Τίτλς Μαθήματς: Γενική Φυσική (Ηλεκτρμαγνητισμός) νότητα: ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS Διδάσκων: πίκυρς Καθηγητής Τμήμα: Μηχανικών Ηλεκτρνικών Υπλγιστών και Πληρφρικής
ΚΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS 3.1 Ηλεκτρική ρή Όπως είδαμε στ πρηγύμεν κεφάλαι, υπλγισμός της έντασης τυ ηλεκτρικύ πεδίυ μιας κατανμής φρτίυ στ χώρ μπρεί να γίνει με τν υπλγισμό ενός αθρίσματς (κατανμή σημειακών φρτίων) ή ενός λκληρώματς (συνεχή κατανμή φρτίυ). Ο υπλγισμός αυτός βασίζεται στ νόμ τυ Coulom και Kal Fiedich Gauss (1777-1855) εκφράζεται με τ λκλήρωμα της εξ..6, πυ συχνά όμως απδεικνύεται αρκετά δύσκλη υπόθεση. Ένας εναλλακτικός τρόπς υπλγισμύ τυ πεδίυ για μια συνεχή κατανμή φρτίυ είναι νόμς τυ Gauss πυ απρρέει από τν νόμ τυ Coulom. O νόμς τυ Gauss, πίς φέρει τ όνμα τυ διάσημυ Γερμανύ φυσικύ, μαθηματικύ και αστρνόμυ Kal Fiedich Gauss (1777-1855) πίς και τν εισήγαγε, είναι πλύ πι εύχρηστς και πρτιμάται αντί εκείνυ τυ Coulom για τν υπλγισμό τυ πεδίυ E πυ δημιυργείται από συμμετρικές κατανμές ηλεκτρικών φρτίων. Πριν όμως περιγράψυμε τ νόμ, πρέπει να ρίσυμε την φυσική πσότητα της ηλεκτρικής ρής, η πία είναι ανάλγη τυ αριθμύ των δυναμικών γραμμών πυ διαρρέυν μια υπθετική επιφάνεια ΔS. άν υπθέσυμε ότι έχυμε ένα μγενές ηλεκτρικό πεδί (σταθερή πυκνότητα δυναμικών γραμμών στ χώρ), αριθμός των γραμμών πυ διαπερνύν μια υπθετική επιφάνεια είναι ανάλγς πρς τ μέτρ τυ πεδίυ. Η ηλεκτρική ρή Φ ρίζεται τ γινόμεν τυ πεδίυ με την επιφάνεια ΔS. Σ αυτό τ σημεί πρέπει να τνίσυμε ότι αριθμός των δυναμικών γραμμών τυ πεδίυ πυ διαπερνύν την επιφάνεια εξαρτάται από τν πρσανατλισμό της επιφάνειας ως πρς τ διάνυσμα. Πράγματι για κάθετη επιφάνεια στ αριθμός των διαρρεόντων δυναμικών γραμμών από την επιφάνεια είναι
μέγιστς (μέγιστη ρή), ενώ για παράλληλη επιφάνεια είναι μηδενικός (μηδενική ρή). Η πι πάνω θεώρηση εκφράζεται μαθηματικά με τ εσωτερικό γινόμεν Φ.ΔS (3.1) όπυ η επιφάνεια εκφράζεται με διάνυσμα μέτρυ ΔS και κατεύθυνση κάθετη στην επιφάνεια πυ δηλώνεται από τ μναδιαί διάνυσμα n, ώστε να ισχύει ΔS ΔSn (3.) Άρα τ μέτρ της ρής είναι Φ EΔS cos (3.3) E όπυ θ η γωνία μεταξύ πεδίυ και επιφάνειας (μεταξύ και n) όπως φαίνεται στ σχ. 3.1. ΔS n θ Σχήμα 3.1 πίπεδη επιφάνεια ΔS η πία διαρρέεται από ηλεκτρικό πεδί. Ο πρσανατλισμός μεταξύ πεδίυ και επιφάνειας ρίζεται από την γωνία θ. άν τ μέτρ της επιφάνειας τείνει να γίνει πλύ μικρό, δηλαδή να έχυμε ένα στιχειώδες εμβαδόν τότε ΔS ds, πότε η στιχειώδης ρή η πία περνά από τ ds είναι dφ ds cos (3.4) Η συνλική ρή Φ η πία διαρρέει την επιφάνεια δίνεται από την λκλήρωση της εξ. 3.4, δηλαδή Φ dφ ds cos Φ d.ds (3.5) Τ λκλήρωμα της ρής νμάζεται επιφανειακό λκλήρωμα γιατί η λκλήρωση γίνεται πάνω σε μια επιφάνεια. Παράδειγμα 3.1 Ηλεκτρική ρή Έστω ένα ρθγώνι παραλληλόγραμμ με πλευρές α=cm και =4cm μέσα σε ένα μγενές S n θ Σχήμα 3. πίπεδη επιφάνεια εμβαδύ S η πία διαρρέεται από ηλεκτρικό πεδί. Ο πρσανατλισμός μεταξύ πεδίυ κι επιφάνειας ρίζεται από την γωνία θ. α
3 ηλεκτρικό πεδί =310 3 N/C με κατεύθυνση πυ σχηματίζει γωνία θ=30 με την κάθετ στην επιφάνεια τυ παραλληλόγραμμυ όπως δείχνει τ σχ. 3.. α) Υπλγίστε την ηλεκτρική ρή πυ διαρρέει την επιφάνεια. β) Πια είναι η ηλεκτρική ρή αν τ επίπεδ τυ παραλληλγράμμυ είναι κάθετ στ πεδί ; γ) Πια όταν είναι παράλληλ; Λύση α) Για την ηλεκτρική ρή γράφυμε o o Φ dφ ds cos E cos ds Φ ES cos 30 Ea cos 30 Φ 3 - - 3 10 N/C 10 m 4 10 m 0.87 Φ 0.1Nm /C β) Αν τ πεδί είναι κάθετ στ παραλληλόγραμμ η γωνία θ=0 και επμένως η ρή είναι Φ ES Φ Φ o 3 - - cos 0 3 10 N/C 10 m 4 10 m 0.4Nm /C δηλαδή είναι η μέγιστη ηλεκτρική ρή πυ μπρεί να επιτευχθεί. γ) Αν τ πεδί είναι παράλληλ με την επιφάνεια τυ παραλληλγράμμυ, τότε καμία δυναμική γραμμή δεν διαπερνά τ παραλληλόγραμμ, η γωνία θ=90 και επμένως η ρή είναι μηδενική. Φ ES Φ o cos90 0 Παράδειγμα 3. Ηλεκτρική ρή Υπλγίστε την ηλεκτρική ρή πεδίυ πυ διέρχεται δια μέσυ ενός κύβυ ακμής α με διεύθυνση παράλληλη πρς κάπια ακμή τυ, όπως φαίνεται στ σχ. 3.3. Λύση Για να βρύμε την συνλική ρή πυ διαπερνά τν κύβ θα πρέπει να υπλγίσυμε την ρή κάθε πλευράς και να πρσθέσυμε όλες τις ρές. Έτσι ισχύει ds a () ds ds (1) ds Σχήμα 3.3 Δυναμικές γραμμές μγενύς ηλεκτρικύ πεδίυ διαπερνύν κύβ ακμής a παράλληλα πρς αυτήν(παράδειγμα 3.).
4 o o o Φ EdS cos 0 EdS cos180 EdS cos 90 o o o EdS cos90 EdS cos90 EdS cos90 Φ dφ dφ dφ dφ dφ dφ dφ 1 3 4 5 6 Φ Ea Ea Φ 0 0 0 0 0 Η ρή κάθε πλευράς την πία δεν διασχίζυν ι δυναμικές γραμμές είναι μηδέν. Μόν η ρές των πλευρών (1) και () είναι μη μηδενικές γιατί ι δυναμικές γραμμές είναι κάθετες στις πλευρές αυτές. πειδή όμως ι ρές Φ 1 και Φ είναι αντίθετες μεταξύ τυς, η συνλική ηλεκτρική ρή πυ διαπερνά τν κύβ είναι μηδέν. Αυτό εξηγείται γιατί όσες δυναμικές γραμμές εισέρχνται στν κύβ τόσες και εξέρχνται. 3. Ο νόμς τυ Gauss Έχντας ρίσει την ηλεκτρική ρή μπρύμε να πρχωρήσυμε στην διατύπωση τυ νόμυ τυ Gauss, σύμφωνα με τν πί η ηλεκτρική ρή πυ διαπερνά μια πιαδήπτε κλειστή επιφάνεια είναι ανάλγη με τ συνλικό φρτί (λαμβάνντας υπ όψη και τ αλγεβρικό πρόσημ) πυ αυτή η επιφάνεια περικλείει. Στη συνέχεια θα δύμε πως μπρύμε να καταλήξυμε στη μαθηματική διατύπωση τυ νόμυ τυ Gauss ξεκινώντας από τν ρισμό τυ ηλεκτρικύ πεδίυ σημειακύ φρτίυ απόρρια τυ νόμυ τυ Coulom. Έστω λιπόν θετικό σημειακό φρτί q τ πί δημιυργεί στν κενό χώρ ηλεκτρικό πεδίυ μέτρυ 1 q E 4 (3.6) άν τώρα θεωρήσυμε μια υπθετική σφαίρα με ακτίνα R στ κέντρ της πίας βρίσκεται τ φρτί, η επιφάνεια της σφαίρας περικλείει συνλικό φρτί q. Σύμφωνα με την εξ. 3.5 η ηλεκτρική ρή πυ διαπερνά την σφαιρική επιφάνεια είναι 1 q 1 q 1 q q (3.7) Φ ds ds 4 R Φ 4 R 4 R 4 R Η εξ. 3.7 είναι η μαθηματική έκφραση τυ νόμυ τυ Gauss και μας δίνει την αναλγία της ηλεκτρικής ρής με τ φρτί πυ περικλείει η κλειστή επιφάνεια (επιφάνεια Gauss ή
5 αλλιώς γκαυσιανή επιφάνεια). Η αναλγία εκφράζεται μέσω τυ αντιστρόφυ της διηλεκτρικής σταθεράς τυ μέσυ μέσα στ πί βρίσκεται τ φρτί. Βάση της 3.7, νόμς τυ Gauss διατυπώνεται με την εξίσωση q περ E. ds (3.8) ε Πρέπει να σημειώσυμε ρισμένες παρατηρήσεις για την εξ. 3.8. Ο κύκλς στ σύμβλ τυ λκληρώματς δηλώνει ότι η λκλήρωση γίνεται πάνω σε μια κλειστή επιφάνεια γύρω από τ φρτί. πίσης τ εσωτερικό γινόμεν στ λκλήρωμα δηλώνει ότι στην υσία λκληρώνυμε την κάθετη συνιστώσα E σε όλη την επιφάνεια, μιας και η ριζόντια συνιστώσα δίνει εσωτερικό γινόμεν μηδέν (σχ. 3.1). Η διηλεκτρική σταθερά είναι ε όταν τ φρτί είναι στ κενό. Σε διαφρετική περίπτωση θα πρέπει να γνωρίζυμε την διηλεκτρική σταθερά τυ μέσυ μέσα στ πί βρίσκεται τ φρτί. Τ πεδί έχει κατεύθυνση πρς τα «έξω» της επιφάνειας όταν τ φρτί είναι θετικό, γιατί ι δυναμικές γραμμές απμακρύννται από τ φρτί. Αν τ φρτί είναι αρνητικό, τότε πεδί και δυναμικές γραμμές κατευθύννται πρς τ φρτί, δηλαδή η E είναι σε αντίθετη κατεύθυνση από τ διάνυσμα ΔS της επιφάνειας, πότε η ρή είναι αρνητική. Πρέπει να τνισθεί ότι νόμς τυ Gauss (εξ. 3.8) ισχύει για πιαδήπτε κλειστή επιφάνεια ανεξαρτήτυ μεγέθυς και σχήματς γύρω από πιαδήπτε κατανμή φρτίυ. Μην ξεχνύμε ότι η επιφάνεια Gauss είναι συχνά μια φανταστική (μη πραγματική) επιφάνεια και η επιλγή της γίνεται σύμφωνα με την συμμετρία τυ φρτίυ πυ περικλείει. Στη συνέχεια θα δύμε πως επιλέγντας μια κατάλληλη γκαυσιανή επιφάνεια μπρύμε να υπλγίσυμε ηλεκτρικά πεδία διαφόρων συμμετρικών κατανμών φρτίυ. Τέλς πρέπει να γνωρίζυμε ότι νόμς τυ Gauss είναι μια εναλλακτική διατύπωση τυ νόμυ τυ Coulom και είναι πλήρως ισδύναμς με αυτόν. Χρησιμπιύμε τν νόμ τυ Gauss αντί αυτύ τυ Coulom όταν τ φρτί τυ σώματς παρυσιάζει συμμετρία τέτια ώστε υπλγισμός τυ να είναι απλύστερς απ ότι με την εφαρμγή τυ νόμυ τυ Coulom (βλέπε λκλήρωμα στη σχέση.6).
6 Παράδειγμα 3.3 Ηλεκτρικό θετικό φρτί είναι μιόμρφα κατανεμημέν σε λόκληρ τν όγκ μιας μνωτικής σφαίρας με ακτίνα R. Τ λικό φρτί της σφαίρας είναι Q. Να βρεθεί τ μέτρ τυ ηλεκτρικύ πεδίυ α) σε σημεί >R και β) σε σημεί <R. γ) Παραστήστε γραφικά τ E=f(). Λύση α) Για απόσταση >R θεωρύμε την σφαιρική επιφάνεια Gauss με ακτίνα (μεγάλς διακεκμμένς κύκλς) σφαίρα τυ σχήματς 3.4. φαρμόζντας τ νόμ τυ Gauss παίρνυμε Q Q Q E. ds EdS E ds (1) o o o Τ επιφανειακό λκλήρωμα της κλειστής σφαιρικής επιφάνειας Gauss είναι τ εμβαδόν της σφαιρικής επιφάνειας ίσ με 4π. πμένως η εξ. 1 γίνεται Q Q 4 () E4 E o o Παρατηρύμε ότι για απστάσεις μεγαλύτερης της ακτίνας R, τ πεδί είναι αντιστρόφως ανάλγ τυ τετραγώνυ της απστάσεως και η κατεύθυνσή τυ είναι πάντα κάθετη στην επιφάνεια της σφαίρας Gauss με φρά πρς τ άπειρ μιας και τ φρτί της σφαίρας είναι θετικό (βλέπε σχ. 3.4). Ακλυθεί συνεπώς τις δυναμικές γραμμές τυ πεδίυ πυ δημιυργεί ένα σημειακό θετικό φρτί, μιας και η συμμετρία σφαίρας και σημείυ στ χώρ είναι πανμιότυπες. β) Για απόσταση <R, δηλαδή για σημεί στ εσωτερικό της σφαίρας, θεωρύμε σφαιρική επιφάνεια Gauss (μικρός διακεκμμένς κύκλς) και εφαρμόζυμε τν νόμ τυ Gauss παίρνντας q περ E. ds (3) o Σχήμα 3.4. Μνωτική σφαίρα φρτίυ Q και ακτίνας R (παράδειγμα 3.3). R
7 όπυ q περ είναι τ ηλεκτρικό φρτί πυ περικλείει η επιφάνεια Gauss. Γνωρίζυμε ότι τ φρτί Q κατανέμεται μιόμρφα στν όγκ της μνωτικής σφαίρας πότε η πυκνότητα φρτίυ της σφαίρας είναι Q Q 3Q 3 V 4 3 R 4 R. (4) 3 άν πλλαπλασιάσυμε την πυκνότητα φρτίυ με τν όγκ πυ περικλείει η σφαιρική επιφάνεια Gauss ακτίνας, θα βρύμε τ φρτί πυ περικλείει. Έτσι βρίσκυμε (4) 4 3 3Q 4 3 Q 3 qπερ. qπερ q 3 περ. (5) 3 4 3 3 R R Η εξ. 5 στην 3 δίνει τελικά Q Q Q Q E. ds E.dS E ds ES (6) 3 3 3 3 3 3 3 3 or or or or όπυ τ ηλεκτρικό πεδί σε απόσταση από τ κέντρ της σφαίρας, τ πί λόγω της σφαιρικής συμμετρίας είναι σταθερό και εξαρτάται μόν από τ και βγαίνει σαν σταθερά εκτός λκληρώματς, ενώ τ S είναι τ συνλικό εμβαδόν πυ παίρνυμε από την λκλήρωση τυ ds πάνω στην σφαιρική επιφάνεια Gauss και δίνεται από την επιφάνεια σφαίρας ως S = 4π (7) Η εξ. 7 στην 6 δίνει τελικά Q Q E.4 E 3 3 3 or 4 or (8) Τ πεδί είναι κάθετ σε πιδήπτε σημεί της επιφάνειας Gauss με ακτινική κατεύθυνση πρς τ άπειρ (βλέπε σχ. 3.4) διότι τ φρτί είναι θετικό. γ) Η γραφική παράσταση τυ συναρτήσει της απόστασης E Q/4πε o R R Σχήμα 3.5 Μεταβλή τυ ηλεκτρικύ πεδίυ μνωτικής σφαίρας ακτίνας R και φρτίυ Q ως συνάρτηση της απόστασης από τ κέντρ της (παράδειγμα 3.3)
8 φαίνεται στ σχ. 3.5. 3.3 Ηλεκτρικό πεδί σε αγωγό =0 Σχήμα 3.6 σωτερικό αγωγύ σε ηλεκτρστατική ισρρπία όπυ τ ηλεκτρικό πεδί είναι μηδέν ενώ όλα τα φρτία κατανέμνται στην επιφάνειά τυ. Η συσσώρευση φρτίυ είναι μεγαλύτερη στις περιχές με μικρότερη καμπυλότητα (ακίδες ή αιχμές). Όταν ένας φρτισμένς αγωγός είναι σε ηλεκτρστατική ισρρπία, δηλαδή δεν συμβαίνει κίνηση ηλεκτρικών φρτίων (ελευθέρων ηλεκτρνίων ή πών) στν αγωγό, τότε συμβαίνυν τα εξής: α) Τ ηλεκτρικό πεδί στ εσωτερικό τυ αγωγύ είναι μηδέν, =0. Αυτό είναι ένα λγικό συμπέρασμα γιατί εάν δεν ήταν μηδέν τότε τα φρτία στ εσωτερικό τυ αγωγύ, λόγω των ηλεκτρικών δυνάμεων θα κινύνταν και δεν θα υπήρχε ηλεκτρστατική ισρρπία. β) Τ φρτί τυ αγωγύ είναι συγκεντρωμέν στην επιφάνειά τυ. Αυτό είναι πρφανές γιατί κατά την φόρτιση τυ αγωγύ τα φρτία απωθύνται μεταξύ τυς και εφόσν μπρύν να κινύνται διαμέσυ τυ αγωγύ, απμακρύννται όσ είναι δυνατόν τ ένα από τ άλλ, καταλαμβάνντας τις πι απμακρυσμένες θέσεις μεταξύ τυς πυ είναι στις επιφάνειες τυ αγωγύ. Η κίνηση αυτή διαρκεί ώσπυ να επέλθεί ηλεκτρστατική ισρρπία στν αγωγό και τα φρτία να καταλάβυν τις τελικές τυς θέσεις. Σε διαφρετική περίπτωση εάν τα φρτία παρέμεναν ακίνητα στ εσωτερικό τυ αγωγύ θα υπήρχαν σημεία στ εσωτερικό τυ στα πία τ ηλεκτρικό πεδί θα ήταν μη μηδενικό γεγνός μη εφικτό σύμφωνα με τ α) Όταν εννύμε φρτί τυ αγωγύ εννύμε τα φρτία εκτός των θετικών των πυρήνων και των αρνητικών των ηλεκτρνίων (ελευθέρων και μη) πυ έχει στην υδέτερη κατάσταση. γ) Τ πεδί λίγ «έξω» από τν αγωγό είναι κάθετ στην επιφάνεια τυ αγωγύ με μέτρ, =σ/ε, όπυ σ η επιφανειακή πυκνότητα φρτίυ. Και αυτή η συνθήκη είναι εύλγη γιατί εάν τ δεν ήταν κάθετ στην επιφάνεια τυ αγωγύ θα υπήρχε μια ριζόντια συνιστώσα τυ πεδίυ με συνέπεια στα επιφανειακά φρτία να ασκείται δύναμη και επμένως αυτά να κινύνταν και να μην υπάρχει ηλεκτρστατική
9 ισρρπία. δ) Τ φρτί τείνει να συσσωρευτεί σε σημεία όπυ η ακτίνα καμπυλότητας της επιφάνειας είναι μικρότερη (ακίδες ή αιχμές). Τ ότι τ φρτί «πρτιμά» τις αιχμές είναι έκδηλ και από τ γεγνός ότι ι κεραυνί έχυν την τάση να πέφτυν σε κρυφές δένδρων ή σε τεχνητές διατάξεις πυ νμάζνται αλεξικέραυνα. Μέσω αυτών, τ τεράστι ηλεκτρικό φρτί πυ μεταφέρυν διχετεύεται στη Γη πυ όπως έχυμε αναφέρει είναι μια τεράστια δεξαμενή ηλεκτρικύ φρτίυ. Γι αυτό τ λόγω είναι γνωστό ότι κάπις ρειβάτης ή περιπατητής στην εξχή θα πρέπει να απφεύγει τα ψηλά δένδρα γιατί «πρσελκύυν» κεραυνύς. Αντίθετα με τυς αγωγύς ι μνωτές μπρεί να έχυν πεδί διάφρ τυ μηδενός στ εσωτερικό τυς. Παράδειγμα 3.4 Αγώγιμς μνωμένς συμπαγής κύλινδρς ακτίνας α και μεγάλυ μήκυς l είναι μιόμρφα φρτισμένς με θετικό φρτί Q. Ο κύλινδρς περιβάλλεται από μαξνικό επίσης αγώγιμ και μνωμέν κυλινδρικό σωλήνα με συνλικό φρτί Q και εσωτερική και εξωτερική ακτίνα και c αντίστιχα, όπως φαίνεται στ σχήμα. Υπλγίστε α) την ένταση τυ ηλεκτρικύ πεδίυ για <a, a<<, <<c και >c όπυ η απόσταση από τν άξνα συμμετρίας τυ κυλινδρικύ συστήματς, β) την επιφανειακή πυκνότητα κάθε φρτισμένης κυλινδρικής επιφάνειας. Λύση α) πειδή έχυμε φρτισμέν σώμα κυλινδρικής συμμετρίας μπρύμε να εφαρμόσυμε τ νόμ τυ Gauss θεωρώντας γκαυσιανή κλειστή επιφάνεια μήκυς l. Για <a,θεωρύμε γκαυσιανή επιφάνεια με <a και γράφυμε q περ. ds (1) Πρέπει να υπλγίσυμε τ φρτί πυ περικλείει η επιφάνεια Gauss. πειδή κύλινδρς είναι αγωγός Q l -Q Σχήμα 3.5 Φρτισμένς με -Q αγώγιμς κυλινδρικός σωλήνας μήκυς l περιβάλει φρτισμέν με Q αγώγιμ κύλινδρ (παράδειγμα 3.4). a c
10 δεν υπάρχυν φρτία στ εσωτερικό τυ. πμένως τ περικλείν φρτί της επιφάνειας Gauss είναι μηδέν, άρα ισχύει E.dS 0 EdS 0 E 0. () Δηλαδή =0 για <a. Για α<<,θεωρύμε γκαυσιανή κυλινδρική επιφάνεια με ακτίνα και γράφυμε q Q Q Q Q l περ E.dS E. ds E ds E l E (3) φαρμόσαμε δηλαδή τ νόμ τυ Gauss με περικλείν φρτί Q τ φρτί τυ εσωτερικύ κυλίνδρυ. Η κατεύθυνση τυ είναι κάθετη στην παράπλευρη επιφάνεια τυ συμπαγύς κυλίνδρυ και ακτινικά πρς τα «έξω». Γι αυτό τ λόγ ι επιφάνειες των δυ βάσεων της κυλινδρικής επιφάνειας Gauss δεν συνεισφέρυν στ λκλήρωμα της εξ. 3. Για <<c, βρισκόμαστε στ εσωτερικό αγωγύ όπυ δεν υπάρχυν φρτία και επμένως τ πεδί E=0. Για >c, θεωρύμε γκαυσιανή κυλινδρική επιφάνεια με ακτίνα και γράφυμε q Q Q Q Q l περ E.dS E. ds E ds E l E (4) όπυ ως περικλείν φρτί θεωρήσαμε τ συνλικό φρτί των δυ κυλίνδρων. Θεωρήσαμε ότι λόγω τυ μεγάλυ μήκυς των κυλίνδρων τ φρτί κατανέμεται όλ στην παράπλευρη επιφάνειά τυς και όχι στις βάσεις τυς. πμένως η ρή μέσω των δυ βάσεων τυ εσωτερικύ κυλίνδρυ θεωρείται μηδενική. Αυτό βέβαια είναι μια πρσέγγιση λόγω τυ μεγάλυ μήκυς l τυ κυλίνδρυ. Παρατηρύμε ότι τ αρνητικό πρόσημ τυ πεδίυ σημαίνει ότι σε αυτήν την περιχή τυ χώρυ ι δυναμικές γραμμές τυ πεδίυ καταλήγυν κάθετα στην παράπλευρη επιφάνεια τυ εξωτερικύ κυλίνδρυ δηλαδή τ κατευθύνεται ακτινικά πρς τα «μέσα». β) Για να υπλγίσυμε την επιφανειακή πυκνότητα κάθε φρτισμένης επιφάνειας θα πρέπει να διαιρέσυμε τ φρτί της με τ εμβαδόν της. Αρχικά για τν εσωτερικό κύλινδρ ακτίνας a όλ τ φρτί είναι μιόμρφα κατανεμημέν στην επιφάνεια μιας και ως αγωγός δεν μπρεί να έχει φρτία στ εσωτερικό τυ. Έτσι θεωρώντας αμελητέ τ
11 φρτί πυ συσσωρεύεται στις κυκλικές επιφάνειες (βάσεις τυ κυλίνδρυ) μιας και τ Q μήκς θεωρείται πλύ μεγαλύτερ από την ακτίνα τυ κυλίνδρυ έχυμε α l. Με ανάλγ τρόπ δυλεύυμε για τις επιφανειακές πυκνότητες των επιφανειών τυ εξωτερικύ κυλινδρικύ σωλήνα. Καταρχήν θα πρέπει να υπλγίσυμε πόσ φρτί έχει η κάθε μια επιφάνεια (εσωτερική και εξωτερική). Όλς εξωτερικός κύλινδρς έχει -Q φρτί. Ας δύμε πως αυτό κατανέμεται στις δυ επιφάνειές τυ μιας και στ εσωτερικό τυ δεν μπρεί να υπάρχυν φρτία επειδή είναι αγωγός. Ας εξετάσυμε αρχικά τι συμβαίνει στην εσωτερική επιφάνεια ακτίνας. Έστω ότι υπάρχει φρτί q εκεί. Ας εφαρμόσυμε τν νόμ τυ Gauss για μια κυλινδρική επιφάνεια με ακτίνα <<c. Τότε γράφυμε q Q q περ E.dS E. ds (7) Από τ α) ερώτημα όμως έχυμε καταλήξει ότι τ πεδί στ εσωτερικό τυ σωλήνα είναι μηδέν γιατί πρόκειται για αγωγό. Άρα η εξ. 7 δίνει Q q 0 Q q 0 q Q (8) πμένως στην εσωτερική επιφάνεια τυ εξωτερικύ κυλίνδρυ είναι κατανεμημέν μιόμρφα φρτί επιφανειακή πυκνότητά τυ είναι Q, και επμένως η Q. l Η εξωτερική επιφάνεια τυ εξωτερικύ κυλίνδρυ έχει φρτί επίσης Q (ώστε τ συνλικό φρτί τυ σωλήνα να είναι -Q). Έτσι η επιφανειακή τυ πυκνότητα είναι Παράδειγμα 3.5 Q. lc Μια πλύ λεπτή μεταλλική πλάκα πυ έχει σχήμα τετραγώνυ πλευράς α=50cm βρίσκεται E E Σχήμα 3.6. Ηλεκτρικό πεδί από μιγενώς φρτισμένη θετικά λεπτή μεταλλική τετραγωνική πλάκα. Με διακεκμμένη γραμμή διακρίνεται η επιλεγμένη γκαυσιανή επιφάνεια (παράδειγμα 3.5).
1 στ επίπεδ xy. άν στην πλάκα τπθετηθεί λικό φρτί Q=410-8 C, βρείτε α) την πυκνότητα ηλεκτρικύ στην πλάκα, β) τ ηλεκτρικό πεδί ακριβώς πάνω από την πλάκα και κάτω από την πλάκα.. Λύση α) πειδή η τετραγωνική πλάκα είναι πλύ λεπτή έχει εμβαδόν S a. Η πυκνότητα φρτίυ της πλάκας ρίζεται ως επιφανειακή πυκνότητα σ γιατί θεωρύμε ότι η πλάκα έχει μόν δυ διαστάσεις. Έτσι έχυμε Q a (0.5m) 0.5m m 8 8 410 C 410 C 8 C 8 10 β) Για να βρύμε τ ηλεκτρικό πεδί πλύ κντά στην πλάκα θα χρησιμπιήσυμε τ νόμ τυ Gauss, περικλείντας την πλάκα με μια κατάλληλη γκαυσιανή επιφάνεια, η πία είναι ένα ρθγώνι παραλληλεπίπεδ, όπως φαίνεται στ σχ. 3.6. Τ ύψς τυ παραλληλεπιπέδυ μπρύμε να τ πάρυμε όσ μικρό θέλυμε ώστε να πρσεγγίσυμε τις επιφάνειες της πλάκας. Έτσι μπρύμε να γράψυμε q Q Q Q Q a E.dS ή αλλιώς περ E. ds E ds Ea E 8 E E 810 C/m 1 8.85 10 C /Nm E 3 9.09 10 N/C Αυτό είναι τ μέτρ τυ ηλεκτρικύ πεδίυ πλύ κντά στην πλάκα ανεξαρτήτως από την πλευρά (πάνω ή κάτω). Τ διάνυσμα δείχνει πρς τα επάνω για την πάνω πλευρά και κάτω για την κάτω πλευρά (βλέπε σχ. 3.6). Παράδειγμα 3.6 Μια αγώγιμη σφαίρα με θετικό φρτί Q έχει ακτίνα α. Η σφαίρα αυτή βρίσκεται στ εσωτερικό μιας κίλης μόκεντρης αγώγιμης σφαίρας με εσωτερική ακτίνα και εξωτερική c. Η κίλη σφαίρα φέρει συνλικό φρτί -3Q. α) Βρείτε τ ηλεκτρικό πεδί συναρτήσει της απόστασης από τ κέντρ για τις περιχές <a, a<<, <<c και >c. β) Σχεδιάστε μια γραφική παράσταση τυ μέτρυ τυ ηλεκτρικύ πεδίυ σαν συνάρτηση τυ από =0 έως =c. γ) Πι είναι τ φρτί στην εσωτερική επιφάνεια της κίλης
13 σφαίρας και πι στην εξωτερική επιφάνεια; δ) Σχεδιάστε τις δυναμικές ηλεκτρικές γραμμές τυ συστήματς μέσα σε σφαιρικό όγκ ακτίνας c. Λύση α) Καταρχήν τα φρτισμένα σώματα παρυσιάζυν σφαιρική συμμετρία και επειδή είναι αγώγιμα τα φρτία θα κατανέμνται μιόμρφα πάνω στις επιφάνειές τυς. Για να υπλγίσυμε τ φρτί σε κάθε περίπτωση θεωρύμε σφαιρική επιφάνεια Gauss με ακτίνα συμμετρίας των σφαιρών. από τ κέντρ Για απόσταση <a, βρισκόμαστε σε εσωτερικό αγωγύ και επμένως =0, διότι όλ τ φρτί Q της εσωτερικής σφαίρας είναι κατανεμημέν στην επιφάνειά της. Για απόσταση a<<, ρίζω σφαιρική επιφάνεια Gauss με ακτίνα και από τν νόμ τυ Gauss γράφυμε q Q E.dS περ E. ds E ds E4 E Τ πεδί έχει ακτινική διεύθυνση πρς τα «έξω» (πρς τ άπειρ) μιας και τ φρτί της σφαίρας είναι θετικό. Για απόσταση <<c, βρισκόμαστε στ εσωτερικό της εξωτερικής σφαίρας, η πία ως αγωγός έχει μηδενικό ηλεκτρικό πεδί σ αυτήν την περιχή. Έτσι =0. Για απόσταση >c, εφαρμόζυμε τν νόμ τυ Gauss για γκαυσιανή επιφάνεια πυ περικλείει και τις δυ σφαίρες έτσι q 3 Q Q Q 4 E.dS περ E. ds E ds E4 E Τ μείν δηλώνει ότι η κατεύθυνση τυ πεδίυ E είναι ακτινικά πρς τα «μέσα» (έρχνται από τ άπειρ και καταλήγυν στ κέντρ συμμετρίας τυ συστήματς, =0). β) Η γραφική παράσταση τυ μέτρυ τυ ηλεκτρικύ πεδίυ ως συνάρτηση τυ από =0 έως =c, φαίνεται στ σχ. 3.8. -3Q a Q Σχήμα 3.7 Αγώγιμη σφαίρα με θετικό φρτί Q και ακτίνα α, στ εσωτερικό μιας κίλης μόκεντρης αγώγιμης φρτισμένης με -Q σφαίρας με εσωτερική ακτίνα και εξωτερική c (παράδειγμα 3.6). c
14 E Q/πε o a Q/πε o Σχήμα 3.8 Μεταβλή τυ ηλεκτρικύ πεδίυ τυ συστήματς των δυ φρτισμένων σφαιρών ως συνάρτηση της απόστασης από τ κέντρ συμμετρίας (παράδειγμα 3.6) α c c -Q/πε o c γ) Τ συνλικό φρτί της εξωτερικής σφαίρας είναι -3Q, τ πί κατανέμεται στις δυ επιφάνειές της, την εσωτερική ακτίνας και την εξωτερική ακτίνας c. Η εσωτερική επιφάνεια φρτίζεται επαγωγικά με φρτί -Q λόγω τυ θετικύ φρτίυ της εσωτερικής σφαίρας πυ έχει φρτί Q στην επιφάνειά της. Ένας άλλς τρόπς για να καθρίσυμε τ φρτί της σφαίρας με ακτίνα είναι εφαρμόζντας τν νόμ τυ Gauss για γκαυσιανή σφαιρική επιφάνεια με Σχήμα 3.9 Οι δυναμικές γραμμές στν σφαιρικό όγκ με ακτίνα c τυ συστήματς των δυ μόκεντρων σφαιρών τυ παραδείγματς 3.6. ακτίνα <<c. Τ υπλγιζόμεν πεδί σ αυτήν την περιχή τυ χώρυ είναι μηδέν (βλέπε ερώτημα α). Αυτό συμβαίνει μόν όταν τ περικλείν συνλικό φρτί της επιφάνειας Gauss είναι μηδέν. Δεδμένυ ότι η εσωτερική σφαίρα έχει φρτί Q, η σφαίρα ακτίνας πρέπει να έχει φρτί -Q. φόσν η εσωτερική επιφάνεια της -Q -Q Q
15 εξωτερικής σφαίρας έχει φρτί -Q η εξωτερική επιφάνεια ακτίνας c απμένει να έχει τ υπόλιπ Q. δ) Στ σχ. 3.9 φαίννται ι δυναμικές γραμμές τυ ηλεκτρικύ πεδίυ πυ σχηματίζυν ι δυ μόκεντρες φρτισμένες σφαίρες με φρτία Q και -3Q αντίστιχα. Πρσέξτε ότι ι δυναμικές γραμμές ξεκινύν πάντα από τα θετικά φρτία και καταλήγυν στα αρνητικά. Στ εσωτερικό χώρ των σφαιρών (σκιασμένες περιχές) δεν υπάρχυν δυναμικές γραμμές μιας και τ πεδί είναι μηδενικό λόγω τυ ότι είναι εσωτερικός χώρς αγωγών. Σ αυτές τις περιχές ι δυναμικές γραμμές διακόπτνται απότμα. Παράδειγμα 3.7 Μια μνωτική συμπαγής σφαίρα ακτίνας R έχει μεταβλητή πυκνότητα φρτίυ πυ μεταβάλλεται με την απόσταση από τ κέντρ της σφαίρας με την σχέση ρ=a, όπυ Α είναι σταθερά. Βρείτε τ ηλεκτρικό πεδί στ χώρ. Λύση α) Για >R, θεωρώ γκαυσιανή σφαιρική επιφάνεια πυ περιβάλλει όλη την μνωτική σφαίρα και εφαρμόζυμε τν νόμ τυ Gauss. Έτσι γράφυμε Q Q Q Q Q περ E.dS E. ds E ds E4 E (1) 4 όπυ Q είναι τ συνλικό φρτί της σφαίρας, τ πί και πρέπει να υπλγίσυμε. Θεωρώντας την σφαίρα σαν ένα άθρισμα άπειρων πλύ λεπτών στιχειωδών σφαιρικών φλιών με πάχς d (βλέπε σχ.3.10), μπρύμε αρχικά να υπλγίσυμε τ φρτί dq έχει κάθε τέτις φλιός, ως dq dv () όπυ dv είναι όγκς τυ στιχειώδυς φλιύ, ίσς με d Σχήμα 3.10. Μνωτική σφαίρα ακτίνας R και μεταβλητής πυκνότητας φρτίυ (παράδειγμα 3.7). Η σφαίρα θεωρείται άθρισμα άπειρων λεπτών σφαιρικών φλιών πάχυς d. R
16 dv Η εξ. 3 στην δίνει dq 4 d (3). 4 d (4) Ολκληρώνντας την εξ. 4 από 0 έως R, μπρύμε να υπλγίσυμε τ συνλικό φρτί Q της σφαίρας. Έτσι ισχύει R R R R 5 R 5 4 4 4 4 4 R 4 4 4 (5) dq d A d A d A d A Q A 5 5 0 0 0 0 0 φόσν υπλγίσαμε τ Q, μπρύμε να τ αντικαταστήσυμε στην εξ. 1, πότε παίρνυμε 5 5 4 A( R / 5) AR E E 4 5 5 AR Άρα για >R, τ ηλεκτρικό πεδί είναι E 5, ˆ με ακτινική διεύθυνση πρς τ άπειρ μιας και η σφαίρα είναι θετικά φρτισμένη. β) Για <R, τ ηλεκτρικό πεδί υπλγίζεται ξανά με τν νόμ τυ Gauss, θεωρώντας όμως γκαυσιανή σφαιρική επιφάνεια με ακτίνα πυ περικλείει φρτί q μικρότερ από τ Q, μιας και τώρα θεωρύμε ένα μόν μέρς της μνωτικής σφαίρας. πμένως η εξ. 1 μπρεί να γραφτεί q E (6) 4 Τ περικλείν φρτί q υπλγίζεται όπως τ Q με μόνη διαφρά τα όρια της λκλήρωσης πυ είναι από 0 έως. Έτσι γράφυμε 5 5 4 4 4 4 4 4 4 4 (7) dq d A d A d A d A q A 5 5 0 0 0 0 0 Αντικατάσταση της εξ. 7 στην 6 δίνει 4 A( / 5) A E E 5 3 4 5 Ξανά η κατεύθυνση είναι ακτινική πρς τ άπειρ. Έτσι συγκεντρωτικά μπρύμε να πύμε για τ πεδί πυ δημιυργεί η σφαίρα.
17 5 AR E 5, ˆ για >R και E 3 A ˆ, για <R. 5 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΚΦΑΛΑΙΟΥ 3 1. Η λική ηλεκτρική ρή πυ διαρρέει μια κλειστή κυλινδρική επιφάνεια είναι 8.60 10 4 Nm /C. α) Πι είναι τ συνλικό φρτί μέσα στν κύλινδρ; β) Πι είναι τ φρτί αν η ηλεκτρική ρή είναι -7.5010 4 Nm /C; Δίνεται η διηλεκτρική σταθερά τυ κενύ ε =8.85 10-1 C /Nm. Απάντηση: α) 761nC και β) -663nC. (Νέμβρις 008, πτυχιακή).. Ένα σημειακό φρτί 3.00nC βρίσκεται στ κέντρ ενός κύβυ. Πια είναι η ηλεκτρική ρή πυ διαπερνά κάθε μια από τις έξι πλευρές τυ κύβυ. Δίνεται η διηλεκτρική σταθερά τυ κενύ ε =8.85 10-1 C /Nm. Απάντηση: 56.6Nm /C. 3. Ένας μνωτής κυλινδρικύ σχήματς, ακτίνας R και μεγάλυ μήκυς l είναι μιόμρφα φρτισμένς με φρτί Q. α) Υπλγίστε τ ηλεκτρικό πεδί σε απόσταση από τν άξνα συμμετρίας τυ στις περιπτώσεις, <R, =R και >R. β) Σχεδιάστε γραφικά τ =f(). (Νέμβρις 007, πτυχιακή). 4. Αγώγιμς μνωμένς σφαιρικός φλιός με εσωτερική ακτίνα a και εξωτερική έχει σημειακό θετικό φρτί Q τπθετημέν στ κέντρ τυ. Τ λικό φρτί πάνω στν φλιό είναι -3Q. α) Βρείτε εκφράσεις για τ ηλεκτρικό πεδί -3Q Q α συναρτήσει της απόστασης από τ κέντρ για τις περιχές, <a, a<< και >. β) Πια είναι η επιφανειακή πυκνότητα φρτίυ σ στην εσωτερική και πια στην εξωτερική
18 επιφάνεια τυ αγώγιμυ φλιύ; γ) Απδώστε γραφικά την εξάρτηση τυ μέτρυ τυ ηλεκτρικύ πεδίυ συναρτήσει τυ. (Ιύλις 007). 5. Μια μεταλλική ράβδς μεγάλυ μήκυς και κυλινδρικής μρφής έχει διατμή ακτίνας 5 cm και φέρει φρτί ανά μνάδα μήκυς ίσ με λ=30nc/m. Βρείτε με την βήθεια τυ νόμυ τυ Gauss τ μέτρ και την κατεύθυνση τυ ηλεκτρικύ πεδίυ στις ακόλυθες απστάσεις από τν άξνα της ράβδυ: α) 3cm, β) 10cm, γ) 1m. Δίνεται η διηλεκτρική σταθερά τυ κενύ ε =8.8310-1 C /m N. Απάντηση: α) 0, β) 5.4110 3 Ν/m και γ) 541Ν/m. (Σεπτέμβρις 010). 6. Δύ μόκεντρι φρτισμένι λεπτί σφαιρικί φλιί έχυν ακτίνες 1 =10cm και =15cm. Τ φρτί στν εσωτερικό φλιό είναι q 1 =40nC και στν εξωτερικό q =19.3nC. Βρείτε τ ηλεκτρικό πεδί στη θέση α) =1.0cm, β) =.0cm και γ) =8.0cm από τ κέντρ των φλιών. Δίνεται η διηλεκτρική σταθερά τυ κενύ ε =8.810-1 C /N m. Απάντηση: α).510 4 Ν/m, β) 1.110 4 Ν/m και γ) 0. (Νέμβρις 010, πτυχιακή). 7. Ομόκεντρι λεπτί κυλινδρικί σωλήνες. Τ σχήμα δείχνει την τμή δυ μόκεντρων μακριών λεπτών κυλινδρικών σωλήνων με ακτίνες a και. Οι σωλήνες είναι μιόμρφα φρτισμένι με ίσα και αντίθετα φρτία πυ a κατανέμνται στην επιφάνειά τυς. Η επιφανειακή πυκνότητα φρτίυ τυ σωλήνα με ακτίνα a είναι σ. Δείξτε ότι α) τ ηλεκτρικό πεδί είναι μηδέν για > και <a και β) τ πεδί ανάμεσα στυς κυλίνδρυς είναι a E. (Σεπτέμβρις 007, πτυχιακή). o 8. Μια μνωτική σφαίρα ακτίνας R είναι ανμιόμρφα ηλεκτρικά φρτισμένη. Η πυκνότητα φρτίυ ρ δίνεται ως ρ=ρ (1-/R) για απόσταση <R, και ρ=0 για >R. Ισχύει ότι ρ =3Q/πR 3. Απδείξτε ότι τ συνλικό φρτί της σφαίρας είναι Q. Υπόδειξη: Θεωρείστε ότι τ στιχειώδες φρτί dq της σφαίρας είναι dq=ρdv, όπυ dv=4π d.
19 9. Ένας πλύ μακρύς αγώγιμς σωλήνας έχει εσωτερική ακτίνα α και εξωτερική. Ο σωλήνας φέρει συνλικό φρτί Q μιόμρφα κατανεμημέν πάνω τυ. Ένα γραμμικό φρτί Q είναι πάνω στν άξνα τυ σωλήνα όπως δείχνει τ σχήμα. α) Υπλγίστε τ ηλεκτρικό πεδί σε απόσταση από τν άξνα τυ σωλήνα για 1) <a, ) a < < και 3) >. β) Πι είναι τ φρτί στην εξωτερική και πι στην εσωτερική επιφάνεια τυ σωλήνα; -Q Q a 10. Μια κίλη μνωτική σφαίρα έχει σταθερή πυκνότητα φρτίυ ρ. Η εσωτερική και εξωτερική ακτίνα της είναι α και, αντίστιχα. Χρησιμπιήστε τ νόμ τυ Gauss για να βρείτε τ ηλεκτρικό πεδί στις περιχές α) <a, β) a<< και γ) >. Δίννται τ εμβαδόν και όγκς της σφαίρας, 4π και (4/3)π 3 αντίστιχα. α
Ανικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Πανεπιστήμι Ιωαννίνων Τέλς νότητας
Χρηματδότηση Τ παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια τυ εκπαιδευτικύ έργυ τυ διδάσκντα. Τ έργ «Ανικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στ Πανεπιστήμι Ιωαννίνων» έχει χρηματδτήσει μόν τη αναδιαμόρφωση τυ εκπαιδευτικύ υλικύ. Τ έργ υλπιείται στ πλαίσι τυ πιχειρησιακύ Πργράμματς «κπαίδευση και Δια Βίυ Μάθηση» και συγχρηματδτείται από την υρωπαϊκή Ένωση (υρωπαϊκό Κινωνικό Ταμεί) και από εθνικύς πόρυς. Σημειώματα Σημείωμα Αναφράς Copyight Πανεπιστήμι Ιωαννίνων, Διδάσκων: πίκυρς Καθηγητής. «Γενική Φυσική (Ηλεκτρμαγνητισμός). ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS». Έκδση: 1.0. Ιωάννινα 014. Διαθέσιμ από τη δικτυακή διεύθυνση: http://ecouse.uoi.g/couse/view.php?id=111. Σημείωμα Αδειδότησης Τ παρόν υλικό διατίθεται με τυς όρυς της άδειας χρήσης Ceative Commons Αναφρά Δημιυργύ - Παρόμια Διανμή, Διεθνής Έκδση 4.0 [1] ή μεταγενέστερη. [1] https://ceativecommons.og/licenses/y-sa/4.0/.