ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ : Θεωρύμε τυς μιγαδικύς αριθμύς α) z(t) + z(t) = z(t) z(t) z( t) =, t R Να απδείξετε ότι: + it β) Ο γεωμετρικός τόπς των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z( t) είναι κύκλς με κέντρ τ σημεί Κ,0 και ακτίνα ρ = γ) Οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών z(t) και τυ πρηγύμενυ κύκλυ z, t R t δ ) Οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών z( ), z( ) και z(00) είναι κρυφές ρθγωνίυ τριγώνυ * είναι αντιδιαμετρικά σημεία α) Είναι z(t) + z(t) = z(t) z(t) + = +it +it +it +it + = it+ + it = = αληθές + it it + it it β) Είναι it + it ( +it) ( +it) +it z(t) = = = = = +it +it Άρα γεωμετρικός τόπς των εικόνων των μιγαδικών αριθμών κέντρ τ σημεί Κ,0 και ακτίνα ρ = z(t) είναι o κύκλς (C ) με γ) Στ (β) ερώτημα απδείξαμε ότι για κάθε t R μιγαδικός αριθμός κύκλ (C ) με κέντρ τ σημεί αριθμός z ανήκει στν ίδι κύκλ t Κ,0 και ακτίνα z(t) = ρ =, άρα και για + it ανήκει στoν R μιγαδικός t - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 Αρκεί τώρα να δείξυμε ότι z(t) z = ρ = = t Είναι t t z(t) z = = = = t +it +it t i +it ( t i +i ) t it it it + it = = = = = +it +it +it ( +it) ( +it) Άρα ι εικόνες των μιγαδικών αριθμών τυ κύκλυ (C ) για κάθε t R z(t) και z t είναι αντιδιαμετρικά σημεία δ) Για t = ι εικόνες των μιγαδικών αριθμών z() και z = z( ) σημεία τυ κύκλυ (C ), σύμφωνα με τ πρηγύμεν ερώτημα είναι αντιδιαμετρικά Είναι z() z(00) z( ) Πράγματι + i + 00i i i 00i i + i + 00i i αληθές, πότε ι εικόνες των μιγαδικών αριθμών z(), z( ) και z(00) είναι κρυφές ρθγωνίυ τριγώνυ με υπτείνυσα τ ευθύγραμμ τμήμα πυ ρίζυν ι εικόνες των μιγαδικών z() και z( ) ΘΕΜΑ : Έστω μιγαδικός αριθμός z =λ ( + i) + i, λ R α) Να βρείτε την εξίσωση της γραμμής στην πία ανήκει η εικόνα τυ z β) Για πια τιμή τυ λ, τ z γίνεται ελάχιστ; γ) Υπθέτυμε ότι λ>0 Αν z = και i) Να απδείξετε ότι λ= z = τότε: i ii) Να βρείτε τις τιμές τυ θετικύ ακέραιυ αριθμύ ν, ώστε ν R α) Θέτυμε z = + yi,,y R και έχυμε: =λ+ λ= z=λ+λ i+ i + yi= ( λ+ ) + ( λ ) i y+ = y=λ λ= y+ y = 0 Άρα η εικόνα τυ z κινείται στην ευθεία ε : y = 0 - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 β) Η εικόνα M(z) ανήκει στην ευθεία ε, επμένως τ z ( OM) = γίνεται ελάχιστ, όταν τ Μ συμπίπτει με τ ίχνς Κ της κάθετης από τ Ο στην ευθεία ε Πρσδιρίζυμε τ Κ ως σημεί τμής της ΟΚ με την ευθεία ε Είναι: OK ε λ λ = λ = ΟΚ ε Άρα η εξίσωση της ευθείας ΟΚ είναι: ΟΚ : y= y = = Λύνυμε τ σύστημα : y = 0 y = Άρα (, ), Κ πότε τ z γίνεται ελάχιστ, όταν z = i Επμένως λ= = = 0 ς τρόπς Εχυμε: ΟΚ z=λ+λ i+ i= λ+ + λ i Άρα z = λ+ + λ = λ + Οπότε ελάχιστ z =, για λ = 0 γ) i) Έχυμε: z = λ+ + λ = λ + = λ = λ = ii) Για λ= έχυμε: ( + ) + ( i) ( + i) i ( + i) ( i)( + i) i = = = = + i i i i Επμένως = + i = + i = i και ν ν ν ν i = = ν ν ν = κ, κ N Επειδή R i R Άρα ν ν= κ+, κ N λ> 0 {,,6,8,0, } ΘΕΜΑ : Δίννται ι μιγαδικί αριθμί z, u και, ι πίι ικανπιύν τις σχέσεις: u+ i z =, Re = 0, u i u i α) Να βρείτε τα μέτρα των u και β) Να απδείξετε ότι z + u + 0 γ) Να απδείξετε ότι z + u+ = zu+ u + 9z 6 8 8 και ( + ) = 6( + ) α) Είναι: u+ i Re = 0, άρα αριθμός u + i u i u i είναι φανταστικός, πότε έχυμε: - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 Είναι: u + i u + i u + i u + i u + i u i = = = u i u i u i u i u i u + i ( ) u+ i u+ i = u i u i uu + iu + iu 9 = uu + iu + iu + 9 uu = 8 u = 8 u = 9 u = 8 8 8 8 8 8 + = 6 + + = 6 + + = 6 + + = + + = + + + = + + + + + = + + + = = = β) Υπθέτυμε ότι: z+ u+ = 0 z+ = u u = z+ z + +, πυ είναι άτπ Άρα z+ u+ 0 γ) Έχυμε: z = z = zz = z = Όμίως είναι z 9 u = και = u Είναι: 9 u+ 9z+ zu z+ u+ = z+ u+ = z+ u+ = + + = = z u z u u + 9z + zu u + 9z + zu = = = u + 9z + zu z u 6 ΘΕΜΑ : Δίννται ι μιγαδικί αριθμί z,,u Αν ισχύυν ι σχέσεις: να απδείξετε ότι: z = = u = (), z + + u 0 () και z + + u = 0 () α) z + = + u = u + z + + = 0 z u β) γ) Οι εικόνες των αριθμών z,,u, zu και z+ u+ uz z + + u είναι μκυκλικά σημεία - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 δ) z + + u = α) Από τη σχέση () έχυμε: z + = u () z + = u z + = u z + = () + u = z + u = z + u = z + u = () u + z = u + z = u + z = u + z = Επμένως z + = + u = u + z β) Είναι: Ομίως έχυμ ε Έχυμε: z 0 z = z = z z= z = z _ = και u = u z + + u =0 z + + u =0 z + + u =0 _ ( z) + ( ) + ( u) = 0 + + = 0 z u _ γ) Είναι: z = = u = zu = z u = = z+ u+ uz z + u + uz z + u + uz z + u + uz = = = = z+ + u z+ + u z+ + u z + + u z + u + uz z + u + uz z + u + uz = = = zu = u uz z z+ u+ uz + + + + z u zu Άρα ι εικόνες των αριθμών z,, u, zu και κύκλ, πότε είναι μκυκλικά σημεία z + u+ uz z+ + u ανήκυν στν μναδιαί δ) Είναι: () ( z + + u) = z + + u + z+ u + uz ( z + + u) = z+ u + uz ( z + + u) = ( z+ u+ uz) z + + u = z+ u+ uz - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 5

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ 5 : z + u+ uz z + u+ uz z + + u = z + + u = z + + u z + + u z + + u = z + + u = Έστω ι μιγαδικί αριθμί z = +συν( π t) + ( 5 +ημ( πt) ) i, t [ 0, + ) α) Να απδείξετε ότι z 5i = β) Να βρείτε τη μέγιστ η και την ελάχιστη τιμή τυ z γ) Να εξετάσετε αν υπάρχει t [ 0, ) ευθεία με εξίσωση δ : y = + τέτις, ώστε η εικόνα τυ z να βρίσκεται πάνω στην δ) Έστω C τέτις, ώστε = i Να απδείξετε ότι z α) Είναι z 5i = συν (π t) + i ημ (π t) = συν (π t) +ημ (π t) = z ( + 5i) = στν κύκ λ C με κέντρ β) Επειδή, η εικόνα M(z) κινείται K,5 και ακτίνα ρ= Καθώς η εικόνα M(z) κινείται στν κύκλ C, διαπιστώνυμε ότι ισχύει ( OM ) ( OM) ( OM ) ( OM ) z ( OM ), όπυ M, M είναι τα σημεία τμής της ευθείας ΟΚ και τυ κύκλυ C Επμένως : Η ελάχιστη τιμή τυ z είναι: min z = Η μέγιστη τιμή τυ ma z = OK ρ= 9 z είναι OK +ρ = 9 + γ) Βρίσκυμε την απόσταση έχυν κινό σημεί, επμένως δεν υπάρχει εικόνα 5 d K, δ = = > =ρ, άρα κύκλς C και η ευθεία δ δεν M( z) η πία να ανήκει στην ευθεία δ ς τρόπς Εχυμε = +συν( π t) και y= 5+ημ( πt) Επειδή = y +συν( π t) = 5+ημ( πt) συν( πt) ημ( π t) = αφύ ( t) ( t) Άτπ συν π ημ π δ) Επειδή = i, η εικόνα N() κινείται στην ευθεία δ : y = Καθώς η εικόνα M(z) - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 6

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 κινείται στν κύκλ C και η εικόνα N() κινείται στην ευθεία δ :y=, διαπιστώνυμε ότι η ελάχισ τη τιμή τυ = ( MN) αι Επμένως ισχύει: ΘΕΜΑ 6 : min z = M0N = 0 d K, ρ= = z είν ( δ) z α) Αν η εικόνα τυ μιγαδικύ αριθμύ z ανήκει σε κύκλ με κέντρ απδείξετε ότι τ ίδι ισχύει και για την εικόνα τυ μιγαδικύ αριθμύ Ο 0,0 και ακτίνα ρ=, να z =, z z β) Αν z = + yi,,y R, να απδείξετε ότι z =, 5 γ) Να βρείτε τυς μιγαδικύς z και ώστε, τ z να είναι μέγιστ και να υπλγίσετε την μέγιστη τιμή τυ z z = z z = z z + z+ z = + ( + ) z = + z = + z = έχυμε: α) Είναι: = Επειδή + + = + = + + = + (+ )(+ ) = (+ )(+ ) + + + = + + + = = = β) Είναι: z = + y = y = () Επειδή y 0 έχυμε: 0 Είναι: ( + ) () z z z + z z yi y + yi z = z = = = = = z z z + yi + yi y () + + yi + yi + + + y = = = = = ( ) + yi + yi + y + + y + + + + = = = + + 5 5 γ) Η μέγιστη τιμή τυ z Έχυμε: είναι η μέγιστη τιμή της συνάρτησης f( ) ( ) = 5 - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 + f ( ) = = = 5 5 5 0 ± 6 Αν 5 0 f = 0 0+ = 0 = Άρα = δεκτή ή = απρρίπτεται 8 Για = η f παρυσιάζει μέγιστ τ f = = = 5 Άρα ma z = Επίσης για = έχυμε y = = = y=± Άρα είναι i i z= ± i και = = = i ή i i + i i = = = + i + i + i ΘΕΜΑ 7 : R R Έστω συνεχής συνάρτηση f :, με f(f()) + f() = 6 () α) Nα βρείτε τις τιμές f( ) και ( ) f β) Nα απδείξετε ότι f( ) γ) Αν + f 5 lim = = f = 0 f 0 = η πία για κάθε R ικανπιεί τη σχέση limf f(), να βρείτε τ δ) Να απδείξετε ότι η εξίσωση f( f ()) + = 0 έχει δύ τυλάχιστν ρίζες στ ( ) α) Για = 0 από την () έχυμε: f f 0 +f 0 = 6 f + = 6 f = Για = από την () έχυμε: ( ) (, f f +f = 6 f + ( ) = 6 6 f = ( ) = < < = [ ] β) Είναι f 0 f 0 και η f είναι συνεχής στ,0, επμένως από θεώρημα ) - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 8

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ενδιαμέσων τιμών θα υπάρχει τυλάχιστν ένα, 0 τέτι, ώστε f( ) 0 Για = από την () έχυμε: f( f( )) + f( )=6 f 0 + 0=6 =6 = o ή o o o o o o = = =, αφύ Άρα, 0 f =0 Είναι f( ) = <0<=f( 0) και η f είναι συνεχής στ [ 0, ], επμένως από Θεώρημα Ενδιαμέσων Τιμών θα υπάρχει τυλάχιστν ένα ( 0, ) Για = από την () έχυμε: = τέτι, ώστε f( ) = 0 f( f( )) + f( )=6 f 0 + 0=6 =6 = = ή = =, αφύ ( 0, ) Άρα f( )=0, πότε = +f 5 g + 5 γ) Για, θεωρύμε τη συνάρτηση g( ) = f () ( ) g( ) + 5 Από υπόθεση είναι limg()=, πότε limf( ) = lim =, και u=f() = u limf f () limf u = g() = f f (), R δ) Θεωρύμε τη συνάρτηση + Η συνάρτηση g είναι συνεχής σε καθένα από τα διαστήματα,0 και 0,, ως f f() πυ είναι συνεχής ως σύνθεση συνεχών και άθρισμα συνεχών συναρτήσεων, της της σταθερής συνάρτησης Είναι: ( ) ( ) g =f f +=f 0 +=+= g 0 =f f 0 +=f += += g( ) g 0 = < 0 και ( 0) g =f f +=f 0 +=+= Επμένως g g = < 0 g()=0 f f() Ισχύει λιπόν τ Θεώρημα Bolzano σε δύ διαστήματα, άρα η εξίσωση +=0 θα έχει μια τυλάχιστν ρίζα στ διάστημα (, 0) και μια τυλάχιστν ρίζα στ διάστημα ( 0, ), δηλαδή δύ τυλάχιστν ρίζες στ διάστημα ( ), ΘΕΜΑ 8 : Δίνεται η συνεχής και γνησίως φθίνυσα συνάρτηση f:r R Αν + lim =, τότε : f(+) α) Να απδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από την αρχή των - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 9

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 αξόνων f(ημ) β) Να βρείτε τ lim 0 γ) Να απδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει την ευθεία y = σε ένα ακριβώς σημεί (, y ) με ( 0,) α) Είναι u=+ + u lim = lim = () f(+) f(u) u 0 u Θεωρύμε τη συνάρτηση g(u) =, για u κντά στ 0, πότε g(u) f(u) = u f(u) και από () έχυμε lim g(u) = () Είναι u 0 [ ] lim g(u) f(u) = lim u limg(u) limf(u) = 0 limf(u) = 0 u 0 u 0 u 0 u 0 u 0 και αφύ η f είναι συνεχής ισχύει f( 0)=0, δηλαδή η γραφική παράσταση της f διέρχεται από την αρχή των αξόνων β) Για κντά στ 0 είναι: f(ημ) f (ημ) ημ = ημ Έχυμε u= ημ () f(ημ) f (u) li m = lim = lim = = 0 ημ u 0 u u 0 u f(u) Επμένως f(ημ) f (ημ) ημ f(ημ) ημ lim = lim = lim lim 0 0 ημ = = 0 ημ 0 γ) Αρκεί να δείξυμε ότι η εξίσωση f () = έχει μία ακριβώς ρίζα 0, Θεωρύμε τη συνάρτηση h( ) = f () +, R Η συνάρτηση h είναι συνεχής στ διάστημα [ 0, ], Είναι ως άθρισμα συνεχών συναρτήσεων (α) h(0) = f(0) 0 + = > 0 και h() = f () + = f () < 0, γιατί η f είναι γνησίως φθίνυσα συνάρτηση, πότε > 0 f() < f(0) = 0 Άρα h( 0) h( ) <0 Ισχύει λιπόν τ Θεώρημα Bolzano, άρα η εξίσωση h() = 0 f () = έχει τυλάχιστν μία ρίζα 0, Για, 0, με ισχύυν: < f ( ) f ( ) και + > +, > - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 πότε πρσθέτντας κατά μέλη έχυμε: f ) + > f ( ) + h( ) h( ) ( > Άρα η συνάρτηση h είναι γνησίως φθίνυσα στ ( 0, ), πότε η ρίζα είναι μναδική Δηλαδή η εξίσωση f() ΘΕΜΑ 9 : = έχει μία ακριβώς ρίζα ( 0,) Έστω η συνεχής συνάρτηση f : R πυ ικανπιεί τη σχέση α) Να λύσετε την εξίσωση f() = 0 6 R = για κάθε R f () β) Να απδείξετε ότι η f διατηρεί σταθερό πρόσημ σε καθένα από τα διαστήματα (,0) και ( 0, + ) γ) Αν f( ) > 0 και f < 0, να απδείξετε ότι f( ) = δ) Να απδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να ρίσετε τη συνάρτηση f ε) Να βρείτε τα κινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και f α) Έχυμε: f( 6 ) = 0 f () = 0 = 0 = 0 Άρα η εξίσωση f( ) = 0 έχει στ R μναδική ρίζα την = 0 β) Η συνάρτηση f στ (,0) είναι συνεχής και δε μηδενίζεται, πότε σε αυτό τ διάστημα διατηρεί σταθερό πρόσημ Η συνάρτηση f στ (0, + ) είναι συνεχής και δε μηδενίζεται, πότε σε αυτό τ διάστημα διατηρεί σταθερό πρόσημ Άρα η f διατηρεί σταθερό πρόσημ σε καθένα από τα διαστήματα (,0) και ( ) 0,+ γ) Η συνάρτηση f διατηρεί σταθερό πρόσημ στ (,0) και από υπόθεση είναι f( )>0, πότε f()>0 για κάθε (,0) Επμένως στ διάστημα αυτό έχυμε: 6 f ( ) = f () =, αφύ <0 Επειδή f( 0) = 0 έχυμε τελικά: f( ) =, 0 () για κάθε ( ] Η συνάρτηση f διατηρεί σταθερό πρόσημ στ (0, + ) και από υπόθεση είναι f<0, πότε f()<0 για κάθε ( 0, + ) Επμένως στ διάστημα αυτό έχυμε: 6 f ( ) = f () =, αφύ >0 Επειδή f( 0) = 0 έχυμε τελικά: f( ) = 0, + () για κάθε [ ) Συνδυάζντας τις περιπτώσεις () και () έχυμε: - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 f() = για κάθε R δ) Έστω, με f( ) = f( ), τότε έχυμε διαδχικά: Άρα η f είναι στ = = = R, Για να ρίσυμε τη συνάρτηση Έχυμε: πότε αντιστρέφεται f, λύνυμε την εξίσωση y= f() ως πρς y, y 0 y, y 0 y, y 0 y, y 0 y, y 0 < έχυμε f (y) = y, y 0 < < y= f() y= ( ) = y = = Επειδή ισχύει η ισδυναμία Επμένως: f () ε) Λύνυμε τ σύστημα: y = f() = f (y) < =, 0, 0 y = f() f:- y = f() y = f () y = f () y = y = f () f(y) = f( f ()) f(y) = = f(y) = y y= y= y= + y = y + y + + y =0 ( + y) y + y + =0 0 y= y= = = 0 ( +)( ) = 0 + y =0 y = y = y = y = = ή = 0 ή = (,y) = (,) ή (0,0) ή (, ) y = Άρα τα κινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και f είναι τα : Α (,), Ο(0, 0) και Β(, ) ΘΕΜΑ 0 : Δίνεται συνεχής συνάρτηση f:r R και z C έτσι, ώστε να ισχύυν: () f () + ημ = f() για κάθε R και () f() z lim = l, με l = 0 z α) Να απδείξετε ότι: i) z = z - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ii) Οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών z ανήκυν στν κύκλ C: f ημ β) Nα βρείτε τ lim 0 γ) Να απδείξετε ότι η συνάρτηση g() = f () τα διαστήματα (,0) και ( 0, + ) δ) Να βρείτε όλυς τυς δυνατύς τύπυς της συνάρτησης f + y = διατηρεί σταθερό πρόσημ σε καθένα από ε) Nα απδείξετε ότι η εξίσωση ( z+ i + 5) = + 0, έχει μια τυλάχιστν ρίζα στ διάστημα, α) i) Αν διαιρέσυμε και τα δύ μέλη της σχέσης () με 0 έχυμε f() ημ f() + = για κάθε R () f( ) Από τη σχέση () έχυμε li m =, R 0 l l Αν πάρυμε τα όρια και των δύ μελών στη σχέση () έχυμε: f( ) l + = l l l+ =0 ( l ) =0 l=, δηλαδή lim = () 0 Επμένως έχυμε z z = z = z ii) Είναι z = z z z = z z zz z z + = zz z z + zz = zz = z = z = Αν θέσυμε z = + yi, τότε + y = Επμένως ι εικόνες των μιγαδικών αριθμών z ανήκυν στν κύκλ C: + y = β) Για κντά στ = 0 έχυμε: Είναι o f ημ f ημ ημ f ημ ημ = = ημ ημ f ( ημ) u= ημ () f(u) lim = lim = (5), πότε έχυμε: 0 ημ u 0 u (5) ημ ημ f ημ f ημ f ημ lim lim lim lim lim = 0 ημ 0 ημ 0 0 = = = 0 γ) Για κάθε R, από τη σχέση () έχυμε: f () f () + = ημ f () = ημ g () = ημ (6) Είναι g() =0 g () =0 ημ =0 ημ = ημ = =0 Θυμίζυμε ότι, για κάθε Άρα για 0 έχυμε R ισχύει ημ και ότι η ισότητα ισχύει μόν για = 0 < < >0 > ημ ημ ημ g () 0 g() 0 Η συνάρτηση λιπόν g() = f () είναι συνεχής ως διαφρά συνεχών συναρτήσεων και δε μηδενίζεται στ R, άρα διατηρεί σταθερό πρόσημ σε καθένα από τα διαστήματα (,0) - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 και ( 0,+ ) δ) Διακρίνυμε περιπτώσεις: Στ διάστημα (,0) έχυμε: Αν g( )<0, τότε από τη σχέση (6) έχυμε g( = = = ) ημ f() ημ f() ημ (Ι) Αν g( )>0, τότε από τη σχέση (6) έχυμε g( ) = ημ f () = ημ f () = + ημ (IΙ) Στ διάστημα ( 0,+ ) έχυμε: Αν g( )<0, τότε από τη σχέση (6) έχυμε g( = = = ) ημ f() ημ f() ημ (IIΙ) Αν g( )>0, τότε από τη σχέση (6) έχυμε g( ) = ημ f () = ημ f () = + ημ (IV) Συνδυάζντας τις περιπτώσεις: (Ι) και (IIΙ) και επειδή f(0)=0 έχυμε (Ι) και (IV) και επειδή f(0)=0 έχυμε f() = ημ, R f( ) = ημ, < 0 + ημ, 0 (IΙ) και (IIΙ) και επειδή f(0)=0 έχυμε (IΙ) και (IV) και επειδή f(0)=0 έχυμε f() = ε) Θεωρύμε τη συνάρτηση στ διάστημα, και ισχύει: h = z+ i + 5 + 0= 6 z+ i ημ +, < 0 ημ, 0 f( ) = + ημ, R h( ) = z+ i + 5 + 0,,, η πία είναι συνεχής h () = 8 z+ i + 5 + 0= 8 z+ i = z+ i Όμως z i z+ i z + i 5 z+ i + 5 z+ i 6 Άρα h() 0 και h() 0, πότε h()h() 0 Διακρίνυμε περιπτώσεις: Αν h()h() = 0, τότε h = 0 ή h() = 0, άρα ρίζες της εξίσωσης είναι ι αριθμί και Αν hh() < 0, τότε ισχύει τ Θεώρημα Bolzano, πότε η εξίσωση h() = 0 θα έχει μια τυλάχιστν ρίζα, o Σε κάθε λιπόν περίπτωση η εξίσωση h() 0 = έχει μια τυλάχιστν ρίζα [, ] o - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ : z Έστω ι μη μηδενικί μιγαδικί αριθμί z, Αν =+ i και η εικόνα Α τυ μιγαδικύ αριθμύ z, στ μιγαδικό επίπεδ ανήκει στ κύκλ με κέντρ Α) Να απδείξετε ότι: α) Η εικόνα Β τυ μιγαδικύ ανήκει στ μναδιαί κύκλ β) z = και z+ = 7 Β) Να απδείξετε ότι υπάρχει ξ ( 0,) ( i ) z 00 Ο ( 0,0) και ακτίνα ρ=, τότε: ξ τέτι, ώστε να ισχύει ( ξ z+ ξ + ξ z+ = e Γ) Αν lim = κ, να απδείξετε ότι κ 7 + ημ+ Α) α) Η εικόνα Α τυ μιγαδικύ αριθμύ z στ μιγαδικό επίπεδ ανήκει στν κύκλ με κέντρ z z Ο( 0,0) και ακτίνα ρ =, άρα ισχύει z = Είναι = + i = + i z z Άρα = = = = = + i + i + Επμένως η εικόνα Β τυ μιγαδικύ ανήκει στ μναδιαί κύκλ ) β) Είναι: Άρα Είναι: Άρα z + i z + i z = = =i = z z = i = 0 + ( ) z = z + i z+ + i + z+ = = =+ i = z+ z+ = + i = + ( ) z+ = 7 = ( ) + + + στ διάστημα [ ] Β) Θεωρύμε τη συνάρτηση h() z z e H h συνεχής στ [ 0, ] ως πράξη συνεχών h( h 0) = z + e = z + = > 0 () = z+ + z+ e= z + z+ e= + 7 e< 0 Άρα h(0) h() < 0 Ισχύει λιπόν τ Θεώρημα Βolzano, πότε θα υπάρ χει ξ ( 0,) Είναι 0, τέτι, ώστε h ( ξ) = 0 ξ e h ξ = 0 ξ z+ ξ + ξ z+ = 0 ξ z+ ξ + ξ z+ =e ξ - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 5

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 Γ) Για κάθε (0, + ) έχυμε: i z 00 i z 00 = = ημ+ ημ+ ημ ημ = =, πότε ημ 00 i z ημ + ημ Είναι lim lim 0 = =, πότε από Κριτήρι Παρεμβλής έχυμε lim = 0 + + + ( i ) z 00 ( i ) z Άρα + 00 lim = lim = i z ημ+ + ημ +, πότε κ = ( i ) z Ισχύει i z ( i ) z i + z 5 κ 5+ κ 7 ΘΕΜΑ : Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : R R με f( ) 0 για κάθε R Θεωρύμε τυς μιγαδικύς αριθμύς u = + βi και = αi f(α) f(β) β α α) Να απδείξετε ότι Re( u)= + αβ και Im( u)= f(α)f (β) f(β) f(α) f(ξ) β) Αν I m( u)= 0 και 0 α, β, να απδείξετε ότι υπάρχει ξ ( α, β) τέτι, ώστε f(ξ) = ξ γ) Αν Re( u)= 0, να απδείξετε ότι ι αριθμί α, β είναι ετερόσημι δ) Να υπλγίσετε τ όρι lim f (00)f(00) ημ α) Είναι β α u = + βi αi = + αβ + i, f(α) f(β) f(α)f (β) f(β) f(α) άρα Re( u)= + αβ και f(α)f (β) Im u β f(β) α = f(α) β α f(α) f(β) β) Είναι Im(u) = 0 = = f(β) f(α) α β f() = Θεωρύμε τη συνάρτηση h(), [ α,β ] - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 6

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 Η συνάρτηση h είναι παραγωγίσιμη στ [ ] f(α) = f(β) α β f () f() α,β με h() = Ισχύει λιπόν τ Θεώρημα Rolle στ διάστημα [ α, β ], πότε θα υπάρχει ξ ( α, β) ξf (ξ) f(ξ) f ξ) h(ξ) =0 =0 f ( ξ) = ( γ) Είναι ξ Re(u) = 0 αβ 0 αβ f(α)f (β) + = f(α)f (β) = () ξ τέτι, ώστε Η συνάρτηση f είναι συνεχής και f() 0 για κάθε R, άρα η f διατηρεί σταθερό πρόσημ στ R, επμένως f(α)f(β) > 0 () Από () και () έχυμε αβ< 0, άρα ι αριθμί α, β είναι ετερόσημι δ) Για κάθε (,0) έχυμε: ημ f (00)f (00) ημ = f (00)f (00) Έχυμε: Επειδή η f διατηρεί σταθερό πρόσημ στ R, ι αριθμί f (00) και f (00) Άρα είναι μόσημι, άρα f (00) f (00) > 0 ημ = t ημt lim = lim = και t 0 t lim = ημ lim f (00)f (00) ημ lim f (00)f (00) = = - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7