ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ Συνοπτικές σημειώσεις

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ Συνοπτιές ημειώεις Δημήτριος Πντελής

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Βιό μοντέλο Σε τιμές της νεξάρτητης μετλητής (δείγμ ) ντιτοιχούν μετρήεις της εξρτημένης μετλητής (δείγμ Y ) Υποθέτουμε ότι ιχύει το όλουθο γρμμιό τοχτιό πρότυπο e K e τυχίο φάλμ με μηδενιή μέη τιμή ι διπορά Η ευθεί γρμμιής πλινδρόμηης της τη μέης τιμής της τυχίς μετλητής Οι ετιμήτριες δίνοντι πό τις χέεις πρέχει μί ετίμηη της των πρμέτρων είνι οι δειγμτιές μέες τιμές των Y η δειγμτιή διπορά του ι η δειγμτιή υνδιπορά των Y Οι ποότητες υτές υπολογίζοντι ως εξής ( ) ( )( ) Τυπιό φάλμ ετίμηης Το τυπιό φάλμ ετίμηης s πρέχει μί ετίμηη της διποράς τυχίων φλμάτων Υπολογίζετι πό τη χέη s ( ) η δειγμτιή διπορά του Y των Διτήμτ εμπιτούνης ι έλεγχοι υποθέεων Τ ποτελέμτ υτού του εφλίου ιχύουν ότν τ τυχί φάλμτ ολουθούν νονιή τνομή δηλδή e ~ N( ) Τ ( )% διτήμτ εμπιτούνης γι τις πρμέτρους ορίζοντι πό τις χέεις

: ± t : ± t είνι ετιμήτριες των διπορών των που υπολογίζοντι πό τις χέεις s s ( ) ( ) Έτω ο έλεγχος με μηδενιή υπόθεη : ι ενλλτιή υπόθεη που δίνετι πό τις όλουθες τρεις περιπτώεις : > : < : Η υπόθεη πορρίπτετι γι επίπεδο ημντιότητς ν > < t t > t ντίτοιχ Ανάλογ ποτελέμτ ιχύουν γι την πράμετρο Ιδιίτερο ενδιφέρον προυιάζει η υπόθεη που είνι ιοδύνμη με την υπόθεη ότι οι μετλητές είνι νεξάρτητες (ν φυιά η γρμμιή χέη ποτελεί μί λογιή υπόθεη) Τέλος οι τιμές t λμάνοντι πό τον πίν γι την τνομή tdet Όον φορά τις τιμές της τυχίς μετλητής ιχύουν τ εξής Δεδομένης της νεξάρτητης μετλητής το ( )% διάτημ εμπιτούνης γι την νμενόμενη τιμή της εξρτημένης μετλητής (μέη τιμή των μετρήεων) ορίζετι πό τη χέη ( ) ± s t ( ) Το ( )% διάτημ εμπιτούνης γι την τιμή της εξρτημένης μετλητής (τομιή μέτρηη) λούμενο διάτημ πρόλεψης ορίζετι πό τη χέη ( ) ± s t ( )

Σύγριη δύο ευθειών πλινδρόμηης Σε τιμές της νεξάρτητης μετλητής (δείγμ ) ντιτοιχούν μετρήεις της εξρτημένης μετλητής (δείγμ Y ) ενώ ε τιμές (δείγμ ) ντιτοιχούν μετρήεις της εξρτημένης μετλητής (δείγμ Y ) Υποθέτουμε ότι υπάρχει γρμμιή χέη μετξύ των μετλητών ι της μορφής e K e e e K τυχί φάλμτ με μηδενιή μέη τιμή ι οινή διπορά Οι ευθείες γρμμιής πλινδρόμηης της τη ι της τη είνι ντίτοιχ οι οι υντελετές των δύο ευθειών υπολογίζοντι τά τ γνωτά Γι άθε ευθεί υπολογίζουμε ι το τυπιό φάλμ ετίμηης s Επειδή έχουμε υποθέει ότι τ γρμμιά μοντέλ που ντιτοιχούν τις δύο ευθείες περιέχουν τυχί φάλμτ με οινή διπορά πρέπει ν υπολογίουμε έν οινό φάλμ ετίμηης Έχουμε ( ) s ( ) s s 4 Η ύγριη των δύο ευθειών γίνετι ε δύο φάεις Πρώτ υγρίνουμε τις λίεις τους δηλδή άνουμε τον έλεγχο : : Η υπόθεη πορρίπτετι γι επίπεδο ημντιότητς ν s ( ) ( ) > t 4 3

Αν πό τον έλεγχο προύψει ότι οι λίεις είνι διφορετιές ημίνει ότι ι οι ευθείες είνι διφορετιές Αν προύψει ότι οι λίεις είνι ίες ημίνει ότι οι ευθείες ή τυτίζοντι ή είνι πράλληλες άρ είνι πρίτητος ένς επιπλέον έλεγχος : D : D D η πότη των δύο ευθειών Γι ν ετιμηθεί υτή η πότη πρέπει πρώτ ν ετιμηθεί η οινή λίη των δύο ευθειών Έχουμε ( ) ( ) ( ) ( ) ι η πότη μετξύ των δύο ευθειών ετιμάτι πό το D ( ) ( ) Η υπόθεη πορρίπτετι γι επίπεδο ημντιότητς ν s D ( ( ) ( ) ) > t 3 Συχέτιη Ο υντελετής θεωρητιής υχέτιης ρ δύο μετλητών ποτελεί έν μέτρο του τά πόον υπάρχει γρμμιή εξάρτηη μετξύ τους Γι μετλητές ορίζετι πό τη χέη cov( ) ρ vr( ) vr( ) Ο υντελετής θεωρητιής υχέτιης ετιμάτι πό τον υντελετή εμπειριής υχέτιης r που δίνετι πό τη χέη r ( )( ) Ο υντελετής πίρνει τιμές πό ως Ότν r δεν υπάρχει γρμμιή χέη μετξύ των Ότν r ± υπάρχει πόλυτη γρμμιή εξάρτηη μετξύ των Έτω ο όλουθος έλεγχος υποθέεως χετιά με την τιμή του θεωρητιού υντελετή υχέτιης : ρ ρ : ρ ρ Ο έλεγχος διεξάγετι με τη χρήη των πράτω ριτηρίων ) Προεγγιτιό ριτήριο του Fsher Η υπόθεη πορρίπτετι γι επίπεδο ημντιότητς ν 3( z ζ ) > z 4

ι η τιμή l r r ρ z ζ l ρ z λμάνετι πό τον πίν γι την νονιή τνομή Το ντίτοιχο ( )% διάτημ εμπιτούνης δίνετι πό τη χέη ζ ζ e e ρ ζ ζ e e z z ζ z ζ z 3 3 ) Αριές ριτήριο του Fsher Ιχύει μόνο γι ρ Η υπόθεη πορρίπτετι με τάθμη ημντιότητς ν r > t r Μί πρλλγή του προεγγιτιού ριτηρίου του Fsher μπορεί ν χρηιμοποιηθεί γι τη ύγριη δύο υντελετών υχέτιης Έχουμε τον έλεγχο : ρ ρ : ρ ρ Έτω r r ντίτοιχοι υντελετές εμπειριής υχέτιης που έχουν προύψει πό δείγμτ μεγέθους Η υπόθεη πορρίπτετι γι επίπεδο ημντιότητς ν z z > z 3 3 z r r l z l r r Γενιό μοντέλο Γενιεύουμε τ ποτελέμτ του εφλίου γι την περίπτωη που έχουμε νεξάρτητες μετλητές K Υποθέτουμε δηλδή ότι ιχύει το όλουθο γρμμιό τοχτιό πρότυπο L e K είνι τιμές της νεξάρτητης μετλητής K ι e τυχίο φάλμ με μηδενιή μέη τιμή ι διπορά Σε δινυμτιή μορφή οι πρπάνω εξιώεις γράφοντι ως εξής e ~ ~ ~ 5

~ M M L L L e e e ~ M ~ M e Το διάνυμ ετιμάτι πό το διάνυμ που δίνετι πό τη χέη ~ ~ ( ) ~ ~ είνι ο νάτροφος του πίν Η δε μέη τιμή της τυχίς μετλητής ετιμάτι πό την εξίωη L K είνι τ τοιχεί του δινύμτος ~ Τυπιό φάλμ ετίμηης Το τυπιό φάλμ ετίμηης s ~ ( ) s δίνετι πό τη χέη ~ ~ ( ) Διτήμτ εμπιτούνης Τ ποτελέμτ υτού του εφλίου ιχύουν ότν τ τυχί φάλμτ ολουθούν νονιή τνομή δηλδή e ~ N( ) Τ ( )% διτήμτ εμπιτούνης γι τις πρμέτρους ορίζοντι πό τις χέεις ± t s v ( ) v είνι το ( ) ~ διγώνιο τοιχείο του πίν ( ) K Γι τις τιμές της τυχίς μετλητής ιχύουν τ εξής Δεδομένων των νεξάρτητων μετλητών K το ( )% διάτημ εμπιτούνης γι την νμενόμενη τιμή της εξρτημένης μετλητής (μέη τιμή των μετρήεων) ορίζετι πό τη χέη ( ) l ~ ± s t l ( ) ~ l [ L ] ~ Το ( )% διάτημ πρόλεψης γι την τιμή της εξρτημένης μετλητής (τομιή μέτρηη) ορίζετι πό τη χέη ( ) l ~ ± s t l ( ) ~ 6

Συντελετής πολλπλής υχέτιης Ο υντελετής πολλπλής υχέτιης R ποτελεί έν μέτρο του τά πόον υπάρχει υχέτιη μετξύ της εξρτημένης μετλητής ι των νεξάρτητων μετλητών K το ύνολό τους Ορίζετι ως υνάρτηη του υντελετή προδιοριμού R ο οποίος ιούτι με το ποοτό της ολιής μετολής που οφείλετι την πλινδρόμηη Έχουμε R ( ) ( ) ~ ~ ( ) Η υπόθεη ότι δεν υπάρχει υχέτιη μετξύ της μετλητής ι των μετλητών K ( R ) πορρίπτετι με τάθμη ημντιότητς ν ( ) R > F ( )( R ) η τιμή του δεξιού μέρους λμάνετι πό τους πίνες γι την τνομή F Ο έλεγχος υτός είνι δυντός ότν > Συντελετής μεριής υχέτιης Ο υντελετής μεριής υχέτιης ρ ( ) ποτελεί έν μέτρο του τά πόον υπάρχει υχέτιη μετξύ της εξρτημένης μετλητής ι της νεξάρτητης μετλητής λμνομένων υπ όψη των τιμών των υπόλοιπων νεξάρτητων μετλητών Γι δύο νεξάρτητες μετλητές ο υντελετής ρ ετιμάτι πό τον υντελετή r rr r r r ( )( ) r ι r είνι οι υντελετές εμπειριής υχέτιης μετξύ των μετλητών ι ντίτοιχ Γι δεδομένες τιμές της μετλητής η υπόθεη ότι δεν υπάρχει υχέτιη μετξύ της μετλητής ι της μετλητής ( ρ ) πορρίπτετι με τάθμη ημντιότητς ν 3 r > t 3 r 7

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ Έτω ότι θέλουμε ν ελέγξουμε τά πόον η τιμή άποις μετλητής επηρεάζετι πό οριμένους πράγοντες είτε λόγω επίδρης άθε πράγοντ ξεχωριτά είτε λόγω λληλεπίδρης μετξύ πργόντων Γι το οπό υτό πίρνουμε μετρήεις γι διάφορες τιμές των πργόντων που μς ενδιφέρουν ι υγρίνουμε τη μετολή που οφείλετι ε άποιον πράγοντ (ή την λληλεπίδρη άποιων πργόντων) ε χέη με τη μετολή που οφείλετι το τυχίο φάλμ Η μέθοδος υτή ονομάζετι νάλυη διποράς ι ιχύει γι μετρήεις που ολουθούν την νονιή τνομή με πιθνόν διφορετιούς μέους λλά με την ίδι διπορά (νεξάρτητη των υγεριμένων τιμών των πργόντων) Ανάλυη διποράς γι έν πράγοντ Θεωρούμε ότι η τιμή της μετλητής που μς ενδιφέρει ίως επηρεάζετι πό άποιον πράγοντ Α ο οποίος εμφνίζετι με διφορετιές τάθμες Γι άθε τάθμη του Α έχουμε τη διάθεή μς οριμένες μετρήεις έτω τον ριθμό γι την τάθμη του Α K Υποθέτουμε ότι ιχύει το πράτω τοχτιό πρότυπο μ e K K : η μέτρηη γι την τάθμη του Α μ : γενιή μέη τιμή : η επίδρη του πράγοντ Α ότν ρίετι την τάθμη e : τυχίο φάλμ με τνομή N ( ) Γι ν εξετάουμε ν ο πράγοντς Α επηρεάζει τις μετρήεις άνουμε τον εξής έλεγχο : L : : Κτ ρχήν υπολογίζουμε τις ποότητες (άθροιμ μετρήεων τη τάθμη ) (άθροιμ όλων των μετρήεων) ι (υνολιός ριθμός μετρήεων) K Ο έλεγχος γίνετι με άη τον πράτω πίν νάλυης διποράς Πηγή μετολής Πράγοντς Τυχίο φάλμ Ολιή Άθροιμ τετργώνων v Βθμοί ελευθερίς Μέη Σττιτιό μετολή F M M F v 8

Η υπόθεη πορρίπτετι γι επίπεδο ημντιότητς ν > F F Το πρόλημ που περιγράψμε μπορεί ν διτυπωθεί ι ως εξής Έτω ότι έχουμε δείγμτ με μεγέθη K γι τ οποί υποθέτουμε ότι προέρχοντι πό νονιούς πληθυμούς με την ίδι διπορά Η υπόθεη είνι ιοδύνμη με την υπόθεη ότι οι πληθυμοί υτοί έχουν ι την ίδι μέη τιμή δηλδή ότι τ δείγμτ προέρχοντι πό τον ίδιο πληθυμό Ο ντίτοιχος έλεγχος υποθέεως είνι ο : μ μ μ L : : μ μ μ είνι η μέη τιμή του δείγμτος Τέλος είνι το άθροιμ των μετρήεων του δείγμτος είνι το άθροιμ όλων των μετρήεων ι είνι ο υνολιός ριθμός των μετρήεων Ανάλυη διποράς γι δύο πράγοντες χωρίς λληλεπίδρη Θεωρούμε ότι η τιμή της μετλητής που μς ενδιφέρει ίως επηρεάζετι πό δύο πράγοντες Α ι Β χωρίς ν υπάρχει λληλεπίδρη μετξύ των δύο Οι πράγοντες Α ι Β εμφνίζοντι με ι λ διφορετιές τάθμες ντίτοιχ Επίης υποθέτουμε ότι έχουμε μί μέτρηη γι άθε υνδυμό τθμών των δύο πργόντων Η περίπτωη πολλπλών μετρήεων θ λυφθεί το επόμενο εφάλιο Άρ έχουμε το όλουθο τοχτιό πρότυπο μ e K K λ : η μέτρηη γι την τάθμη του Α ι την τάθμη του Β μ : γενιή μέη τιμή : η επίδρη του πράγοντ Α ότν ρίετι την τάθμη : η επίδρη του πράγοντ Β ότν ρίετι την τάθμη e : τυχίο φάλμ με τνομή N ( ) Υπάρχουν τρεις έλεγχοι υποθέεως που μπορούμε ν άνουμε Ο πρώτος εξετάζει ν ο πράγοντς Α επηρεάζει τις μετρήεις : L : : Ο δεύτερος εξετάζει ν ο πράγοντς Β επηρεάζει τις μετρήεις : L : : λ Τέλος ο τρίτος εξετάζει ν άποιος πό τους δύο πράγοντες επηρεάζει τις μετρήεις χωρίς ν ενδιφέρει ποιος : L L : : Υπολογίζουμε τις ποότητες (άθροιμ μετρήεων τη τάθμη του πράγοντ Α) (άθροιμ μετρήεων τη τάθμη του πράγοντ Β) ι (άθροιμ όλων των μετρήεων) λ 9

λ K K λ λ ι άει υτών τευάζουμε τον πίν νάλυης διποράς Πηγή μετολής Πράγοντς Α Πράγοντς Β Τυχίο φάλμ Άθροιμ τετργώνων v λ λ λ λ λ Βθμοί ελευθερίς λ ( )( λ ) Μέη μετολή Σττιτιό F M M F M M F λ v ( )( λ ) Ολιή λ λ Η υπόθεη Η υπόθεη Η υπόθεη πορρίπτετι γι επίπεδο ημντιότητς ν F > F ( )( λ) πορρίπτετι γι επίπεδο ημντιότητς ν F > Fλ ( )( λ) πορρίπτετι γι επίπεδο ημντιότητς ν F F > F λ( )( λ ) 3 Ανάλυη διποράς γι δύο πράγοντες με λληλεπίδρη Επετείνουμε το μοντέλο του εφλίου έτι ώτε ν υμπεριληφθεί ι πιθνή λληλεπίδρη των πργόντων Α ι Β Γι ν γίνει ο χετιός έλεγχος είνι πρίτητο ν υπάρχουν τουλάχιτον δύο μετρήεις γι άθε υνδυμό τθμών των δύο πργόντων Υποθέτουμε λοιπόν ότι έχουμε r μετρήεις γι άθε υνδυμό ( r > ) Έτι έχουμε το όλουθο γενιό τοχτιό πρότυπο μ γ e K K λ m K r m m m : η m μέτρηη γι την τάθμη του Α ι την τάθμη του Β μ : γενιή μέη τιμή : η επίδρη του πράγοντ Α ότν ρίετι την τάθμη : η επίδρη του πράγοντ Β ότν ρίετι την τάθμη

γ : η λληλεπίδρη των πργόντων Α ι Β ότν ρίοντι την ι τάθμη ντίτοιχ e : τυχίο φάλμ με τνομή N ( ) m Θ πργμτοποιήουμε τρεις ελέγχους υποθέεως Ο πρώτος εξετάζει ν ο πράγοντς Α επηρεάζει τις μετρήεις : L : : Ο δεύτερος εξετάζει ν ο πράγοντς Β επηρεάζει τις μετρήεις : L : : λ Τέλος ο τρίτος εξετάζει ν υπάρχει λληλεπίδρη μετξύ δύο πργόντων : γ γ γ : : γ Υπολογίζουμε τις ποότητες (άθροιμ μετρήεων τη τάθμη του πράγοντ Α) (άθροιμ μετρήεων τη τάθμη του πράγοντ Β) (άθροιμ μετρήεων τον υνδυμό τθμών των πργόντων ΑΒ) ι (άθροιμ όλων των μετρήεων) r m m λ K K λ λ m ι άει υτών τευάζουμε τον πίν νάλυης διποράς Πηγή μετολής Πράγοντς Α Πράγοντς Β Αλληλεπίδρη Άθροιμ τετργώνων γ λr λ r r λr λr λr Βθμοί ελευθερίς λ ( )( λ ) Μέη μετολή Σττιτιό F M M F M M F λ M γ γ M F γ γ ( )( λ ) Τυχίο φάλμ Ολιή λ ( r ) v m r m m m λr λ r v λ( r )

Η υπόθεη Η υπόθεη Η υπόθεη F > F λ( r) F > Fλ λ( r) πορρίπτετι γι επίπεδο ημντιότητς ν πορρίπτετι γι επίπεδο ημντιότητς ν πορρίπτετι γι επίπεδο ημντιότητς ν γ F γ > F( )( λ) λ( r) Σημείωη Το πρόλημ νάλυης διποράς γι δύο πράγοντες με πολλπλές μετρήεις ι χωρίς λληλεπίδρη μετξύ των πργόντων ποτελεί ειδιή περίπτωη του προλήμτος με λληλεπίδρη Οι όροι του πίν νάλυης διποράς που ντιτοιχούν την λληλεπίδρη (άθροιμ τετργώνων ι θμοί ελευθερίς) ενωμτώνοντι προθετιά τους όρους που ντιτοιχούν το τυχίο φάλμ 4 Πολλπλές υγρίεις Επνερχόμτε το πρόλημ νάλυης διποράς γι έν πράγοντ Αόμ ι την περίπτωη τά την οποί ο έλεγχος τλήξει το υμπέρμ ότι τ δείγμτ προέρχοντι πό διφορετιούς πληθυμούς πρμένει το ερώτημ γι το ποι δείγμτ διφέρουν μετξύ τους Την πάντηη το ερώτημ υτό δίνουν διάφορες μέθοδοι πολλπλών υγρίεων πχ υγρίεων νά ζεύγη δειγμάτων Κριτήριο ελάχιτης ημντιής διφοράς του Fsher Ο πράτω έλεγχος υποθέεως ντιτοιχεί τη ύγριη των δειγμάτων ι : μ μ Η υπόθεη : μ μ πορρίπτετι γι επίπεδο ημντιότητς ν > t είνι οι μέες τιμές των δειγμάτων Μέθοδος W των e-newm-kels Η μέθοδος ιχύει γι ιομεγέθη δείγμτ Έτω ~ το οινό μέγεθος Η υπόθεη πορρίπτετι γι επίπεδο ημντιότητς ν > q ( ) ~ η τιμή q ( ) λμάνετι πό τους πίνες της τνομής R Ότν τ μεγέθη των δειγμάτων δεν είνι ί λλά ι δεν διφέρουν πολύ ως οινό μέγεθος μπορεί ν χρηιμοποιηθεί το L

Μέθοδος του cheffe Σε ντίθεη με τις δύο προηγούμενες μεθόδους που ίζοντι ε υγρίεις νά ζεύγη δειγμάτων η μέθοδος υτή επιτρέπει γενιότερης μορφής υγρίεις των μέων τιμών μ Συγεριμέν είνι δυντές υγρίεις που ντιπροωπεύοντι πό γρμμιούς υνδυμούς της μορφής l μ μ L μ με Ο τάλληλος έλεγχος υποθέεως είνι ο : l : l Η υπόθεη πορρίπτετι γι επίπεδο ημντιότητς ν > vr( l) F l l vr( l) 5 Έλεγχος ομογένεις δειγμάτων (ριτήριο Brtlett) Έχουμε ήδη νφέρει ότι η μέθοδος της νάλυης διποράς ιχύει ότν τ δείγμτ προέρχοντι πό νονιούς πληθυμούς με ίες διπορές Είνι λοιπόν πρίτητο φού τ ρχήν υποθέουμε ότι τ δείγμτ προέρχοντι πό νονιούς πληθυμούς με διπορές K ν άνουμε τον εξής έλεγχο : L : : Η υπόθεη πορρίπτετι γι επίπεδο ημντιότητς ν l s l s > χ s ι η τιμή χ λμάνετι πό τους πίνες της τνομής ( ) ( ) s χ 3

3 ΜΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΟΙ ΕΛΕΓΧΟΙ Οι έλεγχοι που προυιάμε τ προηγούμεν εφάλι ιχύουν γι δείγμτ που προέρχοντι πό πληθυμούς γι τους οποίους μπορούμε ν δεχθούμε την υπόθεη ότι ολουθούν την νονιή τνομή Σε υτό το εφάλιο προυιάζουμε ελέγχους που είνι νεξάρτητοι της τνομής των ντιτοίχων πληθυμών 3 Κριτήρι που φορούν έν δείγμ Κριτήριο των ροών Το ριτήριο υτό χρηιμοποιείτι γι τον έλεγχο της τυχιότητς ενός δείγμτος δηλδή έχουμε : τυχίο δείγμ : μη τυχίο δείγμ Έτω τ ρχήν ότι έχουμε έν δείγμ που ποτελείτι πό τιμές που νήουν ε δύο τηγορίες (ποιοτιές μετρήεις) Με τον όρο ροή ορίζουμε άθε ολουθί διδοχιών τιμών που νήουν την ίδι τηγορί Έτω ο ριθμός των τιμών που νήουν ε άθε μί πό τις δύο τηγορίες ι U ο ριθμός των ροών μέ το δείγμ Γι έν πράγμτι τυχίο δείγμ ότν δηλδή ιχύει η η τνομή της τυχίς μετλητής U μπορεί ν υπολογιτεί γι δεδομένες τιμές των Η τνομή υτή χρηιμοποιείτι γι την διεξγωγή του ελέγχου Έτω ο ριθμός των ροών το υγεριμένο δείγμ Γι μιρά δείγμτ ( ) οι πιθνότητες P( U ) γι άθε ζεύγος δίνοντι πό πίνες Η υπόθεη πορρίπτετι γι επίπεδο ημντιότητς ν P ( U ) < ή P ( U ) < Γι μεγάλ δείγμτ η U ολουθεί προεγγιτιά νονιή τνομή με μέη τιμή μ ι διπορά ( ) μ ( ) ( ) Η υπόθεη πορρίπτετι γι επίπεδο ημντιότητς ν μ > z Το ριτήριο των ροών μπορεί ν εφρμοτεί ι ε δείγμτ με ποοτιές μετρήεις Οι τιμές του δείγμτος χωρίζοντι ε δύο τηγορίες ε υτές που είνι μεγλύτερες ι ε υτές που είνι μιρότερες πό τη διάμεο του δείγμτος Οι τιμές που είνι ίες με τη διάμεο πρλείποντι Κριτήριο Kolmogorov-mrov (έλεγχος προρμογής) Το ριτήριο υτό εξετάζει ν το δείγμ προέρχετι πό πληθυμό που ολουθεί υγεριμένη τνομή Έχουμε : δείγμ πό υνάρτηη τνομής F : δείγμ πό τνομή διφορετιή της F 4

Έτω το δείγμ K K Με άη τις τιμές του δείγμτος υπολογίζουμε την εμπειριή τνομή F () Έτω r () ο ριθμός των τιμών του δείγμτος που είνι μιρότερες ή ίες πό Έχουμε r( ) F ( ) Ο έλεγχος ίζετι τη διφορά της εμπειριής πό τη θεωρητιή τνομή Ότν η F είνι υνεχής τνομή υπολογίζουμε τις διφορές D m{ F ( ) F ( )} D m{ F ( ) F ( )} ( ) Κτόπιν υπολογίζουμε τη μέγιτη διφορά F D m{ D D } Ότν η F είνι διριτή τνομή υπολογίζουμε τη μέγιτη διφορά D m{ F ( ) F ( ) } : K είνι το εύρος των τιμών της τνομής F Η υπόθεη πορρίπτετι γι επίπεδο ημντιότητς ν η τιμή D D > D λμάνετι πό πίν Προημιό ριτήριο Το ριτήριο υτό εξετάζει ν το δείγμ προέρχετι πό πληθυμό του οποίου η μέη τιμή μ ιούτι με υγεριμένη τιμή Έχουμε μηδενιή υπόθεη : μ μ ι ενλλτιή υπόθεη που δίνετι πό τις όλουθες τρεις περιπτώεις : μ > μ : μ < μ : μ μ Έτω ο ριθμός των τιμών του δείγμτος που είνι μεγλύτερες πό μ ι το μέγεθος του δείγμτος που προύπτει μετά την φίρεη των τιμών που είνι ίες με μ Η υπόθεη πορρίπτετι γι επίπεδο ημντιότητς ν P ( ) < P ( ) < P ( ) < ή P ( ) < ντίτοιχ τυχί μετλητή που ολουθεί διωνυμιή τνομή με πρμέτρους ι p 5 Οι πρπάνω πιθνότητες λμάνοντι πό τους πίνες της διωνυμιής τνομής 5

3 Κριτήρι που φορούν δύο νεξάρτητ δείγμτ Κριτήριο Kolmogorov-mrov (έλεγχος ομογένεις) Το ριτήριο υτό εξετάζει ν δύο νεξάρτητ δείγμτ προέρχοντι πό τον ίδιο πληθυμό ή ιοδύνμ ν προέρχοντι πό πληθυμούς που ολουθούν την ίδι τνομή Έτω ότι έχουμε δύο δείγμτ : ( K m ) : ( K ) ι τον έλεγχο : δείγμτ πό την ίδι τνομή : δείγμτ πό διφορετιές τνομές Γι άθε τιμή K m K υπολογίζουμε την εμπειριή τνομή που προύπτει πό άθε δείγμ Έτω r ( ) r ( ) ο ριθμός των τιμών του δειγμάτων ντίτοιχ που είνι μιρότερες ή ίες πό Έχουμε r ( ) F m ( ) m r ( ) G ( ) Ο έλεγχος ίζετι τη διφορά D m{ F ( ) G ( ) } m m D m των δύο εμπειριών τνομών Η υπόθεη πορρίπτετι γι επίπεδο ημντιότητς ν D m > D m η τιμή D m λμάνετι πό πίν Κριτήριο M-Whte Το ριτήριο υτό εξετάζει ν δύο νεξάρτητ δείγμτ προέρχοντι πό τον ίδιο πληθυμό Το ριτήριο υτό εφρμόζετι ε δείγμτ των οποίων οι τιμές μπορούν ν διτχθούν Έτω ότι έχουμε δείγμτ Y με μεγέθη ντίτοιχ Y Έχουμε μηδενιή υπόθεη : δείγμτ Y πό την ίδι τνομή ι ενλλτιή υπόθεη που ορίζετι με άη τις μέες τιμές των πληθυμών πό τους οποίους προέρχοντι τ δείγμτ Έχουμε τις όλουθες τρεις περιπτώεις : μ > μy : μ < μy : μ μy Ο έλεγχος ίζετι τον ριθμό των φορών που οι τιμές του ενός δείγμτος προηγούντι των τιμών του άλλου Ορίζουμε τις τυχίες μετλητές U : φορές που το προηγείτι του Y U Y : φορές που το Y προηγείτι του Αντίτοιχ ορίζουμε με τις τιμές των Y U U Y τ υγεριμέν δείγμτ Αν πράγμτι τ δείγμτ προέρχοντι πό την ίδι τνομή οι τνομές των U U Y μπορούν ν υπολογιτούν ι η υπόθεη πορρίπτετι ότν οι Y ρίοντι τ άρ των τνομών υτών Επειδή οι τνομές υτές τυτίζοντι 6

δεν θ άνουμε διάριη μετξύ των U U Y λλά θ χρηιμοποιούμε την μετλητή U Πολύ μιρά δείγμτ ( Y 8 ) Η υπόθεη πορρίπτετι γι επίπεδο ημντιότητς ν P( U Y ) < P( U ) < P( U m{ Y }) < ντίτοιχ Οι πρπάνω πιθνότητες λμάνοντι πό πίνες Μιρά δείγμτ ( 9 m{ Y } ) Η υπόθεη πορρίπτετι ν Y p p m{ Y } p ντίτοιχ Οι τιμές p p είνι οι ρίιμες τιμές γι μονόπλευρους ι δίπλευρους ελέγχους ι δίνοντι πό πίνες γι διάφορες τιμές του επιπέδου ημντιότητς Μεγάλ δείγμτ ( m{ Y } > ) Ότν ιχύει η η U ολουθεί προεγγιτιά νονιή τνομή με μέη τιμή μ ι διπορά Y Y ( Y ) μ Η υπόθεη πορρίπτετι γι επίπεδο ημντιότητς ν Y Y μ μ Y μ < z > z > z ντίτοιχ Γι τον υπολογιμό των Y τευάζουμε το ενιίο δείγμ Y εντός του οποίου οι τιμές των δειγμάτων Y έχουν διτχθεί τ ύξου ειρά Η τάξη άθε μέτρηης ιούτι με τη θέη της μέτρηης το ενιίο δείγμ (η τάξη ντιτοιχεί τη μιρότερη μέτρηη) Στην περίπτωη ίων μετρήεων η τάξη ιούτι με το μέο όρο των ντίτοιχων θέεων Έτω r ry τ θροίμτ των τάξεων των τιμών των Y ντίτοιχ Αποδεινύετι ότι ( ) r ( ) Y Y Y ry Κριτήριο της διμέου Το ριτήριο υτό ελέγχει ν δύο νεξάρτητ δείγμτ προέρχοντι πό πληθυμούς με την ίδι διάμεο Έτω ότι έχουμε δείγμτ Y με μεγέθη m ντίτοιχ ι 7

: δ δ Y : δ δ Y Έτω δ η διάμεος του ενιίου δείγμτος ι : πλήθος τιμών του που είνι μεγλύτερες του δ m : πλήθος τιμών του Y που είνι μεγλύτερες του δ Αν ιχύει η υπόθεη το ζεύγος ( m ) ολουθεί υπεργεωμετριή τνομή άρ η πορρίπτετι γι επίπεδο ημντιότητς ν m m < m m 33 Κριτήρι που φορούν δύο εξρτημέν δείγμτ Τ ριτήρι υτής της τηγορίς χρηιμοποιούντι γι τη ύγριη δειγμάτων που ποτελούντι πό ζευγρωτές πρτηρήεις Η περίπτωη υτή υνντάτι ότν θέλουμε ν υγρίνουμε δύο ττάεις ι γι άθε άτομο που νήει το δείγμ πίρνουμε μί μέτρηη γι άθε τάτη Προημιό ριτήριο Έχουμε δύο δείγμτ Y που ποτελούντι πό ζεύγη πρτηρήεων K Σχημτίζουμε το δείγμ D πού ποτελείτι πό τις διφορές K Σύμφων με το προημιό ριτήριο η υπόθεη ότι δεν υπάρχει διφορά μετξύ των ττάεων που ντιτοιχούν τ δείγμτ Y θεωρείτι ιοδύνμη με την υπόθεη ότι η διάμεος d του δείγμτος των διφορών ιούτι με το Έχουμε λοιπόν μηδενιή υπόθεη : d ι ενλλτιή υπόθεη που δίνετι πό τις όλουθες τρεις περιπτώεις : d > : d < : d Έτω ο ριθμός των θετιών τιμών του δείγμτος D ι το μέγεθος του δείγμτος που προύπτει μετά την φίρεη των τιμών που είνι ίες με Μιρά δείγμτ ( 5 ) Η υπόθεη πορρίπτετι γι επίπεδο ημντιότητς ν P ( ) < P ( ) < P ( ) < ή P ( ) < ντίτοιχ τυχί μετλητή που ολουθεί διωνυμιή τνομή με πρμέτρους ι p 5 Οι πρπάνω πιθνότητες λμάνοντι πό τους πίνες της διωνυμιής τνομής 8

Μεγάλ δείγμτ ( > 5) Ότν ιχύει η ο ριθμός των θετιών διφορών ολουθεί προεγγιτιά νονιή τνομή με μέη τιμή μ ι διπορά Η υπόθεη πορρίπτετι γι επίπεδο ημντιότητς ν 4 μ > z μ μ ντίτοιχ < z > z Κριτήριο Wlcoo Το προημιό ριτήριο ίζετι τον ριθμό των θετιών ι ρνητιών διφορών χωρίς ν λμάνει υπ όψιν το μέγεθος των διφορών υτών Αυτό άνει το ριτήριο Wlcoo Έχουμε μηδενιή υπόθεη : Y δεν έχουν διφορά ι ενλλτιή υπόθεη που δίνετι πό τις όλουθες τρεις περιπτώεις : μ D > : μ D < : μ D μ D η μέη τιμή του δείγμτος D Τξινομούμε τις διφορές τ ύξου ειρά των πολύτων τιμών τους Έτω το άθροιμ των τάξεων των θετιών ι ρνητιών διφορών ντίτοιχ ι m( ) Μιρά δείγμτ ( 5) Η υπόθεη πορρίπτετι ν p p p ντίτοιχ Οι τιμές p p είνι οι ρίιμες τιμές γι μονόπλευρους ι δίπλευρους ελέγχους ι δίνοντι πό πίνες γι διάφορες τιμές του επιπέδου ημντιότητς Μεγάλ δείγμτ ( > 5) Ότν ιχύει η το άθροιμ των τάξεων των θετιών διφορών ολουθεί προεγγιτιά νονιή τνομή με μέη τιμή μ ι διπορά ( ) ( )( ) μ 4 4 Η υπόθεη πορρίπτετι γι επίπεδο ημντιότητς ν μ > z 9

μ μ ντίτοιχ < z > z Κριτήριο McNemr Σε ντίθεη με το προημιό ριτήριο ι το ριτήριο Wlcoo το ριτήριο McNemr εφρμόζετι ε δείγμτ με ποιοτιές μετρήεις Συγεριμέν θεωρούμε δείγμτ που ποτελούντι πό πρτηρήεις που μπορούν ν πάρουν μί πό δύο δυντές τιμές έτω A ι B ι ελέγχουμε ν υπάρχει μετολή τ ποοτά των A ι B Η υπόθεη της μη μετολής των ποοτών θεωρείτι ιοδύνμη με την υπόθεη ότι η μετολή πό A ε B είνι το ίδιο πιθνή με το ντίτροφο Έχουμε μηδενιή υπόθεη : μετάλητ ποοτά ι ενλλτιή υπόθεη που δίνετι πό τις όλουθες τρεις περιπτώεις : μετολή υπέρ του B : μετολή υπέρ του A : μετολή ποοτών Έτω BA ο ριθμός των ζευγών που προυιάζουν μετολή πό A ε B ι πό B ε A ντίτοιχ ι BA Το ριτήριο McNemr ίζετι την ίδι ρχή με το προημιό ριτήριο Μιρά δείγμτ ( 5) Η υπόθεη πορρίπτετι γι επίπεδο ημντιότητς ν P( ) < P( ) < P( ) < ή P( ) < ντίτοιχ τυχί μετλητή που ολουθεί διωνυμιή τνομή με πρμέτρους ι p 5 Οι πρπάνω πιθνότητες λμάνοντι πό τους πίνες της διωνυμιής τνομής Μεγάλ δείγμτ ( > 5) Ότν ιχύει η ο ριθμός των μετολών πό A ε B ολουθεί προεγγιτιά νονιή τνομή με μέη τιμή μ ι διπορά Η υπόθεη πορρίπτετι γι επίπεδο ημντιότητς ν 4 μ > z μ ντίτοιχ μ < z > z

34 Κριτήρι που φορούν περιότερ πό δύο νεξάρτητ δείγμτ Κριτήριο Krsl-Wlls Το ριτήριο υτό ελέγχει ν ( > ) νεξάρτητ δείγμτ προέρχοντι πό πληθυμούς που ολουθούν την ίδι τνομή Έχουμε : δείγμτ πό ίδι τνομή : δείγμτ πό διφορετιές τνομές Το ριτήριο ίζετι το άθροιμ των τάξεων άθε δείγμτος το ενιίο δείγμ Έτω R : άθροιμ τάξεων δείγμτος το ενιίο δείγμ Υπολογίζουμε το ττιτιό R 3( ) ( ) K είνι το μέγεθος του δείγμτος ι Γι δείγμτ με μεγέθη μεγλύτερ πό 5 ( > 5 ) ότν ιχύει η το ττιτιό ολουθεί τνομή χ με θμούς ελευθερίς Επομένως η υπόθεη πορρίπτετι γι επίπεδο ημντιότητς ν > χ Γι τρί μιρά δείγμτ (μεγέθη το πολύ 5) ο έλεγχος γίνετι με τη οήθει πίν που δίνει το επίπεδο ημντιότητς με την οποί πορρίπτετι η υπόθεη γι διάφορες τιμές του Σημείωη Ότν άποιες τιμές θ εμφνίζοντι το ενιίο δείγμ γι περιότερες πό μί φορές έτω μ το ττιτιό πρέπει ν διορθωθεί τά τον πράγοντ 3 ( μ μ ) C 3 Συγεριμέν ντί γι το χρηιμοποιούμε το C Κριτήριο της διμέου Το ριτήριο υτό ελέγχει ν ( > ) νεξάρτητ δείγμτ προέρχοντι πό πληθυμούς με την ίδι διάμεο Έχουμε : δείγμτ με ίδι διάμεο : δείγμτ με διφορετιές διμέους Έτω δ η διάμεος του ενιίου δείγμτος ι : πλήθος τιμών του δείγμτος που είνι μιρότερες του δ : μέγεθος του δείγμτος t Ο έλεγχος ίζετι το ττιτιό

q t( t) ( t / ) Η υπόθεη πορρίπτετι γι επίπεδο ημντιότητς ν q > χ 35 Κριτήρι που φορούν περιότερ πό δύο εξρτημέν δείγμτ Τ ριτήρι υτής της τηγορίς χρηιμοποιούντι γι τη ύγριη εξρτημένων δειγμάτων θέν πό τ οποί ποτελείτι πό μετρήεις Η περίπτωη υτή υνντάτι ότν θέλουμε ν υγρίνουμε ττάεις ι γι άθε άτομο που νήει το δείγμ πίρνουμε μί μέτρηη γι άθε τάτη Το ύνολο των μετρήεων που ντιτοιχούν ε υγεριμένο άτομο ονομάζετι πρτήρηη Όλες οι μετρήεις δίνοντι τον επόμενο πίν L L M L Η γρμμή ντιτοιχεί την πρτήρηη ι η τήλη το δείγμ Έχουμε : δεν υπάρχει μετολή μετξύ των δειγμάτων : υπάρχει μετολή μετξύ των δειγμάτων Κριτήριο Fredm Το ριτήριο ίζετι την τάξη άθε δείγμτος μέ ε άθε πρτήρηη Έτω R : τάξη δείγμτος την πρτήρηη ι R R το άθροιμ των τάξεων του δείγμτος Υπολογίζουμε το ττιτιό F R 3( ) ( ) Γι μιρό ριθμό δειγμάτων ( 3 4 ) ι οριμένες τιμές του ο έλεγχος γίνετι με τη οήθει πίν που δίνει το επίπεδο ημντιότητς με την οποί πορρίπτετι η υπόθεη γι διάφορες τιμές του F Γι τις περιπτώεις που δεν λύπτοντι πό τον πίν ότν ιχύει η το ττιτιό F ολουθεί τνομή χ με θμούς ελευθερίς Επομένως η υπόθεη πορρίπτετι γι επίπεδο ημντιότητς ν F > χ Σημείωη Ότν άποιες τιμές θ εμφνίζοντι ε άποι πρτήρηη γι περιότερες πό μί φορές έτω μ το ττιτιό F πρέπει ν διορθωθεί τά τον πράγοντ

C 3 ( μ μ ) ( ) Συγεριμέν ντί γι το F χρηιμοποιούμε το F F C Κριτήριο Cochr Το ριτήριο εφρμόζετι ε περιπτώεις ποιοτιών μετρήεων τ K K πίρνουν μί πό δύο δυντές τιμές έτω A ι B Το ριτήριο ίζετι το ττιτιό ( ) G G Q L L G : ριθμός των A τη τήλη L : ριθμός των A την γρμμή Η υπόθεη πορρίπτετι γι επίπεδο ημντιότητς ν Q > χ 36 Συντελετές υχέτιης Στο εφάλιο ορίμε γι δύο μετλητές το υντελετή υχέτιης ρ ι προυιάμε ελέγχους γι την τιμή του μέω του εμπειριού υντελετή υχέτιης r Οι έλεγχοι υτοί ιχύουν ότν οι τιμές των μετλητών ολουθούν νονιή τνομή Ότν δεν μπορεί ν υποτηριχθεί η υπόθεη της νονιότητς είνι νγίο ν οριθούν διφορετιοί υντελετές υχέτιης γι τη διερεύνηη της χέης των μετλητών Έτω Y δείγμτ τιμών των μετλητών : K Y : K ι ο έλεγχος : δεν υπάρχει υχέτιη μετξύ των : υπάρχει υχέτιη μετξύ των Ο έλεγχος γίνετι άει των δύο υντελετών που περιγράφοντι πράτω Συντελετής perm Ο έλεγχος ίζετι τη διφορά των τάξεων των ντίτοιχ Έτω : τάξη του το δείγμ : τάξη του το δείγμ Y ι d μέ τ δείγμτ Y 3

O υντελετής υχέτιης του perm δίνετι πό τον τύπο 6 d r 3 Γι 5 τ δείγμτ είνι πολύ μιρά γι ν ποφνθούμε περί της νεξρτηίς των Γι 5 < 3 ο έλεγχος γίνετι με τη οήθει πίν ο οποίος δίνει την ρίιμη τιμή του r γι διάφορες τιμές του επιπέδου ημντιότητς Η υπόθεη πορρίπτετι ν η πόλυτη τιμή του υντελετή υχέτιης είνι μεγλύτερη πό την τιμή του πίν Γι > η υπόθεη πορρίπτετι γι επίπεδο ημντιότητς ν r r > t Συντελετής Kedll Ο έλεγχος ίζετι πάλι τις τάξεις των Υπολογίζουμε την ποότητ c < μέ τ δείγμτ Y ντίτοιχ c ιούτι με - ή ν ( )( ) > < ή ντίτοιχ O υντελετής υχέτιης του Kedll δίνετι πό τον τύπο τ ( ) Γι 4 ο έλεγχος γίνετι με τη οήθει πίν ο οποίος δίνει την ρίιμη τιμή του τ γι διάφορες τιμές του επιπέδου ημντιότητς Η υπόθεη πορρίπτετι ν η πόλυτη τιμή του υντελετή υχέτιης είνι μεγλύτερη πό την τιμή του πίν Γι > η υπόθεη πορρίπτετι γι επίπεδο ημντιότητς ν τ > z ( 5) ( ) 4