ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 5o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil kastoria.teikoz.gr/elearn Γ. ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1 ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Πείραμα τύχης: : Είναι κάθε διαδικασία για την οποία το αποτέλεσμα δεν είναι γνωστό εκ των προτέρων και το βασικό της χαρακτηριστικό είναι ότι μπορεί να επαναλαμβάνεται πολλές φορές κάτω από ίδιες συνθήκες. Παραδείγματα: Ρίψη ζαριού Κλήρωση ΛΟΤΤΟ Γ. ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 2 1

Το αποτέλεσμα ενός πειράματος τύχης λέγεται απλό γεγονός ή απλό ενδεχόμενο και ένα σύνολο απλών γεγονότων λέγεται γεγονός ή ενδεχόμενο.. Τα γεγονότα τα συμβολίζουμε με κεφαλαία ελληνικά γράμματα (Α,Β,Γ,..) Το σύνολο όλων των δυνατών αποτελεσμάτων ενός πειράματος τύχης λέγεται δειγματοχώρος του πειράματος και συμβολίζεται με Ω. Ορίζουμε ότι ένα γεγονός πραγματοποιείται ή συμβαίνει όταν το απλό γεγονός που προκύπτει από την εκτέλεση του πειράματος περιέχεται στο γεγονός αυτό. ό Βέβαιο ενδεχόμενο ονομάζεται το ενδεχόμενο που πραγματοποιείται σε κάθε εκτέλεση ενός πειράματος ενώ αδύνατο ονομάζεται το ενδεχόμενο το οποίο δεν πραγματοποιείται σε καμία εκτέλεση του πειράματος. Γ. ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 3 Παραδείγματα: Να βρεθεί ο δειγματοχώρος στο πείραμα ρίψης ενός ζαριού και να οριστεί το γεγονός ένδειξη μικρότερη ή ίση του 3. Ρίχνουμε δύο νομίσματα. Ποιος είναι ο δειγματοχώρος του πειράματος. Γ. ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 4 2

Πράξεις ενδεχομένων 1) Ένωση δύο ενδεχομένων Α και B ονομάζεται το ενδεχόμενο το οποίο περιλαμβάνει τα αποτελέσματα που περιέχονται είτε στο Α είτε στο Β. Συμβολίζεται με AUB. Α Β Ω ΑUB Γ. ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 5 2) Τομή δύο ενδεχομένων Α και Β ονομάζεται το ενδεχόμενο το οποίο περιλαμβάνει τα κοινά αποτελέσματα που περιέχονται και στα δύο ενδεχόμενα Α και Β. Συμβολίζουμε με Α Β. U A B Ω Α Β ύο ενδεχόμενα ονομάζονται ξένα ή ασυμβίβαστα αν Α Β=«. Γ. ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 6 3

3) Διαφορά δύο ενδεχομένων Α και Β ονομάζεται το ενδεχόμενο το οποίο περιλαμβάνει τα αποτελέσματα που περιέχονται στο Α αλλά όχι στο Β. Συμβολίζουμε με Α Β. Α Β Ω Α - Β Γ. ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 7 4) Συμπλήρωμα του ενδεχομένου Α ονομάζεται το ενδεχόμενο το οποίο περιλαμβάνει εκείνα τα αποτελέσματα του δειγματοχώρου Ω που δεν περιέχονται στο Α. Συμβολίζουμε με Α. Ω Α Α Γ. ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 8 4

Παραδείγματα: 1) ίνονται τα γεγονότα Α, Β, Γ. Να καταγραφούν τα παρακάτω γεγονότα: a) Μόνο το Β συμβαίνει. b) Τα Α και Β συμβαίνουν αλλά όχι το Γ. c) Τουλάχιστον ένα από τα Α, Β, Γ συμβαίνει. d) Ακριβώς ένα από τα Α, Β, Γ συμβαίνει. e) Τουλάχιστον δύο από τα Α,, Β,, Γ συμβαίνουν. Γ. ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 9 2) Ρίχνουμε ένα νόμισμα τρεις φορές. α) Να γραφεί ο δειγματοχώρος του πειράματος. β) Να βρεθούν τα ενδεχόμενα: δ ό A 1 : Ο αριθμός των κεφαλών υπερβαίνει τον αριθμό των γραμμάτων, A 2 : Ο αριθμός των κεφαλών είναι ακριβώς 2, A 3 : Ο αριθμός των γραμμάτων είναι τουλάχιστον 2, A 4 : Ίδια όψη και στις τρεις ρίψεις, A 5 : Στην πρώτη ρίψη φέρνουμε κεφάλι, A 3, A 5 A 2, A 5 A 4. Γ. ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 10 5

3) Σε μία κάλπη έχουμε 10 σφαιρίδια αριθμημένα από το 1 μέχρι το 10. Εξάγουμε τυχαία ένα σφαιρίδιο. Θεωρούμε τα γεγονότα: Α = { ο αριθμός που εξάγεται είναι μικρότερος του 5} Β ={ο ο αριθμός που εξάγεται είναι μικρότερος του 7 και μεγαλύτερος του 3} Γ = { ο αριθμός που εξάγεται είναι μεγαλύτερος του 4 και είναι είτε πολλαπλάσιος του 3 ή πολλαπλάσιος του 5} Να καταγραφούν τα στοιχεία του δειγματοχώρου και των γεγονότων Α, Β, Γ, Α Β, ΑUB, (ΑUΒ) Β). Γ. ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 11 Κλασικός ορισμός της πιθανότητας Αν ο δειγματικός χώρος Ω ενός πειράματος είναι πεπερασμένος και όλα τα στοιχειώδη ενδεχόμενά του είναι ισοπίθανα τότε η πιθανότητα ενός ενδεχομένου Α δίνεται από τον τύπο: N(A) P(A) = = N(Ω) πλήθος πλήθος των των στοιχείων στοιχείων του του Α Ω Ισχύει 0 PA ( ) 1 Γ. ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 12 6

Παραδείγματα: 1) Μία κάλπη περιέχει 10 λευκά και 20 μαύρα σφαιρίδια. Ποια είναι η πιθανότητα ώστε όταν πάρουμε τυχαία ένα σφαιρίδιο αυτό να είναι λευκό? 2) Ρίχνουμε ένα νόμισμα δύο φορές. Ποια η πιθανότητα να έλθουν και τις δύο φορές Γράμματα? 3) Ποια είναι η πιθανότητα να τραβήξουμε ένα δυάρι από μία τράπουλα? Γ. ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 13 4) Σε μία τσάντα υπάρχουν μπάλες αριθμημένες από το 1 μέχρι και το 15. Να βρεθεί η πιθανότητα αν πάρουμε μία μπάλα ο αριθμός να είναι άρτιος και να διαιρείται από το 3. 5) Ρίχνουμε δύο κανονικά ζάρια. Να βρεθούν οι πιθανότητες των γεγονότων Α = { εμφανίζεται ακριβώς ένα εξάρι} Β = { το άθροισμα των ενδείξεων των ζαριών είναι 10} Γ = { το ένα ζάρι φέρνει τουλάχιστον 5, ενώ το άλλο φέρνει άρτιο} Γ. ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 14 7

Στατιστικός ορισμός της πιθανότητας Σχετική Συχνότητα ενός ενδεχομένου Α k ονομάζεται το πηλίκο f A = όπου v είναι ο v αριθμός επαναλήψεων του πειράματος και k ο αριθμός εμφανίσεων του Α. Ισχύει ότι 0 f A 1 Γ. ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 15 Νόμος των μεγάλων αριθμών: Αν ο αριθμός επαναλήψεων ενός πειράματος αυξηθεί απεριόριστα τότε η σχετική συχνότητα ενός ενδεχομένου τείνει να σταθεροποιηθεί σε μία συγκεκριμένη ρμ τιμή. Αριθμός Επαναλήψεων Κορώνα Σχετική Συχνότητα 10 6 0,60 20 14 0,70 40 23 0,58 50 26 0,52 100 53 0,53 120 59 0,49 150 78 0,52 200 102 0,51 300 147 0,49 Γ. ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 16 8

Μπορούμε να ορίσουμε σαν πιθανότητα πραγματοποίησης ενός ενδεχομένου Α το P ( A ) = lim v k v Γ. ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 17 Αξιωματική θεμελίωση της πιθανότητας (Kolmogorov, 1933) Πιθανότητα εμφάνισης ενός ενδεχομένου Α,, Α Ω, ονομάζουμε τον αριθμό που ικανοποιεί τις ακόλουθες συνθήκες: 1) P(A) 0 για κάθε ενδεχόμενο Α Ω. 2) P(Ω) = 1. 3) Αν Α και Β είναι δύο ενδεχόμενα ξένα μεταξύ τους (Α Β= Β=«) ) τότε Ρ(Α Β) = Ρ(Α)+Ρ(Β ). Γ. ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 18 9

Ιδιότητες-Τύποι 1) Αν Α={α1,α2,,ακ) τότε Ρ(Α)=Ρ(α1)+Ρ(α2)+ +Ρ(ακ). 2) P( P(Ø) = 0 3) Ρ(Α )=1-Ρ(Α). Ρ(Α). 4) Ρ(Α-Β)=Ρ(Α) Β)=Ρ(Α)-Ρ(Α Β) & Ρ(Β-Α)=Ρ(Β) Α)=Ρ(Β)-Ρ(Α Β). 5) Αν Α Β τότε Ρ(Α) Ρ(Β). Ρ(Β). 6) Ρ(Α Β) = Ρ(Α)+Ρ(Β)- Ρ(Α Β). 7) 0 P(A) 1, για κάθε ενδεχόμενο Α. Γ. ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 19 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1) Ένα άτομο οδηγώντας από το σπίτι στο γραφείο, καταγράφει τον αριθμό των κόκκινων φαναριών που συναντά. Μετά από κάποιο διάστημα συμπεραίνει με τη βοήθεια των σχετικών συχνοτήτων ότι p(0) = 0.05, p(1) = 0.25, p(2) = 0.36, p(3) = 0.26, p(4) = 0.08, όπου p(k) σημαίνει την πιθανότητα να συναντήσει k κόκκινα φανάρια. Βρέστε τις πιθανότητες i. Να συναντήσει τουλάχιστον 2 κόκκινα ii. Να συναντήσει το πολύ 2 κόκκινα iii. Να συναντήσει περισσότερα από 2 κόκκινα Γ. ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 20 10

2) Ρίχνουμε ένα ζάρι τέσσερις φορές. Ποια η πιθανότητα να φέρουμε ένα τουλάχιστον εξάρι? 3) Πέντε μηχανάκια αριθμημένα από 1 έως 5, διατίθενται προς ενοικίαση. Το μηχανάκι με αριθμό 2 είναι χαλασμένο. Τα μηχανάκια με αριθμούς 1,2 προέρχονται από τον προμηθευτή Α, ενώ τα υπόλοιπα από τον προμηθευτή Β. ύο μηχανάκια επιλέγονται τυχαία για ενοικίαση. Ποιος είναι ο δειγματοχώρος? Αν Γ συμβολίσουμε το γεγονός «επιλέγεται το χαλασμένο μηχανάκι» και το γεγονός «ένα τουλάχιστον από τα μηχανάκια που επιλέχθηκαν προέρχεται από τον προμηθευτή Α», να γράψετε τα Γ και ως υποσύνολα του δειγματοχώρου και να βρείτε τις πιθανότητες τους. Γ. ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 21 11