Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Πρόλογος...15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Σφάλματα 1.1 Εισαγωγή...17 1.2 Αρχικά Σφάλματα (σφάλματα μετρήσεων)...18 1.2.1 Απλές μετρήσεις...18 1.2.2 Σύνθετες μετρήσεις...19 1.2.3 Σημαντικά ψηφία και αποκοπή...21 1.3 Αριθμητική του Ηλεκτρονικού Υπολογιστή...22 1.4 Σφάλμα Προσομοίωσης (μοντελοποίησης)...26 1.5 Σφάλμα Μεθόδου και Αλγορίθμου...26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Γραμμικά Συστήματα 2.1 Εισαγωγή...29 2.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss...31 2.2.1 Χρόνος υπολογισμού της μεθόδου απαλοιφής Gauss...38 2.2.2 Ορίζουσα του πίνακα Α με τη μέθοδο Gauss...40
10 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 2.2.3 Αντιστροφή ενός πίνακα Α με τη μέθοδο Gauss...41 2.3 Μέθοδος Gauss-Jordan...46 2.4 Παραγοντοποίηση LU...50 2.5 ιαγώνια Συστήματα...55 2.5.1 Μέθοδος Crout...55 2.6 Παραγοντοποίηση LDU...59 2.7 Μέθοδος Choleski...62 2.8 Νόρμες ιανυσμάτων και Πινάκων...68 2.8.1 Νόρμα διανύσματος...69 2.8.2 Νόρμα Πίνακα...72 2.9 Ευστάθεια Συστήματος...77 2.10 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα...80 2.11 Γενική Επαναληπτική Μέθοδος...86 2.12 Μέθοδος Jacobi...91 2.13 Μέθοδος Gauss-Seidel...98 2.14 Μέθοδος Χαλάρωσης-SOR...102 2.15 Γραμμικά Μιγαδικά Συστήματα...105 2.16 Υπολογισμός Ιδιοτιμών και Ιδιοδιανυσμάτων...107 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Μη Γραμμικές Εξισώσεις και Συστήματα 3.1 Εισαγωγή...115 3.2 Γραφικός Εντοπισμός των Λύσεων μιας Εξίσωσης...116 3.3 Μέθοδος της ιχοτόμησης...118 3.4 Επαναληπτική Μέθοδος του Σταθερού Σημείου...124 3.5 Μέθοδος των Newton-Raphson...132 3.6 Μέθοδος της Τέμνουσας (Secant)...138 3.7 Υπολογισμός Τιμής Πολυωνύμου...142 3.8 Υπολογισμός Τιμής της Παραγώγου Πολυωνύμου...143 3.9 Επίλυση Πολυωνυμικής Εξίσωσης...145 3.10 Αλυσίδα Sturm...149
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 11 3.11 Μέθοδος του Σταθερού Σημείου...152 3.12 Μέθοδος των Newton-Raphson...155 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Παρεμβολή και Προσέγγιση 4.1 Παρεμβολή...165 4.2 Παρεμβολή Lagrange...166 4.2.1 Σφάλμα παρεμβολής Lagrange...171 4.3 Παρεμβολή Newton...177 4.3.1 Πολυώνυμο παρεμβολής Newton με διηρημένες διαφορές..177 4.3.2 Σφάλμα παρεμβολής Newton...180 4.3.3 Παρεμβολή Newton με πεπερασμένες διαφορές...182 4.4 Παρεμβολή Hermite...188 4.5 Παρεμβολή με Συναρτήσεις Splines...193 4.6 Προσέγγιση...200 4.7 Γραμμική Προσέγγιση...201 4.8 Εκθετική Προσέγγιση...206 4.9 Πολυωνυμική Προσέγγιση...210 4.10 Πολλαπλή Γραμμική Προσέγγιση...213 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Αριθμητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση 5.1 Αριθμητική Παραγώγιση...219 5.2 Υπολογισμός Παραγώγου Τύπου Lagrange...220 5.3 Υπολογισμός Παραγώγων Τύπου Taylor...223 5.4 Μέθοδος (extrapolation) του Richardson...225 5.5 Αριθμητική Oλοκλήρωση...231 5.6 Βασικοί Κανόνες Αριθμητικής Ολοκλήρωσης...232 5.6.1 Κανόνας του Ορθογωνίου...232
12 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 5.6.2 Κανόνας του Τραπεζίου...235 5.6.3 Κανόνας του Simpson...238 5.7 Υπολογισμός Ολοκληρώματος Τύπου Lagrange...242 5.8 Κλειστοί και Ανοικτοί Τύποι Newton-Cotes...250 5.9 Ολοκλήρωση Romberg...252 5.10 Ολοκλήρωση κατά Gauss...257 5.11 Γενικευμένα Ολοκληρώματα...264 5.11.1 Ολοκλήρωση γενικευμένων ολοκληρωμάτων σε άπειρο διάστημα...265 5.11.2 Ολοκλήρωση γενικευμένων ολοκληρωμάτων σε πεπερασμένο διάστημα...268 5.12 Πολλαπλά ολοκληρώματα...271 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 Αριθμητικές Μέθοδοι Επίλυσης Προβλημάτων Αρχικών Τιμών (συνήθων διαφορικών εξισώσεων) 6.1 Εισαγωγή...279 6.2 Το Πρόβλημα Αρχικών Τιμών για.ε. 1ης Τάξης...280 6.3 Η Μέθοδος του Euler...284 6.4 Μέθοδοι Taylor Ανωτέρας Τάξης...292 6.5 Οι Μέθοδοι των Runge-Kutta...295 6.5.1 Μέθοδος του Μεσοδιαστήματος...298 6.5.2 Τροποποιημένη μέθοδος του Euler...299 6.5.3 Μέθοδος του Heun...299 6.5.4 Μέθοδος των Runge-Kutta 4ης τάξης...300 6.5.5 Μέθοδος Runge-Kutta-Fehlberg και έλεγχος σφάλματος..303 6.6 Μέθοδοι Πολλαπλών Βημάτων...310 6.6.1 Μέθοδος Adams-Bashforth δύο βημάτων...312 6.6.2 Μέθοδος Adams-Bashforth τριών βημάτων...313 6.6.3 Μέθοδος Adams-Bashforth τεσσάρων βημάτων...313
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 13 6.6.4 Μέθοδος Adams-Bashforth πέντε βημάτων...313 6.6.5 Μέθοδος Adams-Moulton δύο βημάτων...314 6.6.6 Μέθοδος Adams-Moulton τριών βημάτων...314 6.6.7 Μέθοδος Adams-Moulton τεσσάρων βημάτων...314 6.7 Μέθοδοι Πρόβλεψης- ιόρθωσης...315 6.8 ιαφορικές Εξισώσεις Ανωτέρας Τάξης και Συστήματα ιαφορικών Εξισώσεων...320 6.8.1 Μέθοδος Runge-Kutta 4ης τάξης για συστήματα.ε....332 6.8.2 Μετατροπή.Ε. ανωτέρας τάξης σε σύστημα.ε. πρώτης τάξης...327 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Αριθμητικές Μέθοδοι Επίλυσης Προβλημάτων Συνοριακών Τιμών (μερικών διαφορικών εξισώσεων) 7.1 Εισαγωγή...333 7.2 Τύποι Εξισώσεων...334 7.3 Μέθοδος Πεπερασμένων ιαφορών...335 7.3.1 Ελλειπτικό πρόβλημα...335 7.3.2 Παραβολικό πρόβλημα...337 7.3.3 Υπερβολικό πρόβλημα...340 7.4 Πεπερασμένα Στοιχεία...344 7.5 L2-Παράγωγοι μιας Συνάρτησης...346 7.6 Χώροι Hilbert...347 7.7 Χώροι Sobolev...347 7.8 Γενικευμένοι τύποι Green...348 7.9 Επίλυση Παραβολικού Προβλήματος...348 7.10 Επίλυση του Υπερβολικού Προβλήματος...359 Βιβλιογραφία...371