Λεπτή οµογενής ράβδος, µήκους L και µάζας m, εκτελεί ελεύθερη πτώση σχηµατίζουσα µε την οριζόντια διεύθυνση γωνία φ. Tο άκρο A της ράβδου που φθάνει πρώτο στο οριζόντιο έδαφος συναντά µια υποδοχή και έτσι η ράβδος αρχίζει να περιστρέφεται περί το A χωρίς ολίσθηση και χωρίς ανάκρουση του άκρου A. Eάν τη στιγµή που το άκρο A συναντά το έδαφος η ταχύτητα της ράβδου είναι v, να βρεθεί η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της ράβδου, αµέσως µετά την κρούση. Mεταβάλλεται η κινητική ενέργεια της ράβδου κατά την κρούση της µε το έδαφος; H ροπή αδράνειας της ράβδου, ως προς άξονα που διέρχεται από το ένα της άκρο και είναι κάθε τος σ αυτή είναι I=mL /3. ΛYΣH: Kατά τον πολύ µικρό χρόνο Δt Δt της κρούσεως του άκρου A της ράβδου µε το οριζόντιο έδαφος, η ώθηση της ροπής του βάρους w της ράβδου περί το A τείνει στο µηδέν, οπότε µπορούµε να ισχυριστούµε ότι η στροφορµή της ράβδου περί το A, δεν µεταβάλλεται στην διάρκεια του χρό νου Δt µηδενική επίσης είναι και η ώθηση της ροπής περί το Α της δύνα Σχήµα 1 µης κρούσεως που δέχεται η ράβδος από το έδαφος στο άκρο της A. Έτσι θα ισχύει η σχέση: A L "#$ % = L A µ+,- µ./ A A L "#$ % = L µ+,- µ./
mv x L/ = I mv L"#$ / = ml % /3 = 3v "#$% / L 1 όπου ω το µέτρο της γωνιακής ταχύτητας περιστροφής της ράβδου ως προς το σταθερό άκρο της A, αµέσως µετά την κρούση της και v x η κάθετη προς τη ράβδο συνιστώσα της v. Eξάλλου οι κινητικές ενέργειες της ράβδου λίγο πριν και αµέσως µετά την κρούση της µε το οριζόντιο έδαφος, υπολο γίζονται από τις σχέσεις: K "#$ % = mv / K µ+,- µ./ = I / " # $ : K "#$ % = mv 1 K µ+,- µ./ I K "#$ % K µ+,- µ./ = K "#$ % K µ+,- µ./ = mv ml /33v "#$ / L 4 3"# $ > 1 που σηµαίνει ότι, κατά την κρούση της ράβδου µε το οριζόντιο έδαφος επέρ χεται µείωση της κινητικής ενέργειας της ράβδου, δηλαδή η κρούση αυτή δεν µπορεί να είναι ελαστική. P.M. fysikos Oµογενής λεπτή ράβδος ΑΒ µήκους L και µάζας M, ηρεµεί πάνω σε λεία οριζόντια επιφάνεια µεγάλης έκτασης. Ένα µικρό ελαστικό σφαιρίδιο κινούµενο πάνω στην επιφάνεια προσπίπτει κάθετα στην ράβδο σε απόσταση L/4 από το άκρο της Α. i Nα βρείτε την µάζα του σφαιριδίου, ώστε αυτό µετά την κρούση του µε την ράβδο να ακινητοποιηθεί. ii Nα δείξετε ότι κατα τις χρονικές στιγµές που η ράβδος είναι κάθετη προς την αρχική της διεύθυνση, τα αντίστοιχα στιγµιαία κέντρα περιστροφής της ράβδου ανήκουν σε µια ευθεία του επιπέ δου κίνησής της, η οποία είναι παράλληλη προς την ράβδο σε απόσταση 3L/4 από αυτήν. Δίνεται η ροπή αδράνειας Ι =ΜL /1 της ράβδου, ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο µάζας της και είναι κάθετος στην ράβδο. ΛΥΣΗ: i Η κρουστική δύναµη που ασκεί το σφαιρίδιο στην ράβδο την θέτει σε επίπεδη κίνηση επί της λείας οριζόντιας επιφάνειας. Η κίνηση αυτή είναι επαλληλία µιας ευθύγραµµης µεταφορικής κίνησης µε σταθερή ταχύ τητα και µιας στροφικής κίνησης περί το κέντρο µάζας της ράβδου µε
σταθερή γωνιακή ταχύτητα. Το γεγονός ότι οι δύο αυτές κινήσεις είναι χρονικά αδιατάρακτες οφείλεται στο ότι οι δυνάµεις που δέχεται η ράβδος, δηλαδή το βάρος της και η αντίδραση της λείας επιφάνειας, έχουν µηδενική ροπή περί το κέντρο µάζας και µηδενική συνισταµένη. Όµως κατά το πολύ µικρό χρονικό διάστηµα της κρούσεως η ορµή του συστήµατος σφαιρίδιοράβδος δεν µεταβάλλεται, δηλαδή ισχύει η σχέση: mv = Mv v = mv / M 1 Σχήµα όπου m η µάζα του σφαιριδίου, v η ταχύτητά του και v η ταχύτητα του κέντρου µάζας της ράβδου µετά την κρούση. Αλλά και η στροφορµή του συστήµατος περί το κέντρο µάζας δεν µεταβάλλεται στην διάρκεια της κρούσεως, δηλαδή ισχύει η σχέση: mv L/4 + = + I mv L/4= ML /1 = 3mv /ML όπου η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της ράβδου περί το κέντρο µάζας της, µετά την κρούση. Εξάλλου η κρούση του σφαιριδίου µε την ράβδο είναι ελάστική, οπότε η κινητική ενέργεια του συστήµατος δεν µεταβάλλεται κατά την κρούση, δηλαδή µπορούµε να γράψουµε την σχέση: mv + = + Mv + I mv = Mv + ML 1 3 Συνδυάζοντας τη σχέση 3 µε τις 1 και παίρνουµε: mv = M m v M + ML 1 9m v M L m = m M + 9 1 m M 1 = m M + 9 m 1 M 1M = 1m + 9m m = 4 7 M 4 ii Aς εξετάσουµε την ράβδο όταν γίνεται κάθετη προς την αρχική της διεύ
θυνση για πρώτη φορά µετά την κρουση σχήµα 3. Η ταχύτητα v A του άκ ρου Α της ράβδου την στιγµή αυτή είναι ίση µε το διανυσµατικό άθροισµα της ταχύτητας v λόγω της µεταφορικής κίνησης της ράβδου και της ταχύ τητας v A λόγω της στροφικής της κίνησης, δηλαδή ισχύει η διανυσµατική σχέση: v A = v + v A = v + " # A 5 Σχήµα 3 Ανάλογη σχέση ισχύει και για την ταχύτητα v B του άκρου Β της ράβδου, δηλαδή: v B = v + v B = v + " # B Eπειδή A=- B τα διανύσµατα v A και v B είναι αντίθετα και αυτό σηµαινει ότι οι ταχύτητες v A και v B θα έχουν το ίδιο µέτρο και επί πλέον την ίδια κλίση φ ως προς το διάνυσµα AB. Το στιγµιαίο κέντρο Κ περισ τροφής της ράβδου κατά την θεωρούµενη χρονική στιγµή προκύπτει ως τοµή των καθέτων στα διανύσµατα των ταχυτήτων v A και v B, οι δε αποστά σεις του ΚΑ και ΚΒ από τα Α και Β ικανοποιούν τις σχέσεις: v A = KA" # v B = KB $ v A =v B KA = KB δηλαδή το τρίγωνο ΑΚΒ είναι ισοσκελές, οπότε η διάµεσός του Κ είναι κάθετός στην ΑΒ. Αυτό σηµαίνει ότι το Κ ανήκει σε ευθέια ε παράλληλη προς την ράβδο ΑΒ ή το ίδιο κάθετη προς την αρχική της διεύθυνση σε απόσταση h από το αρχικό της κέντρο µάζας, για την οποία ισχύει η σχέση: h = K = L "# h = L v B = L 1, "L/ v v
h = L 3mv /M mv / M h = 3L 4 Όταν η ράβδος θα γίνει κάθετος στην αρχική της διεύθυνση για δεύτερη φορά, θα εναλλαγεί ο ρόλος των ταχυτήτων v A και v B και το νέο στιγµιαίο κέντρο περιστροφής θα βρίσκεται πάλι επί της ευθείας ε αλλά µετατοπισ µένο προς τα δεξιά σε σχέση µε την προηγούµενη θέση του. P.M. fysikos Oµογενής σφαίρα ακτίνας R και µάζας m, ηρεµεί πάνω σε τραχύ οριζόντιο επίπεδο και κάποια στιγµή που λαµβάνεται ως αρχή µέτ ρησης του χρόνου δέχεται οριζόντια ώθηση βραχύτατης διάρκειας, της οποίας ο φορέας βρίσκεται άνωθεν του κέντρου της σφαίρας σε απόσταση h=4r/5 από αυτό. i Nα δείξετε ότι, κατά την έναρξη κίνησης της σφαίρας αυτή ολισ θαίνει και ταυτόχρονα περιστρέφεται περί το κέντρο της. ii Εάν v είναι η αρχική ταχύτητα του κέντρου της σφαίρας να βρείτε την τελική της κινητική ενέργεια. Δίνεται ότι η ροπή αδρά νειας της σφαίρας, ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της είναι Ι=mR /5. ΛΥΣΗ: i Κατά τον πολύ µικρό χρόνo Δt Δt που ενεργεί στην σφαίρα η κρουστική οριζόντια δύναµη F αυτή δέχεται ακόµη το βάρος της w και την δύναµη επαφής από το έδαφος, που αναλύεται στην τριβή T και την κάθετή αντίδραση N, η οποία εξουδετερώνει το βάρος w. Mπορούµε να ισχυριστούµε ότι η ώθηση της T για τον χρόνο Δt και η αντίστοιχη ώθηση της ροπής της T περί το κέντρο µάζας της σφαίρας είναι ασήµαντες, οπότε Σχήµα 4 εφαρµόζοντας για την σφαίρα το θεώρηµα ώθησης-ορµής και το θεώρηµα µεταβολής της στροφορµής, παίρνουµε τις σχέσεις: Ft = mv # $ Fht = I" % Ft = mv # $ 4FRt/5 = mr " /5% Ft = mv # $ Ft= mr" % 1
όπου v, η ταχύτητα του κέντρου µάζας της σφαίρας και η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της σφαίρας περί το κέντρο µάζας αντιστοίχως, αµέ σως µετά την δράση της F. Διαιρώντας κατά µέλη τις σχέσεις 1 παίρνου µε: 1 = v v R = R Η σχέση εξασφαλίζει ότι η σφαίρα θα ξεκινήσει την κίνησή της στο ορι ζόντιο έδαφος ολισθαίνοντας πάνω σ αυτό προς την κατεύθυνση της F και ταυτόχρονα θα περιστρέφεται περί το κέντρο µάζας της κατά την φορά που επιβάλλει η ροπή της F. ii Επειδή κατά την έναρξη της κίνησης ισχύει ω R>v, η ταχύτητα του ση µείου επαφης Α της σφαίρας µε το έδαφος θα έχει φορά αντίθετη της ταχύ τητας v του κέντρου µάζας, που σηµαίνει ότι η φορά της τριβής ολίσθη σης T θα είναι ίδια µε την φορά της v, δηλαδή η τριβή θα επιταχύνει την µεταφορική κίνηση της σφαίρας, ενώ µέσω της ροπής της περί το κέντρο θα επιβραδύνει της περιστροφή της. Eφαρµόζοντας για την κίνηση του κέν τρου µάζας της σφαίρας τον δευτερο νόµο του Νεύτωνα και για την περισ τροφή της τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης, παίρνουµε τις σχέ σεις: T = ma " # nmg = ma " # a = ng " # 3 TR = I $ nmgr = mr /5 $ = 5ng/R $ όπου a, η επιτάχυνση του κέντρου µάζας και η γωνιακή επιτάχυνση της σφαίρας αντιστοίχως κατα την στιγµή που την εξετάζπυµε και n ο συντε λεστής τριβής ολίσθησης µεταξύ της σφαίρας και του οριζόντιου εδάφους. Από τις σχέσεις 3 προκύπτει ότι τα µεγέθη a και είναι σταθερά, που σηµαίνει ότι η µεν µεταφορική κίνηση της σφαίρας είναι οµαλά επιταχυ νόµενη η δε περιστροφική της κίνηση οµαλά επιβραδυνόµενη. Έτσι για την ταχύτητα v του κέντρου µάζας και για την γωνιακή ταχύτητα της σφαί ρας την χρονική στιγµή t ισχύουν οι σχέσεις: v = v + ngt = - 5ngt/R " # $ v = v + ngt " # R = R- 5ngt/ $ 4 Παρατηρούµε από τις σχέσεις 4 ότι υπάρχει χρονική στιγµή t για την οποία ισχύει v =ωr, που σηµαίνει ότι την στιγµή αυτή αρχίζει η κύλιση της σφαίρας στο οριζόντιο έδαφος. Η κύλιση αυτή είναι ισοταχής, διότι η τριβή την χρονική στιγµή t µηδενίζεται και παραµένει µηδενική για t>t είναι δε προφανής η σχέση: v + ngt = R- 5ngt / v + ngt = v - 5ngt / 7ngt = v t = v /7ng 5 To µέτρο της τελικής ταχύτητας του κέντρου µάζας της σφαίρας δίνεται από
τη σχέση: 5 v = v + ngt v = v + ngv /7ng = 9v /7 H τελική κινητική ενέργεια Κ της σφαίρας είναι: K = mv + I = mv + mr 1 K = mv + mv 5 = 7mv 1 K = 7m 1 # " 9v 7 $ % = 81mv 7 P.M. fysikos Tο κέντρο µάζας ενός ανοµοιογενούς κυλίνδρου µάζας m και ακτί νας R βρίσκεται σε απόσταση s από τον γεωµετρικό του άξονα. O κύλινδρος µπορεί να κυλίεται πάνω σε οριζόντιο έδαφος και αρχι κά ισορροπεί ευσταθώς. i Xρησιµοποιώντας την έννοια της βαρυτικής δυναµικής ενέργειας να δείξετε ότι, στην θέση ευσταθούς ισορροπίας του κυλίνδρου το κέντρο µάζας του βρίσκεται κάτω από τον γεωµετρικό του άξονα. ii Eάν ο κύλινδρος εκτραπεί από τη θέση ευσταθούς ισορροπίας και αφεθεί ελεύθερος, να βρεθεί η διαφορική εξίσωση που καθορί ζει την κίνησή του. Ποιά είναι η µορφή της κίνησης αυτής, όταν η εκτροπή του κυλίνδρου από την αρχική του θέση είναι πολύ µικρή; Δίνεται η ακτίνα αδράνειας ρ του κυλίνδρου, ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο µάζας του και είναι παράλληλος προς τον γεωµετρικό του άξονα και η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: i Yποθέτουµε ότι ο κύλινδρος βρίσκεται σε τυχαία θέση, που καθορίζεται από την γωνία φ της κατακόρυφης διεύθυνσης Κz µε την ευθεία που συνδέει το γεωµετρικό κέντρο Κ του κυλίνδρου µε το κέν τρο µάζας του. Η βαρυτική δυναµική ενέργεια U του κυλίνδρου στην θέση αυτή, µε επίπεδο αναφοράς το οριζόντιο έδαφος, δίνεται από τη σχέση: U = mgh = mgr - R"#$ 1 Επειδή αναφερόµαστε σε κύλιση του κυλίνδρου πάνω στο οριζόντιο έδαφος, η τριβή επί του κυλίνδρου στην διάρκεια της κύλισης είναι στατική, που σηµαίνει ότι το έργο της είναι µηδενικό και εποµένως η σχέση που καθορίζει την ισορροπία του κυλίνδρου προκύπτει από τον µηδενισµο της πρώτης παραγώγου της 1 ως προς την γωνία φ, δηλα δή από την σχέση:
1 du/d = mgrµ" = µ" = = ή = " Για φ= η δεύτερη παράγωγος της 1 ως προς φ είναι: d U/d = mgr"#$ d U/d = mgr > Σχήµα 5 δηλαδή η θέση φ= είναι θέση ευσταθούς ισορροπίας του κυλίνδρου και στην θέση αυτή το κέντρο µάζας του κυλίνδρου βρίσκεται κάτω από το γεωµετρικό του κέντρο. ii Η κύλιση του κυλίνδρου µπορεί κάθε στιγµή να θεωρηθεί ως γνή σια περιστροφή αυτού περί τον αντίστοιχο στιγµιαίο άξονα περιστρο φής, που ταυτίζεται µε την γεννέτειρα επαφής του κύλίνδρου µε το οριζόντιο έδαφος, η δε γωνία φ εκφράζει την γωνιακή µετατόπιση του κυλίνδρου από την θέση ευσταθούς ισορροπίας λόγω της περιστροφής αυτής. Εφαρµόζοντας τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης περί τον στιγµιαίο άξονα περιστροφής, παίρνουµε την σχέση: I B d dt = "# I B d = -mgs"µ dt όπου Ι Β η ροπή άδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον στιγµιαίο άξονα του Β, ενώ το πρόσηµο - τέθηκε διότι η συνισταµένη ροπή περί τον στιγµιαίο άξονα έχει αντίθετη φορά µε την γωνιακή µετατόπιση, δηλα δή είναι ροπή επαναφοράς. Συµφωνα µε το θεώρηµα Steiner ισχύει η σχέση: I B = I + mb = m + mb 3 Εφαρµόζοντας στο τρίγωνο ΚΒ το νόµο του συνηµιτόνου παίρνουµε: B = BK + K - BKK"#$ = R + s - Rs"#$ 4 Συνδυάζοντας τις σχέσεις 3 και 4 παίρνουµε: I B = m + mr + s - Rs"#$% = m + R + s - Rs"#$%
οπότε η παίρνει την µορφή: + R + s - Rs"#$% d % dt = -gsµ% d dt = - gs"µ # + R + s - Rs$% 5 Η 5 αποτελεί την ζητούµενη διαφορική εξίσωση κίνησης του κυλίν δρου, όταν εκτρεπόµενος από την θέση ευσταθούς ισορροπίας του κυλί εται στο οριζόντιο έδαφος. Εάν η εκτροπή του κυλίνδρου είναι πολύ µικρή, τοτε η γωνία φ ικανοποιεί τις προσεγγιστικές σχέσεις ηµφ φ και συνφ 1 µε αποτέλεσµα η 5 να παίρνει την µορφή: d dt = - gs " + R + s - Rs = - gs " + R - s d dt + " = µε = gs " + R - s Η αποτελεί µια γραµµική και οµογενή διαφορική εξίσωση µε σταθε ρούς συντελεστές και δέχεται λύση της µορφής: = "µ #t + $ 7 όπου φ, δ σταθερές, που οι τιµές τους καθορίζονται από τις αρχικές συνθήκες κίνησης του κυλίνδρου. Η 7 δηλώνει ότι ο κύλινδρος εκτ ρεπόµενος λίγο από την θέση ευσταθούς ισορροπίας εκτελεί µια αρµονι κή κίνηση που είναι γνωστή ως στροφική αρµονική ταλάντωση. Η περίοδος Τ της ταλάντωσης αυτής υπολογίζεται µέσω της σχέσεως: T = " = # + R - s sg P.M. fysikos Oµογενής λεπτή ράβδος µήκους L, κρατείται σε οριζόντια θέση εφαπτόµενη κατά το 1/3 του µήκους της µε οριζόντιο τραπέζι, ενώ τα υπόλοιπα /3 του µήκους της είναι ελεύθερα. Κάποια στιγµή η ράβδος αφήνεται ελεύθερη και αρχίζει να περιστρέφεται περί µια ακµή της τραπέζης, όπως φαίνεται στο σχήµα. Εάν ο συντελε στής οριακής τριβής µεταξύ της ράβδου και της ακµής είναι n, να βρεθεί η θέση της ράβδου στην οποία αρχίζει η ολίσθησή της επί
της ακµής. Πόση είναι η γωνιακή ταχύτητα της ράβδου στην θέση αυτή; Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας και η ροπή αδράνειας Ι =ml /1 της ράβδου, ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο µάζας της και είναι κάθετος στην ράβδο. ΛΥΣΗ: Eξετάζουµε την στρεφόµενη ράβδο, όταν σχηµατίζει µε την οριζόνια διεύθυνση γωνία φ. Η ράβδος δέχεται το βάρος της w και την δυναµη επα φής από την ακµή του τραπεζιού, που αναλύεται στην στατική τριβή T, η οποία είναι εφαπτόµενη της ράβδου µε φορά αντίθετη προς την κατεύθυνση της επικείµενης ολίσθησής της και στην κάθετη αντίδραση N σχήµα Εφαρµόζοντας για το κέντρο µάζας της ράβδου τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα κατά τις διευθύνσεις του οριζόντιου άξονα Ox και του κατακόρυφου άξονα Οy, παίρνουµε τις σχέσεις: Σχήµα m d x dt m d y dt = N x - T x # " = w - N y - T y $ # m d x dt m d y dt = Nµ" - T#$%" = mg - N#$%" - Tµ" 1 όπου x, y oι συντεταγµένες του κέντρου µάζας την στιγµή που εξετάζουµε την ράβδο. Όµως για τις συντεταγµένες αυτές προκύπτουν από το σχήµα οι σχέσεις: x = OG"#$ = L"#$ / y = OG%µ$ = L%µ$ / dx = -Lµ" d" / dy = L#$%" d" / dx dt dy dt = - Lµ" = L#$%" d" dt d" dt v,x v,y = - Lµ" # = L$%" όπου η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της ράβδου και v,x, v,y οι συνι στώσες της ταχύτητας v του κέντρου µάζας την στιγµή που την εξετάζου µε. Διαφορίζοντας τις σχέσεις παίρνουµε: #
dv,x dv,y = - Lµ" L# $%" d# - d" = L$%" L# µ" d# - d" dv,x dt dv,y dt = - Lµ" = L$%" d# L# $%" d" - dt dt d# L# µ" d" - dt dt d x dt d y dt = - L"µ# = L$%# - L $%# L "µ# - = - L "µ# + $%# d x dt d y = L dt $%# - "µ# όπου η γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου. Εφαρµόζοντας για την ράβδο τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης παίρνουµε την σχέση: 3 I O = mg L "#$% 4 Όµως κατά το θεώρηµα του Steiner η ροπή αδράνειας I O της ράβδου ως προς την ακµή του τραπεζιού, είναι: I O = I + mo = ml /1 + ml/ = ml /9 οπότε η 4 γράφεται: ml 9 = mg L 3g "#$% = "#$% 5 L Eφαρµόζοντας εξάλλου για την ράβδο το θεώρηµα διατήρησης της µηχανι κής ενέργειας µεταξύ της αρχικής της θέσεως και της θέσεως που την εξε τάζουµε, παίρνουµε την σχέση: K + U = I O - mg L "µ# = 1 ml 9 = mg L "µ# = 3g L Οι σχέσεις 3 λόγω των 5 και παίρνουν την µορφή: "µ#
d x = - L dt d y = L dt 3g L "#$%µ$ + 3g L 3g L "#$"#$ - 3g L %µ$ "#$ + %µ$ %µ$ +,. -. /. d x dt = - 3g µ" #$%" 4 d y dt = g 4 #$% "- µ " 7 Συνδυάζοντας τις σχέσεις 1 και 7 παίρνουµε: - 3mg µ" #$%" = Nµ" - T#$%" 4 mg 4 #$% "- µ " = mg - N#$%" - Tµ" - 3mg µ" #$%" = Nµ" - T#$%" 4 mg 4 #$% "- µ " - mg = -N#$%" - Tµ" 3mg µ" #$%" = -Nµ" + T#$%" 4 mg 4 -#$% "+ µ " + mg = N#$%" + Tµ" : 3µ" #$%" -#$% "+ µ " + 4 = -Nµ" + T#$%" N#$%" + Tµ" µ" #$%" 1 + µ " = -Nµ" + T#$%" N#$%" + Tµ" 8 H γωνία φ για την οποία επίκειται η ολίσθηση της ράβδου επί της ακµής του τραπεζιού θα βρεθεί από την 8 θέτοντας Τ=nN, όπου n ο συντελεστής οριακής τριβής µεταξύ της ράβδου και της ακµής. Στην περίπτωση αυτή θα έχουµε την σχέση: µ" #$%" 1 + µ " + nn#$%" =-Nµ" N#$%" + nnµ" µ" #$%" + n#$%" =-µ" #$% " + µ " #$%" + nµ" "# 1 + " # = -"# + n 1 + n"# z 1 + z = -z + n 1 + nz 9 όπου τέθηκε z=εφφ. Η 9 µετασχηµατίζεται ως εξής:
z + nz = -z + n - z 3 + nz z 3 - nz + z - n = zz + 1 - nz + 1 = z - nz + 1 = z - n = z = n/ "# = n/ 1 H γωνιακή ταχύτητα της ράβδου την στιγµή που αρχίζει η ολίσθησή της θα βρεθεί από την, η οποία γράφεται: = 3g L "#$ 1 + "# $ = 3g L n = 4 + n 3g L " n % $ # 4 + n 1 / 4 P.M. fysikos Oµογενής λεπτή ράβδος µήκους L, κρατείται υπό κλίση φ ως προς την κατακόρυφη διεύθυνση εφαπτόµενη µε το ένα της άκρο Α οριζόντιου τραχέος εδάφους. Κάποια στιγµή η ράβδος αφήνεται ελεύθερη και αρχίζει να περιστρέφεται περί το άκρο της Α χωρίς. αυτό να ολισθαίνει. i Nα εκφράσετε σε συνάρτηση µε την γωνία κλίσεως φ της ράβδου ως προς την κατακόρυφη διευθύνση, την γωνιακή της ταχύτητα. ii Nα βρείτε για ποιές τιµές του συντελεστή οριακής τριβής µεταξύ του άκρου της ράβδου και του εδάφους αποφεύγεται η ολίσθησή της κατά την έναρξη της κίνησής της. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας και η ροπή αδράνειας Ι=mL /3 της ράβδου, ως προς άξονα που διέρχεται από το ένα της άκρο και είναι κάθετος στην ράβδο. ΛΥΣΗ: i Eξετάζουµε την ράβδο την χρονική στιγµή που σχηµατίζει µε την κατακόρυφη διεύθυνση γωνία φ>φ δεχόµενοι ότι στην θέση αυτή το άκρο της δεν ολισθαίνει επί του εδάφους. Η ράβδος δέχεται το βάρος της w και την δυναµη επαφής από το έδαφος, που αναλύεται στην στατική τριβή T, η οποία έχει φορά αντίθετη προς την κατεύθυνση της επικείµενης ολίσθη σής της και στην κάθετη αντίδραση N σχήµα 7. Eφαρµόζοντας για την ράβδο το θεώρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέργειας µεταξύ της αρχικής της θέσεως και της θέσεως που την εξετάζουµε, παίρνουµε την σχέση: K "# + U "# = K $% + U $% + wh = I / + wh mg L"#$ = ml % + mg L"#$ g "#$ - "#$ = % L
= 3g L "#$% - "#$% = όπου η ζητούµενη γωνιακή ταχύτητα της ράβδου. 3g L "#$% - "#$% 1 Σχήµα 7 ii Aς δέχθούµε ότι η ράβδος στο ξεκίνηµα της κίνησής της t= δεν ολισθαίνει επί του εδάφους. To κέντρο µάζας της ράβδου την στιγµή αυτή έχει µηδενική ταχύτητα, που σηµαίνει ότι µηδενική θα είναι και η κεντρο µόλος επιτάχυνσή του. Έχει όµως το κέντρο µάζας επιτρόχιο επιτάχυνση a, της οποίας ο φορέας είναι κάθετος στην ράβδο, η φορά της φαίνεται στο σχήµα 8 το δε µέτρο της είναι ίσο µε Lω, όπου η γωνιακή επιτάχυν ση της ράβδου την χρονική στιγµή t=. Εφαρµόζοντας την στιγµή αυτή για την ράβδο τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης, παίρνουµε την σχέ ση: I = mgl/"µ# ml /3 = mgl/"µ# = 3g"µ# /L Σχήµα 8 Εάν a x, a y είναι η οριζόντια και η κατακόρυφη συνιστώσα αντιστοίχως της a, τότε για τις αλγεβρικές τους τιµές θα ισχύουν οι σχέσεις: a x = a"#$ = L% "#$ / a y = -aµ$ = -L% µ$ / a x = 3g"#$ %µ$ /4 a y = -3g%µ $ / 4 3 Eφαρµόζοντας την στιγµή της εκκίνησης της ράβδου για το κέντρο µάζας
της τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα, κατά τις διευθύνσεις Αx και Ay, παίρνουµε τις σχέσεις: ma x = T ma y = N - w " # 3 3mg"#$ %µ$ /4 = T -3mg%µ $ / 4 = N - mg T = 3mg"#$ %µ$ /4 N= mg - 3mg%µ $ / 4 4 Για να µη ολισθαίνει η ράβδος την στιγµή t= πρέπει: 4 T nn 3mg"#$ %µ$ /4 nmg - 3mg%µ $ /4 3"#$ %µ$ n4-3%µ $ n 3"#$% µ% 4-3µ % P.M. fysikos Tο ένα άκρο Α οµογενούς και λεπτής ράβδου ΑΒ, µήκους L και µά ζας m, έχει αρθρωθεί σε άτρακτο που περιστρέφεται περί κατακό ρυφο άξονα µε γωνιακή ταχύτητα, όπως φαίνεται στο σχήµα 9. i Εάν η γωνιακή εκτροπή της ράβδου από την κατακόρυφη διεύθυ ση είναι φ, να βρείτε την σχέση µεταξύ του µέτρου της και της γωνίας φ και να την σχολιάσετε. ii Nα βρείτε την στροφορµή L της ράβδου περι το άκρο της Α και την κίνητική της ενέργεια Κ και να αποδείξετε την σχέση: L " = K Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας και η ροπή αδράνειας Ι=mL /3 της ράβδου, ως προς άξονα που διέρχεται από το ένα της άκρο και είναι κάθετος στην ράβδο. ΛΥΣΗ: i Θεωρούµε ένα στοιχειώδες τµήµα της ράβδου, µήκους dα σε απόσταση α από το άκρο της Α. Το τµήµα αυτό εκτελεί οµαλή κυκλική κίνη ση διαγράφοντας οριζόντια περιφέρεια, της οποίας το κέντρο βρίσκεται στον άξονα περιστροφής της ατράκτου, η δε ακτίνα της είναι ίση µε αηµφ. Αυτό σηµαίνει ότι το θεωρούµενο τµήµα δέχεται συνισταµένη δύναµη d F, η οποία κατευθύνεται κάθετα προς τον άξονα περιστροφής σχήµα 9 το δε µέτρο της δίνεται από τη σχέση: df = dm "#µ$ = %d" "#µ$ 1
όπου dm η µάζα του τµήµατος και ρ η γραµµική πυκνότητα της ράβδου. Η στοιχειώδης ροπή περί το Α, της δύναµης d F έχει µέτρο: 1 d = df"#$% d = "# $µ%% d Σχήµα 9 Oλοκληρώνοντας την παίρνουµε το µέτρο της ολικής ροπής περί το Α όλων των δυµάµεων που δέχεται η ράβδος από το εξωτερικό της περιβάλ λον, δηλαδή θα έχουµε: L = "# $µ%% d = "# $µ%% L 3 / 3 3 Όµως η ολική ροπής είναι ουσιαστικά η ροπή περί το Α του βάρους w της ράβδου, οπότε θα έχουµε: = wr = mgl"µ# / = $gl "µ# / 4 Συνδυάζοντας τις σχέσεις 3 και 4 παίρνουµε: " #µ$%$ L 3 / 3 = gl #µ$ / µ"# $%" L/ 3 - g / = µ" = και "#$ = 3g / % L 5 H 5 έχει νόηµα εφ όσον συνφ 1, οπότε προκύπτει η δεσµευτική σχέση: 3g / L " 1 " 3g / L min = 3g / L Από τα προηγούµενα προκύπτει ότι για ω<ω min, η ράβδος δεν ανυψώνεται, δηλαδή παραµένει κατακόρυφη και τότε είναι δεκτή η περίπτωση ηµφ=, ενώ για ω>ω min η ράβδος ανυψώνεται παρουσιάζοντας ως προς την κατακό ρυφη διεύθυνση γωνία φ, που υπολογίζεται από την σχέση 5. ος τρόπος: Θεωρούµε τρισορθογώνιο σύστηµα Axyz κύριων αξόνων αδρά
νειας της ράβδο, ακλόνητα συνδεδεµένο µε αυτήν, του οποίου ο άξονας Ax συµπίπτει µε την ράβδο, ο άξονας Ay ανήκει στο επίπεδο που καθορίζει η ράβδος και ο άξονας περιστροφής, ενώ ο άξονας Az είναι κάθετος στο επίπε δο αυτό σχήµα. Οι προβολές ω x, ω y, ω z της γωνιακής ταχύτητας στους άξονες αυτούς είναι: ω x =ωσυνφ, ω y =ωηµφ, ω z = 7 Σχήµα 1 Eάν e x, e y, e z είναι τα µοναδιαία διανύσµατα των αξόνων Αx, Αy, Αz αντι στοίχως, θα έχουµε: 7 = x e x + y e y + z e z = "#$% e x + µ% e y 8 Η στροφορµή L της ράβδου περί το Α, δίνεται από τη σχέση: L = I x x e x + I y y e y + I z z e z L = I x "#$% e x + I y µ% e y 9 όπου Ι x, I y, I z οι ροπές αδράνειας του συστήµατος ως προς τους κύριους άξονες Αx, Αy, Αz αντιστοίχως, για τις οποίες ισχύει: Ι x =, I y = I z = ml /3 Έτσι η σχέση 9 παίρνει την µορφή: L = ml "µ#/ 3 e y 1 Aπό την 4 προκύπτει ότι η στροφορµή δεν είναι συγγραµµική µε την γωνιακή ταχύτητα, αλλά σχηµατίζει µε αυτήν γωνία θ=π/-φ. Η συνο λική ροπή περί το Α, όλων των δυνάµεων που δέχεται η ράβδος ικανοποι εί την σχέση:
= d L dt = d " L % $ # dt + L 11 όπου d L /dt ο ρυθµός µεταβολής της στροφορµής θεωρούµενος σ ένα αδρα νειακό σύστηµα αναφοράς λογουχάρη στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους και d L /dt ο αντίστοιχος ρυθµός µεταβολής της στροφορµής θεωρούµε νος στο στρεφόµενο µη αδρανεικό σύστηµα αναφοράς Αxyz. Όµως σύµφω να µε την σχέση 1 ο ρυθµός αυτός είναι µηδέν, οπότε η 11 γράφεται: [ e y ] = " # L 8,1 $ = "#$% e x + "µ e ml "µ/ 3 y = ml " #µ$%$ e x e y / 3 = ml " #µ$%$ e z / 3 1 Όµως για την ροπή ισχύει και η σχέση: = mgr e z = mgl"µ# e z / όποτε η 1 γράφεται: ml "µ#$%# e z / 3 = mgl"µ# e z / µ"# $%" L/ 3 - g / = µ" = και "#$ = 3g / % L κ.λ.π. ii H κινητική ενέργεια dκ τoυ στοιχειώδους τµήµατος µάζας dm είναι: dk = dm r / = "d# # $µ %/ = " $µ %/# d# 13 Oλοκληρώνοντας την 13 παίρνουµε την κινητική ενέργεια Κ της ράβδου, δηλαδή θα έχουµε: L K = " #µ $/% d% = " L 3 #µ $ / = m" L #µ $ / 14 Εξάλλου για το εσωτερικό γινόµενο L " έχουµε, σύµφωνα µε τις 8 και 1 την σχέση: L " 1 = L"#$% / - L " = ml "#µ$/ 3"#µ$ L " 14 = ml " #µ $/ 3 L " = K Παρατήρηση: H κινητική ενέργεια της ράβδου µπορεί να υπολογιστεί µέσω της σχέσεως: 7 K = I x x / + I y y / + I z z /
K = + ml / "µ # + = ml "µ # / Βλέπε ανάρτηση µε τον τίτλο: Κίνηση στερεού µε ένα του σηµείο ακίνητο ΜΕΡΟΣ Α σελίδα 5 και στην διεύθυνση: http://pmfysikos.wordpress.com/1/8/17/κίνηση-στερεού-µεένα-του-σηµείο-ακίνη/ Ο αναγνώστης µπορεί τώρα έυκολα να λύσει, µε δύο τρόπους, την παρακάτω άσκηση: Tο ένα άκρο Α οµογενούς και λεπτής ράβδου ΑΒ, µήκους L και µάζας m, έχει αρθρωθεί σε κατακόρυφη άτρακτο που περιστρέφε ται περί κατακόρυφο άξονα µε γωνιακή ταχύτητα, όπως φαίνε ται στο σχήµα 11. Η ράβδος κρατείται υπό κλίση φ ως προς την κατα κόρυφη διεύθυνση µε τη βοήθεια οριζόντιου αβαρούς νήµατ ος ΒΓ, του οποίου το άκρο Γ είναι στερεωµένο στην άτρακτο. Να βρείτε την τάση του νήµατος. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτη τας και η ροπή αδράνειας Ι=mL /3 της ράβδου, ως προς άξονα που διέρχε ται από το ένα της άκρο και είναι κάθετος στην ράβδο. Σχήµα 11 P.M. fysikos Oµογενής λεπτή ράβδος µήκους L και µάζας m µπορεί να στρέφε ται χωρίς τριβή περί οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το ένα της άκρο Α. Η ράβδος κρατείται σε οριζόντια θέση και κάποια στιγµή αφήνεται ελεύθερη. i Nα βρείτε σε ποια θέση της ράβδου το µέτρο της οριζόντιας συνι
στώσας της δύναµης που δέχεται από τον άξονα περιστροφής της παίρνει την µεγαλύτερη τιµή του και να βρεθεί η τιµή αυτή. ii Ποιά είναι η επιτάχυνση του κέντρου µάζας της ράβδου στην θέση αυτή; Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας και ότι η ροπή αδράνειας της ράβδου, ως προς άξονα που διέρχεται από το ένα της άκρο και είναι κάθετος στην ράβδο, είναι Ι=mL /3. ΛΥΣΗ: i Eξετάζουµε την ράβδο κατά µια τυχαία στιγµή που σχηµατίζει γωνία φ µε την αρχική της θέση. Την στιγµή αυτή η ράβδος δέχεται το βά ρος της w και την δύναµη από τον άξονα περιστροφής της, η οποία αναλύε ται στην οριζόντια συνιστώσα F x και στην κατακόρυφο συνιστώσα F y. Εφαρ µόζοντας για το κέντρο µάζας της ράβδου τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα κατά την διεύθυνση του οριζόνιου άξονα Αx, παίρνουµε την σχέση: m d x dt = F x 1 όπου x η x-συντεταγµένη του κέντρου µάζας της ράβδου και F x η αλγεβ ρική τιµή της συνιστώσας F x. Όµως από το σχήµα προκύπτει η σχέση: x = L "#$ dx = - L µ" d" dx dt = - L d" µ" dt v,x = - L "µ# Σχήµα 1 όπου v,x η οριζόντια συνιστώσα της ταχύτητας του κέντρου µάζας και η γωνιακή ταχύτητα της ράβδου κατά την στιγµή που την εξετάζουµε. Διαφο ρίζοντας την σχέση έχουµε: dv,x = - L "#$% d% - Ld µ% dv,x dt = - L"#$ d$ dt % - Lµ$ d% dt
d x dt = - L "#$% + µ% 3 όπου η γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου. Συνδυάζοντας τις σχέσεις 1 και παίρνουµε την σχέση: F x = - ml "#$% + µ% 4 Eξάλλου εφαρµόζοντας για την ράβδο τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης έχουµε την σχέση: I= mg L ml "#$% 3 = mg L 3g "#$% = "#$% 5 L Για τον υπολογισµό του ω εφαρµόζουµε το θεώρηµα διατήρησης της µηχανι κής ενέργειας µεταξύ της αρχικής θέσεως και της θέσεως που την εξετάζου µε, οπότε θα έχουµε: K + U = I - mg L "µ# = ml 3 - mgl"µ# = = 3g L "µ# Συνδυάζοντας τις σχέσεις 4, 5 και έχουµε: F x = - ml 3g L 3g µ" #$%" + #$%" µ" L + F x = - 9mg µ" #$%" = - 9mg 4 µ " 7 Aπό την 7 προκύπτει ότι το µέτρο της F x παίρνει την µεγαλύτερη τιµή, όταν ηµφ=1, δηλαδή όταν η ράβδος βρίσκεται στην θέση φ=π/4. Η µέγιστη αυτή τιµή είναι: F x max = 9mg 4 8 ii Eάν είναι η επιτρόχια και η κεντροµόλος επιτάχυνση αντιστοίχως του κέντρου µάζας της ράδου, τότε για τα µέτρα των επιταχύνσεων αυτών θα ισχύουν οι σχέσεις: a = "L/ $ % a # = " L/ 5, a = 3gL"#$%/4L a = 3gLµ% / L Το µέτρο της επιτάχυνσης a του κέντρου µάζας είναι: a = 3g"#$%/4 a = 3gµ% / 9
a = a + a " 9 a = % 3g"#$ 4 % + 3g+µ$ a = 3g 4 "# $+ 4%µ $ = 3g 4 1+ 3%µ $ 1 Στην θέση φ=π/4 η 1 γράφεται: a = 3g 4 1+ 3µ " / 4 = 3g 4 5 H διεύθυνση της a καθορίζεται από την γωνία θ που σχηµατίζει το διάνυσ µα της µε την ράβδο, για την οποία γωνία ισχύει η σχέση: 11 "# = a 9 a $ "# = 3gL$%/4L 3gLµ / L = $" "# = $"% / 4 = 1 P.M. fysikos