Θέματα Εξετάσεων Φεβρουαρίου 2011:

Transcript

1 ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ: ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ Θέμτ Εξετάσεων Φεβρουρίου : ΘΕΜΑ μονάδες Πρέπει με κυβικές b-splnes ν πρεμβάλετε, κτά σειρά, τ εξής σημεί:,,,,,,,8, 7, κι,. Ας είνι υτά, ως κι,, ντίστοιχ Γνωρίζετε ότι θ χρειστεί ν λύσετε δύο γρμμικά συστήμτ. Διτυπώστε τ χωρίς ν τ λύσετε σε μητρωϊκή γρφή. Χρησιμοποιήστε σύμβολ με ΚΕΦΑΛΑΙΑ γράμμτ κι κτάλληλους δείχτες γι τους γνώστους τους κι κάντε πρδοχές γι ότι δεν δίνετι φού το νφέρετε. β Αν δεχθούμε ότι το ν λύσω έν σύστημ ως τ προηγούμεν στοιχίζει όσο ν υπολογιστεί ο ντίστροφος του μητρώου των συντελεστών, ξίζει ή όχι εδώ ν υπολογίσουμε τον ντίστροφο του ή των μητρώου/ων. Βθμολογούντι μόνο δικιολογημένες πντήσεις. γ Έστω ότι λύστε τ συστήμτ! Επειδή δεν έχετε όμως τώρ τ ριθμητικά ποτελέσμτ, στη συνέχει, γι τους γνώστους γνωστούς πλέον! των συστημάτων χρησιμοποιήστε τ ΚΕΦΑΛΑΙΑ σύμβολά τους. Με τις κυβικές b-splnes δημιουργείτε κμπύλη σημείων, τ οποί ισπέχουν στον πρμετρικό χώρο. Δώστε την τελική έκφρση των συντετγμένων, του σημείου της κμπύλης που ντιστοιχεί στην τιμή / της διάσττης πρμέτρου. Η ζητούμενη έκφρση θ έχει ριθμητικούς συντελεστές κι ΚΕΦΑΛΑΙΑ σύμβολ. ΘΕΜΑ μονάδες Έν ρντάρ της Τροχίς κτγράφει την τχύτητ ενός υτοκινήτου κάθε δευτερόλεπτ κι πρέχει τ κόλουθ δεδομέν Χρόνος sec 8 8 Τχύτητ km/h Ζητείτι: Ν βρείτε τη συνολική πόστση που έχει δινύσει το υτοκίνητο στ sec, χρησιμοποιώντς τις μεθόδους Τρπεζίου κι Smpson /, κι ν συγκρίνετε τ δύο ποτελέσμτ. β Ν προσεγγίσετε τη συνάρτηση τχύτητς-χρόνου του υτοκινήτου με πολυώνυμο ου βθμού, χρησιμοποιώντς τη μέθοδο των Ελχίστων Τετργώνων. Στη συνέχει, ν βρείτε νλυτικά την πόστση που δινύει το υτοκίνητο κι ν τη συγκρίνετε με τ ποτελέσμτ του. ΓΕΝΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ: Στις εξετάσεις του μθήμτος επιτρέπετι ν έχετε μζί σς το βιβλίο του μθήμτος, χωρίς πρόσθετες σκήσεις κλπ γρμμένες σε υτό. Τ βιβλί ελέγχοντι. Άλλ βοηθήμτ ή σημειώσεις συμπεριλμβνομένων υτών των λυμένων σκήσεων δεν επιτρέποντι. Μην ξεχνάτε τον υπολογιστή τσέπης σς. Δεν επιτρέπετι η χρήση κινητού τηλεφώνου γι την εκτέλεση πράξεων! Κι, προφνώς, μην πρλείπετε την εκτέλεση των πράξεων όπου ζητείτι, πντώντς περιγρφικά!

2 ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ: ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ Λύση Θέμτος : Σύμφων με τη θεωρί των κυβικών b-splnes, γι Ν σημεί, οι συντετγμένες των πρμετρικών κομβικών σημείων, με σύμβολ Χ -,Υ - ως κι Χ,Υ, δίνοντι πό τη λύση του συστήμτος: 7 κι ενός «ντίστοιχου» συστήμτος γι τ Υ γράψτε το. Τ δύο συστήμτ διφέρουν μόνο στ δεξιά τους μέλη. Έγινε η υπόθεση ότι υπάρχουν μηδενικές πράγωγοι στο πρώτο κι τελευτίο σημείο d d, με βάση τις σχέσεις του βιβλίου. Σκεφτείτε πριν βιστικά πείτε, με βάση τους τύπους του βιβλίου, ότι στην πρώτη κι στην τελευτί γρμμή του τετργωνικού πίνκ έπρεπε οι μη-μηδενικοί συντελεστές ν είνι ίσοι με Ν, ντί με τη μονάδ! β Θεωρητικά ξίζει, ρκεί ν μην μς ενοχλεί η νάγκη ποθήκευσης του ντίστροφου πίνκ. Εν τούτοις, η μικρή διάστση 88 κάνει πρκτικά το κέρδος σήμντο. Εξάλλου, ν σκεφτείτε με ποι μέθοδο θ λύντε το κάθε σύστημ, θ ήτν ίσως πιο έξυπνο ν χειριζόσστε μζί τ δύο συστήμτ, μις κι διφέρουν μόνο στ δεξιά τους μέλη. γ Στην κυβική b-splnes κμπύλη των σημείων ισπεχόντων στον πρμετρικό χώρο, το ο σημείο θ έχει διάσττη, στο [,] τιμή της πρμέτρου έστω ίση με.. Ζητούντι οι συντετγμένες, υτού του σημείου. Τ Ν σημεί που δίνοντι γι την πρεμβολή τους, ισπέχουν κτά. Ν δ, ντιστοιχούν δηλδή στις τιμές.8,.,.,.,,. Άρ το ζητούμενο σημείο θ βρίσκετι μετξύ των, κι,, επηρεζόμενο πό τις συνρτήσεις βάσεις που δομούντι με κέντρ τ σημεί,,,,, κι,. Η συμμετοχή κθενός πό υτά τ τέσσερ στις συντετγμένες του ζητούμενου σημείου κθορίζετι πό τις τιμές των συνρτήσεων των πολυώνυμων βάσης, που είνι γι το σημείο L της πρεμβολής οι εξής βλ. βιβλίο μθήμτος, με μικρή προσρμογή των συμβόλων:

3 ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ: ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ L b u u, ν u L b β u u u, ν u L B u L bγ u u u, ν u L bδ u u, ν u εννοείτι «μηδέν» στ υπόλοιπ διστήμτ. Με βάση τ νωτέρω, μς ενδιφέρουν τιμές-επιρροές πό τ,,,,, κι,. Πρκάτω, προσέξτε τη διάκριση νάμεσ στην ολική πράμετρο κι την τοπική δηλδή γύρω πό κάθε κόμβο L πράμετρο u. Θυμηθείτε Ν. Γι το σημείο, L ή., η τιμή. ντιστοιχεί σε u..., οπότε b δ Γι το σημείο, L ή., η τιμή. ντιστοιχεί σε u..., οπότε b γ. u u.. Γι το σημείο, L ή., η τιμή. ντιστοιχεί σε u... 98, οπότε u u. 7 b β.98. Γι το σημείο, L ή.8, η τιμή. 7 ντιστοιχεί σε u , οπότε b.98 u 7.. Άρ, το σημείο με. θ έχει συντετγμένες.8 δ. b κι..8y.. bδ. Y. Y γ b..7 γ.7 Y 7. b. Y 7. b 7 7 b β β Y.. Y b b.. Y

4 ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ: ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ Λύση Θέμτος : Η ολοκλήρωση στο χρόνο, με τη μέθοδο τρπεζίου πό a sec ως b sec, γι Ν9 ισπέχοντ σημεί άρ Ν8, δίνετι πό τη σχέση a b I trap όπου το τελευτίο κλάσμ-συντελεστής μεττρέπει τις μονάδες της τχύτητς πό km/h σε m/sec. Είνι, προφνώς,,, κοκ. Με ριθμητική ντικτάστση κάντε την! προκύπτει I trap 8m. Ότν η ολοκλήρωση γίνετι κτά Smpson /, εφρμόζετι η σχέση,,,, a b I S κι με ριθμητική ντικτάστση κάντε την! προκύπτει m I S 8.. Η σύγκριση των δύο ριθμητικών ποτελεσμάτων σχολιάζετι εύκολ. β Υιοθετώντς έν πολυώνυμο δεύτερου βθμού γι την τχύτητ, συνρτήσει του χρόνου, ήτοι το g, η θεωρί της προσέγγισης κμπυλών με τη μέθοδο των ελχίστων τετργώνων οδηγεί στο σύστημ ή Το σύστημ επιλύετι με πλοιφή κτά Gauss κι υπολογίζοντι οι τρεις συντελεστές του δευτεροβάθμιου πολυωνύμου ως.99,.78 κι Άρ το ζητούμενο πολυώνυμο είνι το g η πόκρισή του είνι σε km/h. Η πόστση που συνολικά έχει δινυθεί μπορεί ν προσεγγιστεί πό την κριβή/νλυτική ολοκλήρωση του προσεγγιστικού πολυωνύμου κι ν συγκριθεί με την προσεγγιστική/ριθμητική ολοκλήρωση πργμτικών δεδομένων, όπως έγινε στο. Είνι m d d g I LSQ Τ σχόλι πό τη σύγκριση είνι δικά σς.

5 ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ: ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ ΤΥΠΙΚΟ ΛΑΘΟΣ: Στη δεύτερη άσκηση ν μην προσεχτεί η λλγή μονάδων κι ν πρλειφθεί ο συντελεστής /!