17 η -18 η Διάλεξη Τεχνικές Ολοκλήρωσης Ι 14-15 Νοεµβρίου 016 Γιάννης Σαριδάκης Σχολή Μ.Π.Δ., Πολυτεχνείο Κρήτης ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ, ΤΟΜΟΣ Ι - Finney R.L. / Weir M.D. / Giordano F.R. Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης
Κύριοι Τύποι Ολοκλήρωσης 14/11/015 016 Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης
Πίνακας 7.1 Κύριοι Τύποι Ολοκλήρωσης 14/11/015 016 Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 3
Αλγεβρικές Διαδικασίες Αντιστοίχησης με γνωστά Ολοκληρώματα ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Απλοποίηση με Αντικατάσταση Συμπλήρωση τετραγώνου Ανάπτυξη και χρήση τριγωνομετρικής ταυτότητας Απαλοιφή ρίζας Αναγωγή καταχρηστικού κλάσματος Χωρισμός κλάσματος Πολλαπλασιασμός με έκφραση που ισούται με μονάδα
Ολοκλήρωση κατά Παράγοντες 14/11/015 016 Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 5
14/11/015 016 Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 6 f (x)g(x)dx =? f (x)g(x)dx =? b a f (x)g(x) = f (x)g(x) f (x) g (x) f (x)g(x) dx = f (x)g(x) f (x) g (x) dx f (x)g(x) = f (x)g(x) dx f (x) g (x)dx f (x) g (x)dx = f (x)g(x) f (x)g(x) dx
14/11/015 016 Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 7 f ( x) g ( x) dx = f ( x) g( x) f ( x) g( x) dx b a f ( x) g ( x) dx = f ( x) g( x) f ( x) g( x) dx b a b a u = f (x) du = f (x)dx dv = g (x)dx v = g(x) udv = uv vdu b a b udv = uv vdu a b a
14/11/015 016 Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 8 xe x dx u = x du = dx dv = e x dx v = e x xe x dx = xe x e x dx = e x (x 1) C
14/11/015 016 Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 9 ex cos x dx u = e x du = e x dx dv = cos xdx v = sin x e x cos x dx = e x sin x e x sin x dx u = e x dv = sin xdx du = e x dx v = cos x e x cos x dx = e x sin x e x cos x e x cos x dx ( ) e x cos x dx = 1 ex ( sin x cos x)
14/11/015 016 Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 10 sec x dy dx = ex y sec x dy dx = ex e y e y dy = 1 sec x ex dx e y dy = e x cos xdx e y dy = e x cos x dx e y = 1 ex y = ln 1 ex ( cos x sin x) C ( cos x sin x) C
14/11/015 016 Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 11 y 0.5-1 1 3 4 x 4 xe x dx 0 u = x du = dx dv = e x dx v = e x 4 xe x dx = xe x 4 4 0 e x dx 0 = e x 4 (x 1) 0 = 5e 4 1 0
14/11/015 016 Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 1 f()() x g x dx Πινακοειδής Ολοκλήρωση Μπορεί να παραγωγιστεί µέχρι να µηδενιστεί Μπορεί να ολοκληρωθεί επανειληµµένα µε ευκολία x sin x dx = x ( cos x) x( sin x) xcos x C Παράγωγοι Αντι-παράγωγοι x x () (-) sin x cos x sin x () 0 cos x
Ολοκλήρωση Ρητών Συναρτήσεων: Μερικά Κλάσματα 14/11/015 016 Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 13
14/11/015 016 Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 14 5x 3 x x 3 = x 1 3 x 3 5x 3 x x 3 dx = x 1 dx 3 x 3 dx = ln x 1 3ln x 3 C 5x 3 x x 3 = A x 1 5x 3 x x 3 = A x 3 x 1 B x 3 ( ) B( x 1) ( )( x 3) 5x 3 = ( A B)x 3A B A B = 5 3A B = 3 A = B = 3
14/11/015 016 Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 15 P N (x) Q M (x) = πολυώνυµο N βαθµού πολυώνυµο M βαθµού Προϋποθέσεις 1. N<M (γνήσιο ή μη-καταχρηστικό κλάσμα). Q M (x)=εύκολη παραγοντοποίηση σε 1 ου και ου βαθμού πολυώνυμα Q M (x) = κ (x r κ ) m κ λ (x q λ x p λ ) n λ
14/11/015 016 Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 16 P (x) N Q (x) dx = M P N (x) (x r) m (x qx p) n dx P N (x) (x r) m (x qx p) n = A 1 (x r) A (x r)! A m (x r) m B 1 x C 1 (x qx p)! B n x C n (x qx p) n
x(x 1) x x I (x 1) I by x(x=4bxc Multiplying 1), we have DxE x(x 1) x x I (x 1) plying by x(x 1), we have I = A(x 1) (Bx C)x(x I) (Dx E)x x 1), A(xhave 1) (Bx C)x(x E)x I = we 3 x) Dx Ex = A(x4 Zl; I) B(x4 I) x )(Dx C(x 4 x ) C(x 3 x) Dx Ex = A(x4 Zl; I) I) B(x 3 A(x 1) (Bx C)x(x = (A B)x4 Cx (Dx (AE)x B D)x (C E)x A 3 = (A (AC(x 3B x)d)x E)x A A(x4 Zl; I) B)x4 B(x4 Cx x ) Dx (C Ex If we equate coefficients, we get the system 3 (A B D)x (C E)x A A B)x4 Cx equate coefficients, we get the system of Integration AB=O, C = 0, CE=O, A=l. A B D = 0, AB=O, = 0, CE=O, A=l. A B D = 0, ficients, we get thecsystem es A =A I,B = -I, C system = CO,D = -I, == O. gives =Solving I,B =this -I, = O,D =A -I, ande =Thus, O. gives =ande I,B -I, C Thus, = O,D = -I, ande = O. Thus,, C = 0, CE=O, A=l. A B D = 0, x Iix - x I)' J[1J[1----=-'--------=-'---J [1 ----=-'---J J J J J J J x x x JJ J - - I)' = = x Iix -x -x ] Iix ] Iix xx x I x(x I(x (xi)'i)' - I)' x x I Iix Iix xlixxlix xlix xlix (x I)' Iix I)' x x I - I - (x = (x -x xlix x I - u = Xl Xl I, u = du = I)' ] Iix xlix (x I)' I, u = du = xdx xdx du Xl = I, xdx I I I I I I K K =Inlxl-zlnlul =Inlxl-zlnlul u =Inlxl-zlnlul u u K tt t (x I)I)(X,' In -Ixl -ln (xln =(X,' = In= Ixl In I) Ixl -I)K lnk(x 14/11/015 I) (X,' I) 016 Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης K 17
I = ( x ) tan 1 (x) 1x 3 3x dx = tan 1 (x) dx x 4x 1 ( ) ( ) 4x 1 ( ) 1x 3 3x dx ( x ) 4x 1 ( ) u=tan 1 (x) du= dx 1. I 1 = tan 1 (x) 4x 1 1 dx = 4x 1 u du = 1 4 u C 1 = 1 ( 4 tan 1 (x)) C 1. I = 1x 3 3x = x ( ) dx ( ) 4x 1 3x ( x ) dx 3x ( x ) = A x A = 3 B = 6 I = 3 x dx ( ) B ( ) B ( x ) = A x x 6 = 3ln x 6 x x C ( ) dx 3. I = I 1 I = 1 4 tan 1 (x) ( ) 3ln x 6 x C 14/11/015 016 Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 18
14/11/015 016 Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 19 P N (x) Q M (x) dx = P N (x) (x r 1 )(x r )!(x r m ) dx P N (x) (x r 1 )(x r )!(x r m ) = A 1 (x r 1 )! A k (x r k )! A m (x r m ) (x r k ) P N (x) (x r 1 )! (x r k )!(x r m ) = A (x r ) 1 k (x r 1 )! A k! A m (x r k ) (x r m ) A k = P N (r k ) (r k r 1 )!(r k r k 1 )(r k r k1 )!(r k r m ), k = 1,,m
14/11/015 016 Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 0 x I (x - I)(x - )(x - 3) x - I x - x - 3 x I B(x - 1) C(x - I) -;---"-::-co---'----;:-c = A (x - )(x - 3) x - x - 3 x=1 (I)' I (1 - )(1-3) = A 0 0,