ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι 11 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ 2016

ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οικονομικές Συναρτήσεις με μεταβλητούς ρυθμούς μεταβολής. Μορφές μη γραμμικών συναρτήσεων: Πολυωνυμικές, ρητές (πηλίκο δύο πολυωνυμικών συναρτήσεων) και συναρτήσεις δύναμης, όπου ο εκθέτης της ανεξάρτητης μεταβλητής x είναι πραγματικός αριθμός. Εκθετικές με τις αντίστροφες τους λογαριθμικές. Περιοδικές συναρτήσεις.

ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I Μορφή: f x = ax 2 + βx + γ, όπου α, β, γ σταθερές και α 0. Χαρακτηριστικά της συνάρτησης: i. Τα στάσιμα σημεία της, τα σημεία στα οποία ο ρυθμός μεταβολής μηδενίζεται. ii. Τα μηδενικά της, οι ρίζες της εξίσωσης f x = 0. Ρίζες: Έστω x 1 και x 2 είναι ρίζες της τετραγωνικής εξίσωσης f x = ax 2 + βx + γ = 0. Τότε αν β 2 4αγ 0 και α 0, οι x 1 και x 2 είναι πραγματικές και x 1 = β β2 4αγ 2α και x 2 = β+ β2 4αγ 2α Έχουμε επίσης: ax 2 + βx + γ = α x x 1 x x 2

ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ II Αν α > 0, τότε το x = β είναι θέση ελάχιστου σημείου με 2α ελάχιστη τιμή την f β β2 = γ. 2α 4α Αν α < 0, τότε το x = β είναι θέση μέγιστου σημείου με μέγιστη 2α τιμή την f β β2 = γ. 2α 4α Οι τετραγωνικές συναρτήσεις μπορούν να περιγράψουν οικονομικά μεγέθη που μεταβάλλονται (αυξάνονται ή μειώνονται) με φθίνοντα ρυθμό, έως ότου σε κάποιο σημείο ο ρυθμός αυτός ελαχιστοποιείται (μηδενίζεται) και το οικονομικό μέγεθος παίρνει στο μοναδικό αυτό σημείο την μέγιστη ή την ελάχιστη τιμή του. Πέραν του σημείου αυτού η τιμή του οικονομικού μεγέθους αυξάνει η φθίνει με αύξοντα ρυθμό.

ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ IIΙ Μεγιστοποίηση εσόδων μιας ατελώς ανταγωνιστικής αγοράς. Η συνάρτηση ζήτησης : P = α βq, β > 0. Συνάρτηση ολικών εσόδων: TR = R Q = PxQ = aq βq 2. Η R Q μεγιστοποιείται στο σημείο: Q = α = α με μέγιστη τιμή R 2 β 2β Q = 0 a2 = a2. 4 β 4β Μηδενικά στα σημεία: Q = 0 και Q = α. β Συνάρτηση ολικού κόστους Μεγιστοποίηση εσόδων. Συνάρτηση συνολικού κόστους:tc Q = α 1 Q + a 2 Q 2, α 1 0, a 2 > 0. Συνάρτηση ζήτησης: P = β 1 β 2 Q, β 1 0, β 2 > 0, Q 0. Συνάρτηση ολικών εσόδων: R Q = PxQ = β 1 Q β 2 Q 2. Συνάρτηση ολικών κερδών: π Q = R Q TC Q = β 1 α 1 Q (β 2 α 2 )Q 2 Μεγιστοποιεί τα κέρδη στο σημείο: Q = α 1 β 1 με μέγιστα κέρδη π Q = α 1 β 1 2 β 2 +α 2 4 α 2 +β 2 2

ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ IV ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΕΤΑΤΡΑΦΩΝΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟ ΤΡΙΑ ΣΗΜΕΙΑ Για να προσδιορίσουμε τις παραμέτρους α, β, και γ μιας τετραγωνικής συνάρτησης όταν έχουμε τρία σημεία x 1, y 1, x 2, y 2 και x 3, y 3, επιλύουμε το σύστημα: x 1, y 1 y 1 = γ + βx 1 + αx 1 2 x 2, y 2 y 2 = γ + βx 2 + αx 2 2 x 3, y 3 y 3 = γ + βx 3 + αx 3 2 Από την επίλυση του οποίου παίρνουμε τις τιμές των α, β, και γ. Σύστημα δύο τετραγωνικών συναρτήσεων.

ΚΥΒΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Γενική μορφή: f x = ax 3 + βx 2 + γx + δ Ρίζες και στάσιμα: i. Είναι μονοτονικά αύξουσες αλλά αυξάνουν με φθίνοντα ρυθμό στο διάστημα από x = 0 έως το σημείο x 0 = 0, στο σημείο ο ρυθμός μεταβολής ελαχιστοποιείται. Για για τιμές της x > x 0, είναι πάλι μονοτονικά αύξουσες αλλά με αύξοντα ρυθμό. Στη γλώσσα της οικονομικής θεωρίας οι τιμές των συναρτήσεων αυτών ακολουθούν το νόμο των φθινουσών οριακών αποδόσεων στο διάστημα από x = 0 έως το σημείο x 0 = 0, και το νόμο των αυξουσών οριακών αποδόσεων για τιμές της x > x 0. Δηλαδή οι οικονομικές αυτές συναρτήσεις έχουν ένα σημείο καμπής και κανένα στάσιμο. Μια τυπική συνάρτηση είναι η βραχυχρόνια συνάρτηση ολικού κόστους C(Q).

ΚΥΒΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΙΙ Ρίζες και στάσιμα 2: ii. Οι συναρτήσεις της κατηγορίας αυτής είναι ίδιες με τις προηγούμενες ως προς το πρόσημο του ρυθμού μεταβολής και το σημείο καμπής. Ο ρυθμός μεταβολής τους όμως παρουσιάζει την αντίθετη ακριβώς συμπεριφορά για τις τιμές της x πριν και μετά το σημείο καμπής x 0. Ειδικότερα, για τιμές της x από 0 έως και x 0, οι συναρτήσεις αυτές αυξάνουν με αύξοντα ρυθμό. Στο σημείο x 0 ο ρυθμός μεταβολής τους μεγιστοποιείται και για τιμές x > x 0, αυξάνουν αλλά με φθίνοντα ρυθμό. Στη γλώσσα της οικονομικής θεωρίας οι τιμές των συναρτήσεων αυτών ακολουθούν το νόμο των αυξουσών οριακών αποδόσεων για τιμές της x στο διάστημα από x = 0 έως και x = x 0 και το νόμο των φθινουσών οριακών αποδόσεων για τιμές της x > x 0. Έτσι οι συναρτήσεις αυτές έχουν ένα σημείο καμπής και ένα στάσιμο σημείο στο οποίο μεγιστοποιούνται. Μια τυπική οικονομική συνάρτηση που ακολουθεί τη συμπεριφορά αυτή είναι η συνάρτηση ολικής παραγωγής ή ολικού προϊόντος Q=f(x), όπου Q είναι η παραγόμενη ποσότητα ενός προϊόντος και x η χρησιμοποιούμενη ποσότητα ενός συντελεστή παραγωγής.

ΚΥΒΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΙΙΙ Ρίζες και στάσιμα 3: iii. Οι συναρτήσεις της κατηγορίας αυτής έχουν ένα σημείο, έστω x 1, στο οποίο ελαχιστοποιούνται και ένα σημείο, έστω x 2, στο οποίο μεγιστοποιούνται. Αυτό συνεπάγεται ένα σημείο καμπής x 0, f(x 0 ) μεταξύ των σημείων x 1 και x 2. Και αυτό, γιατί για να περάσουμε από την ελάχιστη στη μέγιστη τιμή, θα πρέπει το γράφημα της συνάρτησης να έχει ένα ενδιάμεσο σημείο, στο οποίο να αλλάζει καμπυλότητα στρέφοντας τα κοίλα από πάνω προς τα κάτω. Μια τυπική τέτοια συνάρτηση είναι των ολικών κερδών π(x).

ΓΕΝΙΚΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Γενική μορφή. Η συνάρτηση f, f x = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, x, όπου α 0, α 1,, α n σταθερές και α n 0 ονομάζεται πολυώνυμο n-οστού βαθμού με συντελεστές α 0, α 1,, α n. Θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας: Κάθε πολυώνυμο f(x), n-οστού βαθμού, με ρητούς, πραγματικούς n μιγαδικούς συντελεστές έχει τουλάχιστον μια ρίζα. Κάθε πολυωνυμική εξίσωση μιας μεταβλητής n-οστού βαθμού, μπορεί να εκφραστεί ως γινόμενο n γραμμικών παραγόντων. Για οποιαδήποτε δύο πολυώνυμα P(x) και Q(x), τέτοια ώστε ο βαθμός του P(x) δεν είναι μικρότερος του βαθμού του Q(x) υπάρχει ένα και μόνο ένα ζεύγος πολυωνύμων g(x) και Q(x) που ικανοποιούν την ταυτότητα P x = g x Q x + R(x) όπου ο βαθμός του R(x) είναι μικρότερος του Q(x). Ο Ρ(x) είναι διαιρετέος, Q(x) είναι διαιρέτης και g(x) είναι το πηλίκο και R(x) είναι το υπόλοιπο. Εάν διαιρέσουμε με Q(x) 0, παίρνουμε: P(x) Q(x) = g x + R(x) Q(x). Η διαίρεση των πολυωνύμων ακολουθεί τον ίδιο κανόνα διαίρεσης αριθμών. Αν R(x)=0, τότε λέμε ότι η Q(x) είναι ένας παράγων του Ρ(x), ή ότι το P(x) είναι διαιρέσιμο για Q(x). Σε αυτή την περίπτωση έχουμε: P x = g x Q(x) ή P(x) Q x = g(x).

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οικογένεια μη γραμμικών συναρτήσεων που έχουν την ανεξάρτητη μεταβλητή ως εκθέτη μιας σταθεράς b που ονομάζεται βάση. Έχουν τη γενική μορφή: f x = Ab t, όπου Α και b 1 θετικές σταθερές (1) Από την (1) και την ιδιότητα b α b β = b a+b προκύπτει: f t + 1 = Ab t+1 = Abb t = bab t = bf t (2) Δηλαδή η τιμή της f στον χρόνο t+1 ισούται προς το την τιμή της f στον χρόνο t πολλαπλασιασμένη επί τη βάση b. Εναλλακτικά η βάση b είναι ο παράγοντας με τον οποίο η f(t) μεταβάλλεται όταν η t αυξηθεί κατά μια μονάδα.

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΙΙ Από τον συνδυασμό των ανωτέρω προκύπτουν τα εξής: Αν b > 1, τότε η αντίστοιχη οικονομική συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα, ονομάζεται συνάρτηση μεγέθυνσης και σύμφωνα με την (2) η b ονομάζεται και παράγων μεγέθυνσης. Παραδείγματα τέτοιων συναρτήσεων είναι η συνάρτηση ανατοκισμού και η συνάρτηση πληθυσμού μεταξύ άλλων. Αν b βρίσκεται μεταξύ 0 και 1, τότε η αντίστοιχη οικονομική συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα, ονομάζεται παράγων φθίσης. Παραδείγματα τέτοιων συναρτήσεων είναι γενικά οι συναρτήσεις απαξίωσης διάφορων οικονομικών μεγεθών, όπως απόσβεσης περιουσιακών στοιχείων, κλπ. Γενικά, οι εκθετικές συναρτήσεις μπορούν να εκφράσουν οικονομικά μεγέθη, οι τιμές των οποίων μεταβάλλονται συνήθως με το χρόνο και που αυξάνουν λη φθίνουν με ένα σταθερό παράγοντα για κάθε μονάδα χρόνου.

ΑΣΥΝΕΧΗΣ ΑΝΑΤΟΚΙΣΜΟΣ Συνάρτηση ανατοκισμού: A t = f x = A 1 + r t, t = 1, 2, 3, με βάση b=1+r. Επίσης με βάση την (2) έχουμε: f t + 1 = 1 + r f(t) Παρούσα αξία: A = A t 1+r t Α: η παρούσα αξία του A t, το ποσό το οποίο θα καταθέσουμε στην αρχή του πρώτου έτους για να εισπράξουμε το ποσό A t στο τέλος των t χρόνων. Προεξόφληση μελλοντικών αποδοχών. 1 (1 + r): ρυθμός ή παράγοντας προεξόφλησης Γενίκευση του ανατοκισμού: A t = A 1 + r n nt = A 1 + r n Όπου A t είναι το τελικό ποσό, ενός αρχικού ποσού Α με ετήσιο επιτόκιο r, όταν αυτό ανατοκίζεται n φορές το χρόνο για t χρόνια. n t

ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΠΑΓΙΩΝ ΠΕΡΙΟΥΣΙΑΚΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ Η εναπομένουσα αξία του πάγιου περιουσιακού στοιχείου: A t = A 0 1 r t Η συνάρτηση που διέπει τη συμπεριφορά μεγέθυνσης διαφόρων ειδών πληθυσμών από βακτήρια έως ανθρώπων είναι η ακόλουθη: P t = f t = P 0 1 + r t

ΦΥΣΙΚΕΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Γενική μορφή: f x = e rt. Συνεχής ανατοκισμός: V = f t = Ae rt. Προεξόφληση: A = V = e rt Ve rt, όπου V είναι η μελλοντική αξία μιας αρχικής ή παρούσας αξίας Α. Αν μια οικονομική μεταβλητή με αρχική τιμή Α μεταβάλλεται σε σχέση με το χρόνο με ένα σταθερό ρυθμό r, τότε στο τέλος της t περιόδου θα γίνει: f x = f x = Aert, αν η f ειναι αυξουσα Ae rt, αν η f ειναι φθινουσα Δηλαδή με r > 0 είναι μια συνάρτηση μεγέθυνσης και με r < 0 είναι μια συνάρτηση φθίσης. Πραγματικό επιτόκιο: r 0 = 1 + r n 1, r0 : το πραγματικό επιτόκιο. n Οικονομική ερμηνεία του e (1): είναι η αξία ενός ευρώ στο τέλος ενός έτους όταν το ετήσιο επιτόκιο ανατοκισμού είναι 100% και ο αριθμός των περιόδων ανατοκισμού αυξάνει χωρίς όριο (τείνει στο άπειρο). Οικονομική ερμηνεία του e (2): αν καταθέσουμε στην τράπεζα ένα ευρώ με ετήσιο επιτόκιο r=α και συνεχή ανατοκισμό, τότε στο τέλος των t= β ετών θα πάρουμε ποσό ίσο με e.

ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Λογάριθμος: 1. Αν y > 0, b > o και b 1 τότε η εξίσωση b x = y έχει μοναδική λύση στο R. 2. Αν y > 0 και b R + -{1} τότε το μοναδικό πραγματικό αριθμό x στον οποίο θα πρέπει να υψώσουμε τον b για να πάρουμε τον y, δηλαδή ο x ικανοποιεί την εξίσωση b x = y, ονομάζουμε λογάριθμο του y με βάση τον b και τον συμβολίζουμε με x = log b y. Έχουμε δηλαδή b x = y x = log b y. 3. Θεμελιώδης λογαριθμική ταυτότητα: b log b y = y και x = log b b x b log b x = x και x = log b b x log a b log b x = log a x

ΦΥΣΙΚΕΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έχουν βάση το e και συμβολίζεται με ln. Έχουμε την ισοδυναμία: e y = a y = log e a = ln a. Με αντικατάσταση της y = ln a στην e y = a, παίρνουμε: e lna = a, a > 0, και α x = e lna x, a > 0. Πιο γενικά ισχύει: e y = f x y = ln f(x). Με αντικατάσταση της y = ln f(x) στην e x = f x, παίρνουμε: e ln f(x) = f x, f(x) > 0 Και αντίστροφα: ln e a = a, a > 0, ln e ax = a x, a x > 0 και ln e f(x) = f x, f(x) > 0 Κάθε συνάρτηση f(x) > 0, εκθετική ή μη, συνεχούς ή ασυνεχούς μεταβλητής μπορεί να αναχθεί σε μια φυσική εκθετική συνάρτηση της μορφής e ln f(x).

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΚΑΙ ΕΚΘΕΤΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Οικονομικές συναρτήσεις απεριόριστης μεγέθυνσης. Έχουν τη γενική μορφή y = f t = Ae rt, αν είναι συναρτήσεις οικονομικής μεγέθυνσης και y = f t = Ae rt, αν είναι συναρτήσεις οικονομικής φθίσης (αποσβέσεις, απαξιώσεις παγίων περιουσιακών στοιχείων, κλπ.). Τυπικό παράδειγμα μεταξύ άλλων η μεγέθυνση πληθυσμών. Αν P(t) ο πληθυσμός μιας πόλης το χρόνο t και P 0 ο αρχικός πληθυσμός, τότε η υπόθεση ότι ο πληθυσμός αυξάνει συνεχώς με σταθερό ρυθμό r, εκφράζεται με τη συνάρτηση εκθετικής μεγέθυνσης: P t = P 0 e rt. Γενικά ο χρόνος t που απαιτείται, ώστε ένα αρχικό ποσό P 0 να πολλαπλασιαστεί επί k όταν αυτό αυξάνει εκθετικά με σταθερό ετήσιο ρυθμό r ικανοποιεί την εξίσωση: kp 0 = P 0 e rt k = e rt ln k ln k = rt και t = r

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΚΑΙ ΕΚΘΕΤΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ II Οικονομικές συναρτήσεις περιορισμένης μεγέθυνσης Τρία είδη συναρτήσεων: i. Οικονομικές συναρτήσεις οι τιμές των οποίων αυξάνουν αρχικά γρήγορα και στη συνέχεια προσεγγίζουν ασυμπτωτικά ένα ανώτατο όριο b με φθίνοντα ρυθμό. Έχουν τη γενική μορφή y = f x = b ae rt με a, b και r > 0 Τέμνει τον άξονα των y στο σημείο b-a. Έχει οριζόντια ασύμπτωτη y=b (r > 0). Δεν έχει κατώτατο όριο.

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΚΑΙ ΕΚΘΕΤΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ II Οικονομικές συναρτήσεις περιορισμένης μεγέθυνσης (2) ii. Οικονομικές συναρτήσεις των οποίων οι τιμές φθίνουν αρχικά γρήγορα και στη συνέχεια προσεγγίζουν ασυμπτωτικά ένα κατώτατο όριο b με φθίνοντα ρυθμό. Έχουν τη γενική μορφή: y = f x = b ae rt με a < 0 και b, r > 0 Τέμνει τον άξονα των y στο σημείο b+a. Έχει οριζόντια ασύμπτωτη y=b (r > 0). Δεν έχει κατώτατο όριο. Οι συναρτήσεις αυτές ονομάζονται και συναρτήσεις ή καμπύλης μάθησης.

Οικονομικές συναρτήσεις περιορισμένης μεγέθυνσης (3) iii. ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΚΑΙ ΕΚΘΕΤΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ II Οικονομικές συναρτήσεις των οποίων οι τιμές αυξάνουν μονοτονικά με αυξανόμενο ρυθμό έως ένα σημείο t = t, στο οποίο ο ρυθμός αύξησης μεγιστοποιείται. Πέραν του σημείου αυτού οι τιμές εξακολουθούν να αυξάνονται αλλά με φθίνοντα ρυθμό προσεγγίζοντας ασυμπτωτικά ένα ανώτατο όριο b. Δηλαδή οι συναρτήσεις αυτές έχουν το t ως θέση σημείου καμπής. Έχουν γενική μορφή: y = f t = b 1+ae rt. Τέμνει τον άξονα των y στο σημείο f 0 = b 1+a. Έχει ασύμπτωτες με ανώτατο όριο y=b και κατώτατο όριο το 0. ln a ln a Έχει μόνο ένα σημείο καμπής t = με τιμή f = b. r r 2 Ονομάζονται και λογιστικές συναρτήσεις ή λογιστικές καμπύλες ή συναρτήσεις κορεσμού.

ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Ή ΚΑΜΠΥΛΗ GOMPENTZ Είναι μια παραλλαγή της λογιστικής συνάρτησης. Έχει τη γενική μορφή: G t = ba Rt, όπου b, a > 0 και 0 < R < 1. Τέμνει τον άξονα των y στο σημείο 0, G 0 = bα. Έχει ασύμπτωτες y=b και y= 0. Έχει ένα μόνο σημείο καμπής: t = ln ln a Ανάλογα με τις τιμές της a, διακρίνουμε δύο τύπους: R Τύπος Α: 0 < α < 1 α Τύπος Β: 1 e a < 1 Οι συναρτήσεις Gompertz πέρα από τις εφαρμογές σε προβλήματα μάθησης και πιο γενικά σε προβλήματα ανθρώπινης εξέλιξης που έχουν βρει ενδιαφέρουσες οικονομικές εφαρμογές, ως συναρτήσεις παραγωγής εσόδων και εθνικού εισοδήματος μεταξύ άλλων..