ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ, 2016-2017 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ Κεφ. 1: Εισαγωγή (διάρκεια: 0.5 εβδομάδες) Κεφ. 2: Επίλυση συστημάτων εξισώσεων (διάρκεια: 3 εβδομάδες) 2.1 Επίλυση εξισώσεων 2.2 Επίλυση συστημάτων με απευθείας μεθόδους 2.2.1 Μέθοδοι Gauss, Gauss-Jordan 2.2.2 Παραγοντοποίηση LU (ειδικές περιπτώσεις: Cholesky, Thomas) 2.2.3 Νόρμες πινάκων, δείκτης κατάστασης πίνακα, ασταθή συστήματα, 2.3 Επίλυση συστημάτων με επαναληπτικές μεθόδους 2.3.1 Μέθοδος Jacobi 2.3.2 Μέθοδος Gauss-Seidel 2.3.3 Σύγκριση επαναληπτικών μεθόδων και ορισμός φασματικής ακτίνας 2.4 Μέθοδος Newton-Raphson
Κεφ. 3: Παρεμβολή (διάρκεια: 2 εβδομάδες) 3.1 Εισαγωγή 3.2 Πολυωνυμική παρεμβολή 3.2.1 Παρεμβολή Lagrange 3.2.2 Παρεμβολή Newton 3.3 Παρεμβολή με κυβικές splines 3.4 Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων 3.5 Παρεμβολή με ορθογώνια πολυώνυμα Κεφ. 4: Παραγώγιση (διάρκεια: 1 εβδομάδα) 4.1 Εκφράσεις πεπερασμένων διαφορών με σειρά Taylor 4.2 Εκφράσεις πεπερασμένων διαφορών με πολυωνυμική παρεμβολή Κεφ. 5: Ολοκλήρωση (διάρκεια: 2 εβδομάδες) 5.1 Εισαγωγή 5.2 Εξισώσεις ολοκλήρωσης Newton Cotes 5.2.1 Κανόνας τραπεζίου 5.2.2 Πρώτος και δεύτερος κανόνας Simpson
5.3 Ολοκλήρωση Gauss 5.3.1 Πολυώνυμα Legendre, Chebyshev, Hermite 5.3.2 Ολοκλήρωση Gauss-Legendre, Gauss-Chebyshev και Gauss-Hermite 5.4 Πολλαπλά ολοκληρώματα Κεφ. 6: Επίλυση συνήθων διαφορικών εξισώσεων (διάρκεια: 2.5 εβδομάδες) 6.1 Εισαγωγή 6.2 Μέθοδος Euler 6.3 Μέθοδοι Runge-Kutta 6.4 Αριθμητική επίλυση συστημάτων διαφορικών εξισώσεων 6.5 Ευστάθεια και σφάλματα μεθόδων Runge-Kutta Κεφ. 7: Επίλυση μερικών διαφορικών εξισώσεων (διάρκεια: 2,5 εβδομάδες) 7.1 Μέθοδος πεπερασμένων διαφορών 7.2 Ελλειπτικά προβλήματα 7.3 Παραβολικά προβλήματα
1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.1 Θεωρητική, πειραματική και υπολογιστική ανάλυση Μέθοδος Πλεονεκτήματα Μειονεκτήματα Θεωρητική Γενική, ακριβής, ολοκληρωμένη λύση συνήθως υπό τη μορφή κλειστού τύπου - έκφρασης Πειραματική Αριθμητική ή Υπολογιστική (Υπολογιστικό πείραμα!) Ρεαλιστική περιγραφή του φαινομένου Γραμμικά και μη γραμμικά προβλήματα Φυσική χωρίς απλουστεύσεις Χρονομεταβαλλόμενα φαινόμενα Χαμηλό κόστος Απλή γεωμετρία και φυσική Γραμμικά προβλήματα Εξοπλισμός Τεχνικές δυσκολίες μέτρησης Μικρότερες διαστάσεις από τις πραγματικές Υψηλό κόστος προμήθειας και λειτουργίας Σφάλματα υπολογιστών Μοντελοποίηση οριακών συνθηκών Διακριτοποίηση! (μπορεί να οδηγήσει και σε ποιοτική αλλοίωση )
1.2 Αριθμητική Ανάλυση και Αριθμητικές Μέθοδοι Αριθμητική ανάλυση είναι ο κλάδος των μαθηματικών που ασχολείται με την ανάπτυξη αξιόπιστων αλγοριθμικών μεθοδολογιών για την υπολογιστική επίλυση μαθηματικών προβλημάτων. Αριθμητικές μέθοδοι είναι η εφαρμογή αυτών μεθοδολογιών στη πράξη. Παράδειγμα: Η επίλυση της αλγεβρικής εξίσωσης με την εφαρμογή του επαναληπτικού αλγόριθμου της επανάληψης. 0 3 4 2 3 5 2 0 k k1 5 2 k 2 4 / 3 7 / 6 1.0952 1.0580... επιτυγχάνεται αριθμητικά όπου k είναι ο δείκτης 3 Πρόκειται για μια απλή αριθμητική μέθοδο που φαίνεται μετά από ικανό αριθμό επαναλήψεων να οδηγεί στην εύρεση μίας ρίζας της εξίσωσης.
Όμως υπάρχουν ζητήματα που πρέπει να εξετασθούν όπως α) αρχική εκτίμηση, β) σύγκλιση, γ) ακρίβεια, κ.τ.λ. Εάν εφαρμόσουμε την αντίστοιχη μεθοδολογία στην εύρεση ρίζας της εξίσωσης 2 0 32 0 με αρχική εκτίμηση 0.99 θα δούμε ότι η επαναληπτική διαδικασία αποκλίνει και δεν συγκλίνει στη ρίζα 1!! k k 1 3 2 : k 0 3 0.99 0.98 0.96 0.92... Η συστηματική μελέτη και ανάλυση των αριθμητικών αλγορίθμων είναι ιδιαίτερη σημαντικές και αποτελούν αντικείμενο της αριθμητικής ανάλυσης ενώ η εφαρμογή των αλγορίθμων μαζί με τους συμπληρωματικούς κανόνες και τις οδηγίες που τους συνοδεύουν είναι το αντικείμενο των αριθμητικών μεθόδων. Στο πλαίσιο του μαθήματος θα ασχοληθούμε με τις αριθμητικές μεθόδους. Οι αριθμητικές μέθοδοι από μόνες τους δεν επιλύουν το πρόβλημα.
Θα πρέπει να προηγηθεί τα μαθηματικό ή/και φυσικό μοντέλο που περιγράφει το πρόβλημα, στη συνέχεια να εφαρμοστεί η αριθμητική μέθοδος και να ακολουθήσει ο προγραμματισμός του αριθμητικού αλγορίθμου. 1.3 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα υπολογιστών e Έστω πραγματικός αριθμός. d1d2... dtdt 1... t αποτελείται από t ψηφία ως προς τη βάση 2,10,16, d1 0 όπου το κλάσμα. dd... d t και e ακέραιος με L e U. Στον υπολογιστή ο αριθμός στρογγυλοποιείται και γράφεται στη μορφή: ή.... fl d d d 0 d /2 e t, t1.... 0.00...1 fl d1d2 d t e, /2 dt 1 Πλεονέκτημα: Σταθερό μήκος (χώρος) αποθήκευσης
Μειονέκτημα: Η απόσταση ανάμεσα σε δυο διαδοχικούς αριθμούς δεν είναι σταθερή. 1 1t 1 1t Το σφάλμα στρογγυλοποίησης είναι 2 2 Η ακρίβεια της αριθμητικής κινητής υποδιαστολής προκύπτει από το λεγόμενο της μηχανής, δηλαδή του μικρότερου αριθμού κινητής υποδιαστολής ώστε 1 1: EPS=1. 10 EPS=0.5EPS EPS1=EPS+1 WRITE EPS1 IF (EPS1.GT.1) GO TO 10 WRITE EPS EPS1=1.5 1.25 1.125 1.0625 1.03125 1.015625 1.00781. EPS=?
Μετά από πολλές και διάφορες πράξεις το αποτέλεσμα στρογγυλοποιείται ανάλογα με τον αριθμό των ψηφίων που αποθηκεύονται στον υπολογιστή. Εξαρτάται άμεσα από τα bits του υπολογιστή. Σχετικό σφάλμα υπολογιστή: fl Απόλυτο σφάλμα υπολογιστή: fl Παράδειγμα: Να βρεθούν αριθμητικά οι ρίζες της 1 2 2 261 0 Αναλυτικές ρίζες: r 13 168, r 13 168 Σε υπολογιστή με 5 σημαντικά ψηφία 168 12.961 1 2 Οι αριθμητικές ρίζες είναι: 13 12.961 25.961, 13 12.961 0.039 1 1 2 2 r 5 r 2 Σχετικά σφάλμα: 1.85 10, 1.25 10 r r Το σχετικό σφάλμα στη δεύτερη ρίζα είναι 3 τάξεις μεγέθους μεγαλύτερο που ισοδυναμεί με απώλεια σημαντικών ψηφίων.
Το πρόβλημα διορθώνεται ως εξής: r 2 2 13 168 13 168 1 13 168 13 168 0.038519 13 168 13 168 25.961 Τώρα το σχετικό σφάλμα είναι της ίδιας τάξης: 1.03 10 5
Παράδειγμα: Έστω οι πραγματικοί αριθμοί και y 22 / 7. Σε υπολογιστή με αριθμητική 4 ψηφίων οι αριθμοί στρογγυλοποιούνται σε N 3142. και y N 3143.. Να υπολογιστούν τα σχετικά σφάλματα λόγω στρογγυλοποίησης όπως και το σφάλμα στρογγυλοποίησης της πράξης N yn. Αναλυτικές τιμές: 3. 1415927 y 3. 1428571 3. 1415927 3. 142 rel N 0. 0001296 3. 1415927 3. 1428571 3. 143 rel y N 0. 0000454 3. 1428571 3. 1415927 3. 1428571 3. 142 3. 143 3. 1415927 3. 1428571 rel y 02092. N N Το σχετικό σφάλμα του αποτελέσματος της αφαίρεσης είναι 3 και 4 τάξεις μεγέθους μεγαλύτερο σε σχέση με τα αντίστοιχα σφάλματα των αριθμών!
1.4 Ευστάθεια και δείκτης κατάστασης Πολλά προβλήματα έχουν λύσεις που είναι ευαίσθητες σε μικρά υπολογιστικά λάθη. Στις περιπτώσεις αυτές εξετάζονται η ευστάθεια και ο δείκτης κατάστασης του αριθμητικού αλγορίθμου και της προκύπτουσας λύσης. Έστω ένα φυσικό σύστημα που περιγράφεται από το μαθηματικό μοντέλο F, y 0 όπου η λύση (έξοδος) και y τα δεδομένα (είσοδος), ενώ η οντότητα F μπορεί να είναι μία συνάρτηση ή εξίσωση, κ.τ.λ. Το πρόβλημα είναι ευσταθές όταν μικρές αλλαγές y στα δεδομένα οδηγούν σε μικρότερες αλλαγές στα αποτελέσματα. Ο δείκτης κατάστασης του συστήματος ορίζεται ως K Ma y y / / y 1
Ασταθή προβλήματα έχουν ( K 100 ή K 10 K, ενώ προβλήματα με μεγάλους δείκτες κατάστασης ) ονομάζονται ιδιόμορφα (ill conditioned) προβλήματα. Παράδειγμα: Να βρεθεί ο δείκτης κατάστασης του συστήματος που περιγράφεται από F, y a y 0 y y y y y y y a a y F, yy0 a a a 1 y a y / a 1 K y y a y / y y ln Το K είναι ανάλογο του y και όχι του y!!! Μερικοί πίνακες (ή συστήματα) είναι εξαιρετικά ευαίσθητοι σε μικρές αλλαγές ενώ άλλοι δεν είναι!
Παράδειγμα: Α) 2 1.0001 2.0001 Λύση: 1 1, 2 1 2 1.0001 2 Λύση: 1 2, 2 0 Το σύστημα είναι ασταθές επειδή μία μικρή αλλαγή στα δεδομένα συνεπάγεται μεγάλη αλλαγή στα αποτελέσματα. B) 0.0001 1.0001 2 Λύση: 1 1, 2 1 0 1.0001 2 Λύση: 1 0.9999, 2 1.0001 Το σύστημα είναι ευσταθές επειδή μία μικρή αλλαγή στα δεδομένα συνεπάγεται μία εξίσου μικρή αλλαγή στα αποτελέσματα.
Τα παραπάνω ισχύουν και στη περίπτωση των αριθμητικών υπολογισμών όπου το σύστημα είναι ο αριθμητικός αλγόριθμος συμπεριλαμβανομένου του υπολογιστή που τρέχει ο αλγόριθμος. Εάν το φυσικό πρόβλημα είναι ασταθές τότε δεν υπάρχει αριθμητικός αλγόριθμος που θα μπορούσε να δώσει ευσταθή λύση. Αντίθετα έχουμε ευσταθή προβλήματα που μπορεί με λανθασμένο αριθμητικό αλγόριθμο να εμφανίζονται ως ασταθή και για το λόγο αυτό πρέπει ανάλογα με το πρόβλημα να υιοθετείται ο κατάλληλος αριθμητικός αλγόριθμος. Στο πλαίσιο του μαθήματος θα μελετήσουμε αριθμητικές μεθόδους και τα χαρακτηριστικά τους για την επίλυση συστημάτων αλγεβρικών εξισώσεων, συνήθων και μερικών διαφορικών εξισώσεων όπως και τον υπολογισμό παραγώγων, ολοκληρωμάτων και συναρτήσεων παρεμβολής.