ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τ.Τ Βιομηχανικοί Ελεγκτές Ενότητα #11: Ελεγκτές PID & Συντονισμός Κωνσταντίνος Αλαφοδήμος Τμήματος Μηχανικών Αυτοματισμού Τ.Ε.
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3
Σκοποί Ενότητας Η έννοια του αναλογικού PID Μέθοδοι Συντονισμού Μέθοδοι Τροποποίησης 4
Περιεχόμενα Ενότητας Αντισταθμιστής PID Αναλογικός PID Μέθοδος Z-N Μέθοδος Cohen-Coon Μέθοδοι Τροποποίησης 5
Αντισταθμιστής PID - 1 Αντιστάθμιση 2 ου βαθμού: 6
Αντισταθμιστής PID - 2 7
Αναλογικός PID - 1 8
Αναλογικός PID - 2 Ο ελεγκτής PID είναι μια ειδική μορφή σερβομηχανισμού t και έχει την μορφή D( s) = K p + K i / s+ K s 1 d ή m t K e t T de ( ) = c + T e( ) + d i 0 dt Όπου: Κc είναι το κέρδος αναλογίας του ελεγκτή (proportional) Ti είναι ο χρόνος ολοκλήρωσης ή επαναφοράς (reset) Τd είναι ο χρόνος διαφόρισης (rate) Κc/Ti είναι το κέρδος του ολοκληρωτή Κc/Td είναι το κέρδος της διαφόρησης. 9
Αναλογικός PID - 3 Συνηθίζεται να περιγράφεται το κέρδος στην αποκατάσταση στα συστήματα ελέγχου διεργασιών από την αναλογική ζώνη PB (proportional band) που δίνεται από τη σχέση PB = 100 κέρδος αποκατάστασης % 10
Αναλογικός PID - 4 Η ταυτόχρονη αύξηση των δύο τιμών των κερδών ελλατώνει την ευστάθεια του συστήματος. Επομένως, για ti td ( συνήθως ti td ) η συνάρτηση μεταφοράς του ελεγκτή έχει τη μορφή: M(s) 1 K D(s) = = Kc 1 s Τd i + E(s) + + sτ i sτi ( 1+ sτ )( 1 sτ ) Οι κατάλληλες τιμές των Κc, Τi, Τd υπολογίζονται χρησιμοποιώντας τις γνωστές μεθόδους, διαγράμματα BODE, τόπος των ριζών κ.λ.π. d 11
Μέθοδος Z-N - 1 α) Γνωστό μοντέλο διεργασίας β) Άγνωστό μοντέλο διεργασίας 12
Γνωστό Μοντέλος Διεργασίας 1)Ημίπειραματική μέθοδος Μέθοδος Ζ-Ν - 2 Στη μέθοδο αυτή, οι παράμετροι των όρων ολοκλήρωσης και διαφόρισης τοποθετούνται στη χαμηλότερη δυνατή τιμή (δηλαδή τα Τi,Τd 0) και τo κέρδος Kc αυξάνεται σταδιακά μέχρι να παρατηρηθεί ταλάντωση σταθερού εύρους στην έξοδο (παρακάτω σχήμα). Το κέρδος σε αυτή τη περίπτωση αντιστοιχεί στο Κκρισ. ενώ η περίοδος Το υπολογίζεται συνήθως με τη βοήθεια παλμογράφου. Στη συνέχεια από τις εξισώσεις του Πίνακα 2 υπολογίζονται οι παράμετροι του ελεγκτή PID. 13
Μέθοδος Ζ-Ν - 3 14
Μέθοδος Ζ-Ν - 4 15
Μέθοδος Ζ-Ν - 5 16
Μέθοδος Ζ-Ν - 6 17
Μέθοδος Ζ-Ν - 7 2) Αλγεβρική μέθοδος Στη μέθοδο αυτή, που αναφέρεται και ως αναλυτική μέθοδος, οι παράμετροι του PID υπολογίζονται από τις παρακάτω εξισώσεις: ο 180 = Gs ( ) = G( jω) s= jω 20log A= 20log G( jω) 18
Μέθοδος Ζ-Ν - 8 Από την πρώτη εξίσωση (εξίσωση φάσεως) επιλέγονται διάφορες τιμές του ω μέχρις ότου βρεθεί μια τιμή του ω που ικανοποιεί την εξίσωση. Η τιμή αυτή ονομάζεται κρίσιμη συχνότητα και συμβολίζεται ως ω0. Στη συνέχεια, αντικαθίσταται η τιμή ω0 στην 2η εξίσωση (εξίσωση κέρδους) και υπολογίζεται η τιμή του Α που αντιστοιχεί στη συχνότητα ω0. Επομένως, στο σημείο αυτό έχουν υπολογιστεί τα Τ0 και Κκρ. και στη συνέχεια υπολογίζονται οι τιμές των παραμέτρων του PID ελεγκτή από τις εξισώσεις του Πίνακα 2. 19
Μέθοδος Ζ-Ν - 9 Άγνωστο μοντέλο Διεργασίας O υπολογισμός του μοντέλου της αγνώστου διεργασίας μπορεί να υπολογιστεί όταν είναι γνωστή η μεταβατική χρονική απόκριση της μεταβλητής εξόδου C(s). 20
Μέθοδος Ζ-Ν - 10 Εφαρμόζεται βηματική μεταβολή στην είσοδο της διεργασίας και ταυτόχρονα καταγράφεται η μεταβλητή στην έξοδο C. Από τις τιμές αυτές σχηματίζεται η χρονική καμπύλη απόκρισης στο διάστημα του χρόνου της αγνώστου διεργασίας. Αν η χρονική απόκριση ανοιχτού βρόγχου είναι γνωστή, τότε κατά προσέγγιση υπολογίζονται οι παράμετροι της αγνώστου συνάρτησης μεταφοράς. Συνήθως υποθέτουμε μοντέλο προσομοίωσης 1ου βαθμού με καθυστέρηση της μορφής: K G s st e ( ) = st 1 + 1 2 Οι τιμές των παραμέτρων Κ, Τ1, Τ2 της G(s) βρίσκονται από που εικονίζεται στο προηγούμενο Σχήμα την καμπύλη Οι μέσες τιμές των παραμέτρων του ελεγκτή PID υπολογίζονται, αν είναι γνωστά τα Κ, Τ1, Τ2 της G(s), από τις εξισώσεις του Πίνακα 1. Τέλος με ρύθμιση γύρω από τις μέσες τιμές επιλέγονται οι τελικές τιμές για τον έλεγχο της μεταβλητής C. 21
Μέθοδος Ζ-Ν - 11 Επομένως με προσομοίωση μοντέλου 1ου βαθμού και για συνάρτηση μεταφοράς του PID D(s) = K (1+ 1 T s c + 1 T s ) υπολογίζονται οι παράμετροι του ελεγκτή PID από τις εξισώσεις του Zeigler - Nichols του πίνακα 1: d όπου S= K T 2 είναι η κλίση της καμπύλης απόκρισης 22
Μέθοδος Cohen-Coon - 1 Η προσομοίωση με μοντέλο 1ου βαθμού χρησιμοποιείται είτε η συνάρτηση μεταφοράς είναι άγνωστος είτε είναι γνωστή. Υποθέτουμε ένα κατ εκτίμηση μοντέλο προσομοίωσης πρώτου -t βαθμού με συνάρτηση μεταφοράς της μορφής K e d s G ( ) = εκτ s s τ + 1 Οι παράμετροι του μοντέλου κέρδος (K), σταθερά απόκρισης (td) και σταθερά της διεργασίας (τ) υπολογίζονται με δύο τρόπους: 23
Μέθοδος Cohen-Coon - 2 24
Μέθοδος Cohen-Coon - 3 25
Μέθοδοι Τροποποίησης- 1 Στην περίπτωση αυτή μεταβάλλεται το κέρδος Kc μέχρι η έξοδος να έχει τη μορφή φθίνουσας ταλάντωσης με εύρος στη δεύτερη περίοδο ίση με το 1/4 του εύρους της πρώτης. Υπολογίζονται το κέρδος Α και η περίοδος Τ0. Από τις εξισώσεις υπολογίζονται οι παράμετροι: Κc = 1 /A, Ti = To/1.5, Td = To/6 26
Μέθοδοι Τροποποίησης- 2 Στον Πίνακα 2 αναφέρονται συγκεντρωτικά οι εξισώσεις όλων των παραπάνω περιπτώσεων που χρησιμοποιούνται στον υπολογισμό των παραμέτρων των ελεγκτών P, PI, PID. 27
Τέλος Ενότητας