Πείραμα Π: Μια φυσική διαδικασία με ένα συγκεκριμένο (αριθμήσιμα ρ μ άπειρο / πεπερασμένο) ) σύνολο δυνατών

MYY204 Διακριτά Μαθηματικά 11 η -12 η Eβδομάδα: ΙΑΚΡΙΤΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ -- Αξιώματα Πιθανοτήτων -- Θώ Θεώρημα του Bayes Reading: EPP, Κεφάλαιο 6 (παρ. 6.8-6.9) ROSEN, Κεφάλαιο 7 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Παν. Ιωαννίνων (2015) ιακριτή Πιθανότητα (Ι) Πείραμα Π: Μια φυσική διαδικασία με ένα συγκεκριμένο (αριθμήσιμα ρ μ άπειρο / πεπερασμένο) ) σύνολο δυνατών αποτελεσμάτων (ή ενδεχόμενα Άλλη χρήση στην ΕΡΡ, ή δείγματα). ιακριτός ειγματικός Χώρος Ω = Ω(Π) ενός πειράματος Π: Το (αριθμήσιμα άπειρο / πεπερασμένο) σύνολο των ενδεχομένων του. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ PROB.1: Ο δειγματικός χώρος του πειράματος Π1 = «ρίψη νομίσματος μια φορά» είναι το σύνολο Ω(Π1) = { Κ(ορώνα), Γ(ράμματα) }. Ο δειγματικός χώρος του πειράματος Π2 = «ανεξάρτητες ρίψεις νομίσματος μέχρι να έρθει Κορώνα» είναι το άπειρα αριθμήσιμο σύνολο: Ω(Π2) = { Κ, ΓΚ, ΓΓΚ, ΓΓΓΚ, ΓΓΓΓΚ,... } 2

ιακριτή Πιθανότητα (ΙΙ) ΟΡΙΣΜΟΣ PROB.1 [ ΙΑΚΡΙΤΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ]: ιακριτή Συνάρτηση Πιθανότητας για ένα πείραμα Π: Οποιαδήποτε συνάρτηση ρ : Ω R 0 ( Ω=Ω(Π) είναι ο διακριτός δειγματικός χώρος του Π ) τέτοια ώστε: 1. Κάθε σημείο του Ω έχει μη αρνητική τιμή, που καλείται μάζα πιθανότητας του ω : ω Ω, ρ(ω) 0. 2. Η μάζα πιθανότητας του Ω είναι μονάδα: Σ ω Ω ρ(ω) = 1. Ποιοτικά: Αν εκτελούσαμε το πείραμα ΑΠΕΙΡΕΣ φορές, τότε για κάθε δείγμα ω Ω, η μάζα πιθανότητας p(ω) θα έπρεπε να ισούται με τη συχνότητα εμφανίσεων του ω ως αποτέλεσμα του πειράματος. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ PROB.1 Για το πείραμα «ρίψη ΙΚΑΙΟΥ νομίσματος», η συνάρτηση πιθανότητας θα ήταν: ρ(k) = ρ(γ) = ½. Για το πείραμα «ανεξάρτητες ρίψεις ΙΚΑΙΟΥ νομίσματος μέχρι να έρθει Κορώνα» οι μάζες πιθανότητας είναι ρ(κ)= 1/2, ρ(γκ) = 1/4, ρ(γγκ) = 1/8,... 3 Γεγονότα και ιακριτή Πιθανότητα Γεγονός (στο βιβλίο της ΕΡΡ: ενδεχόμενο) ως προς πείραμα Π: Μια συλλογή αποτελεσμάτων του Π,, δλδ ένα υποσύνολο του Ω(Π) για το οποίο μας ενδιαφέρει να συμβεί ΚΑΠΟΙΟ από τα ενδεχόμενα που περιλαμβάνει. Πιθανότητα ρ(γ) γεγονότος γ Ω(Π): Το άθροισμα μαζών πιθανότητας των δειγμάτων που απαρτίζουν το γ (τα «καλά δείγματα» που μας ενδιαφέρουν): ρ(γ) = Σ ω γ ρ(ω). ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ PROB.2: Για Π =«Ρίψη δίκαιου ζαριού» : (1) Ποια η πιθανότητα να έρθει περιττός αριθμός? (2) Ποια η πιθανότητα να έρθει «πρώτος» αριθμός? (3) Τι θα απαντούσατε στα (1,2), αν το ζάρι ήταν «πειραγμένο», ρ ώστε να φέρνει φρ με πιθανότητα 2/5 τον αριθμό 6, και ισοπίθανα τα υπόλοιπα δείγματα? 4

Αξιώματα Kolmogorov για ιακριτή Πιθανότητα ΑΞΙΩΜΑ PROB.1: Έστω Ω ένας δειγματικός χώρος και Α,Β Ω(Π) οποιαδήποτε γεγονότα (ενδεχόμενα). Για κάθε διακριτή πιθανότητα ρ : Ω [0,1] ισχύουν τα εξής: 1. 0 ρ(α) 1. 2. ρ( ) = 0, ρ(ω) = 1. 3. ΑΝ Α Β = ΤΟΤΕ ρ(α Β) = ρ(α) + ρ(β). 5 Μερικές Ιδιότητες Πιθανοτήτων ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ PROB.3: Ποια είναι η πιθανότητα εμφάνισης, για ένα οποιοδήποτε πείραμα Π, των εξής γεγονότων: 1. γ 1 =. 2. γ 2 = Ω(Π). 3. γ 3 = A Β Ω(Π), όπου Α Β =. 4. γ 4 =C D Ω(Π), όπου C D. 5. γ 5 = Α c, όπου Α Ω(Π). 6. γ 6 = Α Β, όπου Β Α Ω(Π). 1. ρ( ) = 0. 2. ρ(ω(π)) = 1. 3. ρ(γ 3 ) = ρ(a) +ρ(β) ρ(β). 4. ρ(γ 4 ) = ρ(c) + ρ(d) ρ(c D). 5. ρ(α c ) = 1 ρ(α). 6. ρ(γ 6 ) = ρ(α) ρ(β). 6

Εξάσκηση (Ι) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ PROB.4: Έστω ότι από μια τράπουλα τραβάμε με εντελώς τυχαίο τρόπο (δηλαδή, η ισοπίθανα) ) ένα από τα 52 φύλλα της. Ποια είναι η πιθανότητα να τραβήξουμε φιγούρα φγ ή κόκκινο φύλλο? Ω = το σύνολο ο των 52 φύλλων. Κ = το σύνολο των 26 κόκκινων φύλλων. Φ = το σύνολο των 12 φιγούρων. ΖΗΤΟΥΜΕΝΟ = ρ(κ Φ) = ρ(κ) + ρ(φ) ρ(κ Φ). Όλα τα φύλλα ισοπίθανα: Για κάθε ω Ω, ρ(ω) = 1/52. ρ(κ) = Σ ω Κ ρ(ω) = 26 * 1/52 = 1/2 ρ(φ) = Σ ω Φ ρ(ω) = 12 * 1/52 = 3/13 ρ(κ Φ) = Σ ω Κ Φ ρ(ω) = 6 * 1/52 = 3/26 ρ(κ Φ) = 13/26 + 6/26 3/26 = 16/26 = 8/13 ~ 61,54% 7 Εξάσκηση (ΙΙ) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ PROB.5: Έστω τυχών δειγματικός χώρος Ω και διακριτή πιθανότητα ρ: Ω [0,1]. Νδο κάθε ζεύγος ενδεχομένων Α,Β Ω ισχύει ότι: ρ(α Β) = ρ(α) ρ(α Β). ρ(α Β) = ρ(α Β c ) // Α Β = Α Β c = ρ(a) ρ(α) + ρ(α Β c ) = ρ(a) [ ρ(α) ρ(α Β c )] = ρ(a) ) [ ρ(α Β c ) + ρ(α Β c ) ρ(α Β c )] // A = (Α B c ) (Α Β c ) = ρ(a) ρ(α Β c ) = ρ(a) ρ( Α (Β c ) c ) // Α B c = Α (Β c ) c = ρ(a) ρ(α Β) Εναλλακτική εξήγηση: Τα σύνολα Α Β = Α Β c και Α Β απαρτίζουν μια διαμέριση του Α, άρα: ρ(α) = ρ(α Β) + ρ(α Β) 8

Αναμενόμενη Τιμή (Ι) ΟΡΙΣΜΟΣ PROB.2 [ Αναμενόμενη Τιμή ]: Έστω πείραμα Π του οποίου o διακριτός δειγματοχώρος Ω(Π) είναι ένα αριθμήσιμο υποσύνολο των πραγματικών αριθμών. Για οποιαδήοποτε διακριτή συνάρτηση πιθανότητας ρ : Ω [0,1], η αναμενόμενη τιμή του (αποτελέσματος του) πειράματος Π ορίζεται ως εξής: Ε ρ (Π) = Σ ω Ω ω * ρ(ω). ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ PROB.6: Η αναμενόμενη τιμή του Π είναι ένας πραγματικός αριθμός, που όμως ενδέχεται να ΜΗΝ ανήκει στο Ω. Πχ, να υπολογίσετε την αναμενόμενη τιμή του πειράματος Π1 «μια ρίψη δίκαιου ζαριού». Τι γίνεται για το πείραμα Π2 όπου το ζάρι είναι «πειραγμένο» ώστε να φέρνει με πιθανότητα 2/5 τον αριθμό 6, και ισοπίθανα τα υπόλοιπα δείγματα? Ε(Π1) = 1 * 1/6 + 2 * 1/6 + 3 * 1/6 + 4 * 1/6 + 5 * 1/6 + 6 * 1/6 = 7/2 Ε(Π2) = 1*3/25 + 2*3/25 + 3*3/25 + 4*3/25 + 5*3/25 + 6*2/5 = 21/5 9 Αναμενόμενη Τιμή (ΙΙ) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ PROB.7: Έστω ότι 500.000 άνθρωποι παίζουν σε μια λοταρία λαχνούς αξίας 5 Ευρώ ο καθένας. Τα έπαθλα είναι τα εξής: 1 λαχνός κερδίζει 1.000.000 Ευρώ. 10 (διαφορετικοί) λαχνοί κερδίζουν 1.000 Ευρώ ο καθένας. 1.000 (διαφορετικοί) λαχνοί κερδίζουν 500 Ευρώ ο καθένας. 10.000 (διαφορετικοί) λαχνοί κερδίζουν 10 Ευρώ ο καθένας. Ποιο είναι το αναμενόμενο κέρδος για κάθε παίκτη? Της εταιρείας? Ω ={ 1x999.995995 Ευρώ, 10x995 Ευρώ, 1.000x495 Εύρω, 10.000x5000x5 Ευρώ, 488.989x(-5) Ευρώ } ρ 1 = 1/500.000 : Η πιθανότητα του ενός υπερτυχερού. ρ ρ 2 = 10/500.000 = 1/50.000 : Η πιθανότητα των 10 τυχερών. ρ 3 = 1.000/500.000 = 1/500 : Η πιθανότητα των 1.000 τυχερών. ρ 4 = 10.000/500.000 = 1/50 : Η πιθανότητα των 10.000 τυχερών. ρ 5 = 488.989/500.000 : Η πιθανότητα των «άτυχων». ΑΡΑ: Ε(Π) =ρ ρ 1 *999.995995 + ρ 2 *995 + ρ 3 *495 + ρ 4 *5 +ρ ρ 5 *(-5) = -1,78 178Ευρώ. Η εταιρεία ΣΙΓΟΥΡΑ θα κερδίσει 890.000 ευρώ (αποδείξτε το). 10

Αναμενόμενη Τιμή (ΙΙΙ) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ PROB.8: Έστω ότι κάποιος πληρώνει 1 ευρώ για να συμμετάσχει σε τυχερό παιχνίδι, όπου γίνονται 4 ανεξάρτητες ρίψεις ενός δίκαιου νομίσματος, και : Αν έρθουν (ακριβώς) 4xΓ, τότε πληρώνει επιπλέον 2 ευρώ. Αν έρθουν 3xΓ, Γ τότε πληρώνει επιπλέον 1 ευρώ. Αν έρθουν 2xΓ, τότε δεν πληρώνει (ούτε κερδίζει) τίποτε επιπλέον. Αν έρθει 1xΓ, τότε κερδίζει 3 ευρώ. Αν έρθουν 4xΚ, τότε κερδίζει 4 ευρώ. Ποια είναι η αναμενόμενη ωφέλεια (ή ζημιά) του παίκτη? Για κάθε αποτέλεσμα (διατ. τετράδα ρίψεων) Χ, ρ(χ) =1/2 4 =1/16 1/16. ρ(4xγ) = ρ(0-k) = ρ(0-γ) = ρ(4-η) = 1/16 ρ(3xγ) = ρ(1-k) = ρ(1-γ) = ρ(3-η) = C(4,1) * (1/2)^4 = 4/16 = 1/4 ρ(2xγ) = ρ(2-k) = C(4,2) * (1/6)^4 = 6 / 16 Ε(ωφέλεια) ε = -1 + (-2)*1/16 + (-1)*4/16 + 3*4/16 + 4*1/16 = -1 + [ -2-4 + 12 + 4 ] / 16 = - 6/16 11 Το Παράδοξο των Γενεθλίων... ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ PROB.9: Έστω ότι σε μια κοινωνία ανθρώπων, όλες οι μάζες πιθανότητας να γεννηθεί κάποιος μια συγκεκριμένη μέρα είναι ίσες. Νδο ο ελάχιστος αριθμός ανθρώπων που πρέπει τυχαία να διαλέξουμε, έτσι ώστε για το γεγονός: «υπάρχουν τουλάχιστον δυο από τους γ ανθρώπους που επιλέξαμε που γεννήθηκαν την Ι ΙΑ μέρα» να ισχύει ότι ρ(k) > 0.5, είναι K= 23 άνθρωποι. Πείραμα = Επιλογή (ΜΕ επανάληψη) Κ (ημέρες γέννησης) από Ν = 365 διακεκριμένα αντικείμενα (ημέρες του χρόνου) Ω = 365 K δείγματα. Όλες οι μέρες ισοπίθανες για γέννηση. ω Ω, Ρ(ω) = 1 / 365 K «Κακά» είγματα: γ ΙΑΦΟΡΕΤΙΚΕΣ μέρες γέννησης. Επιλογή ΧΩΡΙΣ επανάληψη Κ από Ν = 365 διακεκριμένα αντικείμενα. Ρ(365,K) «κακά» δείγματα. «Καλά» είγματα: Ζ = Ω #«κακά» δείγματα = 365 K Ρ(365,K) ρ(k) = [365 K Ρ(365,γ)] * (1/365 K ) = 1 Ρ(365,K) / 365 K // αύξουσα συνάρτηση του γ ρ(22) ) = 1 Ρ(365,22) (, ) / 365 22 < 1 0,5243 = 0,4757. ρ(23) = 1 Ρ(365,23) / 365 23 > 1 0,49271 = 0,50729. 12

Υπολογισμός ιακριτής Πιθανότητας (Ι) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ PROB.10: 8 φοιτητές τετραετούς σχολής περιμένουν στην ουρά για να πάρουν φοιτητική ταυτότητα. Ποια η πιθανότητα στην ουρά αυτή να βρίσκονται 2 φοιτητές από κάθε έτος, αν σε κάθε έτος υπάρχουν ακριβώς το ίδιο πλήθος φοιτητών και όλοι θέλουν να πάρουν ταυτότητα? ειγματοχώρος Ω: Περιλαμβάνει Ω = 4 8 δείγματα. Όλα τα δείγματα είναι ισοπίθανα: ΓΙΑ ΚΑΘΕ ω Ω, ρ(ω) = 1/4 8. Γεγονός γ : «εμφανίζεται καλό δείγμα» υο φοιτητές από κάθε έτος. Μετάθεση ( = τοποθέτηση στην ουρά ) 8 διακεκριμένων αντικειμένων, που χωρίζονται σε 4 ομάδες: { πρ, πρ, δε, δε, τρ, τρ, τε, τε }. γ = 8! / [2!] 4 ΚΑΛΑ δείγματα. α ρ(γ) = Ρ(εμφανίζεται καλό δείγμα) = Σ ω γ ρ(ω) = 1/ Ω * γ = (1 / 4 8 ) * 8! / [2!] 4 = 0.0385 13 Υπολογισμός ιακριτής Πιθανότητας (ΙΙ) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ PROB.11: 5 άνθρωποι πηγαίνουν σε ένα πάρτι και αφήνουν στην είσοδο τα καπέλα τους. Φεύγοντας, τα καπέλα τους επιστράφηκαν με εντελώς τυχαίο τρόπο. Ποια η πιθανότητα να μην έχει πάρει κανένας άνδρας το δικό του καπέλο? ειγματικός χώρος: Ω = 5! = 120 τρόποι επιστροφής των καπέλων (διακεκριμένα σφαιρίδια) στους 5 ανθρώπους (διακεκριμένες υποδοχές χςχωρητικότητας η 1). Πιθανότητα κάθε δείγματος: 1/ Ω = 1 / 5! (ισοπίθανα όλα τα δί δείγματα). ) Α K : Το υποσύνολο δειγμάτων (δηλαδή, το γεγονός) όπου ο άνθρωπος K παίρνει πίσω το καπέλο του. «Κακά» δείγματα: Α 1 A 2 A 3 A 4 A 5 14

ιακριτή Πιθανότητα (VΙ) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ PROB.11 (συνέχεια): ΕΓΚΛΕΙΣΜΟΣ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΣ Α 1 A 2 A 3 A 4 A 5 = Α 1 1 + A 2 2 + A 3 3 + A 4 4 + A 5 5 Α 1 A 2 Α 1 A 3... A 4 A 5 + Α 1 A 2 A 3 +...+ Α 3 A 4 A 5 Α 1 A 2 Α 3 A 4... A 2 Α 3 A 4 A 5 + Α 1 A 2 Α 3 A 4 A 5 = C(5,1)*4! C(5,2)*3! + C(5,3)*2! C(5,4)*1! + C(5,5)*0! = 76 P(κανείς δεν παίρνει το καπέλο του) = Σ ω : καλό δείγμα ρ(ω) = (#καλών δειγμάτων) * 1 / Ω = [120 76] * (1/120) ~ 0.367 15 Πιθανότητα Σύγκρουσης σε Συναρτήσεις Κατακερματισμού μ Συνάρτηση κατακερματισμού: Αντιστοίχιση των «κλειδιών» ενός (συνήθως μεγάλου) πλήθους αντικειμένων σε (συνήθως λίγες) θέσεις αποθήκευσης (κάδους). ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ: Η συνάρτηση mod2 : N {0,1} είναι μια στοιχειώδης συνάρτηση κατακερματισμού που διαχωρίζει τους φυσικούς αριθμούς σε (δυο κάδους με) άρτιους και περιττούς. Τα κλειδιά Χκαι Υ συγκρούονται σύμφωνα με τη συνάρτηση ρη η κατακερματισμού Η, ΑΝΝ Η(Χ) = Η(Υ). ΑΣΚΗΣΗ: Να υπολογιστεί η πιθανότητα να μην υπάρχει ζεύγος κλειδιών που να συγκρούονται, σε μια τυχαια και ομοιόμορφα επιλεγμένη συλλογή από Κ κλειδιά (Χ 1,ΧΧ 2,...,ΧΧ Κ ), όταν η συνάρτηση κατακερματισμού Ηαποφασίζει για καθένα από τα Ν κλειδιά τυχαία και ομοιόμορφα τη θέση του, μεταξύ Μ διαθέσιμων θέσεων. ΑΠ.: Αν Κ Μ, τότε Ρ(Μ,Κ) / Μ Κ. Για Κ > Μ, Ρ(Κ) = 0. 16

Μέθοδος Monte Carlo (MC) Έστω Πμια ιδιότητα (πχ, διαπίστωση ύπαρξης ακατάλληλων τσιπς σε μια παρτίδα παραγγελίας) που μπορούμε να ελέγξουμε κάνοντας κάποιους ελέγχους (μέσω ενός αλγορίθμου) που απαντούν: Α(λήθεια): Ισχύει η ιδιότητα Π (πχ, διαπίστωσα καμμένο τσιπ). (εν ξέρω): ) εν γνωρίζω αν ισχύει η ιδιότητα Π (ο έλεγχος που έκανα δε βρήκε καμμένο τσιπ, αλλά δεν ξέρω τι γίνεται με τα άλλα τσιπς). ΣΥΜΒΑΣΗ: Ένα τυχαίο δείγμα του στιγμιοτύπου (τσιπ της παρτίδας) έχει πιθανότητα γνα άποδεικτικό της Π, κι 1-γ να μην είναι. Ρ[ ΑΛΓ(γ,Ι) = Α ] = γ, Ρ[ ΑΛΓ(γ,Ι) = ] = 1 γ, 0 < γ < 1. Μέθοδος Monte Carlo MC(Κ): Εκτέλεση Κ ανεξάρτητωνελέγχων ΑΛΓ(γ,Ι) στο ίδιο στιγμιότυπο Ι. Η MC(Κ) απαντά Α, αν ΤΟΥΛΑΧΙΣΤΟΝ ένας έλεγχος απαντά Α. Ψ, αν όλοι οι έλεγχοι επιστρέφουν. Ποια η πιθανότητα η MC(Κ) να απαντήσει ΟΡΘΑ, δλδ Α αν όντως 17 α(π) = Α, ή Ψ αν α(π)=ψ? Μέθοδος Monte Carlo (MC) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ: Ένας κατασκευαστής υπολογιστών κάνει μαζικές παραγγελίες τσιπς, που έρχονται σε παρτίδες των Ν κομματιών, και θέλει να ελέγξει μόνο λίγα (Κ) τυχαία επιλεγμένα τσιπς της επόμενης Ν-άδας που στέλνει ο προμηθευτής τσιπς προκειμένου να «σιγουρευτεί» ότι η Ν-άδα δεν περιλαμβάνει ελαττωματικά τσιπς. Από προηγούμενες Ν-άδες διαπιστώθηκε ότι υπήρχαν 10% χαλασμένα τσιπς σε κάθε Ν-άδα. Αν βρεθεί έστω ένα κακό δείγμα, επιστρεφει την παρτίδα. ιαφορετικά την κρατάει. Ποια η πιθανότητα ρνα μην επιστρέψει παρτίδα με κατεστραμένα τσιπς? ΑΝ μόνο καλά τσιπς στη Ν-άδα ΤΟΤΕ Ρ = 0 (γιατί?) ΕΣΤΩ ότι δεν βελτιώθηκε η παραγωγή παρτίδων 10% χαλασμένα τσιπς Ρ[ένας έλεγχος βρίσκει καλό τσιπ] = 01 0.1 Ρ[ένας έλεγχος βρίσκει κακό τσιπ] = 0.9 Ρ[επιστρέφεται σ α η παρτίδα] = Ρ[οι Κ έλεγχοι επιστρέφουν καλό τσίπ] 18

Μέθοδος Monte Carlo (MC) (συνέχεια) Υπολογισμός της Ρ[οι Κ έλεγχοι επιστρέφουν καλό τσίπ]... ΑΝ επιλογές Κ-άδας τσιπς (για έλεγχο) με επανάληψη (δλδ, κάθε τσιπ που ελέγχεται ΕΠΙΣΤΡΕΦΕΤΑΙ στην παρτίδα) // Αυτή είναι η MC(K)... ΤΟΤΕ ρ 1 = (0,9*Ν) Κ / Ν Κ = 0,9 Κ ΑΝ επιλογές Κ-άδας τσιπς (για έλεγχο) δίχως επανάληψη ΤΟΤΕ ρ 2 = P(0,9*Ν,K) / Ρ(Ν,Κ) = 09*(09 0,9 (0,9 1)/(N 1) *(09 (0,9 2)/(N 2) * ** (0,9 K+1)/(N Κ+1) Πχ, για Κ=10 δείγματα ελέγχου, σε μια παρτίδα Ν=100 τσιπς, έχουμε: ρ = 09 10 1 0,9 = 0,3486784401 ~ 34,87% ρ 2 = (90/100) * (89/99) * (88/98) * (87/97)* (86/96)* (85/95)* (84/94)* (83/93)* (82/92)* (81/91) = 0,33047621108672515387074666126621 ~33,05% 19 Πιθανοτική Μέθοδος (Ι) Αξιοποίηση της θεωρίας πιθανοτήτων για μη κατασκευαστική απόδειξη ύπαρξης δομών ΘΕΩΡΗΜΑ (Rosen, σελ. 427): Αν η πιθανότητα ενός τυχαία επιλεγμένου στοιχείου από ένα σύνολο Σ να μην έχει κάποια ιδιότητα Π είναι μικρότερη από 1, τότε (σίγουρα) υπάρχει τουλάχιστον ένα στοιχείο του Σ που επαληθεύει την ιδιότητα Π. Αριθμός Ramsey R(Κ,Κ): Κ): Το ελάχιστο πλήθος Ν ανθρώπων σε μια κοινωνία ανθρώπων, ώστε τουλάχιστον Καπό αυτούς να είναι μεταξύ τους είτε ΟΛΟΙ φίλοι, ή ΟΛΟΙ εχθροί, αν θεωρήσουμε ότι για κάθε ζεύγος ανθρώπων στην κοινωνία αυτή ισχύει πως είτε είναι φίλοι, ή είναι εχθροί (δλδ, δεν μπορεί να είναι αδιάφοροι ο ένας για τον άλλον, ούτε να είναι και τα δυο). 20

Πιθανοτική Μέθοδος (ΙΙ) ΘΕΩΡΗΜΑ (Rosen, σελ. 427): Αν Κ >= 2 είναι φυσικός αριθμός, τότε R(Κ,Κ) >= 2 Κ/2. ΑΠΟ ΕΙΞΗ Χρειάζονται πάντοτε τουλάχιστον Ν >= Κ άνθρωποι. Κ=2: Ισχύει ότι R(2,2) = Ν >= 2 2/2 = 2. Κ=3: Απαιτούνται (αλλά και επαρκούν) τουλάχιστον Ν=6 άνθρωποι. Αντιπαραδείγματα για Ν = 3,4,5. Για Ν=6, ζητείται ύπαρξη είτε μπλε τριγώνου (φιλίες) ή κόκκινου τριγώνου (εχθρότητες) στο γράφημα που αναπαριστά τη σχέση φιλιών και τη (συμπληρωματική) σχέση εχθρότητας. Κ >= 4: Έστω ότι για ΚΑΘΕ ζεύγος διαφορετικών ανθρώπων α,β: o Ρ[ {(α,β),(β,α)} ΦΙΛΙΕΣ ] = ½ o Ρ[ {(α,β),(β,α)} ΦΙΛΙΕΣ = ] = ½ Θδο: ΑΝ Ν < 2 Κ/2 ΤΟΤΕ υπάρχει δείγμα στο Ω (δηλαδή, συγκεκριμένος ορισμός της σχέσης ΦΙΛΙΕΣ) που δεν έχει ΚΑΜΙΑ Κ-άδα ανθρώπων που να είναι ΟΛΟΙ φίλοι ή ΟΛΟΙ εχθροί. 21 ΑΠΟ ΕΙΞΗ (συνέχεια) Πόσα διαφορετικά Κ-υποσύνολα ανθρώπων? Για συγκεκριμένο Κ-υποσύνολο, έστω Α: Ρ[όλοι φίλοι στο Α] =? Πιθανοτική Μέθοδος (ΙΙΙ) Ρ[όλοι εχθροί στο Α] =? Ρ[όλοι εχθροί, ή όλοι φίλοι στο Α] = 2 / 2 Κ(Κ-1)/2. UNION BOUND: ρ = Ρ[υπάρχει Κ-υποσύνολο όπου όλοι εχθροί, ή όλοι φίλοι] =< C(N,K) * 2 / 2 Κ(Κ-1)/2 (Πώς εξηγείται το φράγμα?) ΙΣΧΥΡΙΣΜΟΣ: C(N,K) =< N K / 2 K-1. (αποδείξτε το!) ρ =< N K / 2 K-1 * 2 / 2 Κ(Κ-1)/2 =< (2 Κ/2 ) Κ /2 (Κ^2 Κ)/2 + Κ 1 1 = 1 / 2 Κ/2 2 < 1, για Κ >= 4. Υπάρχει δείγμα (δλδ, ορισμός της σχέσης ΦΙΛΙΕΣ) που δεν πληρεί την ιδιότητα, όταν Ν < 2 Κ/2. 22

εσμευμένη Πιθανότητα (Ι) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ PROB.12: Έστω ότι επιλέγουμε εντελώς τυχαία και ανεξάρτητα δυο φοιτητές / φοιτήτριες από το 1 ο και το 2 ο έτος του Τμήματος Πληροφορικής. Θεωρούμε ότι το ποσοστό των αγοριών είναι 1/3 στο πρώτο έτος και 1/2 στο 2 ο έτος. Να υπολογιστούν: (ι) Η πιθανότητα επιλογής δυο αγοριών. (ιι) Η πιθανότητα επιλογής δυο αγοριών, αν ξέρουμε σίγουρα ότι σε μια μααπό τις δυο επιλογές προέκυψε αγόρι. (ι) Ο δειγματικός χώρος είναι Ω = { α 1α 2 2, α 1κ 2 2, κ 1α 2 2, κ 1κ 2 }. Παρατηρούμε ότι: P[ επιλογή 1 ου έτους = α 1 ]= 1/3 P[ επιλογή 2 ου έτους = α 2 ]= 1/2 Υπολογίζουμε τις μάζες πιθανότητας για όλα τα δείγματα του Ω: Ρ[ α 1 α 2 ] = 1/3 * 1/2 = 1/6 ΖΗΤΟΥΜΕΝΟ Ρ[ α 1 κ 2 ] = 1/3 * 1/2 = 1/6 Ρ[ κ 1 α 2 ] = 2/3 * 1/2 = 1/3 Ρ[ κ 1 κ 2 ] = 2/3 * 1/2 = 1/3 23 εσμευμένη Πιθανότητα (ΙΙ) (ιι) Ποια η πιθανότητα να επιλεγούν δυο αγόρια, Ε ΟΜΕΝΟΥ ότι επιλέγεται τουλάχιστον ένα αγόρι? ειγματικός Χώρος: Ω = { α 1 α 2, α 1 κ 2, κ 1 α 2, κ 1 κ 2 } 1/6 1/6 1/3 1/3 // συχνότητες εμφάνισης Ω = { α 1 α 2, α 1 κ 2, κ 1 α 2, κ 1 κ 2 } 1/6 1/6 1/3 1/3 // συχνότητες εμφάνισης Ζητούμενο: Ρ[ { α 1 α 2 } Ω { κ 1 κ 2 } ] =? ΝΕΑ συνάρτηση πιθανότητας (για το χώρο Ω πλέον): ρ (α 1 α 2 )=1/6/Χ / Χ ρ (α 1 κ 2 ) = 1/6 / Χ ρ (κ 1 α 2 )=1/3/Χ / Χ // Χ = παράγοντας κανονικοποίησης Συνάρτηση πιθανότητας : (1/6 + 1/6 + 1/3) / Χ = 1 Χ = 2/3. ΑΡΑ: ρ (α 1 α 2 )=ρ (α ρ 1 κ 2 )=1/4 1/4, ρ (κ 1 α 2 )=1/2 1/2. 24 Ζητούμενο: Ρ[ { α 1 α 2 } Ω { κ 1 κ 2 } ] = ρ (α 1 α 2 ) = 1/4.

εσμευμένη Πιθανότητα (ΙΙΙ) Πείραμα Π: «Ρίψη (δίκαιου) ζαριού» Πιθανότητα να έχει έρθει 2? Πιθανότητα να έχει έρθει 2, Ε ΟΜΕΝΟΥ ΟΤΙ ήρθε άρτιος? Πιθανότητα να έχει έρθει 2, Ε ΟΜΕΝΟΥ ΟΤΙ ήρθε πρώτος? Πιθανότητα να έχει έρθει 2, Ε ΟΜΕΝΟΥ ΟΤΙ ήρθε περιττός? ΟΡΙΣΜΟΣ PROB.3 3[ ΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ]: Έστω Ω ο διακριτός δειγματικός χώρος ενός πειράματος και Α,Β Ω δυο οποιαδήποτε γεγονότα, όπου το Β έχει ΜΗ ΜΗ ΕΝΙΚΗ μάζα πιθανότητας : ρ(β) > 0. Η πιθανότητα να συμβεί το γεγονός Α δεδομένου ότι έχει συμβεί το γεγονός Β συμβολίζεται με ρ(α Β) ) και ονομάζεται δεσμευμένη μ πιθανότητα του Α δεδομένου του Β. 25 εσμευμένη Πιθανότητα (ΙV) ΠΡΟΤΑΣΗ PROB.1 [Υπολογισμός εσμευμένης Πιθανότητας]: Έστω Ω ο διακριτός δειγματοχώρος ενός πειράματος Π, ρ : Ω [0,1] μια διακριτή συνάρτηση πιθανότητας στο Ω, και Α, Β δυο τυχόντα γεγονότα τέτοια ώστε ρ(β) > 0. ={ ω Ω, ρ Β (ω) ρ({ω} Β) = 0 αν ω Β. ρ({ω} Β) = ρ(ω) / ρ(β), αν ω Β, Α Ω,, ρ(α Β) ) = ρ(α Β) ) / ρ(β). ) 26

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ PROB.13: Ένα πράσινο κι ένα κόκκινο ζάρι ρίχνονται, ανεξάρτητα το ένα από το άλλο, μια φορά. Ποια η πιθανότητα τα δυο ζάρια να φέρουν αποτέλεσμα που αθροίζει σε 8? Τι γίνεται αν ξέρουμε ότι και τα δυο ζάρια έφεραν άρτιο αριθμό? ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ PROB.14: Ένα δοχείο περιέχει 5 μπλε και 7 κόκκινες μπάλες. Επιλέγουμε (χωρίς επανατοποθέτηση) δυο από αυτές τις μπάλες. M 1 = Πρώτη επιλογή μπλε. M 2 = εύτερη επιλογή μπλε. Κ 1 = Πρώτη επιλογή κόκκινη. Κ 2 = εύτερη επιλογή κόκκινη. α. P[ M 1 M 2 ] =? P[ Κ 1 M 2 ] =? β. P[M 2 ] =? γ. P[ M 1 ή Μ 2 ] =? δ. Ε[ #μπλε μπάλες ] =? 27 Κανόνας του Bayes (Ι) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ PROB.15: Ρίχνουμε τρία «δίκαια», διαφορετικού χρώματος ζάρια, ανεξάρτητα το ένα από το άλλο. Θεωρούμε τα εξής γεγονότα: Α = «εμφανίστηκε ακριβώς ένας άσσος», και Β =«εμφανίστηκαν τρεις διαφορετικοί αριθμοί».. Να υπολογιστεί το ρ(α Β), καθώς και το ρ(β Α). Ω = 6 3 = 216 ρ(α) =? 3 * 5 2 /6 3 = 25 / 72 ρ(β) =? Ρ(6,3) / 6 3 = 5/9 ρ(α Β) =? 3*(1*5*4) / 6 3 = 5 / 18 ρ(α Β) =? ρ(α Β) / ρ(β) = (5 / 18) / (5 / 9) = 1/2 28 ρ(β Α) =? ρ(α Β) / ρ(α) = (5 / 18) / (25 / 72) = 4/5

Κανόνας του Bayes (ΙΙ) ΠΡΟΤΑΣΗ PROB.2 [Θεώρημα του Bayes ]: Έστω Ω ο διακριτός δειγματοχώρος ενός πειράματος Π, ρ : Ω R 0 μια διακριτή συνάρτηση πιθανότητας πάνω στο Ω, και Α,Β δυο γεγονότα με ΜΗ ΜΗ ΕΝΙΚΕΣ μάζες πιθανότητας : ρ(a)*ρ(β) > 0. Τότε: ρ(α Β) = ρ(β Α) * ρ(α) /ρ(β) ρ(β). ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ PROB.15 (συνέχεια): ρ(β Α) = ρ(α Β) * ρ(β) / ρ(α) = (1/2) * (5/9) / (25/72)= 4/5 ρ(α Β) = ρ(β Α) * ρ(α) / ρ(β) = (4/5) * (25/72) / (5/9) = 1/2 29