17833 α) Πρέπει : 8 x 0 x 8 & 8 x 8 8 x 0 x 8,άρα 8,8. f β) x 8,8 : x 8,8 & f x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x f x γ) Γνησίως φθίνουσα είναι η III γραφική παράσταση. Έχει μέγιστο στο -8 το f 8 16 0 4. Έχει ελάχιστο στο 8 το f 8 0 16 4. Σελίδα 1 από 5
δ) Γραφικά : Επειδή ηγραφική παράσταση της g x f x 3 προκύπτει από αυτή της f 0,0 x με μετατόπιση 3 μονάδων κάτω δεν έχει κέντρο συμμετρίας το, ούτε άξονα συμμετρίας τον y y. Επίσης, επειδή ηγραφική παράσταση της h x f x 3 προκύπτει από αυτή της f x με μετατόπιση 3 μονάδων αριστερά δεν έχει κέντρο συμμετρίας το 0,0, ούτε άξονα συμμετρίας τον y y. Σελίδα από 5
17834 α) Έστω x η ηλικία της μητέρας, y η ηλικία του παιδιού και z η ηλικία του πατέρα. Τότε ισχύει : x 3y z 11 y 3 x y z 115 β) x 3y 11 11 z y 3y y y 115 9y 3y 11y 345 3y 345 3 3 x y z 115 y 15 11 z 15 55 3 x 45 Άρα η ηλικία της μητέρας είναι 45 έτη, η ηλικία του παιδιού είναι 15 έτη και η ηλικία του πατέρα είναι 55 έτη. Σελίδα 3 από 5
17835 α) x y 3 x 5y 3 1 D 5 5 4 9 3 3 5 D x 3 15 3 15 3 6 9 3 3 3 3 5 1 3 Dy 3 3 3 3 6 9 3 33 3 D 0 3 3 0 3 3 Διακρίνουμε περιπτώσεις: Αν D 0 3 & 3 Έχουμε μοναδική λύση δηλαδή οι ευθείες τέμνονται. Αν D 0 3 3 Για 3 D 0 & D 0 οι ευθείες ταυτίζονται. x y Για 3 D 18 0 & D 18 0 οι ευθείες είναι παράλληλες. x y Σελίδα 4 από 5
β) Για D 0 3 & 3 D 3 3 x 3 x D 3 3 3 Dy 3 3 3 y D 3 3 3 3 3, 3 3. δηλαδή οι ευθείες τέμνονται στο γ) 3 3 3 3, : x y 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 3 3 0 3 3 Σελίδα 5 από 5
17837 f 1 1 3 1 3 1 3 fmax 3 4 α) max 0 1 4 4 β) f x 3 x x x f x 3 3 3 1 x x x x x 1 x 4 1,. Σελίδα 6 από 5
17838 α) 5 8 1 0 5 1 8 1 0 : y 10 8 16 0 5 14 8 0 0 1. 14 6 10 y y y1, 10 8 4 10 5 5 14 8 0 4 άρα 5 β) i) 4 9 3 1 1 5 5 5 3 5 0 4 3 16 9 7 5 5 5 5 5 3 4 4. 5 5 5 ii) 1311 5 5. 4 7 18 17 181 5 5 5 Σελίδα 7 από 5
17839 1 3 α) D 1 3 4 D D x y 1 1 3 3 3 3 9 3 6 3 3 1 1 3 3 3 3 3 6 3 1 3 Αν D 0 0 το σύστημα έχει μοναδική λύση : x y o o D 3 x 3 D Dy 3 3 D άρα : xo y. o Σελίδα 8 από 5
β) Αν D 0 0. Για D 0 & D 0 x 3y 3 x 3y 3 x 33y. x 3y 3 x άρα το σύστημα έχει άπειρες λύσεις. Επομένως οι άπειρες λύσεις είναι : γ) Για D 1 0 & D 1 0 x y y x, y 3 3,,. άρα το σύστημα είναι αδύνατο. Δηλαδή δεν έχει λύση. Για 3 το σύστημα έχει μοναδική λύση. Άρα οι ευθείες τέμνονται. Για το σύστημα έχει άπειρες λύσεις. Άρα οι ευθείες ταυτίζονται. Για το σύστημα είναι αδύνατο. Άρα οι ευθείες είναι παράλληλες. Σελίδα 9 από 5
17840 1 α) D D D x y 1 1 1 1 1 1 1 Αν D 0 0 το σύστημα έχει μοναδική λύση : Dx x D Dy 1 1 y D Αν D 0 0 D 0 & D 1 0 x είναι αδύνατο. y β) Για 1 x y 1 1 1 0 1 &. 0 0 0, 1 Σελίδα 10 από 5
γ) Για 1 1 1 x1 3 3 y1 3 3 αλλά 1 1 4 5 1 1 1 1 3 3 9 9 9 άτοπο. Σελίδα 11 από 5
17841 Σελίδα 1 από 5
α) max min h 8 6 14 m & h 8 6 m t t ht hmax ht 14 8 6 14 1 30 30 t t t 30 30 30 t t 1 t 60 15,. 30 30 Αλλά 0 t 180, άρα : t 15 s, t 75 s, t 135s t t ht hmin ht 8 6 1 30 30 t t t 30 30 30 t t 1 t 60 15,. 30 30 Αλλά 0 t 180, άρα : t 45 s, t 105s t 165s hmax hmin 14 1 β) R 6m. γ) 60 60s. Άρα θα κάνουν 3 γύρους. 30 δ) t 0 15 30 45 60 75 90 h(t) 8 14 8 8 14 8 Σελίδα 13 από 5
1784 Σελίδα 14 από 5
1 1 και 1 f 4 0 4 c d 0 α) f 0 16 0 c d 16 c d 161 1 1 1 1 1 1 1 4 c d 0 4 c d c d 16 16 c d c 4 c 16 c 4 c 3 c 16 8c c 3 c 16 8c c 3 8c 48 c 6 1 & d 4 6 1 6 Άρα f x x i. 1 f x 0 x 6 0 x 6 4 x 6 x 8 x 4 Άρα τέμνει τον x x στο 8,0 και στο 4,0 f 0 1 0 6 18 16 Για x 0 Άρα τέμνει τον y y στο 0,16.. Σελίδα 15 από 5
ii. Η f προκύπτει από τη g με μετατόπιση 6 μονάδες δεξιά και μονάδες κάτω. iii. Η f έχει ελάχιστο στο 6 το f 6. Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο και γνησίως αύξουσα στο 6,.,6 Σελίδα 16 από 5
17843 α) i. fmax fmin ii. 4 5 & 1 β) fmax 5 5 4 & 3 & 3 fmin 1 1 Από το σχήμα συμπεραίνουμε ότι : & 3 1 4 4. γ) Για 1 f x 3 x, ισχύει : Σελίδα 17 από 5.
7 1 7 1 3 f x 3 x 3 x 1 1 1 x x 6 1 1 x x, 6 6 5 x 4 x 4, 3 3 Αλλά από το σχήμα βλέπουμε 5 x 6 άρα : 5 17 x 4 x. 3 3 Σελίδα 18 από 5
17844 α) x y 1 y x 1 1 1 x x x y 1 x y 1 x x x 11 0 x x 0 x 0 x 1 Για x 0 y 1 Για x 1 y 0 β) 1 1 0 & 11 1 & 0 1 1 0 0x 1 1 0x 3 0 Σελίδα 19 από 5
17846 α) x 0 3 5 3 7 4 4 4 4 f x 1 0-1 0 1 g x 1 0-1 0 1 0-1 0 1 Σελίδα 0 από 5
β) Από τη γραφική παράσταση παρατηρούμε ότι έχουμε 4 λύσεις. x x x x x x, x 1 x, 3 x 0, 0 x 0 1 0 1 & 0 1 άρα 0 x 0 1 x x 0, 0 x 0 0 6 3 0 3 & 0 1 3 άρα 0 x 0 1 x 3 4 x 3 3 x Δηλαδή 4 x 0 x x x. 3 3 Σελίδα 1 από 5
17850 α) Έστω x η ηλικία από τα δίδυμα κορίτσια και y η ηλικία του αγοριού. 1. x x y 14 x y 141 Τότε ισχύει :. x y 4 3. x y3 β) x y 14 1 x y 14 4 4 x 14 x y 4 y x x 7 1 4 x 4 14x x 7x 1 0 x1, 3 x 3 y 8 x 4 y 6 3 x y Άρα τα δίδυμα κοριτσια είναι από 3 ετών και το αγόρι 8 ετών. Σελίδα από 5
1785 α) Ισχύει : max min h 100 cm, h 0 cm & 6 sec. 6 6 3 β) h 60 max 100cm 100 60 h 40 min 0cm 0 40 ( Επειδή η ταλάντωση γίνεται ( ελάχιστο ηρεμία μέγιστο ηρεμία ελάχιστο 0 ). Άρα : t 3 γ) Άρα ht 40 60 40 60 14 6 t 14sec h14 40 60 40 60 3 3 1 40 60 40 60 40 60 0 60 80 cm. 3 3 Σελίδα 3 από 5
Σελίδα 4 από 5
17855 α) 8 8h 4 β) t 5 5 f 5 1 13 1 13 1 13 1 13 13 6 cm 4 4 4 t 8 8 f 8 1 13 1 13 1 13 10 13 13cm 4 γ) fmin 1 13 1 cm t t f t fmin f t 1 1 13 1 1 1 4 4 t t 3 t 3 t 3 1 4 4 4 4 t 8 6 t 8 4 6 0t8 1 t 8 6 t 6sec 0t8 t 8 t 6sec t 8 6 1 t 8, Άρα για t 6sec έχουμε fmin 1cm. Σελίδα 5 από 5