5 Θεωρήματα κυκλωμάτων 5.3 Θεωρήματα Thevenin και Norton

Transcript

1 Έχουμε δει ότι η χρήση ισοδύνμων κυκλωμάτων σε πολλές περιπτώσεις πλοποιεί την νάλυση ενός κυκλώμτος: Αντιστάσεις συνδεδεμένες με ειδικό τρόπο (σειρά, πράλληλ, σε στέρ ή τρίγωνο) μπορούν ν ντικτστθούν πό ισοδύνμες συνδεσμολογίες. Πηγή τάσης σε σειρά με ντίστση ή πηγή ρεύμτος πράλληλ με ντίστση μπορεί ν ντικτστθεί πό ισοδύνμη συνδεσμολογί. Σε κάθε περίπτωση ντικτάστσης ενός μέρους του κυκλώμτος πό ισοδύνμο, τ ρεύμτ κι οι τάσεις πρμένουν μετάλητ στο υπόλοιπο κύκλωμ. Τ θεωρήμτ Thevenin κι Norton πρέχουν μι μεθοδολογί ντικτάστσης οποιουδήποτε γρμμικού κυκλώμτος με έν πλό ισοδύνμο.

2 Σύμφων με το θεώρημ Thevenin, ν έχουμε οποιοδήποτε γρμμικό κύκλωμ που κτλήγει σε δύο κροδέκτες, υτό είνι ισοδύνμο με μί πηγή τάσης σε σειρά με μί ντίστση, κτλλήλων τιμών. Γρμμικό Κύκλωμ Τι σημίνει ισοδύνμο; Σημίνει πως οτιδήποτε (γρμμικό ή όχι) συνδεθεί στους κροδέκτες κι δεν θ κτλάει τη διφορά. Δηλδή ότι τάσεις, ρεύμτ ή ισχύς υπάρχουν είνι τ ίδι, είτε έχουμε το κύκλωμ είτε το ισοδύνμο. V TH R TH

3 Έτσι, ν έχουμε έν κύκλωμ κι μς ενδιφέρει μι τάση ή έν ρεύμ σε έν μέρος του κυκλώμτος, το χωρίζουμε σε δύο υποκυκλώμτ με τέτοιο τρόπο που ν συνδέοντι με δύο γωγούς. Στη συνέχει ντικθιστούμε το μέρος του κυκλώμτος που δεν μς ενδιφέρει με το ισοδύνμό του. Προσοχή: Αν υπάρχουν εξρτημένες πηγές, υτές θ πρέπει ν πρμείνουν μζί με το μέγεθος που τις ελέγχει στο ίδιο υποκύκλωμ. V TH Κύκλωμ Α R TH Κύκλωμ Β Κύκλωμ Β

4 Ποι είνι όμως η τιμή της πηγής τάσης κι της ντίστσης; Η τιμή της πηγής τάσης ισούτι με την τάση νοικτού κυκλώμτος μετξύ των κροδεκτών κι. Η τιμή της ντίστσης ισούτι με την ντίστση που φίνετι πό τους κροδέκτες κι ν οι νεξάρτητες πηγές μηδενιστούν. Προσοχή: Τυχόν εξρτημένες πηγές μένουν πάντ ενεργές. Κύκλωμ Α Τροποποιημένο Κύκλωμ Α + V TH - R TH

5 Πηγή τάσης σε σειρά με ντίστση όμως ισοδυνμεί με πηγή ρεύμτος πράλληλ με ντίστση. Μπορούμε έτσι ν φτιάξουμε κι έν δεύτερο ισοδύνμο κύκλωμ. Αυτό είνι το ισοδύνμο Norton. Οι τιμές της πηγής ρεύμτος Norton, της πηγής τάσης Thevenin κι των ντιστάσεων συνδέοντι με μι σχέση που μοιάζει με το νόμο του Ωμ: V TH R TH Κύκλωμ Β I N R N Κύκλωμ Β Προσέξτε ότι η ντίστση Thevenin τυτίζετι με την ντίστση Norton.

6 Πως υπολογίζουμε την τιμή της πηγής ρεύμτος Norton κι της ντίστσης Norton; Η τιμή της πηγής ρεύμτος ισούτι με το ρεύμ που διρρέει έν (υποθετικό) ρχυκύκλωμ μετξύ των κροδεκτών κι. Η τιμή της ντίστσης ισούτι με την ντίστση που φίνετι πό τους κροδέκτες κι ν οι νεξάρτητες πηγές μηδενιστούν, κριώς όπως κι στο ισοδύνμο Thevenin. Κύκλωμ Α Τροποποιημένο Κύκλωμ Α I N R TH

7 Προσοχή στη φορά των ρευμάτων! Αν έχουμε ρει το έν ισοδύνμο κύκλωμ (Thevenin ή Norton) μπορούμε ν ρούμε το άλλο πό τις σχέσεις: Κύκλωμ Α I N Εάν το κύκλωμ περιέχει εξρτημένες πηγές είνι πιο πλός ο υπολογισμός της τάσης Thevenin κι του ρεύμτος Norton σε σχέση με τον υπολογισμό της ντίστσης. Η ντίστση τότε υπολογίζετι πό τη σχέση: I N R N Κύκλωμ Β

8 Κύκλωμ Β Έστω ότι έχουμε έν κύκλωμ στο οποίο μς ενδιφέρει μόνο τι συμίνει σε μί ντίστσή του. Θ μπορούσμε ν θέλουμε ν πντήσουμε στο ερώτημ γι ποι τιμή της ντίστσης υτής μεγιστοποιείτι η ισχύς που κτνλώνει. 10 V Κύκλωμ Α R 1 =10 Ω R 3 =5 Ω R L Η τάση Thevenin είνι η τάση νοικτού κυκλώμτος μετξύ των σημείων κι. Αφού η ντίστση R 3 δεν διρρέετι πό ρεύμ δεν έχει τάση στ άκρ της, άρ η τάση Thevenin ισούτι με την τάση στ άκρ της ντίστσης R 2, ήτοι 5 V. 10 V Κύκλωμ Α R 1 =10 Ω R 3 =5 Ω + V TH -

9 Κύκλωμ Β Γι ν υπολογίσουμε την ντίστση Thevenin ντικθιστούμε στο κύκλωμ Α την πηγή τάσης με ρχυκύκλωμ κι υπολογίζουμε την ντίστση που φίνετι πό τους κροδέκτες κι. Οι ντιστάσεις R 1 κι R 2 τώρ συνδέοντι πράλληλ κι η ισοδύνμή τους έχει τιμή ίση με 5 Ω. Η ντίστση υτή τώρ συνδέετι σε σειρά με την R 3, άρ η συνολική ντίστση που φίνετι πό τους κροδέκτες κι είνι 10 Ω. 10 V R 1 =10 Ω Κύκλωμ Α R 1 =10 Ω R 3 =5 Ω R 3 =5 Ω R TH R L Κύκλωμ Α

10 Πράδειγμ 5-7: Χρησιμοποιήστε το θεώρημ Thevenin γι ν υπολογίσετε το ρεύμ που διρρέει την ντίστση R 1. Αφιρούμε την ντίστση R 1 κι υπολογίζουμε την τάση νοικτού κυκλώμτος: 1 A i x R 1 =15 Ω 10 V 1 A + V TH 10 V -

11 Στη συνέχει μηδενίζουμε τις πηγές κι λέπουμε ότι η ντίστση που φίνετι πό τους κροδέκτες κι είνι 10 Ω: Στη συνέχει σχεδιάζουμε το ισοδύνμο κύκλωμ Thevenin κι τοποθετούμε σε υτό την ντίστση R 1. Το ζητούμενο ρεύμ είνι: R TH R TH =10 Ω V TH =20 V i x R 1 =15 Ω

12 Πράδειγμ 5-8: Χρησιμοποιήστε το θεώρημ Thevenin γι ν υπολογίσετε το ρεύμ που διρρέει την ντίστση R 2. Έχουμε το ίδιο κύκλωμ με υτό του προηγούμενου πρδείγμτος, λλά το ζητούμενο μέγεθος είνι διφορετικό. Το ισοδύνμο Thevenin τώρ είνι διφορετικό. Έν κύκλωμ έχει πολλά ισοδύνμ, κθόσον το ισοδύνμο Thevenin ή Norton δεν φορά το κύκλωμ μόνο, λλά κι τον τρόπο με τον οποίο θ το χωρίσουμε στο "κύκλωμ Α" κι το "κύκλωμ Β". 1 A i x R 1 =15 Ω 10 V

13 Το ρεύμ της πηγής ρεύμτος τώρ διρρέει την ντίστση R 1 κι νπτύσσει στ άκρ της τάση ίση με 15 V. Η τάση Thevenin είνι: 1 A + V TH - R 1 =15 Ω 10 V Η ντίστση Thevenin εύκολ φίνετι ότι είνι ίση με την τιμή της ντίστσης R 1, άρ R TH =15 Ω. R TH R 1 =15 Ω

14 Στη συνέχει σχεδιάζουμε το ισοδύνμο κύκλωμ Thevenin, τοποθετούμε στους κροδέκτες του κι την ντίστση R 2 κι υπολογίζουμε το ζητούμενο ρεύμ: V TH =5 V R TH =15 Ω i x

15 Δεν είμστε υποχρεωμένοι στο κύκλωμ Β ν συμπεριλάουμε μόνο έν στοιχείο. Αντί ν συμπεριλάουμε στο "κύκλωμ Β" μόνο την ντίστση R 2, μπορούμε ν συμπεριλάουμε το κύκλωμ που ποτελείτι πό την ντίστση R 2 μζί με την πηγή τάσης. Τώρ έχουμε άλλες τιμές γι την τάση κι την ντίστση Thevenin: Κύκλωμ Α Κύκλωμ B 1 A R 1 =15 Ω 10 V i x + 1 A R 1 =15 Ω V TH -

16 Στο ισοδύνμο κύκλωμ θ άλουμε το «κύκλωμ Β» που είχμε φιρέσει. Το ζητούμενο ρεύμ που διρρέει την ντίστση R 2 είνι: V TH =15 V R TH =15 Ω i x 10 V Θ πρέπει ν μελετάμε προσεκτικά έν κύκλωμ που μς δίνετι κι θέλουμε ν υπολογίσουμε κάποι πόκρισή του, διότι μπορούμε ν φτιάξουμε πολλά ισοδύνμ γι έν κύκλωμ κι συνήθως υπάρχει κάποιο ισοδύνμο που πλουστεύει πολύ τους υπολογισμούς μς.

17 Πράδειγμ 5-9: Χρησιμοποιήστε το θεώρημ Thevenin γι ν υπολογίσετε τ ρεύμτ Ι 1, Ι 2 κι Ι 3. Αφιρούμε την ντίστση R 1. Το ρεύμ της πηγής ρεύμτος 1 Α διέρχετι πό την πηγή τάσης, άρ Ι 2 =1 Α, κι στον κόμο Β θροίζετι με το ρεύμ της πηγής ρεύμτος 2 Α, με ποτέλεσμ η ντίστση R 2 ν διρρέετι πό ρεύμ ίσο με 3 Α. Άρ στ άκρ της νπτύσσετι τάση ίση με 30 V. Η τάση Thevenin είνι: 1 A 1 A I 1 I 5 V V 1 2 V A B R 1 =10 Ω Γ I 5 V V 1 2 V A B + V TH - I 3 I 3 2 A 2 A Γ

18 Η ντίστση Thevenin είνι ίση με την ντίστση R 2, άρ R TH =10 Ω. Το ρεύμ Ι 1 που ζητείτι προκύπτει πό το ισοδύνμο κύκλωμ Thevenin: V TH =35 V R TH =10 Ω I 1 R 1 =10 Ω Επνερχόμενοι στο ρχικό κύκλωμ κι χρησιμοποιώντς την τιμή που ρήκμε γι το Ι 1 θ προκύψει ότι το ρεύμ Ι 2 ισούτι με -0,75 Α κι ότι το ρεύμ Ι 3 ισούτι με 1,25 Α. 1 A I 1 R 1 =10 Ω I 5 V V 1 2 V A B I 3 2 A Γ

19 Μπορούμε όμως ν φτιάξουμε κι άλλ ισοδύνμ κυκλώμτ Thevenin. Αφιρούμε την ντίστση R 2. Η τάση Thevenin είνι: 1 A I 1 I 5 V V 1 2 V A B R 1 =10 Ω + V TH 2 A - Η ντίστση Thevenin είνι ίση με την ντίστση R 1, άρ R TH =10 Ω. Το ρεύμ Ι 3 προκύπτει πό το ισοδύνμο κύκλωμ Thevenin: V TH =25 V Γ R TH =10 Ω I 3

20 Αφιρώντς την πηγή τάσης πό το κύκλωμ μπορούμε ν φτιάξουμε έν κόμ ισοδύνμο Thevenin που εξυπηρετεί στον υπολογισμό του ρεύμτος I 2. Η τάση Thevenin τώρ είνι: 1 A I 1 V 1 V 2 A + V TH - B R 1 =10 Ω Γ I 3 2 A Η ντίστση Thevenin είνι το άθροισμ των δύο ντιστάσεων: I 1 V 1 V 2 R TH A B I 3 R 1 =10 Ω Γ

21 Στη συνέχει σχεδιάζουμε το ισοδύνμο κύκλωμ κι τοποθετούμε στους κροδέκτες του την πηγή τάσης που είχμε φιρέσει. Το ρεύμ που θέλουμε ν υπολογίσουμε είνι υτό που διρρέει την πηγή τάσης. Γράφουμε την εξίσωση που προκύπτει πό την εφρμογή του νόμου τάσεων του Kirchhoff στο μονδικό ρόχο: V TH =-10 V R TH =20 Ω I 2 5 V

22 Πράδειγμ 5-10: Χρησιμοποιήστε το θεώρημ Norton γι ν υπολογίσετε το ρεύμ που διρρέει την ντίστση R 3. Αφιρούμε την ντίστση R 3 κι στη θέση της άζουμε ρχυκύκλωμ. Από το νόμο τάσεων του Kirchhoff στο ρόχο που περιλμάνει την πηγή τάσης 20 V, την ντίστση R 1 κι το ρχυκύκλωμ προκύπτει ότι το ρεύμ που διρρέει την ντίστση R 1 είνι: 20 V I 1 R 1 =10 Ω I 2 A I 3 B R 3 =20 Ω 10 V

23 Με το ίδιο σκεπτικό υπολογίζουμε κι το ρεύμ Ι 2 : I 1 R 1 =10 Ω I 2 A I 3 Από το νόμο ρευμάτων τώρ του Kirchhoff στον κόμο ρίσκουμε το ρεύμ Norton: 20 V B R 3 =20 Ω 10 V I 1 R 1 =10 Ω I 2 A Η ντίστση Norton είνι: R N B

24 Σχεδιάζουμε το ισοδύνμο κύκλωμ Norton κι τοποθετούμε σε υτό την ντίστση R 3. Το ρεύμ που τη διρρέει προκύπτει εύκολ πό τη σχέση του διιρέτη ρεύμτος: I N =3 A R N =5 Ω I 3 R 3 =20 Ω