ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑΛ Β 6 ΜΑΪΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρία (Θεώρ Frmat) σχολικό βιβλίο σελ 6-6 Α Θεωρία (Ορισµός) σχολικό βιβλίο σελ 8 Α3 ΘΕΜΑ Β α β γ δ ε Σ Σ Λ Λ Σ B Έχουµε από υπόθεση ότι: z 3i+ z+ 3i () Όµως z+ 3i z+ 3i z 3i () Οπότε από τις () και () προκύπτει ότι: z 3i + z 3i z 3i z 3i (3) Αν z + yi η (3) γράφεται: + y i + y ( 3) ( 3) Εποµένως ο γεωµετρικός τόπος των z είναι κύκλος µε κέντρο το σηµείο Κ(,3) και ακτίνα ρ Β Από το ερώτηµα Β έχουµε: z 3i Οπότε ( ) z 3i ( z 3 i) ( z 3 i) ( z 3 i) z + 3i z + 3i z 3i Β3 Σύµφωνα µε την προηγούµενη ισότητα ο w γράφεται B4 w z 3 i + 3 3 R( ) 3 z i + z i z + i z + z z R Όµως από τον γεωµετρικό τόπο των z έχουµε ότι: R( z), οπότε R( z) Άρα w Είναι: z w z z + 3i 3i 3i z 3 i z z z 3i z 3i
ΘΕΜΑ Γ Γ Η δοσµένη σχέση γράφεται: ( ) f ( ) + f ( ) ( ) ( f ( )) ( f ( ) ) ( f ( )) f ( ) f ( ) + c, c R Για προκύπτει: f () f () c + και λόγω των δεδοµένων αρχικών συνθηκών είναι c Γ Είναι Η τελευταία σχέση έτσι γράφεται: (*) f ( ) f ( ) f ( )( ) f ( ) f ( ) ln( ) f ( ) ln( ) + c Για προκύπτει c Έτσι f ( ) ln( ) (*) Αν θέσουµε h( ), R, είναι: h ( ), R ( ) h ( ) h > > > > ( ) h < < < < Έτσι η h έχει ολικό ελάχιστο στη θέση την τιµή ηλαδή h( ) >, για κάθε R f ( ) ln( ) () Λόγω της παρατήρησης (*) του ερωτήµατος Γ οι ρίζες και το πρόσηµο, συνεπώς ο πίνακας µεταβολών της f εξαρτάται µόνον από τις ρίζες και το πρόσηµο του αριθµητού h ( ) Συνεπώς f ( ) f ( ) > > f ( ) < < h Άρα η f είναι: γνησίως φθίνουσα στο (,], γνησίως αύξουσα στο [, + )
Γ3 Είναι: και παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στη θέση την τιµή ( ) ( ) ( )( ) ( ) f ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( + ) Θέτουµε ϕ ( ) ( ), R Είναι φ () + ( ) ( ) φ () φ () > < φ () < > () ln( ) ln Προκύπτει ότι η φ είναι γνησίως αύξουσα στο (, ], γνησίως φθίνουσα στο [, + ) και έχει ολικό µέγιστο φ () > Βρίσκουµε τώρα τα όρια της φ στα, + : limϕ( ) lim ( ) + + + ( ) + lim ( ) lim lim lim lim Έτσι ϕ( ) lim + ( ) Λόγω της συνέχειας και της µονοτονίας της φ είναι ϕ (( ]) ( ϕ( ) ϕ( ) ( ], lim,, ([ + )) ( ϕ( ) ϕ( ) ( ] ϕ, lim,, + f Παρατηρούµε ότι: 3
ϕ( (,]) άρα υπάρχει (,] ώστε ϕ ( ) Εν τω µεταξύ η φ είναι γνησίως αύξουσα, άρα εκατέρωθεν του αλλάζει πρόσηµο Έτσι ισοδύναµα (επειδή ( ) > για κάθε R ) η f έχει µία µόνο ρίζα στο (,], εκατέρωθεν της οποίας αλάζει πρόσηµο Όµοια τώρα ϕ( [, ]) + άρα υπάρχει [, + ), ώστε ϕ ( ) Εν τω µεταξύ η φ είναι γνησίως φθίνουσα άρα εκατέρωθεν του αλλάζει πρόσηµο Έτσι η f έχει επίσης µία µόνο ρίζα στο [, + ), εκατέρωθεν της οποίας αλλάζει πρόσηµο Άρα τελικά, η f έχει ακριβώς δύο σηµεία καµπής στις θέσεις, Γ4 Θέτουµε g( ) ln( ) συν f ( ) συν, R Ύπαρξη : Η g είναι συνεχής ως διαφορά συνεχών στο R, άρα και στο, Είναι g() f () συν () < π π π π g f συν f π π π Όµως f στο [, + ), άρα είναι > f > f () f > Έτσι g() g π <, οπότε λόγω του Θ Bolzano η g έχει µία ρίζα στο π διάστηµα, Μοναδικότητα: Θα δείξουµε ότι η g είναι γνησίως αύξουσα στο,, οπότε η ρίζα θα είναι µοναδική Έστω,, µε < τότε f ( ) < f ( ) διότι f στο [, + ) 4
ΘΕΜΑ συν Έχουµε ότι: f ( ) > συν διότι συν στο, Άρα συν< συν Έτσι όµως f ( ) συν < f ( ) συν, άρα g( ) < g( ) Άρα g γνησίως αύξουσα στο, t dt g( + ) Θέτουµε: + t u t u Οπότε: dt du Ακόµη για t έχουµε u και για t έχουµε u Εποµένως: u u u f ( ) du du du g( u) g( u) g( u) u u f ( ) du f ( ) du g( u) g( u) Άρα u f ( ) + du () g( u) Με ανάλογο τρόπο προκύπτει ότι: u g( ) + du () f ( u) Επειδή οι συναρτήσεις οι συναρτήσεις g u u u και ( ) f( u) u u du και du g( u) f ( ) είναι συνεχείς στο R συµπεραίνουµε ότι είναι παραγωγίσιµες στο R, εποµένως και οι συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιµες στο R f ( ) και g ( ) g( ) f ( ) f ( ) g και g ( ) f ( ) οπότε ( ) 5
άρα ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) > f g g f f g g f ( ) g f ( ) g( ) g ( ) f ( ) f ( ) g ( ) g( ) Από την τελευταία προκύπτει ότι: και επειδή Άρα f( ) g( ) ()&() f( ) c g( ) f () g(), θα είναι c Επειδή είναι: f ( ) (Ερώτηµα ) f( ) 3 Είναι ( ) ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) Ολοκληρώνουµε την τελευταία και έχουµε: f ( ) + c Όµως f (), οπότε c Άρα [ ] f ( ) f( ) f( ) Και επειδή f ( ) >, προκύπτει ότι f ( ) ln f ( ) ln lim lim lim lim lim ( D L ' Hospital) f lim lim 4 Είναι F ( ) f ( ) > Άρα η F στο [,] Άρα για θα είναι F( ) F() και επειδή F (), προκύπτει ότι F( ) [,] Εποµένως [,], θα είναι: [ ] E F( ) d F( ) d F( ) + F ( ) d + 6
F() + f ( t ) d f ( )d d d ( ) d ( ) 7