ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΔΕΙΓΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι (3ο Εξάμηνο) Όνομα εξεταζόμενου: Α.Α. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθήνας -- Τμήμα ΔΕΟΣ Καθηγητής: Γιάννης Μπίλιας ΟΔΗΓΙΕΣ: Απαντήστε σε όλα τα θέματα. Απαντήστε με ακρίβεια και σχετική συντομία. Σύνολο 100 βαθμοί. Διάρκεια ώρες. (ΠΡΟΣΟΧΗ: Στο παρόν δείγμα δίνονται 5 ερωτήσεις. Το πραγματικό διαγώνισμα συνήθως έχει 3 ερωτήσεις. Τα θέματα αυτά αποσκοπούν στο να δώσουν μια καλή ιδέα για το στυλ των ερωτήσεων.) ΘΕΜΑ 1. [Σύνολο 30 βαθμοί] Α)[15 βαθμοί]. Παραθέσατε τις πέντε υποθέσεις του απλού γραμμικού υποδείγματος (SLR.1-SLR.5) ή αλλιώς υποθέσεις Gauss-Markov. Β)[10 βαθμοί]. Θέλουμε να εξηγήσουμε το επίπεδο των μισθών και προς τούτο συλλέγουμε διαστρωματικά στοιχεία (cross section data) για μισθούς (wage) και τα χρόνια σχολικής εκπαίδευσης (educ). Ένα απλό γραμμικό υπόδειγμα συσχετίζει το ύψος των μισθών με τα χρόνια εκπαίδευσης. Αναφέρατε δύο από τις υποθέσεις SLR.1-SLR.5 που είναι πιθανόν να παραβιάζονται. Εξηγείστε τον ισχυρισμό σας με συντομία και σαφήνεια.
Γ)[5 βαθμοί]. Θέλουμε να εξηγήσουμε το επίπεδο των συνολικής κατανάλωσης της κυπριακής οικονομίας και προς τούτο συλλέγουμε ετήσια χρονολογικά στοιχεία (time series data) για συνολική κατανάλωση (aggregate consumption) και εθνικό εισόδημα (national income) για το διάστημα 1953-004. Ποια από τις υποθέσεις SLR.1-SLR.5 είναι πολύ πιθανόν να παραβιάζεται; Εξηγείστε τον ισχυρισμό σας με συντομία και σαφήνεια. ΘΕΜΑ. [Σύνολο 5 βαθμοί] Θεωρείστε το γραμμικό υπόδειγμα W i = β X i + ui με στοχαστικό όρο u που ικανοποιεί τις υποθέσεις του απλού γραμμικού υποδείγματος. Δίνεται δείγμα Ν παρατηρήσεων. Η άσκηση ασχολείται με την εκτίμηση του υποδείγματος με την μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. Προσοχή: οι τύποι του βιβλίου έχουν εξαχθεί κάτω απο ένα διαφορετικό υπόδειγμα. Α)[7 βαθμοί]. Δώστε την συνθήκη α τάξης [κανονική εξίσωση (normal equation)] * για τον LS (least squares) εκτιμητή β του β. Στην συνέχεια δώστε τον τύπο του * εκτιμητή β. * Β)[9 βαθμοί]. Εκφράστε τον β σαν γραμμικό συνδυασμό των u i ς με σταθμίσεις που εξαρτούνται μόνο από τα Χ i ς. Συγκεκριμένα δείξτε ότι β N * 1 = β + A i= 1 Ποιες είναι οι εκφράσεις για το A και τα d i ; d i u i
* Γ)[9 βαθμοί]. Δείξτε ότι ο β είναι, για δεδομένα Χ i ς (conditional on Χ i ς), αμερόληπτος εκτιμητής του β. ΘΕΜΑ 3. [Σύνολο 60 βαθμοί] Θεωρείστε ένα υπόδειγμα για τον προσδιορισμό των παραγόντων των αμοιβών (salary) των διευθυντικών στελεχών (CEOs). Οι προσδιοριστικοί παράγοντες που εξετάζονται είναι οι ετήσιες πωλήσεις της επιχείρησηs (sales), η απόδοση της αξίας εκφρασμένη σε ποσοστιαία μορφή (roe=return on equity, in percentage form), και η απόδοση της μετοχής της επιχείρησης εκφρασμένη σε ποσοστιαία μορφή (ros=return on firm s stοck, in percentage form). Τα αποτελέσματα της σχετικής παλινδρόμησης με το πακέτο STATA είναι, --- όπου lsalary = log(salary), και lsales = log(sales) :. regress lsalary lsales roe ros Source SS df MS Number of obs = 09 -------------+------------------------------ F( 3, 05) = 6.93 Model 18.861347 3 6.871157 Prob > F = 0.0000 Residual 47.86088 05.3346748 R-squared = 0.87 -------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.7 Total 66.71699 08.30779663 Root MSE =.48318 ------------------------------------------------------------------------------ lsalary Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] -------------+---------------------------------------------------------------- lsales.803149.0353 7.94 0.000.106778.349951 roe.0174168.004093 4.6 0.000.0093484.05485 ros.000417.0005418 0.45 0.656 -.000866.0013099 _cons 4.31171.315439 13.67 0.000 3.689803 4.93361 ------------------------------------------------------------------------------
Απαντήστε τα παρακάτω ερωτήματα με βάση το STATA output. Α)[5 βαθμοί]. Παρουσιάστε με κατάλληλο τρόπο τα αποτελέσματα της εκτίμησης. Β)[7 βαθμοί]. Είναι η επίδραση της μεταβλητής lsales στατιστικά ασήμαντη σε δίπλευρο έλεγχο και σε επίπεδο στατιστικής σημαντικότητας α =0.05; Σε α =0.001; Διατυπώστε την μηδενική και εναλλακτική υπόθεση, και υπολογίστε την τιμή του στατιστικού που χρησιμοποιείται για τον έλεγχο. Εξηγείστε τα συμπέρασματά σας με όποιο τρόπο σας διευκολύνει. Γ)[7 βαθμοί]. Διεξάγετε τον έλεγχο της μηδενικής υπόθεσης ότι «η επίδραση της απόδοση της μετοχής είναι στατιστικά ασήμαντη» έναντι της εναλλακτικής ότι «καλύτερη απόδοση της μετοχής έχει θετική επίδραση στην αμοιβή του CEO» ; Διεξάγετε τον έλεγχο σε επίπεδο στατιστικής σημαντικότητας α =10%. Στην απάντησή σας, διατυπώστε την μηδενική και εναλλακτική υπόθεση με χρήση των παραμέτρων του υποδείγματος, και υπολογίστε την τιμή του στατιστικού που χρησιμοποιείται για τον έλεγχο. Δ)[5 βαθμοί]. Γράψτε το 95% διάστημα εμπιστοσύνης για την πραγματική τιμή της παραμέτρου κλίσης β roe. Παρουσιάστε το διάστημα με χρήση της κατάλληλης ορολογίας.
Ε)[7 βαθμοί]. Κατασκευάστε το 90% διάστημα εμπιστοσύνης για την πραγματική τιμή της παραμέτρου κλίσης β roe. Γράψτε το τύπο και τη τιμή του διαστήματος που προκύπτει από τα στοιχεία. Ζ)[7 βαθμοί]. Ποια είναι η ερμηνεία των αριθμών.803149 και.0174168 στην στήλη Coef.; Η)[7 βαθμοί]. Ποιά είναι η εκτίμηση της διακύμανσης του σφάλματος; Δώστε την αριθμητική του τιμή και γράψτε τον τύπο με τον οποίο υπολογίστηκε. Θ)[5 βαθμοί]. Πόσο είναι το ποσοστό της μεταβλητότητας της μεταβλητής lsalary που αποδίδεται στην μεταβλητότητα των μεταβλητών lsales, roe, ros; Ι)[10 βαθμοί] Υποθέστε ότι θέλουμε να κάνουμε από κοινού (jointly) έλεγχο των δύο υποθέσεων ότι «η απόδοση της αξίας, και η απόδοση της μετοχής της επιχείρησης δεν επιδρούν στην αμοιβή των CEOs». Διατυπώστε με χρήση των παραμέτρων του υποδείγματος την μηδενική και εναλλακτική υπόθεση, και δώστε τον τύπο του στατιστικού που θα χρησιμοποιήσετε για τον έλεγχο. Βρέστε την κατανομή του και την κριτική τιμή (critical value) για α =0.05. Επίσης υποδείξτε ποιες είναι οι αριθμητικές τιμές των στοιχείων του τύπου του στατιστικού ή εξηγείστε πως θα βρείτε τα στοιχεία που σας λείπουν;
ΘΕΜΑ 4. [Σύνολο 35 βαθμοί] Με τις μεταβλητές, lwage (=natural log of wage), exper (=years of work experience), educ (=years of education), έγιναν τα παρακάτω με χρήση του πακέτου STATA.. generate edex= educ* exper. regress lwage educ exper edex Source SS df MS Number of obs = 935 -------------+------------------------------ F( 3, 931) = 48.41 Model.359774 3 7.4509946 Prob > F = 0.0000 Residual 143.303317 931.15394078 R-squared = 0.1349 -------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.131 Total 165.65694 934.17736199 Root MSE =.3933 ------------------------------------------------------------------------------ lwage Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] -------------+---------------------------------------------------------------- educ.0440498.0173911.53 0.011.0099195.0781801 exper -.014959.0199783-1.08 0.8 -.0607036.0177118 edex.00303.00159.09 0.036.0000.00604 _cons 5.949455.40864 4.70 0.000 5.47689 6.408 ------------------------------------------------------------------------------. vce Covariance matrix of coefficients of regress model e(v) educ exper edex _cons -------------+------------------------------------------------ educ.0003045 exper.0003719.00039913 edex -.0000463 -.00003013.338e-06 _cons -.0041931 -.00446111.0003615.05799738 Α)[4β]. Δώστε την ερμηνεία του συντελεστή της μεταβλητής edex. Β)[3β]. Πόσο εκτιμήθηκε ο συντελεστής της μεταβλητής edex; Είναι η εκτίμηση στατιστικά σημαντική σε επίπεδο στατιστικής σημαντικότητας 0.04, έναντι δίπλευρης εναλλακτικής; Σε επίπεδο στατιστικής σημαντικότητας 0.0;
Γ)[5β]. Ποια είναι η ερμηνεία του διαστήματος εμπιστοσύνης [0.0099195, 0.0781801]; Τι εννοούμε με την ορολογία «εμπιστοσύνη» και γιατί δεν χρησιμοποιείται η ορολογία «πιθανότητα» σε αυτό το σημείο; Δ)[3β]. Πόσο είναι το R-squared και τι πληροφορία μας δίνει αυτός ο αριθμός; Ε)[3β]. Ποιο πρόβλημα του R-squared διορθώνει το στατιστικό Adj R-squared; Ζ)[5β]. Κάνετε τον έλεγχο της συνολικής σημαντικότητας του υποδείγματος (overall significance of the regression). Γράψτε την μηδενική υπόθεση, την εναλλακτική, το στατιστικό που χρησιμοποιείται για έλεγχο, και δικαιολογείστε την απάντησή σας σε επίπεδο στατιστικής σημαντικότητας της επιλογής σας. Η)[4β]. Δώστε την εκτίμηση της απόδοσης της εκπαίδευσης (return of education), όταν η εργασιακή εμπειρία είναι 10 χρόνια. Θ)[8β]. Υπολογίστε το 95% διάστημα εμπιστοσύνης για την απόδοση της εκπαίδευσης (return of education), όταν η εργασιακή εμπειρία είναι 10 χρόνια.
ΘΕΜΑ 5. [Σύνολο 30 βαθμοί] Α)[5β]. Ετεροσκεδαστικότητα : ποιά υπόθεση του κλασσικού γραμμικού υποδείγματος παλινδρόμησης παραβιάζεται; Β)[5β]. «Όταν τα σφάλματα του γραμμικού υποδείγματος χαρακτηρίζονται από ετεροσκεδαστικότητα, οι εκτιμητές ελαχίστων τετραγώνων είναι μεροληπτικοί.» ΣΩΣΤΟ ή ΛΑΘΟΣ; Εξηγείστε την απάντησή σας με συντομία. Γ)[5β]. Παγίδα ψευδομεταβλητών (dummy variables trap): τι είναι; Δ)[5β]. Heteroskedasticity-robust standard errors ή άλλως White standard errors : τι είναι; Ε)[5β]. «Η ύπαρξη ετεροσκεδαστικότητας καθιστά τα συνηθισμένα t-statistic άκυρα (invalid).» ΣΩΣΤΟ ή ΛΑΘΟΣ; Εξηγείστε την απάντησή σας με συντομία. Ζ)[5β]. «Οι μεταβλητές Χ και 1/Χ δεν μπορούν να βρίσκονται ταυτόχρονα ανάμεσα στις ανεξάρτητες μεταβλητές του υποδείγματος γιατί έχουν υψηλή συσχέτιση μεταξύ τους.» ΣΩΣΤΟ ή ΛΑΘΟΣ; Εξηγείστε την απάντησή σας με συντομία.
Χρήσιμες μαθηματικές εκφράσεις ( SSR SSR r ur SSR ur ) / q /( n k 1) ( R (1 R ur ur R r ) / q ) /( n k 1) R / k (1 R ) /( n k 1)