Ιωάννης Πολυράκης Καθηγητής ΕΜΠ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ και Θεωρία Γενικής Ισορροπίας στην Οικονοµία ΑΘΗΝΑ 2009

2

Περιεχόµενα 1 Εισαγωγή 7 1.1 Η δυϊκότητα αγαθών-τιµών.................. 8 1.1.1 Λήψη αποφασεων................... 11 1.1.2 Κατανάλωση-ισορροπία................ 12 2 Μετρικοί χώροι 13 2.1 Βασικές έννοιες........................ 13 2.2 Η επαγόµενη τοπολογία................... 14 2.3 Ευκλείδειοι Μετρικοί Χώροι................. 16 2.4 Συµπάγεια.......................... 18 2.5 Συνέχεια συναρτήσεων.................... 22 2.6 Κυρτές συναρτήσεις σε Ευκλείδειους χώρους........ 25 2.6.1 εσµευµένα ακρότατα................. 29 3 ιαχωριστικά Θεωρήµατα Hahn-Banach 35 3.1 Επέκταση γραµµικών συναρτησιακών........... 35 3.2 Το συναρτησιακό Minkowski................. 40 3.3 ιαχωρισµός κυρτών συνόλων................ 43 3.4 Θεωρήµατα διαχωρισµού σε χώρους µε norm........ 45 4 ιατεταγµένοι χώροι 47 4.1 Κώνοι και διάταξη...................... 47 4.2 Βασικές έννοιες........................ 48 4.3 Γραµµικοί σύνδεσµοι (linear lattices)............ 53 4.4 υϊκότητα και διάταξη.................... 60 4.5 ιατεταγµένοι υπόχωροι................... 62 3

4 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 4.5.1 Ο διατακτικός δυϊκός................. 63 4.6 Βάσεις κώνων......................... 65 5 Πλειότιµες απεικονίσεις 69 5.1 Ορισµοί............................ 69 5.2 Συνέχεια........................... 70 5.3 Ακολουθιακή συνέχεια.................... 76 5.4 Θεώρηµατα Μεγίστου.................... 78 5.5 Συνεχείς Επιλογές...................... 81 5.6 Μεγιστοποίηση διµελών σχέσεων............... 87 5.7 Θεωρήµατα σταθερού σηµείου................ 91 5.8 Απεικονίσεις συστολής.................... 94 6 ιµελείς σχέσεις - Θεωρία αποφάσεων 99 6.1 ιµελείς Σχέσεις....................... 99 6.2 Σχέσεις Προτίµησης..................... 100 6.3 Κυρτές Σχέσεις Προτίµησης................. 103 6.4 Συναρτήσεις Χρησιµότητας.................. 103 6.5 Συνέχεια σχέσεων προτίµησης................ 106 6.6 Βελτιστοποίηση σχέσεων προτίµησης............ 109 6.7 Αναπαράσταση σχέσεων προτίµησης............. 111 6.8 Ασκήσεις........................... 118 7 Θεωρία Ζήτησης 121 7.1 Σύνολο Προϋπολογισµού................... 122 7.2 Μεγιστοποίηση της χρησιµότητας.............. 124 7.3 Αντιστοιχία ήτησης...................... 133 8 Ανταγωνιστικές Οικονοµίες Ανταλλαγής 141 8.1 Οικονοµία Ανταλλαγής.................... 141 8.2 Η συνάρτηση υπερβάλλουσας ήτησης............ 142 8.3 Η Εννοια της Κατανοµής................... 145 8.4 Ο Πυρήνας της Οικονοµίας................. 151 8.5 Κατανοµή ισορροπίας.................... 152 8.6 Ασκήσεις........................... 160

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 5 9 Γραµµική ϐελτιστοποίηση 169 9.1 Γραµµική ϐελτιστοποίηση στον R m............. 173 9.2 Η αποτελεσµατική απεικόνιση................ 175 10 Οικονοµίες Παραγωγής 179 10.1Σύνολο Παραγωγής...................... 179 10.2Ιδιότητες του Συνόλου Παραγωγής.............. 180 10.3Το Πρόβληµα της Βελτιστοποίησης............. 181 10.4 Συνάρτηση Εφοδιασµού................... 183 10.5Οικονοµία παραγωγής.................... 184 10.6 Συνάρτηση Εισοδήµατος- Σύνολο προϋπολογισµού..... 185 10.7 Συνάρτηση Υπερβάλλουσας Ζήτησης............ 189 11 Ισορροπία σε Οικονοµίες Ανταλλαγής 193 11.1Η απόδειξη ισορροπίας των Arrow-Debreu......... 194 11.2Η απόδειξη ισορροπίας του Mas-Colell........... 198 12 Θεωρία Παιγνίων 211 12.1Εισαγωγή........................... 211 12.2Παίγνια δυο παικτών..................... 213 12.3Παίγνια n παικτών...................... 217 12.4Παίγνια καθαρής στρατηγικής................ 218 12.5Παίγνια µεικτής στρατηγικής................ 219 12.6Στοιχεία γραµµικού προγραµµατισµού........... 221 12.7Ανταγωνιστικά παίγνια.................... 223 12.8Το ϑεώρηµα ελαχίστου-µεγίστου............... 224 12.9Ο αλγόριθµος Ελαχίστου - Μεγίστου............ 232 12.10Ουσιώδεις στρατηγικές.................... 233 12.11Ισορροπία κατά Nash..................... 236 Βιβλιογραφία 245

6 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή Σκοπός του εισαγωγικού αυτού κεφαλαίου είναι να δείξει το τρόπο που οι οιονοµικές έννοιες που ϑα µελετήσουµε συνδέονται µε τα Μαθηµατικά και ειδικότερα µε την Ανάλυση. Τα οικονοµικά µοντέλα που συνήθως µελετάµε ϑεµελειώνονται σε πεπερασµένης ή απειρης διάστασης χώρους Banach ή σε άλλες γενικότερες κατηγορίες χώρων και η µελέτη των διαφόρων οικονοµικών εννοιών ανάγεται στη γνώση των µαθηµατικών ιδιοτήτων αυτών των χώρων αλλά και ϑέτει νέα εδιαφέροντα µαθηµατικά προβλήµατα. Το µοντέλο γενικής ισορροπίας είναι ένα τέτοιο παράδειγµα και ϑεωρείται ως πρότυπο για την κατασκευή πολλών άλλων οικονοµικών µοντέλων. Στα παίγνια µεικτής στρατηγικής εµφανίζονται γραµµικοί χώροι, διάστασης ανάλογης µε το πλήθος των στρατηγικών των παικτών. Στα χρηµατοοικονοµικά µοντέλα η διάσταση του χώρου απόδοσης εξαρτάται από το πλήθος των δυνατών καταστάσεων. Οι αλγεβρικές και τοπολογικές αλλά και οι διατακτικές ιδιότητες των χώρων στους οποίους ϑεµελειώνονται τα µοντέλα είναι σηµαντικές στη µελέτη των οικονοµικών προβληµάτων. Παρακάτω περιγράφεται το µοντέλο γενικής ισορροπίας και ϕαίνεται η σηµασία της ανάλυσης. 7

8 Κεφάλαιο1. Εισαγωγή 1.1 Η δυϊκότητα αγαθών-τιµών Για την καλύτερη κατανόηση αυτού του µοντέλου αρχίζουµε πρώτα µε πεπερασµένες οικονοµίες. Υποθέτουµε ότι στην οικονοµία έχουµε πεπερασ- µένο πλήθος αγαθών (m αγαθά). Σε πεπερασµένες οικονοµίες µπορεί να έχουµε πεπερασµένο πλήθος αγαθών αλλά δεν υπάρχει άνω ϕράγµα για το πλήθος m των αγαθών που µπορεί να είναι οσοδήποτε µεγάλο. Η οικονοµία που µελετάµε µπορεί να περιλαµβάνει τα αγαθά ενός µεγάλου super market, µιας χώρας αλλά και τα αγαθά της παγκόσµιας οικονοµίας. Τα αγαθά αριθµούνται µε τους αριθµούς 1, 2,,..., m. Υποθέτουµε ότι στην οικονοµία έχουµε πλέον διανύσµατα αγαθών όπου οι συντεταγµένες του διανύσµατος είναι ο αριθµός των µονάδων του αντίστοιχου αγαθού. Κάθε τέτοιο διάνυσµα ονοµάζεται διάνυσµα αγαθών ή δέσµη αγαθών. ηλαδή, υποθέτουµε ότι σε κάθε οικονοµική πράξη λαµβάνουν µέρος ό- λα τα αγαθά της οικονοµίας, αλλά όσα δεν επιλέγονται εµφανίζονται µε µηδενικές συντεταγµένες. Ετσι αν υποθέσουµε ότι έχουµε οικονοµία µε τρία αγαθά, το διάνυσµα a = (3, 4, 2), είναι µια δέσµη αγαθών που περιέχει τρεις µονάδες από το πρώτο αγαθό, τέσσερεις από το δεύτερο και δύο από το τρίτο. Αν σε µια πράξη κατανάλωσης επιλεγούν µόνον δύο µονάδες από το δεύτερο αγαθό ϑα λέµε ότι ο καταναλωτής επέλεξε το διάνυσµα αγαθών a = (0, 2, 0). Τα διανύσµατα αγαθών είναι στοιχεία του R m και ο R m ονοµάζεαται χώρος αγαθών. Το σύνολο όλων των δεσµών αγαθών που µπορεί να εµφανιστούν στην οικονοµία είναι ένα κυρτό υποσύνολο του X του R m το οποίο ονοµάζεται σύνολο κατανάλωσης. Συνήθως το σύνολο κατανάλωσης X είναι κυρτό υποσύνολο του ϑετικού κώνου R m + = {x Rm x i 0 για κάθε i} του R m που στις περισσότερες περιπτώσεις είναι ακριβώς ο R m +. Η υπό- ϑεση ότι το X είναι κυρτό σηµαίνει προφανώς ότι αν οι δέσµες αγαθών a και b είναι διαθέσιµες (ανήκουν στο X) τότε κάθε κυρτός συνδυασµός τους ta + (1 t)b, είναι επίσης διαθέσιµος. Η κυρτότητα του συνόλου κατανάλωσης είναι µιά από τις ϐασικές υποθέσεις της οικονοµίας.

1.1. Η δυϊκότητα αγαθών-τιµών 9 Ανάλογα µε τα αγαθά που εµφανίζονται ως διανύσµατα, σε οικονοµία µε m αγαθά οι τιµές εµφανίζονται επίσης ως διανύσµατα όπου κάθε συντεταγµένη του διανύσµατος είναι η τιµή της µονάδας του αντίστοιχου αγαθού. Κάθε τέτοιο διάνυσµα ονοµάζεται διάνυσµα τιµών. Ετσι αν q = (q 1, q 2,..., q m ) είναι ένα διάνυσµα τιµών, τότε q i είναι η τιµή της µονάδας του i αγαθού. Η αξία της δέσµης αγαθών a = (a 1, a 2,..., a m ) είναι το εσωτερικό γινόµενο : q a = q 1 a 1 + q 2 a 2 + + q m a m. Παρατηρούµε ότι το διάνυσµα τιµών είναι γραµµική και συνεχής συνάρτηση που ορίζεται στον χώρο αγαθών. Η γραµµικότητα και η συνέχεια των τιµών είναι µιά από τις σηµαντικότερες υποθέσεις της οικονοµίας και η ϕυσική σηµασία αυτών των υποθέσεων είναι προφανής. Εποµένως τα διανύσµατα τιµών είναι αυτόµατα στοιχεία του δυϊκού χώρου του χώρου α- γαθών. Υπενθυµίζουµε ότι ο δυϊκός χώρου µε norm E είναι το σύνολο των συνεχών και γραµµικών απεικονίσεων του E στο σύνολο των πραγµατικών αριθµών R και συµβολίζεται µε E. Στη περίπτωση όπου E = R m ο δυϊκός είναι ο R m εποµένως ο χώρος τιµών είναι πάλι ο R m. Στην οικονοµία οι τιµές των αγαθών υποτίθενται συνήθως αυστηρά ϑετικές. Αν υποθέσουµε ότι µιά συντεταγµένη του διανύσµατος τιµών q = (q 1, q 2,..., q m ) είναι µηδέν, π.χ. q i = 0, τότε το i-αγαθό είναι ελεύθερο αγαθό υπό τη τιµή q. Ετσι η υπόθεση ότι τα διανύσµατα τµών είναι αυστηρά ϑετικά ισοδυναµεί µε την υπόθεση ότι στην οικονοµία δεν έχουµε ελεύθερα αγαθά. Εποµένως το δυϊκό σύστηµα R m, R m, εκφράζει τη δυϊκότητα αγαθών-τιµών. Σε οικονοµίες µε άπειρα αγαθά υποθέτουµε οτι ο χώρος αγαθών είναι απειροδιάστατος χώρος E συνήθως χώρος µε norm ή χώρος Banach. Κά- ϑε στοιχείο x του E είναι ένα διάνυσµα (δέσµη) αγαθών. Παράδειγµα τέτοιων χώρων έχουµε στη περίπτωση που ως σύνολο των πιθανών καταστάσεων ϑεωρείται το συνεχές διάστηµα [0, 1] των πραγµατικών αριθµών και ταυτί- ουµε τα αγαθά µε την αποδοσή τους την χρονική περίοδο που πρόκειται

10 Κεφάλαιο1. Εισαγωγή να ακολουθήσει. Η απόδοση του τυχαίου αγαθού της οικονοµίας είναι µια συνάρτηση x : [0, 1] R, όπου x(ω) είναι η απόδοση του αγαθού αν συµβεί το ενδεχόµενο ω. Ετσι στη περίπτωση αυτή ως χώρος αγαθών E ϑεωρηθείται συνήθως κάποιος από τους χώρους L p [0, 1], L [0, 1] ή οποιοσδήποτε άλλος υπόχωρος του χώρου των συναρτήσεων {f : [0, 1] R}. Παρατηρούµε ότι οι χώροι αυτοί µε τη σηµειακή διάταξη είναι διατεταγµένοι χώροι και ότι αν x, y είναι τυχαία αγαθά, έχουµε ότι x y αν και µόνο αν x(ω) y(ω) για κάθε ω [0, 1], δηλαδή για κάθε ενδεχόµενο η απόδοση του x είναι µεγαλύτερη ή ίση από την απόδοση του y. Επόµένως η διάταξη του των χώρων χρησιµεύει στη σύγκριση των διανυσ- µατικών αγαθών αλλά γενικά οι διατακτικές ιδιότητες του χώρου αγαθών είναι πολύ χρήσιµες και απολύτως συµβατές µε τη πραγµατικότητα που ϑέλουµε να µοντελοποιήσουµε. έτσι είναι πολύ ϕυσικό να υποθέσουµε επίσης οτι ο χώρος αγαθών E είναι µερικά διατεταγµένος χώρος. Το σύνολο κατανάλωσης X είναι µη κενό και κυρτό υποσύνολο του E και συνήθως υποθέτουµε ότι συµπίπτει µε το ϑετικό κώνο E + του E, δηλαδή έχουµε X = E +. Το σύνολο κατανάλωσης X µε την επαγόµενη τοπολογία είναι µετρικός χώρος και d(x, y) = x y για κάθε x, y X. είναι η επαγόµενη µετρική στο X. Οπωσ και στη περίπτωση των πεπερασµένων οικονοµιών στις απειροδιάστατες οικονοµίες οι τιµές απαιτούµε να είναι γραµµικές και συνεχείς. Ετσι ως χώρος τιµών ϑεωρείται συνήθως ο τοπολογικός δυϊκός E του E, οπότε λέµε ότι το δυϊκό εύγος E, E, εκφράζει τη δυϊκότητα αγαθών-τιµών. Σηµειώνουµε επίσης ότι στη γενική περίπτωση, οποιοσδήποτε γραµµικός υπόχωρος του E µπορεί να ϑεω- ϱηθεί ως χώρος τιµών. Υπενθυµίζουµε οτι E είναι το σύνολο των γραµ- µικών και συνεχών απεικονίσεων p : E R. Αν υποθέσουµε οτι X = E +, όπου X είναι το σύνολο κατανάλωσης, και p E είναι διάνυσµα τιµών απαιτούµε συνήθως p(x) 0 για κάθε x X, δηλαδή υποθέτουµε οτι δεν έχουµε αγαθά µε αρνητικές τιµές. Ετσι υποθέτουµε συνήθως οτι τα

1.1. Η δυϊκότητα αγαθών-τιµών 11 διανύσµατα τιµών είναι στοιχεία του ϑετικού κώνου E+ του E. Αν υπο- ϑέσουµε επίσης οτι δεν έχουµε ελεύθερα αγαθά απαιτούµε p(x) > 0 για κάθε x E + µε x 0, άρα οι τιµές είναι αυστηρά ϑετικά και συνεχή γραµµικά συναρτησιακά του E. Στο ϐιβλίο αυτό υποθέτουµε συνήθως ότι ο χώρος αγαθών είναι διατεταγµένος χώρος E µε norm και το σύνολο κατανάλωσης X είναι µη κενό και κυρτό υποσύνολο του E + που συνήθως συµπίπτει µε τον E +. Στη ϑεωρία γενικης ισορροπίας υποθέτουµε οτι ένα δυϊκό σύστηµα E, F, όπου συνήθως ο E είναι γραµµικός χώρος µε norm και ο F είναι κλειστός γραµµικός υπόχωρος του E, είναι το ευγάρι που εκφράζει τη δυϊκότητα αγαθών-τιµών (comodity -price duality). 1.1.1 Λήψη αποφασεων Οπως αναφέραµε παραπάνω, ο χώρος αγαθών είναι διατεταγµένος χώρος µε norm E και το σύνολο κατανάλωσης X είναι υποσύνολο του ϑετικού κώνου E + του E. Υποθέτουµε ότι στην οικονοµία έχουµε καταναλωτές (παίκτες, επενδυτές) και µελετούµε τη συµπεριφορά των καταναλωτών σε σχέση µε τις προτιµήσεις τους, τιµές και το συνολικό διαθέσιµο αγαθό. Ο τρόπος που ο τυχαίος καταναλωής συγκρίνει τα διάφορα αγαθά και λαµβάνει τις αποφάσεις του είναι ακριβώς µια διµελής σχέση που στα οικονοµικά αναφέρεται ως σχέση προτίµησης. Η µελέτη της συµπεριφοράς των καταναλωτών οδηγεί στη µελέτη των διµελών σχέσεων που είναι ένα από τα ϑεµελειώδη προβλήµατα των οικονοµικών. Ενδεικτικά αναφέρουµε ότι το πρόβληµα της αναπαράστασης συνεχών σχέσεων προτίµησης από συνεχείς συναρτήσεις όπως περιγράφεται στο Κεφάλαιο 6 λύθηκε από τον διάσηµο οικονοµολόγο-µαθηµατικό Gerard Debreu. Για τη µοντελοποίηση και µελέτη της συµπεριφοράς των καταναλωτών που περιγράφεται από τις προτιµήσες τους µε τις οποίες συγκρίνουν τα διαάφορα αγαθά Υποθέτουµε ότι κάθε καταναλωτής διαθέτει κάποιο αρχικό αγαθό και

12 Κεφάλαιο1. Εισαγωγή είναι εφοδιασµένος µε µια σχέση προτίµησης µε την οποία κάνει τις επιλογές του. 1.1.2 Κατανάλωση-ισορροπία Οπως αναφέραµε παραπάνω, ο χώρος αγαθών είναι διατεταγµένος χώρος µε norm E και το σύνολο κατανάλωσης X είναι υποσύνολο του ϑετικού κώνου E + του E. Υποθέτουµε ότι στην οικονοµία έχουµε καταναλωτές και µελετούµε τη συµπεριφορά των καταναλωτών σε σχέση µε τις προτιµήσεις τους, τις τιµές και το συνολικό διαθέσιµο αγαθό. Υποθέτουµε ότι κάθε καταναλωτής διαθέτει κάποιο αρχικό αγαθό και είναι εφοδιασµένος µε µια σχέση προτίµησης µε την οποία κάνει τις επιλογές του. Καθοριστικό ϱόλο στην οικονοµία ϑα παίξουν οι τιµές των αγαθών. Γενικά είναι άγνωστο τι ϑα συµβεί και στόχος µας είναι να µελετήσουµε τα διάφορα δυνατά ενδεχόµενα για τις διάφορες τιµές των αγαθών. Οι τιµές είναι ο µεγάλος άγνωστος και καθορίζουν τι πρόκειται να συµβεί και ϑέλουµε να µελετήσουµε πως επηρεάζεται η οικονοµία στη µεταβολή των τιµών. Αλλά κυρίως ϑέλουµε να µελετήσουµε αν υπάρχουν τιµές που κάνουν την προσφορά ίση µε τη ήτηση και επιφέρουν την ισορροπία στην αγορά.

Κεφάλαιο 2 Μετρικοί χώροι 2.1 Βασικές έννοιες Εστω σύνολο X και έστω η απεικόνιση d : X X R έτσι ώστε για κάθε x, y, z X ισχύουν : (i) d(x, y) 0 και d(x, y) = 0 αν και µόνο αν x = y, (ii) d(x, y) = d(y, x), (iii) d(x, y) d(x, z) + d(z, y)(τριγωνική ιδιότητα). Τότε η d είναι µια µετρική στο X και το ευγάρι (X, d) ονοµάζεται µετρικός χώρος. Συχνά για λόγους απλότητας ϑα λέµε ο µετρικός χώρος X αντί του ακριβούς ο µετρικός χώρος (X, d). Εστω (X, d) µετρικός χώρος. Για κάθε x X και ρ R, ρ > 0 ϑα συµβολίζουµε µε B(x, ρ) την ανοικτή σφαίρα του X µε κέντρο x και ακτίνα ρ, δηλαδή B(x, ρ) = {y X d(x, y) < ρ} και όταν γράφουµε B(x, ρ) ϑα εννοούµε πάντοτε ότι ρ R µε ρ > 0. Στο κεφάλαιο αυτό ϑεωρούµε γνωστές τις ϐασικές τοπολογικές έννοιες και ιδιότητες των µετρικών χώρων. Υπενθυµίζουµε τις κυριότερες από αυτές που ϑα χρησιµοποιήσουµε στο ϐιβλίο. Εστω A X. Το A είναι ανοικτό αν για κάθε x A, B(x, ρ) A για ένα τουλάχιστο ρ και το A 13

14 Κεφάλαιο2. Μετρικοί χώροι είναι κλειστό αν το συµπλήρωµα A c = X \ A του A στο X είναι ανοικτό. Αν x X το x είναι εσωτερικό σηµείο του A αν B(x, ρ) A για ένα τουλάχιστον ρ, το x είναι συνοριακό σηµείο του A αν B(x, ρ) A και B(x, ρ) A c για κάθε ρ, το x είναι σηµείο συσσώρευσης του A αν B(x, ρ) (A \ {x}) για κάθε ρ και το x είναι οριακό σηµείο του A αν B(x, ρ) A για κάθε ρ. Για κάθε A X συµβολίζουµε µε A το κλειστό περίβληµα του A, δηλαδή A είναι το σύνολο των οριακών σηµείων του A. Εστω ο µετρικός χώρος X και A X. Αν το κλειστό περίβληµα του A είναι ολόκληρο το X, δηλαδή A = X, λέµε ότι το A είναι πυκνό υποσύνολο του X ή ότι το A είναι πυκνό στον X. Αν υπάρχει αριθµήσιµο και πυκνό υποσύνολο A του X, λέµε ότι ο X είναι διαχωρίσιµος. ηλαδή ο X είναι διαχωρίσιµος αν υπάρχει ακολουθία {x n } του X πυκνή στον X. Υπενθυµίζουµε ότι η ακολουθία {x n } είναι πυκνή στον X αν για κάθε x X και κάθε ɛ > 0 η σφαίρα B(x, ɛ) περιέχει τουλάχιστον ένα στοιχείο της ακολουθίας ή ισοδύναµα για κάθε x X υπάρχει υπακολουθία {x kn } της {x n } που συγκλίνει στο x. Ο µετρικός χώρος X είναι συνεκτικός αν δεν µπορεί να γραφεί σαν ενωση δυό ξένων και ανοικτών υποσυνόλων του. Ο µετρικός χώρος (E, d) είναι πλήρης αν κάθε ακολουθία Cauchy του E συγκλίνει σε στοιχείο του E. Οπως αναφέραµε παραπάνω, στο κεφάλαιο αυτό ϑεωρούµε γνωστές τις ϐασικές έννοιες της σύγκλισης ακολουθιών και της συνέχειας συναρτήσεων σε µετρικούς χώρους. 2.2 Η επαγόµενη τοπολογία Εστω (E, d) µετρικός χώρος και X E, X, τυχαίο υποσύνολο του E. Ο περιορισµός d X της µετρικής d στο X X είναι µετρική στον X που ονοµάζεται επαγόµενη µετρική του X. Ετσι για κάθε x, y X έχουµε d X (x, y) = d(x, y) και πραγµατικά είναι εύκολο να δείξουµε ότι η d X είναι µετρική στον X. Επίσης για λόγους απλότητας ϑα συµβολίζουµε την µετρική d X του X πάλι µε d. Για κάθε x X και ρ R, ρ > 0 συµβολίζουµε µε B X (x, ρ) = {y X d(x, y) < ρ}

2.2. Η επαγόµενη τοπολογία 15 την ανοικτή σφαίρα του X µε κέντρο x και ακτίνα ρ. Για κάθε x X έχουµε : B X (x, ρ) = B(x, ρ) X, όπου B X (x, ρ) είναι η ανοικτή σφαίρα του E µε κέντρο x και ακτίνα ρ. Η επαγόµενη µετρική του X ορίζει µια τοπολογία στο X που αναφέρεται ως η µετρική τοπολογία ή επαγόµενη τοπολογία του X. Επίσης όταν λέµε ο µετρικός χώρος X ϑα εννοούµε τον X εφοδιασµένο µε τη µετρική τοπολογία. Ετσι αν A X έχουµε ότι το A είναι ανοικτό υποσύνολο του µετρικού χώρου X ( ή στην επαγόµενη τοπολογία του X) αν για κάθε x A υπάρχει ρ > 0 ώστε B X (x, ρ) A. Οπως ϑα δούµε παρακάτω αν το A είναι ανοικτό υποσύνολο του X δεν έπεται κατανάγκη ότι είναι και ανοικτό υποσύνολο του E. Υποθέτουµε τώρα ότι (E, ) είναι χώρος µε norm και X E, X. Η επαγόµενη τοπολογία του X ορίζεται ως εξής : Για κάθε x, y X d(x, y) = x y, όπου η norm του E, οπότε η d είναι η επαγόµενη µετρική του X και το ευγάρι (X, d) είναι ο µετρικός χώρος X. Για κάθε x X και ρ R, ρ > 0 B X (x, ρ) = {y X x y < ρ}, είναι η ανοικτή σφαίρα του X µε κέντρο x και ακτίνα ρ. Θεώρηµα 2.1. Εστω E µετρικός χώρος και X E, X και έστω A X, τότε : (i) το A είναι ανοικτό υποσύνολο του µετρικού χώρου X αν και µόνο αν υπάρχει B E ανοικτό ώστε A = B X, (ii) το A είναι κλειστό υποσύνολο του µετρικού χώρου X αν και µόνο αν υπάρχει B E κλειστό ώστε A = B X. Απόδειξη. (i): Εστω A ανοικτό υποσύνολο του X. Τότε για κάθε x A υπάρχει ρ x > 0 ώστε B X (x, ρ x ) A. Τότε A = x A B X (x, ρ x ).

16 Κεφάλαιο2. Μετρικοί χώροι Αν B = x A B(x, ρ x ), τότε B ανοικτό υποσύνολο του E και A = B X = ( x A B(x, ρ x )) X = x A B X (x, ρ x ) = A. Για το αντίστροφο υποθέτουµε ότι A = B X, όπου B E, ανοικτό. Τότε για κάθε x A υπάρχει ρ x > 0 ώστε B(x, ρ x ) B, άρα B X (x, ρ x ) = B(x, ρ x ) X B X = A, εποµένως το A είναι ανοικτό. (ii): Εστω A κλειστό υποσύνολο του X. Τότε A c = X \ A ανοικτό υποσύνολο του X, εποµένως, από την (i), υπάρχει D E ανοικτό ώστε A c = D X, άρα A = X \ A c = X \ (D X) = X F, όπου F = E \ D κλειστό υποσύνολο του E. 2.3 Ευκλείδειοι Μετρικοί Χώροι Εστω X R m, X. Για κάθε x, y X, d(x, y) = x y, όπου η Ευκλείδια norm του R m, είναι η επαγόµενη ή η Ευκλείδια µετρική του X. Το ευγάρι (X, d) είναι Ευκλείδιος µετρικός χώρος που για συντοµία ϑα αναφέρεται και ως ο µετρικός χώρος X R m. Αν είναι norm του R m ισοδύναµη µε την ευκλείδια norm, δηλαδή υπάρχουν πραγµατικοί αριθµοί α, ϐ > 0 ώστε : και X R m, η ϐ x x α x για κάθε x R m. d (x, y) = x y για κάθε x, y X, είναι µετρική στον X, ισοδύναµη µε την Ευκλείδια µετρική d του X. Σηµειώνουµε ότι στον R m κάθε norm είναι ισοδύναµη µε την Ευκλείδια norm.

2.3. Ευκλείδειοι Μετρικοί Χώροι 17 Θεώρηµα 2.2. Εστω ο µετρικός X R m. Αν K X, έχουµε : Το σύνολο K είναι κλειστό και ϕραγµένο υποσύνολο του X αν και µόνο αν κάθε ακολουθία {x n } του K έχει συγκλίνουσα υπακολουθία σε στοιχείο του K. Απόδειξη. Εστω το K είναι κλειστό και ϕραγµένο υποσύνολο του X και x n = (x n (1), x n (2),..., x n (m)), n N ακολουθία του K. Τότε η ακολου- ϑία των πρώτων συντεταγµένων {x n (1)} της {x n } είναι ϕραγµένη, άρα έχει συγκλίνουσα υπακολουθία {x kn (1)}. Αν προχωρήσουµε στη δεύτερη συντεταγµένη της {x kn } έχουµε ότι υπάρχει υπακολουθία της {x kn } ώστε η πρώτη και η δεύτερη συντεταγµένη της υπακολουθίας να συγκλίνουν. Ετσι αν προχωρήσουµε εξαντλώντας τις συντεταγµένες προκύπτει υπακολουθία {y n } της {x n } ώστε y n (i) y(i) για κάθε i = 1, 2,..., m. Αν y = (y(1), y(2),..., y(m)) έχουµε ότι y n y. Πραγµατικά για κάθε ɛ > 0 υπάρχει n 0 ώστε y n (i) y(i) < ɛ για κάθε i = 1, 2,..., m και κάθε n n 0, άρα y n y < ɛ για κάθε n n 0, εποµένως y n y. Επειδή το K είναι κλειστό έχουµε ότι y K. Αντίστροφα αν κάθε ακολουθία του K έχει συγκλίνουσα υπακολουθία σε στοιχείο του K τότε το K είναι προφανώς κλειστό. Αποδεικνύουµε ότι το K είναι ϕραγµένο ως εξής : Αν το K δεν είναι ϕραγµένο, υπάρχει ακολουθία y n K µε y n n για κάθε n N. Αν {y kn } είναι συγκλίνουσα υπακολουθία της {y n } τότε η {y kn } είναι ϕραγµένη, άτοπο γιατί y kn k n για κάθε n. Άρα το K είναι και ϕραγµένο. Θεώρηµα 2.3. Για κάθε X R m, ο µετρικός χώρος X είναι διαχωρίσιµος. Απόδειξη. Το σύνολο Q m, όπου Q είναι το σύνολο των ϱητών είναι αρι- ϑµήσιµο και πυκνό στον R m. Εστω Q m = {r i i N} µια αρίθµηση του συνόλου. Για κάθε x X και για κάθε n N υπάρχει r i B(x, 1) n ή ισοδύναµα x B(r i, 1). Εποµένως B(r n i, 1 ) X. Εστω D = n {(i, n) N N B(r i, 1 ) X }. Για κάθε (i, n) D επιλέγουµε n x (i,n) B(r i, 1) X. Τότε η ακολουθία {x n (i,n)} είναι πυκνή στο X. Πραγ- µατικά για κάθε x X και κάθε n N υπάρχει r i B(x, 1 ) οπότε n x (i,n) B(x, 1 ) X. Άρα d(x, x n (i,n)) < 2, εποµένως η {x n (i,n)} είναι πυκνή στον X.

18 Κεφάλαιο2. Μετρικοί χώροι 2.4 Συµπάγεια Οπως αποδείξαµε προηγουµένως σε Ευκλείδειους µετρικούς χώρους τα κλειστά και ϕραγµένα υποσύνολα K του χώρου έχουν την ιδιότητα : κά- ϑε ακολουθία του K έχει συγκλίνουσα υπακολουθία σε στοιχείο του K. Η ιδιότητα αυτή του µετρικού χώρου K έχει πολύ σηµαντικές συνέπειες τόσο στη µαθηµατική ϑεωρία όσο και στις εφαρµογές. Χώροι µε αυτή την ιδιότητα απετέλεσαν αντικείµενο συστηµατικής µελέτης των µαθηµατικών και αναφέρονται ως συµπαγείς. Ετσι δίνουµε τον οισµό : ο µετρικός χώρος X ονοµάζεται συµπαγής αν κάθε ακολουθία του X έχει υπακολουθία που συγκλίνει σε στοιχείο του X. Επειδή ϑα αποδείξουµε παρακάτω ότι η συµπάγεια του X είναι ισοδύναµη µε την ιδιότητα ότι κάθε ανοικτή κάλυψη του X έχει πεπερασµένη υποκάλυψη, αρχίζουµε τη µελέτη της συµπάγειας µε τους αντίστοιχους ορισµούς. Εστω µετρικός χώρος X. Λέµε ότι η οικογένεια (A i ) i I είναι κάλυψη του X αν A i X για κάθε i και i I A i = X. Αν επιπλέον κάθε A i είναι ανοικτό υποσύνολο του X η (A i ) i I είναι ανοικτή κάλυψη του X. Αν (A i ) i I είναι κάλυψη του X και I I ώστε i I A i = X, λέµε ότι η (A i ) i I είναι υποκάλυψη του X που αντιστοιχεί στην (A i ) i I. Αν επιπλέον το I είναι πεπερασµένο (αριθµήσιµο) λέµε ότι η (A i ) i I είναι πεπερασµένη (αριθµήσιµη) υποκάλυψη του X ή ισοδύναµα ότι η κάλυψη (A i ) i I έχει πεπερασµένη (αριθµήσιµη) υποκάλυψη. Οταν χρειάζεται δηλώνουµε την κάλυψη στην οποία αντιστοιχεί η υποκάλυψη. Θεώρηµα 2.4. Αν X µετρικός χώρος, οι παρακάτω προτάσεις είναι ισοδύναµες (i) Ο X είναι συµπαγής, (ii) κάθε ανοικτή κάλυψη του X έχει πεπερασµένη υποκάλυψη. Απόδειξη. (i) = (ii): Εστω (A i ) i I είναι ανοικτή κάλυψη του X. Θα δείξουµε πρώτα ότι υπάρχει ρ > 0 τέτοιο ώστε για κάθε x X υπάρχει i x I ώστε B(x, ρ) A ix.

2.4. Συµπάγεια 19 Αν υποθέσουµε ότι αυτό δεν ισχύει, για κάθε ρ n = 1, n N υπάρχει n x n X ώστε B(x n, 1 n ) A i, για κάθε i I. Από την (i), υπάρχει υπακολουθία της {x n } που συµβολίζουµε πάλι µε {x n } που συγκλίνει σε σηµείο x X. Επειδή η (A i ) i I είναι κάλυψη του X έχουµε ότι x A i, για ένα τουλάχιστο i και επειδή A i ανοικτό υπάρχει r > 0 ώστε B(x, r) A i. Επειδή η x n συγκλίνει στο x, εχουµε ότι x n B(x, ɛ) για κάθε n n 0. Αν ɛ < r 2, τότε για κάθε n max{ 2, n r 0}, έχουµε B(x n, 1 ) B(x, r) A n i, άτοπο. Άρα υπάρχει ρ > 0 ώστε για κάθε x X υπάρχει i x I µε B(x, ρ) A ix. Θα δείξουµε ότι για αυτό το ρ υπάρχουν x 1,..., x n X ώστε X = n B(x i, ρ). i=1 Αν υποθέσουµε ότι δεν ισχύει η σχέση, τότε αρχίζοντας από κάποιο x 1 X µπορούµε να επιλέξουµε x 2 X \ B(x 1, ρ) και συνεχίζοντας µε αυτό τον τρόπο παίρνουµε την ακολουθία {x n } του X ώστε x n+1 X \ n i=1 B(x i, ρ) για κάθε n N. Τότε d(x n, x m ) ρ για κάθε n m, άρα η x n δεν έχει συγκλίνουσα υπακολουθία, που είναι άτοπο. Άρα υπαρχουν x 1,..., x n X ώστε X = n i=1 B(x i, ρ). Επειδή B(x i, ρ) A ixi, έχουµε X = n i=1 A i xi, άρα ισχύει η (ii). (ii) (i) : Υποθέτουµε ότι η ακολουθία {x n } του X δεν έχει συγκλίνουσα υπακολουθία. Τότε για κάθε x X υπάρχει ρ x > 0 ώστε B(x, ρ x ) περιέχει το πολύ πεπερασµένου πλήθους όρους της ακολουθίας. Η οικογένεια (B(x, ρ x )) x X είναι ανοικτή κάλυψη του X και από τη (ii) υπάρχει πεπερασµένη υποκάλυψη του X. Επειδή κάθε σφαίρα περιέχει πεπερασµένο πλήθος όρων της ακολουθίας η πεπερασµένη υποκάλυψη περιέχει και πεπερασµένο πλήθος στοιχείων της ακολουθίας, άτοπο. Άρα η {x n } έχει συγκλίνουσα υπακολουθία.

20 Κεφάλαιο2. Μετρικοί χώροι Μια οικογένεια συνόλων έχει την ιδιότητα της πεπερασµένης τοµής αν κάθε πεπερασµένη υποοικογένεια έχει µη κενή τοµή. Ετσι η οικογένεια {B i i I} υποσυνόλων του µετρικού χώρου X έχει την ιδιότητα της πεπερασµένης τοµής αν για κάθε J I πεπερασµένο, έχουµε i J B i. Θεώρηµα 2.5. Αν X µετρικός χώρος, οι παρακάτω προτάσεις είναι ισοδύναµες : (i) Ο X είναι συµπαγής, (ii) κάθε οικογένεια κλειστών υποσυνόλων του X µε την ιδιότητα της πεπερασµένης τοµής, έχει µη κενή τοµή. Απόδειξη. (i) (ii) : Εστω η οικογένεια (F i ) i I κλειστών υποσυνόλων του X ώστε i A F i, για κάθε A I πεπερασµένο. Θα δείξουµε ότι i I F i. Υποθέτουµε ότι i I F i =. Τότε ( i I F i ) c = i I F c i = X. Επειδή (F c i ) i I είναι ανοικτή κάλυψη του X, από το Θεώρηµα 2.4, υπάρχει A I πεπερασµένο ώστε i A F c i = X. Άρα έχουµε ( i A F c i )c = i A F i =, άτοπο γιατί η οικογένεια (F i ) i I έχει την ιδιότητα της πεπερασµένης τοµής, εποµένως i I F i. (ii) (i) : Σύµφωνα µε το Θεώρηµα 2.4 αρκεί να δείξουµε ότι κά- ϑε ανοικτή κάλυψη του X έχει πεπερασµένη υποκάλυψη. Εστω (A i ) i I ανοικτή κάλυψη του X. Τότε i I A i = X, άρα i I A c i =. Αν υποθέσουµε ότι i J A i X για κάθε J I πεπερασµένο έχουµε ότι i J A c i για κάθε J I πεπερασµένο, εποµένως i I A c i, άτοπο. Εποµένως υπάρχει πεπερασµένη υποκάλυψη της (A i ) i I, άρα ο X είναι συµπαγής. Παρατήρηση 2.6. Η έννοια της συµπάγειας γενικεύεται και σε γενικούς τοπολογικούς χώρους όπου όµως δεν ισχύει πλέον η ισοδυναµία του Θεω- ϱήµατος 2.4: κάθε ακολουθία του X έχει συγκλίνουσα υπακολουθία σε στοιχείο του X αν και µόνο αν κάθε ανοικτή κάλυψη του X έχει πεπερασ- µένη υποκάλυψη. Ειδικότερα ισχύει αυτή η ισοδυναµία αν η έννοια της ακολουθίας αντικατασταθεί µε την έννοια του δικτύου. Ετσι στη σύγχονη µαθηµατική ϐιβλιογραφία σε οποιδήποτε τοπολογικό χώρο (µετρικό ή µη) ως ορισµός της συµπάγειας δίνεται συνήθως εκείνος µε τις ανοικτές καλύψεις.

2.4. Συµπάγεια 21 Θεώρηµα 2.7. Ο µετρικός χώρος X είναι διαχωρίσιµος αν και µόνο αν για κάθε ανοικτή κάλυψη (A i ) i I του X υπάρχει αριθµήσιµη υποκάλυψη. Απόδειξη. Υποθέτουµε ότι ο X είναι διαχωρίσιµος και ότι {x n } είναι πυκνή ακολουθία στον X. Εστω (A i ) i I ανοικτή κάλυψη του X. Για κάθε A i και για κάθε x A i υπάρχει m N ώστε B(x, 1 ) A m i γιατί το A i είναι ανοικτό. Επειδή η {x n } 1 είναι πυκνή στον X υπάρχει x n B(x, ), άρα έχουµε x B(x 1 2m n, ) και 2m 1 B(x n, ) B(x, 1 ) A 2m m i. Πραγµατικά για τη τελευταία σχέση έχουµε 1 ότι για κάθε z B(x n, ) έχουµε d(x, z) d(x, x 2m n) + d(x n, z) 1. Για m κάθε i ορίζουµε το σύνολο F i = {(n, m) N N B(x n, 1 m ) A i}, οπότε έχουµε : A i = (n,m) F i B(x n, 1 m ), γιατί κάθε x A i περιέχεται σε κάποιο B(x n, 1 ). Επειδή (A m i) i I κάλυψη του X έχουµε ότι X = B(x n, 1 m ), (n,m) F όπου F = F i N N. Για κάθε (n, m) F επιλέγω i = i(n, m) I ώστε B(x n, 1 m ) A i(n,m), οπότε έχουµε : X = (n,m) F A i(n,m), άρα (A i(n,m) ) (n,m) F είναι αριθµήσιµη υποκάλυψη του X. Για το αντίστροφο υποθέτουµε ότι για κάθε ανοικτή κάλυψη του X υπάρχει αριθµήσιµη ( υποκάλυψη. Τότε για κάθε k N σταθερό, έχουµε ότι η οικογένεια B(x, 1)) είναι ανοικτή κάλυψη του X, άρα υπάρχει k x X αριθµήσιµη υποκάλυψη ( B(x k n, 1 k )) n N

22 Κεφάλαιο2. Μετρικοί χώροι του X. Το σύνολο {x k n n, k N}, είναι αριθµήσιµο και πυκνό στον X, άρα ο X είναι διαχωρίσιµος. 2.5 Συνέχεια συναρτήσεων Εστω X µετρικός χώρος και f : X R. Η f είναι συνεχής στο x X αν για κάθε ακολουθία {x n } του X ισχύει x n x f (x n ) f (x). Επειδή η f (x n ) συγκλίνει στο f (x) αν και µόνο αν limf (x n ) = limf (x n ) = f (x), η παραπάνω συνεπαγωγή γράφεται ως εξής x n x limf (x n ) f (x) και limf (x n ) f (x), όπου µε limf (x n ) και limf (x n ) συµβολίζουµε το ανώτερο και κατώτερο όριο της ακολουθίας {f (x n )}. Ετσι η συνέχεια της συνάρτησης διασπάται στις δυο παρακάτω συνθήκες και x n x limf (x n ) f (x) x n x limf (x n ) f (x). που όταν ισχύουν ταυτόχρονα εξασφαλίζουν τη συνέχεια. Οταν ισχύει µια από αυτές η συνάρτηση είναι άνω ή κάτω ηµισυνεχής στο x. Στη διεθνή ϐιβλιογραφία ορίζονται διάφορα είδη ηµισυνέχειας. Ειδικά για συναρτήσεις χρησιµοποιείται ο όρος semicontinious και για πλειότιµες απεικονίσεις οι όροι hemicontinious και demicontinious. Στό ϐιβλίο αυτό για συναρτήσεις ϑα χρησιµοποιήσουµε τον ελληνκό όρο ηµισυνέχεια και για πλειότιµες απεικονίσεις ϑα διατηρήσουµε την αγγλική ορολογία. Εστω f : X R και x X. Αν για κάθε ακολουθία {x n } του X ισχύει x n x limf (x n ) f (x),

2.5. Συνέχεια συναρτήσεων 23 ϑα λέµε ότι η f είναι άνω ηµισυνεχής στο x. Αν για κάθε ακολουθία {x n } του X ισχύει x n x limf (x n ) f (x), ϑα λέµε ότι η f είναι κάτω ηµισυνεχής στο x. Αν η f είναι άνω (κάτω) ηµισυνεχής για κάθε x X ϑα λέµε ότι η f είναι άνω (κάτω) ηµισυνεχής στο X. Θεώρηµα 2.8. Αν X µετρικός χώρος και f : X R, έχουµε : (i) Η f είναι άνω ηµισυνεχής στο X αν και µόνο αν f 1 ([a, + )) είναι κλειστό για κάθε a R, (ii) Η f είναι κάτω ηµισυνεχής στο X αν και µόνο αν f 1 ((, a]) είναι κλειστό για κάθε a R. Απόδειξη. (i): Εστω ότι η f είναι άνω ηµισυνεχής. Υποθέτουµε ότι x n f 1 ([a, + )) και ότι x n x. Θα δείξουµε ότι f (x) a, οπότε το f 1 ([a, + )) είναι κλειστό. Εστω ότι f (x) < a και έστω ϐ R µε f (x) < ϐ < a. Επειδή η f είναι άνω ηµισυνεχής έχουµε limf (x n ) f (x), άρα υπάρχει υπακολουθία {x kn } της {x n } µε f (x kn ) < ϐ για κάθε n, άτοπο γιατί υποθέσαµε ότι f (x n ) a για κάθε n. Άρα για κάθε a R, f 1 ([a, + )) είναι κλειστό. Για το αντίστροφο υπο- ϑέτουµε ότι f 1 ([a, + )) είναι κλειστό για κάθε a R. Αν η f δεν είναι άνω ηµισυνεχής υπάρχει x X και ακολουθία {x n } του X ώστε x n x και limf (x n ) > f (x) και έστω limf (x n ) ϐ > γ > f (x). Από τις υποθέσεις αυτές έχουµε ότι υπάρχει υπακολουθία {x kn } της {x n } ώστε f (x kn ) > γ > f (x) για κάθε n. Ετσι έχουµε x kn f 1 ([γ, + )), x kn x και x f 1 ([γ, + )), άτοπο γιατί υποθέσαµε ότι f 1 ([a, + )) είναι κλειστό για κάθε a. Άρα η f είναι άνω ηµισυνεχής στο X. Ανάλογα αποδεικνύεται και η (ii). Θεώρηµα 2.9. Εστω X συµπαγής µετρικός χώρος και f : X R. Τότε έχουµε : (i) Αν η f είναι άνω ηµισυνεχής στο X, η f παίρνει µέγιστη τιµή στο X. Το σύνολο K των σηµείων που µεγιστοποιείται η f είναι συµπαγές υποσύνολο του X.