπροαατολίου τη προοχή του ααγώτη από τη ουία του προβλήατος της διακύαης τις πράξεις ε το ύβολο Σ. Επειδή όως οι πράξεις αυτές είαι ιδιαίτερα απλές, ααγράφοται το τέλος του κεφαλαίου. Το ίδιο θα υβεί και ε άλλες πράξεις, γι'αυτό υπάρχει και η χετική αρίθηη []
Μάθηα i i Y i Y i Z i Z i o o o o o 6o o o o o 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 Σύολο 6 6 Αρχικά α θυίουε πως ο αριθητικός έος είαι ίος ε το (/) και τις τρεις περιπτώεις. 6 6, 6, 6 Υ Υ Υ 6, 6, Υ 6 Z Z 6 6 Τα τελικά αποτελέατα για της τυπικές αποκλίεις είαι τα παρακάτω και αξίζει α τα ατιπαραβάλουε ε τα αποτελέατα που υπολογίαε για τη έη απόκλιη, τη προηγούεη παράγραφο., Υ Υ, 6,. [Α x.6]. [Α y.6]. [Α z.]
Παρατηρήεις: η) Έτω οι τιές της τυχαίας εταβλητής i, τα άτοα εός πληθυού και χ ο αριθητικός έος τους. Είαι φαερό πως ο έος όρος έχει τόο εγαλύτερη αξία και φυική ηαία, όο πιο "κοτά" το έο όρο καταέοται οι τιές i. Έτι, η δήλωη πως ο Υ πουδατής είαι έας πουδατής του, αποδίδει ικαοποιητικά τη πραγατικότητα και αποτελεί έα επαρκή χαρακτηριό τω επιδόεω του ε λόγω πουδατή. Ατίθετα, η δήλωη πως ο πουδατής είαι επίης πουδατής του, δε αποδίδει τη πραγατικότητα, ε αποτέλεα η αξία της (η αξία δηλαδή του αριθητικού έου τη περίπτωη αυτή) ά'αι ικρή. η) Η διακύαη ( ) και η τυπική απόκλιη () είαι δύο παράετροι που δίου τη ηατικότητα του έου όρου. Με τη βοήθεια τω παραέτρω αυτώ η επιτροπή υποτροφιώ απέειε τη υποτροφία για το επόεο πουδατικό έτος το πουδατή Υ. Επιλαχώ επιλέχτηκε ο πουδατής. η) Αξίζει α ηειώουε πως οι οάδες τις οποίες εκφράζεται η διακύαη ( ) είαι οι οάδες τω τιώ της τυχαίας εταβλητής, υψωέες το τετράγωο. Ατίθετα η τυπική απόκλιη () είαι ία παράετρος που εκφράζεται ε οάδες όοιες 'αυτές που χρηιοποιούται τις τιές της τυχαίας εταβλητής i. η) Αποδεικύεται εύκολα [] πως η έη απόκλιη είαι πάτα ικρότερη ή ίη ε τη τυπική απόκλιη. Παράδειγα Β.. (υέχεια η...) Ξααγυρίζοτας, για ια ακόη φορά, το παράδειγα Β.., πάτα το πίακα που αφορά τα κορίτια (πι.β.), υπολογίζουε τις ποότητες που ζητά ο τύπος της διακύαης, ξεκιώτας ως υήθως από τα ααλυτικά δεδοέα. Βέβαια έχουε ήδη υπολογίει τη παράγραφο που περιέγραφε το αριθητικό έο ($ Β..) τη έη τιή τω δεδοέω αυτώ: (Σ i )/ / 6.66 Η επόεη ποότητα που ας χρειάζεται είαι το άθροια τω τετραγώω τω υψώ τω κοριτιώ. Έχουε λοιπό
6 Σ i 6... 6, Ατικαθιτώτας τις πιο πάω ποότητες το τύπο της διακύαης έχουε: 6 6.66. 6. εδοέα κατά κλάεις: Πηγαίοτας τώρα το πίακα υχοτήτω του παραδείγατος Β.. (και πάλι για τα κορίτια) και ε δεδοέη τη τιή του έου όρου που υπολογίτηκε τη ατίτοιχη παράγραφο, έχουε για τη διακύαη: (Σf i i )/ / 6, [ f ] * *6 *6 * 66. * 6 6,6 Παρατηρούε πως εώ η χρήη του πίακα υχοτήτω το υπολογιό του αριθητικού έου, δε επηρεάζει ιδιαίτερα τη ακρίβεια του αποτελέατος, ατίθετα, το υπολογιό της τυπικής απόκλιης, το φάλα είαι αρκετά ηατικό. Βέβαια είαι προφαές πως τα αποτελέατα τω ααλυτικώ δεδοέω είαι και τα ακριβή.
Β... Ιδιότητες του αριθητικού έου και της τυπικής απόκλιης. Μεταχηατιοί. Οι ιδιότητες που ααφέροται τη υέχεια αποδεικύοται ε ευκολία. Η απόδειξή τους όως υπάρχει το τέλος του κεφαλαίου, ακολουθώτας πάτα τη αρίθηη της παραποπής. η) Το άθροια τω αλγεβρικώ αποτάεω της κάθε τιής i, από το έο όρο, είαι ίο ε το ηδέ: ( -) ( -) ( -)... ( -) Πρόκειται για ία βαική ιδιότητα του έου όρου. Η ερηεία της αρκετά απλή: Μια και ο έος όρος είαι, ας πούε, το "κέτρο" τω τιώ i, οι αλγεβρικές αποτάεις (κάποιες θετικές και κάποιες αρητικές) αλληλοααιρούται []. η) Η διακύαη και η τυπική απόκλιη τω τιώ ιας τυχ.εταβλητής i, γύρω από τη έη τους τιή χ είαι ποότητες εγαλύτερες ή ίες ε το ηδέ. Μάλιτα είαι ακριβώς ίες ε το ηδέ ότα οι τιές i είαι όλες ίες εταξύ τους ( i c για κάθε τιή του i), περίπτωη κατά τη οποία και ο έος όρος τω τιώ i είαι ίος ε το c. Πράγατι ιχύου τα παρακάτω:... c c.. c c c ( ) ( )... ( ) (c c) (c c)... (c c) Πρόκειται για έα κλάα, που ο αριθητής του είαι άθροια τετραγώω (θετικός) και ο παροοατής είαι φυικός. Άρα το θά'αι πάτα θετικό. η) Έτω η τυχαία εταβλητή i, i,,..,, ε έη τιή το χ και τυπική απόκλιη το χ. Τώρα τις τιές i προθέτουε το ίδιο ταθερό πραγατικό αριθό c, ή τις πολλαπλαιάζουε ε τη ταθερά c. Tότε οι τυχ. εταβλητές Y i και Τ i που προκύπτου είαι οι: Y i i c, i,,..., Τ i c i, i,,...,
Οι τυχαίες εταβλητές που προκύπτου ε πράξεις α τις προηγούεες λέγοται υχά και εταχηατιοί τω τιώ i. Οι ιδιότητες τω εταχηατιώ είαι ηατικές και ιδιαίτερα χρήιες. Oι ατίτοιχες έες τιές και τυπικές αποκλίεις εφαίζοται το πίακα () : Τυχ.εταβλητή i Υ i i c Τ i c i Υ c Τ c Υ Τ c Τ Αξίζει α προπαθήουε α ερηεύουε το πρώτο από τους δύο αυτούς εταχηατιούς. Προθέτοτας τη ταθερή ποότητα c τις τιές i, τις ετακιούε κατά c. Υ Υ Υ Υ Υ c Είαι εύκολο λοιπό α διαπιτώει καείς πως και ο έος έος όρος θα είαι ατίτοιχα ετακιηέος. Επειδή όως η χετική θέη τω τιώ Υ i γύρω από το έο όρο τους ( Υ ) παραέει ακριβώς η ίδια, η τυπική απόκλιη Υ είαι ίδια ε τη ατίτοιχη τω τιώ () i. Σκεφθείτε α παράδειγα τις τιές: i, 6, και Y i i, 6, η) Τα δύο κέλη της προηγούεης ιδιότητας πορού, υδυαζόεα α δώου ιδιαίτερα χρήιες χέεις. Έτω λοιπό: i) η τυχαία εταβλητή i, οι τιές της οποίας έχου έο όρο το και τυπική απόκλιη το, και ii) οι ταθερές α και β. Για τη απόδειξη τω χέεω αυτώ βλέπε το τέλος του κεφαλαίου []. Να θυηθούε πως η τυπική απόκλιη είαι έα έτρο για το πώς καταέοται οι τιές Υ i γύρω από το έο όρο τους Υ.
Θα εξετάουε τους δύο ηατικούς εταχηατιούς: Y i α i β και Με τη βοήθεια τω χέεω του προηγούεου πίακα αποδεικύουε τη πρώτη, και ε τη βοήθεια της πρώτης τη δεύτερη (6). Z i i α β Τυχ.εταβλητή i Υ i α i β Υ α β Υ α Z i i α β β α β Συχά το τελευταίο εταχηατιό: Z i ( i -α)/β θέτουε: α x και β x οπότε ιχύει και, κάτι που θα κάουε κατ' επαάληψη τη υέχεια η) Έτω οι τιές i, ιας τυχ.εταβλητής, ε έα πληθυό Ω αποτελούεο από τοιχεία. Ας υποθέουε τώρα πως ο ε λόγω πληθυός αποτελείται από τρείς υποπληθυούς Ω, Ω και Ω, τα τοιχεία τω οποίω δίοται το παρακάτω πίακα: 6 Η απόδειξη για τις παραέτρους του εταχηατιού Y i α i β, είαι ιδιαίτερα απλή, είτε γίει ε πράξεις, είτε ε τη βοήθεια τω χέεω της ης ιδιότητας. Αξίζει ίως α γίει από το ααγώτη. Τέλος, κεφθείτε πως ο εταχηατιός: i α α Z i γράφεται Z i i της ορφής i κ i λ β β β
πλήθος τοιχείω έη τιή τυπική απόκλιη Ω Ω Ω και όπου βέβαια. Τότε ο έος όρος και η διακύαη του πληθυού δίοται, α υαρτήεις τω ατίτοιχω παραέτρω τω υποπληθυώ, από τις χέεις: ( ) ( ) ( ) [] Παρατήρηη: Οι τύποι αυτοί πορού α γραφού και για δύο αλλά και για περιότερους από τρείς υποπληθυούς του βαικού πληθυού. 6η) Στη τελευταία αυτή ιδιότητα θα ατιετωπίουε τη τυπική απόκλιη κάτω από έα άλλο πρία, το οποίο θα γίει πιο καταοητό ότα θα ιλήουε για τη Καοική Καταοή. Ας υποθέουε λοιπό πως έχουε τη τυχ.εταβλητή i, τα -τοιχεία εός πληθυού. Πολύ υχά εξετάζουε το ποοτό τω ατόω του πληθυού για τα οποία η τιή i αήκει ε κάποιο διάτηα. Για παράδειγα, θα ας εδιέφερε α γωρίζουε πως το 6 % τω πουδατριώ έχει ύψος από cm έως 6 cm. Είαι βέβαια γωτός ο τρόπος ααγραφής τέτοιω διατηάτω ε τη βοήθεια τω παρεθέεω: (, 6). Συχά χειριζόατε διατήατα ε κέτρο το έο όρο. διάτηα ε κέτρο το και ακτία το ταθερό ήκος d, γράφεται: (-d, d). Βέβαια το υολικό του ήκος (η διάετρός του) είαι d. Έα τέτοιο Σε πολλές περιπτώεις (όχι πάτα), το ποοτό τω τοιχείω του πληθυού για τα οποία η έτρηη i αήκει ε διάτηα της ορφής (-r, r), ε κέτρο δηλαδή το και ακτία r φορές το, πορεί α εκτιηθεί από τη τιή του r.
Σχ.Β.. Ραβδόγραα καταοής της υχότητας ε εγάλο αριθό κλάεω, έτι ώτε η γωτή «καλίτα» α ατικαθίταται ε ία καπύλη, και το υετρικό, ως προς το, διάτηα (-r, r). Όπως θα δούε ααλυτικά το κεφάλαιο τω υαρτήεω καταοής της πιθαότητας, ε έα ραβδόγραα, το εβαδό Ε πορεί α υβολίζει το ποοτό τω τοιχείω του πληθυού για τα οποία η έτρηη i βρίκεται το διάτηα: (-r, r) (). Από το επόεο πίακα βλέπουε πως ε πολλές περιπτώεις το ποοτό τω τοιχείω του πληθυού, ε έτρηη που αήκει το διάτηα (-,), είαι %. Περιοχή για τη τιή i (-, ) r (-, ) r (-, ) r Ποοτό του πληθυού 6 % %. % Σύφωα ε τα προηγούεα, εά έας πληθυός πουδατριώ έχει έο όρο ύψους 6 cm, και τυπική απόκλιη 6 cm, τότε το % τους θα αήκει το διάτηα : (-,) (6-*6, 6*6) (,6) πράγα που άλλο ιχύει... Εά κεφθείτε λίγο τη παρατήρηη αυτή, θα διαπιτώετε πως υβολίζοτας ε το εβαδό Ε το ποοτό του διατήατος (-r,r), τότε το υολικό εβαδό αάεα το άξοα τω και τη καπύλη υχοτήτω είαι ίη ε το %.
Παράδειγα Β.. ίοται οι παρακάτω αριθοί: i,6,, και για i,,... i) Να υπολογιθού η έη τιή χ και η τυπική τους απόκλιη χ. ii) Αφαιρώτας από το κάθε έα από τους αριθούς αυτούς το, υπολογίτε ία έα -άδα αριθώ Υi, i,,... Υπολογίτε τη έη τιή y και τυπική απόκλιη y τω Υi. Τί παρατηρείτε; iii) Υπολογίτε τέλος τις τιές i Yi/ y, για i,,..., τη έη τους τιή z και τη απόκλιή τους z. 6 i) ( ) (6 ) ( ) ( ) ( ) ii) Y i i - χ i - -,-,,, για i,,... Υ Υ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Υ Βέβαια τα αποτελέατα αυτά ήτα ααεόεα, ύφωα ε τη η ιδιότητα της προηγούεης παραγράφου. Πράγατι οι τιές Y i προκύπτου απ'τις i, ότα προθέτουε 'αυτές τη ταθερή c- χ. Εποέως θα ιχύου οι ιότητες: y χ c χ - χ Υ
iii) Θα απατήουε και αυτή τη ερώτηη ε τη βοήθεια, και πάλι, της ης ιδιότητας της προηγουέης παραγράφου, χωρίς α κάουε ααλυτικά τις πράξεις. Αρχικά α καταγράψουε τις τιές i : Z Yi,,,, για i i Υ,,..., οι οποίες προκύπτου από τις τιές τω Υ i, ότα αυτές πολλαπλαιάζοται ε τη ταθερά c / Υ /. Άρα θα ιχύου οι ιότητες: c Υ Υ / Υ / c Υ (/ )* Παρατήρηη: Να παρατηρήουε πως εά τις ετρήεις i τις διαιρέουε ε τη τυπική τους απόκλιη, οι έες τιές που προκύπτου έχου τυπική απόκλιη τη οάδα. Αυτό είαι βέβαια ααεόεο από τη η ιδιότητα της προηγουέης παραγράφου. Η φυική ηαία όως αυτής της επιήαης λέει πως ότα διαιρούε τις ετρήεις i, ε τη τυπική τους απόκλιη, τότε υβαίου τα εξής: (α) οι έες τιές που προκύπτου είαι καθαροί αριθοί (δε έχου οάδες, ια και οι ετρήεις i και η τυπική απόκλιη έχου τις ίδιες οάδες), (β) οι έες τιές ετριούται ουιατικά ε οάδα έτρηης τη τυπική απόκλιη (ε τη οποία διαιρέαε). Παράδειγα Β.. Το Β' εξάηο εός τήατος τω Τ.Ε.Ι αποτελείται από πουδατές, από τους οποίους οι προέρχοται από τα Γεικά Λύκεια και οι από τα Τεχικά. Η τελική βαθολογία του τήατος το άθηα τω Μαθηατικώ ΙΙ δίεται από το διπλαό πίακα: i) Να υπολογιθού, ο έος όρος και η τυπική απόκλιη του κάθε υποπληθυού, Βαθοί i,,, 6,,,, Όρια Κλάης - - - 6- -6 - - - Απόφοιτοι Γ.Λ. ii) Να υπολογιθού οι ίδιες παράετροι, για το ύολο του πληθυού. 6 Απόφοιτοι Τ.Ε.Λ.
i) Για τους αποφοίτους τω ΓΕ.Λ. έχουε: *, *,... *, *, *,... *,,,6,, Όοια για τους αποφοίτους τω Τ.Ε.Λ. έχουε: *, *,... *,66 *, *,... *,66,,6,6,6 ii) Με τη βοήθεια τω χέεω της ης ιδιότητας, της προηγουέης παραγράφου, υπολογίζουε τη έη τιή και τη τυπική απόκλιη του πληθυού: *, *,666, ( ) (,,), ( ) (,666,) *, *,6,,6
B... Ο Μεταχηατιός i. Η παράγραφος αυτή αποτελεί υτηατοποίηη τω όω ειπώθηκα τη προηγούεη παράγραφο Β... Αφορά έα υγκεκριέο εταχηατιό ο οποίος, πέρα του ότι ας διευκολύει υχά τις πράξεις, αποτελεί τελικά έα απαραίτητο εργαλείο τη καταόηη της Καοικής καταοής της Πιθαότητας (ιδιαίτερα ηατικό κεφάλαιο της Στατιτικής). Οριός Β.. Έτω η τυχαία εταβλητή i, i,,..., ε έη τιή x και τυπική απόκλιη x. Οι τιές: Z i i λέγοται τυπικές τιές που ατιτοιχού τις τιές i. Παρατηρήεις: η) Με βάη τα όα ειπώθηκα τη προηγούεη παράγραφο (Β..) αλλά και το παράδειγα Β., έχουε πως οι -τιές έχου έη τιή το ηδέ και τυπική απόκλιη τη οάδα. ηλαδή: z και z η) Oι τιές i είαι καθαροί αριθοί (απαλλαγέοι από τις οάδες τω τιώ i, όπως είδαε τη παρατήρηη του Παραδείγατος Β..). Συχά καλούται και τυπικές τιές τω τιώ i. η) Η τυχαία εταβλητή i είαι ια τυχαία εταβλητή που διατηρεί απόλυτα τη "φόρα" της τυχαίας εταβλητής i. Η διατήρηη της "φόρας" γίεται φεερή από τα διαγράατα τω υχοτήτω: Εά "πρώξουε" το διάγραα τω τιώ i, έτι ώτε α έχει έη τιή το και, τη υέχεια υιοθετήουε α οάδα το άξοα τω κλάεω τη τυπική απόκλιη, τότε προκύπτει το διάγραα τω τιώ i.
6 fi -s s m - s m m s Σχ.Β.. Η καταοή τω τυπικώ τιώ είαι ακριβώς η ίδια ε αυτή τω τιώ. Μόο που η καπύλη, χωρίς α εταβάλλει τη ορφή της, ετακιείται το κέτρο τω αξόω και έχει οάδα το άξοα τω κλάεω το (). B..6. Υπολογιός της έης τιής και της διακύαης ε τη βοήθεια τω Μεταχηατιώ. Οι εταχηατιοί ας επιτρέπου α αποφύγουε τη χρήη πολύ εγάλω αριθώ, κατά το υπολογιό του αριθητικού έου και της διακύαης κάποιω τιώ i. Aς επιτρέψουε, για άλλη ια φορά το παράδειγα Β. και ας υπολογίουε το έο όρο και τη τυπική απόκλιη τω υψώ τω 6 έω. Παίροτας λοιπό τα τοιχεία του κοιού πίακα (αγοριώ και κοριτιώ), κατακευάζουε το διπλαό πίακα, που θα ας βοηθήει το υπολογιό τω και. Έχουε λοιπό: i f i f i i f i i 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 f Σύολο 6, 6
f 6, 6,,,6 Παρατηρούε πως οι τιές που προκύπτου το άθροια τω τετραγώω είαι ιδιαίτερα εγάλες, τόο που ίως α είαι προτιότερο α υπολογίουε τη διακύαη από το τύπο: [Σf i ( i -) ]/ η λύη: Το πρόβληα γίεταιv απλούτερο εά από κάθε τιή i αφαιρέουε ία τιή, έτι ώτε οι τιές i α ειωθού αιθητά. Επααλαβάουε το προηγούεο υπολογιό, ε τις έες τιές (Y i ), διορθώοτας το τέλος τα αποτελέατα. Στο διπλαό λοιπό πίακα οι έες τιές προκύπτου από τις ε τη αφαίρεη του (το οποίο είαι η πρώτη τιή τω ). Έχουε λοιπό: f Y Y Y f Y 6 Y, 6, 6, Y i i - f i f i Y i f i Y i 6 6 6 Σύολο 6,,6 Από τις τιές i αφαιρέαε τη τιή. Σύφωα ε τη η ιδιότητα της παραγράφου Β.., ο έος όρος τω τιώ Y i θα είαι ικρότερος κατά απ'αυτό τω τιώ, εώ οι δύο τυπικές αποκλίεις θα είαι ίες. ιορθώοτας λοιπό τις τιές έχουε: Υ.. και Υ.6 Όπως διαπιτώουε υγκρίοτας τα αποτελέατα 'αυτά του προηγούεου υπολογιού, είαι ακριβή.
η λύη: Η τρίτη λύη, που είαι και η πλέο εύκολη και χρήιη, τηρίζεται το εταχηατιό: Z α όπου το α ιούται ε τη τιή της εαίας κλάης (α), και το β ε το εύρος ε τω κλάεω. Έχουε λοιπό: Z και ε το εταχηατιό αυτό παίρουε το διπλαό πίακα τιώ, που περιέχει και τις ικρότερες τιές. β i f i f i i f i i - - - - -6 - - - 6 Σύολο - Z f Z. 6 Y f Z Z 6 (.)...66 Στη παράγραφο Β... διότα ο έος όρος απ το. Τώρα, λύοτας τη χέη αυτή ως προς, βρίκουε τη χέη: οπ ό τε ε * α β εαο β * α ί * (,), όοια απ τη ατίτοιχη χέη για τις τυπικές αποκλίεις έχουε: β * β οπ ό τε ε * *,66 \,6 Για άλλη ια φορά υπολογίαε τις παραέτρους και τω τιώ i, αλλά ε πολύ ευκολότερες πράξεις.
Παρατήρηη: Ο εταχηατιός i χρηιοποιείται ότα το εύρος ε τω κλάεω διατηρείται ταθερό και τις κ-κλάεις. Η επιλογή όως τω τιώ τω παραέτρω α και β του εταχηατιού εξαρτάται από το κ. Ιχύει λοιπό ο γεικός καόας: κ Το α ιούται ε τη εαία κλάη. περιττός Το β ιούται ε το κοιό έυρος τω κλάεω ε. άρτιος Το α ιούται ε το ηιάθροια τω εαίω κλάεω. Το β ιούται ε το ήιυ του κοιού εύρους (ε/). Β... Συτελετής εταβλητότητας. Με το υτελετή εταβλητότητας γίεται ία προπάθεια α εκτιηθεί το έγεθος της τυπικής απόκλιης τω τιώ i, όχι ε απόλυτες τιές αλλά ε χέη ε το έγεθος της έης τιής τω δεδοέω. Οριός Β.. Έτω οι (θετικές) ετρήεις i, ε έη τιή το και τυπική απόκλιη. Οοάζουε υτελετή εταβλητότητας έα καθαρό αριθό, που προκύπτει από το λόγο της τυπικής απόκλιης, προς το έο όρο τω ετρήεω. CV Συχά ο υτελετής εταβλητότητας υπολογίζεται α ποοτό επί τοις εκατό: CV (%) Παρατηρήεις: η) Ο υτελετής εταβλητότητας δίει, ε τελική αάλυη, τη ηατικότητα της τυπικής απόκλιης, ε χέη ε το έγεθος τω ετρήεω τις οποίες ατιτοιχεί (ατιπρόωπος τω οποίω είαι ο έος τους όρος).
η) Έτω οι δύο τυχ.εταβλητές i και Y i, οι οποίες ατιτοιχού ε δύο διαφορετικούς πληθυούς. Οι τυπικές αποκλίεις και Υ, δε είαι υγκρίιες, διότι δε ετριούται ε τις ίδιες οάδες. Ατίθετα οι υτελετές CV() και CV(Y), α καθαροί αριθοί (Απαλλαγέοι από τις οάδες τω ετρήεω i καιy i ), είαι απόλυτα υγκρίιοι. η) Ο υτελετής εταβλητότητας CV() δε έχει φυική ηαία εά οι ετρήεις i δε είαι όλες θετικοί αριθοί. Παράδειγα. Εξετάαε τους γωτότερους ατοφαιρικούς κιητήρες παραγωγής τω αυτοκιήτω, ε κυβιό cm, ως προς τη ιπποδύαη. Στη υέχεια κάαε το ίδιο για τους γωτότερους τω cm. Ο έος όρος και η τυπική απόκλιη της ιπποδύαης τω ικρώ κιητήρω βρέθηκα:. και.. ίπποι Din. και τω εγάλω κιητήρω:, και,. ίπποι Din. Σε ποιό κυβιό η ιπποδύαη τω κιητήρω έχει εγαλύτερη χετική διαπορά; Ο υτελετής εταβλητότητας (που υχά λέγεται και υτελετής χετικής διαποράς) δίει ια ικαοποιητική απάτηη το προηγούεο ερώτηα. Έχουε λοιπό: CV(.) CV(.)...%.% Παρατηρούε πως η απόδοη τω εγάλω κιητήρω είαι πιο οοιογεής απ αυτή τω ικρότερω κιητήρω.
Β.. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΕΙΓΜΑΤΩΝ. Β... Γεικά. Σύφωα ε τα όα έχουε πει ήδη για τα δείγατα και τη δειγατοληψία, το πρώτο κεφάλαιο τω ηειώεω αυτώ, έχουε πάρει ια ιδέα για τη χρηιότητα τω δειγάτω. Ας αακεφαλαιώουε: Έτω έας πληθυός Ω, αποτελούεος από τοιχεία και ία τυχαία εταβλητή i, της οποίας ας εδιαφέρου οι τιές, τα τοιχεία του πληθυού. Το κύριο (και καίριο) πρόβληα που ατιετωπίζουε είαι το α προδιορίουε τις δύο παραέτρους που εκφράζου, ε τρόπο ικαοποιητικό, τη υπεριφορά της τυχ. εταβλητής τα τοιχεία του πληθυού. Πρόκειται βέβαια για τη έη τιή () και τη διακύαη ( ) ή τη τυπική απόκλιη (), τω τιώ i. Η έλλειψη όως χρόου, χρηάτω ή άλλω παραγότω δε επιτρέπου τη καταέτρηη της τιής της τυχ.εταβλητής, 'όλα τα τοιχεία του πληθυού. Είατε λοιπό υποχρεωέοι α προεγγίουε τις τιές και ε τη βοήθεια τω ετρήεω που θα διεεργήουε 'έα δείγα από το υολικό πληθυό. Β... Αερόληπτες δειγατικές εκτιήτριες παράετροι. Μία παράετρος του δείγατος που προεγγίζει το έο όρο (ή τη διακύαη) του πληθυού λέγεται αερόληπτη εκτιήτρια του έου όρου (ή της διακύαης). Τίθεται λοιπό το ερώτηα: "Τί ηαίει πως ία παράετρος προεγγίζει τη τάδε παράετρο του πληθυού;" Ας δούε τα επόεα... Έτω ο πληθυός τω τοιχείω και έα δείγα κ τοιχείω. Ορίζουε τη υέχεια όλα τα δυατά δείγατα (χρηιοποιώτας τη δειγατοληψία ε επαάθεη) τω κ τοιχείω, τω οποίω το πλήθος δίεται από τη χέη της παραγράφου Α... Πλήθος δειγάτω Κ κ ( ε κ ) Στο κάθε έα απ'αυτά τα δείγατα ορίζουε ία παράετρο χ, τη οποία οοάζουε έη τιή του -οτού δείγατος. Έχουε εποέως Κ τέτοιες παραέτρους τις οποίες οοάζουε δειγατικούς έους. Εά ο έος όρος τω Κ δειγατικώ έω τιώ είαι ίος ε το έο όρο του πληθυού, τότε λέε πως η ε λόγω δειγατική παράετρος είαι αερόληπτη εκτιήτρια για το έο όρο του πληθυού.
Οριός Β.. Αποδεικύεται () πως οι δειγατικές παράετροι x και s, οι οποίες ορίζοται από τις παρακάτω χέεις, είαι αερόληπτοι εκτιητές του αριθητικού έου () και της διακύαης ( ) του πληθυού. ( ) ( ) ( ) x... x... x x s... x δ δ δ δ δ δ δ δ όπου δ είαι το πλήθος τω τοιχείω του δείγατος (). Ότα τα δεδοέα δίοται καταταγέα ε κλάεις οι προηγούεες χέεις γίοται: ( ) ( ) ( ) x f... f f x f... x f x f s f... f f x δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ όπου δ είαι πάτα το πλήθος τω τοιχείω του δείγατος. Προκύπτει τη υέχεια το εξής ερώτηα: Οι παράετροι x του κάθε δείγατος έχου, ως γωτό, έο όρο τη έη τιή του πληθυού, όως ποιά είαι η διακύαή τους γύρω από το ; Σα απάτηη έχουε το επόεο ηατικότατο οριό. Η απόδειξη της πρόταης αυτής υπάρχει ε αρκετά υγγράατα Στατιτικής. π.χ. τη Εφαροέη Στατιτική του.π.ψωιού (-Εκδόεις ήτη). Ο δεύτερος τύπος για τη διακύαη (όπως και ο ατίτοιχος τους επόεους τύπους που ιχύου για δεδοέα ε κλάεις) προκύπτου όπως και ο ατίτοιχος τύπος: Σ( i )/ -.