Στατιστική. Ερώτηση 2: Τι ονομάζεται πληθυσμός και τι άτομα του πληθυσμού; Τι ονομάζεται μέγεθος ενός πληθυσμού και πως συμβολίζεται;

Transcript

1 Σττιστιή Ερώτηση : Τι ονομάζετι σττιστιή; Απάντηση: Σττιστιή είνι ο λάδος των μθημτιών ο οποίος ως έργο έχει τη συγέντρωση στοιχείων, την τξινόμησή τους ι την προυσίσή τους σε τάλληλη μορφή ώστε ν μπορούν ν νλυθούν ι ν ερμηνευθούν γι την εξυπηρέτηση διφόρων σοπών. Ερώτηση : Τι ονομάζετι πληθυσμός ι τι άτομ του πληθυσμού; Τι ονομάζετι μέγεθος ενός πληθυσμού ι πως συμολίζετι; Απάντηση: Γι τη σύντξη πινάων, συλλέγοντι στοιχεί που νφέροντι σε έν σύνολο ντιειμένων. Το σύνολο υτό των ντιειμένων ονομάζετι πληθυσμός. Κάθε στοιχείο του πληθυσμού ονομάζετι άτομο. Μέγεθος ενός πληθυσμού ονομάζετι το πλήθος των τόμων του ι συμολίζετι με ν. Ερώτηση 3: Τι ονομάζετι μετλητή ι σε ποιες τηγορίες χωρίζοντι; Απάντηση: Μετλητή ονομάζετι το χρτηριστιό ως προς το οποίο εξετάζουμε ένν πληθυσμό. Οι μετλητές διρίνοντι σε ποιοτιές ι ποσοτιές. Ποιοτιές ονομάζοντι οι μετλητές που δεν μετρούντι π.χ. το χρώμ των μτιών. Ποσοτιές ονομάζοντι οι μετλητές που μπορούν ν μετρηθούν π.χ. η ηλιί άποιων τόμων. Οι ποσοτιές μετλητές διρίνοντι σε διριτές ι συνεχείς. Διριτές ονομάζοντι οι μετλητές που μπορούν ν πάρουν μόνο διεριμένες τιμές π.χ. ο ριθμός των πιδιών μις οιογένεις. Συνεχείς ονομάζοντι οι μετλητές που μπορούν ν πάρουν οποιδήποτε τιμή πό έν διάστημ ριθμών π.χ. το ύψος άποιων τόμων. Ποιοτιές Μετλητές Διριτές Ποσοτιές Συνεχείς

2 Ερώτηση 4: Τι ονομάζετι πογρφή; Απάντηση: Αν θέλουμε ν τγράψουμε το ύψος των Ελλήνων στην χώρ μς θ πρέπει ν άνουμε πογρφή του ύψους τους, δηλδή ν μετρήσουμε το ύψος όλων των Ελλήνων ι στην συνέχει ν συντάξουμε τους ντίστοιχους πίνες με τ ποτελέσμτ. Ερώτηση 5: Τι ονομάζετι δείγμ; Απάντηση: Έν μέρος υποσύνολο του πληθυσμού που είνι ντιπροσωπευτιό του πληθυσμού ι το εξετάζουμε λέγετι δείγμ. Ερώτηση 6: Τι ονομάζετι δειγμτοληψί; Απάντηση: Η εξέτση ενός δείγμτος του πληθυσμού λέγετι δειγμτοληψί. Ερώτηση 7: Τι ονομάζετι συχνότητ μις τιμής ι πως συμολίζετι; Με τι ισούτι το άθροισμ των συχνοτήτων όλων των τιμών μις μετλητής; Απάντηση: Συχνότητ τιμής μις μετλητής ονομάζετι το πλήθος των τόμων του πληθυσμού ή του δείγμτος γι τ οποί η μετλητή πίρνει την τιμή ι συμολίζετι με ν. ν ν... ν ν Ερώτηση 8: Τι ονομάζετι σχετιή συχνότητ μις τιμής ι πως συμολίζετι; Με τι ισούτι το άθροισμ των σχετιών συχνοτήτων όλων των τιμών μις μετλητής;

3 Απάντηση: Σχετιή συχνότητ τιμής μις μετλητής ονομάζετι ο λόγος της συχνότητς προς το μέγεθος του δείγμτος ι συμολίζετι με f,δηλ. f ν ν f f... f Ερώτηση 9: Τι ονομάζετι θροιστιή συχνότητ μις τιμής ι πως συμολίζετι; Απάντηση: Σε ποσοτιή μετλητή, θροιστιή συχνότητ μις τιμής ονομάζετι το άθροισμ των συχνοτήτων ν των τιμών που είνι μιρότερες ή ίσες με την τιμή υτή ι συμολίζετι με Ν. Ν ν ν... ν Ερώτηση : Τι ονομάζετι θροιστιή σχετιή συχνότητ μις τιμής ι πως συμολίζετι; Απάντηση: Σε ποσοτιή μετλητή, σχετιή θροιστιή συχνότητ μις τιμής ονομάζετι το άθροισμ των σχετιών συχνοτήτων f των τιμών που είνι μιρότερες ή ίσες με την τιμή υτή ι συμολίζετι με F. F f f... f Γρφιές πρστάσεις: Αθροιστιή Σχετιή Αθρ. σχετ Σχετιή Αθρ. σχετ. Γωνί ΜετλητήΣυχνότητσυχνότητ ν Ν συχνότητ συχνότητ συχνότητ % συχνότητ % f F f % F % ν 36 ν 6 6,3, ο 4,,5 5 7 ο 8 8,4, ο 3

4 3, 36 ο Σύνολο 36 ο Ρδογράμμτ Ρδόγρμμ συχνοτήτων Ρδόγρμμ θροιστιών συχνοτήτων Ρδόγρμμ σχετιών συχνοτήτων % 8 6 Ρδόγρμμ θροιστιών σχετιών συχνοτήτων % Κυλιό διάγρμμ 3 Ερώτηση : Πότε άνουμε ομδοποίηση των πρτηρήσεων ενός δείγμτος ι πως γίνετι; Απάντηση: Ομδοποίηση πρτηρήσεων άνουμε ότν το πρόλημ νφέρετι σε ποσοτιές υρίως συνεχείς μετλητές ι η τσευή του πίν συχνοτήτων είνι δύσολη. Γι το λόγο υτό ρίσουμε τη διφορά μετξύ της μέγιστης ι 4

5 της ελάχιστης τιμής ι τη διιρούμε σε ισομήη διστήμτ. Ερώτηση : Τι ονομάζουμε λάση ι τι έντρο λάσης; Απάντηση: Τ ισομήη διστήμτ που χωρίζουμε τις τιμές ποτελούν τις λάσεις. Το μέσο του άθε διστήμτος το ονομάζουμε έντρο της λάσης. Γρφιές πρστάσεις γι ομδοποίηση: Αθροιστιή ΔιστήμτΣυχνότητσυχνότητ Κέντρ λάσεων λάσεις ν Ν [, 6 7, 6 6,65 [, 7, 8 6,75 [, 8, 9 8 4,85 [, 9, 6 3,95 Σύνολο 3 Ιστόγρμμ συχνοτήτων Ιστόγρμμ θρoιστιών συχνοτήτων ν Ν ,6,7,8,9,,6,7,8,9, Γι την τσευή του πολυγώνου πολυγώνου συχνοτήτων ή σχετ. συχνοτήτων ή θρ. ενώνουμε τ μέσ των ορθογωνίων. Γι την τσευή του θροιστιών συχνοτήτων σχετ. συχνοτήτων ενώνουμε τ δεξιά άρ των ορθογωνίων. 5

6 Πρτήρηση: Το πολύγωνο συχνοτήτων με τον οριζόντιο άξον σχημτίζει χωρίο ίσου εμδού με υτό που σχημτίζουν τ ορθογώνι φού πρτηρούμε ότι γι άθε ομμάτι που προσθέτουμε με φόντο άσπρο φιρείτι ι έν ισεμδιό ομμάτι με φόντο γλάζιο. Πρτήρηση: Υπάρχουν περιπτώσεις που οι λάσεις έχουν διφορετιά πλάτη. Πρτήρηση: Η τσευή ενός ιστογράμμτος με ίσες λάσεις ι ύψη ορθογψνίων τη συχνότητ είνι λάθος. Το ύψος του άθε ορθογωνίου πρέπει ν είνι ντίστροφ νάλογο του πλάτους της λάσης. Ερώτηση 3: Τι ονομάζετι επιρτούσ τιμή μις μετλητής; Απάντηση: Επιρτούσ τιμή μις μετλητής ονομάζετι η τιμή με τη μεγλύτερη συχνότητ. Αν δύο ή περισσότερες τιμές έχουν τη μέγιστη συχνότητ τότε υπάρχουν περισσότερες πό μί επιρτούσες τιμές. Ερώτηση 4: Πως υπολογίζετι η επιρτούσ τιμή μις μετλητής σε ομδοποιημέν δεδομέν; Απάντηση: Σε συνεχή μετλητή ορίζουμε ως επιρτούσ λάση υτή με τη μεγλύτερη συχνότητ. Η επιρτούσ τιμή υπολογίζετι γρφιά πό το ιστόγρμμ συχνοτήτων ή σχετιών συχνοτήτων. ν Ε.Τ. 6

7 Ερώτηση 5: Τι ονομάζετι μέση τιμή μις μετλητής ι πως συμολίζετι; Απάντηση: Η μέση τιμή διφόρων τιμών είνι το πηλίο του θροίσμτος των τιμών προς το πλήθος τους ι t t... t συμολίζετι με. Δηλ. ν ν Πρτήρηση: Η μέση τιμή υπολογίζετι μόνο σε ποσοτιές μετλητές. Η μέση τιμή ποιοτιών χρτηριστιών δεν ορίζετι στη σττιή. Ερώτηση 6: Πως υπολογίζετι η μέση τιμή των τιμών μις διριτής μετλητής; Απάντηση: Αν μι μετλητή προυσιάζει,,, τιμές με ντίστοιχες συχνότητες ν, ν,, ν, τότε η μέση τιμή της μετλητής δίνετι πό τον τύπο: ν ν... ν ν ν... ν ν ν... ν ν Πρτήρηση: Η μέση τιμή μις μετλητής σε ομδοποιημέν δεδομέν ν ν... ν δίνετι πό τον τύπο: όπου,, ν, τ έντρ των λάσεων με ντίστοιχες συχνότητες ν, ν,, ν. Ερώτηση 7: Τι ονομάζετι διάμεσος δ ενός δείγμτος ν πρτηρήσεων που έχουν διτχθεί σε ύξουσ σειρά; Απάντηση: Διάμεσος δ ενός δείγμτος ν πρτηρήσεων που έχουν διτχθεί σε ύξουσ σειρά ονομάζετι: Η μεσί πρτήρηση ν το πλήθος των πρτηρήσεων είνι περιττό. 7

8 Το ημιάθροισμ των μεσίων πρτηρήσεων ν το πλήθος των πρτηρήσεων είνι άρτιο. Πρτήρηση: Η διάμεσος μις μετλητής σε ομδοποιημέν δεδομέν υπολογίζετι γρφιά πό το πολύγωνο θροιστιών συχνοτήτων ή σχετιών θροιστιών συχνοτήτων. Πρτήρηση: Η επιρτούσ τιμή, η μέση τιμή ι η διάμεσος μις μετλητής είνι πράμετροι θέσης. Σύγριση Πρμέτρων Θέσης Η μέση τιμή επηρεάζετι πό τις ρίες τιμές ι εξρτάτι πό όλες τις τιμές της μετλητής. Η επιρτούσ τιμή εξρτάτι μόνο πό τη μεγλύτερη τιμή. Η διάμεσος δεν επηρεάζετι πό τις ρίες τιμές ι εξρτάτι π όλες τις τιμές της μετλητής. Ο υπολογισμός της διμέσου προυσιάζει δυσολίες σε ορισμένες περιπτώσεις π.χ. σε συνεχή μετλητή. Ερώτηση 8: Τι ονομάζετι εύρος των τιμών μις μετλητής; Απάντηση: Εύρος είνι η διφορά της μιρότερης τιμής πό τη μεγλύτερη. Πρτήρηση: Το εύρος έχει το μειονέτημ ότι χρησιμοποιούμε μόνο τις ρίες τιμές της μετλητής ι θόλου τις υπόλοιπες. Ερώτηση 9: Τι ονομάζετι διύμνση των τιμών t, t,, t ν μις μετλητής με μέση τιμή ; Απάντηση: Αν μι μετλητή πίρνει τις ν τιμές t, t,, t ν που έχουν μέση τιμή τότε διύμνση της μετλητής ονομάζετι το πηλίο: 8

9 t t... t s ν Ερώτηση : Τι ονομάζετι διύμνση των τιμών,,, μις μετλητής με ντίστοιχες συχνότητες ν, ν,, ν, ι μέση τιμή ; ν Απάντηση: Αν μι μετλητή πίρνει τις τιμές,,, με ντίστοιχες συχνότητες ν, ν,, ν, που έχουν μέση τιμή τότε διύμνση της μετλητής ονομάζετι το πηλίο: ν ν... s ν Πρτήρηση: Η χρήση της διύμνσης προυσιάζει έν σορό πρόλημ: οι μονάδες της διύμνσης είνι τ τετράγων των μονάδων της ντίστοιχης μετλητής. Γι το λόγο υτό ντί της διύμνσης χρησιμοποιούμε ως μέτρο δισποράς την τετργωνιή ρίζ της διύμνσης, που τη συμολίζουμε με s ι την ονομάζουμε τυπιή πόλιση. ν Ερώτηση : Τι ονομάζετι τυπιή πόλιση των τιμών t, t,, t ν μις μετλητής με μέση τιμή ; Απάντηση: Αν μι μετλητή πίρνει τις ν τιμές t, t,, t ν που έχουν μέση τιμή τότε τυπιή πόλιση της μετλητής ονομάζετι το: s t t... t ν ν Ερώτηση : Τι ονομάζετι τυπιή πόλιση των τιμών,,, μις μετλητής με ντίστοιχες συχνότητες ν, ν,, ν, ι μέση τιμή ; Απάντηση: Αν μι μετλητή πίρνει τις τιμές,,, με ντίστοιχες συχνότητες ν, ν,, ν, που έχουν μέση τιμή τότε τυπιή πόλιση της μετλητής ονομάζετι το: 9

10 s ν ν... ν ν Πρτήρηση: Το εύρος, η διύμνση ι η τυπιή πόλιση μις μετλητής είνι πράμετροι δισποράς. Ερώτηση 3: Τι ονομάζετι συντελεστής μετλητότητς ενός δείγμτος που εξετάζετι ως προς μί ποσοτιή μετλητή ι έχει μέση τιμή ι τυπιή πόλιση s; Απάντηση: Αν έν δείγμ εξετζόμενο ως προς μί ποσοτιή μετλητή του, προυσιάζει μέση τιμή ι τυπιή πόλιση s, συντελεστής μετολής ή συντελεστής μετλητότητς ονομάζετι το πηλίο: τυπιή πόλιση s CV % µ έση ττιμ Πρτήρηση: Ο συντελεστής μετλητότητς μις μετλητής δεν είνι ούτε πράμετρος θέσης ούτε πράμετρος διποράς. Πρτήρηση: Ο συντελεστής μετλητότητς μετράει ουσιστιά την ονοιογένει του πληθυσμού. Πρτήρηση: Ότν εξετάζουμε δύο δείγμτ ως προς την ίδι μετλητή τ οποί προυσιάζουν διφορετιές τιμές στις πρμέτρους θέσης ι δισποράς ή ότν τ δύο δείγμτ έχουν διφορετιές λίμες ή μονάδες τότε έν μέτρο με το οποίο μπορούμε ν ξεπεράσουμε τις πρπάνω δυσολίες είνι ο συντελεστής μετολής ή συντελεστής μετλητότητς. Ερώτηση 4: Πότε έν δείγμ θεωρείτι ομοιογενές; Απάντηση: Εάν η τιμή του συντελεστή μετλητότητς είνι άτω του % ο πληθυσμός του δείγμτος θεωρείτι ομογενής.

11 Όριο Συνάρτησης Ερώτηση : Πότε λέμε ότι μι συνάρτηση f:,, R, έχει όριο τον πργμτιό ριθμό ότν το τείνει το ; Απάντηση: Θ λέμε ότι μι συνάρτηση f:,, R, έχει όριο τον πργμτιό ριθμό ότν το τείνει το, ν οι τιμές της f ρίσοντι οσοδήποτε οντά στον ριθμό, ότν το είνι ρετά οντά στο λλά δεν γίνετι πρίτητ ίσο με το. Θ συμολίζουμε: lm f Ιδιότητες του Ορίου Συνάρτησης Αν υπάρχουν τ lm f, lm ι είνι, R ντίστοιχ, τότε:. lm[ f ± ] ±. lm[ f ]. f lm v. lm f v v v. lm[ ] v. f lm k f k περιοχή του., εφόσον, ν Ν*, γι άθε Ν,, όπου η f είνι θετιή σε μι Πρτήρηση: Είνι φνερό ότι το όριο μις συνάρτησης υπάρχει, ν ι μόνο ν υπάρχουν τ πλευριά της όρι ι είνι ίσ, δηλδή lm f, όπου R, ν ι μόνο ν: lm f. Αν τ δυο πλευριά όρι μις lm f συνάρτησης είνι διφορετιά, τότε θ λέμε ότι δεν υπάρχει το όριο της f, ότν το τείνει το.

12 Συνέχει Συνρτήσεων Ερώτηση : Πότε μι συνάρτηση f : A R είνι συνεχής στο A; Απάντηση: Μι συνάρτηση ισχύει: f : A R είνι συνεχής στο A, ν ι μόνο ν lm f f Πρτήρηση: Αν, θώς χράσουμε μι γρμμή, σηώσουμε το μολύι μς ι συνεχίσουμε πό άποιο άλλο σημείο, τότε υτόμτ έχουμε μι συνεχή γρμμή. Πρτήρηση: Η συνέχει της f σε έν σημείο εξσφλίζετι με τρεις προϋποθέσεις:. Το νήει στο πεδίο ορισμού της f, δηλδή υπάρχει στο R το f.. Υπάρχει στο R το lm f, δηλδή τ δύο πλευριά όρι της f, ότν υπάρχουν στο R ι είνι ίσ.. Ισχύει ότι lm f f Πρτήρηση: Αν η συνάρτηση f είνι λδωτή, προφνώς πρέπει ν ισχύει: lm f lm f lm f f Πρτήρηση: Αν δεν υπάρχει το lm f δηλ. lm f lm f ή ν υπάρχει λλά είνι διφορετιό πό το f δηλ. lm f f, τότε η f δεν είνι συνεχής στο. Ερώτηση : Πότε μι συνάρτηση f :, R λέγετι συνεχής στο διάστημ, ;

13 Απάντηση: Μι συνάρτηση f :, R λέγετι συνεχής στο διάστημ,, ν είνι συνεχής σε άθε, Ερώτηση 3: Πότε μι συνάρτηση :[, ] R [, ]. f λέγετι συνεχής στο διάστημ Απάντηση: Μι συνάρτηση f :[, ] R λέγετι συνεχής στο διάστημ [, ], ν είνι συνεχής σε άθε, ι επιπλέον: lm f f & lm f f ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ: Πρτήρηση: Οι σιές συνρτήσεις είνι συνεχείς στο όλο το πεδίο ορισμού τους ετός, ίσως, πό το σημείο λλγής τύπου ν η f είνι λδωτή. Επομένως, το μονδιό σημείο στο οποίο έχει νόημ η μελέτη της συνέχεις μις συνάρτησης, είνι το σημείο λλγής τύπου ν υτό υπάρχει. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ: Αν οι συνρτήσεις f, : A R είνι συνεχείς στο σημείο A, τότε: Η συνάρτηση h f ± είνι συνεχής στο Η συνάρτηση h f είνι συνεχής στο, γι άθε R Η συνάρτηση h f είνι συνεχής στο f Αν, η συνάρτηση h είνι συνεχής στο Η συνάρτηση h f είνι συνεχής στο 3

14 Η συνάρτηση h f με f είνι συνεχής στο Θεώρημ: Έστω οι συνρτήσεις συνεχής στο f : A R ι B R : με f A B. Αν η f είνι A ι η στο B, τότε ι η σύνθεσή τους of : A R είνι συνεχής στο. f Η Έννοι της Πργώγου Ερώτηση : Πότε λέμε ότι μι συνάρτηση f λέγετι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της; Απάντηση: Μι συνάρτηση f λέγετι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της, ν υπάρχει το όριο: lm h f h h f ι είνι πργμτιός ριθμός. Τότε συμολίζουμε το όριο υτό f ι το ονομάζουμε πράγωγο της f στο. Πρτήρηση: Μι συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της, ν ι μόνο ν υπάρχουν τ δύο πλευριά όρι: f lm h h h f, f lm h h h ι είνι ο ίδιος πργμτιός ριθμός. f Θεώρημ: Αν μι συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της, τότε θ είνι ι συνεχής στο σημείο υτό. Πόρισμ: Αν μι συνάρτηση f δεν είνι συνεχής σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της, τότε δεν είνι πργωγίσιμη στο. Πρτηρήσεις. Το ντίστροφο του πρπάνου θεωρήμτος δέν ισχύει πάντοτε,δηλδή ν μι συνάρτηση είνι συνεχής στο χ δέν είνι ί οπωσδήποτε ί πργωγίσιμη στο χ. πχ, f., < 4

15 . Αν η f είνι συνεχής στο χ τότε δεν είνι ούτε πργωγίσιμη στο χ 3. Γι ν είνι μιά συνάρτηση πργωγίσιμη σ' εν σημείο πρέπει ν είνι ί συνεχής στό σημείο υτό. 4. Κτλίνουμε πό το σχήμ ν μι συνάρτηση δεν είνι πργωγίσιμη σε άποιο σημείο ν εεί είνι ιχμηρό σημείο. Ερώτηση : Ποι σημεί λέγοντι γωνιά; Απάντηση: Στ σημεί της γρφιής πράστσης μις συνάρτησης f, στ οποί η f είνι συνεχής λλά δεν είνι πργωγίσιμη, σχημτίζετι γωνί ι γι το λόγο υτό ονομάζοντι γωνιά σημεί. Ερώτηση 3: Τι εφράζει ο ρυθμός μετολής του μεγέθος y ως προς, γι την συγεριμένη τιμή ; Τι σημίνει ρυθμός μετολής μεγέθους ι πώς συνδέετι με την έννοι της πργώγου; Απάντηση: Αν δύο μεγέθη, y συνδέοντι με τη συνάρτηση f, έτσι ώστε y f ι η f είνι πργωγίσιμη στο, τότε η πργώγος f εφράζει το ρυθμό μετολής του μεγέθος y ως προς, γι την συγεριμένη τιμή. Πρτήρηση: Η στιγμιί ή οριή τχύτητ του ινητού τη χρονιή στιγμή t, δίνετι πό το όριο: υt S t lm h h S t h S t. Πρτήρηση: Αν θεωρήσουμε το ρυθμό μετολής της τχύτητς υ ως προς το χρόνο t, τη χρονιή στιγμή t, τότε εφράζει την επιτάχυνση του ινητού τη δεδομένη χρονιή στιγμή. Δηλδή: γt υ t h υ t lm h h υ t. Πρτήρηση: Αν θεωρήσουμε τις συνρτήσεις του όστους πργωγής Κ ι του έρδους P, ως προς μετλητή την ποσότητ του πργώμενου προϊόντος. Τότε τ όρι: Κ K lm h h K h ι P P lm h h P h εφράζουν το οριό έρδος ι το οριό όστος, ντίστοιχ, γι την πργώμενη ποσότητ προϊόντος. Ερώτηση 4: Πότε μι συνάρτηση f λέγετι πργωγίσιμη στο, ; 5

16 Απάντηση: Γι μι συνάρτηση f:, R ορίζετι η πράγωγος συνάρτηση f :, R, ν ι μόνο ν η f είνι πργωγίσιμη σε άθε σημείο του πεδίου ορισμού της,. Ερώτηση 5: Πότε μι συνάρτηση f λέγετι πργωγίσιμη στο [, ]; Απάντηση: Γι μι συνάρτηση f:[, ] R ορίζετι η πράγωγος συνάρτηση f :[, ] R, ν ι μόνο ν: Η f είνι πργωγίσιμη γι άθε σημείο, Υπάρχουν τ πλευριά όρι: f h f f h f lm, lm h ι είνι πργμτιοί ριθμοί. h h Πρτήρηση: Η πράγωγος συνάρτηση μπορεί ν θεωρηθεί ως ο ρυθμός μετολής ενός μεγέθους σε οποιδήποτε τιμή της μετλητής του. Πάργωγοι Βσιών Συνρτήσεων Συνάρτηση f Πράγωγος f c στθερά, R*, > - ημ συν συν - ημ e ln, > εφ σφ, > ι lo, > ι, > h e συν ηµ ln ln 6

17 Κνόνες Πργώγισης Αν οι συνρτήσεις f, : Α R είνι πργωγίσιμες στο πεδίο ορισμού τους Α, τότε ι οι συνρτήσεις f ±, cf με c στθερά, f f, είνι πργωγίσιμες στο Α ι ισχύουν οι όλουθοι νόνες πργώγισης: f ± f ± cf c f f f f f f f [ ] Θεώρημ: Κνόνς της λυσίδς Έστω συνρτήσεις f: Α R ι : Β R με fa B. Αν η f είνι πργωγίσιμη σε άθε Α ι η πργωγίσιμη σε άθε f B, τότε η σύνθεση τους of: Α R είνι πργωγίσιμη στο Α ι ισχύει ότι of f. f. Ερώτηση 6: Πώς ορίζετι η δεύτερη πράγωγος της συνάρτησης f; Απάντηση: Αν μι συνάρτηση f: Α R είνι πργωγίσιμη στο Α ι η πάργωγος f : Α R είνι ι υτή πργωγίσιμη στο Α, τότε ορίζετι η δεύτερη πράγωγος f : Α R της συνάρτησης f, ώστε f f. Πρτήρηση: Η επιτάχυνση είνι η πράγωγος της πργώγου της συνάρτησης της θέσης, δηλδή γt S t. Πράγουσ Συνάρτηση Ερώτηση : Τι λέγετι πάργουσ συνάρτηση της f στο διάστημ Δ. Έστω συνάρτηση f: Δ R, όπου Δ διάστημ του R. Αν υπάρχει πργωγίσιμη συνάρτηση F: Δ R, τέτοι ώστε: F f, γι άθε Δ τότε η F λέγετι πράγουσ συνάρτηση της f στο διάστημ Δ. 7

18 Θεώρημ: Δίνετι η συνάρτηση f: Δ R, με Δ διάστημ του R ι F μι πράγουσ της f. Τότε οποιδήποτε άλλη πράγουσ της f είνι της μορφής F c, όπου c στθερά. Σχόλιο: Έστω δύο συνρτήσεις f, ορισμένες σε έν διάστημ Δ. Αν οι f, είνι συνεχείς στο Δ ι f γι άθε εσωτεριό σημείο του Δ, τότε υπάρχει στθερά c τέτοι ώστε γι άθε εδ ν ισχύει fc. Πίνς Πργουσών Βσιών Συνρτήσεων Συνάρτηση f Πράγουσ F c c, -, > c, > ln c e συν ημ e c ημ -συν συν, π π, Ζ εφ c ηµ, π, Ζ, < -σφ c c ln, > c 8

19 Πίνς Πργουσών Σύνθετων Συνρτήσεων Συνάρτηση f Πράγουσ F, c, > c, > ln c, R, -, > c e e c συν ημ c ημ -συν c Μονοτονί Αρόττ Ερώτηση : Πότε μι συνάρτηση λέγετι γνησίως ύξουσ σε έν διάστημ, ; Απάντηση: Μι συνάρτηση λέγετι γνησίως ύξουσ σε έν διάστημ,, ν γι οποιουσδήποτε δύο ριθμούς ι στο, ισχύει ότι f < f, εφόσον <. Ερώτηση : Πότε μι συνάρτηση λέγετι γνησίως φθίνουσ σε έν διάστημ, ; Απάντηση: Μι συνάρτηση λέγετι γνησίως φθίνουσ σε έν διάστημ,, ν γι οποιουσδήποτε δύο ριθμούς ι στο, ισχύει ότι f > f, εφόσον <. Πρτήρηση: Η μονοτονί μις συνάρτησης εφράζει ύξηση ή μείωση στις τιμές της, θώς υξάνει η νεξάρτητη μετλητή. 9

20 y f y f 5 f f Ο Δ Ο Δ Σχόλι Αλλάζουμε την φορά μις νίσωσης ότν: Πολλπλσιάζουμε τ μέλη της με ρνητιό ριθμό. Ότν ντιστρέφουμε τους όρους μις νίσωσης που ποτελείτι πό ομόσημ μέρη. Ότν υψώνουμε σε άρτι δύνμη όρους ρνητιούς μις νίσωσης. Μι συνάρτηση μπορεί ν έχει το ίδιο είδος μονοτονίς σε δύο διστήμτ όχι όμως ι στη ένωση των διστημάτων. Θεώρημ: Έστω πργωγίσιμη συνάρτηση f:, R. Αν f >, γι άθε,, τότε η f είνι γνησίως ύξουσ στο,. Αν f <, γι άθε,, τότε η f είνι γνησίως φθίνουσ στο,. Πρτήρηση: Δεν ισχύει το ντίστροφο του προηγούμενου θεωρήμτος. Δηλδή ν f είνι γνησίως ύξουσ τότε δεν είνι υποχρεωτιά f > Σχόλιο Το ντίστροφο του πρπάνω θεωρήμτος δεν ισχύει. Δηλδή ν η συνάρτηση είνι γνησίως ύξουσ στο Δ, η πργωγός της δεν είνι υποχρεωτιά θετιή στο εσωτεριό του Δ, μπορεί ν είνι ι μηδέν. 3 Γι πράδειγμ, η συνάρτηση f, ν ι είνι γνησίως ύξουσ στο R, εντούτοις έχει πράγωγο f 3 η οποί δεν είνι θετιή σε όλο το R, φού f f γι άθε R. y Ο. Ισχύει όμως y 3 7 Δηλδή ν f γνησίως ύξουσ τότε ίσως f.

21 Πρτήρηση: Είνι φνερό ότι ν f τότε η f είνι στθερά. Πρτήρηση: Αν η πράγωγος μι συνάρτηση μηδενίζετι σε μεριά σημεί, τότε η συνάρτηση δεν είνι υποχρεωτιά στθερή. Σχόλιο: Τι ονομάζουμε μέγιστο, ελάχιστο, συνάρτησης Εστω μί συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α ι χ εα, θ λέμε ότι: Η συνάρτηση f προυσιάζει ελάχιστο στο χ ότν γι άθε χεα είνι fχ fχ. Η τιμή fχ λέγετι ελάχιστο της συνάρτησης f. Η συνάρτηση f προυσιάζει μέγιστο στο χ ότν γι άθε χεα είνι fχ fχ. Η τιμή fχ λέγετι μέγιστο της συνάρτησης f. y y 7 f f f C f f O O C f Ερώτηση 3: Πότε μι συνάρτηση f έχει τοπιό μέγιστο στο σημείο ; Απάντηση: Μι συνάρτηση f έχει τοπιό μέγιστο στο σημείο, ν υπάρχει νοιχτό διάστημ, που περιέχει το, τέτοιο ώστε f f, γι άθε,. Ερώτηση 4: Πότε μι συνάρτηση f έχει τοπιό ελάχιστο στο σημείο ; Απάντηση: Μι συνάρτηση f έχει τοπιό ελάχιστο στο σημείο, ν υπάρχει νοιχτό διάστημ, που περιέχει το, τέτοιο ώστε f f, γι άθε,. Ερώτηση 5: Ν διτυπώσετε το Θεώρημ Fermt. Θεώρημ Fermt: Αν η f προυσιάζει τοπιό ρόττο σε έν εσωτεριό σημείο του πεδίου ορισμού της ι είνι πργωγίσιμη στο σημείο υτό, τότε f.

22 Το ντίστροφο του πρπάνω θεωρήμτος δεν ισχύει π.χ f 3. Μπορεί f χωρίς στο o ν προυσιάζει τοπιό ρόττο. Πρτηρήσεις Έν τοπιό μέγιστο μπορεί ν είνι μιρότερο πό έν τοπιό ελάχιστο. Το μέγιστο είνι τοπιό ρόττο, το ντίστροφο δεν ισχύει πάντ. Το μέγιστο είνι μεγλύτερο πό τ τοπιά μέγιστ. Το μεγλύτερο πό τ τοπιά μέγιστ δεν είνι πάντ μέγιστο. Αν o εσωτεριό του Δ ι προυσιάζει τοπιό ρόττο τότε f o. Είνι Λάθος γιτί δεν γνωρίζουμε ότι είνι πργωγίσιμη. Αν o ε Δ ι προυσιάζει τοπιό ρόττο ι πργωγίσιμη τότε f o. Είνι Λάθος γιτί μπορεί ν είνι άρο λειστού διστήμτος. Πιθνές Θέσεις Τοπιών Αρόττων Συνάρτησης Υπάρχουν τρεις τηγορίες σημείων γι μι συνεχή συνάρτηση f, που μπορεί ν θεωρηθούν ως πιθνές θέσεις τοπιών ροτάτων: Τ άρ διστημάτων που ποτελούν το πεδίο ορισμού της f. Τ εσωτεριά σημεί του πεδίου ορισμού της f στ οποί δεν υπάρχει η πράγωγος της f. Τ σημεί υτά λούντι γωνιά σημεί της f. Τ εσωτεριά σημεί του πεδίου ορισμού της f στ οποί υπάρχουν η πράγωγος της f ι είνι ίση με μηδέν. Τ σημεί υτά λούντι στάσιμ σημεί της f. Ερώτηση 6: Ποι σημεί λέγοντι στάσιμ; Απάντηση: Τ εσωτεριά σημεί του πεδίου ορισμού της f στ οποί υπάρχουν η πράγωγος της f ι είνι ίση με μηδέν. Ερώτηση 7: Ποι σημεί λέγοντι ρίσιμ; Απάντηση: Τ γωνιά ι στάσιμ σημεί λέγοντι ρίσιμ σημεί της f. Κριτήριο ης Πργώγου: Έστω συνεχής συνάρτηση f:, R ι έν ρίσιμο σημείο της. Αν f > στο, ι f < στο,, τότε το f είνι τοπιό μέγιστο της f. Αν f < στο, ι f > στο,, τότε το f είνι τοπιό ελάχιστο της f.

23 Αν η f διτηρεί στθερό πρόσημο στ διστήμτ, ι,, τότε το f δεν είνι τοπιό ρόττο ι η f είνι γνησίως μονότονη στο,. Πρτήρηση: Το ριτήριο της ης Πργώγου μς λύπτει γι τη μελέτη ροτάτων στ άρ ενός διστήμτος. Πρτήρηση: Αν η f ξεινά πό ριστερό άρο διστήμτος του πεδίου ορισμού της ι είνι γνησίως φθίνουσ, τότε στο άρο υτό προυσιάζει τοπιό μέγιστο. Αν η f τλήγει σε δεξιό άρο διστήμτος του πεδίου ορισμού της ι είνι γνησίως ύξουσ, τότε προυσιάζει τοπιό μέγιστο. Αν η f ξεινά πό ριστερό άρο διστήμτος του πεδίου ορισμού της ι είνι γνησίως ύξουσ, τότε στο άρο υτό προυσιάζει τοπιό ελάχιστο. Αν η f τλήγει σε δεξιό άρο διστήμτος του πεδίου ορισμού της ι είνι γνησίως φθίνουσ, τότε προυσιάζει τοπιό ελάχιστο. Κριτήριο ης Πργώγου: Έστω συνεχής συνάρτηση f: Α R ι έν στάσιμο σημείο της f. Αν η f είνι δύο φορές πργωγίσιμη στο, τότε προυσιάζει τοπιό μέγιστο στο ν f <, ενώ προυσιάζει τοπιό ελάχιστο στο ν f >. Πρτήρηση: Το δεύτερο ριτήριο μελέτης τοπιών ροτάτων είνι περισσότερο εύχρηστο ι χρησιμοποιείτι γι συνρτήσεις που είνι τουλάχιστον δύο φορές πργωγίσιμες. Συνεπώς, με το ριτήριο υτό μπορούμε ν μελετήσουμε μόνο ν τ στάσιμ σημεί μις συνάρτησης είνι θέσεις τοπιών ροτάτων. Ερώτηση 8: Ν διτυπώσετε το ριτήριο ή τ ριτήρι με τ οποί εξσφλίζουμε ότι είνι ρόττ: τ άρ διστήμτος. τ γωνιά σημεί. γ τ στάσιμ σημεί. Ορισμένο Ολολήρωμ Ερώτηση : Τι ονομάζετι ορισμένο ολολήρωμ της συνάρτησης f πό το έως το ; Απάντηση: Έστω συνεχής συνάρτηση f: [, ] R με πράγουσ συνάρτηση F. Τη στθερά διφορά F F ονομάζουμε 3

24 ορισμένο ολολήρωμ της συνάρτησης f πό το έως το ι το συμολίζουμε με: Επομένως, ισχύει ότι: f d. f d [ ] F F F. Πρτήρηση: Επίσης, ισχύει ότι μι συνάρτηση είνι ολοληρώσιμη στο [, ] ν είνι συνεχής στο [, ]. Ιδιότητες Ορισμένου Ολοληρώμτος Έστω συνάρτηση f συνεχής στο [, ]. Ισχύουν οι όλουθες ιδιότητες γι το ορισμένο ολολήρωμ: cd c, όπου c στθερά f d f d γ γ f d, όπου < γ < f d v v f d f d λ µ ] d λ f d [ f µ d, λ, μ R Άμεσ πορίσμτ της v είνι ότι: λf d λ f d ι [ ] d f d f d v Αν f, γι άθε [, ], τότε f d v Αν f, γι άθε [, ], τότε f d d 4

25 5 Ορισμένο Ολολήρωμ Βσιών Συνρτήσεων [ ] d d, με R - {-}, > > [ ] ln ln ln d, > > [ ] e e e d e [ ] ημ ηµ ηµ συν d [ ] συν συν συν ηµ d [ ] d, > > Ορισμένο Ολολήρωμ Σύνθετων Συνρτήσεων d, όπου γι άθε [, ] [ ] d, όπου > γι άθε [, ] [ ] ln ln ln d, όπου > γι άθε [, ] d, με R - {-} ι > γι άθε [, ] [ ] e e e d e

26 Τύπος Ολολήρωσης τά Πράγοντες [ f ] f d f d Ερωτήσεις Σωστού Λάθους Ν χρτηρίσετε τις προτάσεις που ολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς, δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε άθε πρότση, τη λέξη Σωστό, ν η πρότση είνι σωστή ή τη λέξη Λάθος, ν η πρότση είνι λνθσμένη.. Εάν η τιμή του συντελεστή μετλητότητς είνι άτω του %, ο πληθυσμός του δείγμτος θεωρείτι ομοιογενής.. Εάν οι συνρτήσεις f,:a είνι πργωγίσιμες στο πεδίο ορισμού τους, με, τότε ισχύει: f f f. 3. Εάν μι συνάρτηση f δεν είνι συνεχής σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της, τότε είνι πργωγίσιμη στο. e e e d 4. Ισχύει ότι: με ι. 5. Δίνοντι οι συνρτήσεις f, συνεχείς στο [, ]. Αν f γι άθε [,, ] τότε: f d d 6. Η μέση τιμή επηρεάζετι πό τις ρίες τιμές ι εξρτάτι πό όλες τις τιμές της μετλητής. 7. Επιρτούσ τιμή μις μετλητής ονομάζετι η τιμή με τη μιρότερη συχνότητ. 8. Αν lm f l, lm l με l,l Rι l τότε o o f l lm. l o 9. Αν μί συνάρτηση f είνι συνεχής σε έν σημείο o του πεδίου ορισμού της, τότε πρίτητ θ είνι ι πργωγίσιμη στο σημείο υτό.. Έστω συνάρτηση f συνεχής στο [,]. Τότε ισχύει fd.. Αν μι συνάρτηση f δεν είνι συνεχής σε έν σημείο o του πεδίου ορισμού της, τότε δεν είνι πργωγίσιμη στο o.. Το εύρος ως πράμετρος δισποράς εξρτάτι μόνο πό τις ρίες τιμές της μετλητής. 6

27 3. Έστω συνάρτηση συνεχής στο [,]. Τότε ισχύει η όλουθη ιδιότητ γι το ορισμένο ολολήρωμ: γ γ f d f d f d, με <γ<. 4. Ισχύει ότι:,, > 5. Έστω δύο συνεχείς συνρτήσεις f, : [, ] με συνεχείς πργώγους f,. Τότε ισχύει ότι: f ' d f f ' d 6. Τ άρ των διστημάτων που ποτελούν το πεδίο ορισμού μις συνάρτησης f, μπορούν ν θεωρηθούν ως πιθνές θέσεις τοπιών ροτάτων. 7. Οι ποσοτιές μετλητές διρίνοντι σε διριτές ι συνεχείς. 8. Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής σε σημείο, τότε το δεν νήει στο πεδίο ορισμού της. ν ν 9. Αν υπάρχει το lm f lόπου l R, τότε είνι: lm[ f ] l, o o * όπου ν Ν. Έστω f συνεχής στο [,] ι f γι άθε [, ], τότε: f d <. Η μέση τιμή μέσος όρος υπολογίζετι μόνο σε ποσοτιές μετλητές.. Αν υπάρχουν τ lm f, lm ι είνι l,l R ντίστοιχ, τότε lm f l l 3. Αν οι συνρτήσεις f, είνι πργωγίσιμες στο R, τότε ισχύει: f f, R 4. Ισχύει ότι ημ d συν -συν 5. Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη στο, ι f > γι άθε,, τότε η f είνι γνησίως ύξουσ στο,. 6. Εύρος τιμών μις μετλητής είνι η διφορά της μιρότερης τιμής πό τη μεγλύτερη. 7. Αν υπάρχουν τ lm fl, lm l όπου l,l R, τότε lm f 8. Αν μι συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της, τότε είνι συνεχής στο σημείο υτό. 9. Ισχύει ότι: e d e e. 3. Η μέση τιμή δεν επηρεάζετι πό τις ρίες τιμές της μετλητής. 3. Αν υπάρχει το lm f lm f. ι είνι, τότε 7

28 3. Αν μι συνάρτηση f δεν είνι συνεχής σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της, τότε δεν είνι πργωγίσιμη στο. 33. Ισχύει ότι: f d, γι άθε εr. µ ση τιµ 34. έ ή τυπι π λιση CV % ή ό s 35. lm f l, όπου l R ν ι μόνο o lm f lm f l ν o o 36. Αν οι συνρτήσεις f, : A R είνι πργωγίσιμες στο πεδίο ορισμού τους Α, τότε ισχύει f f f 37. Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο [,], τότε ισχύει f d f d 38. Αν η τιμή του συντελεστή μετλητότητς μετολής ενός δείγμτος πρτηρήσεων είνι μιρότερη του %, τότε ο πληθυσμός του δείγμτος θεωρείτι ομοιογενής. 39. συν ημ 4. Έστω η πργωγίσιμη συνάρτηση f:, R. Αν f < γι άθε,, τότε η f είνι γνησίως ύξουσ στο διάστημ,. 4. cd c-, όπου c στθερά. f f 4. ηµ συν f f 45. Έν δείγμ τιμών μις μετλητής είνι ομοιογενές ν ο συντελεστής μετολής ξεπερνά το %. 46. Διάμεσος δ ενός δείγμτος ν πρτηρήσεων οι οποίες έχουν διτχθεί σε ύξουσ σειρά ορίζετι η ημιδιφορά των δύο μεσίων πρτηρήσεων, ότν ο ν είνι άρτιος ριθμός. 47. Η διάμεσος δ ενός δείγμτος είνι έν μέτρο δισποράς. 48. Το εύρος R ενός δείγμτος ν πρτηρήσεων ορίζετι ως το άθροισμ της μεγλύτερης ι της μιρότερης πρτήρησης. 49. Το εύρος ενός δείγμτος είνι ξιόπιστο μέτρο δισποράς. 5. Η διάμεσος των πρτηρήσεων είνι μέτρο θέσης. 5. Αν διιρέσουμε τη συχνότητ ν μις μετλητής Χ με το μέγεθος ν του δείγμτος, προύπτει η σχετιή συχνότητ f της τιμής. 5. c 8

29 53. Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής στο o, τότε είνι πργωγίσιμη στο σημείο υτό. 54. Αν c στθερά, τότε cd c. 55. Το άθροισμ όλων των σχετιών συχνοτήτων μις τνομής είνι ίσο με το μέγεθος ν του δείγμτος. 56. Πλάτος λάσης ενός δείγμτος ονομάζετι το άθροισμ του τώτερου ι του νώτερου ορίου της λάσης. 57. Αν μι συνάρτηση f δεν είνι πργωγίσιμη στο, τότε μπορεί ν είνι συνεχής στο σημείο υτό. 58. Μι συνάρτηση f πργωγίσιμη σ έν νοιτό διάστημ Δ, με f γι άθε Δ, δεν προυσιάζει ρόττ στο Δ. 59. Αν οι συνρτήσεις f, είνι πργωγίσιμες σ έν διάστημ Δ, ι διφέρουν τά μί στθερά, τότε έχουν ίσες πργώγους. 6. Ο ριθμός των πουσιών των μθητών της Γ Λυείου είνι συνεχής ποσοτιή μετλητή Το έντρο άθε λάσης ενός δείγμτος ισούτι με την ημιδιφορά των άρων της λάσης. 63. Η συχνότητ της τιμής μις μετλητής Χ είνι ρνητιός ριθμός. 64. ημ - συν. 65. Αν διιρέσουμε τη συχνότητ ν μις μετλητής Χ με το μέγεθος ν του δείγμτος, προύπτει η σχετιή συχνότητ f της τιμής. 66. Η μέση τιμή μέσος όρος υπολογίζετι μόνο σε ποσοτιές μετλητές. 67. Αν οι συνρτήσεις f, είνι πργωγίσιμες στο R, τότε ισχύει: f ' f ' Χ ', R 68. Αν μι συνάρτηση f δεν είνι πργωγίσιμη στο ο, τότε δεν μπορεί ν είνι συνεχής στο σημείο υτό. 69. Ισχύει ότι ηµ d συν συν. 7. Ο συντελεστής μετολής ή συντελεστής μετλητότητς CV είνι νεξάρτητος πό τις μονάδες μέτρησης 7. Έν δείγμ τιμών μις μετλητής είνι ομοιογενές ν ο συντελεστής μετολής ξεπερνά το %. 7. Αν οι πρτηρήσεις εφράζοντι σε cm ι η διύμνση εφράζετι σε cm. 73. Η διύμνση είνι ο μέσος όρος των τετργώνων των πολίσεων των πρτηρήσεων t πό τη μέση τιμή τους Διάμεσος δ ενός δείγμτος ν πρτηρήσεων οι οποίες έχουν διτχθεί σε ύξουσ σειρά ορίζετι η ημιδιφορά των δύο μεσίων πρτηρήσεων, ότν ο ν είνι άρτιος ριθμός. 9

30 75. Η διάμεσος δ ενός δείγμτος είνι έν μέτρο δισποράς. 76. Το εύρος R ενός δείγμτος ν πρτηρήσεων ορίζετι ως το άθροισμ της μεγλύτερης ι της μιρότερης πρτήρησης. 77. Το εύρος ενός δείγμτος είνι ξιόπιστο μέτρο δισποράς. 78. Αν η f δεν είνι συνεχής στο, τότε η f δεν είνι πργωγίσιμη στο. 79. H συνάρτηση f είνι συνεχής, λλά όχι πργωγίσιμη στο. 8. Aν η f είνι πργωγίσιμη στο, τότε είνι ι συνεχής στο. 8. Aν η f είνι συνεχής στο, τότε είνι ι πργωγίσιμη στο. 8. Aν η C f έχει στο σημείο M, f σχημτίζει γωνιό σημείο, τότε η f δεν είνι πργωγίσιμη στο. lm f h f h 83. Aν η f είνι πργωγίσιμη στο, τότε: R. h 84. Αν f, τότε: f. 85. Αν f, τότε: f. 86. Aν f 3, τότε: f. 87. Αν f ω ω, τότε: f ' ω. ω 88. Αν fln, τότε: f. 89. Έστω fημσυν. Τότε: f π. h h 9. Αν f, τότε: f. 9. Αν μι συνάρτηση f δεν είνι πργωγίσιμη στο, τότε δεν είνι συνεχής στο. 9. Αν η f είνι πργωγίσιμη στο, τότε η f είνι συνεχής στο. 93. Η γρφιή πράστση C f μις συνάρτησης f είνι υτή που y φίνετι στο διπλνό σχήμ. Τότε λάθος είνι ότι Α. η f είνι πργωγίσιμη στο Β. η f δεν είνι πργωγίσιμη στο Γ. η C f δέχετι εφπτομένη στο 3 Δ. η f είνι πργωγίσιμη στο 4 Ε. η f δεν είνι πργωγίσιμη στο 5 3

31 94. Το π εφ lm 6 h h h π εφ 6 ισούτι με: Αν f, γι άθε, τότε η f είνι στθερή. 96. Αν f ' γι άθε, τότε θ ισχύει f γι άθε. 97. Αν f, γι άθε R, τότε: f c. 98. Αν f '' γι άθε R, τότε η f είνι της μορφής:. f 99. Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη στο, τότε ι οι συνρτήσεις f ι είνι πργωγίσιμες στο.. Αν η συνάρτηση c f, όπου c στθερά, είνι πργωγίσιμη στο, τότε ι η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη στο.. Αν η f δεν είνι πργωγίσιμη στο, τότε δεν είνι ι συνεχής στο.. Η συνάρτηση f ημ 5e, < < π, προυσιάζει τοπιό ελάχιστο στο 3 π Αν f e, τότε η f δεν μπορεί ν έχει τοπιά ρόττ. 4. Η συνάρτηση f 5e -5, προυσιάζει τοπιό ελάχιστο στο 5. Αν η f προυσιάζει τοπιό ρόττο στο, τότε ισχύει f '. 6. Αν το f είνι τοπιό ρόττο, τότε είνι ι ολιό. 7. Κάθε τοπιό μέγιστο είνι μεγλύτερο πό άθε τοπιό ελάχιστο. 8. Αν η f προυσιάζει στο εσωτεριό σημείο του διστήμτος Δ τοπιό ρόττο ι είνι πργωγίσιμη στο, τότε: f '. 9. Αν f 8, τότε το f8 είνι τοπιό ρόττο.. Αν η f είνι γνησίως ύξουσ στο,] ι γνησίως φθίνουσ στο [,γ, τότε η f έχει μέγιστο στο,γ τον ριθμό f.. Αν η f είνι πργωγίσιμη στο [,], τότε υπάρχει [, ], ώστε το f ν είνι μέγιστο ι ν ισχύει f '.. Αν η f είνι πργωγίσιμη σε έν διάστημ Δ ι f ', με, τότε το f δεν είνι τοπιό ρόττο της f. 3. Αν η f είνι δύο φορές πργωγίσιμη στο R, με f '' > γι άθε R, τότε η f δεν έχει τοπιό ρόττο. 4. Αν η f είνι γνησίως ύξουσ ι πργωγίσιμη στο [,], τότε f ' > γι άθε,. 5. Αν η συνάρτηση f είνι δύο φορές πργωγίσιμη, σ έν διάστημ Δ, με f '' > γι άθε, τότε η f είνι γνησίως ύξουσ στο Δ. 3

32 6. Κάθε τοπιό ρόττο μις συνάρτησης είνι ι ολιό ρόττο υτής. 7. Κάθε πργωγίσιμη συνάρτηση f: [, ] R έχει τουλάχιστον έν τοπιό ρόττο f, ώστε f '. 8. Αν γι τη συνάρτηση f:, R υπάρχει, ώστε f ', τότε το f είνι τοπιό ρόττο της f. 9. Αν γι τη συνάρτηση f που είνι πργωγίσιμη στο R, ισχύει f 4, τότε η f προυσιάζει τοπιό ρόττο στο 4.. Αν μι πργωγίσιμη συνάρτηση f είνι γνησίως φθίνουσ στο R, τότε θ ισχύει f.. Μι συνάρτηση f μπορεί ν έχει τοπιό ρόττο ι σε σημείο, στο οποίο δεν είνι συνεχής.. Αν μι συνάρτηση f προυσιάζει ρόττο στο, τότε ισχύει f. 3. Αν το διάγρμμ C f της πργώγου μις συνάρτησης f φίνετι στο διπλνό σχήμ, τότε η f είνι γνησίως ύξουσ στο R. y C f y 4. Αν γι τη συνάρτηση f που είνι δύο φορές πργωγίσιμη στο R, ισχύει f 4 ι f 4 >, τότε η f προυσιάζει τοπιό ρόττο στο Aν ισχύει d, τότε. 6. Αν ισχύει f d, τότε <. 7. Αν ισχύει ηµ d, τότε συνσυν. 8. Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο [,] ι ισχύει f d τότε θ ισχύει f. 9. Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο [,] ι γε, τότε θ ισχύει γ f d fd f d. γ 3. Αν οι συνρτήσεις f, είνι συνεχείς στο [,] ι γε, τότε θ ισχύει [ ] 4 γ f d fd d Ισχύει cd cd, c στθερά 6 3. Αν f συνεχής στο R ι f, τότε ισχύει: f f d. γ 3

33 33. Ισχύει: ημd - συν. 34. Αν η f είνι συνεχής στο [, ], τότε το f d εφράζει το εμδόν που περιλείετι μετξύ της C f, του άξον ι των ευθειών,. 35. Αν f d d, τότε f γι άθε [, ]. 36. Η ιδιότητ του ορισμένου ολοληρώμτος ισχύει μόνο εφόσον < γ <, ln d f d γ f f d. 37. Ισχύει: e d -,, >. ln 38. Γι τη συνάρτηση f του διπλνού σχήμτος το ίσο με γ f d είνι Α. Ε Ε Β. Ε - Ε Γ. Ε Ε Δ. Ε Ε Ε. Ε - Ε y C f Ε Ε y 39. Το εμδόν του σισμένου χωρίου του διπλνού σχήμτος είνι ίσο με Α. 4 f d Β. 4 -f d Γ. 4 Ε. f - 4 d Δ f d 4 y 4 - f d f - 4 d C f 4 4 y 4. Έστω μι συνάρτηση f ορισμένη σε έν διάστημ Δ ι έν εσωτεριό σημείο του Δ. Αν η f είνι πργωγίσιμη στο ι f', τότε η f προυσιάζει υποχρεωτιά τοπιό ρόττο στο. 4. Αν lm f l, ν ι μόνο ν lm f lm f l. 33

34 4. Αν οι συνρτήσεις f, είνι πργωγίσιμες στο χ, τότε η συνάρτηση f. είνι πργωγίσιμη στο χ ι ισχύει: f. f χ χ 43. Έστω μι συνάρτηση f, η οποί είνι συνεχής σε έν διάστημ Δ.Αν f χ> σε άθε εσωτεριό σημείο χ του Δ, τότε η f είνι γνησίως φθίνουσ σε όλο το Δ. 44. Αν μι συνάρτηση f είνι γνησίως ύξουσ στο διάστημ Δ ι πργωγίσιμη σ υτό, τότε f > γι άθε. 45. Αν f > γι άθε IR, τότε τ σημεί Α, ι Β,-4 νήουν ι τ δύο στη γρφιή πράστση της f. 46. cd c, όπου c στθερά. 47. Έστω συνάρτηση f συνεχής στο [, ]. Τότε ισχύει η όλουθη ιδιότητ γι το ορισμένο ολολήρωμ: γ d f d γ f f d, με < γ <. 48. Ισχύει ότι: f d, γι άθε R. 49. Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο [, ], τότε ισχύει f d f d. 5. Έστω συνάρτηση f συνεχής στο [, ] ι f, γι άθε [, ], τότε: d < f. 5. Έστω δύο συνεχείς συνρτήσεις f, : [, ] R με συνεχείς πργώγους f,. Τότε ισχύει ότι: [ f ] f d f d. 5. Ισχύει ότι ηµ d συν συν 53. Ισχύει ότι e d e e 54. Το d είνι ίσο με: A B Γ N μετφέρετε στο τετράδιό σς τις πράτω ισότητες ι ν τις συμπληρώσετε:. f. c f, όπου c στθερά. 3. d με >> f 4...., με 34

35 5...., με > 6. e συν ln... με R*, > 9. εφ... με R { π π, }. ημd.... ημ.... Αν f συνεχής στο R με R, τότε f d 3. cf... με c R 4. of d... με >> 6. Έστω συνρτήσεις f: Α ι : Β με fa B. Αν η f είνι πργωγίσιμη σε άθε Α ι η πργωγίσιμη σε άθε f Β, τότε η σύνθεσή τους of: Α είνι πργωγίσιμη στο Α ι ισχύει ότι: of cd... με c στθερά ι, 8. συν d ηµ d.... Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη στο ι c μι στθερά, c f... τότε:. Αν εr* ι >, τότε.... Αν ν, ν,, ν συχνότητες, τότε ν ν ν 3. Αν f, πργωγίσιμες συνρτήσεις, τότε f ln 5. Αν f, f,, f σχετιές συχνότητες, τότε f f f 6. Αν f, πργωγίσιμες συνρτήσεις, τότε f : e 8. Αν, τ άρ μις λάσης ι Κ το έντρο της, τότε: Κ 9. Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής στο, τότε f 3. ν 3. Αν f πργωγίσιμη στο, τότε f... 35

36 3. Αν f συνεχής στο R με R, τότε f d 33. cd..., όπου c στθερά ι, R 34. Αν f συνεχής στο R με R, τότε f d ηµ d d..., με > > Ν γράψετε στο τετράδιό σς, δίπλ στον ριθμό που ντιστοιχεί σε θεμί πό τις πράτω προτάσεις, το γράμμ που συμπληρώνει σωστά την πρότση.. Το άθροισμ των σχετιών συχνοτήτων f f f f ενός 3 δείγμτος μεγέθους ν είνι ίσο με: γ 5. Η πράγουσ της συνάρτησης συν είνι ίση με: εφc ημc γ - ημc 3. Το d είνι ίσο με: - γ - Ν ντιστοιχίσετε, γράφοντς στο τετράδιό σς, άθε συνάρτηση του πίν Α με την πράγωγό της στον πίν B. Πίνς Α Πίνς Β. c Συνάρτηση f Πράγωγος f. ημ γ. ln, > ημ 4. συν