ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΡΟΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΤΗΣ ΥΛΗΣ ΣΤΟΥΣ ΑΣΤΕΡΕΣ ΝΕΤΡΟΝΙΩΝ

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΡΟΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΤΗΣ ΥΛΗΣ ΣΤΟΥΣ ΑΣΤΕΡΕΣ ΝΕΤΡΟΝΙΩΝ Συγγραφή Επιβλέπων Α. Ντιγκάρης Θ. Γαϊτάνος

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ Περίληψη 4 Abstract 5 1. Εισαγωγή 7 Συμβάσεις και συμβολισμοί 10 2. Μια πρώτη προσέγγιση 12 2.1 Εξίσωση Klein-Gordon 12 2.2 Εξίσωση Dirac 15 3. Λαγκραζιανός φορμαλισμός 19 3.1 Χαμιλτονιανή μηχανική 19 3.2 Θεώρημα Noether 22 3.3 Χαμιλτονιανή κβαντομηχανική 25 4. Κβαντικά πεδία 28 4.1 Κβαντωμένο πεδίο Klein-Gordon 28 4.2 Κβαντωμένο πεδίο Dirac 30 5. Κβαντική Αδροδυναμική 35 5.1 Το μοντέλο περιγραφής 35 5.2 Σχετικιστική θεωρία μέσου πεδίου 37 5.3 Υπολογισμός πεδίου ψ 39 5.4 Τελική μορφή των εξισώσεων 41 5.5 Παρατηρήσιμα μεγέθη 42 6. Βελτιωμένη QHD 44 6.1 Αλλαγές στο μοντέλο περιγραφής 44 6.2 Χρήση της RMF 46 6.3 Καταστατική εξίσωση 47 6.4 Σετ παραμετροποίησης και εξισώσεις κίνησης 50 6.5 Ενέργεια συμμετρίας 51 7. Συμπεράσματα 54 7.1 Μορφή της ύλης 54 7.2 Καμπύλες m r 55 8. Βιβλιογραφία 58 2

3

ΠΕΡΙΛΗΨΗ Σκοπός της εργασίας είναι να παρουσιάσει την κατάσταση της ύλης στο εσωτερικό των αστέρων νετρονίων. Στην αρχή περιγράφουμε το φαινόμενο και τον μηχανισμό πίσω από την μετατροπή ενός αστεριού σε αστέρα νετρονίων. Έπειτα περιγράφουμε το απαραίτητο φυσικό υπόβαθρο, που δεν είναι άλλο από την σχετικιστική κβαντομηχανική. Γίνεται επίσης μια αναφορά στον λαγκραζιανό φορμαλισμό, μέσω του οποίου από την σχετικιστική κβαντομηχανική του ελεύθερου σωματιδίου οδηγούμαστε σε αυτή που περιγράφει εξελισσόμενα πεδία στον χωροχρόνο. Τέλος αναπτύσσουμε το μοντέλο περιγραφής του εσωτερικού των αστέρων νετρονίων. Η κβαντική αδροδυναμική (QHD) μέσω προσεγγίσεων και ειδικής παραμετροποίησης, δίνει απτά αποτελέσματα για τα φυσικά μεγέθη και την κατάσταση της ύλης σε ένα στατιστικό βαρυονικό σύστημα, όπως ο αστέρας νετρονίων. 4

ABSTRACT The aim of this thesis is to present the state of matter in the interior of neutron stars. Initially, we describe the effects and the mechanism under which a star transforms into a neutron star. Afterwards we describe the necessary physical background knowledge, which is none other than relativistic quantum mechanics.there is also a reference about lagrazian formalism, through which the relativistic quantum mechanics of the free particle gives its place to the one that describes evolving fields in spacetime. Eventually, we elaborate on the physical model of the interior of neutron stars. Quantum hadrodynamics (QHD) through approximations and specific parameter-sets, gives tangible results for the physical quantities and the state of matter in a statistical baryonic system, such as neutron stars. 5

6

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Τα τελευταία χρόνια σημαντικό αντικείμενο μελέτης για τους φυσικούς υπήρξε η συμπεριφορά της ύλης σε πολύ πυκνά και μεγάλης κλίμακας σώματα και τι είδους κατάσταση της ύλης επικρατεί στο εσωτερικό τέτοιων σωμάτων. Ένα τέτοιο σώμα αποτελεί ο αστέρας νετρονίων. Οι αστέρες νετρονίων προέρχονται από αστέρια με μάζα μεταξύ 10 και 25 ηλιακών μαζών, έχουν μάζα 1.4 ηλιακές μάζες και ακτίνα 10 χιλιομέτρων. Οι παρατηρήσιμοι αστέρες νετρονίων έχουν θερμοκρασία γύρω στους 600.000 Κelvin ενώ τα μαγνητικά τους πεδία είναι από 10 8 έως 10 12 φορές ισχυρότερα από αυτό της Γης. Επιπλέον επειδή οι αστέρες νετρονίων προέρχονται από τον θάνατο πολύ μεγαλύτερων αστεριών, λόγω της μείωσης της μάζας και της αρχής διατήρησης της στροφορμής, πολλοί αστέρες νετρονίων στρέφονται γύρω από τον εαυτό τους, κάνοντας τα μαγνητικά τους πεδία να παράγουν τακτικούς παλμούς, γιαυτό και ονομάζονται pulsars. Έχουν παρατηρηθεί γύρω στα 2.000 pulsars στον γαλαξία μας, παρόλα αυτά το πραγματικό νούμερο είναι πολύ μεγαλύτερο άλλα οι περισσότεροι αστέρες λόγω των δισεκατομμυρίων χρόνων ύπαρξης τους έχουν πάψει να παράγουν θερμότητα και να στρέφονται, κάνοντας το δύσκολο να παρατηρηθούν. Ένα φυσικό σύστημα βρίσκεται στην θεμελιώδη κατάσταση του όταν έχει την ελάχιστη ενέργεια. Η θεμελιώδης κατάσταση επιτυγχάνεται εφόσον στο σύστημα επέλθει πρώτα ισορροπία. Ως προς τα στοιχεία που δημιουργούνται στο εσωτερικό ενός αστέρα, ο σίδηρος Fe είναι το στοιχείο με την μεγαλύτερη ενέργεια σύνδεσης επομένως και με την χαμηλότερη θεμελιώδη ενεργειακή κατάσταση από όλα τα άλλα στοιχεία. Γενικότερα, οι αστέρες στο σύμπαν δέχονται δυο δυνάμεις: την βαρυτική με κατεύθυνση το κέντρο του αστέρα και μια θερμική πίεση που προέρχεται από τις διάφορες πυρηνικές αντιδράσεις στο κέντρο του, με κατεύθυνση τέτοια ώστε να εξισορροπεί την βαρυτική και έτσι ο αστέρας διατηρείται σε ισορροπία. Ωστόσο το σύμπαν βρίσκεται σε θερμοκρασία 3 Kelvin που σημαίνει ότι ο αστέρας χάνει συνεχώς ποσά θερμότητας. Λόγω της βαρυτικής πίεσης, στο εσωτερικό του αστέρα επικρατεί το κατάλληλο περιβάλλον για ένα πλήθος πυρηνικών αντιδράσεων. Μέσω της πυρηνικής σύντηξης, το υδρογόνο παράγει ήλιο, διαδικασία που απελευθερώνει την κατάλληλη ενέργεια ώστε να παράγεται η θερμική πίεση 7

στον αστέρα. Ωστόσο καθώς τα αποθέματα υδρογόνου τελειώνουν, η πίεση αρχίζει να ελαττώνεται και ο αστέρας να συρρικνώνεται προς το εσωτερικό του. Η υψηλή πίεση στο κέντρο του αστέρα ωθεί τις πυρηνικές αντιδράσεις στο εσωτερικό του να διεκπεραιώνονται όλο και πιο γρήγορα με αποτέλεσμα το ήλιο να δώσει την θέση του στον άνθρακα, ο άνθρακας στο οξυγόνο, το οξυγόνο σε νέον και τέλος το νέον στον σίδηρο. Το τελευταίο λοιπόν στοιχείο που παραμένει μετά την λήξη των αντιδράσεων είναι ο σίδηρος Fe, αφού διαθέτει την ελάχιστη θεμελιώδη κατάσταση ενέργειας. Όσο ο πυρήνας συστέλλεται και η πυκνότητα του αυξάνεται, σύμφωνα με την αρχή της αβεβαιότητας του Heisenberg, η αβεβαιότητα της θέσης τείνει στο μηδέν ενώ η αβεβαιότητα της ορμής απειρίζεται. Αυτό κάνει τα ηλεκτρόνια του αστέρα να αναπτύσσουν σχετικιστικές ταχύτητες, συγκρίσιμες με αυτές του φωτός. Για να μειωθεί λοιπόν η ενέργεια του πυρήνα, έχουμε αρπαγή ηλεκτρονίων από τα πρωτόνια, πράγμα που κάνει τον πυρήνα όλο και πιο πλούσιο σε νετρόνια. Καθώς η πίεση ελαττώνεται, η μάζα του αστέρα αρχίζει και πέφτει προς το εσωτερικό του και ανακρούεται πάνω στον σκληρό πυρήνα σιδήρου που έχει σχηματιστεί. Αυτό δημιουργεί ένα κρουστικό κύμα το οποίο ταξιδεύει προς το εξωτερικό του αστεριού και εκτείνεται πολλά εκατοντάδες χιλιόμετρα, μειώνοντας ταχύτητα λόγω των συγκρούσεων που δέχεται με την υπόλοιπη ύλη του αστέρα. Το κύμα καθώς ταξιδεύει μέσα από το άστρο, συσσωρεύει στο μέτωπο του την ύλη που καταρρέει βαρυτικά. Το κρουστικό κύμα αυτό κουβαλά μαζί του την ενέργεια σύνδεσης του αστέρα με αποτέλεσμα η υπόλοιπη ύλη του αστέρα να απελευθερωθεί σε μια έκρηξη supernova, αφήνοντας πίσω τον γυμνό πυρήνα του αστεριού. Αυτός ο πυρήνας λόγω της υψηλής περιεκτικότητας του σε νετρόνια ονομάζεται αστέρας νετρονίων. Επειδή η πυκνότητα ενός αστέρα νετρονίων είναι συγκρίσιμη με αυτή του ατομικού πυρήνα, είναι εφικτό το εσωτερικό του αστέρα να αποτελείται από βαρυόνια όπως πρωτόνια και νετρόνια. Η μεγάλη διαφορά όμως μεταξύ του ατομικού πυρήνα και του αστέρα νετρονίων είναι ότι ενώ ο ένας διατηρείται σταθερός λόγω της ισχυρής πυρηνικής αλληλεπίδρασης, ο αστέρας νετρονίων διατηρείται λόγω της βαρυτικής του δύναμης. Ποιος είναι λοιπόν ο λόγος για τον οποίον ο αστέρας νετρονίων δεν συνεχίζει να καταρρέει βαρυτικά και να περάσει τελικά στο στάδιο της μελανής οπης; Το 1934 οι Baade και Zwicky ισχυρίστηκαν ότι οι αστέρες νετρονίων δεν καταρρέουν 8

βαρυτικά, λόγω της κβαντομηχανικής πίεσης των εκφυλισμένων νετρονίων ενώ μετά από μια τιμή της μάζας και έπειτα, η βαρυτική δύναμη γίνεται τόσο μεγάλη που ο αστέρας μεταμορφώνεται σε μελανή οπή. Τα νετρόνια είναι σωματίδια τα οποία υπακούουν στην θεμελιώδη αρχή του Pauli. Σύμφωνα με αυτήν δυο φερμιόνια (όπως το νετρόνιο) είναι αδύνατο να υπάρξουν στο ίδιο άτομο ή σύμπλεγμα ατόμων, στην ίδια ενεργειακή στάθμη. Όταν η πρώτη ενεργειακή στάθμη καταλαμβάνεται ολόκληρη, μετά τα νετρόνια προχωρούν στην κατάληψη της επόμενης. Έτσι δημιουργείται μια πίεση που προστατεύει τον αστέρα νετρονίων από το να καταρρεύσει παραπάνω. Αποτελείται όμως το εσωτερικό ενός αστέρα νετρονίων μόνο από βαρυονική ύλη ή και από κάτι άλλο; Σκοπός αυτής της εργασίας είναι να παρουσιάσει την κατάσταση της ύλης που επικρατεί στο εσωτερικό ενός αστέρα νετρονίων καθώς και να δοθούν τρόποι υπολογισμού της πυκνότητας και της πίεσης που επικρατούν σε ένα τέτοιο σύστημα. 9

Συμβάσεις και συμβολισμοί Ανταλλοίωτα μεγέθη λ.χ. διανύσματα τεσσάρων διαστάσεων θα συμβολίζονται ως x μ =(x 0, x 1, x 2, x 3 ) Συναλλοίωτα μεγέθη λ.χ. πεδία θα συμβολίζονται ως φ μ =φ μ (x μ ) Παράγωγοι σε σχέση με ένα ανταλλοίωτο μέγεθος ή σε σχέση με ένα συναλλοίωτο μέγεθος θα συμβολίζονται ως μ = x μ= ( x 0, ) και μ = x μ = ( x 0, ) ενώ ένας συνδυασμός των δυο θα δώσει μ μ = 2 t 2 2 Η παράγωγος ενός μεγέθους φ σε σχέση με τον χρόνο θα συμβολίζεται ως φ= dφ dt Ο ερμητιανός συζυγής ενός τελεστή ψ θα ισούται με τον ανάστροφο του μιγαδικού συζυγή του ψ =(ψ * ) T Επιπλέον για να απλοποιήσουμε τους υπολογισμούς μας και να εκφράσουμε καλύτερα την 10

σχέση ενέργειας-μάζας που μας δίνει η σχετικότητα του Einstein, θα χρησιμοποιήσουμε τις λεγόμενες φυσικές μονάδες μέτρησης δηλαδή ħ=c=1 (Σχ. 1.1) Με αυτή την απλοποίηση, η σχέση ενέργειας-μάζας γίνεται φανερή αφού η εξίσωση για την ενέργεια μπορεί να γραφεί ως E 2 = p 2 c 2 +m 2 c 4 E 2 =p 2 +m 2 (Σχ. 1.2) 11

2. ΜΙΑ ΠΡΩΤΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ 2.1 Εξίσωση Klein-Gordon Ένα πρώτο βήμα για να περιγράψουμε την κατάσταση της ύλης σε έναν αστέρα νετρονίων είναι να καθορίσουμε την φυσική που διέπει το σύστημα μας. Από την μια λόγω της μεγάλης πυκνότητας και της υψηλής ενέργειας τα σωματίδια μας κινούνται με σχετικιστικές ταχύτητες ενώ από την άλλη το σύστημα που μελετάμε είναι ένα κβαντομηχανικό σύστημα πολλών σωματιδίων. Επομένως σαν μια πρώτη προσέγγιση στο πως συμπεριφέρεται η ύλη σε τέτοια πυκνά, υψηλής ενέργειας συστήματα, είναι να περιγράψουμε την φυσική θεωρία που συνδυάζει την σχετικότητα του Einstein με την κβαντομηχανική. Για να περιγράψουμε οποιαδήποτε φαινόμενο στην φύση θα χρειαστεί να μιλήσουμε πρώτα απ'όλα για την ενέργεια. Ας ξεκινήσουμε παίρνοντας την σχέση Ε= p2 2m η οποία εκφράζει την μη-σχετικιστική σχέση μεταξύ ενέργειας και ορμής. Αντικαθιστώντας τα μεγέθη της ενέργειας και της ορμής με τους κβαντομηχανικούς τους τελεστές E=i ħ t και p= i ħ θα οδηγηθεί κανείς στην γνωστή εξίσωση του Schrodinger i ħ Ψ t ħ2 2 Ψ = 2m x 2 η οποία είναι και αυτή μια μη-σχετικιστική εξίσωση. Για αυτόν τον λόγο θα χρειαστεί να 12

ξεκινήσουμε την περιγραφή της σχετικιστικής κβαντομηχανικής παίρνοντας την σχέση ενέργειας-ορμής για ένα σχετικιστικό σύστημα, η οποία θα δίνεται από την Σχ. 1.2 E 2 = p 2 +m 2 Αντικαθιστώντας πάλι τα μεγέθη της ενέργειας και της ορμής με τους κβαντομηχανικούς τελεστές τους η εξίσωση του Schrodinger μπορεί να γραφεί ως ħ 2 t 2 φ(x μ )=( 2 +m 2 )φ(x μ ) (Σχ. 2.1) όπου φ(x μ ) παριστάνει μια κυματοσυνάρτηση η οποία εξαρτάται από το τετραδιάνυσμα x μ =(x 0, x 1, x 2, x 3 ), ένα διάνυσμα τεσσάρων διαστάσεων όπου το x 0 εκφράζει το χρόνο μετρημένο σε μονάδες μήκους, ενώ το x=(x 1,x 2,x 3 ) είναι το χωρικό διάνυσμα στις τρεις διαστάσεις. Ακόμα αν λάβουμε υπόψιν μας την παράγωγο μ μ = 2 t 2 2 τότε η Σχ. 2.1 μετασχηματίζεται στην συναλλοίωτη μορφή της ως ( μ μ +m 2 )φ( x ν )=0 (Σχ. 2.2) η οποία είναι γνωστή και σαν εξίσωση Klein-Gordon. Η ποσότητα μ μ ή Νταλαμπερσιανή όπως ονομάζεται, μπορεί να περιγραφεί και σαν η Λαπλασιανή του τρισδιάστατου χώρου στον τετραδιάστατο. Το βασικό της προτέρημα είναι ότι είναι Lorentz αναλλοίωτη επομένως δεν αλλάζει μορφή ανάλογα με το σύστημα αναφοράς ή τον παρατηρητή. Άρα λοιπόν θα πρέπει και η φ(x μ ) να περιγραφεί ένα βαθμωτό σωματίδιο, δηλαδή ένα σωματίδιο με μηδενικό σπιν ώστε η εξίσωση να είναι ολικά 13

αναλλοίωτη. Επομένως οι λύσεις της Σχ. 2.2 θα είναι κυματομορφές του τύπου: φ=ν e i p x i E t όπου p x= p μ x μ Αντικαθιστώντας την λύση μας στην Σχ. 2.1 παίρνουμε δυο τιμές για την ενέργεια E=± p 2 +m 2 Πολλαπλασιάζοντας την Σχ. 2.2 με φ* και την συζυγή της με φ και αφαιρώντας κατά μέλη έχουμε t ( φ* φ t φ φ* t ) = (φ* φ φ φ * ) (Σχ. 2.3) Συγκρίνοντας το παραπάνω αποτέλεσμα με την εξίσωση συνέχειας j+ ρ t =0 (Σχ. 2.4) βρίσκουμε ότι ρ=i( φ * φ φ* φ t t ) και j= i(φ* φ φ φ * ) (Σχ. 2.5) με τα i να έχουν εισαχθεί ώστε η πυκνότητα πιθανότητας να προκύπτει πραγματικός αριθμός. Αν φ είναι μια απλή κυματική εξίσωση, λύνοντας τις Σχ. 2.5 βρίσκουμε ρ=2 N 2 E, j μ =2 N 2 p μ Εδώ δημιουργείται το εξής πρόβλημα. Από την μια είναι εφικτό μια διαταραχή 14

κβαντομηχανικά να προκαλέσει μεταπτώσεις σε αρνητικές ενέργειες αφού η ενέργεια παίρνει θετικές και αρνητικές τιμές, ενώ από την άλλη οι λύσεις με αρνητική ενέργεια συσχετίζονται με αρνητική πυκνότητα πιθανότητας, πράγμα που παραβιάζει τους θεμελιώδεις νομούς της κβαντομηχανικής. Τέλος η Σχ. 2.1 είναι μια εξίσωση δεύτερου βαθμού ως προς τον χρόνο επομένως για να προσδιορίσουμε την χρονική εξέλιξη της κυματοσυνάρτησης θα πρέπει όχι μόνο να γνωρίζουμε την τιμή της για t = 0 άλλα και τη μορφή της πρωτοτάξιας και δευτεροτάξιας παραγώγου της. Αυτό έρχεται σε ρήξη με τους νόμους της κβαντομηχανικής που δηλωνουν ότι μια κυματοσυνάρτηση περιέχει όλες τις πληροφορίες για ένα φυσικό σύστημα και έτσι είναι αρκετό να γνωρίζουμε μόνο την μορφή της πρώτης παραγώγους της, ώστε να καθορίσουμε την μελλοντική της εξέλιξη. Πράγμα που συμβαίνει με την εξίσωση του Schrodinger αλλά όχι με την Klein-Gordon. 2.2 Εξίσωση Dirac Τις ατέλειες της Klein-Gordon ήρθε να λύσει ο Paul Dirac. Το πρώτο βήμα που έκανε ήταν να αναιρέσει τον δευτεροτάξιο όρο της Σχ. 2.1 γράφοντας την ενέργεια με την μορφή E= p 2 +m 2 Αντικαθιστώντας τους τελεστές για την ενέργεια και την ορμή θα έχουμε: ^H Ψ = ^Ε Ψ i ħ Ψ t = 2 x 2 +m2 Ψ Το πρόβλημα όμως που προκύπτει εδώ είναι πως θα ερμηνεύσουμε σωστά την υπόριζη ποσότητα καθώς δεν πρόκειται για αριθμό αλλά για ένα διαφορικό τελεστή. Γιαυτό το λόγο ο Dirac θεώρησε τον τελεστή της χαμιλτονιανής H=αp + βm για τον οποίο οι α, β δεν είναι απλά αριθμοί αλλά στοιχεία μιας μη-μεταθετικής άλγεβρας (πίνακες) και έτσι να ικανοποιείται η σχέση H 2 =(αp+ βm) 2 = p 2 +m 2 15

Κάνοντας τις πράξεις και έχοντας υπόψιν ότι α και β δεν μετατίθενται θα έχουμε (αp+ βm) 2 =α 2 p 2 +β 2 m 2 +(αβ+βα ) pm (αp+βm) 2 =α 2 p 2 +β 2 m 2 +{α, β }pm (αp+βm) 2 = p 2 +m 2 με λύσεις α 2 =1 β 2 =1 και {α, β}=0 (Σχ. 2.6) Από τις παραπάνω Σχ. 2.6 γίνεται φανερό ότι τα α, β δεν μπορούν να είναι αριθμοί, με αποτέλεσμα να χρειαστεί να πάρουμε ως λύσεις τετραγωνικούς πινάκες Ν-διάστασης. Λόγω της κυκλικής ιδιότητας του ίχνους των πινάκων, αυτό σημαίνει ότι οι α, β υποχρεωτικά πρέπει να έχουν ίχνος μηδέν και να είναι ίδιων διαστάσεων. Τέλος επειδή ο τελεστής της χαμιλτονιανής είναι ερμητιανός, αφού δίνει πραγματικές τιμές, θα πρέπει και οι α, β να είναι ερμητιανοί. Πίνακες οι οποίοι ικανοποιούν την Σχ. 2.6 είναι οι 2x2 πίνακες του Pauli σ x 2 =σ y 2 =σ z 2 =1 και {σ i,σ j }=2δ ij Μπορούμε να επιλέξουμε ένα οποιοδήποτε ζευγάρι πινάκων αλλά η συνηθέστερη επιλογή είναι οι σ z = ( 1 0 0 1) και σ x = ( 0 1 1 0) Παίρνοντας αυτούς ως λύσεις στα α και β θα έχουμε H=α p+β m= ( m p p m) 16

Άρα επειδή ο Η είναι ένας πίνακας 2x2, η κυματοσυνάρτηση Ψ θα πρέπει να είναι ένας πίνακας-στήλη 2x1. Επομένως η εξίσωση Dirac στην μια διάσταση θα γραφεί ως i Ψ t = ( m p p m)( ψ 1 ψ 2) (Σχ. 2.7) Το ενδιαφέρον με την Σχ. 2.7 είναι ότι μπορεί να περιγράψει σωματίδια με σπιν ½ αφού η ψ 1 θα περιγραφεί την κατάσταση με σπιν άνω (+½) ενώ η ψ 2 την κατάσταση με σπιν κάτω (-½). Προηγουμένως περιοριστήκαμε στην εύρεση λύσης για την εξίσωση στην μια διάσταση. Αυτό έγινε ώστε με απλούς υπολογισμούς να μπορέσουμε να καταλάβουμε τον συλλογισμό που ακολούθησε ο Dirac. Για την γραφή της εξίσωσης Dirac στις τρεις διαστάσεις, συνοπτικά αφού θεωρήσουμε ότι p=( p 1, p 2, p 3 ) θα καταλήξουμε στο συμπέρασμα ότι οι α και β θα πρέπει να παριστάνουν τουλάχιστον πίνακες ελάχιστης διάστασης 4x4 ώστε να ικανοποιούνται οι αντίστοιχες Σχ. 2.6 στις τρεις διαστάσεις. Επομένως η εξίσωση Dirac θα γραφεί ως H Ψ =[α p+ β m]ψ=[( 0 σ σ 0) p+ ( I 0 0 I) ] m (ψ1 ψ 2 4) ψ 3 ψ (Σχ. 2.8) οπού σ είναι ο πίνακας Pauli και I ο μοναδιαίος πίνακας στις τρεις διαστάσεις. Το αξιοπρόσεχτο εδώ είναι ότι η κυματοσυνάρτηση Ψ έχει τέσσερις συνιστώσες. Σωματίδια όμως με σπιν ½ μπορούν να πάρουν μόνο δυο καταστάσεις. Γιαυτό και ο Dirac έδειξε ότι οι υπόλοιπες δυο συνιστώσες στην πραγματικότητα αντιπροσωπεύουν τις καταστάσεις του αντισωματιδίου. Η συναλλοίωτη μορφή της Σχ. 2.8 γράφεται ως (i γ μ μ m)ψ=0 (Σχ. 2.9) 17

οπού γ μ =(γ 0, γ 1, γ 2,γ 3 )=(β, β α x, β α y, β α z ) και μ =( 0, 1, 2, 3 )= ( t, x, y, z ) Ένα τελευταίο συμπέρασμα που παίρνουμε για την εξίσωση είναι ότι σε αυτήν την περίπτωση αν ακολουθήσουμε την ίδια διαδικασία που πράξαμε με την Klein-Gordon για να βρούμε την πυκνότητα πιθανότητας (Σχ. 2.5), εδώ θα καταλήξουμε ότι η πυκνότητα πιθανότητας προκύπτει θετική. Επομένως έχουμε άρει σχεδόν όλες τις ατέλειες της εξίσωσης Klein-Gordon για την περιγραφή της σχετικιστικής κβαντομηχανικής, με το μοναδικό ψεγάδι να είναι ότι ο Dirac συνεχίζει να επιτρέπει την ύπαρξη αρνητικών ενεργειών. Η εξήγηση που δίνεται για τις αρνητικές ενέργειες από τον Dirac είναι η εξής. Ο Dirac προτείνει ότι όλες οι αρνητικές ενεργειακές καταστάσεις είναι ήδη πλήρως κατειλημμένες από μια θάλασσα σωματιδίων. Επομένως σε μια κλασική θεώρηση όπου η κίνηση ενός σωματιδίου είναι συνεχής, είναι αδύνατο να λάβουμε αρνητικές τιμές για την ενέργεια. Αντιθέτως στην κβαντομηχανική θεώρηση, ένα σωματίδιο με αρνητική ενέργεια μπορεί να μεταπηδήσει σε μια κατάσταση θετικής ενέργειας, αφήνοντας όμως πίσω του το αντισωματίδιο του. Η δημιουργία λοιπόν της σχετικιστικής κβαντομηχανικής άνοιξε τον δρόμο για την ύπαρξη της αντιύλης. Αν και ο Dirac δεν γνώριζε την ύπαρξη αντισωματιδίων, πειράματα που έγιναν αργότερα επιβεβαίωσαν την ύπαρξη τους. 18

3. ΛΑΓΚΡΑΖΙΑΝΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ Αφού λοιπόν έγινε αναφορά για μια θάλασσα σωματιδίων, καταλαβαίνει κάνεις ότι η κυματοσυνάρτηση Ψ της εξίσωσης Dirac δεν μπορεί πια να περιγράφει ένα μόνο σωματίδιο. Θα πρέπει να εξελίξουμε την θεωρία μας ώστε να περιγράφουμε συστήματα με μεταβλητό αριθμό σωματιδίων και απεριόριστους βαθμούς ελευθερίας. Επομένως αντί για σωματιδιακές συναρτήσεις, θα χρησιμοποιήσουμε πεδία κβαντικής φύσεως, που θα εξαρτώνται από διανύσματα στον χωροχρόνο. Η έννοια του πεδίου ορίζεται ως ένα σύνολο ενός ή περισσότερων συναρτήσεων του χώρου και του χρόνου. Ένα πεδίο μπορεί να περιγραφεί στον τετραδιάστατο χώρο Minkowski εξαρτώμενο από ένα τετραδιάνυσμα της μορφής φ α (t,x, y, z)=φ α (t,r)=φ α (x μ ) Για να εξάγουμε όμως τις εξισώσεις των κβαντικών πεδίων, θα πρέπει πρώτα να έχουμε το κατάλληλο υπόβαθρο. Αυτό δεν είναι κανένα άλλο πάρα ο λαγκραζιανός φορμαλισμός και η επέκταση του από τις κλασικές πεδιακές εξισώσεις στα κβαντωμένα πεδία. 3.1 Χαμιλτονιανή μηχανική Από την κλασική μηχανική είναι γνωστό ότι οι εξισώσεις κίνησης για τα μηχανικά συστήματα, μπορούν να προκύψουν όταν το παρακάτω μέγεθος που ονομάζεται δράση S πάρει ακρότατη τιμή t 2 S= L(q i, q i )dt t 1 όπου η ποσότητα L(q i, q i ) ονομάζεται λαγκραζιανή και εξαρτάται από τις γενικευμένες συντεταγμένες q i και τις παραγώγους της ως προς τον χρόνο. Η λαγκραζιανή μπορεί να οριστεί και αλλιώς ως L = T - V. Όταν η δράση παραμείνει αμετάβλητη σε απειροστές 19

μεταβολές δηλαδή όταν δs = 0 (αρχή της ελάχιστης δράσης), τότε εξάγουμε από αυτήν ένα σύστημα διαφορικών εξισώσεων δεύτερης τάξης που αποτελούν τις εξισώσεις κίνησης του συστήματος. Επομένως θα έχουμε t 2 δ S=δ L(q, q)dt=0 t 1 t 2 δ L(q, q)dt=0 t 1 t 2 t 1 ( L q δq+ L q δ q ) dt=0 t 2 t 1 ( L q δq+ L q d(δ q) ) dt=0 t 2 t 1 t 2 L q δqdt t 1 d dt L δq dt=0 q t 2 t 1 ( L q d dt L q ) δq dt=0 L q d L dt q =0 (Σχ. 3.1) η οποία είναι και ο νόμος κίνησης του συστήματος, με q i να είναι οι γενικευμένες συντεταγμένες ( i = 1, 2,, N ) Οι ποσότητες p i = L q (Σχ. 3.2) 20

καλούνται γενικευμένες ορμές του συστήματος ( i = 1, 2,, N ) Η γενίκευση του λαγκραζιανού φορμαλισμού τώρα σε συστήματα με συνεχές πλήθος βαθμών ελευθερίας θα μας οδηγήσει στην λύση του προβληματός μας. Κάθε σημείο μιας περιοχής του χώρου θα σχετίζεται με ένα συνεχές μεταβλητό πεδίο φ α. Το σύστημα το οποίο θα περιγράψουμε, θα έχει άπειρους βαθμούς ελευθερίας. Οι δυναμικές μεταβλητές θα είναι τώρα οι τιμές του πεδίου φ α σε όλα τα σημεία του χώρου, αντί των γενικευμένων συντεταγμένων q i. Αφού λοιπόν έχουμε συνεχές πλήθος βαθμών ελευθερίας, αντί της λαγκραζιανής, θα χρησιμοποιήσουμε περισσότερο το μέγεθος της λαγκραζιανής πυκνότητας L, η οποία ορισμένη στην μια διάσταση, δίνεται από την σχέση L= L dx (Σχ. 3.3) ενώ η δράση του προβλήματος θα δίνεται από την σχέση S= L dx dt Η λαγκραζιανή πυκνότητα θα είναι συνάρτηση ενός πεδίου υ και των παραγώγων υ x και υ t ως προς τον χώρο και τον χρόνο αντίστοιχα L = L (υ,υ x,υ t ) με υ=υ(x,t) Η αρχή της ελάχιστης δράσης θα μας δώσει την εξίσωση Euler Lagrange δ S=δ L dx dt δ S= δ L dxdt δ S= ( L υ δ υ+ L υ x δ υ x + L υ t δ υ t) dx dt 21

δ S= ( L υ L L x υ x t υ t ) δ υ(x,t )dx dt=0 L υ L x υ x t L υ t =0 (Σχ. 3.4) Συγκρίνοντας την με την κυματική εξίσωση μιας χορδής υ x x 1 c 2 υ t t=0 βρίσκουμε ότι η κατάλληλη λαγκραζιανή πυκνότητα που την αναπαράγει είναι η L = 1 2 c υ 2 2 t 1 2 υ 2 x Παίρνοντας τώρα την εξίσωση Klein-Gordon φ t t φ x x +m 2 φ=0 καταλήγουμε ότι L = 1 2 φ 2 t 1 2 φ 2 x 1 2 m2 φ 2 (Σχ. 3.5) 3.2 Θεώρημα Noether Είναι απαραίτητο σε αυτό το σημείο αφού υπολογίσαμε την λαγκραζιανή πυκνότητα, να αναφέρουμε το θεώρημα Noether. Σύμφωνα με αυτό, αν οι εξισώσεις κίνησης ενός συστήματος απορρέουν από μια λαγκραζιανή τότε σε κάθε συνεχή συμμετρία του, αντιστοιχεί σε μια διατηρήσιμη ποσότητα. Αν λοιπόν έχουμε τον μετασχηματισμό 22

q i Q i =Q i (q j,α) όπου α μια συνεχής παράμετρος θα πρέπει ο μετασχηματισμός αυτός να αφήνει αμετάβλητη την δράση του συστήματος. Για να γίνει αυτό, πρέπει η λαγκραζιανή είτε να παραμείνει σταθερή είτε να μεταβάλλεται κατά έναν πρόσθετο όρο της μορφής d dt A(q) Με άλλα λόγια θα πρέπει να ισχύει δ L= d d t A (q) L q δq+ L q δ q= d d t A(q) Αν χρησιμοποιήσουμε τις εξισώσεις Euler Lagrange L q i = ṗ i, L q i = p i τότε θα έχουμε ṗ i δ q i + p i (δ q i )= Ȧ d d t ( p i δ q i A)=0 Q=p i δ q i A 23

όπου Q είναι μια διατηρήσιμη ποσότητα του προβλήματος μας. Αν τώρα χρησιμοποιήσουμε το θεώρημα Noether για ένα μετασχηματισμό χρονικής μετατόπισης Q i (t)=q i (t+α) τότε η διατηρήσιμη ποσότητα που απορρέει από την συμμετρία της χρονικής μετατόπισης του συστήματος είναι η H= p i q i L (Σχ. 3.6) η οποία λέγεται χαμιλτονιανή και εκφράζει την ενέργεια του συστήματος. Για λαγκραζιανές της μορφής L = T V, η χαμιλτονιανή θα έχει μορφή H = T + V Τέλος αν πάρουμε την λαγκραζιανή πυκνότητα μορφής L = L (υ,υ x,υ t ) η οποία δεν εξαρτάται ρητά ούτε από την χωρική μετατόπιση x ούτε από την χρονική μετατόπιση t τότε τα διατηρήσιμα μεγέθη που απορρέουν από αυτές τις συμμετρίες θα είναι η ολική ορμή και η ολική ενέργεια του πεδίου υ. Τα μεγέθη αυτά θα έχουν γενική μορφή Q= (π δ υ Α )dx όπου π (x,t)= L υ t (Σχ. 3.7) ονομάζεται συζυγής ορμή του πεδίου υ για συστήματα με συνεχές πλήθος βαθμών ελευθερίας Η ολική ορμή του πεδίου θα δίνεται από την σχέση 24

P= π υ x dx όπου το μείον ( - ) έχει τοποθετηθεί εκεί αυθαίρετα ώστε να ταιριάζει με την φορά της πεδιακής ορμής σε πραγματικές καταστάσεις. Τέλος από τις Σχ. 3.5, Σχ. 3.6 θα έχουμε την ολική ενέργεια του πεδίου H= ( 1 2 φ 2 t + 1 2 φ 2 x+ 1 2 m2 φ ) 2 dx με την ποσότητα μέσα στο ολοκλήρωμα να ονομάζεται χαμιλτονιανή πυκνότητα H H = 1 2 φ 2 t + 1 2 φ 2 x+ 1 2 m2 φ 2 (Σχ. 3.8) 3.3 Χαμιλτονιανή κβαντομηχανική Για να προχωρήσουμε λοιπόν στην κβάντωση των πεδίων Klein-Gordon και Dirac, θα στραφούμε πρώτα στις θεμελιώδεις μεταθετικές ιδιότητες της κβαντομηχανικής, για τις οποίες οι συνιστώσες θέσης και ορμής ικανοποιούν τις παρακάτω σχέσεις [x i, x j ]=0, [ p i, p j ]=0, [x i, p j ]=i δ ij Επεκτείνοντας τις παραπάνω σε ένα τυχαίο σύστημα θα αντικαταστήσουμε τις συνιστώσες x και p με τις γενικευμένες συντεταγμένες q i και γενικευμένες ορμές p i, τις οποίες θα αναγάγουμε σε τελεστές [q i,q j ]=0, [ p i, p j ]=0, [q i, p j ]=i δ ij (Σχ. 3.9) Ο τελεστής της χαμιλτονιανής θα γραφεί ως 25

H= p i q i L (q i, q i ) Εδώ μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε δυο ειδών αναπαραστάσεις. Η πρώτη είναι η αναπαράσταση Schrodinger όπου οι τελεστές είναι ανεξάρτητοι του χρόνου και η χρονική εξέλιξη γίνεται από τις κυματοσυναρτήσεις. Η δεύτερη είναι η αναπαράσταση Heisenberg όπου συμβαίνει το αντίθετο και οι τελεστές είναι αυτοί που φέρουν την χρονική εξέλιξη. Θα κάνουμε χρήση της αναπαράστασης Heisenberg καθώς είναι πιο αποδοτική. Επομένως οι τελεστές των Σχ. 3.9 θα έχουν κοινή χρονική μεταβλητή αφού θα αναφέρονται στην ίδια χρονική στιγμή [q i (t ),q j (t)]=0, [ p i (t), p j (t)]=0, [q i (t ), p j (t)]=iδ ij (Σχ. 3.10) Για να μεταφέρουμε τα παραπάνω σε μια λαγκραζιανή θεωρία πεδίου αρκεί να κάνουμε την αντιστοιχία q i (t) φ(x,t ) όπου φ το πεδίο και p j (t ) π(x ',t) όπου π το συζυγές πεδίο Τέλος το συνεχές ανάλογο του δέλτα του Kronecker δ ij θα είναι δ ij δ ( x x' ) Επομένως η γενίκευση των Σχ. 3.10 θα είναι [φ(x,t ), φ(x ',t)]=0, [π (x, t), π (x ', t)]=0, [φ(x,t ), π (x',t)]=i δ (x x ' ) (Σχ. 3.11) 26

Επομένως η κβάντωση ενός κλασσικού πεδίου δεν είναι τίποτα άλλο αλλά η προαγωγή της πεδιακής ποσότητας φ(x, t) σε τελεστή ορισμένο σε όλα τα σημεία του χωροχρόνου, του οποίου οι ιδιότητες θα ορίζονται από τις Σχ. 3.11 27

4. ΚΒΑΝΤΙΚΑ ΠΕΔΙΑ 4.1 Κβαντωμένο πεδίο Klein-Gordon Η δεύτερη κβάντωση της εξίσωσης Klein-Gordon είναι στην ουσία μια σχετικιστική θεωρία σωματιδίων με σπιν μηδέν. Ξεκινάμε πάντα με το τελεστικό πεδίο φ για το οποίο θα ισχύουν [φ(x,t ), φ(x ',t)]=0, [π (x, t), π (x ', t)]=0, [φ(x,t ), π (x',t)]=i δ (x x ' ) με την συζυγής ορμή π να δίνεται από την σχέση π (x,t)= L φ t = L φ (Σχ. 4.1) Όμως από την Σχ. 3.5 γνωρίζουμε ότι η λαγκραζιανή πυκνότητα υπολογίζεται ως L = 1 2 φ 2 t 1 2 φ 2 x 1 2 m2 φ 2 πράγμα που σημαίνει ότι π (x,t)= φ(x,t ) άρα οι Σχ. 3.11 θα γράφουν ως [φ(x,t ), φ(x ',t)]=0, [ φ(x,t ), φ(x ',t)]=0, [φ(x,t ), φ(x ',t)]=iδ ( x x' ) (Σχ. 4.2) Η γενική λύση της πεδιακής εξίσωσης Klein-Gordon θα είναι ένας γραμμικός συνδυασμός 28

συζύγων επίπεδων κυμάτων, από τα οποία το πρώτο θα αντιστοιχεί σε θετικές ενέργειες και το δεύτερο σε αρνητικές. Με άλλα λόγια θα έχουμε φ(x,t)= k A k f k (x,t )+ A k * f k * (x, t) Αφού λοιπόν η εξίσωση μας τώρα είναι γραμμική, αυτό σημαίνει ότι θα ισχύει ακόμα και όταν το φ προαχθεί σε τελεστή. Με την μόνη διαφορά ότι οι Α και Α* θα γίνουν και αυτοί τελεστές οι οποίοι λόγω της αμοιβαίας συζυγίας των δυο κυματοσυναρτήσεων, είναι και αυτοί συζυγείς μιγαδικοί μεταξύ τους και ερμητιανοί αφού το φ παριστάνει πεδίο πραγματικών τιμών. Δηλαδή θα έχουμε φ(x,t)= k A k f k (x,t )+ A k f k * (x,t) φ (x,t)= k A k e i (kx ω k t) + A k e i (kx ω k t) όπου ω= k 2 +m 2 με τους τελεστές Α και Α να παίζουν τον ρόλο τελεστών καταστροφής και δημιουργίας αντίστοιχα. Τέλος για να χρησιμοποιηθούν οι f και f* στην λήψη μετρήσεων, θα πρέπει να είναι κανονικοποιημένες. Επομένως μπροστά από τον εκθετικό όρο, θα τον πολλαπλασιάσουμε με μια σταθερά κανονικοποίησης που θα μας διασφαλίσει σωστές μετρήσεις φ(x, t)= k 1 2ω k L ( A k e i(kx ωk t) + A k e i(kx ω k t) ) (Σχ. 4.3) με το (2ω k ) 1 /2 να κανονικοποιεί το χρονικό εκθετικό και το (L) 1/ 2 να κανονικοποιεί το χωρικό μέρος του εκθετικού όρου. $$ 29

Οι τελεστές Α και Α θα υπακούουν τις παρακάτω μεταθετικές σχέσεις [ Α k, A k ']=[ Α k, A k ' ]=0, [ Α k, A k ' ]=δ kk ' ενώ η χαμιλτονιανή του πεδίου Klein-Gordon θα δίνεται από την σχέση H= ( A k A k + 1 k 2) ω k (Σχ, 4.4) και η ολική ορμή του πεδίου να είναι P= k A k A k k (Σχ. 4.5) 4.2 Κβαντωμένο πεδίο Dirac Η κβάντωση της εξίσωσης του πεδίου Dirac είναι εφικτή μόνο αν έχουμε την λαγκραζιανή που θα παράγει την εξίσωση μας μεσώ των εξισώσεων Euler Lagrange. Αλλά προτού προχωρήσουμε στην διαδικασία της κβάντωσης πρέπει να επισημάνουμε ότι χρειάζονται ορισμένες τροποποιήσεις στους συλλογισμούς μας. Το πεδίο Dirac περιγραφεί σωματίδια με σπιν ½, τα οποία είναι γνωστά και ως φερμιόνια (ημιακέραιο σπιν) ενώ το πεδίο Klein-Gordon περιγραφεί σωματίδια με σπιν μήδεν, ή αλλιώς μποζόνια (ακέραιο σπιν). Για μια κατάσταση δυο σωματιδίων που είναι μποζόνια θα ισχύει k 1, k 2 = k 2, k 1 δηλαδή έχουμε συμμετρικές καταστάσεις, γεγονός που είναι συνέπεια της μεταθετικής σχέσης [ Α k1, Α k 2 ]=0 30

Α k1 Α k 2 =Α k 2 Α k 1 Από την άλλη για δυο σωματίδια που είναι φερμιόνια θα πρέπει να ισχύει k 1, k 2 = k 2, k 1 δηλαδή να έχουμε αντισυμμετρικές καταστάσεις και για τους τελεστές Α και Α να ισχύει Α k 1 Α k 2 = Α k2 Α k 1 ή κάνοντας χρήση του συμβόλου του αντιμεταθέτη { }, να ισχύει {Α k 1, Α k2 }=0 Ισοδύναμα θα ισχύουν και οι παρακάτω σχέσεις {Α k1, Α k 2 }=0, {Α k1, Α k 2 }=δ k 1,k 2 (Σχ. 4.6) Ο αντιμεταθέτης που χρησιμοποιούμε εδώ για την κβάντωση του κλασσικού πεδίου Dirac είναι ανάλογος με την αντιμεταθετική άλγεβρα που χρησιμοποιήσαμε για να εξάγουμε την ελεύθερη εξίσωση Dirac στο Κεφάλαιο 2. Παρόμοια για το φερμιονικό πεδίο και την συζυγής ορμή του, θα ισχύουν οι ακόλουθες αντιμεταθετικές σχέσεις {ψ (x,t),ψ (x ',t)}={π(x,t ), π(x',t )}=0 και {ψ (x, t), π (x ', t)}=iδ ( x x' ) 31

σχέσεις ανάλογες με εκείνες του μποζονικού πεδίου φ μόνο που εδώ κάνουμε χρήση αντιμεταθέτων. Όπως και με το κβαντωμένο πεδίο Klein-Gordon, το φερμιονικό πεδίο ψ θα είναι συνδυασμός δυο επίπεδων κυμάτων, τα οποία γράφονται ως ψ 1 =u(k)e i(k x ω k t ) και ψ 2 = 1 L υ(k)e i(k x ωk t ) (Σχ. 4.7) όπου u και υ τα διανύσματα u(k)= ω +m ( 1 k k 2ω k ω k +m) και υ(k)= ωk m ( 1 k 2ω k ω k m) (Σχ. 4.8) Επομένως θα έχουμε ψ (x,t)= k c k ψ 1 +d k ψ 2 (Σχ. 4.9) Η χαμιλτονιανή του πεδίου Dirac θα δίνεται από την σχέση H = ψ ( H ψ ) dx όπου Η=α p+β m είναι η γνωστή χαμιλτονιανή της μονοδιάστατης εξίσωσης Dirac και ψ (x,t)= k c k ψ 1 +d k ψ 2 Αντικαθιστώντας τα ψ και ψ στην χαμιλτονιανή του πεδίου Dirac, θα βρούμε ότι 32

H = (c k c k d k d k )ω k (Σχ. 4.10) k Αν υποθέσουμε τώρα ότι ισχύει και εδώ η μποζονική άλγεβρα για τους τελεστές δημιουργίας και καταστροφής [d k, d k ]=1 d k d k =1+d k d k τότε η χαμιλτονιανή θα γραφεί ως H = k (c k c k d k d k )ω k ω k k H = (N k N k )ω k H vac (Σχ. 4.11) k όπου Ν k =c k c k, Ν k =d k d k είναι τελεστές αρίθμησης για κβάντα τύπου c και d, τα οποία αντιπροσωπεύουν σωματίδια και αντισωματίδια αντίστοιχα. και H vac = ω k k η ενέργεια του κενού χώρου, η οποία απειρίζεται αρνητικά και μπορούμε να την αγνοήσουμε. Επιπλέον από την Σχ. 4.11 παίρνουμε ότι η χαμιλτονιανή είναι θετικά ορισμένη όταν τα σωματίδια είναι περισσότερα από τα αντισωματίδια, ενώ γίνεται αρνητική όταν συμβαίνει το αντίστροφο. Αν όμως οι τελεστές c k και d k ικανοποιούν αντιμεταθετικές σχέσεις τότε θα ισχύει και η παρακάτω {d k, d k }=1 33

d k d k =1 d k d k d k d k =1 N k τότε η Σχ. 4.11 θα γραφεί ως H = (N k + N k )ω k k αγνοώντας την ενέργεια του κενού. Επομένως η αλλαγή μεταθετικών σε αντιμεταθετικών σχέσεων αφαιρεί το πρόβλημα των αρνητικών ενεργειών και η χαμιλτονιανή είναι μόνο θετικά ορισμένη. Το κβαντικό πεδίο Dirac περιγράφει ταυτόχρονα σωματίδια και αντισωματίδια. Αν επεκτείνουμε όλα τα παραπάνω στις τρεις διαστάσεις, το πεδίο ψ θα γραφεί ως ψ (r,t)= k, s c k, s ψ k,ωk, s+d k, s ψ k, ωk, s (Σχ. 4.12) και η χαμιλτονιανή θα γραφεί ως H = k, s (c k, s c k, s d k,s d k,s )ω k (Σχ. 4.13) όπου s είναι ο δείκτης σπιν, παίρνοντας δυο δυνατές τιμές αφού κάνουμε λόγο για φερμιόνια. 34

5. ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΑΔΡΟΔΥΝΑΜΙΚΗ 5.1 Το μοντέλο περιγραφής Το εσωτερικό των αστέρων νετρονίων λόγω της υψηλής του πυκνότητας, πιστεύεται ότι αποτελείται από πυρηνική ύλη, πιο συγκεκριμένα, βαρυόνια. Η περιγραφή του εσωτερικού του αστέρα που παρουσιάζουμε παρακάτω την ονομάζουμε κβαντική αδροδυναμική (QHD) και βασίζεται στην ανταλλαγή μεσονίων μεταξύ των βαρυονίων που τον αποτελούν. Εφόσον η πυρηνική ύλη και ο πυρήνας αποτελούν σύνθετα συστήματα, υπάρχουν πολλά μοντέλα που να περιγράφουν την κβαντική αδροδυναμική. Το μοντέλο περιγραφής που θα ασχοληθούμε λέγεται μοντέλο σ ω. Σύμφωνα με αυτό, η αλληλεπίδραση μεταξύ δυο βαρυονίων (πρωτόνια ή νετρόνια) γίνεται με την ανταλλαγή ενός ουδέτερου βαθμωτού μεσονίου σίγμα και ενός ουδέτερου διανυσματικού μεσονίου ωμέγα. Σε μια αλληλεπίδραση δυο νουκλεονίων, τα βαθμωτά μεσόνια σίγμα δημιουργούν μία δυνατή ελκτική κεντρική δύναμη και μία τροχιακή δύναμη σπιν, ενώ τα διανυσματικά μεσόνια ωμέγα δημιουργούν μία δυνατή απωστική κεντρική δύναμη και μία τροχιακή δύναμη σπιν ίδιου πρόσημου με του βαθμωτού. Τα τρία πεδία που δημιουργούνται οφείλονται στα βαρυόνια, στο σίγμα και στο ωμέγα μεσόνιο. Σε αυτή τη περιγραφή θα θεωρήσουμε τις μάζες πρωτονίου και νετρονίου ίσες και ότι δεν περιέχονται φορτισμένα μεσόνια. Η λαγκραζιανή πυκνότητα του συστήματος θα είναι Lorentz αναλλοίωτη και θα ισούται με L = ψ ( x)[γ μ (i μ g ν V μ ( x)) (M g s φ( x))]ψ (x)+ 1 2 ( μ φ(x) μ φ( x) m 2 s φ 2 (x)) 1 4 V V μν μν + 1 2 m 2 ωv μ ( x)v μ ( x) (Σχ. 5.1) όπου V είναι το πεδίο του ωμέγα μεσονίου φ είναι το πεδίο του σίγμα μεσονίου 35

ψ, ψ αναφέρονται στο πεδίο των βαρυονίων m ω, m s θα είναι οι μάζες των ωμέγα και σίγμα μεσονίων Μ η μάζα των νουκλεονίων g ω,g s οι σταθερές σύζευξης των ωμέγα και σίγμα και V μν = μ V ν (x) ν V μ (x) Η L θα μετράται σε μονάδες μήκους -4. Το σίγμα μεσόνιο συζευγνύεται με την βαθμωτή πυκνότητα του πεδίου των βαρυονίων ενώ το ωμέγα μεσόνιο με το διατηρούμενο βαρυονικό ρεύμα. Χρησιμοποιώντας την Σχ. 3.4 παίρνουμε τις εξισώσεις κίνησης των τριών πεδίων μ μ φ(x)+m s 2 φ(x)=g s ψ (x)ψ (x) (Σχ. 5.2) μ V μν +m ω 2 V ν (x)=g ν ψ (x)γ ν ψ (x) (Σχ. 5.3) [γ μ (i μ g ν V μ (x)) (M g s φ(x))]ψ (x)=0 (Σχ. 5.4) Η Σχ. 5.2 είναι ανάλογη της ελεύθερης εξίσωσης Klein-Gordon (Σχ. 2.2) με την βαρυονική πυκνότητα ψ (x)ψ ( x) ως πηγαίο όρο. Η Σχ. 5.3 είναι ανάλογη της εξίσωσης Proca με την σύζευξη του διανυσματικού πεδίου στο διατηρούμενο βαρυονικό ρεύμα ως πηγαίο όρο. Η εξίσωση κίνησης του βαρυονικού πεδίου είναι η εξίσωση Dirac (Σχ. 2.9) με τροποποιημένη μάζα λόγω του μεσονικού ππεδίου. Τέλος επειδή οι Σχ. 5.2, 5.3 και 5.4 είναι μη γραμμικές, η εύρεση λύσης από αυτές είναι μια πολύ δύσκολη διαδικασία, γιαυτό και θα χρησιμοποιήσουμε προσεγγίσεις. 36

5.2 Σχετικιστική θεωρία μέσου πεδίου Στην κβαντική αδροδυναμική οι δυνάμεις σύζευξης είναι μεγάλες, με αποτέλεσμα όταν προσεγγίζουμε την διαταραχή, οι οροί μεγαλύτερης τάξης να αποκλίνουν. Η προσέγγιση που θα χρησιμοποιήσουμε θα πρέπει να μην δημιουργεί αποκλίσεις όσο αυξάνεται η πυκνότητα. Για αυτό το λόγο η προσέγγιση που θα επιλέξουμε, θα είναι η σχετικιστική θεωρία μέσου πεδίου (RMFT). Στην ουσία θα αντικαταστήσουμε τους συντελεστές των μεσονικών πεδίων με τις αναμενόμενες τιμές των θεμελιωδών τους καταστάσεων, οι οποίες αποτελούν και αυτές κλασσικά πεδία με τον εξής τρόπο φ Φ φ Φ = φ = και V μ Φ V μ Φ = V μ =δ μ 0 V 0 (Σχ. 5.5) Η προσέγγιση αυτή είναι εφικτή σε σύστημα βαρυονίων τα οποία βρίσκονται ακίνητα σε θερμοκρασία 0 Kelvin και καλύπτουν καθορισμένο όγκο. Εφόσον το σύστημα είναι στατικό, η βαρυονική ροή ψ (x)γ i ψ (x ) θα ισούται με το μηδέν. Αν η πυκνότητα των βαρυονίων στον όγκο αυξάνει, οι πηγές των Σχ. 5.2, 5.3 θα αυξηθούν κατά μεγάλο βαθμό, πράγμα που μας επιτρέπει να κάνουμε χρήση της προσέγγισης. Για ένα στατικό και ομοιόμορφο σύστημα, τα και V 0 θα είναι σταθερά σε κάθε σημείο του χωροχρόνου και θα μπορούν να προσεγγιστούν από τις θεμελιώδεις καταστάσεις τους. Από την στιγμή που η βαρυονική ροή μηδενίζεται, το χωρικό κομμάτι της V μ εξαφανίζεται. Επιπλέον η προσέγγιση αφορά μόνο τους τελεστές των μεσονικών πεδίων. Άρα οι τελεστές του βαρυονικού πεδίου θα πρέπει να υπολογιστούν με βάση τις θεμελιώδεις τιμές των φ και V, αφού το βαρυονικό πεδίο συζευγνύεται με τα παραπάνω μεσονικά πεδία. Οι τελεστές του βαρυονικού πεδίου χρειάζεται να μετασχηματισθούν καταλλήλως, άρα ψ (x)ψ (x) ψ ψ 37

και ψ (x)γ μ ψ (x) ψ γ 0 ψ (Σχ. 5.6) Όπως αναφέραμε και στην κβάντωση του πεδίου Dirac, θα αγνοήσουμε την ενέργεια κενού, δηλαδή τις αρνητικές κατειλημμένες ενεργειακές καταστάσεις. Γιαυτό το λόγο αυτή η προσέγγιση καλείται και no-sea approximation. Η προσέγγιση μας επιτρέπει να γράψουμε τις Σχ. 5.2, 5.3, 5.4 ως m s 2 =g s ψ ψ (Σχ. 5.7) m ω 2 V 0 =g ν ψ γ 0 ψ (Σχ. 5.8) (i γ μ μ g ν γ 0 V 0 (M g s ))ψ =0 (Σχ. 5.9) ενώ η Σχ. 5.1 προσεγγιστικά μπορεί να γραφεί ως L = ψ (i γ μ μ g ν γ 0 V 0 (M g s ))ψ 1 2 m 2 s φ 2 0 + 1 2 m 2 2 ωv 0 (Σχ. 5.10) Τέλος ο τανυστής ενέργειας-ορμής Τ μν, η ενεργειακή πυκνότητα ε και η πίεση P θα γραφούν ως (Τ μν ) RMF =i ψ γ μ ν ψ η ( μν 1 2 m 2 s φ 2 0 + 1 2 m 2 ωv 0 2) (Σχ. 5.11) ε= T 0 0 = i ψ γ 0 0 ψ + 1 2 m 2 s φ 2 0 1 2 m 2 2 ωv 0 (Σχ. 5.12) 38

P= 1 3 Ti i = i ψ γ i i ψ 1 2 m 2 s φ 2 0 + 1 2 m 2 2 ωv 0 (Σχ. 5.13) 5.3 Υπολογισμός πεδίου ψ Μεγέθη που μας ενδιαφέρουν και μας δίνουν πληροφορίες για την κατάσταση της ύλης ενός αστέρα νετρονίων είναι η πυκνότητα ενέργειας, η πίεση καθώς και ο τανυστής ενέργειάς-ορμής. Για να έχουμε αποτελέσματα όμως από τις Σχ. 5.11, 5.12, 5.13 πρέπει να μπορούμε να υπολογίσουμε το βαρυονικό πεδίο ψ. Επειδή λειτουργούμε με φυσικές μονάδες μέτρησης, το μέγεθος της ορμής p είναι ίδιο με το μέγεθος του κυματάριθμου k. Αν λοιπόν θεωρήσουμε ότι το σύστημα μας είναι στατικό και ομοιόμορφο, μπορούμε να αναλύσουμε το ψ σε ιδιοκαταστάσεις k της ορμής p. Τότε η ψ θα μπορεί να γραφεί ως ψ (x)=ψ (k, s)e i k x ie(k )t (Σχ. 5.14) οπού s ο δείκτης σπιν e(k) η ενέργεια που σχετίζεται με την συγκεκριμένη ιδιοκατάσταση k Αντικαθιστώντας την Σχ. 5.14 στην Σχ. 5.9 έχουμε ( γ i k i +γ 0 e(k) g v γ 0 V 0 (M g s ))ψ (k,s)=0 Στην παραπάνω εξίσωση φαίνεται ότι η μάζα των νουκλεονίων μειώνεται λόγω της παρουσίας του μεσονικού πεδίου που δημιουργεί το βαθμωτό μεσόνιο. Από την παραπάνω εξίσωση μπορεί να βρεθεί ότι e ± (k)=g v V 0 ± k 2 +(M g s ) 2 (Σχ. 5.15) άρα η ψ γράφεται ως 39

ψ (x)= d k s (2 π ) (^c( k,s)u(k, s)e i k x ie + (k )t + d ^ (k, s)v(k,s)e i k x ie- (k)t ) 3/ 2 (Σχ. 5.16) οπού υ και v είναι οι σπίνορες των Σχ. 4.8 και οι c και d οι τελεστές δημιουργίαςκαταστροφής σωματιδίων. Η θεμελιώδης κατάσταση Φ καθορίζεται από μια συγκεκριμένη τιμή του k, τον κυματάριθμο Fermi k F ο οποίος αντιστοιχεί στην πλήρης θετική ενεργειακή βαρυονική κατάσταση ορμής κάτω της οποίας όλες οι υπόλοιπες θετικές στάθμες είναι πλήρως κατειλημμένες. Αγνοώντας τις αρνητικές ενέργειες, έχουμε τις εξής ιδιότητες για την Φ ^d (k, s) Φ =0, ^ c (k, s) Φ =0, ^c(k, s) Φ =0 Όσον άφορα την αναμενόμενη τιμή του V 0, μπορούμε αρχικά να υπολογίσουμε την βαρυονική πυκνότητα όταν ο κυματάριθμος πάρει την τιμή k F ψ ψ = s k F 1 d 3 k (s π) 3 0 ψ ψ = γ 6 π k 3 2 F όπου γ ο εκφυλισμός του σπιν Η αναμενόμενη τιμή της παραπάνω βαρυονικής πυκνότητας θα είναι (ψ ψ) k,s = M e(k) M g (ψ ψ ) k, s = s k 2 +(M g s ) 2 40

Επομένως, μετά από πράξεις οι Σχ. 5.12, 5.13 γράφονται ως ε= γ k F d k k 2 +(M g (2π) 3 s ) 2 γ +g v V 0 0 6π k 3 2 F+ 1 2 m 2 s φ 2 0 1 2 m 2 2 ωv 0 (Σχ. 5.17) P= 1 3[ k F γ d k (2π) 3 0 k 2 k 2 +(M g s ) 2] + 1 2 m s 2 φ 2 0 1 2 m 2 2 ωv (Σχ. 5.18) 0 Όσον αφορά την Σχ. 5.7 μπορούμε να την ξαναγράψουμε ως m s 2 =g s k F γ d k k2 (M g s ) 2 (Σχ. 5.19) 2π 2 0 k 2 +(M g s ) 2 5.4 Τελική μορφή των εξισώσεων Η πυρηνική υλή αποτελεί ένα κορεσμένο σύστημα λόγω της ισχυρής αλληλεπίδρασης. Η ισχυρή δύναμη είναι κατά κύριο λόγο ελκτική, αλλά γίνεται απωστική σε αποστάσεις ~ 0.4 fm. Επομένως σε ένα πυκνό σύστημα, η ελκτική δράση της ισχυρής αλληλεπίδρασης περιορίζεται στα κοντινότερα γειτονικά βαρυόνια του συστήματος. Ο απωστικός χαρακτήρας της δύναμης δημιουργεί ένα όριο στο πόσο κόντα μπορούν να έρθουν τα βαρυόνια μεταξύ τους, με άλλα λόγια έχουμε κορεσμό της πυκνότητας του συστήματος. Οι σταθερές σύζευξης των μεσονίων δίνονται από τις σχέσεις C s 2 =g s 2( M2 m s 2 ), C 2 v =g v 2( M 2 2 m v ) Ωστόσο όλα τα μοντέλα περιγραφής χρειάζονται κάποια πειραματικά δεδομένα ώστε να τα περιορίζουν στις συνθήκες που τα μελετάμε. Σε αυτήν την ανάλυση θα θεωρήσουμε τις τιμές των σταθερών ως 41

C s 2 =357.4 C v 2 =273.8 g s 2 =109.6 g v 2 =190.4 (Σχ. 5.20) Αυτό το σετ παραμέτρων ονομάζεται QHD-I και δεν είναι προδιαγεγραμμένο. Κάθε ανάλυση χρησιμοποιεί διαφορετικές παραπλήσιες μεταξύ τους τιμές. Εμείς επιλέγουμε το QHD-I, για να αναδείξουμε το φαινόμενο του κορεσμού της πυρηνικής ύλης στον αστέρα νετρονίων. Χρησιμοποιώντας όλες τις παραπάνω σχέσεις για τις αναμενόμενες τιμές των μεγεθών, μπορούμε να γράψουμε με σαφήνεια τις εξισώσεις κίνησης των πεδίων, την πυκνότητα ενέργειας και την πίεση στο εσωτερικό του αστέρα. = g s m s 2 ψ ψ = g s m s 2 k F γ 2 π 2 0 d k k 2 (M g s ) k 2 +(M g s ) 2 (Σχ. 5.21) V 0 = g v m ω 2 ψ ψ = g v m ω 2 γ 6 π k 3 2 F (Σχ. 5.22) ε= γ k F (2π) 3 0 d k k 2 +(M g s ) 2 + 1 2 m 2 s φ 2 0 + 1 2 m 2 2 ω V 0 (Σχ. 5.23) P= 1 3( k F γ d k (2 π ) 3 0 k 2 k 2 +(M g s ) 2) 1 2 m s 2 φ 2 0 + 1 2 m 2 2 ωv (Σχ. 5.24) 0 5.5 Παρατηρήσιμα μεγέθη Σταθεροί πυρήνες με χαμηλό αριθμό πρωτονίων (Z), συνήθως έχουν ισάξιο αριθμό νετρονίων. Ωστόσο όταν τα πρωτόνια αυξηθούν, η απωστική δύναμη Coulomb μεταξύ των πρωτονίων αυξάνει επίσης. Οι πυρηνές για να παραμείνουν σταθεροί, προτιμούν να αυξάνουν τον αριθμό των νετρονίων τους ώστε N > Z. Για αυτού του είδους την προτίμηση, υπεύθυνη είναι η ενέργεια συμμετρίας, η οποία μετράται με βάση την σταθερά συμμετρίας α 4 και 42

ορίζεται ως α 4 = 1 2( 2 t 2 ε ρ)t =0, t=( ρ n ρ p ρ ) (Σχ. 5.25) όπου ρ p η πυκνότητα πρωτονίου, ρ n η πυκνότητα νετρονίου και ρ η πυκνότητα για το συνολικό βαρυονικό αριθμό ρ = ρ p + ρ n. Τα ρ p, ρ n μπορούν να γραφούν συναρτήσει του προσαρμοσμένου κυματάριθμου Fermi ως ρ p = k 3 p, ρ 3π 2 n = k 3 n 3π 2 ενώ σε κατάσταση συμμετρίας ( t = 0 ) k p =k n =k F και ρ p = ρ n =ρ 0 ρ 0 = 2 k 3 F 3 π 2 Η πυκνότητα ενέργειας συμμετρίας θα υπολογιστεί από την Σχ. 5.23 όπου οι μεσονικοί όροι δεν λαμβάνονται υπόψιν και ο εκφυλισμός γ θα έχει την τιμή 2. Επομένως ε s = 1 k p dk k 2 k 2 +(M g π 2 s ) 2 + 1 k n dk k 2 k 2 +(M g 0 π 2 s ) 2 0 άρα α 4 = 1 2 2( 2) 2 1 k p dk k 2 k 2 +(M g t π 2 s ) 2 + 1 k n dk k 2 k 2 +(M g ρ 0 π 2 s ) ρ 0 43

6. ΒΕΛΤΙΩΜΕΝΗ QHD 6.1 Αλλαγές στο μοντέλο περιγραφής Το σετ παραμέτρων που χρησιμοποιήσαμε στο Κεφάλαιο 5 (QHD-I) επιλέχθηκε ώστε να εστιάσουμε στην συνεισφορά του πυρηνικού κορεσμού του αστέρα νετρονίων. Η παραπάνω όμως παραμετροποίηση δημιουργεί σφάλματα στην μέτρηση μιας άλλης πυρηνικής ποσότητας που ονομάζεται συμπιεστότητα. Η συμπιεστότητα εκφράζει την καμπύλωση της καταστατικής εξίσωσης σε συνθήκες κορεσμού. Αν αυξάνοντας την πίεση η πυκνότητα ενέργειας αυξηθεί απότομα, τότε η καταστατική εξίσωση καλείται σκληρή. Στην ίδια περίπτωση, αν η πυκνότητα ενέργειας αυξηθεί πιο σταδιακά, η καταστατική εξίσωση θα καλείται μαλακή. Τις ελλείψεις του QHD-I έρχονται να καλύψουν άλλα σετ παραμετροποίησης. Με την προσθήκη σταθερών αυτοσύζευξης στο βαθμωτό μεσονικό πεδίο, παίρνουμε μια καλύτερη εικόνα για την συμπιεστότητα. Από την άλλη, η προσθήκη του διανυσματικού πεδίου ρο διαχωρίζει τις συνεισφορές μεταξύ των φορτισμένων βαρυονίων και δίνει ικανοποιητικότερες μετρήσεις στον υπολογισμό της ενέργειας συμμετρίας. Το πρώτο καινούργιο σετ παραμετροποίησης ονομάζεται NL-SH και αναπαράγει καλύτερα το μέγεθος των νετρονικών ακτίνων σε σώματα άφθονα σε νετρόνια. Τα σετ παραμετροποίησης TM1 και TM2 εισάγουν την αυτοσύζευξη του διανυσματικού πεδίου ωμέγα και βοηθούν στην μελέτη των ασταθών πυρήνων, πυρήνες δηλαδή με πλεόνασμα νετρονίων. Δύο άλλα σετ, τα NL3 και PK1, δίνουν ακριβέστερες μετρήσεις για την συμπιεστότητα και την ενέργεια συμμετρίας. Τέλος το σετ παραμετροποίησης FSUGold περιλαμβάνει την σύζευξη των πεδίων ωμέγα και ρο. Η Λαγκραζιανή πυκνότητα που περιγράφει τα σετ παραμετροποίησης QHD-I, NL-SH, NL3, FSUGold, PK1, TM1, TM2 θα δίνεται από την σχέση L = ψ ( x)[γ μ (i μ g v V μ (x)) g ρ 2 τ b (x) (M g φ(x))]ψ (x)+ 1 μ s 2 φ μ μ φ (x) 1 2 m 2 s φ 2 (x) 44

κ 3! ( g s φ(x)) 3 λ 4! ( g s φ(x)) 4 1 4 V μν V μν + 1 2 m 2 ω V μ (x)v μ (x)+ ζ 4! ( g 2 v V μ (x)v μ (x)) 2 1 4 bμν b μν + 1 2 m 2 ρ b μ (x) b μ (x)+ Λ ν (g 2 v V μ (x)v μ (x))(g 2 ρ b μ (x) b μ (x)) (Σχ. 6.1) όπου ψ= [ ψ p ψ n] το isodoublet βαρυονικό πεδίο, με ψ p το πεδίο πρωτονίου και ψ n το πεδίο νετρονίου φ το μεσονικό πεδίο σίγμα V το μεσονικό πεδίο ωμέγα b μ =(b 1 μ,b 2 μ, b 3 μ ) το διανυσματικό πεδίο Lorentz που αντιστοιχεί στις τρεις isospin m ρ g ρ κ η μάζα του μεσονίου ρο η πυκνότητα isospin συνιστώσες του μεσονικού πεδίου ρο η σταθερά αυτοσύζευξης τρίτης τάξεως στο πεδίο σίγμα λ η σταθερά αυτοσύζευξης τετάρτης τάξεως στο πεδίο σίγμα ζ Λ v η σταθερά αυτοσύζευξης στο πεδίο ωμέγα η σύζευξη μεταξύ των διανυσματικών μεσονικών πεδίων ωμέγα και ρο τ= [ σ 0 0 σ] ο isospin τελεστής, με σ τους 2x2 πίνακες Pauli και V μν = μ V v (x) v V μ (x), b μν = μ b v (x) v b μ (x) Χρησιμοποιώντας την Σχ. 3.4 παίρνουμε τις εξισώσεις κίνησης των πεδίων μ μ φ+m 2 s φ+ κ 2! g 3 s φ 2 + λ 3! g 4 s φ 3 =g s ψ ψ (Σχ. 6.2) μ V μν +m 2 ω V v + ζ 3! g 4 vv 2 μ V v +2 Λ v g 2 v V v g 2 ρ b μ b μ =g v ψ γ v ψ (Σχ. 6.3) μ b μν +m ρ 2 b v +2 Λ v g v 2 V v g ρ 2 b v = g ρ 2 ψ γ v τ ψ (Σχ. 6.4) 45

( γ μ (i μ g v V μ g ρ 2 τ b ) (M g φ) μ s ) ψ =0 (Σχ. 6.5) 6.2 Χρήση της RMF Όπως και προηγουμένως θα χρησιμοποιήσουμε την σχετικιστική θεωρία μέσου πεδίου σαν προσέγγιση, ώστε να λάβουμε τις αναμενόμενες τιμές των πεδίων. Επομένως ως προς τα μεσονικά πεδία θα έχουμε φ(x) φ(x) = V μ (x) V μ (x) =g μ0 V 0 b μ (x) b α μ (x) =g μ 0 δ α 3 b 0 Τα χωρικά μέρη των b μ και V μ εξαφανίζονται άφου το σύστημα μας είναι στατικό και ομοιόμορφο. Όσον αφορά το βαρυονικό πεδίο θα έχουμε τις εξής μετατροπές ψ (x)ψ (x) ψ ψ ψ (x)γ μ ψ (x) ψ γ 0 ψ ψ (x)γ μ τ α ψ (x) ψ γ 0 τ 3 ψ Επομένως οι Σχ. 6.2, 6.3, 6.4, 6.5 μπορούν να ξαναγραφούν ως g s = g 2 s m s 2( ψ ψ κ 2 (g φ s 0 )2 λ 6 (g φ s 0 ) )3 (Σχ. 6.6) 46

g v V 0 = g 2 v 2 m ω ( ψ ψ ζ 6 (g V v 0 )3 2 Λ v (g v V 0 )(g ρ b 0 ) ) 2 (Σχ. 6.7) g ρ b 0 = g 2 ρ 2 m ρ ( 1 2 ψ τ 3 ψ 2 Λ v (g v V 0 ) 2 (g ρ b 0 ) ) (Σχ. 6.8) ( i γ μ μ g v γ 0 V 0 g ρ 2 τ γ 0 3 b 0 (M g s φ)) ψ =0 (Σχ. 6.9) και η λαγκραζιανή πυκνότητα προσεγγιστικά (Σχ. 6.1) θα γραφεί ως L RMF = ψ (x)[γ μ (i μ g v V 0 (x)) g ρ 2 τ b (M g φ )]ψ (x) 1 3 0 s 0 2 m 2 s φ 2 0 κ 3! (g φ s 0 )3 λ 4! (g φ s 0 )4 + 1 2 m 2 ωv 2 0 + ζ 4! (g vv 0 ) 4 + 1 2 m 2 ρb 2 0 + Λ v (g v V 0 ) 2 (g ρ b 0 ) 2 (Σχ. 6.10) με την μέση τιμή της να είναι L RMF = 1 2 m 2 s φ 2 0 κ 3! (g s ) 3 λ 4! (g s ) 4 + 1 2 m 2 ωv 2 0 + ζ 4! (g vv 0 ) 4 + 1 2 m 2 ρ b 2 0 + Λ v (g v V 0 ) 2 (g ρ b 0 ) 2 6.3 Καταστατική εξίσωση Με βάση την νέα λαγκραζιανή πυκνότητα μπορούμε να εξάγουμε τις σχέσεις της πυκνότητας ενέργειας και της πίεσης ε= T 00 = i ψ γ 0 0 ψ L RMF (Σχ. 6.11) P= 1 3 Tii = 1 3 i ψ γi i ψ + L RMF (Σχ. 6.12) Για τον υπολογισμό του πεδίου ψ, γνωρίζουμε από την Ενότητα 5.3 ότι το ψ θα έχει μορφή 47

i k x ie(k )t ψ (x)=ψ (k, s)e με την μόνη διαφορά ότι εδώ η ενέργεια e θα έχει και ένα πρόσθετο όρο που οφείλεται στην παρουσία του πεδίου ρο e(k)=g v V 0 + 1 2 g ρ τ 3 b 0 + k 2 +(M g s ) 2 (Σχ. 6.13) Λαμβάνοντας υπόψιν τα παραπάνω μπορούμε να απλουστεύσουμε τις Σχ. 6.6, 6.7, 6.8 που περιέχουν το πεδίο ψ με τον εξής τρόπο ψ ψ = s k p 1 2 π 3 0 d k+ s k n 1 d k 2 π 3 0 ψ ψ = k 3 p 3 π + k 3 n 2 3π 2 ψ ψ = ρ p + ρ n (Σχ. 6.14) και ψ ψ = 1 k p dk π 2 0 k 2 (M g s ) k 2 +(M g s ) + 1 2 π 2 0 k n dk k 2 (M g s ) k 2 +(M g s ) 2 (Σχ. 6.15) Όσον αφορά τον υπολογισμό του ψ τ 3 ψ, θα πρέπει να βρούμε αρχικά τι μορφή έχει το τ 3. Όπως γνωρίζουμε το ψ είναι ένα isodoublet πεδίο με συνιστώσες ψ p και ψ n, η καθεμία απ τις οποίες είναι 4x1 πίνακες (Σχ. 2.8). Αυτό σημαίνει ότι το ψ είναι ένας 8x1 πίνακας άρα το τ 3 θα πρέπει να έχει μορφή τ=[ σ 0 0 σ] =σ [ I 4 x 4 0 0 I 4x 4] 48

άρα τ 3 =σ 3 [ I 4 x 4 0 0 I 4 x 4] τ 3 =[ 1 0 0 1] [ I 4x 4 0 0 I 4x 4] τ 3 =[ I 4 x 4 0 0 I 4x 4] Επομένως αν συνδυάσουμε τις παρακάτω δύο σχέσεις ψ= [ψ p ψ n], τ 3 =[ I 4x 4 0 0 I 4 x 4] βρίσκουμε ότι ο ρόλος του τ 3 είναι να διαχωρίζει την συνεισφορά του πεδίου πρωτονίου σε θετική και του πεδίου νετρονίου σε αρνητική. Άρα από την Σχ. 6.14 θα έχουμε ψ τ 3 ψ = s k p 1 2 π 3 0 d k s k n 1 d k 2 π 3 0 ψ τ 3 ψ = k 3 p 3π 2 k 3 n 3 π 2 ψ τ 3 ψ = ρ p ρ n (Σχ. 6.16) Επιπλέον κάνοντας χρήση της απόδειξης ψ (γ k)ψ = γ k F k 2 d k (2 π) 3 0 k 2 +(M g s ) 2 49

βρίσκουμε ότι i ψ γ i i ψ = 1 k p k 2 d k 4 π 3 0 k 2 +( M g s ) + 1 k n 2 4 π 3 0 d k k 2 k 2 +(M g s ) 2 (Σχ. 6.17) και i ψ γ 0 0 ψ =g v V 0 ρ + 1 2 g ρb 0 (ρ p ρ n )+ 1 k p d k k 2 +(M g 4 π 2 s ) 2 + 1 k n d k k 2 +(M g 0 4 π 2 s ) 2 0 (Σχ. 6.18) Τέλος χρησιμοποιώντας την μέση τιμή της Σχ. 6.10 με τις Σχ. 6.14, 6.15, 6.16, 6.17, 6.18 έχουμε τις σχέσεις για την πυκνότητα ενέργειας και την πίεση ε= 1 2 m 2 s φ 2 0 + κ 3! (g φ s 0 )3 + λ 4! (g φ s 0 )4 1 2 m 2 ωv 2 0 ζ 4! (g V v 0 )4 1 2 m 2 ρ b 2 0 Λ v ( g v V 0 ) 2 ( g ρ b 0 ) 2 +g v V 0 (ρ p +ρ n ) + 1 2 g b ( ρ ρ )+ 1 k p ρ 0 p n dk k 2 k 2 +(M g π 2 s ) 2 + 1 k n dk k 2 k 2 +(M g 0 π 2 s ) 2 0 (Σχ. 6.19) P= 1 2 m 2 s φ 2 0 κ 3! (g s ) 3 λ 4! (g s ) 4 + 1 2 m 2 ω V 2 0 + ζ 4! (g v V 0 ) 4 + 1 2 m 2 ρ b 2 0 + Λ v (g v V 0 ) 2 (g ρ b 0 ) 2 + 1 k p k 4 dk 3 π 2 0 k 2 +(M g s ) + 1 k n k 4 dk 2 3 π 2 0 k 2 +(M g s ) 2 (Σχ. 6.20) 6.4 Σετ παραμετροποίησης και εξισώσεις κίνησης Οι τιμές των σταθερών για τα διάφορα σετ παραμετροποίησης δίνονται παρακάτω 50

Πίνακας 6.1 NL3 S271 Z271 FSUG 2 2 g s g v g ρ 2 κ λ ζ Λ v M p M n m s m ω m ρ 104.3871 165.5854 79.6000 3.8599-0.01591 0.00 0.00 939 939 508.194 782.5 763 81.1071 116.7655 85.4357 6.6834-0.01580 0.00 0.00 939 939 505.000 783 763 49.4401 70.6689 90.2110 6.1696 +0.15634 0.06 0.00 939 939 465.000 783 763 112.996 204.5469 138.4701 1.4203 +0.0238 0.06 0.03 939 939 491.500 783 763 με τα κ, M p, M n, m s, m ω, m ρ να υπολογίζονται σε MeV. Με βάση τα δεδομένα του Πίνακα 6.1, οι Σχ. 6.6, 6.7, 6.8, 6.9 μας δίνουν τις εξισώσεις των πεδίων g s = g 2 2( s m s 1 k p dk π 2 0 k 2 (M g s ) k 2 +(M g s ) + 1 2 π 2 0 k n dk k 2 (M g s ) 2) k 2 +(M g s ) g 2 s m s 2( κ 2 (g s )2 + λ 6 (g s )3 ) (Σχ. 6.21) g v V 0 = g 2 v 2 m ω ( ρ + ρ ζ p n 6 (g V v 0 )3 2 Λ v (g v V 0 )(g ρ b 0 ) ) 2 (Σχ. 6.22) g ρ b 0 = g 2 ρ 2 m ρ ( 1 2 (ρ ρ ) 2 Λ (g V p n v v 0 )2 (g ρ b 0 ) ) (Σχ. 6.23) 6.5 Ενέργεια συμμετρίας 51

Ο υπολογισμός της ενέργειας συμμετρίας δεν διαφέρει από εκείνον της Ενότητας 5.5, με την μόνη διαφορά ότι εδώ έχουμε την επίδραση του διανυσματικού πεδίου ρο. Από την Σχ. 6.21 παρατηρούμε ότι το βαθμωτό πεδίο φ δεν έχει κάποια εξάρτηση με το πεδίο b. Επομένως όλοι οι όροι του βαθμωτού πεδίου της πυκνότητας ενέργειας (Σχ. 6.19) δεν συνεισφέρουν περαιτέρω. Η πυκνότητα ενέργειας συμμετρίας θα ισούται με ε s = 1 2 m 2 ρ b 2 0 Λ v (g v V 0 ) 2 (g ρ b 0 ) 2 +g v V 0 ( ρ p + ρ n )+ 1 2 g b (ρ ρ )+ 1 k p ρ 0 p n dk k 2 k 2 +(M g π 2 s ) 2 0 + 1 k n dk k 2 k 2 +(M g π 2 s ) 2 (Σχ. 6.24) 0 Από την Σχ. 6.23 έχουμε ότι b 0 = 1 g ρ (ρ p ρ n ) 2 m 2 p +2 Λ v g 2 ρ (g v V 0 ) 2 b 0 = 1 g ρ ( t ρ) 2 m 2 p +2 Λ v g 2 ρ (g v V 0 ) 2 Άρα αντικαθιστώντας στην Σχ. 6.24 βρίσκουμε ότι ε s ρ = t2 ρ 8 ( g ρ 2 m ρ 2 +2 Λ v g ρ 2 (g v V 0 ) 2) + 1 π 2 ρ 0 k p dk k 2 k 2 +( M g s ) 2 + 1 π 2 ρ 0 k n dk k 2 k 2 +(M g s ) 2 Επομένως η σταθερά συμμετρίας α 4 υπολογίζεται ως a 4 = 1 2( 2 t 2 ε s ρ )t =0 52