Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 011 1 Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ 1 ο α. I. Σχολικό βιβλίο σελ. 41. ΙΙ. Σχολικό βιβλίο σελ. 89. β. Σχολικό βιβλίο σελ. 71. γ. Σχολικό βιβλίο σελ.60. δ. Σ, Λ, Σ, Λ, Λ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο α. α (α - β) α (α - β) = 0 α α β=0 α = α β α β = = 4 και (γ + 3α) β (γ + 3α) β=0 γβ + 3α β = 0 β γ = -3αβ= -3 4=-1 (Ι) β. ( ) α - β = α - β = α α β + β = α 4 + β = = 4 8 + 9 = 5 α - β = 5. γ. Όµως (γ - α) = λ(α β ) γ - α = λα λβ γ = λα+α λβ οπότε η (Ι) γράφεται: β(λα+α λβ )= -1 λαβ+αβ λβ = -1 λ 4 + 4 λ 9 = 1 1 + 8 = 5λ λ = 4. δ. Αφού λ= 4 τότε γ = 4α + α - 4 β γ = 6 α 4 β. Τότε γ ( α β) = γα γβ= (6α 4 β ) α βγ= 6α 4αβ βγ= = 6 44 + 1 = 4 16 + 1 = 0 > 0. Όλα τα επαναληπτικά θέµατα είναι αποκλειστικά πνευµατική ιδιοκτησία της ΟΕΦΕ, βάσει του νόµου 11/1993 και της ιεθνούς Σύµβασης
Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 011 ΘΕΜΑ 3 ο γ ( α β ) δηλ. συν ( γ, α β) = > 0 γ α β δηλ. η γωνία των γ, α β είναι οξεία. 1 1 α. Αφού ΑΓ Β και λ Β = = θα είναι λ ΑΓ =-4 και 4 4 ΑΓ : y = 4(x 1) y = 4x + 4 4x + y 6 = 0. Λύνω το (Σ) των εξισώσεων ΑΓ : 4x + y 6 = 0 x = 3 δηλαδή Γ(3,-6). ΓΜ : 3x + y + 3 = 0 y = 6 xβ + 1 yβ + β. Αν Β(x β, y β ), τότε το µέσο Μ της ΑΒ είναι M, συντεταγµένες του επαληθεύουν την εξίσωση της ΓΜ δηλαδή xβ + 1 yβ + 3 + + 3 = 0 3xβ + 3+ yβ + 4 + 6 = 0 3x + y = 13 (Ι) β β και οι Όµως οι συντεταγµένες του Β επαληθεύουν και την εξίσωση του Β δηλαδή x β -4y β 5 = 0 (ΙΙ) xβ 4yβ = 5 yβ = Λύνω το (Σ) δηλαδή Β(-3,-). 3xβ + yβ = 13 xβ = 3. Τότε Μ( 1,0) Όλα τα επαναληπτικά θέµατα είναι αποκλειστικά πνευµατική ιδιοκτησία της ΟΕΦΕ, βάσει του νόµου 11/1993 και της ιεθνούς Σύµβασης
Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 011 3 γ. Για να βρω τις συντεταγµένες του Ε 1 x = x 4y 5 = 0 7 1 9 λύνω το (Σ) δηλ. E 3x + y + 3 = 0 9, 7 7. y = 7 0 5 33 Τότε EB, - και ΕΓ =, - 7 7 7 7 0 5 1 1 7 7 1 660 110 1 770 55 Οπότε (ΕΒΓ)= det ( EB, EΓ) = = + = = τ.µ. 33 49 49 49 7-7 7 δ. Είναι A + B 4 Γ = λ + ( λ + 8) 4 3 = = λ + λ + 16λ+ 64 1= λ + 16λ+ 5 που είναι τριώνυµο µε = 16 4 5 = 56 416 = 160 < 0 δηλ. λ +16λ+5>0 για κάθε λ R. Άρα η εξίσωση (1) παριστάνει κύκλο για κάθε λ R. λ λ 8 λ + 16λ + 5 µε K, και ρ=. Για να έχει διάµετρο ΒΓ, πρέπει το κέντρο του Κ να είναι το µέσο της πλευράς ΒΓ και η ακτίνα να είναι ίση µε το µισό του µήκους της ΒΓ ή οι συντεταγµένες των Β και Γ να επαληθεύουν την εξίσωση του κύκλου. Το µέσο Κ του ΒΓ είναι Κ(0,-4). λ = 0 Πρέπει λοιπόν λ = 0 λ 8 = 4 Για λ=0 η εξίσωση του κύκλου γράφεται ( c) : x + y + 8y+ 3= 0 που έχει ακτίνα, 5 ( ΒΓ) ρ = = αφού (BΓ)= ( 3 3) + ( + 6) = 36+ 16= 5 ή διαπιστώνουµε ότι επαληθεύεται από τις συντεταγµένες των Β και Γ. Όλα τα επαναληπτικά θέµατα είναι αποκλειστικά πνευµατική ιδιοκτησία της ΟΕΦΕ, βάσει του νόµου 11/1993 και της ιεθνούς Σύµβασης
Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 011 4 ΘΕΜΑ 4 ο α. α τρόπος: Η εξίσωση (1) γράφεται: χ +y +χψ+8χ+8ψ+1=0 (χ+ψ) +8(χ+ψ)+1=0, =64-48=16 οπότε: χ+ψ=-6 ή χ+ψ=- δηλ. χ+ψ+6=0 (ε 1 ) ή χ+ψ+=0 (ε ), που είναι εξισώσεις παράλληλων ευθειών, αφού έχουν συντελεστή διεύθυνσης λ=-1 ή β τρόπος: η εξίσωση (1) γράφεται: χ + y +χψ+8χ+8ψ+1=0 y +(χ+8)ψ+ χ +8χ+1=0. =(χ+8) -4(χ +8χ+1)=16 οπότε ψ=-χ-4+ ή ψ=-χ-4- δηλ.χ+ψ+6=0 (ε 1 ) ή χ+ψ+=0 (ε ),που είναι εξισώσεις παράλληλων ευθειών αφού έχουν συντελεστή διεύθυνσης λ=-1. β. Το κέντρο Κ του κύκλου είναι το σηµείο τοµής της µεσοπαράλληλης (η) των (ε 1 ) και (ε ) και της (ε):y=3x. H (ε 1 ) τέµνει τον y y στο Α(0,-) και η (ε ) τον y y στο Β(0,-6). Άρα η (η) τέµνει τον y y στο µέσο Μ(0, -4) του ΑΒ. ηλαδή η: x+y+4=0 x + y + 4 = 0 x = 1 Λύνω το (Σ): δηλ. Κ(-1, -3) y = 3x y = 3 1 3+ και ρ=d(k 1, ε 1)= = =. 1+ 1 Άρα C: (x+1) + (y+3) =. γ. 1 x = x + y + = 0 x + 3x = 1 3 δηλ. Μ -, y 3x y 3x 3. = = y = Άρα η ελάχιστη απόσταση του Μ από τον κύκλο είναι 1 3 1 9 ΜΚ ρ = 1+ + 3 + = + = 4 4 Όλα τα επαναληπτικά θέµατα είναι αποκλειστικά πνευµατική ιδιοκτησία της ΟΕΦΕ, βάσει του νόµου 11/1993 και της ιεθνούς Σύµβασης
Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 011 5 10 10 = = και η µέγιστη απόσταση του Μ από τον κύκλο 4 1 3 1 9 είναι MK + ρ = 1+ + 3+ + = + + = 4 4 10 10 = + = + 4 δ. Είναι γ = 10 = 0 δηλαδή γ=10 και β =3 β=3α. Όµως γ =α +β 100 = α + 9α = 10α α δηλαδή α =10 και β =90. Άρα : x y C 1 1 = 10 90 Όλα τα επαναληπτικά θέµατα είναι αποκλειστικά πνευµατική ιδιοκτησία της ΟΕΦΕ, βάσει του νόµου 11/1993 και της ιεθνούς Σύµβασης