5 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων

5 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ Πολλές από τις ποσότητες που μας ενδιαφέρουν μπορούν να υπολογιστούν μέσω ολοκληρωμάτων: όγκοι στερεών, μήκη καμπυλών, το έργο που απαιτείται για να αντλήσουμε κάποιο υγρό (π.χ. πετρέλαιο) από το υπέδαφος, οι δυνάμεις που ασκούνται σε υδατοφράκτες, οι συντεταγμένες των σημείων ισορροπίας στερεών αντικειμένων, κ.ά. Όλες αυτές τις ποσότητες τις ορίζουμε ως όρια αθροισμάτων Riemnn συνεχών συναρτήσεων σε κλειστά διαστήματα με άλλα λόγια, ως ολοκληρώματα και υπολογίζουμε τα όρια αυτά με τις μεθόδους του απειροστικού λογισμού. 5. Yπολογισµός όγκων µε διατµήσεις και περιστροφή γύρω από άξονα Yπολογισµός όγκων µε διατµήσεις Στερεά εκ περιστροφής: Kυκλικές διατοµές Στερεά εκ περιστροφής: ακτυλιοειδείς διατοµές Στην Eνότητα.3, Παράδειγμα 3, υπολογίσουμε τον όγκο σφαίρας διαμερίζοντάς την σε λεπτές «φέτες» σχεδόν κυλινδρικού σχήματος και αθροίζοντας τους όγκους των κυλίνδρων, οπότε καταλήξαμε να υπολογίζουμε ένα άθροισμα Riemnn. Aν είχαμε τις τωρινές μας γνώσεις στο σημείο εκείνο, θα συνεχίζαμε εκφράζοντας τον όγκο της σφαίρας ως ένα ορισμένο ολοκλήρωμα. Tώρα είμαστε σε θέση να υπολογίζουμε τον όγκο μιας μεγάλης ποικιλίας στερεών, με ολοκληρώματα. Yπολογισµός όγκων µε διατµήσεις Έστω ότι ζητούμε να υπολογίσουμε τον όγκο του στερεού του Σχήματος 5.. H διατομή του στερεού σε κάθε σημείο του διαστήματος [, b] είναι ένα χωρίο R() εμβαδού A(). Aν το A είναι συνεχής συνάρτηση του, μπορούμε να ορίσουμε τον όγκο του στερεού ως ολοκλήρωμα, που υπολογίζεται ως ακολούθως. Διατομή R( ). Eμβαδόν διατομής A(). b ΣΧΗΜΑ 5. Aν το εμβαδόν A() της διατομής R() είναι συνεχής συνάρτηση του, μπορούμε να υπολογίσουμε τον όγκο του στερεού ολοκληρώνοντας το A() από έως b. 38

38 Κεφάλαιο 5. Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων Eπίπεδο στο Προσεγγιστικός k κύλινδρος Eπίπεδο βάσεως R ( k ) στο k k k H βάση του κυλίνδρου είναι το χωρίο R( k ). EKTOΣ KΛIMAKAΣ ΣΧΗΜΑ 5. Mεγέθυνση της «φέτας» που «κόβουν» από το στερεό τα επίπεδα k και k. Φαίνεται επίσης ο κύλινδρος που προσεγγίζει τη φέτα του στερεού. Διαμερίζουμε το [, b] σε υποδιαστήματα μήκους και «κόβουμε» σε «φέτες» το στερεό, όπως θα κόβαμε ένα καρβέλι ψωμί, με επίπεδα κάθετα στον άξονα στα σημεία διαμερίσεως. H k-στή φέτα, η οποία περιέχεται μεταξύ των επιπέδων που διέρχονται από τα k και k, έχει περίπου ίσον όγκο με τον κύλινδρο που κείται μεταξύ των ίδιων επιπέδων και έχει ως βάση το χωρίο R( k ) (Σχήμα 5.). O όγκος του κυλίνδρου είναι V k εμβαδόν βάσης ύψος A( k ). Tο άθροισμα V k A( k ) προσεγγίζει τον όγκο του στερεού. Tο παραπάνω δεν είναι παρά ένα άθροισμα Riemnn της συνάρτησης A() στο διάστημα [, b], καθώς οι λεπτότητες των διαμερίσεων τείνουν στο μηδέν, αναμένουμε να βελτιώνονται οι προσεγγίσεις και έτσι ορίζουμε το ολοκλήρωμα που αποτελεί όριό τους ως τον όγκο του στερεού. Oρισµός Όγκος στερεού O όγκος στερεού με γνωστό και ολοκληρώσιμο εμβαδόν διατομής A() από έως b ισούται με το ολοκλήρωμα της συνάρτησης A από έως b, b V A() d. CD-ROM ικτυότοπος Για να εφαρμόσουμε τον τύπο αυτόν κινούμαστε ως εξής: Πώς υπολογίζουµε όγκους µε τη µέθοδο των διατµήσεων Bήµα. Σχεδιάζουμε το στερεό και μια τυπική διατομή του. Bήµα. Bρίσκουμε μια έκφραση της A(). Bήµα 3. Bρίσκουμε τα όρια ολοκλήρωσης. Bήµα. Oλοκληρώνουμε τη συνάρτηση A(), για να βρούμε τον όγκο. Παράδειγµα Όγκος πυραµίδας Tυπική διατομή 3 3 Mια πυραμίδα ύψους 3 m έχει τετράγωνη βάση πλευράς 3 m. H διατομή της πυραμίδας σε απόσταση m από την κορυφή της είναι ένα τετράγωνο πλευράς m. Bρείτε τον όγκο της πυραμίδας. Λύση 3 (m) Bήµα : Σκαρίφημα. Σχεδιάζουμε την πυραμίδα με άξονα συμμετρίας τον άξονα και κορυφή την αρχή των αξόνων, και κατασκευάζουμε μια τυπική διατομή (Σχήμα 5.3). ΣΧΗΜΑ 5.3 Oι διατομές της πυραμίδας του Παραδείγματος είναι τετράγωνα. Bήµα : Έκφραση του A(). H διατομή σε τυχόν είναι ένα τετράγωνο πλευράς m, με εμβαδόν A().

5.. Υπολογισµός όγκων µε διατµήσεις και περιστροφή γύρω από άξονα 383 Bήµα 3: Όρια ολοκλήρωσης. Oι τετράγωνες διατομές εκτείνονται από έως 3. Bήµα : Oλοκληρώνουμε για να βρούμε τον όγκο. V 3 A() d 3 d 3 3 3 9 m 3 CD-ROM ικτυότοπος Βιογραφικά στοιχεία Bonventur Cvlieri (598-67) Παράδειγµα Tο θεώρηµα του Cvlieri Tο θεώρημα του Cvlieri μάς λέει ότι στερεά που έχουν ίσο ύψος και ταυτόσημα εμβαδά διατομής σε κάθε ύψος, καταλαμβάνουν ίσους όγκους (Σχήμα 5.). Aυτό έπεται αμέσως από τον ορισμό του όγκου, διότι τόσο η συνάρτηση εμβαδού διατομής A() όσο και το διάστημα [, b] συμπίπτουν για τα δύο στερεά. b Ίσοι όγκοι Ίσες επιφάνειες διατομής σε κάθε επίπεδο ΣΧΗΜΑ 5. Tο θεώρημα του Cvlieri: Tα στερεά αυτά έχουν ίσους όγκους. Mπορείτε να πεισθείτε γι αυτό συγκρίνοντας δυο στοίβες νομισμάτων. 5 3 9 3, 9 ΣΧΗΜΑ 5.5 H σφηνοειδής βαθμίδα του Παραδείγματος 3, διατετμημένη κάθετα στον άξονα. Oι διατομές είναι ορθογώνια παραλληλόγραμμα. Παράδειγµα 3 Όγκος σφηνοειδούς βαθµίδας Δύο επίπεδα τέμνουν έναν κύλινδρο ακτίνας 3, αποκόπτοντας από αυτόν τη σφηνοειδή βαθμίδα που φαίνεται στο Σχήμα 5.5. Tο ένα επίπεδο είναι κάθετο στον άξονα του κυλίνδρου. Tο άλλο επίπεδο τέμνει το πρώτο υπό γωνία 5 στο κέντρο του κυλίνδρου. Yπολογίστε τον όγκο της σφηνοειδούς βαθμίδας. Λύση Bήµα : Σκαρίφημα. Σχεδιάζουμε τη σφηνοειδή βαθμίδα και κατασκευάζουμε μια τυπική διατομή κάθετη στον άξονα (Σχήμα 5.5). Bήµα : Έκφραση του A(). H διατομή στο είναι ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο εμβαδού A()= (ύψος)(πλάτος) = () ( 9 ) = 9 τετραγωνικές μονάδες. Bήµα 3: Όρια ολοκλήρωσης. Oι ορθογώνιες διατομές εκτείνονται από έως 3. Bήµα : Oλοκληρώνουμε για να βρούμε τον όγκο. V b A() d 3 9 d

38 Κεφάλαιο 5. Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων 3 (9 ) 3 / 3 Θέτουμε u 9, du d, ολοκληρώνουμε, και εκφράζουμε πάλι ως προς. 3 (9)3 / = 8 κυβικές μονάδες R() (α) Στερεά εκ περιστροφής: Kυκλικές διατοµές H κοινότερη εφαρμογή της μεθόδου των διατμήσεων αφορά στερεά εκ περιστροφής. Στερεά εκ περιστροφής είναι στερεά των οποίων το σχήμα παράγεται με την περιστροφή των επίπεδων χωρίων γύρω από άξονες. Tο μόνο που αλλάζει σε σχέση με πριν είναι η έκφραση του εμβαδού διατομής A(). Tώρα, η τυπική διατομή του στερεού σε διεύθυνση κάθετη στον άξονα περιστροφής, είναι ένας δίσκος ακτίνας R() και εμβαδού A() (ακτίνα) [R()]. Για τον λόγο αυτό, η συγκεκριμένη μέθοδος καλείται ενίοτε και μέθοδος των δίσκων. Aκολουθούν μερικά παραδείγματα. Παράδειγµα τον άξονα ) Στερεό εκ περιστροφής (Περιστροφή ως προς Tο χωρίο που περικλείεται από την καμπύλη,, και τον άξονα περιστρέφεται ως προς τον άξονα σχηματίζοντας ένα στερεό. Bρείτε τον όγκο του. Λύση Σχεδιάζουμε το χωρίο, μια τυπική ακτίνα, και το παραγόμενο στερεό εκ περιστροφής (Σχήμα 5.6). O όγκος ισούται με R() (β) V b p[r()] d p[ ] d = d = G R() = = () = 8 κυβικές μονάδες. Στο επόμενο παράδειγμα, άξονας περιστροφής δεν είναι ο άξονας, ωστόσο η μέθοδος υπολογισμού του όγκου δεν αλλάζει: Oλοκληρώνουμε την ποσότητα (ακτίνα), με κατάλληλα όρια ολοκλήρωσης. ΣΧΗΜΑ 5.6 Tο χωρίο (α) και το στερεό (β) του Παραδείγματος. Παράδειγµα 5 Στερεό εκ περιστροφής (Περιστροφή ως προς την ευθεία ) Bρείτε τον όγκο του στερεού που παράγεται περιστρέφοντας ως προς την ευθεία το χωρίο που φράσσεται από την και από τις ευθείες,. Λύση Σχεδιάζουμε το χωρίο, μια τυπική ακτίνα, και το παραγόμενο στερεό εκ περιστροφής (Σχήμα 5.7). O όγκος του ισούται με V p[r()] d p d R() =

5.. Υπολογισµός όγκων µε διαρµήσεις και περιστροφή γύρω από άξονα 385 R() p d = C 3/ + G = 7 κυβικές μονάδες. 3 6 R() (α) (, ) Eύρεση όγκων για κυκλικές διατοµές (µέθοδος των δίσκων) Bήµα. Σχεδιάζουμε το χωρίο και βρίσκουμε τη συνάρτηση ακτίνας R(). Bήµα. Tετραγωνίζουμε την R() και πολλαπλασιάζουμε με. Bήµα 3. Oλοκληρώνουμε για να βρούμε τον όγκo. CD-ROM ικτυότοπος (β) (, ) ΣΧΗΜΑ 5.7 Tο χωρίο (α) και το στερεό (β) του Παραδείγματος 5. Για να βρούμε τον όγκο που παράγεται αν περιστρέψουμε ως προς τον άξονα ένα χωρίο που περικλείεται από τον άξονα και την καμπύλη R( ), c d, εφαρμόζουμε την ίδια μέθοδο αλλά με το στη θέση του. Στην περίπτωση αυτή, η κυκλική διατομή έχει εμβαδόν A( ) [ακτίνα] [R()]. Παράδειγµα 6 Περιστροφή ως προς τον άξονα Bρείτε τον όγκο του στερεού που παράγεται αν περιστρέψουμε ως προς τον άξονα το χωρίο που περικλείεται από τον άξονα και από την καμπύλη /,. Λύση Σχεδιάζουμε το χωρίο, μια τυπική ακτίνα, και το παραγόμενο στερεό εκ περιστροφής (Σχήμα 5.8). O όγκος ισούται με V p[r()] d p p d d p p 3 = 3 κυβικές μονάδες R() = R() (α), R() (β) ΣΧΗΜΑ 5.8 Tο χωρίο (α) και το στερεό (β) του Παραδείγματος 6.

386 Κεφάλαιο 5. Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων R() 3 ( ) (3, ) Παράδειγµα 7 Περιστροφή ως προς κατακόρυφο άξονα Bρείτε τον όγκο του στερεού που παράγεται αν περιστρέψουμε ως προς την ευθεία 3 το χωρίο που περικλείεται από την παραβολή και από την ευθεία 3. R() 3 (α) 3 (β) (3, ) 3 5 ΣΧΗΜΑ 5.9 Tο χωρίο (α) και το στερεό (β) του Παραδείγματος 7. Λύση Σχεδιάζουμε το χωρίο, μια τυπική ακτίνα, και το παραγόμενο στερεό εκ περιστροφής (Σχήμα 5.9). O όγκος ισούται με V p p[r()] d p[ ] d [ ] d p 3 3 5 5 = 6 5 Στερεά εκ περιστροφής: ακτυλιοειδείς διατοµές R() = 3 ( + ) = Aν το περιστρεφόμενο χωρίο δεν τέμνει ούτε συνορεύει με τον άξονα περιστροφής, τότε το στερεό παρουσιάζει μια εσωτερική διαμπερή κοιλότητα (είναι «κούφιο») (Σχήμα 5.). Oι κάθετες στον άξονα περιστροφής διατομές είναι κυκλικοί δακτύλιοι και όχι κυκλικοί δίσκοι. Oι διαστάσεις ενός τυπικού δακτυλίου είναι Eξωτερική ακτίνα: R() Eσωτερική ακτίνα: r() Tο εμβαδόν κάθε κυκλικού δακτυλίου είναι A() [R()] [r()] ([R()] [r()] ). κυβικές μονάδες. = R() = r() = R() = r() b ΣΧΗΜΑ 5. Oι διατομές του στερεού εκ περιστροφής εδώ είναι κυκλικοί δακτύλιοι, όχι δίσκοι, κι έτσι το ολοκλήρωμα A() d καταλήγει σε διαφορετική μαθηματική έκφραση απ ό,τι παίρναμε ώς τώρα. b Παράδειγµα 8 τον άξονα ) ακτυλιοειδής διατοµή (Περιστροφή ως προς Tο χωρίο που φράσσεται από την καμπύλη και την ευθεία 3 περιστρέφεται ως προς τον άξονα. Bρείτε τον όγκο του στερεού εκ περιστροφής.

5.. Υπολογισµός όγκων µε διατµήσεις και περιστροφή γύρω από άξονα 387 R() 3 (, 5) r() Διάστημα ολοκλήρωσης 3 (, ) ΣΧΗΜΑ 5. Tο χωρίο του Παραδείγματος 8, καθώς διατρέχεται από ένα ευθύγραμμο τμήμα κάθετο στον άξονα περιστροφής. Με την περιστροφή του χωρίου ως προς τον άξονα, το ευθύγραμμο τμήμα σαρώνει την επιφάνεια ενός κυκλικού δακτυλίου. R() 3 (, 5) r() (, ) Λύση Bήµα : Σχεδιάζουμε το χωρίο καθώς και ένα ευθύγραμμο τμήμα που το διατρέχει κάθετα στον άξονα περιστροφής (στο Σχήμα 5., το ευθύγραμμο τμήμα είναι κόκκινο). Bήµα : Bρίσκουμε τα όρια ολοκλήρωσης προσδιορίζοντας τις συντεταγμένες των σημείων τομής της καμπύλης με το ευθύγραμμο τμήμα (Σχήμα 5.). Bήµα 3: Bρίσκουμε την εξωτερική και την εσωτερική ακτίνα της δακτυλιοειδούς διατομής που σαρώνεται από το ευθύγραμμο τμήμα αν αυτό περιστραφεί ως προς τον άξονα. (Στο Σχήμα 5. σχεδιάσαμε τη διατομή, αλλά εσείς δεν είναι απαραίτητο να το κάνετε αυτό όταν λύνετε ασκήσεις.) Oι ακτίνες αυτές ορίζονται αντίστοιχα από τη μέγιστη και την ελάχιστη απόσταση των άκρων του ευθύγραμμου τμήματος από τον άξονα περιστροφής. Eξωτερική ακτίνα: R() 3 Eσωτερική ακτίνα: r() Bήµα : Yπολογίζουμε το ολοκλήρωμα όγκου. V b p([r()] [r()] ) d 3 ( )( ), p(( 3) ( ) ) d p(8 6 ) d Oι τιμές που βρήκαμε στα βήματα και 3 Yψώνουμε στο τετράγωνο και αναδιατάσσουμε = 8 3 3 3 5 5 = 7 5 κυβικές μονάδες. Δακτυλιοειδής διατομή Eξωτερική ακτίνα: R() 3 Eσωτερική ακτίνα: r() ΣΧΗΜΑ 5. H εσωτερική και η εξωτερική ακτίνα του δακτυλίου που σαρώνεται από το ευθύγραμμο τμήμα του Σχήματος 5.. Για την εύρεση όγκου στερεού που παράγεται κατά την περιστροφή ως προς τον άξονα, χρησιμοποιούμε την ίδια διαδικασία, αλλά ολοκληρώνουμε ως προς αντί ως προς. Tο εμβαδόν του δακτυλίου είναι R r. r R Πώς βρίσκουµε όγκους στερεών µε δακτυλιοειδείς διατοµές Bήµα. Σχεδιάζουμε το χωρίο, καθώς και ένα ευθύγραμμο τμήμα που το διατρέχει και είναι κάθετο στον άξονα περιστροφής. Kαθώς το χωρίο περιστρέφεται, το ευθύγραμμο τμήμα θα διαγράψει μια τυπική δακτυλιοειδή διατομή του παραγόμενου στερεού. Bήµα. Bρίσκουμε τα όρια ολοκλήρωσης. Bήµα 3. Bρίσκουμε την εξωτερική και την εσωτερική ακτίνα του δακτυλίου που σαρώνει το ευθύγραμμο τμήμα. Bήµα. Oλοκληρώνουμε, για να βρούμε τον όγκo.

388 Κεφάλαιο 5. Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων Παράδειγµα 9 τον άξονα ) ακτυλιοειδής διατοµή (περιστροφή ως προς Tο χωρίο που φράσσεται από την παραβολή και την ευθεία στο πρώτο τεταρτημόριο περιστρέφεται ως προς τον άξονα. Bρείτε τον όγκο του παραγόμενου στερεού. Λύση Bήµα : Σχεδιάζουμε το χωρίο, καθώς και ένα ευθύγραμμο τμήμα που το διατρέχει κάθετα στον άξονα περιστροφής, ο οποίος στην περίπτωσή μας είναι ο άξονας (Σχήμα 5.3). Διάστημα ολοκλήρωσης R() r() δηλ. δηλ. (, ) ΣΧΗΜΑ 5.3 Tο χωρίο, τα όρια ολοκλήρωσης, και οι ακτίνες του δακτυλίου του Παραδείγματος 9. Bήµα : H ευθεία και η παραβολή τέμνονται στα σημεία και, άρα τα όρια ολοκλήρωσης είναι c και d. Bήµα 3: Oι ακτίνες του δακτυλίου που σαρώνεται από το ευθύγραμμο τμήμα είναι R(), r( ) / (Σχήματα 5.3 και 5.). Bήµα : Oλοκληρώνουμε για να βρούμε τον όγκο: V d p([r()] [r()] ) d c r() p d = R() d = 3 Oι τιμές που βρήκαμε στα βήματα και 3 = 8 κυβικές μονάδες. 3 ΣΧΗΜΑ 5. H δακτυλιοειδής διατομή που σαρώνεται από το ευθύγραμμο τμήμα στο Σχήμα 5.3. AΣΚΗΣΕΙΣ 5. Eµβαδά διατοµών Στις Aσκήσεις και, βρείτε έναν τύπο για το εμβαδόν A() των διατομών του στερεού που είναι κάθετες στον άξονα.. Tο στερεό κείται μεταξύ επιπέδων που τέμνουν κάθετα τον άξονα στα σημεία και. Σε όλες τις περιπτώσεις, οι κάθετες στον άξονα διατομές του στερεού εκτείνονται από το ημικύκλιο έως το ημικύκλιο. (α) Oι διατομές είναι κυκλικοί δίσκοι που τέμνονται σε ίσα μέρη από το επίπεδο.

5.. Υπολογισµός όγκων µε διατµήσεις και περιστροφή γύρω από άξονα 389 (β) Oι διατομές είναι τετράγωνα με βάσεις που κείνται στο επίπεδο. (γ) Oι διατομές είναι τετράγωνα με διαγωνίους που κείνται στο επίπεδο. (δ) Oι διατομές είναι ισόπλευρα τρίγωνα με βάσεις που κείνται στο επίπεδο. (γ) Oι διατομές είναι τετράγωνα με διαγωνίους που κείνται στο επίπεδο. (Tο μήκος της διαγωνίου κάθε τετραγώνου ισούται με επί το μήκος της πλευράς.) Yπολογισµός όγκων µε διατµήσεις Bρείτε τους όγκους των στερεών στις Aσκήσεις 3-. 3. Tο στερεό κείται μεταξύ επιπέδων που τέμνουν κάθετα τον άξονα στα σημεία και. Oι κάθετες στον άξονα διατομές του στερεού είναι τετράγωνα με διαγωνίους που εκτείνονται από την παραβολή έως την παραβολή.. Tο στερεό κείται μεταξύ επιπέδων που τέμνουν κάθετα τον άξονα στα σημεία και. Oι κάθετες στον άξονα διατομές του στερεού είναι κυκλικοί δίσκοι με διαμέτρους που εκτείνονται από την παραβολή έως την παραβολή. (δ) Oι διατομές είναι ισόπλευρα τρίγωνα με βάσεις που κείνται στο επίπεδο.. Tο στερεό κείται μεταξύ επιπέδων που είναι κάθετα στον άξονα στα σημεία και. Oι κάθετες στον άξονα διατομές του στερεού εκτείνονται από την παραβολή έως την παραβολή. (α) Oι διατομές είναι κυκλικοί δίσκοι που τέμνονται σε ίσα μέρη από το επίπεδο. 5. Tο στερεό κείται μεταξύ επιπέδων που τέμνουν κάθετα τον άξονα στα σημεία και. Oι κάθετες στον άξονα διατομές του στερεού είναι τετράγωνα με βάσεις που εκτείνονται από το ημικύκλιο έως το ημικύκλιο. 6. Tο στερεό κείται μεταξύ επιπέδων που τέμνουν κάθετα τον άξονα στα σημεία και. Oι κάθετες στον άξονα διατομές του στερεού είναι τετράγωνα με διαγωνίους που εκτείνονται από το ημικύκλιο έως το ημικύκλιο. 7. H βάση του στερεού είναι το χωρίο μεταξύ της καμπύλης sin και του διαστήματος [, ] στον άξονα. Oι κάθετες στον άξονα διατομές του στερεού είναι (α) ισόπλευρα τρίγωνα με βάσεις που εκτείνονται από τον άξονα έως την καμπύλη, όπως φαίνεται στο σχήμα sin (β) Oι διατομές είναι τετράγωνα με βάσεις που κείνται στο επίπεδο. (β) τετράγωνα με βάσεις που εκτείνονται από τον άξονα έως την καμπύλη. 8. Tο στερεό κείται μεταξύ επιπέδων που τέμνουν κάθετα τον άξονα στα σημεία / 3 και / 3. Oι κάθετες στον άξονα διατομές του στερεού είναι (α) κυκλικοί δίσκοι με διαμέτρους που εκτείνονται από την καμπύλη tn έως την καμπύλη sec (β) τετράγωνα με βάσεις που εκτείνονται από την κα-

39 Κεφάλαιο 5. Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων μπύλη tn έως την καμπύλη sec. 9. Tο στερεό κείται μεταξύ επιπέδων που τέμνουν κάθετα τον άξονα στα σημεία και. Oι κάθετες στον άξονα διατομές του στερεού είναι κυκλικοί δίσκοι με διαμέτρους που εκτείνονται από τον άξονα έως την παραβολή 5.. H βάση του στερεού είναι ο κυκλικός δίσκος. Oι κάθετες στον άξονα διατομές του στερεού είναι ισοσκελή ορθογώνια τρίγωνα με τη μία τους πλευρά επί του δίσκου. 3. Περιστροφή ως προς τον άξονα. Περιστροφή ως προς τον άξονα 3/. Ένα σπειροειδές στερεό Ένα τετράγωνο μήκους s κείται σε επίπεδο κάθετο στην ευθεία L. Mια κορυφή του τετραγώνου ανήκει στην ευθεία L. Mετακινούμε το τετράγωνο κατά μήκος h επί της L, ενώ ταυτόχρονα το περιστρέφουμε μια πλήρη φορά περί την L, παράγοντας έτσι μία στήλη με σπειροειδείς πτυχώσεις (όπως το τιρμπουσόν) και τετράγωνες διατομές. (α) Nα βρεθεί ο όγκος της στήλης. (β) Mάθετε γράφοντας Πόσος θα είναι ο όγκος αν γίνουν δύο πλήρεις περιστροφές αντί μίας; Aιτιολογήστε την απάντησή σας.. Mάθετε γράφοντας Ένα στερεό κείται μεταξύ επιπέδων που τέμνουν κάθετα τον άξονα στα σημεία και. Oι διατομές είναι κυκλικοί δίσκοι με διαμέτρους που εκτείνονται από την ευθεία / έως την ευθεία όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα. Eξηγήστε για ποιον λόγο το στερεό αυτό έχει ίσο όγκο με τον ορθό κυκλικό κώνο ακτίνας βάσης 3 και ύψους. Στερεά εκ περιστροφής: Kυκλικές διατοµές Στις Aσκήσεις 3-6, βρείτε τον όγκο του στερεού που παράγεται αν περιστρέψουμε το σκιασμένο χωρίο ως προς τον εκάστοτε άξονα. 5. Περιστροφή ως προς τον άξονα 3 6. Περιστροφή ως προς τον άξονα tn sin cos Στις Aσκήσεις 7-, βρείτε τους όγκους των στερεών που παράγονται αν περιστρέψουμε ως προς τον άξονα τα χωρία που φράσσονται από τις ευθείες και τις καμπύλες που δίδονται. 7.,, 8. 3,, 9. 9,.,. cos, /,,. sec,, /, / Στις Aσκήσεις 3 και, βρείτε τον όγκο του στερεού που παράγεται αν περιστρέψουμε το εκάστοτε χωρίο ως προς την ευθεία που δίδεται. 3. Tο χωρίο ανήκει στο πρώτο τεταρτημόριο και φράσσεται άνωθεν από την ευθεία, κάτωθεν από την καμπύλη sec tn, και εξ αριστερών από τον άξονα. Άξονας περιστροφής είναι η ευθεία.. Tο χωρίο ανήκει στο πρώτο τεταρτημόριο και φράσσεται άνωθεν από την ευθεία, κάτωθεν από την καμπύλη sin, /, και εξ αριστερών από τον άξονα. Άξονας περιστροφής είναι η ευθεία. Στις Aσκήσεις 5-3, βρείτε τους όγκους των στερεών που παράγονται αν περιστρέψουμε ως προς τον άξονα τα χω- CD-ROM ικτυότοπος

5.. Υπολογισµός όγκων µε διατµήσεις και περιστροφή γύρω από άξονα 39 CD-ROM ικτυότοπος ρία που φράσσονται από τις ευθείες και τις καμπύλες που δίδονται. 5. Tο χωρίο περικλείεται από τις 5,,, 6. Tο χωρίο περικλείεται από τις 3 /,, 7. Tο χωρίο περικλείεται από τις sin, /, 8. Tο χωρίο περικλείεται από τις cos (p/ ),, 9. ( / ),,, 3 3. / ( ),, Στερεά εκ περιστροφής: ακτυλιοειδείς διατοµές Στις Aσκήσεις 3 και 3, βρείτε τους όγκους των στερεών που παράγονται αν περιστρέψουμε τα γραμμοσκιασμένα χωρία ως προς τον εκάστοτε άξονα. 3. Άξονας 3. Άξονας tn cos Στις Aσκήσεις 33-38, βρείτε τους όγκους των στερεών που παράγονται αν περιστρέψουμε ως προς τον άξονα τα χωρία που φράσσονται από τις ευθείες και τις καμπύλες που δίδονται. 33.,, 3.,, 35., 3 36., 37. sec,, / / 38. sec, tn,, Στις Aσκήσεις 39-, βρείτε τον όγκο του στερεού που παράγεται αν περιστρέψουμε το εκάστοτε χωρίο ως προς τον άξονα. 39. Tο χωρίο περικλείεται από τρίγωνο με κορυφές τα σημεία (, ), (, ), και (, ). Tο χωρίο περικλείεται από τρίγωνο με κορυφές τα σημεία (, ), (, ), και (, ). Tο χωρίο ανήκει στο πρώτο τεταρτημόριο και φράσσεται άνωθεν από την παραβολή, κάτωθεν από τον άξονα, και εκ δεξιών από την ευθεία.. Tο χωρίο ανήκει στο πρώτο τεταρτημόριο και φράσσεται εξ αριστερών από τον κύκλο 3, εκ δεξιών από την ευθεία 3, και άνωθεν από την ευθεία 3. Στις Aσκήσεις 3 και, βρείτε τον όγκο του στερεού που παράγεται αν περιστρέψουμε ως προς τον εκάστοτε άξονα το χωρίο που δίδεται. 3. Tο χωρίο ανήκει στο πρώτο τεταρτημόριο και φράσσεται άνωθεν από την καμπύλη, κάτωθεν από τον άξονα, και εκ δεξιών από την ευθεία. Άξονας περιστροφής είναι η ευθεία.. Tο χωρίο ανήκει στο δεύτερο τεταρτημόριο και φράσσεται άνωθεν από την καμπύλη 3, κάτωθεν από τον άξονα, και εξ αριστερών από την ευθεία. Άξονας περιστροφής είναι η ευθεία. Όγκοι στερεών εκ περιστροφής 5. Bρείτε τον όγκο του στερεού που παράγεται αν περιστρέψουμε ως προς τον εκάστοτε άξονα το χωρίο που φράσσεται από την καμπύλη και τις ευθείες και. (α) Περιστροφή ως προς τον άξονα. (β) Περιστροφή ως προς τον άξονα. (γ) Περιστροφή ως προς την ευθεία. (δ) Περιστροφή ως προς την ευθεία. 6. Bρείτε τον όγκο του στερεού που παράγεται αν περιστρέψουμε ως προς τον εκάστοτε άξονα το τριγωνικό χωρίο που φράσσεται από τις ευθείες,, και. (α) Περιστροφή ως προς την ευθεία. (β) Περιστροφή ως προς την ευθεία. 7. Bρείτε τον όγκο του στερεού που παράγεται αν περιστρέψουμε ως προς τον εκάστοτε άξονα το χωρίο που φράσσεται από την παραβολή και την ευθεία. (α) Περιστροφή ως προς την ευθεία. (β) Περιστροφή ως προς την ευθεία. (γ) Περιστροφή ως προς την ευθεία. 8. Eκτελώντας την κατάλληλη ολοκλήρωση, βρείτε τον όγκο του στερεού που παράγεται αν περιστρέψουμε το τριγωνικό χωρίο που έχει κορυφές τα σημεία (, ), (b, ), (, h), ως προς (α) τον άξονα (β) τον άξονα. Θεωρία και εφαρµογές 9. Όγκος σπείρας O κυκλικός δίσκος περιστρέφεται ως προς την ευθεία b (b ) παράγοντας έτσι ένα στερεό σχήματος σαμπρέλας που καλείται σπείρα. Bρείτε τον όγκο του. (Yπόδειξη: d /, αφού το ολοκλήρωμα αυτό δεν είναι παρά το εμβαδόν ημικυκλικού χωρίου ακτίνας.) 5. Όγκος ενός µπωλ Tο σχήμα ενός μπωλ μπορεί να παραχθεί αν περιστρέψουμε ως προς τον άξονα το τμήμα της καμπύλης / από έως 5. (α) Bρείτε τον όγκο του μπωλ.

39 Κεφάλαιο 5. Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων (β) Συναφείς ρυθµοί Aν γεμίζουμε το μπωλ με νερό, έχοντας σταθερό ρυθμό 3 κυβικών μονάδων μήκους ανά δευτερόλεπτο, πόσο γρήγορα θα ανεβαίνει η στάθμη του νερού όταν το νερό έχει βάθος μονάδες μήκους; 5. Όγκος ενός µπωλ (α) Ένα ημισφαιρικό μπωλ ακτίνας περιέχει νερό σε βάθος h. Bρείτε τον όγκο του νερού μέσα στο μπωλ. (β) Συναφείς ρυθμοί Σε ένα τσιμεντένιο ημισφαιρικό μπωλ ακτίνας 5 m που βυθίζεται, εισρέει νερό με ρυθμό, m 3 / sec. Πόσο γρήγορα ανέρχεται η στάθμη του νερού στο μπωλ όταν το νερό έχει βάθος m; 5. Mάθετε γράφοντας Eξηγήστε πώς θα μπορούσαμε να εκτιμήσουμε τον όγκο ενός στερεού εκ περιστροφής αν μετρούσαμε τη σκιά του στερεού που σχηματίζεται σε ένα τραπέζι παράλληλο προς τον άξονα περιστροφής από φωτεινή πηγή που βρίσκεται ακριβώς πάνω από το στερεό. 53. Όγκος ηµισφαιρίου Αποδείξτε τον τύπο V (/ 3) R 3 του όγκου ημισφαιρίου ακτίνας R, συγκρίνοντας τις διατομές του με τις διατομές στερεού ορθού κυκλικού κυλίνδρου ακτίνας R και ύψους R, από τον οποίο αποκόπτουμε έναν στερεό ορθό κυκλικό κώνο ακτίνας βάσης R και ύψους R, όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα. h R h R 5. Συµφωνία τύπων όγκων Oι τύποι όγκων που χρησιμοποιούμε στον απειροστικό λογισμό συμφωνούν με τους καθιερωμένους τύπους που μας είναι γνωστοί από τη γεωμετρία, υπό την έννοια ότι εφαρμοζόμενοι στα ίδια συστήματα δίδουν το ίδιο αποτέλεσμα. (α) Για παράδειγμα, δείξτε ότι αν περιστρέψουμε ως προς τον άξονα το χωρίο που περικλείεται από το ημικύκλιο και τον άξονα, οπότε παράγεται μια στερεά σφαίρα, τότε ο τύπος του όγκου που αναφέραμε στην αρχή της παρούσας ενότητας θα δώσει αποτέλεσμα (/ 3) 3, ως όφειλε. (β) Mε μεθόδους απειροστικού λογισμού βρείτε τον όγκο του ορθού κυκλικού κώνου ύψους h και ακτίνας βάσης r. 55. Σχεδιάζοντας ένα wok Σας έχει ανατεθεί η σχεδίαση ενός wok (είδος κινέζικου λεκανοειδούς τηγανιού), που έχει σχήμα ημισφαιρικού μπωλ με χειρολαβές. Mετά από μερικούς πειραματισμούς συμπεραίνετε ότι μπορείτε να σχεδιάσετε ένα wok χωρητικότητας περίπου 3 L, αν του δώσετε βάθος 9 cm και ακτίνα βάσης 6 cm. Για να βεβαιωθείτε, φαντάζεστε το wok σαν ένα στερεό εκ περιστροφής, του οποίου τον όγκο υπολογίζετε με ολοκλήρωμα. Mε ακρίβεια ενός τετραγωνικού εκατοστού, πόσον όγκο βρίσκετε; ( L cm 3.) R h h 56. Σχεδίαση βαριδίου εκκρεµούς Σας έχει ανατεθεί η σχεδίαση ενός ορειχάλκινου (μπρούντζινου) βαριδίου εκκρεμούς, βάρους περίπου 9 g. Aποφασίζετε να του δώσετε το σχήμα του στερεού εκ περιστροφής που φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα. Bρείτε τον όγκο του βαριδίου. Aν το συγκεκριμένο μείγμα μετάλλου που δουλεύετε έχει πυκνότητα 8,5 g/ cm 3, πόσο ζυγίζει το βαρίδιο (με ακρίβεια ενός γραμμαρίου); 57. M-min H τοξοειδής καμπύλη sin,, περιστρέφεται ως προς την ευθεία c, c, παράγοντας το στερεό που φαίνεται στο επόμενο σχήμα. (α) Bρείτε την τιμή του c που ελαχιστοποιεί τον όγκο του στερεού. Ποιος είναι ο ελάχιστος όγκος; (β) Για ποια τιμή του c στο διάστημα [, ] μεγιστοποιείται ο όγκος του στερεού; T (γ) Mάθετε γράφοντας Παραστήστε γραφικά τον όγκο του στερεού συναρτήσει του c, πρώτα για c και κατόπιν σε μεγαλύτερο πεδίο ορισμού για το c. Tι παθαίνει ο όγκος του στερεού καθώς το c απομακρύνεται από το διάστημα [, ]; Eίναι αυτό αναμενόμενο από φυσική άποψη; Aιτιολογήστε τις απαντήσεις σας. c (cm) 6 7 = sin (cm) 36 6 56 9 cm βάθος (cm) 6 (cm) = c

5.. Υπολογισµός όγκων µε διατµήσεις και περιστροφή γύρω από άξονα 393 58. Eφεδρική δεξαµενή καυσίµου Σχεδιάζετε μια εφεδρική δεξαμενή καυσίμου που πρόκειται να τοποθετηθεί κάτω από την κύρια δεξαμενή καυσίμου ενός ελικοπτέρου, ώστε αυτό να αυξήσει την ακτίνα δράσης του. Mετά από μερικούς πειραματισμούς στο σχεδιαστήριο, καταλήγετε να δώσετε στη δεξαμενή το σχήμα της επιφάνειας που παράγεται περιστρέφοντας την καμπύλη ( / 6),, ως προς τον άξονα (οι διαστάσεις είναι σε m). (α) Πόση θα είναι η χωρητικότητα της δεξαμενής σε κυβικά μέτρα (με προσέγγιση ενός κυβικού μέτρου); (β) Ένα κυβικό μέτρο χωρά λίτρα. Aν το ελικόπτερο διανύει,85 km για κάθε λίτρο καυσίμου, τότε πόσα επιπλέον km (με ακρίβεια ενός km) θα μπορεί να πετάξει το ελικόπτερο μετά την τοποθέτηση της εφεδρικής δεξαμενής; 59. οχείο Θέλουμε να εκτιμήσουμε τον όγκο ενός μικρού δοχείου αρώματος, με μόνα εργαλεία ένα κομπιουτεράκι, έναν σπάγγο, κι έναν κανόνα. Mετρούμε το ύψος του δοχείου και το βρίσκουμε ίσο με 6 cm. Kατόπιν χρησιμοποιούμε τον σπάγγο και τον κανόνα για να βρούμε τις διαδοχικές περιφέρειες του δοχείου (σε cm), μετρώντας ανά κατακόρυφα διαστήματα του μισού cm. (Kαταγράφουμε τις μετρήσεις μας καθώς διατρέχουμε το δοχείο από πάνω προς τα κάτω.) 6 Περιφέρειες 5,,8,5,6,,6 5,,8 6,3 9, 7,8 6,3 9, (α) Bρείτε τα εμβαδά των διατομών που αντιστοιχούν στις παραπάνω περιφέρειες. (β) Eκφράστε τον όγκο του δοχείου ως ολοκλήρωμα ως προς στο διάστημα [, 6]. (γ) Προσεγγίστε το ολοκλήρωμα κάνοντας χρήση του κανόνα του τραπεζίου με n. (δ) Mάθετε γράφοντας Προσεγγίστε το ολοκλήρωμα κάνοντας χρήση του κανόνα Simpson με n. Ποια από τις δύο προσεγγίσεις εμπιστεύεστε περισσότερο; Aιτιολογήστε την απάντησή σας. 6. Eκτόπισµα ιστιοφόρου Προκειμένου να βρούμε τον όγκο του νερού που εκτοπίζει ένα ιστιοφόρο, διαμερίζουμε την ίσαλη γραμμή σε ισομήκη υποδιαστήματα, μετράμε το εμβαδόν διατομής A() του βυθισμένου τμήματος του σκάφους σε κάθε σημείο διαμέρισης, και χρησιμοποιούμε τον κανόνα Simpson για να εκτιμήσουμε την τιμή του ολοκληρώματος του A() από την αρχή μέχρι το τέλος της ίσαλης γραμμής. O ακόλουθος πίνακας παραθέτει μετρήσεις που έγιναν στους «σταθμούς» έως, όπως καλούνται τα σημεία διαμέρισης, για το ιστιοφόρο ονόματι Pipedrem, τύπου «σλέπι» (ή «κέρκουρος», είδος μονοκάταρτου καϊκιού) που φαίνεται εδώ. Tο μήκος των υποδιαστημάτων (απόσταση μεταξύ διαδοχικών σταθμών) είναι h,77 m. 3 5 6 7 8 9 (α) Eκτιμήστε τον όγκο του εκτοπιζόμενου νερού (εκτόπισμα) του Pipedrem, με ακρίβεια ενός κυβικού μέτρου. Σταθμός Bυθισμένη επιφάνεια (m ),,36 3,73,3 5, 6,5 7,3 8,86 9,3 (β) Tα δεδομένα του πίνακα αναφέρονται σε θαλασσινό νερό, πυκνότητας 5 kg/m 3. Πόσο είναι το εκτόπισμα (σε kg) του Pipedrem; (Oι μετρήσεις προέρχονται από το βιβλίο Skene s Elements of Ycht Design του Frncis S. Kinne (Dodd, Med, 96.) (γ) Πρισµατικοί συντελεστές O πρισματικός συντελεστής σκάφους είναι ο λόγος του εκτοπίσματος προς τον όγκο ενός πρίσματος το οποίο έχει ύψος ίσο με το μήκος της ίσαλης γραμμής και βάση ίση με το εμβαδόν της μέγιστης βυθισμένης διατομής του σκάφους. Tα καλύτερα ιστιοφόρα έχουν πρισματικούς συντελεστές που κυμαίνονται από,5 έως,5. Bρείτε τον πρισματικό συντελεστή του Pipedrem, αν η ίσαλη γραμμή έχει μήκος 7,7 m και η μέγιστη βυθισμένη διατομή έχει εμβαδόν,5 m (στον Σταθμό 6).

39 Κεφάλαιο 5. Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων 5. Mοντέλα όγκων µε χρήση κυλινδρικών φλοιών Yπολογισµός όγκων µε κυλινδρικούς φλοιούς O τύπος των φλοιών 3 Yπάρχει άλλος ένας τρόπος υπολογισμού όγκων στερεών εκ περιστροφής, που αποβαίνει χρήσιμος σε περιπτώσεις στις οποίες ο άξονας περιστροφής είναι κάθετος στον άξονα που περιέχει το «φυσικό» διάστημα ολοκλήρωσης. Aντί να αθροίζουμε τους όγκους λεπτών φετών, αθροίζουμε όγκους λεπτών κυλινδρικών φλοιών (κελυφών) οι οποίοι εφαρμόζουν ο ένας στον άλλο, καθώς κινούμαστε από τον άξονα περιστροφής προς τα έξω, ακριβώς όπως οι δακτύλιοι ενός δέντρου. Άξονας περιστροφής 3 (Σχεδιάστηκε με Mthemtic) ΣΧΗΜΑ 5.5 Γραφική παράσταση του χωρίου του Παραδείγματος, πριν την περιστροφή. Άξονας περιστροφής 3 ΣΧΗΜΑ 5.6 Tο χωρίο του Σχήματος 5.5 περιστρέφεται ως προς την ευθεία σχηματίζοντας ένα στερεό «κέικ». Tο φυσικό διάστημα ολοκλήρωσης είναι κατά μήκος του άξονα, κάθετο στον άξονα περιστροφής. (Παράδειγμα ) k 3 ΣΧΗΜΑ 5.7 Aποκόπτουμε λεπτούς κυλινδρικούς φλοιούς, από μέσα προς τα έξω. Kάθε φλοιός βρίσκεται στη θέση k μεταξύ και 3 και έχει πάχος. (Παράδειγμα ) Yπολογισµός όγκων µε κυλινδρικούς φλοιούς Aκολουθεί ένα παράδειγμα χρήσης λεπτών κυλινδρικών φλοιών για την εύρεση του όγκου ενός στερεού. Παράδειγµα Eύρεση όγκου µε χρήση φλοιών Tο χωρίο που περικλείεται από τον άξονα και από την παραβολή f() 3 περιστρέφεται ως προς την ευθεία παράγοντας ένα στερεό (Σχήματα 5.5 και 5.6), του οποίου ζητείται ο όγκος. Λύση Aν προσπαθούσαμε εδώ να ολοκληρώσουμε ως προς θα αντιμετωπίζαμε δυσκολίες, αφού δεν είναι εύκολο να φέρουμε τη δοθείσα παραβολική εξίσωση σε μορφή που να δίδει το συναρτήσει του. (Για να δείτε τι εννοούμε, προσπαθήστε να υπολογίσετε τον όγκο χρησιμοποιώντας δακτυλιοειδείς διατομές.) Για να ολοκληρώσουμε ως προς, θα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε κυλινδρικούς φλοιούς, που σημαίνει ότι «κόβουμε» το στερεό κατά έναν διαφορετικό τρόπο. Bήµα : Aντί να διατμήσουμε σε λεπτά σφηνοειδή τεμάχια (όπως κόβουμε συνήθως το κέικ με το μαχαίρι), αποκόπτουμε κυλινδρικούς φλοιούς ως εξής. Mε το μαχαίρι κατακόρυφο (παράλληλο στον άξονα περιστροφής) κάνουμε μια κυκλική τομή του στερεού κοντά στην εσωτερική τρύπα. Φτιάξαμε ήδη τον πρώτο κυλινδρικό μας φλοιό. Kατόπιν κόβουμε άλλον ένα κυλινδρικό φλοιό, με την ίδια διαδικασία, δηλαδή με κυκλική τομή κοντά στη (μεγαλύτερη τώρα) τρύπα στο εσωτερικό του στερεού, κ.ο.κ. Oι ακτίνες των κυλίνδρων σταδιακά αυξάνονται, και τα ύψη τους ακολουθούν το περίγραμμα της παραβολής: από μικρά που είναι μεγαλώνουν αρχικά, και κατόπιν μικραίνουν πάλι (Σχήμα 5.7). Kάθε φλοιός έχει πάχος. H ακτίνα του ισούται περίπου με ( k ), και το ύψος του είναι περίπου 3 k k. Bήµα : Aν ξετυλίξουμε τον κύλινδρο που βρίσκεται στο σημείο k και τον απλώσουμε στο επίπεδο, θα πάρουμε (κατ ουσία) μια ορθογώνια πλάκα πάχους (Σχήμα 5.8). H εσωτερική περιφέρεια του κυλίνδρου είναι ακτίνα ( k ), που είναι και το μήκος της μεγάλης πλευράς της ορθογώνιας πλάκας. Συνεπώς, ο όγκος του (σχεδόν) ορθογώνιου παραλληλεπίπεδου στερεού είναι DV μήκος ύψος πάχος ( k ) (3 k k ). Bήµα 3: Aν αθροίσουμε τους όγκους των επιμέρους κυλινδρικών φλοιών στο διάστημα 3, προκύπτει ένα άθροισμα Riemnn ( k )(3 k k ). Aν τώρα πάρουμε το όριο καθώς το πάχος l, προκύπτει το ολοκλήρωμα

5.. Μοντέλα όγκων µε χρήση κυλινδρικών φλοιών 395 CD-ROM ικτυότοπος Βιογραφικά στοιχεία Eσωτερική περιφέρεια Ø ακτίνα = ( + k ) Aκτίνα = + k Aρχιμήδης (87 π.x.- π.x.) (3 k k ) h (3 k k ) l ( + k ) πάχος ΣΧΗΜΑ 5.8 Φανταστείτε ότι αποκόπτουμε έναν κυλινδρικό φλοιό και τον ξετυλίγουμε στο επίπεδο, οπότε προκύπτει ένα (περίπου) ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο στερεό. (Παράδειγμα ) Kατακόρυφος άξονας περιστροφής k k = f() c k k b ΣΧΗΜΑ 5.9 O φλοιός που σαρώνεται από το k-στό ορθογώνιο. Ύψος ορθογωνίου = f(c k ) V 3 p( )(3 ) d 3 p(3 3 3 ) d p 3 ( 3 3 ) d p 3 3 3 3 = 5 κυβικές μονάδες. O τύπος των φλοιών Yποθέστε ότι περιστρέφουμε το χρωματισμένο χωρίο του Σχήματος 5.9 ως προς έναν κατακόρυφο άξονα, ώστε να παραγάγουμε το στερεό. Mπορούμε να εκτιμήσουμε τον όγκο του στερεού προσεγγίζοντας το χωρίο με ορθογώνια παραλληλόγραμμα τα οποία ορίζονται από μια διαμέριση P του διαστήματος [, b] που διατρέχει την κάτω πλευρά του χωρίου. Tο τυπικό προσεγγιστικό ορθογώνιο θα έχει πλάτος k και ύψος f(c k ), όπου c k είναι το μέσον της βάσης του ορθογωνίου. Ένας γεωμετρικός τύπος μάς λέει ότι ο όγκος του φλοιού που σαρώνεται από το περιστρεφόμενο ορθογώνιο ισούται με V k μέση ακτίνα φλοιού ύψος φλοιού πάχος. Προσεγγίζουμε τον όγκο του στερεού αθροίζοντας τους όγκους των φλοιών που σαρώνονται από τα n ορθογώνια της διαμέρισης P: V n k V k. Tο όριο του αθροίσματος αυτού καθώς P l δίδει τον όγκο του στερεού: V lim P l DV k b = ακτίνα ύψος ( φλοιού)( φλοιού) d.

396 Κεφάλαιο 5. Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων Tύπος των φλοιών για περιστροφή ως προς κατακόρυφο άξονα O όγκος του στερεού που παράγεται από την περιστροφή ως προς κατακόρυφο άξονα του χωρίου που περικλείεται από τον άξονα και από τη γραφική παράσταση μιας συνεχούς συνάρτησης f(), b, ισούται με V b = ακτίνα ύψος ( φλοιού)( φλοιού) d. Aκτίνα φλοιού Πάχος φλοιού d f() Διάστημα ολοκλήρωσης Ύψος φλοιού ΣΧΗΜΑ 5. Tο χωρίο, οι διαστάσεις του φλοιού, και το διάστημα ολοκλήρωσης του Παραδείγματος. Παράδειγµα τον άξονα Kυλινδρικοί φλοιοί που περιστρέφονται ως προς Tο χωρίο που φράσσεται από την καμπύλη, τον άξονα, και την ευθεία περιστρέφεται ως προς τον άξονα ώστε να παραγάγει ένα στερεό, του οποίου ζητείται ο όγκος. Λύση Bήµα : Σχεδιάζουμε το χωρίο καθώς και ένα ευθύγραμμο τμήμα που το διατρέχει παράλληλα προς τον άξονα περιστροφής (Σχήμα 5.). Σημειώνουμε στο σχήμα το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος (δηλαδή το ύψος του φλοιού) και την απόσταση από τον άξονα περιστροφής (ακτίνα φλοιού). Tο (απειροστό) «πάχος» του ευθύγραμμου τμήματος είναι το πάχος του φλοιού d. (Για διδακτικούς λόγους, ο φλοιός φαίνεται στο Σχήμα 5..) Aκτίνα φλοιού (, ) Ύψος φλοιού Διάστημα ολοκλήρωσης ΣΧΗΜΑ 5. O φλοιός που σαρώνεται από το ευθύγραμμο τμήμα του Σχήματος 5.. Bήµα : Bρίσκουμε τα όρια ολοκλήρωσης για τη μεταβλητή πάχους (που παίρνει τιμές από έως b ) και γράφουμε το ολοκλήρωμα όγκου με τη βοήθεια του τύπου των φλοιών: V b = ακτίνα ύψος ( φλοιού)( φλοιού ) d Bήµα 3: Oλοκληρώνουμε για να βρούμε τον όγκο: V p()( ) d b p()( ) d. = 3/ d C 5/ G 5 8 κυβικές μονάδες. 5

5.. Μοντέλα όγκων µε χρήση κυλινδρικών φλοιών 397 Mέχρι τώρα, χρησιμοποιήσαμε κατακόρυφους άξονες περιστροφής. Aν έχουμε οριζόντιους άξονες, αντικαθιστούμε απλώς το με το. Διάστημα ολοκλήρωσης Ύψος φλοιού (, ) Πάχος φλοιού d Aκτίνα φλοιού ΣΧΗΜΑ 5. Tο χωρίο, οι διαστάσεις του φλοιού και το διάστημα ολοκλήρωσης του Παραδείγματος 3. Ύψος φλοιού (, ) ΣΧΗΜΑ 5.3 O φλοιός που σαρώνεται από το ευθύγραμμο τμήμα στο Σχήμα 5.. Aκτίνα φλοιού Παράδειγµα 3 τον άξονα Kυλινδρικοί φλοιοί που περιστρέφονται ως προς Tο χωρίο που φράσσεται από την καμπύλη, τον άξονα, και την ευθεία περιστρέφεται ως προς τον άξονα ώστε να παραγάγει ένα στερεό, του οποίου ο όγκος ζητείται. Λύση Bήµα : Σχεδιάζουμε το χωρίο, καθώς και ένα ευθύγραμμο τμήμα που το διατρέχει παράλληλα προς τον άξονα περιστροφής (Σχήμα 5.). Σημειώνουμε στο σχήμα το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος (δηλαδή το ύψος του φλοιού) και την απόσταση από τον άξονα περιστροφής (ακτίνα φλοιού). Tο (απειροστό) «πάχος» του ευθύγραμμου τμήματος είναι το πάχος του φλοιού d. (Για καθαρά διδακτικούς λόγους, ο φλοιός παρατίθεται στο Σχήμα 5.3 τέτοιου είδους σχεδίαση δεν είναι αναγκαία κατά την επίλυση προβλημάτων.) Bήµα : Bρίσκουμε τα όρια ολοκλήρωσης για τη μεταβλητή πάχους (που παίρνει τιμές από έως ) και γράφουμε το ολοκλήρωμα όγκου με τη βοήθεια του τύπου των φλοιών: V b = p()( ) d. Bήµα 3: Oλοκληρώνουμε για να βρούμε τον όγκο: V p()( ) d = C G ακτίνα ύψος ( φλοιού)( φλοιού ) d = 8 κυβικές μονάδες. Πώς εφαρµόζουµε τη µέθοδο των φλοιών Aνεξάρτητα της θέσης του άξονα περιστροφής (οριζόντιος ή κατακόρυφος), τα βήματα που ακολουθούμε για να εφαρμόσουμε τη μέθοδο είναι τα εξής. Bήµα. Σχεδιάζουμε το χωρίο, καθώς και ένα ευθύγραμμο τμήμα που το διατρέχει παράλληλα στον άξονα περιστροφής. Σημειώνουμε στο σχήμα το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος (ύψος φλοιού), την απόστασή του από τον άξονα περιστροφής (ακτίνα φλοιού) και το πάχος του φλοιού. Bήµα. Bρίσκουμε τα όρια ολοκλήρωσης για τη μεταβλητή πάχους και γράφουμε το ολοκλήρωμα όγκου. Bήµα 3. Oλοκληρώνουμε το γινόμενο p (ακτίνα φλοιού) (ύψος φλοιού) ως προς τη μεταβλητή πάχους ( ή ), για να βρούμε τον όγκο.

398 Κεφάλαιο 5. Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων AΣΚΗΣΕΙΣ 5. Στις Aσκήσεις -6, εφαρμόστε τη μέθοδο των φλοιών για να βρείτε τους όγκους των στερεών που παράγονται με την περιστορφή των γραμμοσκιασμένων χωρίων ως προς τον εκάστοτε υποδεικνυόμενο άξονα.... 3. 3 5. Περιστροφή ως προς τον άξονα 3 3 3 7., /, 8., /, 9.,,, για.,,.,,. 3( / ),,, 3. Έστω f() sin ) /, p, (α) Δείξτε ότι f() sin,. (β) Bρείτε τον όγκο του στερεού που παράγεται αν περιστρέψουμε το γραμμοσκιασμένο χωρίο ως προς τον άξονα.. Έστω g() ( tn ) /,, sin,, p / (α) Δείξτε ότι g() (tn ), /. (β) Bρείτε τον όγκο του στερεού που παράγεται αν περιστρέψουμε το γραμμοσκιασμένο χωρίο ως προς τον άξονα. tn,, 6. Περιστροφή ως προς τον άξονα 9 5 3 9 3 3 Περιστροφή ως προς τον άξονα 3 Eφαρμόστε τη μέθοδο των φλοιών για να βρείτε τους όγκους των στερεών που παράγονται αν περιστρέψουμε ως προς τον άξονα τα χωρία που φράσσονται από τις καμπύλες και τις ευθείες που δίδονται στις Aσκήσεις 7-. Περιστροφή ως προς τον άξονα,, Eφαρμόστε τη μέθοδο των φλοιών για να βρείτε τους όγκους των στερεών που παράγονται αν περιστρέψουμε ως προς τον άξονα τα χωρία που φράσσονται από τις καμπύλες και τις ευθείες των Ασκήσεων 5-. 5., 6.,, 7., 8., 9.,.,,.,,.,, Περιστροφή ως προς οριζόντιες ευθείες Στις Aσκήσεις 3 και, εφαρμόστε τη μέθοδο των φλοιών για να βρείτε τους όγκους των στερεών που παράγονται αν περιστρέψουμε τα γραμμοσκιασμένα χωρία ως προς τον εκάστοτε υποδεικνυόμενο άξονα.

5.. Μοντέλα όγκων µε χρήση κυλινδρικών φλοιών 399 3. (α) O άξονας (β) H ευθεία (γ) H ευθεία 85 / (δ) H ευθεία 5 /. (α) O άξονας (β) H ευθεία (γ) H ευθεία 5 (δ) H ευθεία 58 / ( 3 ) (, ) Σύγκριση µεταξύ της µεθόδου των δακτυλιοειδών διατοµών και της µεθόδου των φλοιών Yπάρχουν μερικά χωρία ολοκλήρωσης που επιδέχονται εφαρμογή τόσο της μεθόδου των δακτυλιοειδών διατομών όσο και αυτής των φλοιών, για την εύρεση του στερεού που παράγεται αν τα περιστρέψουμε ως προς κάποιον άξονα. Aλλά αυτό δεν συμβαίνει πάντα. Για παράδειγμα, όταν περιστρέφουμε ένα χωρίο ως προς τον άξονα και χρησιμοποιούμε δακτυλιοειδείς διατομές, πρέπει να ολοκληρώσουμε ως προς. Όμως ενδέχεται να μην είναι δυνατή ή εύκολη η έκφραση της ολοκληρωτέας ποσότητας συναρτήσει του. Σε τέτοιες περιπτώσεις, η μέθοδος των φλοιών μας επιτρέπει να ολοκληρώσουμε ως προς. Δείτε σχετικά τις Aσκήσεις 5 και 6. 5. Yπολογίστε τον όγκο του στερεού που παράγεται αν περιστρέψουμε διαδοχικά ως προς κάθε άξονα συντεταγμένων (δηλ. και ) το χωρίο που φράσσεται από τις καμπύλες και, με χρήση της μεθόδου (α) των φλοιών (β) των δακτυλιοειδών διατομών. 6. Yπολογίστε τον όγκο του στερεού που παράγεται αν περιστρέψουμε το τριγωνικό χωρίο που φράσσεται από τις ευθείες,, και, (α) ως προς τον άξονα, με τη μέθοδο των δακτυλιοειδών διατομών (β) ως προς τον άξονα, με τη μέθοδο των φλοιών (γ) ως προς την ευθεία, με τη μέθοδο των φλοιών (δ) ως προς την ευθεία 8, με τη μέθοδο των δακτυλιοειδών διατομών. Eπιλέγοντας µεταξύ δακτυλιοειδών διατοµών και φλοιών Στις Aσκήσεις 7-3, υπολογίστε τους όγκους των στερεών που παράγονται αν περιστρέψουμε ως προς τους αναγραφόμενους άξονες τα χωρία που δίδονται. Xρησιμοποιήστε δακτυλιοειδείς διατομές ή φλοιούς, ό,τι από τα δύο σας φαίνεται προτιμότερο. 7. Tο τριγωνικό χωρίο έχει κορυφές τα σημεία (, ), (, ), και (, ), και περιστρέφεται ως προς (α) τον άξονα (β) τον άξονα (γ) την ευθεία /3 (δ) την ευθεία 8. Tο χωρίο φράσσεται από τις καμπύλες,,, και περιστρέφεται ως προς (α) τον άξονα (β) τον άξονα (γ) την ευθεία (δ) την ευθεία 9. Tο χωρίο ανήκει στο πρώτο τεταρτημόριο και φράσσεται από την καμπύλη 3 και τον άξονα, και περιστρέφεται ως προς (α) τον άξονα (β) την ευθεία 3. Tο χωρίο ανήκει στο πρώτο τεταρτημόριο και φράσσεται από τις 3,, και, και περιστρέφεται ως προς (α) τον άξονα (β) τον άξονα (γ) την ευθεία (δ) την ευθεία 3. Tο χωρίο φράσσεται από τις και / 8, και περιστρέφεται ως προς (α) τον άξονα (β) τον άξονα 3. Tο χωρίο φράσσεται από τις και, και περιστρέφεται ως προς (α) τον άξονα (β) την ευθεία 33. Tο χωρίο ανήκει στο πρώτο τεταρτημόριο και φράσσεται άνωθεν από την καμπύλη /, εξ αριστε- / ρών από την ευθεία / 6, και κάτωθεν από την ευθεία. Tο χωρίο αυτό περιστρέφεται ως προς τον άξονα. Yπολογίστε τον όγκο του παραγόμενου στερεού, με χρήση (α) της μεθόδου των δακτυλιοειδών διατομών (β) της μεθόδου των φλοιών. 3. Tο χωρίο ανήκει στο πρώτο τεταρτημόριο και φράσσεται άνωθεν από την καμπύλη /, εξ αριστερών από την ευθεία, / και κάτωθεν από την ευθεία. Tο χωρίο αυτό περιστρέφεται ως προς τον άξονα. Yπολογίστε τον όγκο του παραγόμενου στερεού, με χρήση (α) της μεθόδου των δακτυλιοειδών διατομών (β) της μεθόδου των φλοιών.

Κεφάλαιο 5. Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων Eπιλέγοντας µεταξύ κυκλικών δίσκων, δακτυλιοειδών διατοµών και φλοιών 35. Tο χωρίο που φαίνεται στο σχήμα πρόκειται να περιστραφεί ως προς τον άξονα, ώστε να παραχθεί ένα στερεό. Ποιες από τις μεθόδους υπολογισμού του όγκου του στερεού αυτού (κυκλικών δίσκων, δακτυλιοειδών διατομών ή φλοιών) μπορείτε να χρησιμοποιήσετε; Πόσα ολοκληρώματα πρέπει να υπολογίσετε σε κάθε περίπτωση; Eξηγήστε. 3 (, ) 36. Tο χωρίο που φαίνεται στο σχήμα πρόκειται να περιστραφεί ως προς τον άξονα ώστε να παραχθεί ένα στερεό. Ποιες από τις μεθόδους υπολογισμού του όγκου του στερεού αυτού (κυκλικών δίσκων, δακτυλιοειδών διατομών ή φλοιών) μπορείτε να χρησιμοποιήσετε; Πόσα ολοκληρώματα πρέπει να υπολογίσετε σε κάθε περίπτωση; Aιτιολογήστε τις απαντήσεις σας. 5.3 Mήκη καµπυλών στο επίπεδο Ένα ηµιτονοειδές «κύµα» Mήκος λείας καµπύλης Όταν η d/ d παρουσιάζει ασυνέχειες ιαφορικές συντοµογραφίες Παραµετρικός τύπος µήκους τόξου Πόσα χιλιόμετρα διανύουμε διασχίζοντας με τα πόδια το χείλος του φαραγγιού Grnd Cnon; Πώς θα εκτιμήσει ένας μηχανικός το κόστος ασφαλτόστρωσης μιας ορεινής εθνικής οδού της οποίας γνωρίζει το συνολικό μήκος; Για να απαντήσουμε σε τέτοιου είδους ερωτήματα, πρέπει να μπορούμε να υπολογίζουμε μήκη καμπυλών. Ένα ηµιτονοειδές «κύµα» Πόσο μήκος έχει η καμπύλη του ημιτονοειδούς κύματος του Σχήματος 5.; H συνήθης έννοια του μήκους κύματος αναφέρεται στη θεμελιώδη περίοδο, που για sin ισούται με. Aλλά πόσο μήκος έχει η ίδια η ημιτονοειδής καμπύλη; Mε άλλα λόγια, αν κρατούσαμε σταθερό το ένα άκρο της καμπύλης στο, και «τεντώναμε» την καμπύλη κατά μήκος του άξονα, μέχρι ποιο σημείο θα έφθανε το άλλο άκρο; [, ] επί [, ] ΣΧΗΜΑ 5. Σε μια περίοδο, το μήκος της ημιτονοειδούς καμπύλης είναι μεγαλύτερο του. Παράδειγµα Mήκος ηµιτονοειδούς καµπύλης Πόσο μήκος έχει η καμπύλη sin από έως ; Λύση Aπαντούμε στο ερώτημα αυτό με ολοκλήρωση, εφαρμόζοντας την προσφιλή μας πλέον μέθοδο διαίρεσης του όλου σε μετρήσιμα μέρη. Διαμερίζουμε λοιπόν το [, ] σε υποδιαστήματα τόσο μικρά, ώστε τα τμήματα της καμπύλης (που τα λέμε «τόξα») σε κάθε υποδιάστημα να είναι σχεδόν ευθύγραμμα. Έτσι, κάθε τόξο σχεδόν ταυτίζεται με το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα άκρα του, και άρα το μήκος του τόξου θα μπορεί να προσεγγιστεί ικανοποιητικά από το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος. Tο Σχήμα 5.5 δείχνει το ευθύγραμμο τμήμα που προσεγγίζει το