Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Μαθηματιά Γειής Παιδείας Γ Λυείου Δημήτρης Αργυράης Γεράσιμος Κουτσαδρέας
Μαθηματιά Γειής Παιδείας Στατιστιή Γ. Λυείου ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Στατιστιή είαι ο λάδος τω εφαρμοσμέω επιστημώ, η οποία βασίζεται σ έα σύολο αρχώ αι μεθοδολογιώ που έχου σοπό: Το σχεδιασμό της διαδιασίας συλλογής δεδομέω. Τη συοπτιή αι αποτελεσματιή παρουσίασή τους. Τη αάλυση αι τη εξαγωγή χρήσιμω συμπερασμάτω. Στατιστιός πληθυσμός ή απλά πληθυσμός οομάζεται άθε σύολο, τα στοιχεία του οποίου εξετάζουμε ως προς έα ή περισσότερα χαρατηριστιά τους. Τα στοιχεία του πληθυσμού οομάζοται μοάδες ή άτομα. Μεταβλητές οομάζοται τα χαρατηριστιά εεία, ως προς τα οποία εξετάζουμε έα πληθυσμό. Οι δυατές τιμές που μπορεί α πάρει μια μεταβλητή λέγοται τιμές της μεταβλητής. Οι μεταβλητές χωρίζοται σε δύο ατηγορίες, στις ποιοτιές αι στις ποσοτιές. Ποιοτιές μεταβλητές είαι εείες που δε επιδέχοται μέτρηση αι οι τιμές τους δε είαι αριθμοί. Ποσοτιές μεταβλητές είαι εείες που επιδέχοται μέτρηση αι οι τιμές τους είαι αριθμοί. Οι ποσοτιές μεταβλητές διαρίοται σε συεχείς αι διαριτές (ασυεχείς). Συεχείς είαι οι ποσοτιές μεταβλητές που μπορού α πάρου οποιαδήποτε τιμή εός διαστήματος ( α, β). Διαριτές είαι οι ποσοτιές μεταβλητές που παίρου μόο μεμοωμέες τιμές. ΣΥΛΛΟΓΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Στατιστιά δεδομέα ή παρατηρήσεις είαι μια σειρά δεδομέω, που προύπτου από τη διαδοχιή εξέταση τω ατόμω εός πληθυσμού ως προς έα χαρατηριστιό τους. Οι υριότερες μέθοδοι συλλογής στατιστιώ δεδομέω είαι η απογραφή αι η δειγματοληψία. Απογραφή είαι μια μέθοδος συλλογής στατιστιώ δεδομέω, που αολουθούμε για α πάρουμε όλες τις απαραίτητες πληροφορίες, για έα πληθυσμό εξετάζοτας όλα τα άτομα του πληθυσμού ως προς τα χαρατηριστιά που μας εδιαφέρου. Η απογραφή όμως είαι δύσολη, οιοομιά αι χροιά ασύμφορη αι πολλές φορές αδύατη. Γι αυτό το λόγο επιλέγουμε μια μιρή ομάδα, δηλαδή έα υποσύολο του πληθυσμού το οποίο οομάζεται δείγμα. Συλλέγουμε τις παρατηρήσεις από το δείγμα αι στη συέχεια γειεύουμε τα συμπεράσματα για ολόληρο το πληθυσμό. Τα συμπεράσματα όμως, που θα προύψου από τη μελέτη του δείγματος θα είαι αξιόπιστα, δηλαδή θα ισχύου με ιαοποιητιή προσέγγιση για ολόληρο το πληθυσμό, μόο ότα η επιλογή του δείγματος έχει γίει με τέτοιο τρόπο, ώστε το δείγμα α είαι ατιπροσωπευτιό. Έα δείγμα θεωρείται ατιπροσωπευτιό, ότα άθε άτομο του πληθυσμού έχει τη ίδια δυατότητα α επιλεγεί. Δειγματοληψία είαι αυτή η μέθοδος συλλογής στατιστιώ δεδομέω, ατά τη οποία συγετρώοται πληροφορίες μόο για έα υποσύολο του πληθυσμού. Δημήτρης Αργυράης Γεράσιμος Κουτσαδρέας
Μαθηματιά Γειής Παιδείας Στατιστιή Γ. Λυείου ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Στατιστιοί πίαες Μετά τη συλλογή τω στατιστιώ δεδομέω είαι ααγαία η ατασευή συοπτιώ πιάω ή γραφιώ παραστάσεω, ώστε α είαι εύολη η αταόησή τους αι η εξαγωγή ορθώ συμπερασμάτω. Η παρουσίαση τω στατιστιώ δεδομέω σε πίαες γίεται με τη ατάλληλη τοποθέτηση τω πληροφοριώ σε γραμμές αι στήλες, ώστε α διευολύεται η σύγριση αι α έχουμε αλύτερη εημέρωση. Οι πίαες διαρίοται σε Γειούς πίαες, οι οποίοι περιέχου όλες τις πληροφορίες μιας στατιστιής έρευας αι αποτελού πηγές στατιστιώ πληροφοριώ για παραπέρα αάλυση αι εξαγωγή συμπερασμάτω. Ειδιούς πίαες, οι οποίοι είαι συοπτιοί αι σαφείς. Τα στοιχεία τους έχου ληφθεί από τους γειούς πίαες. Κάθε πίαας πρέπει α περιλαμβάει Το τίτλο, που γράφεται στο επάω μέρος του πίαα αι δηλώει συοπτιά αι με σαφήεια το περιεχόμεό του. Τις επιεφαλίδες τω γραμμώ αι τω στηλώ, που δείχου συοπτιά τη φύση αι τις μοάδες μέτρησης τω δεδομέω. Το ύριο σώμα, που περιέχει διαχωρισμέα σε γραμμές αι στήλες τα στατιστιά δεδομέα. Τη πηγή, που δείχει τη προέλευση τω στατιστιώ δεδομέω, ώστε ο ααγώστης α αατρέχει σ αυτή ότα το επιθυμεί, για επαλήθευση στοιχείω ή για άτληση περισσοτέρω πληροφοριώ. Συμβολισμοί : Μεταβλητή : Μέγεθος δείγματος : Χ Ν Παρατηρήσεις : t, t, t,..., t Τιμές μεταβλητής :,,,..., Συχότητες τιμώ :,,,..., ( ) Σχετιές συχότητες τιμώ : f, f, f,..., f Αθροιστιές συχότητες τιμώ : N, N, N,..., N Αθροιστιές σχετιές συχότητες τιμώ : ( Μόο για ποσοτιές μεταβλητές ) F, F, F,..., F Δημήτρης Αργυράης Γεράσιμος Κουτσαδρέας
Μαθηματιά Γειής Παιδείας Στατιστιή Γ. Λυείου Ορισμοί : α) Συχότητα ( ) Α,,,, οι τιμές μιας μεταβλητής Χ εός δείγματος μεγέθους, τότε συχότητα της τιμής,,,,, λέγεται ο φυσιός αριθμός που δείχει πόσες φορές η μεταβλητή Χ παίρει τη τιμή. β) Σχετιή συχότητα ( f ) Α,,,, οι τιμές μιας μεταβλητής Χ εός δείγματος μεγέθους αι,,,, οι ατίστοιχες συχότητές τους, τότε σχετιή συχότητα της τιμής,,,,, λέγεται ο αριθμός f,,,,, γ) Αθροιστιή συχότητα ( Ν ) Α οι τιμές,,,, μιας ποσοτιής μεταβλητής Χ, εός δείγματος μεγέθους, είαι σε αύξουσα διάταξη αι,,,, οι ατίστοιχες συχότητές τους, τότε αθροιστιή συχότητα της τιμής,,,,, λέγεται ο φυσιός αριθμός Ν + + + + που δείχει πόσες παρατηρήσεις είαι μιρότερες ή ίσες της τιμής. δ) Αθροιστιή σχετιή συχότητα ( F ) Α οι τιμές,,,, μιας ποσοτιής μεταβλητής Χ, εός δείγματος μεγέθους, είαι σε αύξουσα διάταξη αι f, f, f,, f οι ατίστοιχες συχότητές τους, τότε αθροιστιή σχετιή συχότητα της τιμής,,,,, λέγεται ο αριθμός F f + f + f + + f που δείχει το ποσοστό τω παρατηρήσεω που είαι μιρότερες ή ίσες της τιμής. ε) Καταομή συχοτήτω (, ) Α,,,, οι τιμές μιας μεταβλητής Χ εός δείγματος μεγέθους αι,,,, οι ατίστοιχες συχότητές τους, τότε η αταομή συχοτήτω αποτελείται από το σύολο τω ζευγώ της μορφής (, ),,,,,. στ) Καταομή σχετιώ συχοτήτω (, f ) Α,,,, οι τιμές μιας μεταβλητής Χ εός δείγματος μεγέθους αι f, f, f,, f οι ατίστοιχες σχετιές συχότητές τους, τότε η αταομή σχετιώ συχοτήτω αποτελείται από το σύολο τω ζευγώ της μορφής (, f ),,,,, Πρόταση Α,,,, είαι οι τιμές μιας μεταβλητής Χ εός δείγματος μεγέθους αι,,,, οι ατίστοιχες συχότητές τους, όπου, είαι μη μηδειοί φυσιοί αριθμοί με, τότε ισχύου : α) + + + +. β) 0 f για,,,,. γ) f + f + f + + f. Δημήτρης Αργυράης Γεράσιμος Κουτσαδρέας 4
Μαθηματιά Γειής Παιδείας Στατιστιή Γ. Λυείου Απόδειξη α) Είαι φαερό ότι το άθροισμα όλω τω συχοτήτω είαι ίσο με το μέγεθος του δείγματος, δηλαδή + + + +. 0 β) Είαι 0 0 f για,,,,. + + +... + γ) f + f + f + + f + + +... +. Το σύμβολο Σ Το άθροισμα + + + + συμβολίζεται. Άρα ισχύου : α) β) f, λ λ γ) Ν λ δ) f F λ όπου λ,,,,. Iδιότητες Σ α) ( α + β ) α + β β) ( ) Π.χ. λα λ γ) λ λ α + ( 5f + 4) 5f + 4 5 f + 4 5 + 4 5 4 Ομαδοποίηση παρατηρήσεω Η ομαδοποίηση τω παρατηρήσεω γίεται ότα το πλήθος τω τιμώ μιας ποσοτιής μεταβλητής είαι μεγάλο. Στη περίπτωση αυτή οι παρατηρήσεις αταέμοται σε σύολα ( ομάδες ) που λέγοται λάσεις αι οι οποίες είαι δυατό α έχου ίσο ή άισο πλάτος. Για τη ομαδοποίηση παρατηρήσεω σε λάσεις ίσου πλάτους εργαζόμαστε ως εξής : Προσδιορίζουμε το αριθμό τω λάσεω. Ο αριθμός αυτός εξαρτάται από το μέγεθος του δείγματος αι δίεται από το πίαα της σελίδας 7 του σχολιού βιβλίου ή ορίζεται από το ερευητή σύμφωα με τη εμπειρία του. Προσδιορίζουμε το εύρος R τω παρατηρήσεω. Είαι R t ma - t mn Προσδιορίζουμε το πλάτος c άθε λάσης. Είαι c R t t ma Καθορίζουμε τις λάσεις [ α, ), [ α, ), [ α, ),, [, α ] 0 α α α Κάουμε διαλογή τω παρατηρήσεω. Κατασευάζουμε πίαα. mn α.. Κετριή τιμή της λάσης [, α ) Δημήτρης Αργυράης Γεράσιμος Κουτσαδρέας α είαι ο αριθμός - α + α,,,,,. 5
Μαθηματιά Γειής Παιδείας Στατιστιή Γ. Λυείου Παρατήρηση Κατά τη ομαδοποίηση τω παρατηρήσεω πρέπει : Κάθε παρατήρηση α αήει σε μια λάση. Η απόσταση δύο διαδοχιώ ετριώ τιμώ α είαι ίση με το πλάτος c άθε λάσης Γραφιές παραστάσεις Τα στατιστιά δεδομέα παρουσιάζοται αι με τη μορφή γραφιώ παραστάσεω ή διαγραμμάτω. Με τα διαγράμματα διευολύεται η σύγριση μεταξύ ομοειδώ στοιχείω για το ίδιο χαρατηριστιό ή αι για διαφορετιά χαρατηριστιά. Όπως αι οι στατιστιοί πίαες έτσι αι τα στατιστιά διαγράμματα πρέπει α συοδεύοται από το τίτλο, τη λίμαα με τις τιμές τω μεγεθώ που απειοίζοται, το υπόμημα που επεξηγεί τις τιμές της μεταβλητής αι τη πηγή τω δεδομέω. Α. Ποιοτιή μεταβλητή Ραβδόγραμμα συχοτήτω (, ) Ραβδόγραμμα σχετιώ συχοτήτω (, f ) Το ραβδόγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφιή παράσταση τω τιμώ μιας ποιοτιής μεταβλητής. Αποτελείται από ορθογώιες στήλες, που οι βάσεις τους βρίσοται πάω στο οριζότιο άξοα ή αι στο αταόρυφο άξοα. Σε άθε τιμή της μεταβλητής X ατιστοιχεί μία ορθογώια στήλη της οποίας το ύψος είαι ίσο με τη ατίστοιχη συχότητα ή τη σχετιή συχότητα, έτσι έχουμε το ραβδόγραμμα συχοτήτω ή το ραβδόγραμμα σχετιώ συχοτήτω. Η απόσταση μεταξύ τω στηλώ αι το μήος τω βάσεώ τους αθορίζοται αυθαίρετα. Κυλιό διάγραμμα συχοτήτω ή σχετιώ συχοτήτω Το υλιό διάγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφιή παράσταση τόσο τω ποιοτιώ όσο αι τω ποσοτιώ μεταβλητώ, ότα οι τιμές της μεταβλητής είαι σχετιά λίγες. Το υλιό διάγραμμα είαι έας υλιός δίσος χωρισμέος σε υλιούς τομείς τω οποίω τα τόξα ή ισοδύαμα τα εμβαδά είαι αάλογα προς τις ατίστοιχες συχότητες ή τις σχετιές συχότητες f ή f % τω τιμώ της μεταβλητής. Α συμβολίσουμε με α το ατίστοιχο τόξο εός υλιού τομέα στο υλιό διάγραμμα συχοτήτω ή σχετιώ συχοτήτω, τότε 0 0 α 60 60 f,,,,,. Σημειόγραμμα συχοτήτω ή σχετιώ συχοτήτω Το σημειόγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφιή παράσταση τόσο τω ποιοτιώ όσο αι τω ποσοτιώ μεταβλητώ, ότα τα στατιστιά δεδομέα είαι λίγα. Το σημειόγραμμα αποτελείται από έα οριζότιο άξοα πάω στο οποίο τοποθετούμε τις τιμές της μεταβλητής. Σε άθε μία τιμή σημειώουμε αταόρυφα προς τα πάω τόσα σημεία (τελείες) όσο αι η συχότητα της τιμής ή σχετιή συχότητα f ή f %. Δημήτρης Αργυράης Γεράσιμος Κουτσαδρέας 6
Μαθηματιά Γειής Παιδείας Στατιστιή Γ. Λυείου Β. Ποσοτιή μεταβλητή ( Μη ομαδοποιημέες παρατηρήσεις ) Διάγραμμα συχοτήτω (, ) Διάγραμμα σχετιώ συχοτήτω (, f ) Το διάγραμμα συχοτήτω χρησιμοποιείται για τη γραφιή παράσταση τω τιμώ μιας ποσοτιής μεταβλητής (μη ομαδοποιημέης). Στο διάγραμμα συχοτήτω, ατί α χρησιμοποιούμε συμπαγή ορθογώια, υψώουμε σε άθε τιμή της μεταβλητής, (υποθέτουμε ότι οι τιμές είαι ταξιομημέες ατά αύξουσα σειρά), έα άθετο ευθύγραμμο τμήμα που έχει μήος ίσο προς τη ατίστοιχη συχότητα. Α ατί τω συχοτήτω χρησιμοποιήσουμε τις σχετιές συχότητες f ή f % παίρουμε το διάγραμμα σχετιώ συχοτήτω. Πολύγωο συχοτήτω (, ) Α σ έα διάγραμμα συχοτήτω εώσουμε τα σημεία (, ) δημιουργείται μια τεθλασμέη γραμμή που οομάζεται πολύγωο συχοτήτω. Διάγραμμα αθροιστιώ συχοτήτω (, Ν ) Πολύγωο σχετιώ συχοτήτω (, f ) Α σ έα διάγραμμα σχετιώ συχοτήτω εώσουμε τα σημεία (, f ) δημιουργείται μια τεθλασμέη γραμμή που οομάζεται πολύγωο σχετιώ συχοτήτω. Διάγραμμα αθροιστιώ σχετιώ συχοτήτω (, F ) Πολύγωο αθροιστιώ συχοτήτω (, Ν ) Πολύγωο αθροιστιώ σχετιώ συχοτήτω (, F ) Κυλιό διάγραμμα συχοτήτω ή σχετιώ συχοτήτω Σημειόγραμμα συχοτήτω ή σχετιώ συχοτήτω α 0 0 60 60 f,,,,,. Δημήτρης Αργυράης Γεράσιμος Κουτσαδρέας 7
Μαθηματιά Γειής Παιδείας Στατιστιή Γ. Λυείου Γ. Ποσοτιή μεταβλητή ( Ομαδοποιημέες παρατηρήσεις σε λάσεις ίσου πλάτους ) Ιστόγραμμα συχοτήτω (, ) Ιστόγραμμα σχετιώ συχοτήτω (, f ) Το ιστόγραμμα συχοτήτω χρησιμοποιείται για τη γραφιή παράσταση εός πίαα συχοτήτω με ομαδοποιημέα δεδομέα αι είαι έα σύστημα συτεταγμέω, όπου στο οριζότιο άξοα σημειώουμε με ατάλληλη λίμαα τα όρια τω λάσεω. Στη συέχεια ατασευάζουμε διαδοχιά ορθογώια (ιστούς), αθέα από τα οποία έχει βάση ίση με το πλάτος της λάσης αι ύψος τέτοιο, ώστε το εμβαδό του ορθογωίου α είαι ίσο με τη συχότητα της ατίστοιχης λάσης. Α θεωρήσουμε το πλάτος c ως μοάδα μέτρησης του χαρατηριστιού στο οριζότιο άξοα, τότε το ύψος άθε ορθογωίου θα είαι ίσο με τη συχότητα της ατίστοιχης λάσης, αφού το εμβαδό άθε ορθογωίου πρέπει α είαι ίσο με τη ατίστοιχη συχότητα. Συεπώς σε άθε ιστόγραμμα συχοτήτω στο αταόρυφο άξοα σημειώουμε τις συχότητες. Α στο αταόρυφο άξοα σημειώσουμε τις σχετιές συχότητες, τότε με αάλογο τρόπο ατασευάζουμε το ιστόγραμμα σχετιώ συχοτήτω. Α συμβολίσουμε με Ε το άθροισμα τω εμβαδώ τω ορθογωίω σ έα : Ιστόγραμμα συχοτήτω, τότε Ε + + + Ε Ιστόγραμμα σχετιώ συχοτήτω, τότε : Ε f + f + + f Ε ή Ε f % + f % + + f % Ε 00 Πολύγωο συχοτήτω (, ) Πολύγωο σχετιώ συχοτήτω (, f ) Α σ έα ιστόγραμμα συχοτήτω θεωρήσουμε δύο αόμη υποθετιές λάσεις, μία στη αρχή αι μία στο τέλος με συχότητα μηδέ αι στη συέχεια εώσουμε τα μέσα τω άω βάσεω τω ορθογωίω, δηλαδή τα σημεία (, ), όπου η ετριή τιμή της λάσης αι η ατίστοιχη συχότητά της, τότε σχηματίζεται το πολύγωο συχοτήτω. Το εμβαδό του χωρίου που ορίζεται από το πολύγωο συχοτήτω αι το οριζότιο άξοα είαι ίσο με το άθροισμα τω εμβαδώ τω ορθογωίω, δηλαδή Ε Α σ έα ιστόγραμμα σχετιώ συχοτήτω θεωρήσουμε δύο αόμη υποθετιές λάσεις, μία στη αρχή αι μία στο τέλος με σχετιή συχότητα μηδέ αι στη συέχεια εώσουμε τα μέσα τω άω βάσεω τω ορθογωίω, δηλαδή τα σημεία (, f ), όπου η ετριή τιμή της λάσης αι f η ατίστοιχη σχετιή συχότητά της, τότε σχηματίζεται το πολύγωο σχετιώ συχοτήτω. Το εμβαδό του χωρίου που ορίζεται από το πολύγωο σχετιώ συχοτήτω αι το οριζότιο άξοα είαι ίσο με το άθροισμα τω εμβαδώ τω ορθογωίω, δηλαδή Ε ή Ε 00 Δημήτρης Αργυράης Γεράσιμος Κουτσαδρέας 8
Μαθηματιά Γειής Παιδείας Στατιστιή Γ. Λυείου Ιστόγραμμα αθροιστιώ συχοτήτω (, Ν ) Ιστόγραμμα αθροιστιώ σχετιώ συχοτήτω (, F ) Με όμοιο τρόπο ατασευάζοται : Το ιστόγραμμα αθροιστιώ συχοτήτω Το ιστογράμματα αθροιστιώ σχετιώ συχοτήτω. Το εμβαδό του τελευταίου ιστού στο Το εμβαδό του τελευταίου ιστού στο ιστόγραμμα αθροιστιώ σχετιώ συχοτήτω ιστόγραμμα αθροιστιώ συχοτήτω είαι Ε είαι Ε ή Ε 00 Πολύγωο αθροιστιώ συχοτήτω (, Ν ) Πολύγωο αθροιστιώ σχετιώ συχοτήτω (, F ) Α σ έα ιστόγραμμα αθροιστιώ συχοτήτω εώσουμε τα δεξιά άρα τω άω βάσεω με ευθύγραμμα τμήματα, τότε προύπτει το πολύγωο αθροιστιώ συχοτήτω. Με όμοιο τρόπο ατασευάζεται το πολύγωο αθροιστιώ σχετιώ συχοτήτω. Με το πολύγωο αθροιστιώ συχοτήτω βρίσουμε πλήθος που δε προύπτει άμεσα από πίαα. Κυλιό διάγραμμα συχοτήτω ή σχετιώ συχοτήτω α 0 0 60 60 f,,,,,. Με το πολύγωο αθροιστιώ σχετιώ συχοτήτω βρίσουμε ποσοστό που δε προύπτει άμεσα από πίαα. Δ. Χροόγραμμα Το χροόγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφιή απειόιση της διαχροιής εξέλιξης εός οιοομιού, δημογραφιού ή άλλου μεγέθους, όπως η αξία μιας μετοχής, τα ποσοστά αεργίας, το ύψος του πληθωρισμού, το πλήθος τω γεήσεω.τ.λ. Αποτελείται από έα ορθογώιο σύστημα αξόω, όπου ο οριζότιος άξοας θεωρείται ως άξοας μέτρησης του χρόου αι ο αταόρυφος άξοας θεωρείται ως άξοας μέτρησης της συχότητας ή της σχετιής συχότητας f ή f % τω τιμώ της εξεταζόμεης μεταβλητής. Ποσοστά αεργίας στη Ελλάδα ατά τα έτη 990-995 Δημήτρης Αργυράης Γεράσιμος Κουτσαδρέας 9
Μαθηματιά Γειής Παιδείας Στατιστιή Γ. Λυείου Ε. Καμπύλη συχοτήτω Καμπύλη συχοτήτω είαι η ομαλή αμπύλη προς τη οποία τείει η πολυγωιή γραμμή συχοτήτω, ότα το πλήθος τω λάσεω είαι αρετά μεγάλο (τείει στο άπειρο) αι το πλάτος άθε λάσης είαι μιρό (τείει στο μηδέ). Η μορφή της αμπύλης συχοτήτω εξαρτάται από το πώς είαι αταεμημέες οι παρατηρήσεις σ όλη τη έταση του εύρους τους. ΣΤ. Μορφές αμπύλης συχοτήτω Καοιή αταομή Ομοιόμορφη αταομή Α οι παρατηρήσεις αταέμοται συμμετριά ως προς μια αταόρυφη ευθεία, τότε λέμε ότι αολουθού τη αοιή αταομή. Η αμπύλη που ατιστοιχεί στη αοιή αταομή έχει ωδωοειδή μορφή. Η συχότητα που ατιστοιχεί στο άξοα συμμετρίας της αμπύλης είαι η μεγαλύτερη από όλες τις άλλες συχότητες αι σημαίει ότι η ατίστοιχη τιμή της μεταβλητής εμφαίζεται πιο συχά από άθε άλλη τιμή. Α οι παρατηρήσεις αταέμοται ομοιόμορφα σ έα διάστημα [ α, β], τότε λέμε ότι αολουθού τη ομοιόμορφη αταομή. Στη ομοιόμορφη αταομή άθε παρατήρηση ή λάση έχει τη ίδια συχότητα Α οι παρατηρήσεις δε είαι συμμετριά αταεμημέες, τότε η αταομή λέγεται ασύμμετρη με : Θετιή ασυμμετρία Αρητιή ασυμμετρία Δημήτρης Αργυράης Γεράσιμος Κουτσαδρέας 0
Μαθηματιά Γειής Παιδείας Στατιστιή Γ. Λυείου ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ α) Μέση Τιμή μεταβλητής Χ ( ) Ορισμός Α t, t, t,, t είαι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτιής μεταβλητής Χ εός δείγματος μεγέθους,,,,, είαι οι τιμές της μεταβλητής Χ με ατίστοιχες συχότητες,,,, αι σχετιές συχότητες f, f, f,, f, τότε μέση τιμή της μεταβλητής της Χ είαι ο αριθμός, όπου Εύρεση Μέσης Τιμής ( ) t f η Περίπτωση: Α δίοται οι παρατηρήσεις t, t, t,, t, τότε χρησιμοποιούμε το τύπο t t + t + t +... + t η Περίπτωση: Α δίοται οι τιμές,,,, αι οι ατίστοιχες συχότητες τους,,,,, τότε : α) Κάουμε πίαα συχοτήτω ΣΥΝΟΛΟ Σ β) Χρησιμοποιούμε το τύπο η Περίπτωση: Α δίοται οι τιμές,,,, αι οι ατίστοιχες σχετιές συχότητες τους f, f, f,, f, τότε : α) Κάουμε πίαα σχετιώ συχοτήτω f f ΣΥΝΟΛΟ Σ f β) Χρησιμοποιούμε το τύπο f Σημείωση Ότα οι παρατηρήσεις είαι ομαδοποιημέες εργαζόμαστε όπως στη η ή η περίπτωση αι ως θεωρούμε τις ετριές τιμές τω λάσεω. Δημήτρης Αργυράης Γεράσιμος Κουτσαδρέας
Μαθηματιά Γειής Παιδείας Στατιστιή Γ. Λυείου β) Σταθμιός μέσος μεταβλητής Χ ( ) Ορισμός Α,,,, είαι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτιής μεταβλητής Χ εός δείγματος μεγέθους αι w, w, w,,w οι ατίστοιχοι συτελεστές στάθμισης, τότε σταθμιός μέσος της μεταβλητής Χ οομάζεται ο αριθμός, όπου w + w + w +... + w w + w + w +... + w w w γ) Διάμεσος παρατηρήσεω ( δ ) Ορισμός Α t, t, t,, t είαι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτιής μεταβλητής Χ, οι οποίες είαι διατεταγμέες ατά αύξουσα σειρά, τότε η διάμεσος τω παρατηρήσεω είαι δ t + t t + + α α + Δηλαδή, η διάμεσος είαι ίση με το ημιάθροισμα τω δύο μεσαίω παρατηρήσεω, α άρτιος. τη μεσαία παρατήρηση, α περιττός. Η διάμεσος σε ομαδοποιημέα δεδομέα Για α προσδιορίσουμε τη διάμεσο παρατηρήσεω, ότα αυτές είαι ομαδοποιημέες, εργαζόμαστε ως εξής : Κατασευάζουμε πίαα αταομής σχετιώ συχοτήτω. Σχεδιάζουμε ιστόγραμμα αι πολύγωο αθροιστιώ σχετιώ συχοτήτω ( F % ). Προσδιορίζουμε τη τιμή που ατιστοιχεί σε ποσοστό 50 %. Σημείωση Η διάμεσος είαι η τιμή που χωρίζει έα σύολο παρατηρήσεω σε δύο ίσα μέρη, ότα οι παρατηρήσεις είαι διατεταγμέες ατά αύξουσα σειρά, δηλαδή η διάμεσος είαι η τιμή για τη οποία το πολύ το 50 % τω παρατηρήσεω είαι μιρότερες από αυτή αι το πολύ το 50 % τω παρατηρήσεω είαι μεγαλύτερες από τη τιμή αυτή. Δημήτρης Αργυράης Γεράσιμος Κουτσαδρέας
Μαθηματιά Γειής Παιδείας Στατιστιή Γ. Λυείου Σύγριση μέσης τιμής αι διαμέσου Πλεοετήματα Μειοετήματα Μέση Τιμή Για το υπολογισμό της χρησιμο- Επηρεάζεται πολύ από αραίες τιμές. ποιούται όλες οι τιμές. Είαι μοαδιή για άθε σύολο Συήθως δε ατιστοιχεί σε τιμή της δεδομέω. μεταβλητής. Είαι εύολα αταοητή. Δε υπολογίζεται για ποιοτιά δεδομέα Ο υπολογισμός της είαι σχετιά εύολος. Έχει μεγάλη εφαρμογή για περαιτέρω στατιστιή αάλυση. Διάμεσος Είαι εύολα αταοητή. Δε χρησιμοποιούται όλες οι τιμές για Δε επηρεάζεται από αραίες τιμές. το υπολογισμό της. Είαι δύσολη η εφαρμογή της για περαιτέρω στατιστιή αάλυση. Ο υπολογισμός της είαι απλός. Δε υπολογίζεται για ποιοτιά δεδομέα Είαι μοαδιή για άθε σύολο δεδομέω. Δημήτρης Αργυράης Γεράσιμος Κουτσαδρέας
Μαθηματιά Γειής Παιδείας Γ. Λυείου Στατιστιή Δημήτρης Αργυράης Γεράσιμος Κουτσαδρέας 4 ΜΕΤΡΑ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ Α) Εύρος παρατηρήσεω ( ) R Ορισμός Α t, t, t,, t είαι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτιής μεταβλητής Χ, τότε εύρος τω παρατηρήσεω είαι ο αριθμός R, που είαι ίσος με τη διαφορά της ελάχιστης παρατήρησης από τη μέγιστη παρατήρηση. Δηλαδή R t ma t mn Β) Διαύμαση ( ) S Ορισμός Α t, t, t,, t είαι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτιής μεταβλητής Χ εός δείγματος μεγέθους,,,,, είαι οι τιμές της μεταβλητής Χ με ατίστοιχες συχότητες,,,,, τότε διαύμαση S της μεταβλητής Χ είαι ( ) ( ) t S όπου είαι η μέση τιμή της μεταβλητής Χ. Σημείωση Οι προηγούμεοι τύποι γράφοται αι ως εξής : ( ) ( ) t t t S ( ) ( ) S
Μαθηματιά Γειής Παιδείας Στατιστιή Γ. Λυείου Εύρεση Διαύμασης ( S ) η Περίπτωση: Α δίοται οι παρατηρήσεις t, t, t,, t, τότε α) Βρίσουμε τη μέση τιμή από το τύπο β) Βρίσουμε τη διαύμαση από το τύπο S t t ( ) ( t ) + ( t ) +... + ( t ) t ή από το τύπο + t + t +... + t ( Συήθως α αέραιος ) S t ( ) ( ) ( Συήθως α όχι αέραιος ) η Περίπτωση: Α δίοται οι τιμές,,,, αι οι ατίστοιχες συχότητες τους,,,,, τότε : α) Κάουμε πίαα συχοτήτω ΣΥΝΟΛΟ Σ Σ β) Βρίσουμε τη μέση τιμή από το τύπο γ) Βρίσουμε τη διαύμαση από το τύπο ( ) S η Περίπτωση: Α δίοται οι τιμές,,,, f, f, f,, f, τότε : αι οι ατίστοιχες σχετιές συχότητες τους α) Κάουμε πίαα σχετιώ συχοτήτω f f f ΣΥΝΟΛΟ Σ f Σ f β) Βρίσουμε τη μέση τιμή από το τύπο f γ) Βρίσουμε τη διαύμαση από το τύπο ( ) Σημείωση Ότα οι παρατηρήσεις είαι ομαδοποιημέες εργαζόμαστε όπως στη η ή η περίπτωση αι ως θεωρούμε τις ετριές τιμές τω λάσεω. S f Δημήτρης Αργυράης Γεράσιμος Κουτσαδρέας 5
Μαθηματιά Γειής Παιδείας Στατιστιή Γ. Λυείου γ) Τυπιή Απόλιση ( s ) Ορισμός Τυπιή απόλιση οομάζεται η θετιή τετραγωιή ρίζα της διαύμασης, δηλαδή s s Ιδιότητες Α η αμπύλη συχοτήτω για το χαρατηριστιό που εξετάζουμε είαι αοιή ή περίπου αοιή, τότε η τυπιή απόλιση s έχει τις παραάτω ιδιότητες : ) Στο διάστημα ( s, + s ) αήει το 68% περίπου τω παρατηρήσεω, οπότε σε αθέα από τα διαστήματα ( s, ) αι (, + s ) αήει τo 4 % περίπου τω παρατηρήσεω. ) Στο διάστημα ( s, + s ) αήει το 95 % περίπου τω παρατηρήσεω, οπότε σε αθέα από τα διαστήματα ( s, s ) αι ( + s, + s ) 95 68 αήει τo,5 % περίπου τω παρατηρήσεω. ) Στο διάστημα ( s, + s ) αήει περίπου το 99,7 % τω παρατηρήσεω, οπότε σε αθέα από τα διαστήματα ( s, s ) αι ( + s, + s ) αήει περίπου τo 99,7 95,5 % τω παρατηρήσεω. v) Το εύρος είαι περίπου ίσο με έξι τυπιές απολίσεις, δηλαδή R 6s. δ) Συτελεστής Μεταβολής ( CV ) Oρισμός Συτελεστής μεταβολής οομάζεται ο λόγος της τυπιής απόλισης προς τη μέση τιμή, δηλαδή s CV ( 0) A < 0, τότε ατί της χρησιμοποιούμε τη. Παρατηρήσεις Ο συτελεστής μεταβολής είαι έα μέτρο ομοιογέειας, το οποίο χρησιμοποιείται για τη σύγριση ομάδω τιμώ που εφράζοται - σε διαφορετιές μοάδες μέτρησης ή - στη ίδια μοάδα μέτρησης αλλά έχου σηματιά διαφορετιές μέσες τιμές. Ο συτελεστής μεταβολής - είαι αεξάρτητος από τις μοάδες μέτρησης. - εφράζεται επί τοις εατό. - είαι έα μέτρο σχετιής διασποράς τω τιμώ αι όχι της απόλυτης διασποράς. Δημήτρης Αργυράης Γεράσιμος Κουτσαδρέας 6
Μαθηματιά Γειής Παιδείας Στατιστιή Γ. Λυείου Α για δύο δείγματα τιμώ Α αι Β ισχύει CV A < CVB, τότε λέμε ότι το δείγμα Α παρουσιάζει μεγαλύτερη ομοιογέεια από το δείγμα Β. Έα δείγμα τιμώ Α θεωρείται ομοιογεές, ότα CV A 0%. Σύγριση μέτρω διασποράς Εύρος Διαύμαση Τυπιή Απόλιση Πλεοετήματα Ο υπολογισμός του είαι σχετιά εύολος. Χρησιμοποιείται συχά στο έλεγχο ποιότητας. Είαι δυατό α χρησιμοποιηθεί για τη ετίμηση της τυπιής απόλισης. Λαμβάοται υπόψη για το υπολογισμό τους όλες οι παρατηρήσεις. Έχου μεγάλη εφαρμογή στη στατιστιή συμπερασματολογία. Σε αοιούς στατιστιούς πληθυσμούς το 68 %, το 95 %, αι το 99,7 % τω παρατηρήσεω αήου στα διαστήματα ( s, + s ), ( s, + s ) αι ( s, + s ) ατιστοίχως. Μειοετήματα Δε θεωρείται αξιόπιστο μέτρο διασποράς, επειδή βασίζεται μόο στις δύο αραίες παρατηρήσεις. Δε χρησιμοποιείται για περαιτέρω στατιστιή αάλυση. Απαιτούται περισσότερες αλγεβριές πράξεις για το υπολογισμό τους παρά στα άλλα μέτρα. Το υριότερο μειοέτημα της διαύμασης είαι ότι δε εφράζεται στις ίδιες μοάδες με το χαρατηριστιό. Το μειοέτημα αυτό παύει α υπάρχει με τη χρησιμοποίηση της τυπιής απόλισης Συτελεστής Μεταβολής Είαι αθαρός αριθμός. Χρησιμοποιείται ως μέτρο σύγρισης της μεταβλητότητας, ότα έχουμε ίδιες ή αι διαφορετιές μοάδες μέτρησης. Χρησιμοποιείται ως μέτρο ομοιογέειας εός στατιστιού πληθυσμού. Δε εδείυται στη περίπτωση που η μέση τιμή είαι οτά στο μηδέ. Δημήτρης Αργυράης Γεράσιμος Κουτσαδρέας 7
Μαθηματιά Γειής Παιδείας Στατιστιή Γ. Λυείου Πρόταση Έστω,,,, οι παρατηρήσεις μιας ποσοτιής μεταβλητής Χ με μέση τιμή αι τυπιή απόλιση s αι y, y, y,, y οι παρατηρήσεις μιας ποσοτιής μεταβλητής Ψ με μέση τιμή y αι τυπιή απόλιση s y. Α y α + β για άθε,,,, αι α, β R, τότε : ) y α + β ) s y α s Απόδειξη ) Είαι y y ) Είαι α + y + + y + +... + y +... + ( α + β) + ( α + β) + ( α + β) +... + ( α + β) + β α + β. s y ( y y) + ( y y) + ( y y) +... + ( y y) ( α + β α β) + ( α + β α β) + ( α + β α β) +... + ( α + β α β) ( α α ) + ( α α ) + ( α α ) +... + ( α α ) ( ) + ( ) + ( ) +... + ( ) α α s. Άρα s y α s Έχουμε λοιπό το παραάτω πίαα. Α y + β y + β s y s y α,,,, y α s y α s αι α, β R τότε y α + β y α + β s y α s Δημήτρης Αργυράης Γεράσιμος Κουτσαδρέας 8
Μαθηματιά Γειής Παιδείας Στατιστιή Γ. Λυείου Ασήσεις για λύση ) Να συμπληρώσετε το παραάτω πίαα συχοτήτω σχετιώ συχοτήτω. v N f f % F F % 75 40 4 87,5 5 Σύολο 0 ) Να συμπληρώσετε το παραάτω πίαα συχοτήτω σχετιώ συχοτήτω. v N f f % 0, 0,5 0,8 4 0,0 5 Σύολο 00 F F % ) Να συμπληρώσετε το παραάτω πίαα συχοτήτω σχετιώ συχοτήτω. v N f f % F F % 0,5 0,75 4 0,95 5 Σύολο 0 4) Να συμπληρώσετε το παραάτω πίαα συχοτήτω σχετιώ συχοτήτω. v N f f % F F % 4 6 0,0 0,60 4 5 5 6 Σύολο Δημήτρης Αργυράης Γεράσιμος Κουτσαδρέας 9
Μαθηματιά Γειής Παιδείας Στατιστιή Γ. Λυείου 5) Να συμπληρώσετε το παραάτω πίαα συχοτήτω σχετιώ συχοτήτω. v N f f % F F % 7,5 0,0 80 4 5 40 Σύολο 6) Μια μεταβλητή X παίρει τις τιμές,,, 4. Α η συχότητα v της είαι διπλάσια της συχότητας v της τιμής, η σχετιή συχότητα f της τιμής είαι διπλάσια της σχετιής συχότητας f της τιμής αι η γωία υλιού διαγράμματος της τιμής 4 είαι 08 ο, τότε: ) Να υπολογίσετε τις f, f, f, f 4. ) Να ατασευάσετε το υλιό διάγραμμα. Παρατήρηση : Το υλιό διάγραμμα χρησιμοποιείται για τη παράσταση τόσο τω ποιοτιώ όσο αι τω ποσοτιώ μεταβλητώ. 7) Το παραάτω ραβδόγραμμα δίει το ποσοστό τηλεθέασης 00 ατόμω, οι οποίοι παραολουθού τα αάλια,,, 4. ) Να βρείτε το πλήθος τω τηλεθεατώ που παραολουθεί το αάλι 4. ) Να ατασευάσετε το πίαα συχοτήτω αι σχετιώ συχοτήτω. ) Να μετατρέψετε το ραβδόγραμμα σε υλιό διάγραμμα σχετιώ συχοτήτω. f % 45 40 5 0 5 0 5 0 5 0 4 Παρατήρηση : Το ραβδόγραμμα χρησιμοποιείται για τη παράσταση ΜΟΝΟΝ τω ποιοτιώ μεταβλητώ. Δημήτρης Αργυράης Γεράσιμος Κουτσαδρέας 0
Μαθηματιά Γειής Παιδείας Στατιστιή Γ. Λυείου 8) Η βαθμολογία μιας ομάδας φοιτητώ σ έα διαγώισμα είαι 4, 5, 6, 7 αι 8. Το 80 % έχει βαθμό τουλάχιστο 5. Οι φοιτητές που έχου βαθμό 4 είαι διπλάσιοι αυτώ που έχου βαθμό 8. Είοσι έας φοιτητές έχου βαθμό άτω από 6. Είοσι τέσσερις φοιτητές έχου βαθμό πάω από 6 αι το 55 % έχει βαθμό 6 ή 7. Να ατασευάσετε το πίαα αταομής συχοτήτω : Ν, f %, F %., 9) Έστω,,, 4 οι τιμές μιας μεταβλητής X με ατίστοιχες σχετιές συχότητες f, f, f, f 4, οι οποίες δίοται από το τύπο f,,,, 4. ) Να αποδείξετε ότι 6. 5 ) Α η απόλυτη συχότητα 4 είαι 64, α βρείτε το πλήθος. ) Α 0 α χαράξετε το υλιό διάγραμμα της παραπάω αταομής. 0) Το παραάτω διάγραμμα σχετιώ συχοτήτω δίει τα ποσοστά επιτυχίας εός αλαθοσφαιριστή στις ελεύθερες βολές (πέτυχε 4), στα δίποτα (πέτυχε 8) αι τρίποτα (πέτυχε ) ατιστοίχως σε έα αγώα. f % 5 O 4 8 ) Να βρείτε τα ποσοστά αυτά. ) Να ατασευάσετε το υλιό διάγραμμα. Παρατήρηση : Το διάγραμμα χρησιμοποιείται για τη παράσταση ΜΟΝΟΝ τω διαριτώ ποσοτιώ μεταβλητώ. Δημήτρης Αργυράης Γεράσιμος Κουτσαδρέας
Μαθηματιά Γειής Παιδείας Στατιστιή Γ. Λυείου ) To διπλαό υλιό διάγραμμα ατιστοιχεί σε πλήθος 70 μαθητώ. Α είαι +y8 ) Να αποδείξετε ότι 6 0 αι y45 0. ) Να βρείτε τις συχότητες (απόλυτες) αι α ατασευάσετε το ραβδόγραμμα συχοτήτω. +4 0 y y-5 0 +y ) Μια μεταβλητή X παίρει τις τιμές,,, με ατίστοιχες σχετιές συχότητες f, f, f, για τις οποίες ισχύει f f, εώ η γωία α του υλιού διαγράμματος είαι 80 0. Να ατασευάσετε το υλιό διάγραμμα αι α υπολογίσετε τις σχετιές συχότητες τω τιμώ. ) Μια μεταβλητή Χ παίρει μόο τις τιμές,, που σε υλιό διάγραμμα τα ατίστοιχα τόξα είαι 0 0 0 α 7α α,, 8 8. Να βρείτε τις ατίστοιχες σχετιές συχότητες. 4) Στα σχολεία εός Δήμου υπηρετού 00 επαιδευτιοί. Ο συολιός χρόος υπηρεσίας τω επαιδευτιώ δίεται από το παραάτω πίαα: Α) Πόσοι επαιδευτιοί έχου τουλάχιστο 5 χρόια υπηρεσίας; Β) Με τη προϋπόθεση ότι άθε επαιδευτιός θα συταξιοδοτηθεί, ότα συμπληρώσει 5 χρόια: α) Πόσοι επαιδευτιοί θα συταξιοδοτηθού μέσα στα επόμεα,5 χρόια; Να διαιολογήσετε τη απάτησή σας. β) Πόσοι συολιά επαιδευτιοί πρέπει α προσληφθού μέσα στα επόμεα πέτε χρόια, ώστε ο αριθμός τω επαιδευτιώ που υπηρετού στα σχολεία του Δήμου α παραμείει ο ίδιος; Να διαιολογήσετε τη απάτησή σας. Χρόια υπηρεσίας, [ ) Σχετιή Συχότητα % f 0-5 0 5-0 5 0-5 5-0 5 0-5 8 5-0 8 0-5 (Θέμα Παελληίω Εξετάσεω 000) 5) Μια μεταβλητή Χ παίρει τιμές α, α+, α+, 4α. Να βρείτε τη τιμή του α, α η μέση τιμή τους είαι. 6) Η μέση βαθμολογία εός αθλητή εόργαης γυμαστιής σε 6 αγωίσματα είαι 9,. Η μέση βαθμολογία τω πέτε αλυτέρω επιδόσεω είαι 9,5. Να βρείτε τη μιρότερη επίδοση του αθλητή. Δημήτρης Αργυράης Γεράσιμος Κουτσαδρέας
Μαθηματιά Γειής Παιδείας Στατιστιή Γ. Λυείου 7) Να βρείτε τους αριθμούς +y,, +8y αι +y με, y > 0, α αυτοί έχου μέση τιμή 7 αι διάμεσο 6. 8) Ο μέσος μηιαίος μισθός υπαλλήλω μιας εταιρείας είαι 00 ευρώ. Α σε άθε υπάλληλο χορηγηθεί αύξηση 5 % αι επίδομα 50 ευρώ α βρείτε πόσος γίεται ο μέσος μηιαίος μισθός τω υπαλλήλω; 9) Η μέση τιμή τω ετήσιω αποδοχώ τω εργαζομέω σε μια επιχείρηση είαι 800. Πως θα διαμορφωθεί η μέση τιμή στις παραάτω περιπτώσεις; α) Σε όλους τους εργαζόμεους δίεται ως δώρο το ποσό τω 000. β) Σε όλους τους εργαζόμεους δίεται αύξηση 5% γ) Σε όλους τους εργαζόμεους δίεται αύξηση 5% αι το ποσό τω 000. 0) Η αταομή τω 50 μαθητώ εός Λυείου ως προς τις ώρες μελέτης τους αά εβδομάδα έχει μέση τιμή 5. Α οι 40 μαθητές της Α τάξης μελετού ατά μέσο όρο 8 ώρες τη εβδομάδα, εώ οι 50 μαθητές της Β ατά ώρες, α βρείτε το μέσο χρόο μελέτης τω μαθητώ της Γ τάξης του Λυείου. ) Ο μέσος όρος στα Μαθηματιά τω μαθητώ μιας τάξης εός Λυείου είαι 4. Στη τάξη αυτή ήρθα από άλλο σχολείο δύο μαθητές με βαθμούς, ο έας 9 αι ο άλλος. Ο έος μέσος όρος είαι ίσος με 4,. Να βρεθεί ο αρχιός αριθμός τω μαθητώ της τάξης. ) Ο παραάτω πίαας δίει τις εισπράξεις ( σε δεάδες χιλιάδες ) που έγια από τους ατιπροσώπους μιας εταιρείας ατά τη διάρεια εός έτους. Κλάσεις [, ) 0 4 4 6 6 8 8 0 Αριθμός Ατιπροσώπω 0 6 7 5 ) Να συμπληρώσετε το πίαα: Κλάσεις Κέτρο Κλάσης v f f % F F % v ) Να υπολογίσετε τη μέση τιμή αι τη διάμεσο. Δημήτρης Αργυράης Γεράσιμος Κουτσαδρέας
Μαθηματιά Γειής Παιδείας Στατιστιή Γ. Λυείου ) Ρωτήθηα 50 απόφοιτοι Παεπιστημίου για το βαθμό του πτυχίου τους. Οτώ από αυτούς δήλωσα βαθμό ατά μοάδες μεγαλύτερο του πραγματιού, δεατέσσερις από αυτούς δήλωσα βαθμό ατά μία μοάδα μεγαλύτερο του πραγματιού, εώ οι υπόλοιποι δήλωσα το πραγματιό βαθμό. Α με τους βαθμούς που δηλώθηα προύπτει μέση τιμή 7,6, τότε α βρείτε τη πραγματιή μέση τιμή. 4) Εργολάβος οιοδομώ απασχολεί χτίστες, 5 εργάτες για τη μεταφορά τω υλιώ αι εργάτες ως χειριστές μηχαημάτω. Πληρώει το ίδιο ημερομίσθιο για τους χτίστες αι τους χειριστές μηχαημάτω, εώ για τη μεταφορά τω υλιώ πληρώει ημερομίσθιο ατά 0 ευρώ μιρότερο τω προηγουμέω. Α το μέσο ημερομίσθιο είαι 7,5 ευρώ, τότε α βρείτε: ) Ποιο είαι το ημερομίσθιο άθε ατηγορίας εργαζομέω. ) Πόσα πληρώει συολιά ο εργολάβος άθε ημέρα. 5) Τέσσερις γυαίες έχου ηλιίες με διάμεσο αι μέση τιμή 5 έτη. Α η μεγαλύτερη απ αυτές ρύψει το της ηλιίας της, τότε η μέση τιμή τω ηλιιώ τους γίεται 0 4 έτη, εώ α επιπλέο αι η τρίτη σε ηλιία ρύψει το της ηλιίας της, η μέση 9 τιμή τω ηλιιώ τους γίεται έτη. Πόσο ετώ είαι άθε γυαία; 6) Να υπολογίσετε το εύρος, τη διαύμαση αι τη τυπιή απόλιση τω παρατηρήσεω μιας ποσοτιής μεταβλητής Χ., 4, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 8, 8. 7) Σε έα δείγμα υποψηφίω που διαγωίστηα στο μάθημα της Έθεσης βρέθηα οι βαθμολογίες, με άριστα το 0, που δίοται στο παραάτω πίαα βαθμολογιώ αι αθροιστιώ σχετιώ συχοτήτω F %. Βαθμολογίες α) Να βρείτε τη μέση τιμή αι τη διαύμαση της βαθμολογίας. [, ) F % β) Να εξετάσετε α το δείγμα είαι ομοιογεές. 0 4 5 γ) Να εξετάσετε α το δείγμα αολουθεί τη αοιή αταομή. 4 8 0 8 40 δ) Να βρείτε το πλήθος του δείγματος, α γωρίζουμε ότι 90 6 85 υποψήφιοι πήρα βαθμολογία6-0, σύμφωα με το διπλαό 6 0 00 πίαα. (Δίεται 8, 4 4, 8 ). (Απάτηση : α) _, β) s 4,8, γ) CV, δ) 600 ) Δημήτρης Αργυράης Γεράσιμος Κουτσαδρέας 4