ΑΠΡΙΛΙΟΣ 009 Θέματα Εξετάσεων Παλαιότερων Ετών
Θέματα Εξετάσεων Παλαιότερων Ετών Μαθήματα Κατευθύνσεων Ποσοτικές Μέθοδοι Απρίλιος 009 Μία προσφορά της ΔΑΠ Οικονομικού www.dap-oikonomikou.gr - Σελίδα από 80
Θέματα Εξετάσεων Παλαιότερων Ετών Μαθήματα Κατευθύνσεων Ποσοτικές Μέθοδοι Απρίλιος 009 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΤΙΤΛΟΣ... ΣΕΛΙΔΑ Περιεχόμενα... 3. ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΦΕΒΡ 09... 5. ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΙΑΝ 008... 7 3. ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΦΕΒ 004... 0 4. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙΙ ΦΕΒΡ 009... 4 5. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙΙ ΙΑΝ 008... 5 6. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙΙ ΣΕΠΤ 007... 7 7. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙΙ ΙΑΝ 007... 8 8. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙΙ ΙΑΝ 006 (5/0/006)... 9. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙΙ ΙΑΝ 006 (7/0/006)... 0. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙΙ ΣΕΠΤ 005... 4. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙΙ ΙΑΝ 005... 4. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙΙ ΣΕΠΤ 004... 5 3. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙΙ ΦΕΒ 004... 6 4. ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΙΟΥΝ 008... 7 5. ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΙΟΥΝ 007... 8 6. ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΙΟΥΛ 006... 9 7. ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΣΕΠΤ 005... 3 8. ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ ΙΟΥΝ 008... 3 9. ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ ΙΟΥΝ 007... 33 0. ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ - ΣΕΠΤ & ΙΟΥΛ 006... 34. ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 006... 35. ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ ΣΕΠΤ 005... 37 3. ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ ΙΟΥΝ 005... 40 4. ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ ΣΕΠΤ 003... 4 5. ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ ΙΟΥΝ 003... 45 6. ΥΝΑΜΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΙΟΥΝ 003... 46 7. ΑΝΑΛΥΣΗ ΧΡΟΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΕΙΡΩΝ & ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ ΣΕΠΤ 006... 46 8. ΑΝΑΛΥΣΗ ΧΡΟΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΕΙΡΩΝ & ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ ΙΟΥΛ 006... 48 9. ΑΝΑΛΥΣΗ ΧΡΟΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΕΙΡΩΝ & ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ ΙΟΥΝ 005... 49 30. ΑΝΑΛΥΣΗ ΧΡΟΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΕΙΡΩΝ & ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ ΙΟΥΝ 004... 5 3. ΑΝΑΛΥΣΗ ΧΡΟΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΕΙΡΩΝ & ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ ΙΑΝ 003... 54 3. ΑΝΑΛΥΣΗ ΧΡΟΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΕΙΡΩΝ & ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ ΣΕΠΤ 00... 55 33. ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΠΤΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΙΟΥΝ 008... 57 34. ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΠΤΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΣΕΠΤ 007... 59 Μία προσφορά της ΔΑΠ Οικονομικού www.dap-oikonomikou.gr - Σελίδα 3 από 80
Θέματα Εξετάσεων Παλαιότερων Ετών Μαθήματα Κατευθύνσεων Ποσοτικές Μέθοδοι Απρίλιος 009 35. ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΠΤΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΙΟΥΝ 007... 60 36. ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΠΤΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 006... 6 37. ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΠΤΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΙΟΥΛ 006... 63 38. ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΠΤΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΙΟΥΝ 000... 64 39. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΟΛΥΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΩΝ ΙΟΥΛ 006... 66 40. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΟΛΥΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΩΝ ΙΟΥΝ 005... 67 4. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΟΛΥΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΩΝ ΣΕΠΤ 004... 68 4. ΝΕΕΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΑ ΤΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 006... 70 43. ΝΕΕΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΑ ΤΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΙΟΥΛΙΟΥ 006... 70 44. ΝΕΕΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΑ ΤΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΣΕΠΤ 005... 70 45. ΝΕΕΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΑ ΤΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΙΟΥΝ 005... 7 46. ΟΡΓΑΝΩΣΗ & ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΙΟΥΛ 006... 7 47. ΟΡΓΑΝΩΣΗ & ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΙΑΝ 006... 7 48. ΟΡΓΑΝΩΣΗ & ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΙΟΥΝ 005... 73 49. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ & ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΙΟΥΝ 008... 73 50. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ & ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΙΟΥΝ 007... 74 5. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ & ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΙΟΥΛ 006... 75 5. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ & ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΙΟΥΝ 005... 76 53. ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΗΓΜΕΝΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΙΑΝ 008... 77 54. ΠΟΣΟΤΙΚΕ ΜΕΘΟ ΟΙ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΙΟΥΝ 008... 78 55. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΠΟΣΟΤΙΚΩΝ ΜΕΘΟ ΩΝ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΓΟΡΑΣ ΙΟΥΝ 008... 79 Στα φυλλάδια των παλαιότερων θεμάτων, όσον αφορά τα μαθήματα επιλογής των κατευθύνσεων, αν δε βρίσκετε κάποιο μάθημα επιλογής στα φυλλάδια της κάθε κατεύθυνσης, θα το βρείτε στο φυλλάδιο των παλαιότερων θεμάτων για τις «Επιλογές Κορμού». Επίσης, στο φυλλάδιο «Επιλογές Κορμού», θα βρείτε τα παλαιότερα θέματα από μαθήματα της Πληροφορικής και των Παιδαγωγικών. www.dap-oikonomikou.gr Βρείτε στην ιστοσελίδα μας: Ιστορία Προτάσεις Εκδηλώσεις Χρήσιμα Links Downloads Ψυχαγωγία Ανακοινώσεις Προγράμματα μαθημάτων & εξεταστικής Οδηγός Σπουδών Ύλη μαθημάτων Παλαιότερα θέματα μαθημάτων Λυμένα θέματα μαθημάτων Μεταπτυχιακά Επίκαιρη αρθογραφία Και πολλές ακόμη χρήσιμες πληροφορίες www.dap-oikonomikou.gr Μία προσφορά της ΔΑΠ Οικονομικού www.dap-oikonomikou.gr - Σελίδα 4 από 80
Θέματα Εξετάσεων Παλαιότερων Ετών Μαθήματα Κατευθύνσεων Ποσοτικές Μέθοδοι Απρίλιος 009 ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 009 (Α). Βαθμοί: 4,5 (Υποχρεωτικό) Δίνεται η παρουσίαση του παρακάτω προβλήματος Γ.Π. με περιορισμούς MaxZ=5X+40X+0X3+30X4 X+0X+8X3+6X4+s<=908 (I) Εργατοώρες 4Χ+6Χ+Χ3+8Χ4+s <=4000 (II) Ώρες μηχανής Α 8Χ+4Χ+6Χ3+4Χ4+s3<=93 (III) Αποθέματα 0Χ+40Χ+8Χ3+0Χ4+s4<=00 (IV) Ώρες μηχανής Β Χ3 +s5>=0 (V) X,X,X3,X4>=0 Όπου Xj(j=,,3,4) είναι η ποσότητα του προϊόντος j που μπορεί να παραχθεί στο άριστο πρόγραμμα παραγωγής. Η λύση του προβλήματος παρουσιάζεται στο παρακάτω πίνακα Η ΤΙΜΗ ΤΗΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΙΝΑΙ: 695 Μεταβλητή Βασική Τιμή Αξία (Kj-Cj) X N 7 0 X O 0 7.5 X3 N 0 0 X4 N 439 0 S N 700 0 S O 0.5 S3 N 300 0 S4 O 0 S5 O 0 0.5 B. ΔΥΙΚΕΣ ΤΙΜΕΣ ΚΑΙ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΟΡΩΝ Περ/σμός Δυική Τιμή Δεξιά Σταθ. Ποσό Χρησ/ησης Χαλαρή Μεταβλ. Υπόλοιπο Π 0 908 8508 S 700 Π.5 4000 4000 S 0 Π3 0 93 63 S3 300 Π4 00 00 S4 0 Π5-0.5 0 0 S5 0 Γ. ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΥΑΙΣΘΗΣΙΑΣ ΔΕΞΙΩΝ ΣΤΑΘΕΡΩΝ Περιορισμός Τρεχ. Τιμή Κατωτ. Όριο Ανωτ. Όριο Π 908 8508 Κανένα Π 4000 44 4075 Π3 93 63 Κανένα Π4 00 0450 950 Π5 0 0 36.7 Μία προσφορά της ΔΑΠ Οικονομικού www.dap-oikonomikou.gr - Σελίδα 5 από 80
Θέματα Εξετάσεων Παλαιότερων Ετών Μαθήματα Κατευθύνσεων Ποσοτικές Μέθοδοι Απρίλιος 009 Δ. ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΥΑΙΣΘΗΣΙΑΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΩΝ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Μεταβλητή Τρέχ. Τιμή Κατώτ. Όριο Ανώτατο όριο Χ 5 3.3 30 Χ 40 Κανένα 47.5 Χ3 0 Κανένα 0.5 Χ4 30 5 45. Να σχολιασθεί η άριστη λύση. Σε έναν περιορισμό του δυϊκού επικρατεί η ανισότητα. Ποιος είναι αυτός ο περιορισμός, ποια είναι η οικονομική του ερμηνεία και πώς εκφράζεται στο αρχικό (πρωτεύον) πρόβλημα; 3. Σε κάποιους περιορισμούς του πρωτεύοντος επικρατεί η ανισότητα. Να αναφερθεί ένας περιορισμός. Ποια είναι η οικονομική του ερμηνεία και πως εκφράζεται στο δυϊκό πρόβλημα; 4. Αν ο 5ος περιορισμός «περιορισθεί» ακόμα περισσότερο, έστω Χ3>=0, ποια θα είναι η επίπτωση στα κέρδη και γιατί; 5. Εισάγουμε ένα νέο περιορισμό Χ>=5. Ποια θα είναι η επίπτωση στα συνολικά κέρδη και γιατί; 6. Υποθέτουμε ότι υπάρχουν επιπλέον διαθέσιμα από τους πόρους ΙΙ και IV, με τιμή κτήσης 0.5 και 0.80 χρηματικές μονάδες αντίστοιχα. Ποιόν από τους δύο θα χρησιμοποιήσουμε (για να μεγιστοποιήσουμε τα κέρδη), και σε τι ποσότητα, χωρίς να αλλάξει η άριστη λύση; 7. Υπάρχουν εναλλακτικές λύσεις στο παραπάνω πρόβλημα; Ναι ή Όχι και γιατί; (Β). Βαθμός:. (Υποχρεωτικό) Να γραφεί το δυϊκό του παρακάτω προβλήματος. ΜΑΧ 6Χ+0Χ+4Χ3 Με περιορισμούς: 6Χ+Χ+8Χ3>=40 0Χ+4Χ+Χ3<=60 Χ+4Χ+4Χ3=80 Χ,Χ3>=0, Χ χωρίς περιορισμό στο πρόσημο ΝΑ ΕΠΙΛΕΓΕΙ ΕΝΑ ΑΠΟ ΤΑ ΔΥΟ ΠΑΡΑΚΑΤΩ ΘΕΜΑΤΑ: (Γ). Βαθμοί: 4,5 Μια επιχείρηση παράγει πέντε προϊόντα Χ,Χ,Χ3,Χ4 και Χ5 χρησιμοποιώντας δυο πρώτες ύλες Α και Β, εργατικό δυναμικό, και μία μηχανή. Τα απαραίτητα στοιχεία των νέων προϊόντων αναφορικά με τον απαιτούμενο χρόνο κατασκευής της μηχανής, τις εργατοώρες και το κέρδος δίνονται στον παρακάτω Πίνακα. Τα διαθέσιμα που υ- πάρχουν για μια εβδομάδα είναι 4000 ώρες της μηχανής και 6000 εργατοώρες. Ακόμη για την κατασκευή μια μονάδας προϊόντος για τα Χ, Χ, Χ3, Χ4 και Χ5 απαιτούνται αντίστοιχα, 5, 7, 3 και 4 μονάδες από την πρώτη ύλη Α και 6,, 5, 4 και μονάδες αντίστοιχα από την πρώτη ύλη Β. Υπάρχουν διαθέσιμες 000 μονάδες πρώτης ύλης Α και 000 μονάδες πρώτης ύλης Β. Παρουσιάστε το πρόβλημα σαν πρόβλημα Γραμμικού Προγραμματισμού, λαμβάνοντας υπόψη και τα εξής:. Για το τέλος της επόμενης εβδομάδας η επιχείρηση έχει ήδη δεχθεί παραγγελίες για 40 μονάδες προϊόντος Χ, και 30 μονάδες προϊόντος Χ5. Αντίθετα, για το προϊόν Χ3 οι υπεύθυνοι της επιχείρησης θεωρούν ότι οι πωλή- Μία προσφορά της ΔΑΠ Οικονομικού www.dap-oikonomikou.gr - Σελίδα 6 από 80
Θέματα Εξετάσεων Παλαιότερων Ετών Μαθήματα Κατευθύνσεων Ποσοτικές Μέθοδοι Απρίλιος 009 σεις του δεν θα ξεπεράσουν τις 5 μονάδες. Για τα προϊόντα Χ, Χ4 το τμήμα πωλήσεων της επιχείρησης πιστεύει ότι οτιδήποτε παραχθεί θα πουληθεί.. Η παραγωγή του Χ4 πρέπει να είναι τουλάχιστον διπλάσια (σε μονάδες) από την παραγωγή του Χ. 3. Οι μονάδες του Χ που θα κατασκευαστούν να μην υπερβαίνουν το 5% της συνολικής παραγωγής. 4. Η παραγωγή του Χ5 να είναι τουλάχιστον το 0% της συνολικής παραγωγής των Χ και Χ 5. Η επιχείρηση έχει μια μηχανή που μπορεί να μετατρέψει μονάδα από την πρώτη ύλη Β σε 3 μονάδες πρώτης ύλης Α σε εργατοώρες, και με κόστος 0 ευρώ. Χρόνος κατ/υής (σε ώρες) Προϊόν Κέρδος (ευρώ) Εργατοώρες ανά μονάδα προϊόντος που ανά μονάδα ανά μονάδα κατασκευάζεται στη μηχανή προϊόντος προϊόντος Χ 0 3 Χ 5,5 5 Χ3 0,5 4 Χ4 30 0,5 Χ5 5 6 (Δ). Βαθμοί: 4,5 Σχεδιάζεται η παραγωγή διαρκείας 5 εβδομάδων συγκεκριμένου προϊόντος. Το κόστος παραγωγής ανα μονάδα προϊόντος είναι χρηματικές μονάδες για τις δύο πρώτες εβδομάδες και 8 χρηματικές μονάδες για τις τρείς επόμενες. Η ζήτηση του προϊόντος που θα πρέπει να ικανοποιηθεί αντίστοιχα για τις 5 βδομάδες είναι 400,800,000,600 και 700 μονάδες. Ένα απόθεμα 00 τουλάχιστον μονάδων του προϊόντος πρέπει να είναι διαθέσιμο στο τέλος της 5ης εβδομάδας. Η επιχείρηση μπορεί ακόμη να απασχολήσει υπαλλήλους με υπερωρίες κατά τη η και 3η εβδομάδα. Η χρήση υπερωριακής απασχόλησης αυξάνει τη δυνατότητα παραγωγής κατά εβδομάδα κατά 00 μονάδες αλλά αυξάνει και το κόστος παραγωγής κατά 9 χρηματικές μονάδες τη η εβδομάδα και κατά 7 χρηματικές μονάδες την 3η εβδομάδα ανά μονάδα παραγόμενου προϊόντος. Η πλεονασματική παραγωγή μπορεί να αποθηκευτεί με κόστος 3 χρηματικές μονάδες ανά μονάδα προϊόντος την εβδομάδα. Από την πορεία της επιχείρησης προκύπτει ότι τα παραγόμενα εμπορεύματα την η εβδομάδα και αποθηκευμένα για πώληση την 3η εβδομάδα πρέπει να είναι τριπλάσια των παραγόμενων τη η εβδομάδα και αποθηκευμένων προκειμένου να πωληθούν την 4η βδομάδα. Επίσης η παραγωγή της ης εβδομάδας πρέπει να είναι ίση με το /3 της παραγωγής της ης εβδομάδας και 3πλάσια της παραγωγής της 4ης εβδομάδας. Τέλος, η υπερωριακή παραγωγή κατά την 3η εβδομάδα δεν πρέπει να υπερβαίνουμε το/3 της υπερωριακής παραγωγής της ης εβδομάδας. Ζητείται:. Να προσδιορίσετε τις ανεξάρτητες μεταβλητές του προβλήματος, τεκμηριώνοντας το τι εκφράζουν αντίστοιχα. Να διατυπωθεί η σχέση σκοπού και το σύστημα περιορισμών του πρωτεύοντος προβλήματος. ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ IAN 008 ΘΕΜΑ Ο : Πως μπορεί να χρησιμοποιηθεί ο Γραμμικός Προγραμματισμός για την επίλυση διαφορών μεταξύ εργαζομένων και εργοδοτών; Υποστηρίξτε τις απόψεις σας με παρουσίαση παραδειγμάτων. Μία προσφορά της ΔΑΠ Οικονομικού www.dap-oikonomikou.gr - Σελίδα 7 από 80
Θέματα Εξετάσεων Παλαιότερων Ετών Μαθήματα Κατευθύνσεων Ποσοτικές Μέθοδοι Απρίλιος 009 ΘΕΜΑ Ο : Παρουσιάστε το πρόβλημα Γραμμικού Προγραμματισμού του ακόλουθου προβλήματος: Μια αεροπορική εταιρία πρόκειται να αγοράσει ένα αεροπλάνο και πρέπει να αποφασισθεί πόσες σειρές από πρώτης θέσης καθίσματα (Α) και πόσες από οικονομικής θέσης (Μ) καθίσματα θα έχει. Μια σειρά παίρνει 5 Μ ή 0 Α καθίσματα. Το μήκος του χώρου είναι 00 μέτρα και κάθε σειρά με Α καθίσματα χρειάζεται 4 μέτρα, ενώ κάθε σειρά από Μ καθίσματα χρειάζεται μέτρα. Υπάρχουν 400Μ και 00Α διαθέσιμα καθίσματα. Αποφασίσθηκε να τοποθετηθούν τουλάχιστον 3πλασιες σειρές με Α καθίσματα, αλλά τα Α καθίσματα να είναι περισσότερα από το 40% του συνολικού αριθμού καθισμάτων. Εάν το εισιτήριο για κάθε Μ καθίσματα είναι 00 και για κάθε Α κάθισμα 350, να παρουσιαστεί το πρόβλημα ως πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού. ΘΕΜΑ 3 Ο : Ζητείται ο σχολιασμός και η αξιολόγηση της λύσης στο ακόλουθο πρόβλημα: Η επιχείρηση Κ, παράγει τέσσερα προϊόντα, τα Γ, Δ, Ε, Ζ και προγραμματίζει την παραγωγική της διαδικασία σε εβδομαδιαία βάση. Κατά την έναρξη της διαδικασίας παράγωγης και για την ολοκλήρωση της παραγωγής των προϊόντων Γ, Δ, Ε, Ζ οι διαθέσιμοι παραγωγικοί συντελεστές είναι οι ακόλουθοι: Εργατοώρες Α: 5.000 Εργατοώρες Β: 5.600 Αποθέματα Πρώτων Υλών Α:.000 Αποθέματα Πρώτων Υλών Β: 7.000 Κεφάλαιο: 6.000 χρηματικές μονάδες Η ανάλυση Αγοράς του προϊόντος Ζ κατέληξε στο συμπέρασμα ότι η μέγιστη ποσότητα προϊόντων Ζ που μπορούν να διαθέτουν είναι 00 μονάδες. Τέλος, το προβλεπόμενο ανά μονάδα κέρδος από τα παραγόμενα προϊόντα, είναι 0, 8, 5 και 5 χρηματικές μονάδες για τα Γ, Δ, Ε, Ζ προϊόντα αντίστοιχα Με βάση τα παραπάνω, το πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού που θα εκφράσει την παραγωγική διαδικασία είναι το ακόλουθο: Σχέση Σκοπού: ΜΕΓ. Ζ = 0χ + 8χ + 5χ 3 + 5χ 4 6χ + 5χ + 4χ 3 + 8χ 4 5.000 χ + 3χ + χ 3 + 4χ 4.000 4χ + χ + 8χ 3 + χ 4 6.000 Σύστημα Περιορισμών: 0χ + 0χ + 4χ 3 + 8χ 4 5.600 χ + 4χ + 8χ 3 + 6χ 4 7.000 χ 4 00 Η λύση του προβλήματος δίνεται στον ακόλουθο Πινάκα. ΠΙΝΑΚΑΣ Η άριστη λύση του πρωτεύοντος και δυικού προβλήματος Γραμμικού Προγραμματισμού Α. Η ΤΙΜΗ ΤΗΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΙΝΑΙ: 9.3,5 ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ ΒΑΣΙΚΗ ΤΙΜΗ ΑΞΙΑ Μία προσφορά της ΔΑΠ Οικονομικού www.dap-oikonomikou.gr - Σελίδα 8 από 80
Θέματα Εξετάσεων Παλαιότερων Ετών Μαθήματα Κατευθύνσεων Ποσοτικές Μέθοδοι Απρίλιος 009 Χ ΝΑΙ 75,0 0 Χ ΟΧΙ 0,65 Χ 3 ΝΑΙ 3,5 0 Χ 4 ΝΑΙ 00,0 0 Β. ΔΥΙΚΕΣ ΤΙΜΕΣ ΚΑΙ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΗΣΗ ΠΟΡΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ ΔΥΙΚΗ ΔΕΞΙΑ ΠΟΣΟ ΧΑΛΑΡΗ ΥΠΟΛΟΙΠΟ ΔΥΙΚΟΥ ΤΙΜΗ ΣΤΑΘΕΡΑ ΧΡΗΣ/ΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ Y 0 5000 4500 S = 500 Y 0 000 66,5 S = 337,5 Y 3 0,56 6000 6000 S 3 = 0 Y 4 0,938 5600 5600 S 4 = 0 Y 5 0 7000 450 S 5 = 750 Y 6 5,6 00 00 S 6 = 0 Γ. ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΥΑΙΣΘΗΣΙΑΣ ΔΕΞΙΩΝ ΣΤΑΘΕΡΩΝ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ ΤΡΕΧΟΥΣΑ ΤΙΜΗ ΚΑΤΩΤΑΤΟ ΟΡΙΟ ΑΝΩΤΑΤΟ ΟΡΙΟ Π 5000 4500 + Π 000 66,5 + Π 3 6000 4000 8000 Π 4 5600 3400 6600 Π 5 7000 450 + Π 6 00 0 358,3 Δ. ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΥΑΙΣΘΗΣΙΑΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΩΝ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ ΤΡΕΧΟΥΣΑ ΤΙΜΗ ΚΑΤΩΤΑΤΟ ΟΡΙΟ ΑΝΩΤΑΤΟ ΟΡΙΟ Χ 0 8,5,5 Χ 8 + 0,6 Χ 3 5 4 6,36 Χ 4 5 9,38 + Ζητείται να σχολιασθεί η λύση του προβλήματος γενικά και ειδικά να απαντηθούν τα ακόλουθα ερωτήματα:. Κάποια ποσότητα αποθεμάτων υλών θεωρείται «ελεύθερη» και δεν έχει οικονομικό ενδιαφέρον. Ποια είναι η ποσότητα αυτή; Πως φαίνεται αυτό η λύση του προβλήματος (πρωτεύων και δυικό πρόβλημα);. Οι υπεύθυνοι εισηγούνται την έγκριση υπερωριακής απασχόλησης 00 εργατοωρών Α, προκειμένου να υλοποιήσουν το πρόγραμμα το οποίο προτείνεται από τη λύση του προβλήματος Γραμμικού Προγραμματισμού. Λάβετε την ορθή απόφαση, αιτιολογώντας την κατάλληλα. Μία προσφορά της ΔΑΠ Οικονομικού www.dap-oikonomikou.gr - Σελίδα 9 από 80
Θέματα Εξετάσεων Παλαιότερων Ετών Μαθήματα Κατευθύνσεων Ποσοτικές Μέθοδοι Απρίλιος 009 3. Οι υπεύθυνοι εισηγούνται την έγκριση υπερωριακής απασχόλησης 00 εργατοωρών Β, προκειμένου να υλοποιήσουν το πρόγραμμα που προτείνεται από την λύση του προβλήματος Γραμμικού Προγραμματισμού. Λάβετε την ορθή απόφαση αιτιολογώντας την κατάλληλα. 4. Ο υπεύθυνος του Τμήματος αποθεμάτων υλών Β αιτιάται ότι τα υφιστάμενα αποθέματα Α υλών δεν είναι αρκετά και απαιτεί πρόσθετη παραγγελία Α υλών (χωρίς να αλλάξει η άριστη λύση). Θα πρέπει να εγκριθεί (και σε ποια ποσότητα) η αγορά αυτή; Ναι ή όχι; Αιτιολογείστε την απάντηση σας. 5. Η εταιρία μπορεί να δανεισθεί επιπλέον κεφάλαιο 00 χ.μ. για να το επενδύσει στην παράγωγη προϊόντων, με επιτόκιο 3%. Να δανεισθεί το ποσό αυτό; Ναι ή όχι; Αιτιολογείστε την απάντηση σας. Να απαντηθούν τα από τα 3 θέματα! ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ - ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 004 Να γραφούν τα από τα 3 θέματα: ΘΕΜΑ Κατά την παράδοση στην Διοίκηση του Διυλιστηρίου του επισυναπτόμενου σχεδίου Παραγωγής Προϊόντων του Διυλιστηρίου, μεσολάβησαν γεγονότα τα οποία απαιτούν την εκ νέου θεώρηση του υποβληθέντος προγράμματος αριστοποίησης του Διυλιστηρίου. Τα γεγονότα τα οποία μεσολάβησαν είναι τα ακόλουθα:. Η πετρελαιοπηγή από την οποία προμηθεύεται το ακατέργαστο πετρέλαιο τύπου Ι, παρουσίασε λόγω εξτρεμιστικής ενέργειας, αδυναμία διάθεσης της συμφωνημένης ποσότητας, περιορίζοντας την ποσότητα αυτή κατά 0%. Οι υπεύθυνοι του Διυλιστηρίου διαπραγματεύθηκαν με τους προμηθευτές ακατέργαστου πετρελαίου τύπου II, ζητώντας την αύξηση της διαθεσιμότητας του πετρελαίου τύπου II. Οι υπεύθυνοι όμως του πετρελαίου II, δέχτηκαν την αύξηση της διαθεσιμότητας του πετρελαίου τύπου II, μόνο κατά 5%.. Οι εργαζόμενοι στο Διυλιστήριο απαιτούν την αναπροσαρμογή των αποδοχών τους και ζητούν επαναδιαπραγμάτευση της υπάρχουσας σύμβασης εργασίας, αιτούμενοι αύξηση κατά 0%. Ο υπεύθυνος του Διυλιστηρίου αρνείται οποιαδήποτε διαπραγμάτευση με αποτέλεσμα να κατέλθουν σε απεργία πέντε ημερών. Οι επιπτώσεις της απεργιακής κινητοποίησης ήταν ο περιορισμός της δυνατότητας απόσταξης κατά 5%, του ανασχηματισμού κατά 0% και της διάσπασης κατά 5%. 3. Οι εργαζόμενοι μετά από σκληρή διαπραγμάτευση με την διοίκηση του Διυλιστηρίου επανέρχονται στην εργασία τους, αρκούμενοι σε αύξηση των αποδοχών τους 0%. Η αύξηση όμως αυτή περιορίζει το κέρδος των παραγόμενων προϊόντων κατά 5%. 4. Η αναταραχή στις εργασιακές σχέσεις και το πρόβλημα στην πετρελαιοπηγή παροχής ακατέργαστου πετρελαίου τύπου Ι, είχαν ως αποτέλεσμα τον περιορισμό σε οκτάνια της ανασχηματισμένης βενζίνης κατά 0%, ενώ παράλληλα περιορίσθηκε η απόδοση της νάφθας, σε ανασχηματισμένη βενζίνη κατά 0., 0. και 0.5, για ελαφρά, μέση και βαριά νάφθα αντίστοιχα. Μία προσφορά της ΔΑΠ Οικονομικού www.dap-oikonomikou.gr - Σελίδα 0 από 80
Θέματα Εξετάσεων Παλαιότερων Ετών Μαθήματα Κατευθύνσεων Ποσοτικές Μέθοδοι Απρίλιος 009 Εν' όψει των ανωτέρω μεταβολών καλείστε να προβείτε στις απαραίτητες αναπροσαρμογές του προταθέντος προγράμματος γραμμικού προγραμματισμού. ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ ΔΙΥΛΙΣΤΗΡΙΟΥ Ένα διυλιστήριο πετρελαίου, αγοράζει δύο () τύπους ακατέργαστου πετρελαίου (ακατέργαστος τύπος και ακατέργαστος τύπος ). Αυτοί οι ακατέργαστοι τύποι πετρελαίου περνούν από τέσσερις (4) διαδικασίες: απόσταξη - ανασχηματισμό - διάσπαση - ανάμειξη, για να παραχθούν βενζίνες και καύσιμα προς πώληση. Ακατέργαστο πετρέλαιο Ακατέργαστο πετρέλαιο Ι. ΑΠΟΣΤΑΞΗ: Η απόσταξη διαχωρίζει κάθε ακατέργαστο τύπο πετρελαίου σε κλάσματα, που είναι γνωστά σαν ελαφρά νάφθα, μέσου βάρους νάφθα, βαριά νάφθα, ελαφρύ πετρέλαιο, βαρύ πετρέλαιο και τα κατάλοιπα (ίζημα) σύμφωνα με το σημείο βρασμού του κάθε κλάσματος. Η ελαφρά, μέση και βαριά νάφθα έχουν αριθμούς οκτανίων 90, 80 και 70 αντίστοιχα. Τα κλάσματα (μέρη), στα οποία ένα βαρέλι κάθε τύπου ακατέργαστου πετρελαίου διαχωρίζεται, δίνονται από τον παρακάτω πίνακα. Ελαφρά μέση βαριά ελαφρύ πετρέλαιλαιο βαρύ πετρέ- νάφθα νάφθα νάφθα Κατάλοιπα 0, 0, 0, 0, 0, 0,3 0,5 0,5 0,8 0,08 0,9 0, II. ΑΝΑΣΧΗΜΑΤΣΜΟΣ: Οι νάφθες μπορούν να χρησιμοποιηθούν αμέσως για ανάμειξη σε διάφορες κατηγορίες βενζίνης ή δυνατόν να περάσουν από δοκιμασία γνωστή σαν ανασχηματισμό. Ο ανασχηματισμός παράγει ένα προϊόν γνωστό σαν ανασχηματισμένη βενζίνη, με αριθμό οκτανίων 5. Η απόδοση σε ανασχηματισμένη βενζίνη κάθε βαρελιού τύπων νάφθας δίνεται παρακάτω: βαρέλι ελαφράς νάφθας αποδίδει 0,6 βαρέλια ανασχηματισμένης βενζίνης βαρέλι νάφθας μέσου βάρους αποδίδει 0,5 βαρέλια ανασχηματισμένης βενζίνης βαρέλι βαριάς νάφθας αποδίδει 0,45 βαρέλια ανασχηματισμένης βενζίνης III. ΔΙΑΣΠΑΣΗ: Τα πετρέλαια, ελαφρύ και βαρύ, μπορούν είτε να χρησιμοποιηθούν απευθείας για ανάμειξη με καύσιμο αεριωθουμένων και καύσιμο πετρέλαιο ή δυνατόν να περάσουν από μια διαδικασία γνωστή σαν «καταλυτική διάσπαση». Ο καταλυτικός διασπαστής παράγει διασπασμένο πετρέλαιο και διασπασμένη βενζίνη. Η διασπασμένη βενζίνη έχει αριθμό οκτανίων 05. βαρέλι ελαφρού πετρελαίου αποδίδει 0,68 βαρέλια διασπασμένου πετρελαίου και 0,8 βαρέλια διασπασμένης βενζίνης βαρέλι βαρύ πετρέλαιο αποδίδει 0,75 βαρέλια διασπασμένου πετρελαίου και 0, βαρέλια διασπασμένης βενζίνης Μία προσφορά της ΔΑΠ Οικονομικού www.dap-oikonomikou.gr - Σελίδα από 80
Θέματα Εξετάσεων Παλαιότερων Ετών Μαθήματα Κατευθύνσεων Ποσοτικές Μέθοδοι Απρίλιος 009 Το διασπασμένο πετρέλαιο χρησιμοποιείται για ανάμειξη καύσιμου πετρελαίου και καύσιμου αεριωθουμένων. Η διασπασμένη βενζίνη χρησιμοποιείται για ανάμειξη βενζίνης. Το κατάλοιπο μπορεί να χρησιμοποιηθεί για παραγωγή λιπαντικών ή για ανάμειξη που δίνει καύσιμο αεριωθούμενων και καύσιμο πετρελαίου. βαρέλι κατάλοιπου αποδίδει 0,5 βαρέλια λιπαντικού IV. ΑΝΑΜΕΙΞΗ: α) βενζίνες (καύσιμο μηχανών) Υπάρχουν δύο () τύποι βενζίνης, κανονική και SUPER, που βγαίνουν από ανάμειξη της νάφθας (ελαφρά συν μέσου βάρους συν βαριά), της ανασχηματισμένης βενζίνης και της διασπασμένης βενζίνης. Οι μόνοι περιορισμοί σε ότι αφορά τους δύο τύπους βενζίνης είναι ότι η κανονική πρέπει να έχει αριθμό οκτανίων τουλάχιστον 84 και η SUPER αριθμό οκτανίων τουλάχιστον 94. Υποτίθεται ότι οι αριθμοί οκτανίων αναμιγνύονται γραμμικά κατ' όγκο. β) Καύσιμο αεριωθούμενων Ο περιορισμός που αφορά το καύσιμο αεριωθουμένων είναι ότι η πίεση του ατμού του δεν πρέπει να υπερβαίνει το Kgr/cm. Οι πιέσεις ατμού του ελαφρού, βαρίου και διασπασμένου πετρελαίου καθώς και του κατάλοιπου είναι αντίστοιχα - 0,6 -,5-0,05 Kgr/cm. Μπορεί και πάλι να υποτεθεί ότι οι πιέσεις ατμού αναμιγνύονται γραμμικά κατ' ό- γκο. γ) Καύσιμο πετρέλαιο Για να παραχθεί καύσιμο πετρέλαιο, το ελαφρύ πετρέλαιο, το διασπασμένο πετρέλαιο, το βαρύ πετρέλαιο και το κατάλοιπο, πρέπει να αναμειχθούν σε αναλογία 0:4:3:. Υπάρχουν περιορισμοί διαθεσιμότητας και ικανότητας για τις ποσότητες και τις διαδικασίες παραγωγής που χρησιμοποιούνται. > Η ημερήσια διαθεσιμότητα ακατέργαστου πετρελαίου τύπου Ι είναι 0.000 βαρέλια. > Η ημερήσια διαθεσιμότητα ακατέργαστου πετρελαίου τύπου είναι 30.000 βαρέλια. > Τα ανωτέρω 45.000 βαρέλια ακατέργαστου πετρελαίου μπορούν να αποσταχθούν ημερήσια. > Τα ανωτέρω 0.000 βαρέλια νάφθας μπορούν να ανασχηματιστούν ημερήσια. > Τα ανωτέρω 8.000 βαρέλια πετρελαίου μπορούν να διασπασθούν ημερήσια. > Η ημερήσια παραγωγή λιπαντικών πρέπει να είναι μεταξύ 500-000 βαρελιών > Η παραγωγή βενζίνης SUPER πρέπει να είναι τουλάχιστον 40% της παραγωγή της κανονικής βενζίνης (καύσιμο μηχανών) Οι συνεισφορές στο κέρδος από την πώληση των τελικών προϊόντων είναι (σε πέννες ανά βαρέλι): Βενζίνη SUPER 700 Βενζίνη κανονική 600 Καύσιμο αεριωθούμενων 400 Καύσιμο πετρέλαιο 350 Λιπαντικό 50 Μία προσφορά της ΔΑΠ Οικονομικού www.dap-oikonomikou.gr - Σελίδα από 80
Θέματα Εξετάσεων Παλαιότερων Ετών Μαθήματα Κατευθύνσεων Ποσοτικές Μέθοδοι Απρίλιος 009 Πως θα πρέπει να σχεδιαστούν οι λειτουργίες του διυλιστηρίου προκειμένου να μεγιστοποιηθεί το συνολικό κέρδος; Στα θέματα, ακολουθούσαν ένα διάγραμμα απόσταξης ανάμειξης και η αριστοποίηση του διυλιστηρίου με σχέση σκοπού MAX Z = 700X 8 + 600X 9 + 350X 38 + 400X 39 + 50X 7 ΘΕΜΑ Ένα εργοστάσιο παραγωγής οικιακών συσκευών παράγει τριών ειδών Οικιακά Σκεύη, ποτήρια (Α) και πιάτα δύο ειδών (Β και Γ). Για την παραγωγή των ανωτέρω προϊόντων χρησιμοποιεί συνολικά πρώτες ύλες μονάδων, εργατοώρες 7 μονάδων, και κεφάλαιο 0 χρηματικών μονάδων. Για την παραγωγή μιας μονάδας του προϊόντος τύπου (Α) (ποτήρια), απαιτούνται 3 εργατοώρες, μονάδες πρώτης ύλης και 4 χρηματικές μονάδες. Για την παραγωγή μιας μονάδας του προϊόντος τύπου (Β) (πιάτα τύπου Β) απαιτούνται, εργατοώρα, 4 μονάδες πρώτων υλών και 3 χρηματικές μονάδες. Τέλος για την παραγωγή μιας μονάδας τύπου (Γ) (πιάτα τύπου Γ), απαιτείται η χρήση μονάδων εργασίας και 8 χρηματικών μονάδων. Το αναμενόμενο κέρδος ανά μονάδα πωλούμενου προϊόντος είναι (), (3) και () χρηματικές μονάδες αντίστοιχα για τα προϊόντα Α. (ποτήρια), Β. (πιάτα τύπου Β) και Γ. (πιάτα τύπου Γ). Με βάση την παρατιθέμενη λύση του ανωτέρου προβλήματος απαντήστε στα κατωτέρω ερωτήματα :. Ποιος από τους τρεις χρησιμοποιούμενους παραγωγικούς συντελεστές συμβάλει περισσότερο στο συνολικό κέρδος της επιχείρησης;. Χρησιμοποιείστε τα αποτελέσματα που δίδονται από την λύση του προβλήματος για να ασκήσετε έλεγχο στις αποθήκες της επιχείρησης. Ο υπεύθυνος των αποθεμάτων, ισχυρίζεται ότι στην αποθήκη υπάρχουν αποθέματα ύψους μονάδων. Τι ακριβώς συμβαίνει; 3. Οι εργαζόμενοι διεκδικούν υπερωρίες. Ποια θα πρέπει να είναι η απάντηση σας; 4. Οι προμηθευτές πρώτων υλών αυξάνουν τις τιμές κατά 0% με αποτέλεσμα τον περιορισμό των κερδών της ε- πιχείρησης. Τι επίπτωση έχει η ανατίμηση αυτή, και πως θα διαπιστωθεί από τα δεδομένα της λύσης που σας έχει δοθεί; Στα θέματα ακολουθούσε σε πίνακα : η Λύση του Προβλήματος, η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης (=9,5), δυϊκές τιμές και χρησιμοποίηση πόρων, ανάλυση ευαισθησίας δεξιών σταθερών, ανάλυση ευαισθησίας συντελεστών αντικειμενικής συνάρτησης. ΘΕΜΑ 3 Η απελευθέρωση της αγοράς των τηλεπικοινωνιών σε συνδυασμό με την ψηφιακοποίηση του τηλεπικοινωνιακού δικτύου και την εισαγωγή των υπηρεσιών κινητής τηλεφωνίας ξηράς, είχαν ως αποτέλεσμα τον περιορισμό των μεριδίων αγοράς του Κρατικού - Μονοπωλιακού ΟΤΕ. Έτσι, η προσπάθεια που σήμερα καταβάλλει ο ΟΤΕ είναι να περιορίσει την συρρίκνωση του μεριδίου αγοράς του. Μία προσφορά της ΔΑΠ Οικονομικού www.dap-oikonomikou.gr - Σελίδα 3 από 80
Θέματα Εξετάσεων Παλαιότερων Ετών Μαθήματα Κατευθύνσεων Ποσοτικές Μέθοδοι Απρίλιος 009 Παρουσιάστε την προσπάθεια του ΟΤΕ ως πρόβλημα Γραμμικού Προγραμματισμού, υιοθετώντας τις κατά την αντίληψη σας υποθέσεις με βάση τα δρώμενα σήμερα στην αγορά των Τηλεπικοινωνιών. Σημαντικό στοιχείο στις απαντήσεις σας θα είναι οι υποθέσεις που θα υιοθετήσετε και η συνεπεία αυτών εισαγωγή περιορισμών στο πρόβλημα Γραμμικού Προγραμματισμού που καλείστε να παρουσιάσετε. Να απαντήσετε και τα τρία θέματα. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙΙ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 009 ΘΕΜΑ (4 ΜΟΝΑΔΕΣ) Έστω ότι η από κοινού συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας των συνεχών τυχαίων μετα-βλητών Χ και Υ έχει την ακόλουθη μορφή: f ( x, y ) [ ] [ ] [ ] y [ ] k ( x + y ) x 0,, y 0, = 0 x 0,, 0, α. Να υπολογιστεί η τιμή της σταθεράς k. β. Να εξεταστεί αν οι συνεχείς τυχαίες μεταβλητές Χ και Υ μπορεί να θεωρηθούν στατιστικά ανεξάρτητες. γ. Να εξεταστεί αν οι συνεχείς τυχαίες μεταβλητές Χ και Υ μπορεί να θεωρηθούν ασυ-σχέτιστες. δ. Να υπολογιστεί η δεσμευμένη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f(yǀ x). ΘΕΜΑ (3 ΜΟΝΑΔΕΣ) Α. Έστω ότι η συνεχής τυχαία μεταβλητή Χ έχει την ακόλουθη συνάρτηση πυκνότητας πιθα-νότητας [ ] [ ] /4 x, f ( x ) = 0 x, Να βρεθεί η ροπογεννήτρια συνάρτηση της κατανομής της τυχαίας μεταβλητής Χ. Β. Αν η ροπογεννήτρια συνάρτηση της κατανομής της τυχαίας μεταβλητής Χ είναι 3 M x ( ) =, < 3 3 Να βρεθεί η ροπογεννήτρια συνάρτηση της κατανομής της τυχαίας μεταβλητής Υ=3Χ+ Γ. Αν η ροπογεννήτρια συνάρτηση της κατανομής της τυχαίας μεταβλητής Χ είναι n M x ( ) = ( ), λ > 0 λ Να υπολογιστούν η μαθηματική ελπίδα και η διακύμανση της τυχαίας μεταβλητής Χ. ΘΕΜΑ 3 (3 ΜΟΝΑΔΕΣ) Α. Ρίχνουμε δύο ζάρια 6 φορές και καταγράφουμε τα άθροισμα των εδρών τους. Να υπολογιστούν προσεγγιστικά οι πιθανότητες όπως το άθροισμα 9 να εμφανιστεί i) τουλάχιστον 30 φορές ii) από τουλάχιστον 0 έως 30 φορές Φ(3)=0,9987, Φ(0,50)=0.695 Μία προσφορά της ΔΑΠ Οικονομικού www.dap-oikonomikou.gr - Σελίδα 4 από 80
Θέματα Εξετάσεων Παλαιότερων Ετών Μαθήματα Κατευθύνσεων Ποσοτικές Μέθοδοι Απρίλιος 009 Β. Η διακριτή τυχαία μεταβλητή Χ, για k, έχει συνάρτηση πιθανότητας ( k / k x = 0 p ( x ) = / ( k ) x = k 0 x δ ια φ ο ρ ε τικ ό i) Να υπολογιστεί η μέση τιμή μ και η διακύμανση σ της τυχαίας μεταβλητής Χ, στη συνέχεια, ii) Να συγκριθεί η ακριβής τιμή της πιθανότητας P(ǀX-μǀ<kσ) με το κατώτερο όριο αυτής που προκύπτει από την ανισότητα Chebychev. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙΙ ΙΑΝ 008 (Διδάσκων: Μ. Λιναρδάκης) Να απαντηθεί υποχρεωτικά το Ζήτημα, καθώς και Ένα από τα Ζητήματα και 3. Ζήτημα Α) Αν X τυχαία μεταβλητή με συνάρτηση πιθανότητας f( x) = c x, x=,,... όπου c > 0 μια πραγματική σταθερά, α) να βρεθεί η ροπογεννήτρια της X β) με χρήση της ροπογεννήτριας, να υπολογισθεί η σταθερά c. Β) Έστω X, X,..., X ν ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές που ακολουθούν την κατανομή Γάμμα με παραμέτρους ( αβ ), ( αβ ),, ( αν β ) αντίστοιχα. Με χρήση θεωρίας ροπογεννητριών, να βρεθεί: α) η ροπογεννήτρια της X, i =,..., ν, και β) η κατανομή του αθροίσματος X+ X +... + X ν. i Δίνεται ο τύπος της κατανομής Γάμμα με παραμέτρους α και β είναι x α β ( ) =, > 0, α > 0, β > 0 a f x x e x β Γ( α). Ζήτημα Α) Εργαζόμενοι βαθμολογούν ανώνυμα (με άριστα το 00) τους χειρισμούς της νέας διεύθυνσης της επιχείρησης στην οποία εργάζονται. Δείγμα 8 βαθμολογιών εργαζομένων, καθώς και το τμήμα της επιχείρησης στο οποίο εργάζονται, δίδεται στον πίνακα που ακολουθεί. Τμήμα παραγωγής 70 80 50 65 60 Οικονομικό τμήμα 90 75 85 Θεωρούμε ότι οι κατανομές των βαθμολογιών στα δύο τμήματα της επιχείρησης προέρχονται από συμμετρικές κατανομές. Μπορούμε να αποφανθούμε, με υπολογισμό του p value και σε επίπεδο σημαντικότητας α = 5%, ότι οι εργαζόμενοι στο οικονομικό τμήμα δίνουν, κατά μέσο όρο, υψηλότερη βαθμολογία στους χειρισμούς της νέας διεύθυνσης; Ποια θα ήταν η απόφαση στο ερευνητικό ερώτημα «οι μέσες βαθμολογίες των εργαζομένων των δύο τμημάτων δεν διαφοροποιούνται»; Μία προσφορά της ΔΑΠ Οικονομικού www.dap-oikonomikou.gr - Σελίδα 5 από 80
Θέματα Εξετάσεων Παλαιότερων Ετών Μαθήματα Κατευθύνσεων Ποσοτικές Μέθοδοι Απρίλιος 009 Β) Στην έρευνα του προηγούμενου ερωτήματος, καταγράφηκε επίσης αν 5 εργαζόμενοι επιθυμούν την αλλαγή της κατάστασης, της πολιτικής της απερχόμενης διοίκησης (απαντήσεις «Ναι» ή «Όχι»). Η ανάλυση των αποτελεσμάτων, που έγινε με το SPSS, παρουσιάζονται παρακάτω. Πίνακας συνάφειας Coun ναι όχι Toal τμήμα παραγωγής 5 7 οικονομικό τμήμα 5 3 8 Toal 0 5 5 Chi-Square Tess Pearson Chi-Square McNemar Tes N of Valid Cases Value.48 b 5 df Asymp. Sig. ( sided) Exac Sig. ( sided).5.94.43 d a. Compued only for a x able b. cells (50.0%) have expeced coun less han 5. The minimum expeced coun is 3.0. d. Binomial disribuion used. Να εξηγηθεί πλήρως πως έχουν προκύψει τα αποτελέσματα που παρέχονται στον δεύτερο πίνακα. Να διατυπωθεί το κατάλληλο ζεύγος υποθέσεων για κάθε μια περίπτωση. Αν το ερευνητικό ερώτημα είναι το αν η στάση των εργαζομένων διαφοροποιείται ανάλογα με το τμήμα, ποιο p-value αντιστοιχεί στον έλεγχο και ποια απόφαση λαμβάνεται σε α = 0%; Ζήτημα 3 Σε έρευνα για τα κέρδη εμπορικών καταστημάτων καταγράφηκαν τα καθαρά κέρδη (σε χιλιάδες ευρώ) καταστημάτων κατά τα έτη 006 και 007, καθώς και ο κλάδος στον οποίο ανήκουν τα καταστήματα (με τιμές : τροφίμων, : ηλεκτρικών, 3: είδη ρουχισμού). Τα αποτελέσματα καταγράφονται στον πίνακα που ακολουθεί. Κέρδη 006 7 35 4 5 30 36 44 38 4 4 49 Κέρδη 007 7 39 40 35 3 36 50 38 45 4 60 Κλάδος 3 3 3 Α) Στα δεδομένα επιχειρήθηκε ανάλυση, τα αποτελέσματα της οποίας δίδονται στους πίνακες που ακολουθούν. Ranks κλάδος Ν Mean Rank έτος 007 τροφίμων 4.75 ηλεκτρικών 5 9.40 ειδών ρουχισμού 3 6.67 Toal Tes Saisics a, b έτος 007 Μία προσφορά της ΔΑΠ Οικονομικού www.dap-oikonomikou.gr - Σελίδα 6 από 80
Θέματα Εξετάσεων Παλαιότερων Ετών Μαθήματα Κατευθύνσεων Ποσοτικές Μέθοδοι Απρίλιος 009 Chi-Square df Asymp. Sig. Exac Sig. 7.568.03.007 a. Kruskal Wallis Tes b. Grouping Variable: κλάδος Να εξηγηθούν πλήρως όλα τα αποτελέσματα που παρέχονται και πως έχουν υπολογισθεί. Ποιο είναι το ζεύγος υποθέσεων που ελέγχεται και ποια απόφαση λαμβάνεται σε α = %; Β) Μπορούμε με βάση τα δεδομένα να αποφανθούμε, σε επίπεδο σημαντικότητας α = 5%, ότι η μέση τιμή των κερδών αυξήθηκε στο 007 σε σχέση με το 006; (να διατυπωθεί το κατάλληλο ζεύγος υποθέσεων, να επιλεγεί ο έλεγχος που ενδείκνυται και να υπολογισθεί το p-value). Ποιο είναι το αποτέλεσμα του ελέγχου στην περίπτωση που ενδιαφερόμαστε να εξετάσουμε αν η μέση τιμή των κερδών διαφοροποιήθηκε κατά την πάροδο του ενός έτους. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ III ΣΕΠΤ 007 Μ. Λιναρδάκης (διδάσκων με σύμβαση ΠΔ./407 σε βαθμίδα Λέκτορα) Να απαντήσετε σε δύο από τα τρία ζητήματα που ακολουθούν. Τα θέματα είναι βαθμολογικά ισοδύναμα. Ζήτημα Α) Ένας ερευνητής πήρε τα παρακάτω αποτελέσματα του SPSS σε μια ανάλυση. Ranks ομάδα Ν Mean βαθμός.00 Rank 5.00 400 3 533 Tes Saisics Sum of Ranks Mann-Whiney U βαθμός 0.00 5.000 6.00 Wilcoxon W 0.000 Toal 8 Ζ Asymp. Sig. (-ailed) -.745.456 Exac Sig. [*(-ailed.57 a Sig )] a No correced for ies, b. Grouping Variable: ομάδα Να διατυπωθεί το πρόβλημα στο οποίο δίδουν απάντηση οι παραπάνω πίνακες (αρχική και εναλλακτική υπόθεση). Ποιος έλεγχος έχει χρησιμοποιηθεί και ποιο είναι το συμπέρασμα στο οποίο καταλήγουμε; (να ερμηνευθούν πλήρως όλα τα αποτελέσματα που παρέχουν οι πίνακες). Β) Ρίχνουμε ένα κύβο 48 φορές. Ο κύβος έχει πλευρές αριθμημένες από το ως το 6. Να βρεθεί η πιθανότητα το άθροισμα των αποτελεσμάτων που προκύπτουν από ης ρίψεις να μην υπερβαίνει το 3. Ζήτημα Α) Η τυχαία μεταβλητή Χ ακολουθεί την κατανομή Γάμμα με -- /(χ) = ------ χ α l e β, χ> 0, α > 0, β > 0. Να βρεθεί η ροπογεννήτρια συνάρτηση της Χ. Μία προσφορά της ΔΑΠ Οικονομικού www.dap-oikonomikou.gr - Σελίδα 7 από 80
Θέματα Εξετάσεων Παλαιότερων Ετών Μαθήματα Κατευθύνσεων Ποσοτικές Μέθοδοι Απρίλιος 009 Β) 60 άτομα εξέφρασαν τη γνώμη τους για ένα νέο οικονομικό μέτρο πριν και μετά από μια τροποποίηση. Τα α- ποτελέσματα δίδονται στον παρακάτω πίνακα. Μετά την τροποποίηση Θετική Αρνητική Πριν την τροποποίηση άποψη άποψη Θετική άποψη 7 0 Αρνητική άποψη 8 5 Με βάση τα δεδομένα αυτά, θα προτείνατε στον αρμόδιο φορέα να προχωρήσει στην τροποποίηση του οικονομικού μέτρου, αν ο γνώμονας του είναι η θετική άποψη των ατόμων; Ζήτημα 3 Α) Ένας διευθυντής επιχείρησης θέλει να ελέγξει την αποτελεσματικότητα δύο μεθόδων παραγωγής. Για το λόγο αυτό, δίδει οδηγίες σε 8 εργαζόμενους να χρησιμοποιήσουν διαδοχικά τις δύο μεθόδους, επί μια ώρα εκάστη, και να καταγράψουν τον αριθμό των παραγόμενων προϊόντων. Τα αποτελέσματα δίδονται στον παρακάτω πίνακα. Εργαζόμενος 3 4 5 6 7 8 Μέθοδος παραγωγής Α 7 3 0 9 7 0 Μέθοδος παραγωγής Β 0 8 9 8 8 3 5 9 Με χρήση του προσημικού ελέγχου, μπορούμε να αποφανθούμε ότι είναι η μέθοδος παραγωγής Α αποτελεσματικότερη της Β; Διατυπώστε το κατάλληλο ζεύγος υποθέσεων. Τι συμπεραίνετε, σε α=0.05; Η απόφαση να ληφθεί υπολογίζοντας το παρατηρούμενο επίπεδο στατιστικής σημαντικότητας (p-value). Β) Έστω η τυχαία μεταβλητή Χ με f(x) ke '"', Χ Ε Μ.. Με χρήση της ροπογεννήτριας συνάρτησης, να βρεθεί η διακύμανση της τυχαίας μεταβλητής Χ. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Αθροιστική συνάρτηση κατανομι ς της Διωνυ μι κ ής (π=4 Ρ =0.3) Χ 0 3 4 5 6 Ρ{Χ < χ) 0.0068 0.0475 0.608 0.355 0.584 0.7805 0.9067 Χ 7 8 9 0 3 Ρ(Χ < χ) 0.9685 0.997 0.9983 0.9998 Αθροιστική συνάρτηση κατανομής της Διωνυμικής (η=8, ρ=0.5) Χ 0 -> 3 4 5 6 7 8 Ρ(Χ < χ) 0.004 0.035 0.45 0.363 0.637 0.855 0.965 0.996 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙΙ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 007 Μ. Λιναρδάκης Να απαντήσετε σε τρία από τα τέσσερα ζητήματα που ακολουθούν. Τα θέματα είναι βαθμολογικά ισοδύναμα. Μία προσφορά της ΔΑΠ Οικονομικού www.dap-oikonomikou.gr - Σελίδα 8 από 80
Θέματα Εξετάσεων Παλαιότερων Ετών Μαθήματα Κατευθύνσεων Ποσοτικές Μέθοδοι Απρίλιος 009 Ζήτημα a) Έστω Χ τυχαία μεταβλητή που ακολουθεί την εκθετική κατανομή με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας. Με χρήση της ροπογεννήτριας συνάρτησης, να βρεθεί η μέση τιμή και η διακύμανση της Χ. b) Να αποδειχτεί ότι για την τυχαία μεταβλητή Χ με κατανομή f(x),τη συνάρτηση u(x) 0 και τη σταθερά c>0, ισχύει ότι: PuX [ c] ( ( )) ( ) < EuX (ανισότητα Chebyshev). c Ζήτημα a) Αν X, X,..., Xn είναι ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές με ροπογεννήτριες M x( ), Mx( ),..., Mxn( ), να βρεθεί η ροπογεννήτρια του αθροίσματος n Y = X i= i των τυχαίων μεταβλητών. b) Έστω X, X,..., X n ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές που ακολουθούν τη κανονική κατανομή με μέσες τιμές μ, μ,..., μ n και τυπικές αποκλίσεις σ, σ,..., σ n αντίστοιχα. Με χρήση ροπογεννητριών, να βρεθεί η κατανομή του α- θροίσματος n i= i Y = X. (Σημείωση: εάν, κατά την επίλυση, χρησιμοποιηθεί τύπος ροπογενήτριας οποιασδήποτε κατανομής, θα πρέπει πρώτα να αποδειχθεί εφόσον δεν θεωρείται δεδομένος ή γνωστός εκ των προτέρων). Ζήτημα 3 8 ινδικά χοιρίδια υποβάλλονται σε έντονο στρες επί ένα μήνα και προκύπτουν τα δεδομένα που παρουσιάζονται στον επόμενο πίνακα: Χοιρίδιο 3 4 5 6 7 8 Χ: βάρος στην αρχή 04 0 99 0 00 0 00 03 του μήνα (γραμμάρια) Υ: βάρος στο τέλος 94 95 54 50 08 95 05 99 του μήνα (γραμμάρια) Χ-Υ 0 7 45 5 08 95 05 99 Πρόσημο διαφοράς + + + + - + - + Σκοπός είναι, με τη βοήθεια του δείγματος αυτού, να εξεταστεί αν το στρες προκαλεί απώλεια βάρους στα χοιρίδια. a) Εξετάζοντας το δείγμα επιλέξτε τον καταλληλότερο έλεγχο μεταξύ του προσημικού και του ελέγχου Wilcoxon. Διατυπώστε το ζεύγος υποθέσεων που εξετάζει ο έλεγχος που επιλέξατε. Με βάση τον έλεγχο αυτό, ποια συμπεραίνετε, σε α=0., ότι είναι η επίδραση του στρες στο βάρος; Προκαλεί απώλειά του ή όχι; (Αν κάποιος επιλέξει προσημικό έλεγχο τότε ο αριθμός των θετικά προσημασμένων διαφορών είναι τ=6. Αν κάποιος επιλέξει έλεγχο Wilcoxon για τη διάμεση της διαφοράς Χ-Υ τότε η τιμή της ελεγχοσυνάρτησης Τ + είναι τ + =9.) b) Κάποιος ερευνητής ανέλυσε τα δεδομένα του πίνακα με κάποια στατιστική διαδικασία, χρησιμοποιώντας το στατιστικό πακέτο SPSS. Ο πίνακας με τα αποτελέσματα δίδεται παρακάτω. Χ Υ Spearman s rho X Correlaion.000-5 Μία προσφορά της ΔΑΠ Οικονομικού www.dap-oikonomikou.gr - Σελίδα 9 από 80
Θέματα Εξετάσεων Παλαιότερων Ετών Μαθήματα Κατευθύνσεων Ποσοτικές Μέθοδοι Απρίλιος 009 Coefficien Sig. (-ailed) 786 N 8 8 Y Correlaion -5.000 Coefficien Sig. (-ailed) 786 N 8 8 Να εξηγηθεί ποια ανάλυση έχει χρησιμοποιηθεί, ποια ερευνητική υπόθεση έλεγξε (να διατυπωθεί κατάλληλα η αρχική και η εναλλακτική υπόθεση, τόσο με στατιστικούς όρους όσο και με μορφή κειμένου) και ποιο είναι το συμπέρασμα του ελέγχου αυτού (να ερμηνευτούν πλήρως όλα τα στοιχεία του πίνακα αποτελεσμάτων). Ζήτημα 4 a) Ένας ερευνητής μελετάει το ύψος των ετήσιων δαπανών κρατικών και ιδιωτικών βρεφονηπιακών σταθμών κατά το έτος 006. Δύο δείγματα Χ και Υ, μεγέθους 5 και 3, λαμβάνονται αντίστοιχα και καταγράφονται στον πίνακα που ακολουθεί: Χ: δαπάνες κρατικών 35 4 37 38 44 σταθμών (σε χιλ. Ευρώ) Υ: δαπάνες ιδιωτικών 3 36 34 σταθμών (σε χιλ. Ευρώ) Να προτείνετε έναν έλεγχο προκειμένου να βρεθεί αν οι ετήσιες δαπάνες των κρατικών σταθμών είναι στατιστικά σημαντικά μεγαλύτερες από τις ετήσιες δαπάνες των ιδιωτικών. Να διατυπωθεί το κατάλληλο ζεύγος υποθέσεων και να βρεθεί το παρατηρούμενο επίπεδο σημαντικότητας του ελέγχου που επιλέξατε. Ποιο είναι το συμπέρασμα που εξάγεται; b) Να περιγράψετε (χρησιμοποιώντας και ένα παράδειγμα) τις περιπτώσεις όπου θα κρίνατε σκόπιμη τη χρήση του μη παραμετρικού ελέγχου McNemar. Ποια είναι η λογική του ελέγχου και ποιο είναι το ζεύγος των υποθέσεων που εξετάζονται; Παράρτημα Αθροιστική συνάρτηση κατανομής της Διωνυμικής κατανομής (n=8, p=0.5) X 0 3 4 5 6 7 8 P(X x) 0.0039 0.035 0.445 0.3633 0.6367 0.8555 0.9648 0.996 Αθροιστική συνάρτηση κατανομής της Διωνυμικής κατανομής (n=4. p=0.7) x 0 3 4 5 6 7 P(X x) 0 0 0 0.000 0.007 0.0083 0.035 0.0933 x 8 9 0 3 4 P(X x) 0.95 0.458 0.6448 0.839 0.955 0.993 Ποσοστιαία σημεία της ελεγχοσυνάρτησης Τ + του ελέγχου Wilcoxon (n=8) p 0.005 0.0 0.05 0.05 0. W p 4 6 9 Μία προσφορά της ΔΑΠ Οικονομικού www.dap-oikonomikou.gr - Σελίδα 0 από 80