5. Λύση γραμμικών συστημάτων με τη μέθοδο GAUSS-JORDAN

5. Λύση γραμμικών συστημάτων με τη μέθοδο GAUSS-JORDAN 5.1. Ορισμός: Γραμμική Εξίσωση με n αγνώστους, x 1, x 2,.. x n λέγεται μια εξίσωση της μορφής: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β 1, όπου τόσο οι συντελεστές α i όσο και οι άγνωστοι x i παίρνουν τιμές πραγματικούς αριθμούς. 1

Αν θεωρήσουμε m γραμμικές εξισώσεις με n αγνώστους, x 1, x 2,, x n, θα έχουμε ένα Γραμμικό Σύστημα m εξισώσεων με n αγνώστους, ή πιο σύντομα ένα σύστημα mxn. α 11 x 1 + α 12 x 2 + + α 1n x n = β 1 α 21 x 1 + α 22 x 2 + + α 2n x n = β 2... α m1 x 1 + α m2 x 2 + + α mn x n = β n 2

Ομογενές γραμμικό σύστημα Ένα γραμμικό σύστημα λέγεται ομογενές, αν όλοι οι σταθεροί του όροι είναι μηδέν. Η γενική μορφή ενός ομογενούς συστήματος m εξισώσεων με n αγνώστους θα είναι η παρακάτω: α 11 x 1 + α 12 x 2 + + α 1n x n = 0 α 21 x 1 + α 22 x 2 + + α 2n x n = 0... α m1 x 1 + α m2 x 2 + +α mn x n = 0 3

Λύση ενός γραμμικού συστήματος λέγεται η εύρεση μιας n-αδας αριθμών, οι οποίοι αν τεθούν στη θέση των αγνώστων επαληθεύουν όλες τις εξισώσεις του συστήματος. Παρατήρηση: Αν το σύστημα είναι ομογενές έχει πάντα τη μηδενική λύση. 4

5.2. Ένα γραμμικό σύστημα μπορεί να λυθεί με διάφορους τρόπους. Ένας από αυτούς είναι η Μέθοδος των διαδοχικών απαλοιφών του Gauss(Αλγόριθμος Gauss-Jordan), η οποία βασίζεται στους λεγόμενους στοιχειώδεις μετασχηματισμούς γραμμών (γραμμοπράξεις), που είναι πράξεις μεταξύ των γραμμών, δηλαδή των γραμμικών εξισώσεων και βασίζονται στις παρακάτω γνωστές ιδιότητες: 5

1. Mπορούμε να εναλλάξουμε τη θέση δυο εξισώσεων σε ένα σύστημα, με σκοπό να έχουμε ως πρώτη εξίσωση εκείνη που θα έχει μη μηδενικό συντελεστή του χ ως πρώτον όρο. 2. Μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε ή να διαιρέσουμε και τα δυο μέλη μιας εξίσωσης με τον ίδιο αριθμό. 6

3. Αν σε ένα σύστημα προσθέσουμε μια εξίσωση σε μια δεύτερη και αντικαταστήσουμε τη δεύτερη με το άθροισμα των δύο, τότε προκύπτει ισοδύναμο σύστημα. 5.3. Παρατηρήσεις: 1. Οι δυο προηγούμενες πράξεις μπορούν να γίνουν συγχρόνως, 7

δηλαδή μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε και τα δυο μέλη μιας εξίσωσης με τον ίδιο αριθμό και να προσθέσουμε το γινόμενο σε μια άλλη. Θα προκύψει ισοδύναμο σύστημα. 2. Με αυτές τις πράξεις μετατρέπουμε σιγάσιγά το σύστημα σε άλλο ισοδύναμο, στο οποίο στην κάθε εξίσωση θα υπάρχει μόνον ένας άγνωστος, οπότε και θα προκύψει άμεσα η λύση του συστήματος. 8

5.4. Παράδειγμα: Να λυθεί το παρακάτω σύστημα με τη μέθοδο των διαδοχικών απαλοιφών: Λύση: 2x - 4y + 6z = 0 2x - 3y + 4z = -2-2x - y + 2z = 6 1) Διαιρούμε και τα δυο μέλη της πρώτης εξίσωσης δια του συντελεστή του x. Θα προκύψει το ισοδύναμο σύστημα: 9

x - 2y + 3z = 0 2x - 3y + 4z = -2-2x - y + 2z = 6 2) Προσθέτουμε την πρώτη πολλαπλασιασμένη επί -2 στη δεύτερη και επίσης την πρώτη πολλαπλασιασμένη επί 2 στην τρίτη. 10

Θα προκύψει το ισοδύναμο σύστημα: x - 2y + 3z = 0 y - 2z = -2-5y + 8z = 6 3) Προσθέτουμε τη δεύτερη πολλαπλασιασμένη επί 5 στην τρίτη: x - 2y + 3z = 0 y - 2z = -2-2z = -4 11

4) Διαιρούμε την τρίτη εξίσωση δια -2: x - 2y + 3z = 0 y - 2z = -2 z = 2 5) Προσθέτουμε την τρίτη πολλαπλασιασμένη επί 2 στη δεύτερη εξίσωση. Θα προκύψει το ισοδύναμο σύστημα: x - 2y + 3z = 0 y = 2 z = 2 12

6) Προσθέτουμε την τρίτη πολλαπλασιασμένη επί -3 στην πρώτη. Θα προκύψει το ισοδύναμο σύστημα: x -2y = -6 y = 2 z = 2 7) Προσθέτουμε τη δεύτερη πολλαπλασιασμένη επί 2 στην πρώτη. Θα προκύψει το ισοδύναμο σύστημα: x = -2 y = 2 z = 2 13

Η τελευταία αυτή μορφή είναι και η τελική, αφού μας δίνει τη λύση του συστήματος, που είναι: x = -2, y = 2, z = 2 ή (x, y, z ) = (-2, 2, 2 ) Επειδή οι παραπάνω πράξεις γίνονται μεταξύ των συντελεστών, μπορούμε να παραλείψουμε τους αγνώστους. Ο πίνακας που θα προκύψει, θα είναι ο πίνακας των συντελεστών των αγνώστων, επαυξημένος κατά μια ακόμα στήλη, τη στήλη των 14

σταθερών όρων. Ο πίνακας αυτός λέγεται επαυξημένος πίνακας ή πίνακας Gauss- Jordan. Στο παράδειγμά μας θα είναι ο παρακάτω: Με τις ίδιες ακριβώς γραμμοπράξεις μεταξύ των γραμμών του παραπάνω πίνακα, θα καταλήξουμε στην ισοδύναμη μορφή του επαυξημένου πίνακα, 15

όπου στο πρώτο μέρος υπάρχει το 1 στη θέση του κάθε αγνώστου και τα άλλα στοιχεία είναι μηδέν. Τότε η στήλη του δεύτερου μέλους λύση του συστήματος: μας δίνει τη 16

5.5. Παρατηρήσεις: 1. Αν κατά τη διαδικασία αυτή προκύψει μια γραμμή με όλα τα στοιχεία μηδέν, δηλαδή αν μια γραμμή γίνει τελικά 0 0 0 : 0, τότε η γραμμή αυτή μπορεί να παραλειφθεί, και το σύστημα θα είναι αόριστο, με ελεύθερο κάποιον από τους αγνώστους 17

2. Αν κατά τη διαδικασία αυτή προκύψει μια γραμμή με όλα τα στοιχεία του πρώτου μέλους μηδέν και το δεύτερο μέλος είναι διάφορο του μηδενός, δηλαδή αν μια γραμμή γίνει τελικά 0 0 0 : βi, με βi 0 τότε το σύστημα είναι αδύνατο. 18

Εφαρμογή: Να λυθεί το παρακάτω σύστημα με τη μέθοδο GAUSS-JORDAN: x + y - z = 1 x + 2y + 2z = -1 x + 4y - 2z = 5 Λύση: Ο επαυξημένος πίνακας του συστήματος θα είναι: 19

Α) Προσθέτουμε την πρώτη γραμμή πολλαπλασιασμένη επί -1 στη δεύτερη και επίσης την πρώτη πολλαπλασιασμένη επί -1 στην τρίτη. Θα έχουμε τον πίνακα: 20

Β) Στον παραπάνω πίνακα προσθέτουμε τη δεύτερη γραμμή πολλαπλασιασμένη επί -3 στην Τρίτη. Θα έχουμε τον πίνακα: 21

Γ) Διαιρούμε την τρίτη εξίσωση δια -10. Θα έχουμε τον πίνακα: Δ) Στον προηγούμενο πίνακα προσθέτουμε την τρίτη γραμμή, πολλαπλασιασμένη επί -3, στη δεύτερη(για να μηδενισθεί το 3 στη δεύτερη γραμμή). Θα έχουμε: 22

Ε) Προσθέτουμε επίσης την τρίτη γραμμή στην πρώτη(για να μηδενιστεί το -1 της πρώτης γραμμής). Θα έχουμε: 23

Ζ) Τέλος στον προηγούμενο πίνακα προσθέτουμε την δεύτερη γραμμή, πολλαπλασιασμένη επί -1 στην πρώτη. Θα έχουμε την τελική μορφή, που απεικονίζει τη μοναδική λύση του συστήματος: που είναι: x = -1, y = 1, z = -1 ή (x, y, z ) = (-1, 1, -1 ) 24

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να λυθoύν τα παρακάτω συστήματα με τη μέθοδο των Διαδοχικών Απαλοιφών (Gauss-Jordan): i) 2x + 4y 3w = 1 ii) x y + z = 3 x + y + 2w = 9 x + y + z = 5 3x + 6y - 5w = 0-2x +4y - 4z = 1 iii) x - y + 3z = 3 iv) x - 3 y + z = 5-2x + 3y - 11z =-4-2x + 7y - 6z = -9 x - 2y + 8z = 6 x - 2y - 3z = 6 25

2. To ίδιο για τα συστήματα: i) x y + z = 3 ii) 2x + 2y +4z = 8 x + y - z = 5 x - y + 2z = 2-2x +4y - 4z = 1 -x + 5y 2z = 2 iii) x + y + z = -1 iv) x - 3y + 2z = 10 2x + 3y + 2z = 3 -x + 3y - z = -6 2x + y + 2z = -7 -x + 3y + 2z = 6 26

3. Σ ένα εργοστάσιο αλλαντικών, παρασκευάζονται τρία είδη ζαμπόν, από τρία διαφορετικά κρέατα, χοιρινό,μοσχαρίσιο και κοτόπουλο. Αν για την παρασκευή ενός πακέτου από το πρώτο είδος ζαμπόν, χρειάζονται 1 κιλό χοιρινό, 1 κιλό μοσχάρι και 5 κιλά κοτόπουλο, από το δεύτερο είδος χρειάζονται 4, 2 και 2 κιλά αντίστοιχα και από το τρίτο είδος χρειάζονται μόνο 4 κιλά χοιρινό και 2 κιλά μοσχάρι, να βρείτε πόσα πακέτα από το κάθε είδος 27

παρασκευάζονται σε μια βάρδια, αν χρησιμοποιούνται για το σκοπό αυτό 180 κιλά χοιρινό, 100 κιλά μοσχάρι και 150 κιλά κοτόπουλο. 4. Σ ένα εργαστήριο επιστημονικών πειραμάτων, ένας ερευνητής, θέλει να δίνει σ ένα κουνέλι ακριβώς 1000 μονάδες βιταμίνης Α, 1600 μονάδες βιταμίνης C και 2400 μονάδες βιταμίνης Ε. Το κουνέλι τρέφεται κάθε μέρα με ένα μίγμα από τρία είδη τροφής. Κάθε γραμμάριο από το 1 ο είδος τροφής 28

περιέχει 2 μονάδες βιταμίνης Α, 3 μονάδες βιταμίνης C και 5 μονάδες βιταμίνης Ε. Κάθε γραμμάριο από το 2 ο είδος τροφής περιέχει 4 μονάδες βιταμίνης Α, 7 μονάδες βιταμίνης C και 9 μονάδες βιταμίνης Ε. Κάθε γραμμάριο από το 3 ο είδος τροφής περιέχει 6 μονάδες βιταμίνης Α, 10 μονάδες βιταμίνης C και 14 μονάδες βιταμίνης Ε. Πόσα γραμμάρια από κάθε είδος τροφής θα πρέπει να τρώει το κουνέλι κάθε μέρα; 29