24 Κεφάλαιο ο. Να κάνετε τις πράξεις : α) 2 + 3 4-2 : (-4) + γ) -3 (-2) -5 +4: (-2) -6 β) 2 +3 (4-2): (-4 +) δ) -8 : (-3 +5) -4 (-2 + 6) Για να κάνουμε τις πράξεις ακολουθούμε τα εξής βήματα: ο βήμα: Πράξεις μέσα στις παρενθέσεις 2 ο βήμα: Πολλαπλασιασμούς και διαιρέσεις 3 ο βήμα: Βγάζουμε παρενθέσεις 4 ο βήμα: Προσθέσεις και αφαιρέσεις 2+3 4-2: -4 + Κάνουμε τους πολλαπλασιασμούς - διαιρέσεις α) ( ) 2+2+3+ Κάνουμε τις προσθέσεις 4 + 4 Κάνουμε την πρόσθεση 8 β) 2+3 ( 4-2 ):(-4+) στις παρενθέσεις
Κεφάλαιο ο 25 2+3 (-8):(-3) Κάνουμε τον πολλαπλασιασμό 2-24: (-3) Κάνουμε τη διαίρεση 2 + 8 Κάνουμε την πρόσθεση 0-3 -2-5 + 4-2 - 6 γ) ( ) ( ) Κάνουμε τους πολλαπλασιασμούς - διαιρέσεις +6-5-2-6 Κάνουμε τις προσθέσεις - αφαιρέσεις + -8 Κάνουμε τις προσθέσεις - αφαιρέσεις -7 δ) -8 :(-3 + 5) - 4 (-2 + 6 ) στις παρενθέσεις -8:( +2) -4 ( +4) Κάνουμε πολλαπλασιασμούς - διαιρέσεις -4-6 Κάνουμε την πρόσθεση -20 2. Τα αποτελέσματα των παρακάτω πράξεων σχηματίζουν το έτος που έγινε ένα γεγονός στη χώρα μας με παγκόσμιο ενδιαφέρον. -( 5-4) -( +2 ) + (-6+4) -(-7) 4-( -2+6-3) + (-9+6) 4 + (-6 + 5-3) - (-4 - ) (-2) (-3) (-2) + 4 - ( +5) - (-) : (-)
26 Κεφάλαιο ο Για να βρούμε το έτος που σχηματίζεται από τα αποτελέσματα των αριθμητικών παραστάσεων αρκεί να ακολουθήσουμε τα εξής βήματα: ο βήμα: Πράξεις μέσα στις παρενθέσεις 2 ο βήμα: Πολλαπλασιασμούς και διαιρέσεις 3 ο βήμα: Βγάζουμε παρενθέσεις 4 ο βήμα: Προσθέσεις και αφαιρέσεις α) -5-4-+2+-6+4--7 ( ) ( ) ( ) ( ) στις παρενθέσεις -- () ( +2+ ) (-2- ) (-7) Απαλοιφή παρενθέσεων --2-2+7 Κάνουμε τις προσθέσεις - αφαιρέσεις -3 +5 Κάνουμε την αφαίρεση 2 β) 4-( -2+6-3) + (-9+6 στις παρενθέσεις ) 4- ( +4-3 ) + (-3) στις παρενθέσεις 4- ( + ) + (-3) Απαλοιφή παρενθέσεων 4--3 Κάνουμε τις προσθέσεις - αφαιρέσεις 3-3 Κάνουμε τις προσθέσεις - αφαιρέσεις 0 γ) 4 + (- 6 + 5-3 )- (- 4 -) (-2) στις παρενθέσεις
Κεφάλαιο ο 27 4 + (- 3) - (-5) (-2) στις παρενθέσεις 4 + (-4)- (-5) (-2) Πολλαπλασιασμός 4 + (-4)- ( +0 ) Απαλοιφή παρενθέσεων 4-4 - 0 Κάνουμε τις προσθέσεις - αφαιρέσεις 0-0 Κάνουμε τις προσθέσεις - αφαιρέσεις 0 δ) (-3) (-2) + 4 - ( +5) - (-): (-) Κάνουμε τους πολλαπλασιασμούς - διαιρέσεις +6 + 4 - ( +5) - ( + ) Απαλοιφή παρενθέσεων +6 + 4-5 - Κάνουμε τις προσθέσεις - αφαιρέσεις +0-6 Κάνουμε τις προσθέσεις - αφαιρέσεις 4 Έτσι έχουμε το έτος που έγινε ένα γεγονός στη χώρα μας με παγκόσμιο ενδιαφέρον. -( 5-4) -( +2 ) + (-6+4) -(-7) 2 4-( -2+6-3) + (-9+6) 4 + (-6 + 5-3) - (-4 - ) (-2) (-3) (-2) + 4 - ( +5) - (-) : (-) 0 0 4
28 Κεφάλαιο ο 3. Ένα αυτοκίνητο ξεκίνησε από τη θέση 0, κινήθηκε πάνω στον άξονα x x προς τα αριστερά στη θέση Β και στη συνέχεια προς τα δεξιά στη θέση Γ. Αν είναι ΟΑ 5km, τότε να βρείτε πόσο διάστημα διήνυσε το αυτοκίνητο και πόσο μετακινήθηκε από την αρχική του θέση. Για να βρούμε πόσο διάστημα διήνυσε το αυτοκίνητο θα μετρήσουμε κατά απόλυτη τιμή πόσο διάστημα ίσο με ΟΑ έκανε συνολικά. Εφόσον το ΟΑ 5km, για να βρούμε τα συνολικά χιλιόμετρα, θα τα πολλαπλασιάσουμε με το 5. Για να βρούμε πόσο μετακινήθηκε από την αρχική του θέση θα υπολογίσουμε την απόσταση ΟΓ. Για να βρούμε πόσο διάστημα διήνυσε το αυτοκίνητο, μετράμε τα διαστήματα από το Ο προς το Β και έπειτα από το Β στο Γ. Έχουμε: Απόσταση κατά απόλυτη τιμή ΟΒ 4 διαστήματα και ΒΟ 4 διαστήματα ΟΓ 5 διαστήματα Δηλαδή προσθέτουμε την απόσταση ΟΒ για να πάει στο Β την απόσταση ΒΟ για να γυρίσει ξανά στο Ο και τέλος το ΟΓ για να βρεθεί στο Γ. Έχουμε: 4 4 +5
Κεφάλαιο ο 29 3 διαστήματα συνολικά διήνυσε Άλλα κάθε απόσταση που είναι ίση με ΟΑ ισούται με 5Km. Οπότε πολλαπλασιάζουμε το 5 επί τα 3 Km που διήνυσε συνολικά. Έχουμε: 3 5 Km 65 Km Άρα διήνυσε συνολικά 65Km. Για να βρούμε πόσο μετακινήθηκε από την αρχική του θέση θα υπολογίσουμε μόνο την απόσταση ΟΓ. Δηλαδή έχουμε: Απόσταση ΟΓ 5 διαστήματα Πολλαπλασιάζουμε και πάλι το 5 με τα 5Km που είναι κάθε διάστημα, για να βρούμε τα χιλιόμετρα από την αρχική του θέση. Είναι: 5 διαστήματα 5 Km 25Km 4. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: α) γ) 2 - - + - - + 3 4 2 2 2 2-5 - - 5-2 3 2 3 3 5 5 β) - - + - + - + - 3 2 6 2 3 6 δ) 7 4 3 2 2 - - - : - + 2 2 5 5 5 3 Για να υπολογίσουμε τις τιμές των παραστάσεων ακολουθούμε τα εξής βήματα: ο βήμα: Πράξεις μέσα στις παρενθέσεις 2 ο βήμα: Πολλαπλασιασμούς και διαιρέσεις 3 ο βήμα: Βγάζουμε παρενθέσεις 4 ο βήμα: Προσθέσεις και αφαιρέσεις α) 2 - - + - - + 3 4 2 2 Απαλοιφή παρενθέσεων
30 Κεφάλαιο ο 4 3 6 Κάνουμε τα κλάσματα ομώνυμα 2 + - - 3 4 2 2 8 + 3-6 - 2 2 2 2-7 2 2 4:4 2 : 4 3 β) 3 5 5 - - + - + - + - 3 2 6 2 3 6 Απαλοιφή παρενθέσεων 2 3 3 2 Κάνουμε τα κλάσματα ομώνυμα 3 5 5 + - + - + - 3 2 6 2 3 6 2 9 5 3 0 + - + - + - - 7 + 2-6 - 5-6 - 6-3 γ) 2 μέσα στις παρενθέσεις 2 2-5 - - 5-2 3 2 2 2 3 4 μέσα στις παρενθέσεις 5 - -5-2 3
Κεφάλαιο ο 3 5 2 5 - - - - 2 3 6 Κάνουμε πολλαπλασιασμούς διαιρέσεις 3 2 5 2 5 - - + 2 3 6-5 - 4 + 5 6 9 5 - + 4 : 2 6:2 7-3 3 δ) 5 3 3 5 μέσα στις παρενθέσεις 7 4 3 2 2 - - - : - + 2 2 5 5 5 3 2 7 5 8 3 6 0 - - : - + 2 2 0 0 5 5 5 2 9 5 3 0 + - + - + - μέσα στις παρενθέσεις Κάνουμε πολλαπλασιασμούς διαιρέσεις 5 3 3 4 - - - : + 2 0 5 5 5 3 5 + - + 20 5 4 5 45 + - 20 20 30-20 3 2
32 Κεφάλαιο ο 5. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: α) 2 - + - 2 3 3- + 6 2 β) -2 3-4 γ) -7 + -2 3-4 -3-3 -2 + 3 Για να υπολογίσουμε τις παραστάσεις, θα ακολουθήσουμε τα εξής βήματα και στον αριθμητή και στον παρονομαστή. Έπειτα θα έχουμε ένα σύνθετο κλάσμα το οποίο θα κάνουμε απλό. α) 3 2 6 2 - + - 2 3 6 3 3 - + 6 2 3 4 6 - + - 6 8 3 - + 6 6 + - 7 3 + 5-6 20 6 Κάνουμε τα κλάσματα ομώνυμα Κάνουμε το σύνθετο κλάσμα απλό 30 : 30 Κάνουμε απλοποίηση - 20 : 30-4
Κεφάλαιο ο 33 β) -2 3-4 Κάνουμε τον πολλαπλασιασμό 4 3-2 - 4-6 - 4 2-2 4 4 6 - - 4-2 4 24 - - 4 4 22-4 4 μέσα στην παρένθεση μέσα στην παρένθεση Κάνουμε τα κλάσματα ομώνυμα Κάνουμε τον πολλαπλασιασμό 25-4 22-4 Κάνουμε το σύνθετο κλάσμα απλό 25 4-22 4 Κάνουμε απλοποίηση 25 22 γ) -7 + 3 3 - - 3 3-2 + 3 Κάνουμε τα κλάσματα ομώνυμα 9 - - 3 3-7+ 6 - + 3 3 μέσα στην παρένθεση
34 Κεφάλαιο ο 0 - -7+ 3 5-3 Κάνουμε το σύνθετο κλάσμα απλό 7 30:5 -- + 5:5 Κάνουμε απλοποίηση 2-7 + -7+2-5 6. Οι ελάχιστες θερμοκρασίες μιας πόλης το πρώτο δεκαήμερο του έτους ήταν:, -3, 0, 2,, -2, -5, 0, - 3, - Να βρείτε τη μέση ελάχιστη θερμοκρασία της πόλης το δεκαήμερο αυτό. Για να βρούμε τη μέση ελάχιστη θερμοκρασία της πόλης το δεκαήμερο αυτό θα κάνουμε: Πρόσθεση όλες τις θερμοκρασίες Το άθροισμα των θερμοκρασιών θα το διαιρέσουμε με το 0, που είναι οι θερμοκρασίες. Για να βρούμε τη μέση ελάχιστη θερμοκρασία: Προσθέτουμε όλες τις θερμοκρασίες + (-3) + 0 + 2 ++ (-2) + (-5) + 0 + (-3) + (-) -3+0+2+-2-5+0-3- -2 +2--5-4 -6-4 -0
Κεφάλαιο ο 35 Διαιρούμε το -0 με το άθροισμα των θερμοκρασιών το 0. 0 Έχουμε: Άρα η μέση θερμοκρασία είναι: -. 0 7. Να συμπληρώσετε τα παρακάτω κενά χρησιμοποιώντας το κατάλληλο σύμβολο (+ ή - ). α) 2 5 20-3 β) -8... 9... 0 γ) 5... 3... 0 3 4 4 4 δ) -0,35... 6,5... 8,50 2 Για να συμπληρώσουμε τα κενά με το κατάλληλο σύμβολο (+) ή (-) θα δούμε τα αποτελέσματα των πράξεων. Αυτά θα μας οδηγήσουν στα κατάλληλα σύμβολα. α) 2 + 5-20 - 3 Πράγματι είναι: 2 + 5-20 7-20 -3 β) -8 + 9-0 Πράγματι είναι: -8 + 9 - +- 0 γ) 5 3 0 - + 3 4 4 4 5 3 2 0 2 Πράγματι είναι: - +0 + 3 4 4 4 4 4 δ) -0,35-6,5 + 8,50 2 Πράγματι είναι: -0,35-6,5+8,50-6,5+8,50 +2 8. Να αποδείξετε τις παρακάτω ισότητες: α) 8 (α β) + (α 5 β) 3 β) 2 (α + β γ) (4 + γ β) (-2 α) 0
36 Κεφάλαιο ο γ) -2 (α 3) + α (-7 +9) -3 (+2) 0 Για να αποδείξουμε τις ισότητες πρέπει: Να κάνουμε τις πράξεις στο α μέλος της ισότητας και το αποτέλεσμα θα πρέπει να είναι το αποτέλεσμα που δίνεται στο β μέλος της ισότητας. α) 8-( α - β ) + ( α -5-β) 3 Παίρνουμε το α μέρος 8( α - β ) + ( α -5-β) Κάνουμε απαλοιφή παρενθέσεων 8- α + β + α -5- β Σβήνουμε τους αντίθετους 8-5 3 β) 2-( α + β - γ) -( 4+γ - β) -(-2-α) 0 Παίρνουμε το α μέρος 2 ( α++ β γ) ( 4 + γ β) ( 2 α) Κάνουμε απαλοιφή παρενθέσεων 2- α - β + γ -4- γ + β +2+ α Σβήνουμε τους αντίθετους 2-4+2-2 +2 0 γ) -2 ( α -3) +α (-7 + 9) - 3 ( +2 ) 0 Παίρνουμε το α μέρος 2 ( α -3) +α (-7 + 9) - 3 ( +2 ) Εφαρμόζουμε την επιμεριστική ιδιότητα -2α +6-7α +9α -6 Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων -2α -7α +9α +6-6 Σβήνουμε τους αντίθετους -9α + 9α
Κεφάλαιο ο 37 0 9. Αν x + y -5 και ω + φ -7 να υπολογίσετε τις παραστάσεις: Α 4 (x ω) (y φ) Β - (-5 x + φ) + (-8 + y) (ω- 4) Για να υπολογίσουμε τις τιμές των παραστάσεων θα αντικαταστήσουμε όπου x +y - 5 και ω + φ -7 Α 4-( x-ω) -( y-φ ) Απαλοιφή παρενθέσεων 4 x + ω y + φ Βάζουμε μαζί τα γνωστά αθροίσματα 4 (x + y) + (ω+φ) Αντικαθιστούμε τα αθροίσματα 4 (-5) + (-7) 4 + 5-7 9 7 2 Β -(-5-x+φ) + (-8+y) -( ω -4) Απαλοιφή παρενθέσεων + 5 + x φ 8 + y ω + 4 Βάζουμε μαζί τα γνωστά αθροίσματα +5-8+4+ ( x+y) -( ω + φ) Αντικαθιστούμε τα αθροίσματα - 3 + 4 + (-5) - (-7) -3 + 4-5 + 7 +2 3
38 Κεφάλαιο ο 0 Αν α, β είναι οι διαστάσεις ενός ορθογωνίου, που έχει περίμετρο 56 και γ, δ οι διαστάσεις ενός άλλου ορθογωνίου, που έχει περίμετρο 32, να υπολογίσετε την παράσταση Α α (9 2γ) - (5 β 2δ). Θα υπολογίσουμε την περίμετρο και για τα δύο ορθογώνια. Θα βρούμε έ- τσι τα (α + β), (γ + δ) τα οποία θα α- ντικαταστήσουμε στην παράσταση. β α Π 56 2α + 2β 56 2 (α + β) 56 α + β 56 2 α + β 28 Για το άλλο ορθογώνιο έχουμε: δ γ Π 32 2γ + 2δ 32 2 (γ + δ) 32 γ + δ 32 2 γ + δ 6 Άρα μπορούμε να υπολογίσουμε την τιμή της παράστασης αρκεί να κάνουμε τις α- παραίτητες πράξεις για να εμφανιστούν τα αθροίσματα.
Κεφάλαιο ο 39 α + β 28 και γ + δ 6 Α α -( 9-2γ) -( 5-β -2δ) Απαλοιφή παρενθέσεων α -9+2γ -5+β +2δ Αναγωγή ομοίων όρων α + β +2 γ + δ -9-5 Αντικατάσταση 28+ 2 6-9 -5 Κάνουμε τον πολλαπλασιασμό 28 + 32-9 -5 60-24 36 Να τοποθετήσετε καθέναν από τους παρακάτω αριθμούς -7, -6, -5, -3,, 2, 4, 5, 9 σε ένα τετράγωνο, ώστε τα τρία αθροίσματα να είναι ίσα μεταξύ τους. + + + + + + Θα κάνουμε τους κατάλληλους συνδυασμούς ώστε και τα τρία α- θροίσματα να είναι ίσα μεταξύ τους.
40 Κεφάλαιο ο -7 5 2 + + 0 Δηλαδή είναι: 7+ 5+ 2 2+ 2 0-6 4 2 + + 0 Δηλαδή είναι: 6+ 4+ 2 2+ 2 0-6 5 + + 0 Δηλαδή είναι: 6+ + 5 5+ 5 0 Όλα τα αθροίσματα όλων των αριθμών είναι μηδέν (0).