Κεφάλαιο 2 ο. Γραμμικά Δικτυώματα
|
|
- Ίρις Γεωργιάδης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Κεφάλιο 2 ο Γρμμικά Δικτυώμτ Έν ηλεκτρικό κύκλωμ ή δικτύωμ ποτελείτι πό ένν ριθμό πλών κυκλωμτικών στοιχείων, όπως υτά που νφέρθηκν στο Κεφ.1, συνδεδεμένων μετξύ τους. Το κύκλωμ θ περιέχει τουλάχιστον μί πηγή τάσης ή ρεύμτος. Ο τρόπος σύνδεσης των στοιχείων επιάλλει τους δικούς του περιορισμούς νάμεσ στις τάσεις κι στ ρεύμτ. Αυτοί οι νέοι περιορισμοί κι οι ντίστοιχες εξισώσεις, που προστίθεντι στις σχέσεις τάσης-ρεύμτος των στοιχείων, πρέχουν την επίλυση του δικτυώμτος.
2 2.1. Ορισμοί Κόμος ονομάζετι έν σημείο του κυκλώμτος στο οποίο συνδέοντι τρεις ή περισσότεροι γωγοί ή/κι κροδέκτες στοιχείων του κυκλώμτος (η σύνδεση δύο μόνο στοιχείων μετξύ τους είνι έν εκφυλισμένος κόμος)(σχ. 2.1). Προσοχή: ένς κόμος μπορεί ν είνι κτνεμημένος. Κόμος Βρόχος V S V S Βρόχος Βρόχος Κτνεμημένος κόμος () () Σχ. 2.1 Πράδειγμ κόμων () κι ρόχων () σε γρμμικό δικτύωμ. Κλάδος ονομάζετι το τμήμ του κυκλώμτος που περιλμάνετι μετξύ δύο κόμων. Βρόχος είνι οποιοσδήποτε κλειστός γώγιμος δρόμος του κυκλώμτος (σχ. 2.1). 14
3 2.2. Οι κνόνες του Krchhoff. Οι κνόνες του Krchhoff είνι σικό εργλείο γι την επίλυση των γρμμικών κυκλωμάτων. Δεν ποτελούν νέους νόμους της φυσικής λλά πλοποίηση των νόμων του ηλεκτρισμού κι των εξισώσεων του Maxwell γι την εφρμογή τους σε κυκλώμτ με εντοπισμέν στοιχεί Ο κνόνς των ρευμάτων του Krchhoff (KCL). Το λγερικό άθροισμ των ρευμάτων σε κάθε κόμο ενός κυκλώμτος ισούτι με μηδέν. N n = 0 (2.1) n=1 Διφορετικά, το άθροισμ των ρευμάτων που εισέρχοντι σε ένν κόμο ισούτι με το άθροισμ των ρευμάτων που εξέρχοντι πό τον κόμο. Με άλλ λόγι, όσο ρεύμ εισέρχετι σε ένν κόμο τόσο εξέρχετι. Ο κνόνς υτός πορρέει πό την ρχή διτήρησης του φορτίου, δεδομένου ότι σε ένν κόμο δεν ποθηκεύοντι φορτί ούτε πράγοντι πό υτόν. Επομένως, όσ φορτί εισέρχοντι στον κόμο στη μονάδ του χρόνου τόσ θ πρέπει ν εξέρχοντι πό υτόν. Πράδειγμ 2.1 εφρμογής του κνόν των κόμων: Στο σχ. 2.2 θροίζουμε τ ρεύμτ λμάνοντς υπόψη τη φορά τους = 0 1 = Σχ Ο κνόνς των τάσεων του Krchhoff (KVL). Το λγερικό άθροισμ των τάσεων σε κάθε ρόχο ενός κυκλώμτος ισούτι με μηδέν. N υ n = 0 (2.2) n=1 Κάποιες πό τις τάσεις υτές θ προέρχοντι πό πηγές κι άλλες θ είνι πτώσεις τάσης σε πθητικά στοιχεί του κυκλώμτος. Ο κνόνς εφρμόζετι το ίδιο κλά σε κυκλώμτ που περιέχουν πηγές συνεχούς τάσης (DC), πηγές ενλλσσόμενης τάσης λλά κι γενικά χρονικά μετλλόμενες πηγές. 15
4 Κι ο κνόνς υτός δεν ποτελεί νέο νόμο, λλά πορρέει πό το γεγονός ότι το ηλεκτρικό πεδίο είνι συντηρητικό πεδίο κι επομένως σε κάθε σημείο του κυκλώμτος ντιστοιχεί κριώς μί τιμή του δυνμικού. Πράδειγμ 2.2 εφρμογής του κνόν των R1 ρόχων: Στο κύκλωμ του σχ. 2.3, ξεκινάμε πό την κάτω ριστερή γωνί κι κολουθώντς τη φορά DC υa υ1 DC υb υ2 R2 του ρεύμτος θροίζουμε τις τάσεις. υ a υ 1 υ b υ 2 υ 3 = 0 υ a R 1 υ b R 2 R 3 = 0 υ a υ b = (R 1 R 2 R 3 ) υ3 R3 Σχ Η στρτηγική εφρμογής των κνόνων του Krchhoff. 1. Χρκτηρίστε με σύμολ όλες τις ποσότητες γνωστές κι άγνωστες κι σημειώστε μί φορά που θ επιλέξετε γι κάθε άγνωστο ρεύμ κι μί πολικότητ γι κάθε τάση. Συχνά δεν γνωρίζουμε εκ των προτέρων την πργμτική φορά ενός γνώστου ρεύμτος ή την πολικότητ μις άγνωστης τάσης, λλά υτό δεν έχει σημσί στο πρόν στάδιο. Βρείτε τη λύση χρησιμοποιώντς υθίρετες φορές. Αν η πργμτική φορά είνι ντίθετη πό υτή που χρησιμοποιήστε, το ποτέλεσμ που θ προκύψει θ έχει ρνητικό πρόσημο. Αν χρησιμοποιηθούν σωστά οι κνόνες του Korchhoff, υτοί θ σς δώσουν τόσο τις φορές όσο κι τ μέτρ των ρευμάτων κι των τάσεων. 2. Σε κάθε κόμο εξισώστε τ εισερχόμεν ρεύμτ με τ εξερχόμεν. 3. Επιλέξτε ένν κλειστό ρόχο σημειώστε μί φορά κίνησης κτά μήκος του ρόχου (δεξιόστροφη ή ριστερόστροφη) γι την εφρμογή του κνόν των ρόχων. Η φορά δεν είνι νγκίο ν συμπίπτει με τη φορά οποιουδήποτε ρεύμτος. 4. Ξεκινήστε πό ένν κόμο του ρόχου κι κινηθείτε κτά μήκος του με τη φορά που έχετε επιλέξει. Αθροίζετε τις πτώσεις τάσης κτά μήκος του ρόχου. Μί πηγή τάσης λμάνετι ως θετική ν την διτρέχετε πό το προς το κι ρνητική ν την διτρέχετε πό το στο, ενώ η πτώση τάσης σε μί ντίστση είνι θετική ν η φορά του ρεύμτος έχει ληφθεί ντίθετη προς τη φορά της κίνηση κι ρνητική ν η φορά του ρεύμτος συμπίπτει με τη φορά της κίνησης στον ρόχο. 16
5 5. Ότν φτάσετε στον κόμο εκκίνησης, εξισώνετε το λγερικό άθροισμ των τάσεων με μηδέν. 6. Αν είνι νγκίο, επιλέξτε ένν άλλο ρόχο γι ν κτλήξετε σε μι διφορετική εξίσωση κι συνεχίστε μέχρι ν σχημτιστούν τόσες νεξάρτητες εξισώσεις όσοι είνι κι οι άγνωστοι του προλήμτος. 7. Λύνετε το σύστημ. 8. Μπορείτε ν τηρήσετε την ίδι υτή διδικσί γι ν υπολογίσετε το δυνμικό V ab ενός σημείου a ως προς έν σημείο b. Αρχίστε πό το b κι προσθέτετε τις μετολές δυνμικού που συνντάτε πηγίνοντς προς το a, χρησιμοποιώντς τους ίδιους κνόνες προσήμων όπως στο ήμ 4. Το λγερικό άθροισμ υτών των μετολών είνι V ab =V a -V b. Πράδειγμ 2.3: Στο κύκλωμ του σχήμτος ν υπολογιστούν οι τιμές των ρευμάτων που διρρέουν τις ντιστάσεις. Επιλέγουμε υθίρετ τις φορές των ρευμάτων κι τη φορά κίνησης στους ρόχους. Γράφουμε την εξίσωση των ρευμάτων στον κόμο Α: 1 = 2 3 Κι στον κόμο Β: 4 = 3 20Α Από τον ρόχο (1) έχουμε (ξεκινώντς πό τον κόμο Α): 2 R 2 200V 1 R 1 = 0 (2) A B 2 3 (1) 4 1 Κι πό τον ρόχο (2) (ξεκινώντς πό τον κόμο Α): 3 R 3 4 R 4 1 R 1 = 0 Επομένως έχουμε έν γρμμικό σύστημ 4 εξισώσεων με 4 γνώστους κι επομένως μπορούμε ν υπολογίσουμε ζητούμεν τ ρεύμτ. Προσοχή: Αν χρησιμοποιήσουμε την εξίσωση του τρίτου κόμου ή του τρίτου ρόχου θ κτλήξουμε σε ισοδύνμες με τις πρπάνω εξισώσεις κι επομένως δεν θ πάρουμε κμί πρόσθετη πληροφορί. Πρτήρηση: Γι ν επιλύσουμε έν σύνθετο κύκλωμ με εφρμογή των κνόνων του Krchhoff, κτλήγουμε σε έν σύστημ Ν εξισώσεων πό τις οποίες μπορούμε ν υπολογίσουμε Ν γνώστους του κυκλώμτος (ντιστάσεις, τάσεις, ρεύμτ). Επομένως, το πρόλημ νάγετι στην επίλυση ενός γρμμικού συστήμτος Ν εξισώσεων με Ν γνώστους. Το πρόλημ υτό έχει εν γένει λύση λλά συνεπάγετι 17
6 μεγάλο ριθμό πράξεων. Γι ν μειώσουμε υτές τις πράξεις, χρησιμοποιούμε μί σειρά πό κνόνες, ρχές κι θεωρήμτ τ οποί έχουν σν σκοπό την πλοποίηση των κυκλωμάτων κι τη διευκόλυνση των πράξεων επίλυσής τους. Στις επόμενες πργράφους νλύοντι διάφοροι τρόποι πλοποίησης των γρμμικών κυκλωμάτων. 18
7 2.3. Κυκλωμτικά στοιχεί συνδεδεμέν σε σειρά. Πθητικά στοιχεί συνδεδεμέν σε σειρά, όπως στο σχ. 2.4, διρρέοντι πό το ίδιο ρεύμ ενώ η ολική τάση στ άκρ τους ισούτι με το άθροισμ των πτώσεων τάσης σε κθέν πό υτά. υ 1 υ υ 2 υ 3 Σχ Τρί πθητικά στοιχεί συνδεδεμέν σε σειρά Αν τ στοιχεί είνι ντιστάσεις, υ = R 1 R 2 R 3 = (R 1 R 2 R 3 ) = R eq όπου μί ισοδύνμη ντίστση R eq ντικθιστά τις τρεις ντιστάσεις σε σειρά. Η ίδι σχέση μετξύ των κι υ εξκολουθεί ν ισχύει. Γι οποιοδήποτε ριθμό ντιστάσεων σε σειρά ισχύει: R eq = R 1 R 2 (2.3) Αν τ τρί πθητικά στοιχεί είνι πηνί, d υ = L 1 dt L d 2 dt L d 3 dt = (L 1 L 2 L 3 ) d dt = L d eq dt Εν γένει μπορούμε ν γράψουμε γι οποιοδήποτε ριθμό πηνίων σε σειρά: L eq = L 1 L 2 (2.4) Αν τ κυκλωμτικά στοιχεί είνι πυκνωτές, υποθέτοντς μηδενικό ρχικό φορτίο, ώστε οι στθερές ολοκλήρωσης ν είνι μηδέν, υ = 1 dt 1 dt 1 dt = dt = 1 dt C 1 C 2 C 3 C 1 C 2 C 3 C eq Η ισοδύνμη χωρητικότητ πυκνωτών συνδεδεμένων σε σειρά δίνετι πό την: 1 C eq = 1 C 1 1 C 2 (2.5) 19
8 2.4. Κυκλωμτικά στοιχεί συνδεδεμέν πράλληλ. Γι τρί κυκλωμτικά στοιχεί που συνδέοντι πράλληλ, όπως στο σχ. 2.5, σύμφων με τον κνόν των ρευμάτων του Krchhoff, το ρεύμ που εισέρχετι στον κόμο ισούτι με το άθροισμ των ρευμάτων που εξέρχοντι πό τον κόμο προς τους κλάδους υ Σχ Τρί πθητικά στοιχεί συνδεδεμέν πράλληλ = Αν τ τρί πθητικά στοιχεί είνι ντιστάσεις: = υ R 1 υ R 2 υ R 3 = 1 R 1 1 R 2 1 R 3 υ = 1 R eq υ Γι οποιοδήποτε ριθμό ντιστάσεων συνδεδεμένων πράλληλ, 1 R eq = 1 R 1 1 R 2 (2.6) Σημ: Γι n όμοιες ντιστάσεις συνδεδεμένες πράλληλ έχουμε, R eq = R n Γι πράλληλο συνδυσμό πηνίων ποδεικνύετι ομοίως ότι: 1 L eq = 1 L 1 1 L 2 (2.7) Ενώ γι πράλληλο συνδυσμό πυκνωτών ποδεικνύετι ότι: C eq = C 1 C 2 (2.8) 20
9 2.5. Διιρέτες τάσης. Έν σύνολο πό ντιστάσεις σε σειρά, όπως στο σχ. 2.6, νφέρετι κι ως διιρέτης τάσης. Η ιδέ υτή επεκτείνετι κι πέρ πό τις δύο ντιστάσεις κθώς κι πέρ πό τις ωμικές ντιστάσεις. Επειδή υ 1 = R 1 κι υ = (R 1 R 2 ), έπετι ότι: υ ντιστάσεων. R 1 R 2 υ 1 Σχ Διιρέτης τάσης. R 1 υ 1 = υ (2.9) R 1 R 2 Σε έν διιρέτη τάσης, η τάση στ άκρ μις ντίστσης ισούτι με κλάσμ της ολικής τάσης, στον ριθμητή του οποίου υπάρχει η ντίστση υτή κι στον προνομστή το άθροισμ όλων των 21
10 2.6. Διιρέτες ρεύμτος. Ο πράλληλος συνδυσμός ντιστάσεων, όπως στο σχ. 2.7, ποτελεί ένν διιρέτη ρεύμτος. υ R 1 R 2 Σχ Διιρέτης ρεύμτος. 1 Επειδή = υ R 1 υ R 2 κι 1 = υ R 1 έπετι ότι: R 2 1 = (2.10) R 1 R 2 Σε έν διιρέτη ρεύμτος το ρεύμ ενός κλάδου ισούτι με κλάσμ του ολικού ρεύμτος, στον ριθμητή του οποίου υπάρχει η ντίστση του άλλου κλάδου κι στον προνομστή το άθροισμ των ντιστάσεων των δύο κλάδων. Πράδειγμ 2.4: Ν υπολογιστεί η τιμή του ρεύμτος ν η τάση υ κι οι ντιστάσεις R 1, R 2, R 3 κι R 4 είνι γνωστά. R 4 R 2 R 3 1 R1 2 υdc Σχ. 2.8 Α Τρόπος. Εφρμόζουμε τους κνόνες του Krchhoff. Κόμος = ος Βρόχος 2 (R 2 R 3 ) 1 R 1 = 0 2 ος Βρόχος υ = R 4 1 R 1 Λύνοντς το σύστημ των τριών εξισώσεων μπορούμε ν υπολογίσουμε το λλά κι τ 1 κι 2 (Άσκηση). Β Τρόπος. Αντικθιστούμε διδοχικά τις ντιστάσεις πό τον ισοδύνμο συνδυσμό τους σε σειρά ή πράλληλ κτά περίπτωση. Το κύκλωμ του σχ. 2.8 μετσχημτίζετι διδοχικά στ ισοδύνμ κυκλώμτ του σχ. 2.9 (), () κι (γ). R4 R4 υdc 1 R1 2 R2R3 υdc R1 //(R2R3) υdc Rολ = R4R1//(R2R3) () () (γ) Σχ Μετσχημτισμοί του κυκλώμτος του σχ Από το σχ. 2.9 (γ) πίρνουμε το ρεύμ: = υ R ολ 22
11 Επίσης πό τον διιρέτη ρεύμτος του σχ. 2.9 () έχουμε: 1 = R 2R 3 R 1 R 2 R 3 κι 2 = R 1 R 1 R 2 R 3. Πρτηρούμε ότι ο Β τρόπος πλουστεύει κτά πολύ τις πράξεις. 23
12 2.7. Αρχή της Επλληλίς ή Υπέρθεσης. Σε έν γρμμικό δικτύωμ που περιέχει δύο ή περισσότερες νεξάρτητες πηγές τ ρεύμτ κι οι τάσεις στις διάφορες συνιστώσες του μπορούν ν υπολογιστούν σν το λγερικό άθροισμ των τιμών που προκύπτουν λμάνοντς υπόψη μί πηγή κάθε φορά. Όλες οι άλλες πηγές τάσης ντικθίστντι πό ρχυκύκλωμ ενώ οι πηγές ρεύμτος πό νοιχτοκύκλωμ. Η ρχή υτή προκύπτει πό τη γρμμική σχέση μετξύ τάσης κι ρεύμτος. Πράδειγμ 2.5: Ν υπολογιστεί το ρεύμ στην ντίστση των 23Ω του σχ. 2.10(a). Σχ Εφρμογή της ρχής της επλληλίς. Στο σχ. 2.10(b) η πηγή ρεύμτος ντικθίσττι πό νοιχτοκύκλωμ. Η ολική ντίστση που λέπει η πηγή τάσης είνι: R ολ = 47Ω 27(423) Ω = 60,5Ω Το ολικό ρεύμ που πρέχει η πηγή είνι: Ι Τ = 200V = 3,31A 60,5Ω Από τον διιρέτη ρεύμτος: Ι 23 = 27 3,31Α = 1,65Α Στο σχ. 2.10(c) η πηγή τάσης ντικθίσττι πό ρχυκύκλωμ. Η ολική ντίστση στον κλάδο ριστερά της πηγής ρεύμτος είνι: R ολ Από τον διιρέτη ρεύμτος έχουμε: Ι 23 = 21,15 20Α = 9,58Α 21,1523 Το ολικό ρεύμ στην ντίστση 23Ω θ είνι: Ι 23 = Ι 23 = 4Ω Ω = 21,15Ω 2747 Ι 23 = 1,65Α 9,58Α = 11,23Α 24
13 2.8. Θεωρήμτ Thevenn κι Norton. Αποδεικνύετι ότι κόμη κι το πιο πολύπλοκο γρμμικό κύκλωμ δύο κροδεκτών (μονόθυρο), που είνι δυντόν ν περιλμάνει μεγάλο ριθμό ντιστάσεων, πηγών τάσης κι πηγών ρεύμτος, μπορεί ν ντικτστθεί πό έν ισοδύνμο κύκλωμ που ποτελείτι μόνο πό μί πηγή τάσης ή μί πηγή ρεύμτος κι μί ντίστση. Με υτό τον τρόπο μπορούμε εύκολ ν μελετήσουμε τη συμπεριφορά του δικτυώμτος γι διάφορους φόρτους Το θεώρημ Thevenn. Οποιοδήποτε γρμμικό μονόθυρο δικτύωμ μπορεί ν ντικτστθεί πό έν ισοδύνμο κύκλωμ που ποτελείτι πό μί ιδνική πηγή τάσης V Τ σε σειρά με μί ντίστση R T (σχ. 2.11). R T Γρμμικό Δικτύωμ Φόρτος V T Φόρτος (a) (b) Σχ Το ισοδύνμο κτά Thevenn (b) του γρμμικού μονόθυρου δικτυώμτος (a). Η τάση V T ισούτι με την τάση νοιχτού κυκλώμτος (φού πομκρυνθεί ο φόρτος) μετξύ των κροδεκτών κι του μονόθυρου δικτυώμτος. Η ντίστση R T ισούτι με την ντίστση μετξύ των κροδεκτών του δικτυώμτος ότν όλες οι εσωτερικές πηγές τάσης ντικτστθούν πό ρχυκυκλώμτ κι όλες οι πηγές ρεύμτος πό νοιχτοκυκλώμτ. Πράδειγμ 2.6: Το γρμμικό δικτύωμ του σχ (a) μπορεί ν ντικτστθεί πό το ισοδύνμο κύκλωμ κτά Thevenn του σχ (b). R 1 R 3 R T υ s DC R2 V T (a) Σχ Το ισοδύνμο κτά Thevenn (b) του γρμμικού μονόθυρου δικτυώμτος (a). Όπου: R T = R 1R 2 R 1 R 2 R 3 κι V T = υ,open = R 2 R 1 R 2 υ s (b) 25
14 Το θεώρημ Norton. Οποιοδήποτε γρμμικό μονόθυρο δικτύωμ μπορεί ν ντικτστθεί πό έν ισοδύνμο κύκλωμ που ποτελείτι πό μί πηγή ρεύμτος I N κι μί ντίστση R N συνδεδεμένη πράλληλ. Γρμμικό Δικτύωμ Φόρτος I N R N Φόρτος (a) (b) Σχ Το ισοδύνμο κτά Norton (b) του γρμμικού μονόθυρου δικτυώμτος (a). Το ρεύμ I N ισούτι με το ρεύμ ρχυκύκλωσης των κροδεκτών του μονόθυρου δικτυώμτος, ενώ η R N υπολογίζετι κριών όπως η R T. Πράδειγμ 2.7: Το γρμμικό δικτύωμ του σχ (a) μπορεί ν ντικτστθεί πό το ισοδύνμο κύκλωμ κτά Norton του σχ (b). R 1 R 3 R 2 I N υ s DC R N Όπου: Ι Ν = (a) Σχ Το ισοδύνμο κτά Norton (b) του γρμμικού μονόθυρου δικτυώμτος (a). R 2 R 1 R 2 R 1 R 3 R 2 R 3 υ s κι R N = R 1R 2 R 1 R 2 R 3 (b) Δυδικότητ Από το σχ (b) είνι προφνές ότι η V T πρέπει ν είνι η τάση του κτά Thevenn ισοδύνμου κυκλώμτος. Αν ρχυκυκλώσουμε τους κροδέκτες, όπως υποδεικνύει η δικεκομμένη γρμμή στο σχ (a), θ πάρουμε κάποιο ρεύμ. Από το σχ (c) είνι προφνές ότι υτό είνι το ρεύμ I N του ισοδύνμου κτά Norton. 26
15 R Γρμμικό Δικτύωμ V T I N R Τώρ, ν τ κυκλώμτ (b) κι (c) είνι ισοδύνμ του ίδιου δικτυώμτος, θ είνι κι ισοδύνμ μετξύ τους. Έπετι ότι Ι Ν = V T R. Αν κι το V T κι το I N έχουν μετρηθεί στο ίδιο δίθυρο δικτύωμ τότε η εσωτερική του ντίστση υπολογίζετι πό το σχέση: R = V T I N. (a) (b) Σχ Ισοδυνμί Thevenn-Norton (c) Πργμτικές πηγές τάσης κι ρεύμτος. Μί πηγή ηλεκτρικής ενέργεις (μπτρί, τροφοδοτικό, γεννήτρι) μπορεί ν θεωρηθεί σν έν μονόθυρο δικτύωμ, οι κροδέκτες του οποίου τυτίζοντι με υτούς της συσκευής, ενώ το κύκλωμ που τροφοδοτείτι ποτελεί τον φόρτο (σχ. 2.16). Μπορούμε ν πρστήσουμε μι τέτοι πηγή είτε με το ισοδύνμό της κτά Thevenn είτε με το ισοδύνμό της κτά Norton. Πρτηρούμε δηλδή ότι μί πηγή μπορεί ν πρστθεί είτε σν πηγή τάσης είτε σν πηγή ρεύμτος συνοδευόμενη πό την εσωτερική της ντίστση. R T I L Πηγή V T υ L - I N R N () Σχ Αντιστοιχί πηγής τάσης - πηγής ρεύμτος. Αν θέλουμε ν χρησιμοποιήσουμε μι τέτοι πηγή γι ν οδηγήσουμε με στθερή τάση ένν μετλητό φόρτο, θ έχουμε πό το ισοδύνμο κτά Thevenn (σχ. 2.16): υ L = V RR T (2.11) L όπου R=R T =R N η εσωτερική ντίστση της πηγής, V T η πολική τάση της πηγής κι υ L η τάση κλειστού κυκλώμτος. Πρτηρούμε ότι η τάση στο φόρτο εξρτάτι πό την ντίστση του φόρτου κι μόνον ν R<<, μπορούμε ν πούμε ότι υ L V T. Τότε λέμε ότι η τάση είνι περίπου νεξάρτητη του φόρτου κι η πηγή συμπεριφέρετι σν ιδνική πηγή τάσης. () (γ) 27
16 Αντίστοιχ, ν θέλουμε ν οδηγήσουμε ένν φόρτο με στθερό ρεύμ, θ έχουμε πό το ισοδύνμο κτά Norton της πηγής (σχ. 2.15γ): I L = R R I N (2.12) Πρτηρούμε ότι το ρεύμ Ι L στον φόρτο εξρτάτι πό την ντίστση φόρτου κι μόνον ν R>> μπορούμε ν πούμε ότι I L I N. Τότε, λέμε ότι το ρεύμ είνι περίπου νεξάρτητη του φόρτου κι η πηγή συμπεριφέρετι σν ιδνική πηγή ρεύμτος. Από τ πρπάνω γίνετι κτνοητό ότι η ίδι πηγή μπορεί ν συμπεριφερθεί είτε σν πηγή τάσης είτε σν πηγή ρεύμτος, νάλογ με τη σχέση που υπάρχει νάμεσ στην ντίστση φόρτου κι την εσωτερική ντίστση της πηγής Θεώρημ μέγιστης μετφοράς ισχύος. Στην πράξη, σε πολλές περιπτώσεις επιθυμούμε ν μετφέρουμε ισχύ πό μί πηγή ή έν κύκλωμ σε ένν φόρτο. Υπάρχουν εφρμογές, όπως π.χ. στις τηλεπικοινωνίες, όπου επιθυμούμε υτή η μετφορά ισχύος ν είνι μέγιστη. Αποδεικνύετι ότι: Μέγιστη ισχύς μετφέρετι πό μι πηγή σε ένν φόρτο ότν η ντίστση του φόρτου ισούτι με την ντίστση Thevenn (ή εσωτερική ντίστση) της πηγής ( =R T ). R T I L Πηγή V T Απόδειξη: Έστω ότι έχουμε μί πηγή που οδηγεί ένν φόρτο (σχ. 2.17). Αν πάρουμε το ισοδύνμο κτά Thevenn της πηγής (σχ. 2.17), μπορούμε ν γράψουμε την ισχύ που ποδίδετι στον φόρτο: P L = 2 L = ( ) 2 R R T L Γι ν υπολογίσουμε τις συνθήκες μεγιστοποίησης της P L, θ την πργωγίσουμε ως προς την κι θ μηδενίσουμε την πράγωγο. dp L = V 2 dr T (R T ) 2 2 (R T ) L (R T ) 4 = 0 Από όπου προκύπτει: = R T () Σχ Μετφορά ισχύος πό την πηγή στον φόρτο. Η μέγιστη ισχύς που ποδίδετι τότε στο φόρτο είνι: P Lmax = V T 2 (2.13) 4R T V T () 28
17 Ασκήσεις: Από το ιλίο σκήσεις: 2.33, 2.34, 2.35, 2.50, 2.51, 2.52, 2.53, 2.57, Υπολογίστε τ ρεύμτ σε όλους τους κλάδους του κυκλώμτος: ) χρησιμοποιώντς μόνον τους κνόνες του Krchhoff κι ) χρησιμοποιώντς το θεώρημ της επλληλίς. Σε ποι περίπτωση χρειστήκτε λιγότερες πράξεις; R 1 =5Ω R 2=15Ω R 3 =5Ω V A=110V V B=190V R 4 =20Ω 2.2. Υπολογίστε το ισοδύνμο κτά Thevenn κι το ισοδύνμο κτά Norton του κυκλώμτος. V DC R1 I R2 29
Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων
Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλιο 5: Θεωρήμτ κυκλωμάτων Οι διφάνειες κολουθούν το ιλίο του Κων/νου Ππδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISN: 9789609371100 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ: 50657177 5 Θεωρήμτ κυκλωμάτων
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων
Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλιο 12: Ανάλυση κυκλωμάτων ημιτονοειδούς διέγερσης Οι διφάνειες κολουθούν το ιλίο του Κων/νου Ππδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 9789609371100 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ:
Διαβάστε περισσότερα5 Θεωρήματα κυκλωμάτων 5.3 Θεωρήματα Thevenin και Norton
Έχουμε δει ότι η χρήση ισοδύνμων κυκλωμάτων σε πολλές περιπτώσεις πλοποιεί την νάλυση ενός κυκλώμτος: Αντιστάσεις συνδεδεμένες με ειδικό τρόπο (σειρά, πράλληλ, σε στέρ ή τρίγωνο) μπορούν ν ντικτστθούν
Διαβάστε περισσότεραΕργαστήριο Κυκλωμάτων και Συστημάτων Ενότητα 2: Γραμμικά δικτυώματα.
Εργαστήριο Κυκλωμάτων και Συστημάτων Ενότητα 2: Γραμμικά δικτυώματα. Αραπογιάννη Αγγελική Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Περιεχόμενα 1. Σκοποί ενότητας... 3 2. Περιεχόμενα ενότητας... 3 3. Γραμμικά
Διαβάστε περισσότερα2.1 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ
ΜΕΡΟΣ Α. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ 7. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ Ονομάζουμε τετργωνική ρίζ ενός θετικού ριθμού τον θετικό ριθμό (ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: ) που ότν υψωθεί στο τετράγωνο μς δίνει
Διαβάστε περισσότεραΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ
ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ Το ορισμένο ολοκλήρωμ ή ολοκλήρωμ Riema μις πργμτικής συνάρτησης f με διάστημ ολοκλήρωσης το πεπερσμένο διάστημ [, ], υπάρχει ότν: η f είνι συνεχής στο διάστημ υτό, κθώς
Διαβάστε περισσότεραΓΕΦΥΡΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΓΕΦΥΡΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στη µέτρηση της ωµικής λλά κι της σύνθετης ντίστσης µε υψηλή κρίβει χρησιµοποιούντι οι γέφυρες µέτρησης. Γι τη µέτρηση της ωµικής ντίστσης η πηγή τροφοδοσίς της γέφυρς
Διαβάστε περισσότεραf(x) dx ή f(x) dx f(x) dx
ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Ορισμός. Αν η f είνι ολοκληρώσιμη στο διάστημ [ a, ) ή στο διάστημ (,], τότε ονομάζουμε γενικευμένο ολοκλήρωμ είδους το ολοκλήρωμ της μορφής f() d ή - f() d Ορισμός. Το σημείο
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΝΟΤΗΤΑ Ι 63
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΝΟΤΗΤΑ Ι 6 ΑΣΚΗΣΗ. ύο σφίρες φορτίου q κι µάζς m g, κρέµοντι πό το ίδιο σηµείο µε νήµτ µήκους 40cm. Αν οι σφίρες ισορροπούν ότν τ νήµτ σχηµτίζουν γωνί φ 60 ο, ν ρεθεί το φορτίο q. ίνοντι g 0m/s
Διαβάστε περισσότερα3. Μέθοδος Ρεύματος Απλών Κόμβων 4. Κυκλώματα με Ελεγχόμενες Πηγές 5. Αρχή της Υπέρθεσης
ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ Πνεπιστήμιο Ιωννίνων ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΚΤΥΟΥ Ι ο Κεφάλιο Γ. Τσιτούχς Τμήμ Μηχνικών Η/Υ κι Πληροφορικής Διάρθρωση. Ανάλση Δικτύο. Μέθοδος Κομβικών Τάσεων. Μέθοδος Ρεύμτος Απλών Κόμβων 4.
Διαβάστε περισσότεραΚ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ
Ε π ι μ έ λ ε ι Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μι συνάρτηση ορισμένη σε έν διάστημ Δ. Αρχική συνάρτηση ή πράγουσ της f στο Δ ονομάζετι κάθε συνάρτηση F που είνι πργωγίσιμη στο
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3. Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Πράγουσ συνάρτηση ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω f μι συνάρτηση ορισμένη σε έν διάστημ.
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F( = (d [Kεφ:.5 H Συνάρτηση F( = (d Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. lim e d. Ν υπολογίσετε το όριο: ( Έχουμε ( e d
Διαβάστε περισσότεραΙόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής. Μαθηματικός Λογισμός. Ενότητα: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ.
Ιόνιο Πνεπιστήμιο - Τμήμ Πληροορικής Μθημτικός Λογισμός Ενότητ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Πνγιώτης Βλάμος Αδειες Χρήσης Το πρόν εκπιδευτικό υλικό υπόκειτι σε άδειες χρήσης Cativ Commo
Διαβάστε περισσότεραΤα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto.
1 Τ πρκάτω είνι τ κυριότερ θεωρήμτ κι ορισμοί πό το σχολικό βιβλίο κολουθούμεν πό δικά μς σχόλι. 1 ο ΠΡΩΤΟ 2 Συνρτήσεις Γνησίως μονότονη συνάρτηση Μι γνησίως ύξουσ ή γνησίως φθίνουσ συνάρτηση λέμε ότι
Διαβάστε περισσότεραΘεωρήματα, Προτάσεις, Εφαρμογές
Θεωρήμτ, Προτάσεις, Εφρμογές Μιγδικοί Ιδιότητες συζυγών: Αν z i κι z γ δi είνι δυο μιγδικοί ριθμοί, τότε: Μέτρο: z z z z z z z z 3 z z z z 4 z z z z Αν z, z είνι μιγδικοί ριθμοί, τότε z z z z z z z z 3
Διαβάστε περισσότεραΕ π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ
Ε π ι μ έ λ ε ι Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Κεφάλιο ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ο Ρ Ι Σ Μ Ο Σ Τι ονομάζετι ορισμένο ολοκλήρωμ μις συνεχούς συνάρτησης f: [, ] πό το έως κι το κι πώς συμολίζετι ; Αν F είνι πράγουσ
Διαβάστε περισσότερα2.1 Πολυώνυμα. 1 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βασικές έννοιες του πολυωνύμου. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του x i.
. Πολυώνυμ η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βσικές έννοιες του πολυωνύμου. Ποιες πό τις πρκάτω πρστάσεις είνι πολυώνυμ του i. ii. iii. iv. v. vi. 5 Σύμφων με τον ορισμό πολυώνυμ του είνι οι πρστάσεις i,
Διαβάστε περισσότεραΠροτεινόµενες Ασκήσεις στα Στοιχεία δύο Ακροδεκτών
Προτεινόµενες Ασκήσεις στ Στοιχεί δύο Ακροδεκτών πό το βιβλίο «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωµάτων», Ν. Μάργρη Πρόβληµ. Σ' έν πηνίο µε υτεπγωγή =5H το ρεύµ έχει τη µορφή του Σχ.. Σχεδιάστε την τάση στ άκρ του
Διαβάστε περισσότεραΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5)
θ) (5 + ) + 5 = (...).(...) ι) + (5 ) 5 = (...).(...) (Μονάδες 7) Θέμ ο ) Ν πργοντοποιήσετε την πράστση 5 0 (Μονάδες ) β) Ν λύσετε την εξίσωση 7 = (0 + ) (Μονάδες,5) Θέμ ο Ν πργοντοποιήσετε τις πρστάσεις
Διαβάστε περισσότεραΣχήµα 1. ιατάξεις πρισµάτων που προσοµοιώνουν τη λειτουργία των φακών. (α) Συγκλίνων. (β) Αποκλίνων
Ο3 Γενικά περί φκών. Γενικά Φκός ονοµάζετι κάθε οµογενές, ισότροπο κι διφνές οπτικό µέσο που διµορφώνετι πό δυο σφιρικές επιφάνειες (ή πό µι σφιρική κι µι επίπεδη). Βσική () () Σχήµ. ιτάξεις πρισµάτων
Διαβάστε περισσότεραΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 13 Ε_3.ΦλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνί: Κυρική 8 Απριλίου 13 ιάρκει Εξέτσης: ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ηµιτελείς προτάσεις Α1 Α4
Διαβάστε περισσότερα( ) = ( ) για κάθε. Θέμα Δ. x 2. Δίνονται οι συναρτήσεις f x
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ Διγώνισμ Θέμ Α Α Ν ποδειχθεί ότι η συνάρτηση f = ln,, είνι πργωγίσιμη στο κι ισχύει f = Μονάδες 7 Α Πότε μί συνάρτηση f λέμε ότι είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της; Α Πότε
Διαβάστε περισσότεραΠραγματικοί αριθμοί Οι πράξεις & οι ιδιότητες τους
0 Πργμτικοί ριθμοί Οι πράξεις & οι ιιότητες τους Βρέντζου Τίν Φυσικός Μετπτυχικός τίτλος ΜEd: «Σπουές στην εκπίευση» 0 1 Πργμτικοί ριθμοί : Αποτελούντι πό τους ρητούς ριθμούς κι τους άρρητους ριθμούς.
Διαβάστε περισσότεραΜέρος Α - Kεφάλαιο 7ο - Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί Α.7.8. Δυνάμεις ρητών αριθμών με εκθέτη φυσικό
Μέρος Α - Kεφάλιο 7ο - Θετικοί κι Αρνητικοί Αριθμοί - 37 - Α.7.8. Δυνάμεις ρητών ριθμών με εκθέτη φυσικό ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ Ένς υπολογιστής μολύνθηκε πό κάποιο ιό, ο οποίος είχε την ιδιότητ ν κτστρέφει τ ηλεκτρονικά
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΚΕΝΤΡΙΚΟ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ
Φ4 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΛΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΥ ΚΕΝΤΡΙΚ 3ο ΓΕΝΙΚ ΛΥΚΕΙ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΣΩΣΤ-ΛΑΘΣ ΠΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΓΗΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗΣ ΚΕΝΥ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α &
Διαβάστε περισσότεραΗ έννοια της συνάρτησης
Η έννοι της συνάρτησης Τι ονομάζουμε πργμτική συνάρτηση; Έστω Α έν υποσύνολο του R Ονομάζουμε πργμτική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μι διδικσί (κνόν), με την οποί κάθε στοιχείο A ντιστοιχίζετι σε έν
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ)
ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΘΕΩΡΙΑ & ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ) ε (ρχή) φορές (πέρς) 1. Τι ορίζετι ως διάνυσµ ; Το διάνυσµ ορίζετι ως έν προσντολισµένο
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΟ 1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΟ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Μονώ νυμ - Πολυώ νυμ Λέμε λγερική πράστση κάθε πράστση που περιέχει μετλητές. π.χ., +, 5, ( + ), +. Λέμε ριθμητική τιμή ( ή πλά τιμή )
Διαβάστε περισσότεραΗ θεωρία στα μαθηματικά της
Η θεωρί στ μθημτικά της Γ γυμνσίου ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ((ΑΛΓΕΒΡΑ)) ο ΚΕΦΑΛΑΙΙΟ 1 Αλγγεεριικέέςς Πρσττάσεειιςς Α. 1. 1 1. Τι ονομάζετε δύνμη ν με άση τον πργμτικό κι εκθέτη το φυσικό
Διαβάστε περισσότεραΔηλαδή, α ν = α α α α ν παράγοντες. Για δυνάμεις, με εκθέτες γενικά ακέραιους αριθμούς, ισχύουν οι επόμενες ιδιότητες. μ+ν. μ ν. α = μ ν. ν ν.
367 ΡΩΤΗΣΙΣ ΘΩΡΙΣ ΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ! ΤΞΗΣ 368 ΡΩΤΗΣΙΙΣ ΘΩΡΙΙΣ ΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ!! ΤΞΗΣ 1. Τι ονομάζετε δύνμη ν ; Ονομάζετι δύνμη ν με άση τον ριθμό κι εκθέτη το φυσικό ν > 1, το γινόμενο πό ν πράγοντες ίσους
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002
ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Στις ερωτήσεις -4 ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθµό της ερώτησης κι δίπλ σε κάθε ριθµό το γράµµ που ντιστοιχεί
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Αυτομάτου Ελέγχου II
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώττο Εκπιδευτικό Ίδρυμ Πειριά Τεχνολογικού Τομέ Συστήμτ Αυτομάτου Ελέγχου II Ενότητ #3: Ευστάθει Συστημάτων - Αλγεβρικό Κριτήριο Routh Δημήτριος Δημογιννόπουλος Τμήμ Μηχνικών Αυτομτισμού
Διαβάστε περισσότερα, οπότε α γ. y x. y y άξονες. τα σημεία της υπερβολής C βρίσκονται έξω από την ταινία των ευθειών x α
YΠΡΒΛΗ ρισμός: Υπερολή με εστίες κι λέγετι ο γεωμ. τόπος των σημείων του επιπέδου των οποίων η πόλυτη τιμή της διφοράς των ποστάσεων πό τ κι είνι στθερή κι μικρότερη του Έ. Τη στθερή υτή διφορά τη συμολίζουμε
Διαβάστε περισσότεραΜαθηµατικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµατα Θεωρίας
Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ. N ποδείξετε ότι οι γρφικές πρστάσεις C κι C των συνρτήσεων κι - είνι συµµετρικές ως προς την ευθεί y που διχοτοµεί τις γωνίες Oy κι Oy Aς πάρουµε µι
Διαβάστε περισσότεραΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ στο ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ στο ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ Ι. Σε κθεμιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις ν κυκλώσετε το γράμμ Α, ν ο ισχυρισμός είνι ληθής κι το γράμμ Ψ, ν ο ισχυρισμός είνι ψευδής δικιολογώντς συγχρόνως την
Διαβάστε περισσότεραΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ
ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Μς ζητούν ν βρούμε την εξίσωση ενός κύκλου Ν βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο: Κ (3, 3) κι τέμνει πό την ευθεί
Διαβάστε περισσότεραΤάξη Β Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Ερωτήσεις Θεωρίας και απαντήσεις από το σχολικό βιβλίο Καθηγητής: Ν.Σ. Μαυρογιάννης
Τάξη Β Θετική κι Τεχνολογική Κτεύθυνση Ερωτήσεις Θεωρίς κι πντήσεις πό το σχολικό ιλίο Κθηγητής: ΝΣ Μυρογιάννης Πότε δύο µη µηδενικά δινύσµτ AB κι Γ λέγοντι πράλληλ ή συγγρµµικά; Απάντηση: Ότν έχουν τον
Διαβάστε περισσότεραΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΙΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΖΗΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΤΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΥΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΚΑΙ ΕΙΣΟ ΗΜΑΤΟΣ
ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΚΕ ΟΝΙΣ ΤΜΗΜ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΘΗΗΤΗΣ ΚΩΣΤΣ ΕΛΕΝΤΖΣ ΣΧΕΤΙΚ ΜΕ ΤΙΣ ΚΜΠΥΛΕΣ ΖΗΤΗΣΗΣ ΚΙ Τ ΠΟΤΕΛΕΣΜΤ ΥΠΟΚΤΣΤΣΗΣ ΚΙ ΕΙΣΟ ΗΜΤΟΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ η: Συνρτήσεις ζήτησης κτά arshall Υπόθεση: Το χρηµτικό
Διαβάστε περισσότερα3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΘΕΩΡΙΑ
ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Ποι είνι η εξίσωση του κύκλου με κέντρο το (0,0); ρ (0,0) M(,) C Έστω έν σύστημ συντετγμένων στο επίπεδο κι C ο κύκλος με κέντρο το σημείο (0,0) κι κτίν ρ. Γνωρίζουμε πό
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό κθεμιάς πό τις πρκάτω ερωτήσεις - 4 κι δίπλ το γράμμ που ντιστοιχεί στη σωστή πάντηση.. Η ρχή της επλληλίς
Διαβάστε περισσότεραΘέρµανση Ψύξη ΚλιµατισµόςΙΙ
Θέρµνση Ψύξη ΚλιµτισµόςΙΙ Ψυχροµετρί Εργστήριο Αιολικής Ενέργεις Τ.Ε.Ι. Κρήτης ηµήτρης Αλ. Κτσπρκάκης Ξηρόςκιυγρός τµοσφιρικόςέρς Ξηρόςκιυγρόςτµοσφιρικός έρς Ξηρός τµοσφιρικός έρς: ο πλλγµένος πό τους
Διαβάστε περισσότεραα β γ δ β γ α α α α α α Α = α α α = α α + α α α α α α α α α D Α
ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ β Έστω πίνκς Α Χ = γ δ Σε κάθε τετργωνικό πίνκα ντιστοιχίζοµε ένν πργµτικό ριθµό τον οποίο ονοµάζοµε ορίζουσ του πίνκ κι ορίζετι ως β Α = = δ β γ Η έννοι της ορίζουσς είνι νγκί προκειµένου ν
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 11 Διαγράμματα Φάσεων
Κεφάλιο 11 Διγράμμτ Φάσεων Συχνά, σε πολλές διεργσίες, νμιγνύουμε δύο ή κι περισσότερ διφορετικά υλικά, κι πρέπει ν πντήσουμε στο ερώτημ: ποιά θ είνι η φύση του υλικού που θ προκύψει πό υτή την νάμιξη:
Διαβάστε περισσότεραΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ 1. ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ. α,α,,α, ή συνοπτικά με. * n. α α λ, για κάθε. n και υπάρχει. (αντ. αn αn 1
ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ Ακολουθί στοιχείων ενός συνόλου Ε ονομάζετι κάθε πεικόνιση : Ε Στην πεικόνιση υτή η εικόν του θ σηιώνετι κι θ ονομάζετι γενικός ή -οστός όρος της κολουθίς Η κολουθί υτή θ σηιώνετι
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. συνάρτηση φ: α,β. Ορισμός Έστω f συνάρτηση ορισμένη στο., αν. κάθε xo.
Ορισμός συντελεστή διεύθυνσης ευθείς Έστω συνάρτηση κι M, έν σημείο της γρφικής της πράστσης. υπάρχει το κι είνι πργμτικός ριθμός λ, τότε ορίζουμε ως εφπτομένη της στο σημείο M, την ευθεί (ε) που διέρχετι
Διαβάστε περισσότεραΤο υπόδειγµα Άριστης Οικονοµικής Μεγέθυνσης µε Παραγωγικές Εξωτερικότητες Κεφαλαίου (Romer-type externalities)
Το υπόδειγµ Άριστης Οικονοµικής Μεγέθυνσης µε Πργωγικές Εξωτερικότητες Κεφλίου Romer-ype exernales Α. Αποκεντρωµένη Οικονοµί Υποθέστε µί κλειστή οικονοµί η οποί πρτίζετι πό πλήθος νοικοκυριών κι πλήθος
Διαβάστε περισσότεραΤ Ο Λ Ε Ξ Ι Λ Ο Γ Ι Ο Τ Η Σ Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ
Τ Ο Λ Ε Ξ Ι Λ Ο Γ Ι Ο Τ Η Σ Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ Εισγωγή: Όπως στη κθημερινή μς ζωή, γι ν συνεννοηθούμε χρησιμοποιούμε προτάσεις, έτσι κι στ Μθημτικά χρησιμοποιούμε «Μθημτικές» προτάσεις. Γι πράδειγμ στη κθημερινή
Διαβάστε περισσότερα1. Έςτω f:r R, ςυνεχήσ ςυνάρτηςη και α,b,c R. Αποδείξτε ότι
Έςτω :RR, ςυνεχήσ ςυνάρτηςη κι,,cr Αποδείξτε ότι ) d d β) d d γ) d c c d c c δ) d c c c d ε) d στ) d Απάντηση:, εάν η είνι περιττή d, εάν η είνι άρτι Πρόκειτι γι πολύ βσική άσκηση, που είνι εφρμογή της
Διαβάστε περισσότεραYποθέτουμε ότι αρχικά είναι φορτισμένος ο πυκνωτής με φορτίο Q ο. Mετά το κλείσιμο του κυκλώματος και σε τυχούσα χρονική στιγμή ισχύει:
0 Kεφ. TAΛANTΩΣEIΣ (prt, pges 0-4 Πράδειγμ 5. Tο κύκλωμ LC Yποθέτουμε ότι ρχικά είνι φορτισμένος ο πυκνωτής με φορτίο Q ο. Mετά το κλείσιμο του κυκλώμτος κι σε τυχούσ χρονική στιγμή ισχύει: O ς κνόνς Kirchhff
Διαβάστε περισσότεραΕπίλυση αποδεικτικών σχέσεων της Θερµοδυναµικής
Σηµειώσεις Χηµιής Θερµοδυνµιής/Β. Χβρεδάη Επίλυση ποδειτιών σχέσεων της Θερµοδυνµιής Συνοπτιά νφέροντι διάφοροι τρόποι προσέγγισης της επίλυσης σχέσεων της Θερµοδυνµιής. Θ πρέπει ν τονισθεί ότι οι νφερόµενες
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ
ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ -8 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑ Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτομένης της γρφικής πράστσης της f στο σημείο Α(,f( ))
Διαβάστε περισσότεραΗ έννοια του διανύσματος
Η έννοι του δινύσμτος Από τη γεωμετρί είμστε εξοικειωμένοι με την έννοι του ευθυγράμμου τμήμτος: δύο διφορετικά σημεί Α κι Β μις ευθείς (ε), ορίζουν το ευθύγρμμο τμήμ ΑΒ Έν ευθύγρμμο τμήμ λέγετι προσντολισμένο,
Διαβάστε περισσότεραΑ. ΕΠΊΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗΣ
ΜΑΘΗΜΑ 13 Κεφάλιο o : Αλγερικές Πρστάσεις Υποενότητ.: Εξισώσεις ου Βθµού ( γ, ). Θεµτικές Ενότητες: 1. Επίλυση εξισώσεων ου θµού µε τη οήθει της πργοντοποίησης.. Επίλυση εξισώσεων ου θµού µε τη οήθει τύπου.
Διαβάστε περισσότεραΑ2. Πότε μία συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 3
Βθμός: /25 Τεστ Μθημτικών Εξετζόμενος-η: Προσντολισμού, Γ Λυκείου Θεωρί 1 Κθηγητής: Ιορδάνης Χτζηνικολάου Συνρτήσεις Θέμ Α Α1. Ν ποδείξετε ότι οι γρφικές πρστάσεις C κι C των συνρτήσεων f κι f 1 είνι συμμετρικές
Διαβάστε περισσότεραΓ.3. Εξισώσεις 2ου βαθμού. Απαραίτητες γνώσεις Θεωρίας 3.3. Θεωρία 5. θεωρία 6.
Γ.3 3.3 Εξισώσεις ου θμού Απρίτητες νώσεις Θεωρίς Θεωρί 5. Τι ονομάζουμε εξίσωση δευτέρου θμού (ή δευτεροάθμι εξίσωση) μ ένν άνωστο κι τι δικρινουσά της; Ονομάζουμε εξίσωση δευτέρου θμού μ ένν άνωστο κάθε
Διαβάστε περισσότεραπου έχει αρχή την αρχική θέση του κινητού και τέλος την τελική θέση.
. Εθύγρµµη κίνηση - - ο ΓΕΛ Πετρούπολης. Χρονική στιγμή t κι χρονική διάρκει Δt Χρονική στιγμή t είνι η μέτρηση το χρόνο κι δείχνει πότε σμβίνει έν γεγονός. Χρονική διάρκει Δt είνι η διφορά δύο χρονικών
Διαβάστε περισσότεραΆτομα μεταβλητή Χ μεταβλητή Y... Ν XN YN
Ν6_(6)_Σττιστική στη Φυσική Αγωγή 08_Πλινδρόμηση κι συσχέτιση Γούργουλης Βσίλειος Κθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ. Σε ορισμένες περιπτώσεις πιτείτι η νίχνευση της σχέσης μετξύ δύο ποσοτικών μετβλητών
Διαβάστε περισσότεραΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού ιλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. Ν ρεθεί το εμδόν του χωρίου Ω που περικλείετι πό τη γρφική πράστση
Διαβάστε περισσότεραsin x F(x) x 2 3 x παραγουσών προσθέτοντας σταθερές. Το καλούμε αόριστο ολοκλήρωμα της f(x) και το παριστάνουμε με: f(x)dx
I. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ.Ορισμένο ολοκλήρωμ.πράγουσ.θεμελιώδες Θεώρημ.Βσικά ολοκληρώμτ 5.Γρμμικότητ 6.Ολοκλήρωση με λλγή μετλητής ή με ντικτάστση 7.Ολοκλήρωση κτά μέρη 8.Ολοκληρώμτ ρητών 9.Ολοκληρώμτ τριγωνομετρικών.γενικευμένο
Διαβάστε περισσότερα3.4 Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ. Ορισμός Υπερβολής
6 3. Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ορισμός Υπερολής Έστω E κι Ε δύο σημεί ενός επιπέδου. Ονομάζετι υπερολή με εστίες τ σημεί E κι Ε ο εωμετρικός τόπος C των σημείων του επιπέδου των οποίων η πόλυτη τιμή της διφοράς των ποστάσεων
Διαβάστε περισσότεραΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Γ! ΤΑΞΗΣ
78 ΡΩΤΗΣΙΣ ΘΩΡΙΣ ΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ! ΤΞΗΣ 1. Τι ονοµάζετε δύνµη ν ; Ονοµάζετι δύνµη ν µε άση τον ριθµό κι εκθέτη το φυσικό ν > 1, το γινό- µενο πό ν πράγοντες ίσους µε. Ορίζουµε κόµ ότι: 1 0 1 µε 0 - ν. Ποιες
Διαβάστε περισσότεραΟ μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:
Ο μθητής που έχει μελετήσει το κεφάλιο υτό θ πρέπει ν είνι σε θέση:. Ν γνωρίζει τις έννοιες πράγουσ ή ρχική συνάρτηση, όριστο ολοκλήρωμ κι ν μπορεί ν υπολογίζει πλά όριστ ολοκληρώμτ με τη οήθει των μεθόδων
Διαβάστε περισσότεραPhysics by Chris Simopoulos
ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ Α) Προβλήμτ ευθύγρμμης ομλά επιτχυνόμενης κίνησης. ) Απλής εφρμογής τύπων Ακολουθούμε τ εξής βήμτ: i) Συμβολίζουμε τ δεδομέν κι ζητούμεν με τ ντίστοιχ σύμβολ που θ χρησιμοποιούμε.
Διαβάστε περισσότεραΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5)
θ) x (5 + 3)x + 5 3 = (...).(...) ι) x + (5 3)x 5 3 = (...).(...) (Μονάδες 7) Θέμ ο ) Ν πργοντοποιήσετε την πράστση 3 0x (Μονάδες 3) β) Ν λύσετε την εξίσωση 7x 3 = (10x + x 3 ) (Μονάδες 3,5) Θέμ 3ο Ν πργοντοποιήσετε
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Έστω f( x ), ( ) σύνολο Α ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ g x είνι δύο πρστάσεις µις µετλητής x πού πίρνει τιµές στο Ανίσωση µε ένν άγνωστο λέγετι κάθε σχέση της µορφής f( x) g( x) f( x) g( x)
Διαβάστε περισσότερααριθμών Ιδιότητες της διάταξης
Ανισότητες Διάτξη πργμτικών ριθμών Ιδιότητες της διάτξης Διάτξη (σύγκριση) δύο ριθμών. Πώς μπορούμε ν συγκρίνουμε δύο ριθμούς κι ; Απάντηση Ο ριθμός είνι μεγλύτερος του (συμολικά > ), ότν η διφορά είνι
Διαβάστε περισσότεραΜαθηµατικά Ιβ Σελίδα 1 από 7 ΚΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ
Μθηµτικά Ιβ Σελίδ πό 7 Μάθηµ 7 ο ΟΡΘΟΚΑΝΟΝΙΚΗ ΒΑΣΗ ΚΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Θεωρί : Γρµµική Άλγεβρ : εδάφιο 6, σελ. (µέχρι Πρότση 4.6), εδάφιο 7, σελ. 5 (όχι την πόδειξη της Πρότσης 4.9). πρδείγµτ που ντιστοιχούν
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ- ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ÑÏÌÂÏÓ
ΘΕΜ 1ο ΘΕΜΤ ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ- ΤΕΧΝΟΛΟΙΚΗΣ ΚΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - 000 Στις ερωτήσεις 1-4 ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθµό της ερώτησης κι δίπλ το γράµµ που ντιστοιχεί στη σωστή πάντηση. 1. Ένς νεµιστήρς
Διαβάστε περισσότεραΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΑΓ ΓΔ
ΠΥΘΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜ Στο διπλνό ορθοώνιο τρίωνο, έχουμε φέρει πλά το ύψος που κτλήει στην υποτείνουσ. Είνι προφνές ότι, με υτό τον τρόπο, το μεάλο ορθοώνιο τρίωνο χωρίστηκε σε δύο μικρότερ ορθοώνι, τ κι. Σε
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Σττιστική είνι ο κλάδος των µθηµτικών που συγκεντρώνει στοιχεί τ τξινοµεί κι τ προυσιάζει σε κτάλληλη µορφή ώστε ν µπορούν ν νλυθούν κι ν ερµηνευτούν. Πληθυσµός είνι το σύνολο των
Διαβάστε περισσότερα1) Ποια είναι η αρχική ή παράγουσα; Τι σχέση έχει µε την f. 3) Υπάρχει µια παράγουσα για κάθε συνάρτηση ή περισσότερες;
ΛΟΓΙΣΜΟΣ ) Ποι είνι η ρχική ή πράγουσ; Τι σχέση έχει µε την f. Έστω f µι συνάρτηση ορισµένη σ έν διάστηµ. Αρχική ή πράγουσ της f στο θ ονοµάζετι κάθε συνάρτηση F που είνι πργωγίσιµη στο κι ισχύει F ()
Διαβάστε περισσότεραΑ. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ
9 Έλλειψη Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισµός Έλλειψη ονοµάζετι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου, των οποίων το άθροισµ των ποστάσεων πό δύο στθερά σηµεί Ε κι Ε είνι στθερό κι µεγλύτερο
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ. ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΟΡΟΣΗΜΟ ΖΩΓΡΑΦΟΥ
ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΔΙΑΘΕΣΗ Τρυλντώνη 8, 577 Ζωγράφου Τηλ: 747344 747395 email:info@orosimoeu wwworosimoeu ISBN: 978-68-873--4 ΕΚΔΟΣΕΙΣ
Διαβάστε περισσότερα1. Να σημειώσετε το Σωστό ( ) ή το Λάθος ( ) στους παρακάτω ισχυρισμούς:
1. Ν σημειώσετε το Σωστό ( ) ή το Λάθος ( ) στους πρκάτω ισχυρισμούς: 1. Αν γι την συνεχή στο συνάρτηση f ισχύουν: f(0) f(2) 0 κι f(0) f(5) 0 τότε η εξίσωση ( ) 0 f έχει τουλάχιστον δύο ρίζες. 2. Αν ισχύει
Διαβάστε περισσότεραΟνοματεπώνυμο. Τμήμα
Ηλεκτρομγνητισμός (6-7-9) Ονομτεπώνυμο Τμήμ ΘΕΜΑ 1 A. Έν σωμάτιο με φορτίο -6. n τοποθετείτι στο κέντρο ενός μη γώγιμου σφιρικού φλοιού εσωτερικής κτίνς c κι εξωτερικής 5 c. Ο σφιρικός φλοιός περιέχει
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ B ΛΥΚΕΙΟΥ
Φυσική Κτεύθυνσης Β Λυκείου ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέµ ο κ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α. (Βάλτε σε κύκλο το γράµµ µε τη σωστή πάντηση) Αν υξήσουµε την πόστση µετξύ δύο ετερόσηµων σηµεικών ηλεκτρικών φορτίων,. η δυνµική
Διαβάστε περισσότερα1. Υποκατάσταση συντελεστών στην παραγωγή
Ε9 ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ ΥΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ.Υποκτάστση συντελεστών στην πργωγή 2.Ομογενείς συνρτήσεις πργωγής 3.Ελστικότητ υποκτάστσης συντελεστών 4.Στθερή ελστικότητ υποκτάστσης 5.Πργωγή στθερής ελστικότητς υποκτάστσης
Διαβάστε περισσότεραΠαρουσίαση 1 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ
Προυσίση ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Προυσίση. Μετρικές σχέσεις στ τρίγων Α Μετρικές σχέσεις σε ορθογώνιο τρίγωνο Α Προβολή σηµείου σε ευθεί Ορθή προβολή Α ονοµάζετι το ίχνος της κάθετης που φέρνουµε
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις 1 ης Εργασίας 1. Γράψτε και σχεδιάστε ποιοτικά στο ίδιο διάγραµµα καθένα από τα επόµενα
Λύσεις ης Εργσίς. Γράψτε κι σχεδιάστε ποιοτικά στο ίδιο διάγρµµ κθέν πό τ επόµεν v δινύσµτ στη µορφή x y : () Το διάνυσµ που συνδέει την ρχή του συστήµτος συντετγµένων µε το σηµείο Ρ(,-). () Το διάνυσµ
Διαβάστε περισσότεραΙΔΙΟΤΙΜΕΣ. Λύση. Σχηματίζουμε την εξίσωση (2): x = 0. Οι κολώνες του πίνακα
ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ Σημείωση Προς το πρόν, κινούμεθ στο σώμ R των πργμτικών ριθμών Έν ιδιοδιάνυσμ ή χρκτηριστικό διάνυσμ ενός πίνκ Α, που ντιστοιχεί στην ιδιοτιμή, είνι εκείνο το μη μηδενικό διάνυσμ το οποίο πηροί
Διαβάστε περισσότερα(iii) Ο συντελεστής διεύθυνσης λ κάθε ευθείας κάθετης προς την ΓΔ έχει με. τον συντελεστή διεύθυνσης της ΓΔ γινόμενο ίσο με -1. Αρα θα είναι.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ Α ΟΜΑΔΑΣ (i Ο συντεεστής διεύθυνσης της ευθείς ΑΒ είνι: 6 ( (ii Ο συντεεστής διεύθυνσης της ευθείς ΓΔ είνι: ( (iii Ο συντεεστής διεύθυνσης κάθε ευθείς κάθετης προς την ΓΔ έχει
Διαβάστε περισσότεραν = 2, από τους οποίους όμως γνωρίζουμε μόνο 5, αυτούς που προκύπτουν για
165 4.5 ΠΡΩΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Εισγωγή Δύο πό τ σημντικότερ ποτελέσμτ σχετικά με τους πρώτους ριθμούς ήτν γνωστά ήδη πό την ρχιότητ. Το γεγονός ότι κάθε κέριος νλύετι με μονδικό τρόπο ως γινόμενο πρώτων εμφνίζετι
Διαβάστε περισσότεραΚίνηση σε Μαγνητικό πεδίο
Κίνηση σε γνητικό πεδίο 4.1. Ακτίν κι Περίοδος στο ΟΠ. Από έν σημείο Α μέσ σε ομογενές μγνητικό πεδίο έντσης Β=2Τ, εκτοξεύοντι δύο σωμτίδι Σ 1 κι Σ 2 ίδις μάζς m=10-10 kg κι ντίθετων φορτίων, με τχύτητες
Διαβάστε περισσότερα( ) 2.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ορισμός συνάρτησης:
Πγκόσμιο χωριό γνώσης.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.3.1. Ορισμός συνάρτησης: 6 Ο ΜΑΘΗΜΑ Συνάρτηση f / A B, ονομάζετι η διδικσί (νόμος ) που ντιστοιχίζει κάθε στοιχείο του συνόλου Α ( πεδίο ορισμού ) σε έν μόνο στοιχείο
Διαβάστε περισσότεραENA ΣΧΗΜΑ ΜΕ ΕΝΔΙΑΦΕΡΟΥΣΕΣ ΠΡΟΕΚΤΑΣΕΙΣ. Κόσυβας Γιώργος. 1ο Πειραματικό Γυμνάσιο Αθηνών
Σ ENA ΣΧΗΜ ΜΕ ΕΝΙΦΕΡΟΥΣΕΣ ΠΡΟΕΚΤΣΕΙΣ Κόσυβς ιώργος ο Πειρμτικό υμνάσιο θηνών ε υτή την εργσί προυσιάζοντι ορισμένες ξιοσημείωτες πρτηρήσεις πάνω σε έν πλούσιο σχήμ, το οποίο επιτρέπει ποικίλες προσεγγίσεις
Διαβάστε περισσότερα1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ
5 ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονί συνάρτησης Οι έννοιες γνησίως ύξουσ συνάρτηση, γνησίως φθίνουσ συνάρτηση είνι γνωστές πό προηγούμενη τάξη Συγκεκριμέν,
Διαβάστε περισσότεραείναι n ανεξάρτητες τυποποιημένες κανονικές τυχαίες μεταβλητές, δηλαδή, αν Z i
Οι Κτνομές χ, t κι F Οι Κτνομές χ, t κι F Σε υτή την ενότητ προυσιάζουμε συνοπτικά τρεις συνεχείς κτνομές οι οποίες, όπως κι η κνονική κτνομή, είνι πολύ χρήσιμες στη Σττιστική Συμπερσμτολογί Είνι ξιοσημείωτο,
Διαβάστε περισσότεραMicro-foundations of macroeconomics (or Το υπόδειγμα Άριστης Οικονομικής Μεγέθυνσης)
Miro-foundaions of maroeonomis (or Το υπόδειγμ Άριστης Οικονομικής Μεγέθυνσης) Α. Αποκεντρωμένη Οικονομί Υποθέστε μί κλειστή οικονομί η οποί πρτίζετι πό πλήθος όμοιων νοικοκυριών κι πλήθος όμοιων επιχειρήσεων.
Διαβάστε περισσότερατριγώνου ΑΒΓ είναι κυκλώστε το γράµµα της σωστής απάντησης και αιτιολογήστε την απάντηση σας. Με βάση την τριγωνική ανισότητα για
3.0 3. σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδς 57-58 Ερωτήσεις Κτνόησης. Χρκτηρίστε ( Σ ) σωστή ή λάθος ( ) κάθε µί πό τις επόµενες προτάσεις i) Η εξωτερική γωνί ˆ εξ τριγώνου είνι µεγλύτερη πό την ˆ ii) Η εξωτερική
Διαβάστε περισσότερα* ' 4. Σώµ εκτελεί γ..τ µε συχνότητ f. H συχνότητ µε την οποί µεγιστοποιείτι η δυνµική ενέργει τλάντωσης είνι. f =2f β. f =f/2 γ. f =f δ. f =4f Β. Στη
* '! " # $ # # " % $ " ' " % $ ' " ( # " ' ) % $ THΛ: 270727 222594 THΛ: 919113 949422 ' " % +, Α. Γι τις πρκάτω προτάσεις 1-4 ν γράψετε το γράµµ, β, γ ή δ, που ντιστοιχεί στην σωστή πάντηση 1. Κύκλωµ
Διαβάστε περισσότερα4.3 ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ
ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Μς ζητούν ν κάνουμε την μελέτη ή την γρφική πράστση μις συνάρτησης ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Ότν μς ζητούν κάνουμε την γρφική πράστση
Διαβάστε περισσότεραΠρόχειρες σημειώσεις. Βασισμένες στο βιβλίο του Σ.Γ. ΦΡΑΓΚΟΠΟΥΛΟΥ: ΒΑΣΙΚΗ ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ Ι ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ. Μέρος Α: Κυκλώματα συνεχούς ρεύματος
Πρόχειρες σημειώσεις Βσισμένες στο ιλίο του Σ.Γ. ΦΡΑΓΚΟΠΟΥΛΟΥ: ΒΑΣΙΚΗ ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ Ι ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Μέρος Α: Κυκλώμτ συνεχούς ρεύμτος Κ. Μουτζούρης Τμήμ Ηλεκτρονικής, ΤΕΙ Αθήνς Θερινό εξάμηνο 009
Διαβάστε περισσότεραΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ
ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ Κεφάλιο 2 ΤΟ ΝΕΟΚΛΑΣΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ SOOW-SWAN Εισγωγή Η νάλυση της θεωρίς της οικονομικής μεγέθυνσης θ ξεκινήσει νλύοντς το πιο πλό δυνμικό υπόδειγμ
Διαβάστε περισσότεραΦΥΕ 14 ΕΚΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΡΟΘΕΣΜΙΑ ΠΑΡΑ ΟΣΗΣ 19 ΙΟΥΛΙΟΥ 2004
Άσκηση (5 µονάδες) ΦΥΕ 4 ΕΚΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΡΟΘΕΣΜΙΑ ΠΑΡΑ ΟΣΗΣ 9 ΙΟΥΛΙΟΥ 4 Τρί σηµεικά φορτί τοποθετούντι στις κορυφές ενός τετργώνου πλευράς όπως φίνετι στο σχήµ. Υπολογίστε την διεύθυνση κι το µέτρο του ηλεκτρικού
Διαβάστε περισσότεραη οποία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν α 1, τότε έχουμε τη σταθερή συνάρτηση f x 1.
Εκθετική συνάρτηση Αν θετικός πργμτικός ριθμός, σε κάθε ντιστοιχεί η δύνμη. Έτσι ορίζετι η συνάρτηση : f : με f, 0 η οποί ονομάζετι εκθετική συνάρτηση με βάση. Αν, τότε έχουμε τη στθερή συνάρτηση f. Ας
Διαβάστε περισσότεραΟδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.
ΜΘΗΜ / ΤΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΤΕΥΘΥΝΣΗΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙ: 15/0/015 ΘΕΜ 1 ο Οδηγί: Ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό κθεμιάς πό τις πρκάτω ερωτήσεις 1-4 κι δίπλ το γράμμ που ντιστοιχεί στη σωστή πάντηση.
Διαβάστε περισσότεραβ ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a,
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ Λ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ - Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς την ένδειξη σωστό ή λάθος δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση
Διαβάστε περισσότεραΑ. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ
0 Υπερολή Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Oρισµός Υπερολή ονοµάζετι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου, των οποίων η διφορά των ποστάσεων πό δύο στθερά σηµεί Ε κι Ε είνι στθερή κι µικρότερη πο
Διαβάστε περισσότεραΕργαστήριο Φυσικής Τμήματος Πληροφορικής και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τ.Ε.Ι. Λαμίας
Εργστήριο Φυσικής Τμήμτος Πληροφορικής κι Τεχνολογίς Υπολογιστών Τ.Ε.Ι. Λμίς Ηλεκτρικό φορτίο Εισγωγή στην έννοι του Ηλεκτρικού Φορτίου Κάθε σώμ περιέχει στην φυσική του κτάστση ένν πάρ πολύ μεγάλο ριθμό
Διαβάστε περισσότερα