Qwφιertuiopasdfghjklzερυυξnmηq σwωψertuςiopasdρfghjklzcvbn mqwertuiopasdfghjklzcvbnφγιmλι qπςπζwωeτrtuτioρμpκaλsdfghςj ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ klzcvλοπbnmqwertuiopasdfghjklz ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ cvbnmσγqwφertuioσδφpγρaηsόρ ΟΡΙΣΜΟΙ ωυdfghjργklzcvbnφδγωmζqwert ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 3-4 λκοθξuiύσφdfghjklzcvbnmqwert uiopasdfghjklzcεrυtγεuiιopasdf ghjklzcηvbnσφδmqwertσδ uiopasdfσδφγθμκcvυξσφbnmσφγ qwθeξτσδφrtuφγςοιopaσδφsdfghj klzcvσδςbnγμ,mqwertuiopas dfgσργκοϊτbnmqwertσδφγuiopasσ δφγdfghjklzσδδγσφγcvbnmqwertu ioκσλπpasdfghjklzcvb\ nmςwertuiopasdγεορlzcvbnmqw
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ Η διυσμτική κτί του θροίσμτος τω μιγδικώ i κι γ δi είι το άθροισμ τω διυσμτικώ κτίω τους Α M, κι M γ, δ είι οι εικόες τω i κι γ δi τιστοίχως στο μιγδικό επίπεδο, τότε το άθροισμ i γ δi γ δ i πριστάετι με το σημείο M γ, δ Επομέως, M M M Ο M γ,δ M, M+γ,+δ Η διυσμτική κτί της διφοράς τω μιγδικώ i κι γ δi είι η διφορά τω διυσμτικώ κτίω τους Επίσης, η διφορά i γ δi γ δi πριστάετι με το σημείο N γ, δ Επομέως, N M M Ο Μ γ,δ Μ, Μ 3 γ, δ Ν γ, δ 3 Δυάμεις του i Γι υπολογίσουμε συγκεκριμέη δύμη του i, γράφουμε το εκθέτη στη μορφή 4 ρ υ, όπου ρ το πηλίκο κι υ το υπόλοιπο της ευκλείδεις διίρεσης του με το 4, οπότε έχουμε:, υ i i 4 ρ υ i i 4 ρ υ 4 ρ i i υ ρ i υ i υ i - i,,, ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Σελίδ υ υ υ 4 Ιδιότητες Συζυγώ Α z i κι z i μπορούμε εύκολ, με εκτέλεση τω πράξεω, διπιστώσουμε ότι: i z z ii z z i Α z i κι z γ δi είι δυο μιγδικοί ριθμοί, τότε: z z z z z z z z 3 z z z z 4 Οι ιδιότητες υτές μπορού ποδειχτού με εκτέλεση τω πράξεω Γι πράδειγμ έχουμε: z z i γ δi γ δ i γ δ i i γ δi z z 3 z z z z
Οι πρπάω ιδιότητες κι 3 ισχύου κι γι περισσότερους πό δυο μιγδικούς ριθμούς Είι δηλδή: z z zv z z z v, z z zv z z z v Ιδιίτερ, είι 5 Επίλυση της Εξίσωσης z z z z, τότε η τελευτί ισότητ γίετι: z z γ με,,γ κι v v z z Εύκολ, όμως, μπορούμε διπιστώσουμε ότι κι κάθε εξίσωση δεύτερου θμού με πργμτικούς συτελεστές έχει πάτ λύση στο σύολο C Πράγμτι, έστω η εξίσωση z z γ, με,, γ κι Εργζόμστε όπως στη τίστοιχη περίπτωση στο κι τη μετσχημτίζουμε, με τη μέθοδο συμπλήρωσης τετργώω, z z z z z z 4 z z, ό 4 4 4 η δικρίουσ της εξίσωσης Έτσι, έχουμε τις εξής περιπτώσεις: z Δ Τότε η εξίσωση έχει δύο πργμτικές λύσεις: z, Δ Τότε έχει μι διπλή πργμτική λύση: z Δ< Τότε, επειδή i Δ συζυγείς μιγδικοί ριθμοί Δ Δ i Δ i Δ 4 4 Άρ οι λύσεις της είι: z, Τι οομάζουμε μέτρο εός μιγδικού z i, Δ, η εξίσωση γράφετι: i Δ, οι οποίες είι Έστω M, η εικό του μιγδικού στο μιγδικό επίπεδο Ορίζουμε ως μέτρο του z τη πόστση του M πό τη ρχή, δηλδή z M 6 Μέτρο μιγδικού ριθμού Α z, z είι μιγδικοί ριθμοί, τότε z z z z z z Πράγμτι, έχουμε: z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z κι, επειδή η τελευτί ισότητ ισχύει, θ ισχύει κι η ισοδύμη ρχική Αάλογ ποδεικύετι κι η δεύτερη ιδιότητ Γεικά, ποδεικύετι ότι: z z z z z z κι ειδικότερ z z ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Σελίδ
ΘΕΩΡΙΑ 7 Το μέτρο της διφοράς δύο μιγδικώ είι ίσο με τη πόστση τω εικόω τουςδηλδή: M M z z N M M Mz+z Επίσης, είι φερό ότι το μέτρο του διύσμτος Mz N είι ίσο με το μέτρο του διύσμτος M M Επομέως: M M z z Από τη γωστή μς τριγωική ισότητ κι πό τη γεωμετρική ερμηεί του θροίσμτος z z κι της διφοράς z z δύο μιγδικώ προκύπτει ότι: z z z 3 Mz M M Ο Nz z M 3 z z z z ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ Τι οομάζουμε πργμτική συάρτηση Έστω Α έ υποσύολο του Οομάζουμε πργμτική συάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μι διδικσί κό f, με τη οποί κάθε στοιχείο A τιστοιχίζετι σε έ μόο πργμτικό ριθμό Το οομάζετι τιμή της f στο κι συμολίζετι με f 3 Τι οομάζουμε γρφική πράστση συάρτησης Έστω f μι συάρτηση με πεδίο ορισμού Α κι έ σύστημ συτετγμέω στο επίπεδο Το σύολο τω σημείω M, γι τ οποί ισχύει f, δηλδή το σύολο τω σημείω M, f, A, λέγετι γρφική πράστση της f κι συμολίζετι συήθως με Cf 4 Πότε δύο συρτήσεις f κι g είι ίσες Δύο συρτήσεις f κι g λέγοτι ίσες ότ: έχου το ίδιο πεδίο ορισμού Α κι γι κάθε A ισχύει f = Τι οομάζουμε σύθεση της f με τη g 5 Α f, g είι δύο συρτήσεις με πεδίο ορισμού Α, Β τιστοίχως, τότε οομάζουμε σύθεση της f με τη g, κι τη συμολίζουμε με gof τη συάρτηση με τύπο gof g f f A B 4 f f B A g f g f A Το πεδίο ορισμού της gof ποτελείτι πό όλ τ στοιχεί του πεδίου ορισμού της f γι τ οποί το f ήκει στο πεδίο ορισμού της g Δηλδή είι το σύολο ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Σελίδ 3
A { A f } B Είι φερό ότι η gof ορίζετι A, δηλδή f A B 6 Πότε μι συάρτηση λέγετι γησίως ύξουσ συάρτηση κι πότε γησίως φθίουσ συάρτηση Μι συάρτηση f λέγετι : γησίως ύξουσ σ έ δ ι ά σ τ η μ Δ του πεδίου ορισμού της, ότ γι οποιδήποτε, με ισχύει: f f Σχ γησίως φθίουσ σ έ δ ι ά σ τ η μ Δ του πεδίου ορισμού της, ότ γι οποιδήποτε, με ισχύει: f f Σχ f f f f Δ Δ Ο Δ a Ο Δ 7 Τι οομάζουμε μέγιστο, ελάχιστο, συάρτησης Μι συάρτηση f με πεδίο ορισμού Α θ λέμε ότι: Προυσιάζει στο A ολικό μέγιστο, το f, ότ f f γι κάθε A Προυσιάζει στο A ολικό ελάχιστο, το f, ότ f f γι κάθε A f f f C f f a C f 8 Πότε μι συάρτηση λέγετι - Μι συάρτηση f :A λέγετι συάρτηση, ότ γι οποιδήποτε, A ισχύει η συεπγωγή:, τότε f f 9 Τι οομάζουμε τίστροφη συάρτηση Έστω μι συάρτηση f :A Α υποθέσουμε ότι υτή είι, τότε γι κάθε στοιχείο του συόλου τιμώ, f A το οποίο ισχύει, της f υπάρχει μοδικό στοιχείο του πεδίου ορισμού της Α γι f Επομέως ορίζετι μι συάρτηση g:f A ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Σελίδ 4
με τη οποί κάθε f A τιστοιχίζετι στο μοδικό A γι το οποίο ισχύει f Από το τρόπο που ορίστηκε η g προκύπτει ότι: έχει πεδίο ορισμού το σύολο τιμώ f A της f, έχει σύολο τιμώ το πεδίο ορισμού Α της f κι ισχύει η ισοδυμί: f A = f fa =f Αυτό σημίει ότι, η f τιστοιχίζει το στο, τότε g η g τιστοιχίζει το στο κι τιστρόφως Δηλδή η g είι η τίστροφη διδικσί της f Γι το λόγο υτό η g λέγετι τίστροφη συάρτηση της f κι συμολίζετι με f Επομέως έχουμε f f Οπότε f f, A κι f f, f A Ν διτυπώσετε το κριτήριο πρεμολής Έστω οι συρτήσεις f, g, h Α h f κοτά στο κι h, Τότε f Τι οομάζουμε κολουθί Ακολουθί οομάζετι κάθε πργμτική συάρτηση * : 8 Έστω τώρ το πολυώυμο Τότε P P P κι Έστω τώρ το πολυώυμο P κι Σύμφω με τις ιδιότητες έχουμε: P P Επομέως, P P Απόδειξη: 9 Έστω η ρητή συάρτηση κι με Q Τότε, P P P f Q Q Q P f, όπου P, Q πολυώυμ του Q P P Q Q, εφόσο Q ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Σελίδ 5
Πότε μι συάρτηση f λέμε ότι είι συεχής στο o Έστω μι συάρτηση f κι έ σημείο του πεδίου ορισμού της Θ λέμε ότι η f είι συεχής στο, ότ f f 3 Πότε μι συάρτηση f λέμε ότι είι συεχής Μί συάρτηση f που είι συεχής σε όλ τ σημεί του πεδίου ορισμού της, θ λέγετι, πλά, συεχής συάρτηση 4 Πότε μι συάρτηση είι συεχής σε έ οικτό διάστημ, Μι συάρτηση f θ λέμε ότι είι συεχής σε έ οικτό διάστημ,, ότ είι συεχής σε κάθε σημείο του, 5 Πότε μι συάρτηση είι συεχής σε έ κλειστό διάστημ [, ] Μι συάρτηση f θ λέμε ότι είι συεχής σε έ κλειστό διάστημ [, ], ότ είι συεχής σε κάθε σημείο του, κι επιπλέο f f κι f f 6 Ν διτυπώσετε το θεώρημ του Bolzano Έστω μι συάρτηση f, ορισμέη σε έ κλειστό διάστημ [, ] Α: η f είι συεχής στο [, ] κι, επιπλέο, ισχύει f f, τότε υπάρχει έ, τουλάχιστο,, τέτοιο, ώστε f Δηλδή, υπάρχει μι, τουλάχιστο, ρίζ της εξίσωσης f στο οικτό διάστημ, 7 Ν εξηγήσετε γεωμετρικά το Θ Bolzano Στο διπλό σχήμ έχουμε τη γρφική πράστση μις συεχούς συάρτησης f στο [, ] Επειδή τ σημεί A, f κι B, f ρίσκοτι εκτέρωθε του άξο, η γρφική πράστση της f τέμει το άξο σε έ τουλάχιστο σημείο f fa a Α,f B,f ΘΕΩΡΗΜΑ εδιάμεσω τιμώ Έστω μι συάρτηση f, η οποί είι ορισμέη σε έ κλειστό διάστημ [, ] Α: η f είι συεχής στο [, ] κι f f τότε, γι κάθε ριθμό η μετξύ τω f κι f υπάρχει ές, τουλάχιστο, τέτοιος, ώστε f η ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Σελίδ 6
Ας υποθέσουμε ότι f f Τότε θ ισχύει f η f Σχ 5 Α θεωρήσουμε τη συάρτηση g f η, [, ], πρτηρούμε ότι: η g είι συεχής στο [, ] κι g, φού g f η κι g f η Επομέως, σύμφω με το θεώρημ του Bolzano, υπάρχει, τέτοιο, ώστε f η g, οπότε f η f η fa a Α,f 5 B,f =η 8 Ν διτυπώσετε το θεώρημ μέγιστης κι ελάχιστης τιμής Α f είι συεχής συάρτηση στο [, ], τότε η f πίρει στο [, ] μι μέγιστη τιμή Μ κι μι ελάχιστη τιμή m Δηλδή, υπάρχου [, ] τέτοι, ώστε, m f κι, M f, ισχύει m f M, γι κάθε [, ] ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 9 Τι ορίζουμε ως εφπτομέη της C f στο σημείο της Α; f f Έστω f μι συάρτηση κι A, f έ σημείο της C f Α υπάρχει το κι είι ές πργμτικός ριθμός λ, τότε ορίζουμε ως εφπτομέη της C f στο σημείο της Α, τη ευθεί ε που διέρχετι πό το Α κι έχει συτελεστή διεύθυσης λ Επομέως, η εξίσωση της εφπτομέης στο σημείο A, f είι f λ, όπου λ f f Πότε μι συάρτηση f λέμε ότι είι πργωγίσιμη σ έ σημείο o του πεδίου ορισμού της Μι συάρτηση f λέμε ότι είι πργωγίσιμη σ έ σημείο του πεδίου ορισμού της, υπάρχει το f f κι είι πργμτικός ριθμός Το όριο υτό οομάζετι πράγωγος της f στο κι συμολίζετι με f Δηλδή: f f f ΘΕΩΡΗΜΑ Α μι συάρτηση f είι πργωγίσιμη σ έ σημείο, τότε είι κι συεχής στο σημείο υτό f f Γι έχουμε f f, Οπότε f f [f f ] ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Σελίδ 7
ΘΕΩΡΙΑ f f f, φού η f είι πργωγίσιμη στο Επομέως, f f, δηλδή η f είι συεχής στο Πότε μι συάρτηση f είι πργωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της Α f ; H f είι πργωγίσιμη στο Α ή, πλά, πργωγίσιμη, ότ είι πργωγίσιμη σε κάθε σημείο o Af Πότε μι συάρτηση f είι πργωγίσιμη σε έ οικτό διάστημ, ; Η f είι πργωγίσιμη σε έ οικτό διάστημ, του πεδίου ορισμού της, ότ είι πργωγίσιμη σε κάθε σημείο 3 Πότε μι συάρτηση f είι πργωγίσιμη σε έ κλειστό διάστημ [, ] ; Η f είι πργωγίσιμη σε έ κλειστό διάστημ [, ] του πεδίου ορισμού της, ότ είι πργωγίσιμη στο, κι επιπλέο ισχύει f f f f κι 4 Τι οομάζετι πρώτη πράγωγος της f ; Έστω f μι συάρτηση με πεδίο ορισμού Α κι A τo σύολο τω σημείω του Α στ οποί υτή είι πργωγίσιμη Ατιστοιχίζοτς κάθε A στο f, ορίζουμε τη συάρτηση f : A R f, η οποί οομάζετι πρώτη πράγωγος της f ή πλά πράγωγος της f H πρώτη πράγωγος της f συμολίζετι κι με df που διάζετι τε εφ προς τε χι d 5 Ti οομάζετι δεύτερη πράγωγος της f ; Α υποθέσουμε ότι το Α είι διάστημ ή έωση διστημάτω, τότε η πράγωγος της f, υπάρχει, λέγετι δεύτερη πράγωγος της f κι συμολίζετι με f 6 Ti οομάζετι ιοστή πράγωγος της f ; Επγωγικά ορίζετι η ιοστή πράγωγος της f, με 3, κι συμολίζετι με f Δηλδή f [ f ], 3 Πράγωγος μερικώ σικώ συρτήσεω Εστω η στθερή συάρτηση f c, c Η συάρτηση f είι πργωγίσιμη στο κι ισχύει f, δηλδή c Πράγμτι, είι έ σημείο του, τότε γι f f ισχύει: c c Επομέως, ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Σελίδ 8
δηλδή c f ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Σελίδ 9 f 3 Έστω η συάρτηση f Η συάρτηση f είι πργωγίσιμη στο κι ισχύει f, δηλδή Πράγμτι, είι έ σημείο του, τότε γι ισχύει: f f Επομέως, f f, δηλδή 4 Έστω η συάρτηση f, {,} Η συάρτηση f είι πργωγίσιμη στο κι ισχύει f, δηλδή, Πράγμτι, είι έ σημείο του, τότε γι ισχύει: οπότε f f f f δηλδή, 5 Έστω η συάρτηση f Η συάρτηση f είι πργωγίσιμη στο, κι ισχύει f, δηλδή Πράγμτι, είι έ σημείο του,, τότε γι ισχύει: f f Οπότε H f f, δηλδή f δε είι πργωγίσιμη στο 6 ΘΕΩΡΗΜΑ Πράγωγος θροίσμτος Α οι συρτήσεις f, g είι πργωγίσιμες στο, τότε η συάρτηση f g είι πργωγίσιμη στο κι ισχύει: f g f g Γι, ισχύει: f f Επειδή οι συρτήσεις f f f f f, g είι πργωγίσιμες στο, έχουμε:,
f f f f f g, Δηλδή f g f g 7 Έστω η συάρτηση f, κι ισχύει f, δηλδή * Η συάρτηση f είι πργωγίσιμη στο * Πράγμτι, γι κάθε * έχουμε: Είδμε, όμως, πιο πρι ότι, γι κάθε φυσικό Επομέως, κ {,}, κ κ τότε κ 8 Έστω η συάρτηση f εφ Η συάρτηση f είι πργωγίσιμη στο { συ } κι ισχύει Πράγμτι, γι κάθε έχουμε: εφ ημ συ ημ συ ημσυ, δηλδή συ f εφ συ συ συ συ συ ημημ συ συ ημ συ 9 Η συάρτηση f, είι πργωγίσιμη στο, κι ισχύει f Πράγμτι,, δηλδή ln e κι θέσουμε u ln, τότε έχουμε u u ln e e u e u e Επομέως, Η συάρτηση f, είι πργωγίσιμη στο κι ισχύει f ln, δηλδή Πράγμτι, Η συάρτηση f ln, e ln κι θέσουμε ln u u ln, τότε έχουμε e Επομέως, u u ln e e u e ln ln * είι πργωγίσιμη στο * κι ισχύει ln Πράγμτι, τότε ln ln, εώ, τότε ln ln, οπότε, θέσουμε ln κι u, έχουμε ln u Επομέως, ln u u κι άρ ln u 7 Α δύο μετλητά μεγέθη, συδέοτι με τη σχέση =f, τι οομάζουμε ρυθμό μετολής του ως προς το στο σημείο ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Σελίδ
Α δύο μετλητά μεγέθη, συδέοτι με τη σχέση f, ότ f είι μι συάρτηση πργωγίσιμη στο, τότε οομάζουμε ρυθμό μετολής του ως προς το στο σημείο τη πράγωγο f 8 Ν διτυπώσετε το θεώρημ του Rolle κι το εξηγήσετε γεωμετρικά Α μι συάρτηση f είι: συεχής στο κλειστό διάστημ [, ] πργωγίσιμη στο οικτό διάστημ, κι f f τότε υπάρχει έ, τουλάχιστο, ξ, τέτοιο, ώστε: f ξ Γεωμετρικά, υτό σημίει ότι υπάρχει έ, τουλάχιστο, ξ, τέτοιο, ώστε η εφπτομέη της C στο M ξ, f ξ είι πράλληλη στο f άξο τω Μξ,fξ Α,f ξ ξ Β,f 9 Ν διτυπώσετε το θεώρημ Μέσης Τιμής κι το εξηγήσετε γεωμετρικά Α μι συάρτηση f είι: συεχής στο κλειστό διάστημ [, ] κι πργωγίσιμη στο οικτό διάστημ, τότε υπάρχει έ, τουλάχιστο, ξ, τέτοιο, ώστε: f f f ξ Γεωμετρικά, υτό σημίει ότι υπάρχει έ, τουλάχιστο, ξ, τέτοιο, ώστε η εφπτομέη της γρφικής πράστσης της f στο σημείο M ξ, f ξ είι πράλληλη της ευθείς ΑΒ Mξ,fξ Aa,fa Β,f Ο a ξ ξ ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω μι συάρτηση f ορισμέη σε έ διάστημ Δ Α η f είι συεχής στο Δ κι f γι κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε η f είι στθερή σε όλο το διάστημ Δ Αρκεί ποδείξουμε ότι γι οποιδήποτε Α, τότε προφώς f f, Δ ισχύει f f Πράγμτι ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Σελίδ
Α, τότε στο διάστημ [, ] η f ικοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήμτος μέσης τιμής Επομέως, υπάρχει ξ, τέτοιο, ώστε f f f ξ Επειδή το ξ είι εσωτερικό σημείο του Δ, ισχύει f ξ,οπότε, λόγω της, είι f f Α, τότε ομοίως ποδεικύετι ότι f f Σε όλες, λοιπό, τις περιπτώσεις είι f f 3 ΠΟΡΙΣΜΑ Έστω δυο συρτήσεις f, g ορισμέες σε έ διάστημ Δ Α οι f, g είι συεχείς στο Δ κι f g γι κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε υπάρχει στθερά c τέτοι, ώστε γι κάθε Δ ισχύει: f c Η συάρτηση f g είι συεχής στο Δ κι γι κάθε εσωτερικό σημείο Δ ισχύει f g f g Επομέως, σύμφω με το πρπάω θεώρημ, η συάρτηση f g είι στθερή στο Δ Άρ, υπάρχει στθερά C τέτοι, ώστε γι κάθε Δ ισχύει f c, οπότε f c 4 ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω μι συάρτηση f, η οποί είι σ υ ε χ ή ς σε έ διάστημ Δ Α f σε κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε η f είι γησίως ύξουσ σε όλο το Δ Α f σε κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε η f είι γησίως φθίουσ σε όλο το Δ Αποδεικύουμε το θεώρημ στη περίπτωση που είι f Έστω, Δ με Θ δείξουμε ότι f f Πράγμτι, στο διάστημ [, ] η f ικοποιεί τις προϋποθέσεις του ΘΜΤ Επομέως, υπάρχει ξ, τέτοιο, ώστε f f f ξ, οπότε έχουμε f f f ξ Επειδή f ξ κι, έχουμε f f, οπότε f f Στη περίπτωση που είι f εργζόμστε λόγως 3 Πότε λέμε ότι μι συάρτηση f, με πεδίο ορισμού Α, προυσιάζει στο o A τοπικό μέγιστο; Μι συάρτηση f, με πεδίο ορισμού Α, θ λέμε ότι προυσιάζει στο A τοπικό μέγιστο, ότ υπάρχει δ, τέτοιο ώστε f f γι κάθε A δ, δ Το λέγετι θέση ή σημείο τοπικού μεγίστου, εώ το f τοπικό μέγιστο της f A η ισότητ f f ισχύει γι κάθε A, τότε, η f προυσιάζει στο A ολικό μέγιστο ή πλά μέγιστο, το f =+c = 5 ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Σελίδ
3 Πότε λέμε ότι μι συάρτηση f, με πεδίο ορισμού Α, προυσιάζει στο o A τοπικό ελάχιστο; Μί συάρτηση f, με πεδίο ορισμού Α, θ λέμε ότι προυσιάζει στο A τοπικό ελάχιστο, ότ υπάρχει δ, τέτοιο ώστε f f, γι κάθε A δ, δ Το λέγετι θέση ή σημείο τοπικού ελχίστου, εώ το f τοπικό ελάχιστο της f 5 ΘΕΩΡΗΜΑ Fermat Έστω μι συάρτηση f ορισμέη σ έ διάστημ Δ κι έ εσωτερικό σημείο του Δ Α η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είι πργωγίσιμη στο σημείο υτό, τότε: f Ας υποθέσουμε ότι η f προυσιάζει στο τοπικό μέγιστο Επειδή το είι εσωτερικό σημείο του Δ f κι η f προυσιάζει σ υτό τοπικό μέγιστο, υπάρχει δ τέτοιο, ώστε δ, δ Δ κι f f, γι κάθε δ, δ Επειδή, επιπλέο, η f είι πργωγίσιμη στο, ισχύει f f f f f Επομέως, f f δ,, τότε, λόγω της, θ είι, οπότε θ έχουμε f f f f, δ, τότε, λόγω της, θ είι, οπότε θ έχουμε f f Έτσι, πό τις κι 3 έχουμε f Η πόδειξη γι τοπικό ελάχιστο είι άλογη f f δ +δ 3 6 3 Ποιες είι οι πιθές θέσεις τω τοπικώ κροτάτω μις συάρτησης f σ έ διάστημ Δ; Οι π ι θ έ ς θ έ σ ε ι ς τ ω τ ο π ι κ ώ κ ρ ο τ ά τ ω μις συάρτησης f σ έ διάστημ Δ είι: Τ εσωτερικά σημεί του Δ στ οποί η πράγωγος της f μηδείζετι Τ εσωτερικά σημεί του Δ στ οποί η f δε πργωγίζετι 3 Τ άκρ του Δ ήκου στο πεδίο ορισμού της Τ ε σ ω τ ε ρ ι κ ά σημεί του Δ στ οποί η f δε πργωγίζετι ή η πράγωγός της είι ίση με το μηδέ, λέγοτι κρίσιμ σημεί της f στο διάστημ Δ ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Σελίδ 3
6 ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω μι συάρτηση f πργωγίσιμη σ έ διάστημ,, με εξίρεση ίσως έ σημείο του, στο οποίο όμως η f είι συεχής i Α f στο, κι f στο,, τότε το f είι τοπικό μέγιστο της f Σχ ii Α f στο, κι f στο,, τότε το f είι τοπικό ελάχιστο της f Σχ iii A η f διτηρεί πρόσημο στο,,, τότε το f δε είι τοπικό κρόττο κι η f είι γησίως μοότοη στο, Σχ γ i Eπειδή f γι κάθε, κι η f είι συεχής στο, η f είι γησίως ύξουσ στο, ] Έτσι έχουμε f f, γι κάθε, ] Επειδή f γι κάθε, κι η f είι συεχής στο, η f είι γησίως φθίουσ στο [, Έτσι έχουμε: f f, γι κάθε [, f > f < f > f < a f f a a Επομέως, λόγω τω κι, ισχύει: f f, γι κάθε,, που σημίει ότι το f είι μέγιστο της f στο, κι άρ τοπικό μέγιστο υτής ii Εργζόμστε λόγως f < f > f < f > iii Έστω ότι a f, γι κάθε,, f > a f > γ f > f > a ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Σελίδ 4 a Επειδή η f είι συεχής στο θ είι γησίως ύξουσ σε κάθε έ πό τ διστήμτ, ] κι [, Επομέως, γι ισχύει f f f Άρ το f δε είι τοπικό κρόττο της f Θ δείξουμε, τώρ, ότι η f είι γησίως ύξουσ στο, Πράγμτι, έστω,, με Α,, ], επειδή η f είι γησίως ύξουσ στο, ], θ ισχύει f f Α [,, επειδή η f είι γησίως ύξουσ στο [,, θ ισχύει f f,
ΘΕΩΡΙΑ Τέλος,, τότε όπως είδμε f f f Επομέως, σε όλες τις περιπτώσεις ισχύει f f, οπότε η f είι γησίως ύξουσ στο, Ομοίως, f γι κάθε,, 33 Πότε θ λέμε ότι η f στρέφει τ κοίλ προς τ άω κι πότε προς τ κάτω; Έστω μί συάρτηση f σ υ ε χ ή ς σ έ διάστημ Δ κι π ρ γ ω γ ί σ ι μ η στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ Θ λέμε ότι: Η συάρτηση f στρέφει τ κοίλ προς τ άω ή είι κυρτή στο Δ, η f είι γησίως ύξουσ στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ Η συάρτηση f στρέφει τ κοίλ προς τ κάτω ή είι κοίλη στο Δ, η f είι γησίως φθίουσ στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ 34 Πότε το σημείο A, f οομάζετι σημείο κμπής της γρφικής πράστσης της f Έστω μι συάρτηση f πργωγίσιμη σ έ διάστημ,, με εξίρεση ίσως έ σημείο του Α η f είι κυρτή στο, κι κοίλη στο,, ή τιστρόφως, κι η C f έχει εφπτομέη στο σημείο A, f, τότε το σημείο A, f οομάζετι σημείο κμπής της γρφικής πράστσης της f 35 Πότε η ευθεί =ο λέγετι κτκόρυφη σύμπτωτη της Cf ; Α έ τουλάχιστο πό τ όρι f, f είι ή, τότε η ευθεί λέγετι κτκόρυφη σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της f 36 Πότε η ευθεί λέγετι οριζότι σύμπτωτη της Cf στο + ή στο - ; Α f τιστοίχως f, τότε η ευθεί σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της f στο 37 Πότε η ευθεί f στο + ; Η ευθεί τιστοίχως στο λέγετι οριζότι λέγετι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της λ λέγετι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της f στο [ f λ ], [ f λ ] τιστοίχως στο,, ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Σελίδ 5
38 Ν διτυπώσετε τους κόες de l Hospital ΘΕΩΡΗΜΑ ο μορφή Α f, ή άπειρο, τότε: f ΘΕΩΡΗΜΑ ο μορφή, {, } κι υπάρχει το f g f g πεπερσμέο Α f, πεπερσμέο ή άπειρο, τότε:, {, } κι υπάρχει το f f g f g ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 39 Έστω f μι ορισμέη συάρτηση σε έ διάστημ Δ τι οομάζετι ρχική συάρτηση ή πράγουσ της f στο Δ Έστω f μι συάρτηση ορισμέη σε έ διάστημ Δ Αρχική συάρτηση ή πράγουσ της f στο Δ οομάζετι κάθε συάρτηση F που είι πργωγίσιμη στο Δ κι ισχύει F f, γι κάθε Δ 7 ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω f μι συάρτηση ορισμέη σε έ διάστημ Δ Α F είι μι πράγουσ της f στο Δ, τότε όλες οι συρτήσεις της μορφής G = F + c, c είι πράγουσες της f στο Δ κι κάθε άλλη πράγουσ G της f στο Δ πίρει τη μορφή G F c, c Κάθε συάρτηση της μορφής G F c, όπου c f στο Δ, φού G F c F f, γι κάθε Δ Έστω G είι μι άλλη πράγουσ της f στο Δ Τότε γι κάθε Δ ισχύου F f κι G f, οπότε G F, γι κάθε Δ Άρ, σύμφω με το πόρισμ της 6, υπάρχει στθερά c τέτοι, ώστε G F c, γι κάθε Δ ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Σελίδ 6
4 Ποιος είι ο ορισμός εμδού Έστω f μι συεχής συάρτηση σε έ διάστημ [, ], με f γι κάθε [, ] κι Ω το χωρίο που ορίζετι πό τη γρφική πράστση της f, το άξο τω κι τις ευθείες, Γι ορίσουμε το εμδό του χωρίου Ω Σχ εργζόμστε ως εξής = =f fξ Ω fξ fξ fξ k ξ k = ξ k- ξ k - ξ Δ a v Χωρίζουμε το διάστημ [, ] σε ισομήκη υποδιστήμτ, μήκους Δ, με τ σημεί Σε κάθε υποδιάστημ [ κ, κ ] επιλέγουμε υθίρετ έ σημείο ξ κ κι σχημτίζουμε τ ορθογώι που έχου άση ορθογωίω υτώ είι Δ κι ύψη τ f ξ Το άθροισμ τω εμδώ τω S f ξ Δ f ξ Δ f ξ Δ [ f ξ f ξ ] Δ κ Υπολογίζουμε το S Αποδεικύετι ότι το σημείω S υπάρχει στο κι είι εξάρτητο πό τη επιλογή τω ξ κ Το όριο υτό οομάζετι εμδό του επιπέδου χωρίου Ω κι συμολίζετι με Ε Ω Είι φερό ότι Ε Ω 4 Τι οομάζουμε ορισμέο ολοκλήρωμ της συεχούς συάρτησης f πό το στο ; Έστω μι συάρτηση f σ υ ε χ ή ς στο [, ] Με τ σημεί a= =f χωρίζουμε το διάστημ [, ] σε ισομήκη υποδιστήμτ μήκους ξ k ξ v- ξ v v = Δ Στη συέχει επιλέγουμε υθίρετ έ ξ, ], γι κάθε κ {,,, }, κι σχημτίζουμε το άθροισμ κ ξ [ κ κ S f ξ Δ f ξ Δ f ξ κ Δ f ξ Δ το οποίο συμολίζετι, σύτομ, ως εξής: Αποδεικύετι ότι, S κ f ξ Δ κ ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Σελίδ 7
Το όριο του θροίσμτος S, δηλδή το f ξ Δ υπάρχει στο κι είι κ εξάρτητο πό τη επιλογή τω εδιάμεσω σημείω κ ξ κ Οομάζετι ορισμέο ολοκλήρωμ της συεχούς συάρτησης f πό το στο, το όριο f ξ Δ, συμολίζετι με κ κ f d κι διάζετι ολοκλήρωμ της f πό το στο Δηλδή, f d κ f ξ Δ κ 8 ΘΕΩΡΗΜΑ Α f είι μι συεχής συάρτηση σε έ διάστημ Δ κι είι έ σημείο του Δ, τότε η συάρτηση F f t dt, Δ, είι μι πράγουσ της f στο Δ Δηλδή ισχύει: f a t dt f, γι κάθε Δ ΣΧΟΛΙA Εποπτικά το συμπέρσμ του πρπάω θεωρήμτος προκύπτει Σχ 3 ως εξής: =f 3 h F h F f t dt Εμδό του χωρίου Ω f h, γι μικρά h f Ω +h Άρ, γι μικρά h είι F h h F f, F h F οπότε F f h h 9 ΘΕΩΡΗΜΑ Θεμελιώδες θεώρημ του ολοκληρωτικού λογισμού Έστω f μι συεχής συάρτηση σ έ διάστημ [, ] Α G είι μι πράγουσ της f στο [, ], τότε f t dt G G Σύμφω με το προηγούμεο θεώρημ, η συάρτηση F f t dt είι μι πράγουσ της f στο [, ] Επειδή κι η G είι μι πράγουσ της f στο [, ], θ υπάρχει c τέτοιο, ώστε G F c Από τη, γι, έχουμε Επομέως, G F G, οπότε, γι, έχουμε G F c f t dt c c, οπότε c G G F G f t dt G ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Σελίδ 8
κι άρ f t dt G G 3 Α f κι γ τι δηλώει γεωμετρικά η ιδιότητ: Α η f είι σ υ ε χ ή ς σε διάστημ Δ κι,, γ Δ, τότε ισχύει γ f d f d f d γ ΑΠΑΝΤΗΣΗ Η πρπάω ιδιότητ δηλώει ότι: Ε Ω Ε Ω Ε φού Ε Ω f d, γ Ε Ω f d γ Ω =f 4 κι Ε Ω f d Ω Ω γ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ Ν ποδείξετε ότι το εμδό του χωρίου που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις τω συρτήσεω f κι g, συεχείς στο διάστημ [, ] με f είι E Ω f d Έστω, τώρ, δυο συρτήσεις f κι g, συεχείς στο διάστημ [, ] με f γι κάθε [, ] κι Ω το χωρίο που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις τω f, g κι τις ευθείες κι Σχ 5 =f =f 5 Ω = = Ω Ω γ Πρτηρούμε ότι Ω Ε Ω Ε Ω f d d f d Ε Επομέως, Ο τύπος ρέθηκε με τη προϋπόθεση ότι: E Ω f d i f γι κάθε [, ] κι ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Σελίδ 9
ii οι f, g είι μη ρητικές στο [, ] Θ ποδείξουμε, τώρ, ότι ο τύπος ισχύει κι χωρίς τη υπόθεση ii Πράγμτι, επειδή οι συρτήσεις f, g είι συεχείς στο [, ], θ υπάρχει ριθμός c τέτοιος ώστε f c c, γι κάθε [, ] Είι φερό ότι το χωρίο Ω Σχ 6 έχει το ίδιο εμδό με το χωρίο Ω Σχ 6 =f+c 6 Ω =f Ω =+c = Επομέως, σύμφω με το τύπο, έχουμε: Ε Ω Ε Ω [ f c c] d f d Άρ, E Ω f d 3 ΘΕΩΡΗΜΑ Το εμδό του χωρίου Ω που περικλείετι πό το άξο, τη γρφική πράστση μις συάρτησης g, με g γι κάθε [, ] κι τις ευθείες κι E Ω d Επειδή ο άξος είι η γρφική πράστση της συάρτησης f, ζητούμε το εμδό του χωρίου που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις τω συρτήσεω f κι g, συεχείς στο διάστημ [, ] με f οπότε έχουμε Ω 7 E Ω f d [ g ] d d = Επομέως, γι μι συάρτηση g ισχύει g γι κάθε [, ], τότε E Ω d ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Σελίδ
33ΘΕΩΡΗΜΑ Ότ η διφορά f δε διτηρεί στθερό πρόσημο στο [, ],τότε E Ω f d Ότ η διφορά f δε διτηρεί στθερό πρόσημο στο [, ], όπως στο Σχήμ 8, τότε το εμδό του χωρίου Ω που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις τω f, g κι τις ευθείες κι είι ίσο με το άθροισμ τω εμδώ τω Ω γ = Ω δ =f Ω 3 8 χωρίω Ω, Ω κι Ω 3 Δηλδή, Ε Ω Ε Ω Ε Ω Ε Ω3 γ f d γ δ g f d f d δ γ γ δ f d f d f d δ f d Επομέως, E Ω f d ΣΧΟΛΙΟ Σύμφω με τ πρπάω το f d είι ίσο με το άθροισμ τω εμδώ τω χωρίω που ρίσκοτι πάω πό το άξο μείο το άθροισμ τω εμδώ τω χωρίω που ρίσκοτι κάτω πό το άξο Σχ 8 Ο 8 + + a ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Σελίδ
Περιέχει τις ποδείξεις τω θεωρημάτω κι τους ορισμούς πό το σχολικό ιλίο : Μθημτικά Θετικής κι Τεχολογικής Κτεύθυσης Γ τάξης Ειίου Λυκείου ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Σελίδ