ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ

Transcript

1 Πρδείγµτ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ συνολική επιφάνει κτιρίου ~ επιφάνει που κλύπτετι πό πράθυρ πλιότητ κτιρίου ~ πώλει θερµικής ενέργεις κτνάλωση ηλεκτρικής ενέργεις κτοικίς ~ κτνάλωση νερού ~ µέγεθος κτοικίς Εξρτάτι η µι τ.µ. πό την άλλη? Εξρτιούντι κι οι δύο πό κάποι άλλη?

2 σ σ ύο τ.µ.: µε δισπορά, µε συνδισπορά σ Cov[, ] σ E[( µ )( µ )] E[ ] µ µ εκφράζει τη γρµµική συσχέτισηδύοτ.µ. δηλδή την νλογική µετολή (ύξηση ή µείωση) της µις τ.µ. που ντιστοιχεί σε µετολή της άλλης µετλητής εξρτάτι πό τις µονάδες µέτρησης των δύο τ.µ. συντελεστής συσχέτισης σ ρ σ σ ρδεν εξρτάτι πό τη µονάδ µέτρησης των κι ρ είνι συµµετρικόςωςπροςτις κι. ρ [-,]

3 Ερµηνεί της τιµής του συντελεστή συσχέτισης ρ: υπάρχει τέλει θετική σχέση µετξύ των κι. ρ: δεν υπάρχει κµιά (γρµµική) σχέση µετξύ των κι. ρ-: υπάρχει τέλει ρνητική σχέση µετξύ των κι. ρ κοντά στο η γρµµική συσχέτιση των δύο τ.µ. είνι θετική κι ισχυρή ρ κοντά στο - η γρµµική συσχέτιση των δύο τ.µ. είνι ρνητική κι ισχυρή ρ κοντά στο οι τ.µ. είνι πρκτικά συσχέτιστες Πρτηρήσεις των δύο τ.µ. κι κτά ζεύγη {( ), (, ),,(, )}, γι ποιοτική εκτίµηση της συσχέτισης διάγρµµ δισποράς

4 () (δ) ρ r ρ r 5 (η) () ρ.97 r (ε) ρ.97 r.96 5 (θ) (γ) (ζ) ρ.8 r (ι) ρ.8 r ρ r.34.5 ρ,r oριστo.5 ρ r

5 Σηµεική εκτίµηση του συντελεστή συσχέτισης Σηµεική εκτίµηση του ρ πό το δείγµ των ζευγρωτών πρτηρήσεων των κι r ρˆ µερόληπτη εκτιµήτρι ( )( ) µ µ µ µ σ ] E[ )] )( E[( µερόληπτες εκτιµήτριες κι είνι οι τετργωνικές ρίζες των δειγµτικών δισπορών r Άρ συντελεστής προσδιορισµού r ή r

6 Πράδειγµ Θέλουµε ν διερευνήσουµε τη συσχέτιση της κτνάλωσης νερού κι κτνάλωσης ρεύµτος νοικοκυριού. / 3 4 (m 3 ) (kw/h) (kw/h) (m 3 ) Ποιοτική εκτίµηση συσχέτιση της κτνάλωσης νερού κι ρεύµτος είνι θετική κι ισχυρή

7 Υπολογισµός του r r ( ) ( ).95 Η µετλητότητ της µις τ.µ. (κτνάλωση νερού ή ρεύµτος) µπορεί ν εξηγηθεί σε µεγάλο ποσοστό πό τη συσχέτιση της µε την άλλη Συντελεστής προσδιορισµού r % Συµπέρσµ Η γνώση της µις τ.µ. µς επιτρέπει ν προσδιορίσουµε την άλλη µε µεγάλη κρίει

8 Απλή Γρµµική Πλινδρόµηση Επίδρση του µεγέθους της κτοικίς στην κτνάλωση νερού του νοικοκυριού? Ζητάµε ν εκτιµήσουµε την (γρµµική) εξάρτηση της κτνάλωσης νερού πό το µέγεθος της κτοικίς. εξρτηµένη µετλητή Υ: νεξάρτητη µετλητή Χ: κτνάλωση νερού µέγεθος κτοικίς Μελέτη της µετλητότητ µις τ.µ. Υ χρησιµοποιώντς την πληροφορί πό κάποι άλλη µετλητή Χ νάλυση πλινδρόµησης πλή γρµµική πλινδρόµηση πλή: σχέση εξάρτησης µόνο ως προς µι νεξάρτητη µετλητή γρµµική: η πιο πλή σχέση εξάρτησης

9 F ( ) γι κάθε τιµή της Χ? Ε[ ] γι κάθε τιµή της Χ? Ε [ ] + γρµµική πλινδρόµηση της Υ στη Χ : διφορά ύψους, στθερός όρος, η τιµή του γι : κλίση ή συντελεστής πλινδρόµησης γικάποιτιµή της Χ µπορεί ν ντιστοιχούν διφορετικές τιµές της Υ είνι τ.µ. µε F ) + + ε ( ε : σφάλµ πλινδρόµησης [ ] ε Ε

10 Υποθέσειςγιτηννάλυσητηςγρµµικής πλινδρόµησης: Η µετλητή Χ είνι ελεγχόµενη Η εξάρτηση της Υ πό τη Χ είνι γρµµική Ε[ ε ] κι Var[ ε ] σ σ ε σ σ ε Var[ (οµοσκεδστικότητ) ] σ σ Σηµεική εκτίµηση πρµέτρων γρµµικής πλινδρόµησης Εκτίµηση των τριών πρµέτρων της πλινδρόµησης: της διφοράς ύψους της ευθείς πλινδρόµησης του συντελεστή της ευθείς πλινδρόµησης της δισποράς σφάλµτος της πλινδρόµησης σ

11 Ηεκτίµηση των πρµέτρων κι γίνετι µε τη µέθοδο των ελχίστων τετργώνων ρίσκει την ευθεί πλινδρόµησης µε πρµέτρους κι έτσι ώστε το άθροισµ των τετργώνων των κτκόρυφων ποστάσεων των σηµείων πό την ευθεί ν είνι το ελάχιστο. Εκτίµηση των κι Οι εκτιµήσεις των κι δίνοντι πό την ελχιστοποίηση του θροίσµτος των τετργώνων των σφλµάτων, m ε ( ), m ή ( ) ( ) + + b b a κι δειγµτική συνδισπορά των κι δειγµτική δισπορά της

12 Τ a κι b ορίζουν την ευθεί b a + ˆ ευθεί ελχίστων τετργώνων Γι κάθε b a + ˆ υπόλοιπο ή σφάλµ ελχίστων τετργώνων b a e ˆ e είνι η εκτίµηση του ε, ε Εκτίµηση της δισποράς του σφάλµτος σ δειγµτική δισπορά των υπολοίπων e ( ) e ˆ ( ) b

13 Πρτηρήσεις Η ευθεί ελχίστων τετργώνων περνάει πό το σηµείο (, ) Άρ η ευθεί ελχίστων τετργώνων µπορεί επίσης ν οριστεί ως b ( ) Γι κάθε τιµή της Χ µπορούµε νπρολέψουµε την ντίστοιχη τιµή της πό την ευθεί ελχίστων τετργώνων ˆ a + b Προσοχή: πρέπει ν νήκει στο εύρος των τιµών της Χ που έχουµε πό το δείγµ

14 Πράδειγµ Θέλουµε ν µελετήσουµε τη µετολή της κτνάλωσης ρεύµτος µε το µέγεθος του διµερίσµτος γι ν προλέψουµε, ν είνι δυντόν, την κτνάλωση ρεύµτος γι κάποιο διµέρισµ Υποθέτουµε πως η κτνάλωση ηλεκτρικού ρεύµτος γι έν διµέρισµ εξρτάτι γρµµικά πό το µέγεθος του διµερίσµτος. Σωστή υπόθεση? / (m 3 ) (kw/h)

15 Εκτίµηση των πρµέτρων a κι b της ευθείς ελχίστων τετργώνων b 6.48 a Εκτίµηση δισποράς των σφλµάτων πλινδρόµησης ( )

16 Ερµηνεί των ποτελεσµάτων: b: Γι ύξηση του µεγέθους του διµερίσµτος κτά m η κτνάλωση ηλεκτρικού ρεύµτος υξάνει κτά περίπου 6kW/h (γι κρίει 6.48kW/h) a: Γι µηδενικό µέγεθος διµερίσµτος η κτνάλωση ρεύµτος είνι -.94kW/h (???) : Η εκτίµηση της δισποράς γύρω πό την ευθεί πλινδρόµησης γι κάθε τιµή του (που νήκει στο διάστηµ τιµών του πειράµτος) είνι 38.8(kW/h) Το τυπικό σφάλµ τηςεκτίµησης της πλινδρόµησης είνι 48.5kW/h η τυπική κτνάλωση ρεύµτος γι κάποιο διµέρισµ µεγέθους ρίσκετι στο διάστηµ ˆ ± 48.5 ŷ όπου είνι η εκτίµηση πό την ευθεί ελχίστων τετργώνων της µέσης κτνάλωσης ρεύµτος γι διµέρισµ µεγέθους

17 Συµπέρσµ: ε µπορούµε ν γάλουµε συµπεράσµτ γι την κτνάλωση του ρεύµτος σε µεγέθη διµερισµάτων εκτός του εύρους των τιµών του δείγµτος Με άση το µοντέλο πλινδρόµησης που εκτιµήσµε µπορούµε ν προλέψουµε κτνάλωση ρεύµτος γι κάθε διµέρισµ µεγέθους πό 3m ως 7m. Γι διµέρισµ 8m ( 8 ) η κτνάλωση ρεύµτος είνι kw/h