Κλασική Διαφορική Γεωμετρία ΙΙ

ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α.Π.Θ. Στυλιανού Σταματάκη - Καθηγητή Κλασική Διαφορική Γεωμετρία ΙΙ Ακαδημαϊκό έτος 2018 19 URL Μαθήματος: http://stamata.webpages.auth.gr/geometry/

1 Τρίακμο Darboux. Γραμμές καμπυλότητας 1.1 Το τρίακμο του Darboux Ας είναι S : x = x(u 1, u 2 ) μια επιφάνεια και Γ : u i = u i (s), s J, μια προσανατολισμένη καμπύλη της S, όπου s είναι φυσική παράμετρός της, και P (s 0 ) ένα σημείο της. Συμβολίζουμε με τόνο ( ) παραγώγιση ως προς s. Το μοναδιαίο διάνυσμα (1.1.1) n g : = n x ονομάζεται διάνυσμα της γεωδαισιακής καθέτου και η βάση D = {x, n g, n} του εφαπτόμενου διανυσματικού χώρου V P S, θεωρούμενη διατεταγμένη, ονομάζεται τρίακμο του Darboux 1 της επιφανειακής καμπύλης Γ στο P. Κατ αυτόν τον τρόπο δημιουργείται μια μονοπαραμετρική οικογένεια ορθομοναδιαίων και θετικά προσανατολισμένων τριάκμων D(s) = {x (s), n g (s), n(s)}. Υπάρχουν συναρτήσεις κ g, κ n και σ g, έτσι ώστε να ισχύουν οι εξισώσεις των παραγώγων (1.1.2) x = κ g n g + κ n n, n g = κ g x + σ g n, n = κ n x σ g n g. Οι συναρτήσεις κ g, κ n και σ g ονομάζονται αντίστοιχα γεωδαισιακή καμπυλότητα, κάθετη καμπυλότητα και γεωδαισιακή στρέψη της Γ. Στη συνέχεια θα χρησιμοποιούμε και τους συμβολισμούς κ g = 1 ρ g, κ n = 1 R και σ g = 1 τ g. Όταν η Γ είναι ευθεία πάνω στην S, παράλληλη σε διάνυσμα e, e = 1, τότε οπότε x = 0, άρα κ g = κ n = 0. Ώστε x = e, n g = n e, Πρόταση 1.1.1. Η γεωδαισιακή καμπυλότητα και η κάθετη καμπυλότητα κάθε ευθείας, που κείται πάνω στην S, μηδενίζονται. Παρατήρηση 1.1.1. Ισχύουν οι σχέσεις (1.1.3) (1.1.4) (1.1.5) κ g = x, n g = x, n g, κ n = x, n = x, n, σ g = n g, n = n g, n. Υποθέτουμε, ότι η καμπυλότητα της Γ είναι διάφορη του μηδενός σε κάθε σημείο της και θεωρούμε και το συνοδεύον τρίακμο της (τρίακμο του Frenet) F = {x (s), h(s), b(s)}. 1 Jean Gaston Darboux (1842-1917). Γάλλος Μαθηματικός, καθηγητής στη Σορβόννη. Διδακτορική Διατριβή: Sur les surfaces orthogonales υπό την επίβλεψη του Michel Chasles. Επιβλέπων των διδακτορικών διατριβών των: Émile Borel, Elie Cartan, Édouard Goursat, Émile Picard, Thomas Stieltjes κ.ά.

Το καθετικό διάνυσμα n κείται στο κάθετο επίπεδο της Γ, του οποίου μια βάση είναι η διατεταγμένη δυάδα {h, b}. Αν λοιπόν συμβολίσουμε με ϑ [0, 2π) την προσανατολισμένη γωνία των διανυσμάτων h, n θα έχουμε οπότε Επίσης n = cosϑ h + sinϑ b, n g = n x = sinϑ h cosϑ b. h = sinϑ n g + cosϑ n, b = cosϑ n g + sinϑ n. Επειδή η παράμετρος s της Γ είναι φυσική, έχουμε x = κ h, όπου κ είναι η καμπυλότητα της Γ, άρα από την πρώτη των (1.1.2) παίρνουμε ώστε κ sinϑ n g + κ cosϑ n = κ g n g + κ n n, (1.1.6) κ g = κ sinϑ, κ n = κ cosϑ. Επίσης είναι n g = (sinϑ h cosϑ b) = cosϑ ϑ h sinϑ κ x + sinϑ σ b + sinϑ ϑ b + cosϑ σ h, όπου σ είναι η στρέψη της Γ, αλλά και n g = κ g x + σ g (cosϑ h + sinϑ b), άρα ώστε σ g cosϑ = cosϑ ϑ + cosϑ σ, σ g sinϑ = sinϑ ϑ + sinϑ σ, (1.1.7) σ g = ϑ + σ. Εξάλλου, για το διάνυσμα καμπυλότητας x της Γ έχουμε x = x i u i + x ij u i u j = ( u k + Γ k ij u i u j ) x k + l ij u i u j n. Άρα, λόγω των (1.1.2), είναι (1.1.8) (1.1.9) κ g n g = ( u k + Γij k u i u j ) x k, κ n = l ij u i u j. 2

1.2 Μερικά συμπεράσματα για την κάθετη καμπυλότητα Αρχικά θα δούμε, πώς διαμορφώνεται η (1.1.9), όταν η καμπύλη Γ δίνεται από τις συναρτήσεις u i = u i (t), t J, όπου η παράμετρος t δεν είναι απαραίτητα φυσική. Συμβολίζοντας με τελεία ( ) παραγώγιση ως προς t η (1.1.9) γίνεται (1.2.1) κ n = l ij u i u j = l ij u i dt dt uj ds ds = l ij du i du j ds 2 η οποία γράφεται ως εξής: (1.2.2) κ n = l 11 + 2l 12 λ + l 22 λ 2 g 11 + 2g 12 λ + g 22 λ 2, όπου το λ := u2 u 1 λέμε, ότι ορίζει μια διεύθυνση στο σημείο P S 2. = II Γ I Γ, Παρατηρούμε λοιπόν, ότι η κάθετη καμπυλότητα της Γ σ ένα σημείο P Γ δεν εξαρτάται από την επιφανειακή καμπύλη Γ αυτήν καθεαυτή, αλλά από τη διεύθυνση λ της S στο σημείο P. Ώστε, αποδείξαμε την Πρόταση 1.2.1. (J. Meusnier 3, 1776) Όλες οι επιφανειακές καμπύλες, που διέρχονται από το σημείο P και οι εφαπτόμενές τους έχουν σ αυτό διεύθυνση λ, έχουν στο P την ίδια κάθετη καμπυλότητα. Την κοινή αυτή κάθετη καμπυλότητα συμβολίζουμε στη συνέχεια με κ n (P, λ). Πόρισμα 1.2.1. Δοθέντος ενός σημείου P S και ενός εφαπτομενικού διανύσματος της S στο P, η κάθετη καμπυλότητα είναι μονότιμα ορισμένη. Από την (1.2.1) έχουμε Πόρισμα 1.2.2. Η κάθετη καμπυλότητα σε κάθε σημείο της καμπύλης Γ παραμένει, κατά προσέγγιση προσήμου, αναλλοίωτη ως προς επιτρεπτούς μετασχηματισμούς των παραμέτρων. Μια διεύθυνση λ της S στο σημείο P ονομάζεται ασυμπτωτική διεύθυνση, όταν κ n (P, λ) = 0. Ένα εφαπτομενικό διάνυσμα δ της S στο P ονομάζεται ασυμπτωτικό διάνυσμα της S στο P, όταν έχει ασυμπτωτική διεύθυνση. Ας είναι τώρα Γ μια επιφανειακή καμπύλη, κατά μήκος της οποίας το εφαπτομενικό διάνυσμα της είναι ασυμπτωτικό. Λόγω της (1.2.1) είναι II Γ = 0, δηλαδή η Γ πληροί τη διαφορική εξίσωση των ασυμπτωτικών γραμμών. Ώστε 2 κάθε εφαπτομενικό διάνυσμα της S στο P, που έχει διεύθυνση λ, είναι παράλληλο προς το διάνυσμα x 1 + λ x 2 3 Jean Baptiste Marie Charles Meusnier de la Place (1754-1793). Γάλλος Μαθηματικός, Μηχανικός και στρατιωτικός 3

Πρόταση 1.2.2. Μια επιφανειακή καμπύλη Γ, σε κάθε σημείο της οποίας το εφαπτομενικό διάνυσμα είναι ασυμπτωτικό, είναι ασυμπτωτική γραμμή. Έστω P S τυχόν σημείο και λ μια διεύθυνση της S στο P. Συμβολίζουμε με Π n (P, λ) το κάθετο επίπεδο της S, που αντιστοιχεί στη διεύθυνση λ. Έστω, τέλος, Γ n (P, λ) η κάθετη τομή της S, που αντιστοιχεί στη διεύθυνση λ, δηλαδή η επίπεδη καμπύλη, κατά την οποία τέμνει το επίπεδο Π n (P, λ) την S, και k n η καμπυλότητά της. Ισχύει η Πρόταση 1.2.3. Μεταξύ της κάθετης καμπυλότητας κ n (P, λ) της S στο P στη διεύθυνση λ και της καμπυλότητας k n της κάθετης τομής της S, που αντιστοιχεί στη διεύθυνση λ, υφίσταται η σχέση κ n (P, λ) = ±k n. Απόδειξη. Για το διάνυσμα h της πρώτης καθέτου της κάθετης τομής κ n (P, λ) ισχύει h = ±n, οπότε η γωνία ϑ του τύπου (1.1.6) ισούται με 0 ή π, άρα κ n (P, λ) = ±k n. 1.3 Πρωτεύουσες διευθύνσεις και πρωτεύουσες καμπυλότητες. Γραμμές καμπυλότητας Στην παράγραφο αυτή θα ασχοληθούμε κυρίως με τον τύπο (1.2.2). Αποδεικνύουμε την Πρόταση 1.3.1. Η κάθετη καμπυλότητα σε ένα σημείο P είναι τότε και μόνον τότε ανεξάρτητη από την διεύθυνση λ, όταν το P είναι κυκλικό. Απόδειξη. Έστω, ότι η κάθετη καμπυλότητα στο P είναι ανεξάρτητη του λ. Τότε για κάθε λ είναι κ n ( g11 + 2λ g 12 + λ 2 g 22 ) = l11 + 2λ l 12 + λ 2 l 22, άρα κ n g 11 l 11 = κ n g 12 l 12 = κ n g 22 l 22 = 0 και το P είναι κυκλικό. Το αντίστροφο είναι προφανές. Υποθέτουμε τώρα, ότι το P δεν είναι κυκλικό και θέτουμε το παρακάτω Πρόβλημα 1.3.1. Δίνεται (μη κυκλικό) σημείο P της επιφάνειας S. Ζητούνται οι διευθύνσεις της S στο P, για τις οποίες η κάθετη καμπυλότητα παίρνει ακρότατη τιμή. Οι τιμές του λ, για τις οποίες η συνάρτηση κ n (P, λ) λαμβάνει ακρότατα (μέγιστο ή ελάχιστο), προκύπτουν όταν dκ n dλ = 0, η οποία λόγω της (1.2.2) γράφεται ( g11 + 2g 12 λ + g 22 λ 2) (l 12 + l 22 λ) (g 12 + g 22 λ) ( l 11 + 2l 12 λ + l 22 λ 2) = 0, ή (1.3.1) (g 22 l 12 g 12 l 22 ) λ 2 + (g 22 l 11 g 11 l 22 ) λ + (g 12 l 11 g 11 l 12 ) = 0. 4

Θέτουμε λ = dv : du στην (1.3.1) και παίρνουμε (1.3.2) (g 11 l 12 g 12 l 11 ) du 2 + (g 11 l 22 g 22 l 11 ) du dv + (g 12 l 22 g 22 l 12 ) dv 2 = 0, διαφορική εξίσωση, που παίρνει τη μορφή dv 2 du dv du 2 (1.3.3) g 11 g 12 g 22 l 11 l 12 l 22 = 0 ή g 1i du i l 1i du i g 2i du i l 2i du i = 0. Οι διευθύνσεις λ = dv : du, που ορίζονται από την (1.3.2), ονομάζονται πρωτεύουσες ή κύριες διευθύνσεις της S στο P. Μια επιφανειακή καμπύλη Γ της επιφάνειας S, σε κάθε σημείο της οποίας το εφαπτομενικό διάνυσμα έχει πρωτεύουσα διεύθυνση, ονομάζεται γραμμή καμπυλότητας της S. Πρόταση 1.3.2. Από κάθε μη κυκλικό σημείο μιας επιφάνειας διέρχονται ακριβώς δυο γραμμές καμπυλότητας, οι οποίες μάλιστα είναι ορθογώνιες. Απόδειξη. Αρχικά αποδεικνύουμε, ότι οι λύσεις λ 1, λ 2 της (1.3.1) είναι πραγματικές. Για τη διακρίνουσα της βρίσκουμε = (g 11 l 22 g 22 l 11 ) 2 4 (g 11 l 12 g 12 l 11 ) (g 12 l 22 g 22 l 12 ) = = 4g 11 g 22 l 2 12 4g 12 (g 11 l 22 + g 22 l 11 ) l 12 + (g 11 l 22 g 22 l 11 ) 2 + 4g 2 12 l 11 l 22. Τη θεωρούμε ως τριώνυμο ως προς l 12. Αφού ο συντελεστής 4g 11 g 22 του μεγιστοβάθμιου όρου είναι θετικός, αρκεί να αποδείξουμε ότι η διακρίνουσά του είναι αρνητική (οπότε θα έχει σταθερό πρόσημο, και μάλιστα θετικό). Με στοιχειώδεις πράξεις βρίσκουμε 16 = (g 11 l 22 g 22 l 11 ) 2 ( ) g 11 g 22 g12 2. Επειδή g 11 g 22 g 2 12 > 0 και g 11 l 22 g 22 l 11 0 [γιατί αλλιώς το σημείο P θα ήταν κυκλικό (γιατί;)], προκύπτει, ότι πράγματι είναι < 0. Εξάλλου από την (1.3.2), έχουμε Με αντικατάσταση αυτών στον τύπο λ 1 + λ 2 = g 11 l 22 g 22 l 11 g 12 l 22 g 22 l 12, λ 1 λ 2 = g 12 l 11 g 11 l 12 g 12 l 22 g 22 l 12. cosφ = g 11 + g 12 (λ 1 + λ 2 ) + g 22 λ 1 λ 2...... του συνημιτόνου της γωνίας φ των γραμμών καμπυλότητας διαπιστώνουμε, ότι ο αριθμητής μηδενίζεται, άρα οι γραμμές καμπυλότητας που διέρχονται από το σημείο P, είναι ορθογώνιες. 5

Οι ακρότατες τιμές κ 1 = κ n (P, λ 1 ) := 1 R 1, κ 2 = κ n (P, λ 2 ) := 1 R 2 της κάθετης καμπυλότητας, που αντιστοιχούν στις πρωτεύουσες διευθύνσεις της επιφάνειας S στο σημείο P, ονομάζονται πρωτεύουσες ή κύριες καμπυλότητες (τα μεγέθη R 1, R 2 ονομάζονται πρωτεύουσες ή κύριες ακτίνες καμπυλότητας). Πρόταση 1.3.3. Οι παραμετρικές καμπύλες u 1 = σταθ., u 2 = σταθ. είναι τότε και μόνον τότε οι γραμμές καμπυλότητας της επιφάνειας, όταν g 12 = l 12 = 0 (u 1, u 2 ). Απόδειξη. Έστω, ότι οι παραμετρικές καμπύλες u 1 = σταθ, u 2 = σταθ. της επιφάνειας είναι οι γραμμές καμπυλότητας. Η διαφορική εξίσωση (1.3.2) ικανοποιείται για u 2 = σταθ., οπότε και για u 1 = σταθ., οπότε g 12 l 11 g 11 l 12 = 0, g 22 l 12 g 12 l 22 = 0. Αν σε κάποιο σημείο P ήταν g 12 0, από τις δυο τελευταίες θα παίρναμε l 11 g 11 = l 12 g 12 = l 22 g 22, και το σημείο P θα ήταν κυκλικό, άτοπο. Άρα είναι g 12 = 0, οπότε αμέσως προκύπτει, ότι είναι και l 12 = 0. Αντίστροφα, αν g 12 = l 12 = 0, η (1.3.2) γίνεται (1.3.4) (g 11 l 22 g 22 l 11 ) du 1 du 2 = 0. Επειδή δεν έχουμε κυκλικά σημεία, είναι g 11 l 22 g 22 l 11 0. Από την (1.3.4) τότε προκύπτει ότι για τις γραμμές καμπυλότητας ισχύει du 1 du 2 = 0, άρα οι παραμετρικές καμπύλες u 1 = σταθ, u 2 = σταθ. είναι οι γραμμές καμπυλότητας. Η (1.2.2) παίρνει τη μορφή (1.3.5) (κ n g 11 l 11 ) + 2 (κ n g 12 l 12 ) λ + (κ n g 22 l 22 ) λ 2 = 0. Για κάθε τιμή του κ n προκύπτουν το πολύ δυο τιμές για το λ, ως λύσεις της δευτεροβάθμιας εξίσωσης (1.3.5), άρα το πολύ δυο διευθύνσεις στο P. Για την ακρότατη τιμή κ i, i = 1, 2, του κ n οι λύσεις της (1.3.5) ταυτίζονται, άρα η διακρίνουσά της μηδενίζεται, αφού υπάρχει μόνο μια διεύθυνση με κ = κ 1 μέγιστο ή ελάχιστο και κ = κ 2 ελάχιστο ή μέγιστο, οπότε 4 (κ i g 12 l 12 ) 2 4 (κ i g 11 l 11 ) (κ i g 22 l 22 ) = 0, i = 1, 2, ή κ 2 i g 11 l 22 2g 12 l 12 + g 22 l 11 g 11 g 22 g 2 12 κ i + l 11 l 22 l 2 12 g 11 g 22 g 2 12 = 0, i = 1, 2. 6

Επειδή K = l 11 l 22 l12 2, 2H = g 11 l 22 2g 12 l 12 + g 22 l 11, g 11 g 22 g12 2 g 11 g 22 g12 2 παρατηρούμε, ότι οι πρωτεύουσες καμπυλότητες είναι λύσεις της εξίσωσης x 2 2H x + K = 0. Επομένως, μεταξύ των λύσεών της κ 1, κ 2 και των συντελεστών της υφίστανται οι σχέσεις Έχουμε λοιπόν το παρακάτω κ 1 + κ 2 = 2H, κ 1 κ 2 = K. Πόρισμα 1.3.1. Οι πρωτεύουσες καμπυλότητες δίνονται από τις σχέσεις (1.3.6) κ 1 = H + H 2 K, κ 2 = H H 2 K. Παρατήρηση 1.3.1. Όταν ένα σημείο P της επιφάνειας S είναι κυκλικό, η κάθετη καμπυλότητα στο P είναι σταθερή και ανεξάρτητη από την διεύθυνση λ. Θεωρώντας ότι λαμβάνει και στην περίπτωση αυτή ακρότατα, τα οποία ταυτίζονται, κάθε διεύθυνση της S σε ένα κυκλικό σημείο είναι πρωτεύουσα διεύθυνση συνεπώς και κάθε καμπύλη της S, που διέρχεται από αυτό, είναι γραμμή καμπυλότητας. Ειδικότερα, κάθε καμπύλη α) του επιπέδου και β) της σφαίρας είναι γραμμή καμπυλότητας. Υποθέτουμε στη συνέχεια της ενότητας, ότι το παραμετρικό δίκτυο της επιφάνειας είναι οι γραμμές καμπυλότητας, δηλαδή ότι (1.3.7) g 12 = l 12 = 0. Τις κάθετες καμπυλότητες των u 1 -καμπυλών (αντίστοιχα των u 2 -καμπυλών), οι οποίες είναι οι πρωτεύουσες καμπυλότητες της επιφάνειας, βρίσκουμε θέτοντας στον τύπο (1.2.1) u 2 = const. (αντίστοιχα u 1 = const.). Παίρνουμε (1.3.8) κ 1 = l 11 g 11, κ 2 = l 22 g 22. Εξάλλου, οι εξισώσεις (1.3.9) (1.3.10) l 11 2 l 12 1 = l 11 Γ 1 12 + l 12 ( Γ 2 12 Γ 1 11) l22 Γ 2 11, l 12 1 l 22 1 = l 11 Γ 1 22 + l 12 ( Γ 2 22 Γ 1 12) l22 Γ 2 12, των Mainardi-Codazzi, λόγω των (1.3.7) και των παίρνουν τη μορφή Γ 1 12 = g 11 2 2g 11, Γ 2 11 = g 11 2 2g 22, Γ 1 22 = g 22 1 2g 11, Γ 2 22 = g 22 1 2g 22, l 11 2 = H g 11 2, l 22 1 = H g 22 1, οι οποίες, λόγω των (1.3.8), γράφονται και ως εξής ( κ 1 2 = (κ 2 κ 1 ) ln ) ( g 1 1, κ 2 1 = (κ 1 κ 2 ) ln ) g 2 2, 2 1 7

Τέλος, οι εξισώσεις των παραγώγων n i = l ij g jk x k, του Weingarten γίνονται (1.3.11) n 1 = κ 1 x 1, n 2 = κ 2 x 2. Οι εξισώσεις αυτές ονομάζονται εξισώσεις του O. Rodrigues. 1.4 Μερικά συμπεράσματα για τη γεωδαισιακή στρέψη Η τετραγωνική μορφή (1.4.1) IV = (dx, n, dn) ονομάζεται τέταρτη θεμελιώδης μορφή της S και παραμένει αναλλοίωτη ως προς επιτρεπτούς μετασχηματισμούς των παραμέτρων. Είναι IV = ( x i, n, n j ) du i du j = ( x 1, n, n 1 ) (du 1 ) 2 + [( x 1, n, n 2 ) + ( x 2, n, n 1 )] du 1 du 2 + ( x 2, n, n 2 ) (du 2 ) 2. Με χρήση των εξισώσεων των παραγώγων του Weingarten προκύπτει (1.4.2) IV = 1 dv 2 du dv du 2 g g 11 g 12 g 22 l 11 l 12 l 22 = 1 g 1i du i g 2i du i g l 1i du i l 2i du i. Αν λάβουμε υπόψη την (1.3.2) διαπιστώνουμε, ότι οι ολοκληρωτικές καμπύλες της διαφορικής εξίσωσης IV = 0 είναι οι γραμμές καμπυλότητας της επιφάνειας. Για τη γεωδαισιακή στρέψη μιας επιφανειακής καμπύλης Γ βρίσκουμε από την (1.1.4) (1.4.3) σ g = n g, n = (x, n, n ) = (dx, n, dn) ds 2 = IV Γ I Γ. Ανάλογα προς τα συμπεράσματα που βρήκαμε στην ενότητα 1.2 έχουμε Πρόταση 1.4.1. (O. Bonnet 4 ) Όλες οι επιφανειακές καμπύλες, που διέρχονται από το σημείο P και έχουν σ αυτό διεύθυνση λ, έχουν στο P την ίδια γεωδαισιακή στρέψη. Πόρισμα 1.4.1. Δοθέντος ενός σημείου P S και ενός εφαπτομενικού διανύσματος της S στο P, η γεωδαισιακή στρέψη είναι μονότιμα ορισμένη. Πρόταση 1.4.2. (O. Bonnet) Η γεωδαισιακή στρέψη της S στο P στη διεύθυνση λ ισούται με τη στρέψη της γεωδαισιακής γραμμής, η οποία διέρχεται από το P και αντιστοιχεί στη διεύθυνση λ. Η πρόταση αυτή προκύπτει από την (1.1.7) 4 Pierre-Ossian Bonnet (1819-1892). Γάλλος Μαθηματικός, Καθηγητής στη Σορβόνη και μέλος του Bureau des longitudes, στο οποίο διαδέχθηκε τον Joseph Liouville. Διδακτορική διατριβή: Sur le développement des fonctions en séries ordonnées suivant les fonctions X n et Y n 8

2 Εσωτερική γεωμετρία των επιφανειών 2.1 Μερικά συμπεράσματα για τη γεωδαισιακή καμπυλότητα Ας είναι Γ : u i = u i (s), s J, μια προσανατολισμένη καμπύλη της επιφάνειας S, όπου s είναι φυσική παράμετρός της. Για τη γεωδαισιακή καμπυλότητα της Γ έχουμε βρει τους τύπους (2.1.1) (2.1.2) (2.1.3) κ g = x, n g = x, n g, κ g n g = ( u k + Γij k u i u j ) x k κ g = κ sinϑ, και όπου ϑ [0, 2π) είναι η προσανατολισμένη γωνία των διανυσμάτων h, n (εφόσον η Γ δεν είναι ευθεία). Από την (2.1.1) προκύπτει (2.1.4) κ g = (x, x, n). Όταν η καμπύλη Γ δίνεται από τις συναρτήσεις u i = u i (t), t J, όπου η παράμετρος t είναι τυχαία, λόγω των (2.1.5) x = ẋ dt ds, x = ẍ ( ) 2 dt + ẋ d2 t ds ds, 2 βρίσκουμε (2.1.6) κ g = (ẋ, ẍ, n) ẋ 3. Αποδεικνύουμε την επόμενη Πρόταση 2.1.1. Έστω Γ η ορθή προβολή μιας επιφανειακής καμπύλης Γ στο εφαπτόμενο επίπεδο ενός σημείου P αυτής και κ η καμπυλότητα της. Τότε είναι κ g (P ) = ±κ (P ). Απόδειξη. Παίρνουμε την αρχή A 0 πάνω στο εφαπτόμενο επίπεδο της S στο P. Αν Γ : x = x(s) είναι μια παραμετρική παράσταση της Γ ως προς φυσική παράμετρο, τότε x (s) = x(s) + λ(s) N, όπου N := n(p ), είναι μια παραμετρική παράσταση της Γ. Θα βρούμε πρώτα τη γεωδαισιακή καμπυλότητα κ g της Γ (με εφαρμογή της (2.1.6)). Επειδή x (s), N = 0, είναι x(s), N + λ(s) = 0, άρα x (s) = x(s) x(s), N N, 9

οπότε x (s) = x (s) x (s), N N, x (s) 2 = 1 x (s), N 2, x (s) = x (s) x (s), N N, άρα αφού κ g(p ) = (x (s), x (s), N) P x (s) 3 P = (x (s), x (s), N) P 1 x (s), N 2 3/2 P = (x (s), x (s), N) P = κ g (P ), 1 x (s), N P = 1 x (P ), N 2 = 1. Τέλος, επειδή η Γ είναι επίπεδη καμπύλη, είναι ϑ = προσ. (h, N) = π/2 ή 3π/2, οπότε κ g = κ sinϑ = ±κ, άρα κ g (P ) = ±κ (P ). Για να βρούμε και άλλους τύπους για τη γεωδαισιακή καμπυλότητα, θεωρούμε τον τανυστή διακρίνουσας (2.1.7) ϵ ij := ( n, x i, x j ), i, j = 1, 2. Προφανώς για τις συνιστώσες του είναι (2.1.8) ϵ 11 = 0, ϵ 12 = ϵ 21 = g, ϵ 22 = 0. Εξάλλου (2.1.9) n g, x k = ( n, x, x k ) = ( n, x m u m, x k ) = ϵmk u m, επομένως από την (2.1.2), με εσωτερικό πολλαπλασιασμό με το διάνυσμα n g, παίρνουμε (2.1.10) κ g = ϵ mk u m ( u k + Γ k ij u i u j ), η οποία, λαμβάνοντας υπόψη τις (2.1.8), γράφεται και ως εξής (2.1.11) κ g = g u1 u 1 + Γij 1 u i u j u 2 u 2 + Γij 2 u i u j. Θα δούμε τώρα ποιά μορφή παίρνει ο τύπος (2.1.10) όταν η παράμετρος είναι τυχαία: Αρχικά έχουμε (2.1.12) u m = u m dt ds, um = ü m ( ) 2 dt + u m d2 t ds ds 2 10

άρα κ g = ϵ mk u m dt ds [ = ϵ mk u m ( dt ds ) 2 + u k d2 t ds 2 + Γ k ij u i dt ds ] dt uj ds ( dt ü k ds ) 3 ( ) ü k + Γij k u i u j + ϵ mk u m u k dt d 2 t ds ds. 2 Λόγω των (2.1.8) όμως είναι Τέλος, επειδή ϵ mk u m u k = ϵ 11 u 1 u 1 + ϵ 12 u 1 u 2 + ϵ 21 u 2 u 1 + ϵ 22 u 2 u 2 = 0. ( ) 2 ds = (ds)2 dt (dt) 2 = I (dt) 2 = g du i ij dt du j dt = g ij u i u j, βρίσκουμε τον παρακάτω τύπο για τη γεωδαισιακή καμπυλότητα ως προς τυχαία παράμετρο (2.1.13) κ g = ϵ mk u m ( (ük gij u i u j) + Γ k 3/2 ij u i u j). Ανάλογα προς την (2.1.11), η (2.1.13) παίρνει τη μορφή g (2.1.14) κ g = ( gij u i u j) 3/2 u1 ü 1 + Γij 1 u i u j u 2 ü 2 + Γij 2 u i u j. Από την τελευταία έχουμε την Πρόταση 2.1.2. (E. F. Minding 5, 1830) Η γεωδαισιακή καμπυλότητα είναι μέγεθος της εσωτερικής γεωμετρίας της επιφάνειας. 2.2 Γεωδαισιακές γραμμές Μια επιφανειακή καμπύλη Γ ονομάζεται γεωδαισιακή γραμμή 6 της S (ή απλώς γεωδαισιακή), όταν η γεωδαισιακή καμπυλότητα κατά μήκος της Γ είναι μηδέν. Πρόταση 2.2.1. α) Μια επιφανειακή καμπύλη Γ είναι τότε και μόνον τότε γεωδαισιακή γραμμή, όταν (2.2.1) (x, x, n) Γ 0 ή (ẋ, ẍ, n) Γ 0. β) Όλες οι κάθετες τομές της S είναι γεωδαισιακές. Απόδειξη. Η α) είναι άμεση συνέπεια των (2.1.4) και (2.1.6). Για την απόδειξη της β) παρατηρούμε, ότι για κάθε κάθετη τομή της S είναι ϑ = 0 ή π (βλ. απόδειξη της Πρότασης 1.2.3), οπότε από την (2.1.3) προκύπτει κ g = 0. 5 Ernst Ferdinand Adolph Minding 1806-1885. Γερμανορώσσος Μαθηματικός, Καθηγητής στο Πανεπιστήμιο του Dorpat. Διδακτορική Διατριβή: De valore intergralium duplicium quam proxime inveniendo 6 Ο όρος χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά από τον Joseph Liouville to 1844 11

Πρόταση 2.2.2. Μια καμπύλη Γ της S είναι ακριβώς τότε γεωδαισιακή, όταν ή είναι ευθεία ή το εγγύτατο επίπεδό της είναι κάθετο στο εφαπτόμενο επίπεδο της S σε κάθε σημείο P Γ (ισοδύναμα: το ευθειοποιούν επίπεδo της ταυτίζεται με το εφαπτόμενο επίπεδο της S). Απόδειξη. Αν η Γ είναι ευθεία, είναι γεωδαισιακή (βλ. Πρόταση 1.1.1). Έστω λοιπόν, ότι η Γ δεν είναι ευθεία. Τότε έχουμε (βλ. (2.1.3)) κ g 0 sinϑ 0 ϑ = 0 ή ϑ = π n = h ή n = h. Επειδή το διάνυσμα n είναι καθετικό του εφαπτομένου επιπέδου και το h καθετικό του ευθειοποιούντος επιπέδου της Γ, η απόδειξη της πρότασης προκύπτει άμεσα. Πόρισμα 2.2.1. Για μια γεωδαισιακή γραμμή Γ μη μηδενικής καμπυλότητας είναι Πρόταση 2.2.3. Έστω επιφανειακή καμπύλη κ n = ±κ, σ g = σ. Γ : u i = u i (s), s J ή Γ : u i = u i (t), t J. α) Η Γ είναι ακριβώς τότε γεωδαισιακή γραμμή, όταν ικανοποιείται η διαφορική εξίσωση (2.2.2) ϵ mk u m ( u k + Γ k ij u i u j ) = 0 ή ϵ mk u m ( ü k + Γ k ij u i u j ) = 0. β) Η Γ είναι ακριβώς τότε γεωδαισιακή γραμμή, όταν ικανοποιείται το σύστημα των διαφορικών εξισώσεων (2.2.3) u k + Γ k ij u i u j = 0, k = 1, 2, ή (2.2.4) ü k + Γ k ij u i u j = f u k, k = 1, 2, όπου f = d2 t ds 2 ( ) 2 ds. dt Απόδειξη. Η απόδειξη της α) είναι άμεση συνέπεια των (2.1.10) και (2.1.13). Η απόδειξη της β), όταν η παράμετρος της Γ είναι φυσική, είναι άμεση συνέπεια της (2.1.2), ενώ, όταν η παράμετρος της Γ είναι τυχαία, προκύπτει από την (2.2.3) και τις (2.1.12). Παρατήρηση 2.2.1. Θέτοντας u 1 = u και u 2 = v, οι εξισώσεις (2.2.2) γράφονται και ως εξής (2.2.5) (2.2.6) u v u v + Γ 2 11 u 3 + ( 2Γ 2 12 Γ 1 11) u 2 v ( 2Γ 1 12 Γ 2 22) u v 2 Γ 1 22 v 3 = 0, u v ü v + Γ 2 11 u 3 + ( 2Γ 2 12 Γ 1 11) u2 v ( 2Γ 1 12 Γ 2 22) u v 2 Γ 1 22 v 3 = 0. Παράδειγμα 2.2.1. α) Οι ευθείες του επιπέδου είναι γεωδαισιακές. β) Οι γενέτειρες κάθε ευθειογενούς επιφάνειας (π.χ. του μονόχωνου υπερβολοειδούς, του υπερβολικού παραβολοειδούς, των κυλίνδρων, των κώνων κ.λπ.) είναι γεωδαισιακές. γ) Οι μέγιστοι κύκλοι της σφαίρας είναι γεωδαισιακές. 12

Πρόταση 2.2.4. Δίνεται σημείο P 0 (u 1 0, u 2 0) της S και μοναδιαίο διάνυσμα w V P0 (S). Υπάρχει μοναδική γεωδαισιακή γραμμή, που διέρχεται από το P 0 και έχει σ αυτό εφαπτομενικό διάνυσμα το w. Παρατήρηση 2.2.2. α) Η έννοια των γεωδαισιακών γραμμών ανήκει στην εσωτερική γεωμετρία των επιφανειών. Όταν γνωρίζουμε μόνο τη μετρική της I = g ij du i du j της επιφάνειας, βρίσκουμε τα σύμβολα του Christoffel και εργαζόμαστε με το σύστημα (2.2.3) ή τη διαφορική εξίσωση (2.2.5) (ή την (2.2.6)). β) Μια ισομετρική απεικόνιση μεταξύ δυο επιφανειών απεικονίζει τις γεωδαισιακές της μιας στις γεωδαισιακές της άλλης. γ) Όταν η επιφάνεια S δίνεται με μια παραμετρική παράστασή της, τότε γνωρίζουμε και το καθετικό διάνυσμά της n. Για να βρούμε τις γεωδαισιακές της, βρίσκουμε τη μετρική και εργαζόμαστε όπως στην προηγούμενη περίπτωση. Επιπρόσθετα λαμβάνουμε υπόψη τα εξής: (αʹ) Κάθε ευθεία πάνω στην S είναι γεωδαισιακή γραμμή. (βʹ) Μια καμπύλη Γ είναι ακριβώς τότε γεωδαισιακή γραμμή της S, όταν οι πρώτες κάθετοι της Γ συμπίπτουν με τις κάθετες της S κατά μήκος της Γ. (γʹ) Οι κάθετες τομές της επιφάνειας είναι γεωδαισιακές γραμμές. (δʹ) Από κάθε σημείο P της S διέρχεται μοναδική γεωδαισιακή γραμμή, που έχει σ αυτό ένα δοσμένο μοναδιαίο εφαπτομενικό διάνυσμα w. 13

2.3 Γεωδαισιακές συντεταγμένες Παρατήρηση 2.3.1. 1. Από τη διαφορική εξίσωση (2.2.6) των γεωδαισιακών γραμμών έχουμε: α) Οι u-καμπύλες είναι ακριβώς τότε γεωδαισιακές, όταν Γ 2 11 = 0. β) Οι v-καμπύλες είναι ακριβώς τότε γεωδαισιακές, όταν Γ 1 22 = 0. 2. Όταν το παραμετρικό δίκτυο είναι ορθογώνιο (g 12 = 0) τα σύμβολα του Christoffel είναι τα επόμενα: (2.3.1) (2.3.2) Γ 1 11 = g 11 1 2g 11, Γ 1 12 = g 11 2 2g 11, Γ 1 22 = g 22 1 2g 11, Γ 2 11 = g 11 2 2g 22, Γ 2 12 = g 22 1 2g 22, Γ 2 22 = g 22 2 2g 22. Για όσα θα αναφέρουμε στην παράγραφο αυτή αφορμή θα πάρουμε από τις παρακάτω δυο προτάσεις: Πρόταση 2.3.1. Όταν το παραμετρικό δίκτυο μιας επιφάνειας είναι ορθογώνιο και δυο τυχούσες v-καμπύλες αποκόπτουν από τις u-καμπύλες ισομήκη τμήματα, τότε οι u-καμπύλες είναι γεωδαισιακές. Απόδειξη. Έστω μια u-καμπύλη και δυο v-καμπύλες με u 1 < u 2. Τότε Γ : v = α Γ i : u = u i, i = 1, 2, ds 2 Γ = g 11 (u, α) du 2. Αν P και Q είναι τα σημεία τομής της Γ με τις Γ 1 και Γ 2 αντίστοιχα, το μήκος που αποκόπτουν τούτες από τη Γ είναι u2» P Q = g 11 (u, α) du, u 1 το οποίο είναι ακριβώς τότε ανεξάρτητο του α, όταν (2.3.3) g 11 (u, α) = g 11 (u) Τότε όμως g 11 2 = 0, άρα, λόγω των (2.3.2), Γ 2 11 = 0, οπότε οι u-καμπύλες είναι πράγματι γεωδαισιακές. Πρόταση 2.3.2. Όταν η μετρική της επιφάνειας έχει τη μορφή (2.3.4) I = du 2 + g 22 (u, v) dv 2, τότε α) οι u-καμπύλες είναι γεωδαισιακές και β) η παράμετρος u είναι φυσική παράμετρος των γεωδαισιακών. 14

Απόδειξη. Προφανώς, το παραμετρικό δίκτυο είναι ορθογώνιο (g 12 = 0) και η παράμετρος u είναι φυσική των u-καμπυλών (g 11 = 1). Μένει να δείξουμε, ότι οι u-καμπύλες είναι γεωδαισιακές. Πράγματι, επειδή g 11 = 1, g 12 = 0, από τις (2.3.2) παίρνουμε Γ 2 11 = 0, οπότε u-καμπύλες είναι γεωδαισιακές. Ένα παραμετρικό δίκτυο, που είναι ορθογώνιο και έχει τις ιδιότητες α) και β) της προηγούμενης πρότασης, ονομάζεται γεωδαισιακό σύστημα συντεταγμένων και οι παράμετροι u, v γεωδαισιακές παράμετροι. Η (2.3.4) ονομάζεται γεωδαισιακή μορφή της μετρικής και οι v-καμπύλες ονομάζονται γεωδαισιακές παράλληλοι. Ο τελευταίος ορισμός δικαιολογείται από την επόμενη πρόταση, που είναι το αντίστροφο της Πρότασης 2.3.1. Πρόταση 2.3.3. Δυο τυχούσες ορθογώνιες τροχιές των γεωδαισιακών γραμμών ενός γεωδαισιακού συστήματος συντεταγμένων αποκόπτουν από τις γεωδαισιακές ισομήκη τμήματα. Απόδειξη. Έστω Γ τυχούσα γεωδαισιακή, Γ i : u = u i, i = 1, 2, τυχούσες ορθογώνιες τροχιές της με u 1 < u 2 και P, Q τα σημεία τομής της Γ με τις Γ 1 και Γ 2 αντίστοιχα. Τότε που είναι ανεξάρτητο του v! I Γ = du 2 ds 2 Γ = du 2 P Q = u2 u 1 du = u 2 u 1, Το μέγεθος P Q, δηλαδή η απόσταση των σημείων P και Q μετρούμενη επί της γεωδαισιακής, ονομάζεται γεωδαισιακή απόσταση των σημείων P και Q. Παρατηρούμε, ότι όταν η μετρική έχει γεωδαισιακή μορφή, από κάθε σημείο της S διέρχεται ακριβώς μια γεωδαισιακή γραμμή της οικογένειας των u-καμπυλών. Πεδίο γεωδαισιακών γραμμών ή γεωδαισιακό πεδίο ονομάζεται κάθε μονοπαραμετρική οικογένεια γεωδαισιακών γραμμών F μιας επιφάνειας S, που έχει την ιδιότητα: Από κάθε σημείο P S διέρχεται ακριβώς μια γεωδαισιακή της οικογένειας. Μπορούμε να εισάγουμε σε κάθε επιφάνεια γεωδαισιακές παραμέτρους ακολουθώντας την παρακάτω διαδικασία: Θεωρούμε μια καμπύλη Γ της S και εισάγουμε το γεωδαισιακό πεδίο των ορθογωνίων καμπυλών της Γ ως u-καμπύλες και τις ορθογώνιες τροχιές των καμπυλών του γεωδαισιακού πεδίου ως v-καμπύλες της S. Επειδή οι u-καμπύλες είναι γεωδαισιακές, έχουμε Γ 2 11 = 0 15

(βλ. Παρατήρηση 2.3.1). Εξάλλου g 12 = 0. Από τις (2.3.2) τότε προκύπτει g 11 2 = 0 g 11 = g 11 (u). Θεωρούμε το μετασχηματισμό των παραμέτρων, που ορίζεται με χρήση των u» u (u, v) = g 11 (x) dx, v (u, v) = v. Ο μετασχηματισμός αυτός είναι, λόγω των επιτρεπτός, αφού Η μετρική παίρνει τότε τη μορφή 0 u u = g 11, u v = 0, v u = 0, v v = 1, (u, v ) (u, v) =» g 11 (u) 0. (2.3.5) I = du 2 + g 22(u, v ) dv 2, δηλαδή τη μορφή (2.3.4). Εξάλλου, αφού» du = g 11 (u) du, dv = dv, έχουμε: (2.3.6) (2.3.7) Σημειώνουμε, ότι Ώστε v = const. v = const., u = const. u = const. το παραμετρικό δίκτυο αποτελείται από τις γεωδαισιακές του γεωδαισιακού πεδίου (λόγω της (2.3.6)) και τις ορθογώνιες τροχιές τους (λόγω της (2.3.7)), και η παράμετρος u είναι φυσική παράμετρος των γεωδαισιακών του γεωδαισιακού πεδίου (λόγω της (2.3.5)). Πρόταση 2.3.4. Σε κάθε επιφάνεια S μπορούμε να εισάγουμε γεωδαισιακό σύστημα συντεταγμένων. Όταν το παραμετρικό δίκτυο της S είναι ορθογώνιο, η γεωδαισιακή καμπυλότητα των παραμετρικών γραμμών είναι (βλ. άσκηση 18) (2.3.8) (κ g ) u=const = g 22 1 2g 22 g11, (κ g ) v=const = g 11 2 2g 11 g22. Εξάλλου η καμπυλότητα του Gauss δίνεται από την [( ) 1 (2.3.9) K = 2 g22 1 g 11 g 22 g11 g 22 1 + ( ) g11 2 g11 g 22 Επομένως σε ένα γεωδαισιακό σύστημα συντεταγμένων, του οποίου οι u καμπύλες είναι γεωδαισιακές γραμμές και το u είναι φυσική παράμετρός τους (g 11 = 1), είναι (2.3.10) (κ g ) u=const = g 22 1 2g 22, K = 1 g22 2 g 22 u 2. 2 ]. 16

Παρατήρηση 2.3.2. Έστω, ότι η μετρική μιας επιφάνειας S έχει γεωδαισιακή μορφή και ότι οι u-καμπύλες είναι γεωδαισιακές. Αν και οι γεωδαισιακές παράλληλοι (δηλαδή οι v-καμπύλες) είναι γεωδαισιακές γραμμές, θα είναι (κ g ) u=const. = 0, οπότε από τις (2.3.10) παίρνουμε g 22 1 = 0 g 22 = g 22 (v) και επομένως από την (2.3.9) παίρνουμε για την καμπυλότητα του Gauss K = 0. Συνεπώς, πάνω σε μια επιφάνεια με καμπυλότητα του Gauss διάφορη του μηδενός, δεν υπάρχει ορθογώνιο δίκτυο, του οποίου και οι δυο οικογένειες των παραμετρικών γραμμών να είναι γεωδαισιακές γραμμές. Μια ιδιαίτερα ενδιαφέρουσα ειδική περίπτωση γεωδαισιακών συντεταγμένων είναι οι πολικές γεωδαισιακές συντεταγμένες. Αυτές εισάγονται ως εξής: Θεωρούμε ένα σημείο P επιφάνειας S και το σύνολο των γεωδαισιακών της S που διέρχονται από το P ως u-καμπύλες. Περιοριζόμαστε σε μια περιοχή U του P, τέτοια ώστε στο σύνολο U {P } οι γεωδαισιακές γραμμές που θεωρήσαμε, να αποτελούν γεωδαισιακό πεδίο. Τέλος θεωρούμε ως v-καμπύλες τις ορθογώνιες τροχιές των γεωδαισιακών, οι οποίες είναι γεωδαισιακές παράλληλοι, και επομένως είναι κλειστές καμπύλες. Στο σημείο P αντιστοιχίζουμε την τιμή u = 0 (v τυχόν). Ένα παραμετρικό δίκτυο πάνω στην S με τις παραπάνω ιδιότητες ονομάζεται πολικό γεωδαισιακό σύστημα συντεταγμένων, το σημείο P πόλος ή γεωδαισιακό κέντρο και οι παράμετροι u και v πολικές γεωδαισιακές συντεταγμένες. Σε ένα πολικό γεωδαισιακό σύστημα συντεταγμένων αποδεικνύεται, ότι εκτός των (2.3.8) ισχύουν και οι σχέσεις» g22 (u, v) lim g 22 (u, v) = 0, lim = 1. u u u Η παράμετρος u 0 είναι η γεωδαισιακή απόσταση ενός σημείου Q(u 0, v 0 ) από το P, δηλαδή η απόσταση του Q από τον πόλο P μετρούμενη επί της γεωδαισιακής, πάνω στην οποία κείται το σημείο Q. Η παράμετρος v 0 είναι η γωνία μεταξύ της γεωδαισιακής v = 0, η οποία μπορεί να εκλεγεί αυθαίρετα, και της γεωδαισιακής v = v 0. Οι γεωδαισιακές παράλληλοι, δηλαδή οι v- καμπύλες, ονομάζονται γεωδαισιακοί κύκλοι με κέντρο P και ακτίνα u και είναι οι καμπύλες, που έχουν σταθερή γεωδαισιακή απόσταση από τον πόλο. Αλλά ενώ στο επίπεδο οι αντίστοιχες καμπύλες είναι κύκλοι και έχουν επομένως όχι μόνο σταθερή (γεωδαισιακή) απόσταση από τον πόλο αλλά και σταθερή καμπυλότητα, οι γεωδαισιακοί κύκλοι πάνω σε τυχούσα επιφάνεια δεν έχουν, γενικά, την αντίστοιχη ιδιότητα (δηλαδή δεν έχουν και σταθερή γεωδαισιακή καμπυλότητα). Πράγματι, λόγω της πρώτης των (2.3.8), η γεωδαισιακή καμπυλότητα μιας v-καμπύλης δεν είναι ανεξάρτητη του v, άρα οι γεωδαισιακοί κύκλοι δεν έχουν, γενικά, σταθερή γεωδαισιακή καμπυλότητα. Για διάκριση, οι καμπύλες, που έχουν σταθερή γεωδαισιακή καμπυλότητα, ονομάζονται κύκλοι καμπυλότητας και δεν είναι, γενικά, κλειστές καμπύλες. Οι γεωδαισιακοί κύκλοι είναι δυνατό να χαραχθούν πάνω σε μια δοθείσα επιφάνεια S κατά τρόπο μηχανικό (όπως και οι κύκλοι του επιπέδου). 17

Τέλος, αν L(ρ) και S(ρ) είναι το μήκος της περιμέτρου και το εμβαδόν ενός γεωδαισιακού κύκλου με ακτίνα u 0 = ρ, αποδεικνύονται οι τύποι των Bertrand 7 Puiseux 8 Diguet (1848) K(P ) = 3 π lim 2πρ L(ρ) = 12 ρ 0 ρ 3 π lim πρ 2 S(ρ), ρ 0 ρ 4 με τη βοήθεια των οποίων είναι δυνατόν, δια τοπικών μετρήσεων των περιμέτρων και των εμβαδών μικρών γεωδαισιακών κύκλων, να προσδιοριστεί η καμπυλότητα του Gauss σε ένα σημείο της επιφάνειας. Έστω τώρα μια γεωδαισιακή γραμμή Γ 0 και P, Q τυχόντα σημεία της. Ισχύει η Πρόταση 2.3.5. Αν υπάρχει γεωδαισιακό πεδίο στην περιοχή της καμπύλης Γ 0, μια καμπύλη του οποίου είναι η Γ 0, τότε η Γ 0 από το P μέχρι το Q έχει το μικρότερο μήκος από κάθε άλλη καμπύλη Γ της περιοχής, που διέρχεται από τα P και Q. Απόδειξη. Εισάγουμε γεωδαισιακό σύστημα συντεταγμένων στην περιοχή της Γ 0, του οποίου οι u-καμπύλες είναι οι καμπύλες του γεωδαισιακού πεδίου, στο οποίο ανήκει η Γ 0 και έστω, ότι η Γ 0 είναι η καμπύλη v = α και ότι P (u 1, α), Q(u 2, α) με u 1 < u 2. Θεωρούμε, τέλος, τυχούσα καμπύλη dφ Γ : v = φ(u), du 0, που κείται στην περιοχή της Γ 0 και διέρχεται από τα σημεία P και Q. Επειδή I = du 2 + g 22 (u, v) dv 2, έχουμε άρα I Γ0 = du 2, I Γ = du 2 + g 22 (u, φ(u)) ( ) 2 dφ du 2 du P Q Γ0 = P Q Γ = u2 du2 = u 1 u2 u 1 u2 u 1 du = u 2 u 1, 1 + g 22 (u, φ(u)) Από την υπόθεση είναι dφ du 0, άρα είναι P Q Γ0 < P Q Γ. ( ) 2 dφ du. du 7 Joseph Louis François Bertrand (1822 1900). Γάλλος Μαθηματικός, οικονομολόγος και ιστορικός των επιστημών, καθηγητής στο Collège de France. Διδακτορική διατριβή: Sur la théorie des phénomènes thermomécaniques 8 Victor Alexandre Puiseux (1820 1883). Γάλλος Μαθηματικός και Αστρονόμος. Καθηγητής στην έδρα της Μαθηματικής Αστρονομίας της École polytechnique, όπου διαδέχθηκε τον Augustin Louis Cauchy. Διδακτορική διατριβή: Sur l invariabilité des grands axes des orbites des planètes. Μαθητής του υπήρξε ο Camille Ennemond Jordan 18

2.4 Απόλυτη παραγώγιση και απόλυτη παραλληλία κατά Levi-Civita κατά μήκος καμπύλης Έστω Γ : u i = u i (t), t I, I ανοικτό διάστημα, καμπύλη της επιφάνειας S και w(t) = w i (t) x i (t) ένα εφαπτομενικό διανυσματικό πεδίο κατά μήκος της Γ. Με χρήση των εξισώσεων των παραγώγων του Gauss βρίσκουμε Η εφαπτομενική συνιστώσα (2.4.1) ẇ = ẇ i x i + w i x ij u j = ẇ i x i + w i ( Γ r ij x r + l ij n ) u j = = ( ẇ r + Γ r ij w i u j) x r + l ij w i u j n. D w D t := ( ẇ r + Γ r ij w i u j) x r του διανυσματικού πεδίου ẇ ονομάζεται απόλυτη παράγωγος του w κατά μήκος της Γ. Επειδή είναι (2.4.2) ẇ, n = l ij w i u j, D w D t Για μια συνάρτηση f(u i ) C 1 (D) θέτουμε οπότε = ẇ ẇ, n n. D f D t := df (ui (t)), dt D f D t = f i u i. Πρόταση 2.4.1. Έστω w 1 (t), w 2 (t) δυο εφαπτομενικά διανυσματικά πεδία κατά μήκος της Γ και λ R. Ισχύουν οι ιδιότητες (2.4.3) D (w 1 + w 2 ) D t (2.4.4) D (λ w 1 ) D t D w 1, w 2 (2.4.5) D t = D w 1 D t = λ D w 1 D t, + D w 2 D t, = D w 1 D t, w 2 + w 1, D w 2 D t. Πρόταση 2.4.2. Η ιδιότητα D w D t = 0 είναι ανεξάρτητη της χρησιμοποιούμενης παραμέτρου t. 19

Απόδειξη. Έστω t = f(t ) ένας επιτρεπτός μετασχηματισμός της παραμέτρου t (οπότε df dt 0). Τότε D w D t = dw dt dw dt, n n = dw df dt dt dw df, n dt dt n = d w d t df dt, άρα D w D t = 0 D w D t = 0. Ένα εφαπτομενικό διανυσματικό πεδίο w(t) ονομάζεται απολύτως παράλληλο κατά μήκος της καμπύλης Γ, όταν η απόλυτη παράγωγός του κατά μήκος της Γ μηδενίζεται. Από τους ορισμούς της απόλυτης παραγώγισης και της απόλυτης παραλληλίας προκύπτει Πρόταση 2.4.3. Το εφαπτομενικό διανυσματικό πεδίο w(t) είναι απολύτως παράλληλο κατά μήκος της καμπύλης Γ, όταν το διανυσματικό πεδίο ẇ είναι κάθετο στην S. Πρόταση 2.4.4. Το εφαπτομενικό διανυσματικό πεδίο ẋ(t) είναι ακριβώς τότε παράλληλο κατά μήκος της καμπύλης Γ, όταν αυτή είναι γεωδαισιακή γραμμή. Απόδειξη. Εισάγουμε φυσική παράμετρο της Γ. Επειδή x = u i x i έχουμε D x D s = ( u r + Γ r ij u i u j ) x r. Άρα D x D s = 0 ur + Γij r u i u j = 0, i = 1, 2, δηλαδή ακριβώς τότε, όταν η Γ είναι γεωδαισιακή (βλ. Πρόταση 2.2.3). Όταν το εφαπτομενικό διανυσματικό πεδίο w(t) είναι απολύτως παράλληλο κατά μήκος της καμπύλης Γ και t 1, t 2 I, τα διανύσματα w(t 1 ), w(t 2 ) ονομάζονται απολύτως παράλληλα κατά μήκος της Γ. Λέμε ακόμα, ότι το ένα προέκυψε από το άλλο με παράλληλη μεταφορά κατά Levi-Civita 9 κατά μήκος της καμπύλης Γ. Από την (2.4.1) προκύπτουν οι διαφορικές εξισώσεις της απόλυτης παραλληλίας κατά μήκος της Γ : (2.4.6) ẇ r + Γ r ij w i u j = 0, i = 1, 2, οι οποίες αναλυτικά γράφονται (2.4.7) (2.4.8) ẇ 1 + Γ 1 11 w 1 u 1 + Γ 1 12 ( w1 u 2 + w 2 u 1) + Γ 1 22 w 2 u 2 = 0, ẇ 2 + Γ 2 11 w 1 u 1 + Γ 2 12 ( w1 u 2 + w 2 u 1) + Γ 2 22 w 2 u 2 = 0. Άμεση συνέπεια είναι η 9 Tulio Levi-Civita (1873-1941). Ιταλός Μαθηματικός, γνωστός για τις εργασίες του πάνω στον τανυστικό λογισμό και τις εφαρμογές του στη Θεωρία της Σχετικότητας. Μαθητής του εφευρέτη του τανυστικού λογισμού Gregorio Ricci-Curbastro. Διδακτορική διατριβή: Sugli invarianti assoluti 20

Πρόταση 2.4.5. Η απόλυτη παραλληλία κατά μήκος μιας καμπύλης είναι έννοια της εσωτερικής γεωμετρίας. Έστω t 0 I, P (t 0 ) το σημείο της Γ που αντιστοιχεί στο t 0 και a = a i x i (P ) ένα εφαπτομενικό διάνυσμα της S στο P. Θεωρούμε το σύστημα των διαφορικών εξισώσεων (2.4.6) με άγνωστες συναρτήσεις τις w i (t) και αρχικές συνθήκες w i (t 0 ) = a i, i = 1, 2. Το σύστημα αυτό είναι γραμμικό και ομογενές και οι συντελεστές του είναι συνεχείς συναρτήσεις. Από τη θεωρία των διαφορικών εξισώσεων προκύπτει, ότι υπάρχει ακριβώς μια λύση του (2.4.6) στο διάστημα I, που ικανοποιεί τις τεθείσες αρχικές συνθήκες, συνεπώς υπάρχει ακριβώς ένα απολύτως παράλληλο κατά μήκος της Γ εφαπτομενικό διανυσματικό πεδίο w(t), τέτοιο ώστε w(t 0 ) = a. Το συμπέρασμα αυτό μπορεί να διατυπωθεί ως εξής: Πρόταση 2.4.6. Κάθε εφαπτομενικό διάνυσμα a της S σε τυχόν σημείο μιας καμπύλης Γ εντάσσεται κατά ακριβώς έναν τρόπο σε ένα απολύτως παράλληλο διανυσματικό πεδίο w(t) κατά μήκος της καμπύλης Γ. Πρόταση 2.4.7. Αν w 1 (t) και w 2 (t) είναι δυο απολύτως παράλληλα εφαπτομενικά διανυσματικά πεδία κατά μήκος της Γ, το εσωτερικό γινόμενο w 1 (t), w 2 (t) είναι σταθερό κατά μήκος της Γ. Η απόδειξη προκύπτει από τις (2.4.5) και τις D w 1 D t = D w 2 D t Πόρισμα 2.4.1. Έστω w 1 (t) και w 2 (t) δυο απολύτως παράλληλα εφαπτομενικά διανυσματικά πεδία κατά μήκος της Γ. = 0. α) Τα μέτρα των w 1 (t) και w 2 (t) είναι σταθερά κατά μήκος της Γ. β) Η γωνία των w 1 (t) και w 2 (t) είναι σταθερή κατά μήκος της Γ. 21

2.5 Ο ολοκληρωτικός τύπος των Gauss-Bonnet Έστω S : x = x(u 1, u 2 ) μια προσανατολισμένη C 3 -επιφάνεια, της οποίας το ίχνος είναι απλώς συναφές. Τονίζουμε, ότι όσα θα εκθέσουμε παρακάτω στην παρούσα παράγραφο, ισχύουν υπό την προϋπόθεση αυτή. Υποθέτουμε, ότι το σύνορο της S είναι μια απλή, κλειστή, ομαλή C 3 - καμπύλη Γ, προσανατολισμένη έτσι, ώστε η γεωδαισιακή κάθετος n g := n x να δείχνει προς το εσωτερικό της Γ (ο τόνος συμβολίζει παραγώγιση ως προς φυσική παράμετρο s της Γ ). Συμβολίζουμε με da το εμβαδικό στοιχείο της S και με da το εμβαδικό στοιχείο της σφαιρικής εικόνας της. Ως γνωστόν, ισχύουν οι σχέσεις όπου g = x 1 x 2 και e = n 1 n 2. da = g du 1 du 2, da = e du 1 du 2, Από τις εξισώσεις του Rodrigues (βλ. (1.3.11)) εύκολα βρίσκουμε, ότι άρα da da = e = l2 g, e g = l2 g 2 = K από την οποία προκύπτει για το εμβαδόν της σφαιρικής εικόνας της S: A = K da. S Από την τελευταία παίρνουμε A S = S K da, όταν K > 0 K da, όταν K < 0. Το επιφανειακό ολοκλήρωμα S K da ονομάζεται ολική καμπυλότητα (κατά Gauss: curvatura integra) της επιφάνειας S. Γεωμετρικά, συνεπώς, η ολική καμπυλότητα της S είναι το προσημασμένο εμβαδόν της σφαιρικής εικόνας της S. Αποδεικνύεται η Πρόταση 2.5.1 (Τύπος των Gauss-Bonnet). Για το επιφανειακό ολοκλήρωμα της καμπυλότητας του Gauss πάνω στην S και το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα της γεωδαισιακής καμπυλότητας της Γ πάνω κατά μήκος της Γ ισχύει ο τύπος (2.5.1) κ g ds + K da = 2π. Γ S 22

Ο τύπος αυτός, λόγω των πολλών εφαρμογών του, θεωρείται ο σημαντικότερος της Διαφορικής Γεωμετρίας, και αποδείχτηκε πρώτα από τον Ossian Bonnet το έτος 1848. Στην ειδική περίπτωση των γεωδαισιακών τριγώνων ο τύπος αποδείχτηκε από τον C. F. Gauss το 1828 (βλ. παρακάτω Theorema elegantissimum). Όταν το σύνορο Γ της S είναι κατά τμήματα ομαλή καμπύλη, δηλαδή υπάρχουν σημεία P 1,..., P n Γ, που ονομάζονται κορυφές της Γ, στα οποία η Γ έχει εφαπτομενικά διανύσματα και εξ αριστερών και εκ δεξιών, ο τύπος (2.5.1) παίρνει τη μορφή n (2.5.2) κ g ds + K da + α i = 2π, Γ όπου α i (0, π) είναι η εξωτερική γωνία στην κορυφή P i. S Έστω ε i οι εσωτερικές γωνίες στις κορυφές της Γ. Επειδή α i + ε i = π, ο τύπος των Gauss- Bonnet γίνεται n (2.5.3) κ g ds + K da = π (2 n) + ε i. Γ S Κάθε απλή, κλειστή και κατά τμήματα ομαλή καμπύλη Γ, που αποτελείται από γεωδαισιακές καμπύλες, ονομάζεται γεωδαισιακό πολύγωνο της επιφάνειας S. Όταν το σύνορο Γ της S είναι ένα γεωδαισιακό n-γωνο, ο τύπος (2.5.4) γίνεται n (2.5.4) K da = π (2 n) + ε i. S Εφαρμογές 2.5.1. Σε όσα θα αναφέρουμε παρακάτω υποθέτουμε, ότι τα γεωδαισιακά πολύγωνα (κυρίως τρίγωνα, αλλά και δίγωνα) που θα θεωρήσουμε, περικλείουν απλώς συναφείς τόπους. 2.5.1.1 Για K = const. 0 έχουμε (2.5.5) A = δηλαδή π (2 n) + Πρόταση 2.5.2. Το εμβαδόν A κάθε γεωδαισιακού n γωνου, που κείται πάνω σε μια επιφάνεια S σταθερής μη μηδενικής καμπυλότητας του Gauss, καθορίζεται από τις εσωτερικές (ή τις εξωτερικές) γωνίες του. Αν η S είναι σφαίρα ακτίνας r, τότε K i=1 n i=1 i=1 ε i, i=1 (2.5.6) K = 1 r 2 και η τελευταία σχέση δίνει (2.5.7) A = r 2 [π (2 n) + ] n ε i. i=1 23

2.5.1.2 Έστω, ότι η Γ είναι γεωδαισιακό τρίγωνο (n = 3). Ο τύπος (2.5.4) γίνεται (2.5.8) K da = ε 1 + ε 2 + ε 3 π, άρα S Πρόταση 2.5.3 (Theorema elegantissimum, Gauss, 1827). Η ολική καμπυλότητα κάθε γεωδαισιακού τριγώνου ισούται με την υπεροχή (Exzess) του ως προς π. Έστω P ένα σημείο της επιφάνειας S. Θεωρούμε ένα γεωδαισιακό τρίγωνο T, στο εσωτερικό του οποίου βρίσκεται το P, και συμβολίζουμε με ε 1, ε 2, ε 3 τις γωνίες του και με A(T ) το εμβαδόν του. Αν αφήσουμε το γεωδαισιακό τρίγωνο T να συρρικνωθεί κατά τρόπο συνεχή στο σημείο P, προκύπτει από τον τύπο (2.5.8) το εξής όριο για την καμπυλότητα του Gauss της S στο P : ε 1 + ε 2 + ε 3 π K(P ) = lim. T P A(T ) Με τη βοήθεια του τύπου αυτού προσδιορίζεται η καμπυλότητα του Gauss μέσω εσωτερικών γεωδαισιακών μετρήσεων πάνω στην S. Από τον τύπο (2.5.8) προκύπτουν οι εξής ειδικές περιπτώσεις: Πόρισμα 2.5.1. α) Όταν K > 0 η υπεροχή είναι μεγαλύτερη του 0, κατά συνέπεια το άθροισμα των γωνιών κάθε γεωδαισιακού τριγώνου μιας ελλειπτικά καμπυλομένης επιφάνειας είναι μεγαλύτερο των δυο ορθών. β) Όταν K = 0 η υπεροχή είναι ίση με 0, κατά συνέπεια το άθροισμα των γωνιών κάθε γεωδαισιακού τριγώνου μιας παραβολικά καμπυλομένης επιφάνειας (επίπεδο, κύλινδρος, κώνος, εφαπτομενική επιφάνεια μιας καμπύλης του E 3 ) είναι ίσο με δυο ορθές. γ) Όταν K < 0 η υπεροχή είναι μικρότερη του 0, κατά συνέπεια το άθροισμα των γωνιών κάθε γεωδαισιακού τριγώνου μιας υπερβολικά καμπυλομένης επιφάνειας είναι μικρότερο των δυο ορθών. 2.5.1.3 Όταν η Γ είναι γεωδαισιακό τρίγωνο (n = 3) και η S έχει σταθερή καμπυλότητα του Gauss, από τον τύπο (2.5.8) παίρνουμε (2.5.9) K A = ε 1 + ε 2 + ε 3 π. Αν η S είναι σφαίρα ακτίνας r, από τις (2.5.6) και (2.5.9) έχουμε (2.5.10) A = r 2 (ε 1 + ε 2 + ε 3 π), ώστε: Το εμβαδόν κάθε σφαιρικού τριγώνου είναι ανάλογο της σφαιρικής υπεροχής του ως προς π. Μάλιστα, για τη μοναδιαία σφαίρα προκύπτει (2.5.11) A = ε 1 + ε 2 + ε 3 π, δηλαδή 24

Πρόταση 2.5.4 (T. Harriot, 1603!). Το εμβαδόν κάθε γεωδαισιακού τριγώνου της μοναδιαίας σφαίρας ισούται με τη σφαιρική υπεροχή του ως προς π. για την ψευδοσφαίρα με καμπυλότητα του Gauss K = 1, προκύπτει (2.5.12) A = π ε 1 ε 2 ε 3, δηλαδή Πρόταση 2.5.5 (C.F. Gauss, 1828). Το εμβαδόν κάθε γεωδαισιακού τριγώνου της ψευδοσφαίρας με καμπυλότητα του Gauss K = 1 ισούται με το σφαιρικό έλλειμμα (Defekt) του ως προς π. 2.5.1.4 Έστω, ότι η Γ είναι γεωδαισιακό δίγωνο (n = 2). Ο τύπος (2.5.4) γίνεται (2.5.13) K da = ε 1 + ε 2, άρα S Πρόταση 2.5.6. Πάνω σε μια επιφάνεια αρνητικής ή μηδενικής καμπυλότητας του Gauss δεν υπάρχουν γεωδαισιακά δίγωνα (γιατί τότε θα ήταν ε 1 + ε 2 0). Για την ψευδοσφαίρα με K = 1 την πρόταση απέδειξε ο J. Hadamard 10 το έτος 1897. Μερικά άμεσα συμπεράσματα της παραπάνω πρότασης είναι τα εξής: Πόρισμα 2.5.2. α) Πάνω σε μια επιφάνεια αρνητικής ή μηδενικής καμπυλότητας του Gauss δυο γεωδαισιακές τέμνονται το πολύ μια φορά. β) Πάνω σε μια επιφάνεια αρνητικής ή μηδενικής καμπυλότητας του Gauss δεν υπάρχουν γεωδαισιακές, οι οποίες να είναι κλειστές ή να έχουν διπλά σημεία. γ) Έστω P τυχόν σημείο μιας επιφάνειας αρνητικής ή μηδενικής καμπυλότητας του Gauss. Η δέσμη των γεωδαισιακών, που διέρχονται από το P, είναι γεωδαισιακό πεδίο. δ) Υπάρχει ακριβώς μια καμπύλη ελαχίστου μήκους, που συνδέει δυο δοσμένα σημεία P και Q μιας επιφάνειας αρνητικής ή μηδενικής καμπυλότητας του Gauss, και δεν είναι άλλη από τη γεωδαισιακή, που διέρχεται από τα P και Q. 10 Jacques Salomon Hadamard (1865-1963). Γάλλος Μαθηματικός, καθηγητής στο Πανεπιστήμιο του Bordaux, στη Σορβόννη, στο College de France, στην École Polytechnique και στην École Centrale, όπου διαδέχθηκε τον Camille Jordan και τον Paul Appell. Μαθητής του Charles Émile Picard, υπό την επίβλεψη του οποίου και του Jules Tannery εκπόνησε τη διδακτορική διατριβή του με τίτλο Essai sur l étude des fonctions données par leur développement de Taylor. Επιβλέπων των διδακτορικών διατριβών των: René Fréchet, Marc Krasner, Paul Lévy, Szolem Mandelbrojt και André Weil 25

2.5.1.5 Αν S είναι μια κλειστή προσανατολίσιμη επιφάνεια, που είναι τοπολογικά ισοδύναμη με μια σφαίρα με p λαβές, ο τύπος των Gauss-Bonnet λαμβάνει τη μορφή (2.5.14) K da = 4π (1 p). S Ο αριθμός χ := 2 (1 p) ονομάζεται χαρακτηριστική του Euler της S και είναι τοπολογική αναλλοίωτος. Το πλήθος p των λαβών ονομάζεται γένος της S (B. Riemann, 1857) και είναι επίσης τοπολογική αναλλοίωτος. Το γένος της σφαίρας είναι μηδέν, της σπείρας ένα. Τόσον η χαρακτηριστική του Euler όσον και το γένος είναι τοπολογικές αναλοίωτοι. Μερικά συμπεράσματα, που προκύπτουν από τον τύπο (2.5.14), και τον κάνουν τον σπουδαιότερο και περιεκτικότερο στη Διαφορική Γεωμετρία, είναι τα επόμενα: α) Το γένος p, που είναι τοπολογική αναλλοίωτος, εκφράζεται με τη βοήθεια της διαφορογεωμετρικής αναλλοιώτου K. β) Το γένος p, ένα εν μεγάλω (global) μέγεθος, προσδιορίζεται από ένα τοπικό μέγεθος (την καμπυλοτητα K του Gauss). γ) Η ολική καμπυλότητα της S είναι ανεξάρτητη της μετρικής. δ) Το πηλίκο του αλγεβρικού εμβαδού A της σφαιρικής εικόνας της S προς το εμβαδόν της μοναδιαίας σφαίρας ισούται με το ήμισυ της χαρακτηριστικής. ε) Η ολική καμπυλότητα της S είναι θετική τότε και μόνον τότε, όταν η S είναι του τοπολογικού τύπου της σφαίρας. στ) Αν για την καμπυλότητα του Gauss ισχύει η S είναι του τοπολογικού τύπου της σφαίρας. K(P ) 0 P S, 26

3 Η μέθοδος του κινουμένου τριάκμου Οι αποδείξεις των προτάσεων του Κεφαλαίου 3, όταν δεν παρατίθενται παρακάτω, θα γίνουν στο μάθημα. Ο αναγνώστης μπορεί επίσης να ανατρέξει στο βιβλίο του Ν. Κ. Στεφανίδη: Διαφορική Γεωμετρία (Νέα Έκδοση, Θεσσαλονίκη 2014). 3.1 Μια σύντομη εισαγωγή στη θεωρία των διαφορικών μορφών Έστω D R ένα ανοικτό σύνολο και a i (u, v) C r (D), r 2, i = 1, 2, δυο συναρτήσεις, όπου u, v είναι καρτεσιανές συντεταγμένες. Η έκφραση ω 1 (u, v) := a 1 (u, v) du + a 2 (u, v) dv ονομάζεται γραμμική διαφορική μορφή ή διαφορική μορφή του Pfaff 11 της κλάσεως C r με συντελεστές a 1 (u, v) και a 2 (u, v). Η εξίσωση ω 1 = 0 είναι μια ομογενής διαφορική εξίσωση στο D, της οποίας οι ολοκληρωτικές καμπύλες ονομάζονται μηδενικές καμπύλες της ω 1. Οι εφαπτόμενες αυτών ονομάζονται μηδενικές διευθύνσεις της ω 1 (ορίζονται από την dv = a 1 du a 2 ). Δυο γραμμικές διαφορικές μορφές ω 1 (u, v) := a 1 (u, v) du + a 2 (u, v) dv και ω 2 (u, v) := b 1 (u, v) du + b 2 (u, v) dv ονομάζονται γραμμικά ανεξάρτητες, όταν σε κάθε σημείο του D οι μηδενικές διευθύνσεις τους είναι γραμμικά ανεξάρτητες. Διαφορετικά ονομάζονται γραμμικά εξαρτημένες. Πρόταση 3.1.1. Οι γραμμικές διαφορικές μορφές ω 1 και ω 2 είναι ακριβώς τότε γραμμικά ανεξάρτητες, όταν είναι a 1 b 2 a 2 b 1 0. Πρόταση 3.1.2. Όταν οι γραμμικές διαφορικές μορφές ω 1 και ω 2 είναι γραμμικά ανεξάρτητες, τότε κάθε άλλη γραμμική διαφορική μορφή εκφράζεται ως γραμμικός συνδυασμός των ω 1 και ω 2 (με συντελεστές συναρτήσεις των u και v). Παρατήρηση 3.1.1. Το αλγεβρικό γινόμενο δύο γραμμικών διαφορικών μορφών είναι μια τετραγωνική διαφορική μορφή. Το εξωτερικό γινόμενο ω 1 ω 2 δυο γραμμικών διαφορικών μορφών ορίζεται έμμεσα ως εξής: ω 1 ω 2 = ω 2 ω 1, (f ω 1 ) ω 2 = f (ω 1 ω 2 ), (ω 1 + ω 2 ) ω 3 = ω 1 ω 3 + ω 2 ω 3, όπου f(u, v) είναι τυχούσα συνάρτηση. Προφανώς ισχύει ω 1 ω 1 = 0. 11 Johann Fried rich Pfaff (1765 1825). Γερμανός Μαθηματικός, Καθηγητής στο Helmstedt και στο Halle. Μαθητής του Abraham Gotthelf Kästner, υπό την επίβλεψη του οποίου και του J. E. Bode εκπόνησε τη διδακτορική διατριβή του με τίτλο Commentatio de ortibus et occasibus siderum apud auctores classicos commemoratis. Επιβλέπων της διδακτορικής διατριβής του Carl Friedrich Gauss. Επιβλέπων των διδακτορικών διατριβών των Johann Martin Christian Bartels και August Möbius 27

Πρόταση 3.1.3. Ισχύει ω 1 ω 2 = (a 1 b 2 a 2 b 1 ) du dv. Πόρισμα 3.1.1. Ισχύει ακριβώς τότε ω 1 ω 2 = 0, όταν οι γραμμικές διαφορικές μορφές ω 1 και ω 2 είναι γραμμικά εξαρτημένες. Το εξωτερικό γινόμενο ω 1 ω 2 δυο γραμμικών διαφορικών μορφών είναι μια διαφορική μορφή δευτέρου βαθμού. Οι διαφορικές μορφές δευτέρου βαθμού διαφέρουν μεταξύ τους κατά μια συνάρτηση. Ονομάζουμε εξωτερικό διαφορικό της διαφορικής γραμμικής μορφής ω 1 τη διαφορική μορφή δευτέρου βαθμού d ω 1 := da 1 du + da 2 dv. Προφανώς είναι d ω 1 = ( a 2 1 a 1 2 ) du dv. Πρόταση 3.1.4. Όταν η γραμμική διαφορική μορφή ω 1 είναι ολικό διαφορικό, τότε είναι d ω 1 = 0. Πρόταση 3.1.5. Όταν η γραμμική διαφορική μορφή ω 1 είναι ορισμένη σε έναν απλώς συναφή τόπο D και ισχύει d ω 1 = 0, τότε η ω 1 είναι ολικό διαφορικό. Πρόταση 3.1.6. Για κάθε συνάρτηση f(u, v) C 1 (D) ισχύει (3.1.1) d(f ω 1 ) = df ω 1 + f d ω 1. Υποθέτουμε παρακάτω, ότι οι διαφορικές μορφές ω 1 και ω 2 είναι γραμμικά ανεξάρτητες. Θεωρούμε μια συνάρτηση f(u, v) C 1 (D). Οι συναρτήσεις i f, που ορίζονται με χρήση της df =: 1 f ω 1 + 2 f ω 2, ονομάζονται παράγωγοι του Pfaff της συνάρτησης f. Εύκολα αποδεικνύονται οι επόμενες προτάσεις: Πρόταση 3.1.7. Οι παράγωγοι του Pfaff της συνάρτησης f συνδέονται με τις μερικές παραγώγους της με τις σχέσεις (3.1.2) 1 f = b 2 f 1 b 1 f 2 a 1 b 2 a 2 b 1, 2 f = a 2 f 1 + a 1 f 2 a 1 b 2 a 2 b 1. Πρόταση 3.1.8. Για συναρτήσεις f(u, v), g(u, v) C 1 (D) ισχύουν οι σχέσεις Πρόταση 3.1.9. Ισχύουν οι τύποι i (f ± g) = i f ± i g, i (f g) = f i g + g i f, ( ) f i = g if f i g. g g 2 1 f = df ω 2 ω 1 ω 2, 2 f = df ω 1 ω 1 ω 2. 28

Υπάρχουν συναρτήσεις q i, τέτοιες ώστε (3.1.3) d ω i = q i ω 1 ω 2. Προφανώς είναι q 1 = a 2 1 a 1 2, q 2 = b 2 1 b 1 2. a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 b 2 a 2 b 1 Για μια συνάρτηση f(u, v) C 2 (D) θέτουμε i j f := i ( j f). Ισχύει η επόμενη συνθήκη ολοκληρωσιμότητας Πρόταση 3.1.10. Για μια συνάρτηση f(u, v) C 2 (D) ισχύει 1 2 f 2 1 f + q 1 1 f + q 2 2 f = 0. Έστω τώρα γ 1 μια μηδενική καμπύλη της γραμμικής διαφορικής μορφής ω 1. Το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα s 2 = ω 2 γ 1 ονομάζεται παράμετρος του Pfaff της καμπύλης γ 1 ως προς την ω 2. Κατά μήκος της γ 1 είναι άρα οπότε (3.1.4) Τέλος έχουμε άρα, λόγω των (3.1.4), είναι ds 2 = ω 2 = b 1 du + b 2 dv και ω 1 = a 1 du + a 2 dv = 0, b 1 du ds 2 + b 2 dv ds 2 = 1, du ds 2 = a 2 a 1 b 2 a 2 b 1, df ds 2 df ds 2 ω1 =0 ω1 =0 a 1 du ds 2 + a 2 dv ds 2 = 0, dv ds 2 = = f 1 du ds 2 + f 2 dv ds 2, = a 2 f 1 + a 1 f 2 a 1 b 2 a 2 b 1, από την οποία και την (3.1.2) παίρνουμε df ds = 2 f. 2 ω1 =0 Ανάλογα, με το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα s 1 = ω 1, γ 2 a 1 a 1 b 2 a 2 b 1. ορίζεται η παράμετρος του Pfaff μιας μηδενικής καμπύλης γ 2 : ω 2 = 0 ως προς την ω 1. Γι αυτήν ισχύει df ds = 1 f. 1 ω2 =0 29

3.2 Η έννοια του κινουμένου τριάκμου - Οι εξισώσεις δομής Έστω D απλώς συναφής τόπος του R 2, όπου u, v καρτεσιανές συντεταγμένες και S = {A 0, A 1, A 2, A 3 } ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων του E 3. Υποθέτουμε, ότι η βάση είναι θετικά προσανατολισμένη. Δίνονται ακόμη B = {e i := A 0 A i i = 1, 2, 3} μια προσανατολισμένη επιφάνεια S : x = x(u, v) της κλάσης διαφορισιμότητας C 3 και ένα κινούμενο τρίακμο T (u, v) = {ε i (u, v) i = 1, 2, 3} της S, δηλαδή μια διπαραμετρική οικογένεια ορθομοναδιαίων και θετικά προσανατολισμένων βάσεων της κλάσης διαφορισιμότητας C 2. Ισχύει η παρακάτω Πρόταση 3.2.1. Υπάρχουν μονότιμα ορισμένες γραμμικές διαφορικές μορφές ω ij (u, v), i, j = 1, 2, 3, έτσι ώστε (3.2.1) d ε i = ω i1 ε 1 + ω i2 ε 2 + ω i3 ε 3. Σε κάθε σημείο P 0 (u 0, v 0 ) S αντιστοιχίζουμε τη βάση T (u 0, v 0 ) T (u, v). Ισχύουν οι επόμενες προτάσεις: Πρόταση 3.2.2. Υπάρχουν μονότιμα ορισμένες γραμμικές διαφορικές μορφές ω i (u, v), i = 1, 2, 3, έτσι ώστε (3.2.2) d x = ω 1 ε 1 + ω i ε 2 + ω i ε 3. Πρόταση 3.2.3. Οι γραμμικές διαφορικές μορφές ω i (u, v), ω ij (u, v), i, j = 1, 2, 3, συνδέονται με τις σχέσεις (3.2.3) (3.2.4) (3.2.5) ω ij + ω ji = 0, 3 d ω j = ω i ω ij, d ω ij = i=1 3 ω ik ω kj. k=1 30