Απειροστικός Λογισμός Ι (HY110) Διάλεξη #1
Απειροστικός Λογισμός Ι Διδάσκοντες Τσαγκατάκης Γρηγόρης, greg@csd.uoc.gr Μάριος Πιτικάκης, pitikakis@csd.uoc.gr Βοηθοί Αϊδίνη Αναστασία, aidini@csd.uoc.gr Τρουλλινού Ειρήνη, troullinou@csd.uoc.gr Ζερβού Μιχαέλα Αρετή, zervou@csd.uoc.gr Πεντάρη Αναστασία, apentari@csd.uoc.gr Συμιακάκης Ανδρέας, csdp1206@csd.uoc.gr Δρακωνάκης Κωνσταντίνος, kostasdrk@csd.uoc.gr Δροσάκης Δρόσος, csd4221@csd.uoc.gr
Διαλέξεις Πληροφορίες για το μάθημα Τρίτη 4-6 & Πέμπτη 2-4 Φροντιστήριο: Παρασκευή 4-6 Ώρες γραφείου: Τρίτη 3-4 B304 Υλικό μαθήματος https://www.csd.uoc.gr/~hy110 https://elearn.uoc.gr/course/view.php?id=3130 3
Πληροφορίες για το μάθημα Αξιολόγηση μαθήματος Ασκήσεις (20%) Πρόοδος (προαιρετική) (30%) Τελική Εξέταση (50% ή 80%) Ασκήσεις 4 υποχρεωτικές σειρές ασκήσεων και 1 άσκηση bonus (+10%) με χρήση προγραμμάτων όπως Matlab/octave/python/c + γραπτή αναφορά 4
Συγγράμματα Πληροφορίες για το μάθημα "Thomas Απειροστικός λογισμός" των Joel Hass, Chrisopher Heil & Maurice D. Weir. 14 έκδοση, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, 2018 Εγγραφή στην σελίδα του μαθήματος στο elearn Εγγραφή στην λίστα του μαθήματος: hy110-list@csd.uoc.gr με email στο: majordomo@csd.uoc.gr, χωρίς subject με κείμενο: subscribe hy110-list 5
https://www.csd.uoc.gr/~hy110/ 6
Επισκόπηση διαλέξεων Συναρτήσεις Όρια συναρτήσεων Συνέχεια Παραγώγιση Εφαρμογές παραγώγων Παράγωγοι ανώτερης τάξης Ορισμένο ολοκλήρωμα συνεχών συναρτήσεων Αριθμητική ολοκλήρωση Αόριστο ολοκλήρωμα Τεχνικές ολοκλήρωσης και γενικευμένα ολοκληρώματα Ακολουθίες & Σειρές Υπερβατικές συναρτήσεις 7
«Μεγάλα δεδομένα» 8
Μεγάλα δεδομένα στην αστροφυσική Sky Survey Project Volume Velocity Variety The Palomar Digital Sky Survey 3 PB Sloan Digital Sky Survey (SDSS) 50 TB 200 GB per day Images, redshifts Large Synoptic Survey Telescope (LSST ) ~ 200 PB 10 TB per day Images, catalogs Square Kilometer Array (SKA ) ~ 4.6 EB 150 TB per day Images, redshifts 9
Μεγάλα δεδομένα για το κλίμα 10
Μεγάλα δεδομένα στην νευροεπιστήμη 11
https://youtu.be/vg68skog7ve 12
13
14
15
16
Εξέλιξη της Τεχνητής Νοημοσύνης https://www.bbc.co.uk/sounds/play/m000dsc4 Artificial intelligence-created medicine to be used on humans for first time, BBC news, 30/1/2020 Coronavirus: Can AI Make A Difference? Forbes, 2/2/2020 17
Εγκέφαλος και Νευρωνικά δίκτυα 86 Δις νευρώνες 10 14-10 15 συνάψεις 18
(Τεχνητά) Νευρωνικά Δίκτια 19
Τεχνητά Νευρωνικά Δίκτυα Training Inference (Test) 20
Μοντελοποίηση 21
Μοντελοποίηση 22
Μοντελοποίηση Είσοδος: x Έξοδος: f x = [ 1,0,1] 23
Συναρτήσεις Συνάρτηση y = f(x) x : ανεξάρτητη μεταβλητή y : εξαρτημένη μεταβλητή Gottfried Wilhelm Leibniz 1646-1716 Leonhard Euler 1707-1783 24
Συναρτήσεις Συνάρτηση y = f(x) x : ανεξάρτητη μεταβλητή y : εξαρτημένη μεταβλητή Gottfried Wilhelm Leibniz 1646-1716 Leonhard Euler 1707-1783 25
Συναρτήσεις Συνάρτηση y = f(x) x : ανεξάρτητη μεταβλητή y : εξαρτημένη μεταβλητή Gottfried Wilhelm Leibniz 1646-1716 Εναλλακτικά z = g(t) { x, f x : x R} f: x y Leonhard Euler 1707-1783 26
Συναρτήσεις Μια συνάρτηση f από το πεδίο ορισμού D στο πεδίο τιμών Y είναι ένας κανόνας που αναθέτει μια μοναδική τιμή f(x) Y για κάθε x D 27
Πεδία ορισμού και πεδία τιμών Να βρεθούν τα πεδία ορισμού και τιμών των f x = 1 + x 2 f t = 4 3 t g x = x 2 3x 28
Πεδία ορισμού και πεδία τιμών Να βρεθούν τα πεδία ορισμού και τιμών των f x = 1 + x 2, [1, ) f t = 4 3 t g x = x 2 3x 29
Πεδία ορισμού και πεδία τιμών Να βρεθούν τα πεδία ορισμού και τιμών των f x = 1 + x 2, [1, ) f t = 4 3 t, 3 3,, 0 0, g x = x 2 3x 30
Πεδία ορισμού και πεδία τιμών Να βρεθούν τα πεδία ορισμού και τιμών των f x = 1 + x 2, [1, ) f t = 4 3 t, 3 3,, 0 0, g x = x 2 3x, 0 3, [0, ) 31
Γραφικές Παραστάσεις Συναρτήσεων 32
Γραφικές Παραστάσεις Συναρτήσεων y = f(x) y f(x) x x (many-to-one) This is OK in a function (one-to-many) This is NOT OK in a function 33
Γραφικές Παραστάσεις Συναρτήσεων y = f(x) x y f(x) x Κριτήριο κατακόρυφης ευθείας (many-to-one) This is OK in a function (one-to-many) This is NOT OK in a function 34
Γραφικές Παραστάσεις Να σχεδιαστεί η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = x 2 στο διάστημα [-2,2] Να παρασταθούν οι συναρτήσεις και εξηγήστε αν είναι γραφικές παραστάσεις του x y = x y 2 = x 2 35
Σχεδιασμός γραφικών παραστάσεων 36
Προσέγγιση γραφική παράστασης #x: 5 #x: 9 #x: 41 37
Διάγραμμα συνδιασποράς 38
Τμηματικές συναρτήσεις Η συνάρτηση απόλυτης τιμής x, x 0 x = ቊ x, x < 0 x, x < 0 f x = ቐx, 0 x 1 1, x > 1 39
Τμηματικές συναρτήσεις Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης για τις παρακάτω γραφικές παραστάσεις 40
Συναρτήσεις μέγιστου/ελάχιστου ακεραίου Συνάρτηση μέγιστου ακεραίου: μέγιστος ακέραιος μικρότερος ή ίσος του x 2.5 = 2, 0 = 0, 1.5 = 2 Συνάρτηση ελάχιστου ακεραίου: ελάχιστος ακέραιος μεγαλύτερος ή ίσος του x 2.5 = 3, 0 = 0, 1.5 = 1 41
Συναρτήσεις μέγιστου/ελάχιστου ακεραίου 42
Αύξουσες και Φθίνουσες συναρτήσεις Έστω η συνάρτηση f x ορισμένη σε ένα διάστημα I και x 1, x 2 I Αν f x 2 > f x 1 για κάθε ( ) x 2 > x 1, τότε η f x ονομάζεται αύξουσα στο I Αν f x 2 < f x 1 για κάθε ( ) x 2 > x 1, τότε η f x ονομάζεται φθίνουσα στο I Το I μπορεί να είναι πεπερασμένο (φραγμένο) ή άπειρο (μη φραγμένο) 43
Αύξουσες και Φθίνουσες συναρτήσεις Σε ποια διαστήματα είναι αύξουσες/φθίνουσες οι παρακάτω συναρτήσεις y = 1 x y = 1 x 44
Άρτιες και Περιττές συναρτήσεις Η συνάρτηση y = f(x) είναι Άρτια συνάρτηση του x αν f x = f(x) Περιττή συνάρτηση του x αν f x = f(x) Προέλευση Σχέση με δυνάμεις του x y = x 2, y = x 4 -> άρτιες γιατί ( x) 2 = x 2 y = x 1, y = x 3 -> περιττές γιατί ( x) 3 = x 3 45
Άρτιες και Περιττές συναρτήσεις Συμμετρίες Οι άρτιες είναι συμμετρικές ως προς y Οι περιττές είναι συμμετρικές ως προς (0,0) 46
Άρτιες και Περιττές συναρτήσεις Παραδείγματα f x = x 3 + x f x = 3 f x = x 2 + 1 47
Γραμμικές Συνήθης συναρτήσεις f x = mx + b όπου m (κλίση) και b σταθερές 48
Συναρτήσεις δυνάμεων Συνήθης συναρτήσεις f x = x a όπου a σταθερά 49
Συναρτήσεις δυνάμεων Συνήθης συναρτήσεις f x = x a όπου a σταθερά f x = x 1 f x = x 2 50
Συναρτήσεις δυνάμεων Συνήθης συναρτήσεις f x = x a όπου a σταθερά f x = x 1 2 f x = x 1 3 f x = x 3 2 f x = x 2 3 51
Συνήθης συναρτήσεις Πολυωνυμικές συναρτήσεις p x = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0 n μη αρνητικός ακέραιος (βαθμός) a 0, a 1,., a n πραγματικές σταθερές (συντελεστές) 52
Ρητές συναρτήσεις f x = p(x) q(x) Συνήθης συναρτήσεις όπου p(x), q(x) πολυώνυμα 53
Συνήθης συναρτήσεις Αλγεβρικές συναρτήσεις Πολυώνυμα και αλγεβρικές πράξεις 54
Συνήθης συναρτήσεις Τριγωνομετρικές συναρτήσεις 55
Εκθετικές συναρτήσεις Συνήθης συναρτήσεις f x = α x όπου a > 0 και a 1 σταθερά, (0, ) 56
Συνήθης συναρτήσεις Λογαριθμικές συναρτήσεις f x = log α x όπου a > 0 και a 1 σταθερά (0, ), 57
Πράξεις συναρτήσεων Έστω η f x με πεδίο ορισμού D(f) και η g x με πεδίο ορισμού D(g). Για κάθε x D(f) D(g), ορίζουμε τις f + g x = f x + g(x) f g x = f x g x fg x = f x g(x) f f(x) x = όπου g(x) 0 g g(x) cf x = cf x όπου c σταθερa 58
Πρόσθεση συναρτήσεων 59
Παράδειγμα Έστω οι f x = x και g x = 1 x με πεδία ορισμού D f = [0, ) και D g = (, 1]. Τα κοινά σημεία ορισμού D(f) D g = [0,1] 60
Παράδειγμα 61
Μετατόπιση συναρτήσεων Κατακόρυφη μετακίνηση: y = f x + k 62
Μετατόπιση συναρτήσεων Οριζόντια μετακίνηση: y = f x + h 63
Μετατόπιση συναρτήσεων 64
Αλλαγή κλίμακας Για c > 1 y = cf x y = 1 f x c y = f cx επιμηκύνεται κατακόρυφα κατά c συμπιέζεται κατακόρυφα κατά c συμπιέζεται οριζόντια κατά c y = f 1 c x επιμηκύνεται οριζόντια κατά c 65
Αλλαγή κλίμακας 66
Αλλαγή κλίμακας Για c = 1 y = f x y = f x ανάκλαση ως προς άξονα x ανάκλαση ως προς άξονα y 67