ΕΠΩΝΥΜΟ:........................ ΟΝΟΜΑ:........................... ΤΜΗΜΑ:........................... ΤΣΙΜΙΣΚΗ & ΚΑΡΟΛΟΥ ΝΤΗΛ ΓΩΝΙΑ THΛ : 270727 222594 ΑΡΤΑΚΗΣ 12 Κ. ΤΟΥΜΠΑ THΛ : 919113 949422 www.syghrono.gr ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ:..................... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 04/ 01/ 2010 ΘΕΜΑ 1 ο Α1.Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συνάρτησης f(x)=x 2 είναι f (x)=2x. A2. ίνεται συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το Α. α) Πότε η f είναι παραγωγίσιµη στο x o A. β) Τι παριστάνει γεωµετρικά ο παράγωγος αριθµός της f στο σηµείο (x o,f(x o )). Α3. Αν οι συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιµες να αποδείξετε ότι [f(x)+g(x)] =f (x)+g (x) ΜΟΝΑ ΕΣ 6 + 4 + 7 Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α) Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστηµα του πεδίου ορισµού της, όταν για οποιαδήποτε σηµεία x 1, x 2 µε x 1 > x 2 ισχύει f (x 1 ) < f (x 2 ). β) Αν η συνάρτηση f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο σ ένα εσωτερικό σηµείο x 0 του πεδίου ορισµού της, και υπάρχει η παράγωγος f (x 0 ), τότε f (x 0 ) = 0. γ) Η παράγωγος (αν υπάρχει) της συνάρτησης g λέγεται πρώτη παράγωγος της g. δ) Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο x 0 του πεδίου ορισµού της, τότε το όριο lim h 0 f (x h) - f (x 0 ) h 0 +, h 0, ισούται µε τον συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτοµένης της καµπύλης, που είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f στο σηµείο (x 0, f (x 0 )) αυτής.
ε) Έστω συνάρτηση f, ορισµένη και συνεχής σ ένα διάστηµα. Τα εσωτερικά σηµεία x του, στα οποία η f παραγωγίζεται και η παράγωγος f (x) ισούται µε µηδέν, αποτελούν πάντοτε θέσεις τοπικών ακροτάτων της. στ). Το κυκλικό διάγραµµα είναι ένας κυκλικός δίσκος χωρισµένος σε κυκλικούς τοµείς τα εµβαδά των οποίων είναι αντιστρόφως ανάλογα προς τις αντίστοιχες συχνότητες. ζ). Πλάτος κλάσης ενός δείγµατος ονοµάζεται το άθροισµα του κατωτέρου και του ανωτέρου ορίου της κλάσης η). Το κέντρο κάθε κλάσης ενός δείγµατος ισούται µε την ηµιδιαφορά των άκρως της κλάσης ΘΕΜΑ 2 Ο Α 1. Αν η συχνότητα της τιµής x 1 είναι 45 και η σχετική συχνότητα είναι 30% τότε το µέγεθος του δείγµατος είναι... MONA ΕΣ 2 Α 2. Οι τιµές που µπορεί να πάρει ένα δείγµα είναι x 1 < x2 < x3. Αν η αθροιστική συχνότητα του x2 είναι 140 και το µέγεθος του δείγµατος είναι 200 η σχετική συχνότητα της x 3 είναι... MONA ΕΣ 2 Α 3. 5 αγόρια έχουν µέσο βάρος 80kg και 3 κορίτσια έχουµε µέσο βάρος... όταν το µέσο βάρος όλων των παιδιών είναι 72,5kg. MONA ΕΣ 3 3 B. Να βρεθούν οι πραγµατικοί αριθµοί α και β όταν ( ) συνάρτηση ( ) ( ) 12 x 2 αν x 4 f x = 2 x 7x + 12 β αν x = 4 lim x x 2 x 1 είναι συνεχής στο x=4. + α β = και η Γ. ίνεται η συνάρτηση 2 f (x) = x + α x + β, x R όπου α, β σταθεροί πραγµατικοί αριθµοί. α) Να βρείτε τους α, β ώστε η ευθεία µε εξίσωση y = 4x + 2 να είναι η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σηµείο της Μ( 1,f(1) )
β) Για α=2 και β=3, να βρείτε : 1) την εξίσωση της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σηµείο τοµής της µε τον άξονα yy x + 1 2) το όριο lim x 1 xf (x) 3) τη µονοτονία και τα ακρότατα της συνάρτησης 4) το ρυθµό µεταβολής της κλίσης της εφαπτόµενης όταν το x = 2009 MONA ΕΣ 2 + 2 + 2 + 2 + 2 ΘΕΜΑ 3 Ο Α. Στα πλαίσια των ποδοσφαιρικών αγώνων του τουρνουά 2009-2010 που διοργανώνουν τα ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΣΥΓΧΡΟΝΟ η στατιστική υπηρεσία του φροντιστηρίου που αποτελείται από µαθητές του χώρου κατέγραψαν ενδιαφέροντα στοιχεία από τον τελικό αγώνα. Τα στοιχεία παρουσιάζονται σε ένα πίνακα στον οποίο καταγράφονται στα 80 πρώτα λεπτά παιχνιδιού(ο αγώνας είναι διάρκειας δύο 40λέπτων) πόσες φορές ακούµπησαν τη µπάλα οι επιθετικοί της νικήτριας οµάδας δηµιουργώντας επικίνδυνη κατάσταση στην εστία της αντίπαλης οµάδας. Χρόνος [, ) [0, 20) [20, 40) [40, 60) Κεντρική Τιµή x i Επικίνδυνη Φάση ν i f(-1) f f (2) (2) f (x) lim x 2 x 2 2x [60, 80) Θέση ακροτάτου της g(x) Σύνολο Όπου : f(x) = x 3 4x και g(x) = x 2 10x α) Να αντιγράψετε και να συµπληρώσετε τον πίνακα συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων. β) Να βρεθεί η µέση τιµή και η διάµεσος προσεγγιστικά και ακριβώς γ) Τα τρία από τα τέσσερα γκόλ που σκόραραν οι επιθετικοί της νικήτριας επιτεύχθηκαν στο δεύτερο ηµίχρονο και πιο συγκεκριµένα από το 40 ο λεπτό και µετά. Να αναφέρετε πόσες φορές ακούµπησαν τη µπάλα οι επιθετικοί της νικήτριας οµάδας στο χρονικό διάστηµα αυτό και ποιο είναι το ποσοστό των ευκαιριών (επικίνδυνων φάσεων) που δηµιούργησαν. MONA ΕΣ 4+5+4
f (1 + h) + 1 Β. Έστω η συνάρτηση f συνεχής στο R µε limf (x) = 1 και lim = 3. x 1 h 0 h α) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης στο σηµείο x 0 = 1. β) Αν (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ), (x 3, y 3 ),, (x 20, y 20 ) είναι 20 σηµεία της εφαπτοµένης της συνάρτησης και ισχύει x 1 + x 2 + x 3 + + x 20 = 60, να βρείτε τη µέση τιµή y των τεταγµένων των 20 σηµείων. Γ. Ο µέσος ( µέση τιµή ) ν αριθµών ισούται µε 5. Αν προσθέσουµε στους ν αριθµούς και τον µεµονωµένο αριθµό 13 τότε ο νέος µέσος ισούται µε 6. Να βρείτε το πλήθος των αριθµών. MONA ΕΣ 4 ΘΕΜΑ 4 ο Α. Στο παρακάτω κυκλικό διάγραµµα παριστάνονται οι προτιµήσεις των µαθητών ενός σχολείου σε ποδοσφαιρικές οµάδες. Αν γνωρίζουµε ότι οι οπαδοί του ΗΡΑΚΛΗ είναι 80 τότε : ΑΛΛΗ ΟΜΑ Α x o Α.Ε.Κ. x o Π.Α.Ο.Κ. (2x) o ΗΡΑΚΛΗΣ (3x + 9) o ΑΡΗΣ (x 9) o α) Να βρεθεί ο x β) Να βρεθεί το πλήθος των παιδιών γ) Να κατασκευάσετε το αντίστοιχο ραβδόγραµµα συχνοτήτων. MONA ΕΣ 2 +2 + 3 Β. Η ηλικία 80 λιονταριών στο πάρκο της Μασαχουσέτης που ζουν έως 15 χρόνια έχει ταξινοµηθεί σε 5 ισοπλατείς κλάσεις. 20 λιοντάρια είναι κάτω από 3 χρονών 44 λιοντάρια είναι µικρότερα από 6 χρονών 20 λιοντάρια είναι τουλάχιστον 9 χρονών και ο αριθµός των λιονταριών της τρίτης κλάσεις είναι διπλάσιος από αυτόν της πέµπτης κλάσης. α) Να παραστήσετε τα παρακάτω δεδοµένα σε ένα πίνακα συχνοτήτων. β) Να κατασκευάσετε το ιστόγραµµα των αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων και το αντίστοιχο πολύγωνο. γ) Να υπολογίσετε το ποσοστό των λιονταριών που η ηλικία τους δεν ξεπερνά τα 5 χρόνια. (θεωρώντας ότι κατανέµονται οµοιόµορφα σε κάθε κλάση)
δ) Πόσα τουλάχιστον χρόνια πρέπει να ζει ένα λιοντάρι ώστε να είναι µεταξύ των 12 γηραιότερων; (θεωρώντας ότι κατανέµονται οµοιόµορφα σε κάθε κλάση) MONA ΕΣ 5+4+4+5 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : κατανέµονται οµοιόµορφα σηµαίνει ότι αν µια κλάση τη διαιρέσουµε µε κάποιο αριθµό µε τον ίδιο αριθµό διαιρείται και συχνότητα και σχετική συχνότητα και όλα τα µεγέθη. ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ιάρκεια 3 ώρες Χρόνια πολλά και καλή χρονιά