Περιεχόμενα Λογαριθμική συχνοτική απόκριση του στοιχείου μεταφοράς. με ολοκληρωτική συμπεριφορά... 37

Περιεχόμενα 3 Διερεύνηση της Ευστάθειας Γραμμικών Συστημάτων 3. Γενικά περί ευστάθειας συστημάτων................... 3.2 Κριτήριο ευστάθειας Hurwitz-Routh.................... 7 3.3 Τόπος ριζών της χαρακτηριστικής εξίσωσης συστήματος κλειστού βρόχου....................................... 3 3.3. Διερεύνηση χαρακτηριστικής εξίσωσης.............. 3 3.3.2 Κανόνες για τον προσδιορισμό του τόπου ριζών......... 6 3.3.3 Σχεδιασμός τόπου ριζών...................... 8 3.3.4 Επίδραση των χαρακτηριστικών του ρυθμιστή στον τόπο ριζών 22 3.4 Λογαριθμική παράσταση της συχνοτικής απόκρισης (διάγραμμα Bode) 29 3.4. Γενικά................................. 29 3.4.2 Λογαριθμικές συχνοτικές αποκρίσεις χαρακτηριστικών στοιχείων μεταφοράς........................... 34 3.4.2. Στοιχεία μεταφοράς με καθυστέρηση.......... 34 3.4.2.2 Λογαριθμική συχνοτική απόκριση στοιχείου μεταφοράς με ολοκληρωτική συμπεριφορά........... 37 3.4.2.3 Λογαριθμική συχνοτική απόκριση του στοιχείου μεταφοράς με διαφορική συμπεριφορά χωρίς καθυστέρηση............................. 38 3.4.2.4 Λογαριθμική συχνοτική απόκριση της ανατροφοδότησης με απόσβεση (υποχωρητική ανατροφοδότηση).. 40 3.4.2.5 Λογαριθμική συχνοτική απόκριση του διαφορικού στοιχείου με καθυστέρηση ης τάξης............. 4 3.4.2.6 Λογαριθμική συχνοτική απόκριση του στοιχείου μεταφοράς με ταλάντωση.................. 42 3.4.2.7 Λογαριθμική συχνοτική απόκριση του στοιχείου μεταφοράς με νεκρό χρόνο................. 46 3.4.3 Το διάγραμμα Nichols........................ 56 3.4.4 Εφαρμογή των λογαριθμικών συχνοτικών αποκρίσεων για τη διερεύνηση της ευστάθειας συστημάτων αυτόματης ρύθμισης. 68 3.4.4. Γενικά............................ 68 i

3.4.4.2 Επέκταση του κριτηρίου Nyquist............. 69 3.4.4.3 Εφαρμογή του κριτηρίου Nyquist για τις λογαριθμικές συχνοτικές αποκρίσεις.................. 75 3.5 Παραδείγματα σε Matlab.......................... 82 3.6 Ασκήσεις κεφαλαίου............................. 96 Βιβλιογραφία Κεφαλαίου............................. 97 ii

Διερεύνηση της Ευστάθειας Γραμμικών Συστημάτων 3 3. Γενικά περί ευστάθειας συστημάτων Στο κεφάλαιο αυτό θα εξετάσουμε ένα από τα βασικά προβλήματα της ανατροφοδότησης, το πρόβλημα της ευστάθειας. Είναι γνωστό ότι μια φυσική διεργασία που παρουσιάζεται ως ευσταθής χωρίς ρύθμιση, είναι ενδεχόμενο να δώσει ένα ασταθές σύστημα αν δεν επιλεγεί το κατάλληλο σύστημα ρύθμισης. Αρχικά θα πρέπει να διευκρινίσουμε τι εννοούμε με τον όρο «ευσταθές σύστημα». Ένα σύστημα λέγεται ευσταθές όταν μετά την επιβολή μιας παροδικής διαταραχής (π.χ. παλμικής) η έξοδος επανέρχεται με την πάροδο του χρόνου στην αρχική της τιμή. Χαρακτηριστική μορφή απόκρισης συστημάτων δίνεται στο σχήμα 3.i και 3.ii. Για να είναι ένα σύστημα ευσταθές πρέπει όλες οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης (πόλοι του συστήματος) να βρίσκονται αριστερά από τον άξονα των φανταστικών αριθμών στο πεδίο s, να έχουν δηλαδή αρνητικό πραγματικό μέρος. Αυτό ισχύει για τις καμπύλες 3.i και 3.ii του σχήματος 3., όπου η μεν καμπύλη 3.i είναι χαρακτηριστική του συστήματος με πραγματικές ρίζες, ενώ η καμπύλη 3.ii είναι χαρακτηριστική του συστήματος που περιλαμβάνει και μιγαδικές ρίζες (σύστημα με υποαπόσβεση). Η καμπύλη 3.iii είναι χαρακτηριστική συστήματος που περιλαμβάνει ένα πόλο στην αρχή των αξόνων (σημείο s = 0), οπότε μετά από μια αιφνίδια και στιγμιαία (παλμική) διαταραχή η ισορροπία αποκαθίσταται σε μια νέα τιμή. Το σχήμα 3.iv είναι χαρακτηριστικό συστήματος που περιλαμβάνει και πόλους στον άξονα των

Ενότητα 3. 2 φανταστικών αριθμών (σημείο s = ±jω). Τα συστήματα των σχημάτων 3.iii και 3.iv λέγονται οριακά ευσταθή (marginally stable). Ένα σύστημα είναι ασταθές όταν έστω και ένας πόλος βρίσκεται στο δεξί μισό του πεδίου s. Ο πόλος αυτός δίνει έναν εκθετικό όρο (e at ), ο οποίος όσο μικρό συντελεστή και αν έχει αυξάνει εκθετικά με τον χρόνο, με τελική τιμή της x(t) το άπειρο. Σχήμα 3.: Χαρακτηριστικές καμπύλες απόκρισης σε παλμική διαταραχή διαφόρων συστημάτων. x(t) x(t) t t x(t) (i) x(t) (ii) t t x(t) (iii) x(t) (iv) t t (v) (vi) 3.i & 3.ii ευσταθή συστήματα-ρίζες με αρνητικό πραγματικό μέρος. 3.iii & 3.iv οριακά ευσταθή συστήματα-ρίζες με μηδενικό πραγματικό μέρος. 3.v & 3.vi ασταθή συστήματα-ρίζες με θετικό πραγματικό μέρος.

Ενότητα 3. 3 Το σχήμα 3.v παριστάνει σύστημα με πραγματική θετική ρίζα (ή ρίζες) ενώ το σχήμα 3.vi παριστάνει σύστημα με συζυγείς μιγαδικές ρίζες με πραγματικό θετικό μέρος. Συνοψίζοντας σχετικά με την ευστάθεια και γενικότερα τη μεταβατική συμπεριφορά των συστημάτων μπορούμε να αναφέρουμε ότι: Ένα σύστημα είναι ευσταθές όταν δεν υπάρχει καμία ρίζα της χαρακτηριστικής εξίσωσης με θετικό πραγματικό μέρος. Συζυγείς μιγαδικές ρίζες έχουν σαν αποτέλεσμα την εμφάνιση ταλάντωσης που αποσβένεται τόσο πιο γρήγορα όσο μεγαλύτερο, κατ απόλυτη τιμή, είναι το πραγματικό μέρος των ριζών. Η συχνότητα των ταλαντώσεων καθορίζεται από το φανταστικό μέρος των ριζών. Όταν το πραγματικό μέρος των ριζών γίνεται μηδέν, όταν δηλαδή οι ρίζες βρίσκονται πάνω στον άξονα των φανταστικών αριθμών τότε το σύστημα παρουσιάζει ταλαντώσεις σταθερού εύρους χωρίς απόσβεση. Το σύστημα στην περίπτωση αυτή λέγεται οριακά ευσταθές. Όταν το φανταστικό μέρος δύο συζυγών μιγαδικών ριζών γίνει μηδέν, όταν δηλαδή το σύστημα έχει δύο ίσες πραγματικές ρίζες, δεν παρουσιάζει πλέον ταλαντώσεις. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι παρουσιάζει κρίσιμη απόσβεση. Για απόσβεση μεγαλύτερη από την κρίσιμη το σύστημα έχει ρίζες πραγματικές, αρνητικές και άνισες. Το σύστημα είναι τότε υπεραποσβενούμενο, δεν παρουσιάζει δηλαδή ταλαντώσεις αλλά αποκρίνεται βραδύτερα στις διαταραχές από ότι το αντίστοιχο σύστημα με υποαπόσβεση. Σ ένα σύστημα ρύθμισης οι τιμές που παίρνουν οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης εξαρτώνται από τις παραμέτρους του ρυθμιστή. Για ένα σύστημα π.χ. που αποτελείται από τρεις βαθμίδες A τάξης σε σειρά με αναλογικό ρυθμιστή η χαρακτηριστική εξίσωση έχει τη μορφή: K + (T s + )(T 2 s + )(T 3 s + ) = 0 (3.) Όπου K παριστάνει την ολική ενίσχυση του σήματος όταν αυτό διέρχεται από τον ρυθμιστικό βρόχο την οποία και μπορούμε να μεταβάλλουμε εκλέγοντας την κατάλληλη τιμή του συντελεστή αναλογικότητας K c.

Ενότητα 3. 4 Για μικρές τιμές του K το σύστημα έχει τρεις πραγματικές ρίζες και παρουσιάζει υπεραπόσβεση, δηλαδή μετά την επιβολή μιας παλμικής διαταραχής επανέρχεται στην ισορροπία χωρίς ταλαντώσεις. Για μεγαλύτερες τιμές του K το σύστημα αρχίζει να παρουσιάζει ταλαντώσεις, που σημαίνει ότι υπάρχουν δύο συζυγείς μιγαδικές ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης. Όσο αυξάνει το K, οι ταλαντώσεις γίνονται εντονότερες δηλαδή μικραίνει ο λόγος του πραγματικού μέρους προς το φανταστικό μέρος των ριζών. Η κρίσιμη τιμή του K, δηλαδή η τιμή πάνω από την οποία το σύστημα γίνεται ασταθές, αντιστοιχεί σε ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης πάνω στον άξονα των φανταστικών αριθμών, οπότε το σύστημα βρίσκεται στο όριο ευστάθειας και παρουσιάζει ταλαντώσεις σταθερού εύρους. Η κρίσιμη τιμή μπορεί να υπολογιστεί αν γράψουμε την εξίσωση (3.) στη μορφή: K + (T s + )(T 2 s + )(T 3 s + ) = (T s + ) [ (s + α) 2 + ω 2] όπου α παριστάνει το πραγματικό και ω το φανταστικό μέρος των ριζών. Στη συνέχεια υπολογίζεται το α ως συνάρτηση των K, T, T 2, T 3 και εξισώνεται με μηδέν. Αν είναι γνωστά τα T, T 2, T 3, από την τελευταία αυτή εξίσωση υπολογίζεται η κρίσιμη τιμή του K. Για το σύστημα που εξετάζουμε είναι: K max = 2 + T T 2 + T 2 T + T T 3 + T 3 T + T 3 T 2 + T 2 T 3 (3.2) To K max είναι μεγαλύτερο όταν οι σταθερές χρόνου είναι διάφορες μεταξύ τους. Όταν οι σταθερές χρόνου είναι ίσες, τότε το K max γίνεται ίσο με 8. Για συστήματα A, B ή και Γ τάξης οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης μπορούν να βρεθούν εύκολα και να προσδιοριστεί έτσι αν το σύστημα είναι ευσταθές. Για συστήματα όμως ανώτερης τάξης η εύρεση των ριζών δεν είναι απλή. Επιπλέον οι τιμές των ριζών δεν δίνουν πληροφορίες για την επίδραση που θα έχει στο σύστημα η μεταβολή των παραμέτρων του, για τα όρια δηλαδή μέσα στα οποία μπορούν να μεταβάλλονται οι παράμετροι, όπως π.χ. η ενίσχυση, χωρίς το σύστημα να γίνεται ασταθές. Για το λόγο αυτό, για τη μελέτη της ευστάθειας των συστημάτων ρύθμισης χρησιμοποιούνται ειδικές μέθοδοι ανάλυσης.

Ενότητα 3. 5 Τα προβλήματα που αντιμετωπίζονται συνήθως στη ρύθμιση είναι δύο τύπων. Στον πρώτο τύπο ζητείται να προσδιοριστεί αν ένα δεδομένο σύστημα με προσδιορισμένες όλες τις παραμέτρους είναι ευσταθές. Στην περίπτωση αυτή μπορεί να εφαρμοστεί ένα από τα κριτήρια ευστάθειας που θα αναπτύξουμε παρακάτω. Στη δεύτερη περίπτωση ζητείται να προσδιοριστεί η περιοχή, μέσα στην οποία μπορεί να μεταβληθεί μία ή και περισσότερες παράμετροι του συστήματος, ώστε αυτό να παραμένει ευσταθές, πρέπει δηλαδή στην περίπτωση αυτή να προσδιοριστεί η περιοχή ευστάθειας του συστήματος. Θα πρέπει και πάλι να τονιστεί ότι η ανάλυση που ακολουθεί αναφέρεται μόνο σε γραμμικά μοντέλα των συστημάτων ρύθμισης. Συνήθως τα πραγματικά συστήματα μπορούν να προσομοιωθούν με γραμμικά μοντέλα μόνο για μικρές αλλαγές των μεταβλητών. Η ευστάθεια του γραμμικού μοντέλου δεν συνεπάγεται επομένως απαραίτητα ευστάθεια και για το πραγματικό σύστημα. Ωστόσο με την ανάλυση αυτή μπορούμε να πάρουμε χρήσιμες πληροφορίες για την περιοχή μέσα στην οποία μπορούν να μεταβάλλονται οι παράμετροι του συστήματος ή σε περίπτωση που το γραμμικό μοντέλο παρουσιάζει αστάθεια δομής να μελετήσουμε τον τρόπο με τον οποίο μπορεί να διορθωθεί η αστάθεια του συστήματος. Σε αυτό το σημείο είναι χρήσιμο να εισάγουμε εν συντομία τους γραμμικούς ρυθμιστές αναλογικού (proportional), αναλογικού - ολοκληρωτικού (proportional-integral), αναλογικού - διαφορικού (proportional derivative) και αναλογικού - ολοκληρωτικού - διαφορικού (proportional-integral-derivative) τύπου. Η αναφορά στην δομή αυτών των γραμμικών ρυθμιστών θα βοηθήσει στην κατανόηση των εννοιών που παρουσιάζονται σε αυτό το κεφάλαιο ενώ εκτενέστερη περιγραφή και ανάλυση των ιδιοτήτων τους γίνεται στο κεφάλαιο 4. Αναλογικοί Ρυθμιστές (P-controllers) Η δυναμική συμπεριφορά των ιδανικών (χωρίς καθυστέρηση) αναλογικών (P) ρυθμιστών περιγράφεται από την κάτωθι σχέση: y (t) = K C E (t) (3.3) όπου y (t) είναι το σήμα εξόδου του ρυθμιστή (η τιμή της μεταβλητής εκ χειρισμού στον χρόνο t), E (t) είναι το σφάλμα της εξόδου του συστήματος από την τιμή ή τροχιά αναφοράς (set point/trajectory). K C είναι η ενίσχυση του ρυθμιστή. Η συνάρτηση

Ενότητα 3. 6 μεταφοράς του ιδανικού P-ρυθμιστή είναι συνεπώς: G (s) = Y (s) E (s) = K C (3.4) Αναλογικοί-Ολοκληρωτικοί Ρυθμιστές (PI-controllers) Η δυναμική συμπεριφορά των ιδανικών (χωρίς καθυστέρηση) αναλογικών - ολοκληρωτικών (PΙ) ρυθμιστών περιγράφεται από την κάτωθι σχέση: y (t) = K C E (t) + T i t 0 E (t) (3.5) όπου y (t) είναι το σήμα εξόδου του ρυθμιστή (η τιμή της μεταβλητής εκ χειρισμού στον χρόνο t), E (t) είναι το σφάλμα της εξόδου του συστήματος από την τιμή ή τροχιά αναφοράς (set point/trajectory). K C είναι η ενίσχυση του ρυθμιστή και T i είναι ο ολοκληρωτικός χρόνος (ή χρόνος μετενεργοποίησης). Και οι δύο αυτές παράμετροι είναι παράμετροι προς βαθμονόμηση. Παρατηρείστε ότι ο αναλογικόςολοκληρωτικός ρυθμιστής δρα λόγου του ολοκληρωτικού όρου μέχρι να μηδενιστεί το σφάλμα E (t). Η συνάρτηση μεταφοράς του ιδανικού PΙ-ρυθμιστή είναι συνεπώς: G (s) = Y (s) ( E (s) = K C + ) T i s (3.6) Αναλογικοί-ΔιαφορικοίΡυθμιστές (PD-controllers) Η δυναμική συμπεριφορά των ιδανικών (χωρίς καθυστέρηση) αναλογικών-διαφορικών (PD) ρυθμιστών περιγράφεται από την κάτωθι σχέση: ( ) de (t) y (t) = K C E (t) + T d dt (3.7) όπου y (t) είναι το σήμα εξόδου του ρυθμιστή (η τιμή της μεταβλητής εκ χειρισμού στον χρόνο t), E (t) είναι το σφάλμα της εξόδου του συστήματος από την τιμή ή τροχιά αναφοράς (set point/trajectory). K C είναι η ενίσχυση του ρυθμιστή και T d είναι ο διαφορικός χρόνος (ή χρόνος προπορείας). Και οι δύο αυτές παράμετροι είναι παράμετροι προς βαθμονόμηση. Παρατηρείστε ότι ο αναλογικός-διαφορικός ρυθμιστής δρα από την παρατήρηση στην μεταβολή του σφάλματος λόγου του διαφορικού όρου. Για αυτό το λόγο είναι ευάλωτος σε συστήματα με θόρυβο όπου μπορούν να παρουσιασθούν απότομες-μη συνεχείς μεταβολές στο σήμα εξόδου του

Ενότητα 3.2 7 συστήματος. Η συνάρτηση μεταφοράς του ιδανικού PD-ρυθμιστή είναι συνεπώς: G (s) = Y (s) E (s) = K C ( + T d s) (3.8) Αναλογικοί-Ολοκληρωτικοί-Διαφορικοί Ρυθμιστές (PΙD-controllers) Οι PID-ρυθμιστές συνδυάζουν τα χαρακτηριστικά όλων των παραπάνω ρυθμιστών. Η δυναμική συμπεριφορά των ιδανικών (χωρίς καθυστέρηση) PΙD ρυθμιστών περιγράφεται από την κάτωθι σχέση: ( de (t) y (t) = K C E (t) + T d + ) t E (t) dt T i 0 (3.9) και η συνάρτηση μεταφοράς είναι: G (s) = Y (s) ( E (s) = K C + T d s + ) T i s (3.0) 3.2 Κριτήριο ευστάθειας Hurwitz-Routh Η χαρακτηριστική εξίσωση ενός συστήματος έχει εν γένει τη μορφή πολυωνύμου: α 0 s n + α s n +... + α n = 0 (3.) Το πολυώνυμο αυτό μπορεί να γραφεί σε μορφή παραγόντων: α 0 s n + α s n +... + α n = α 0 (s s )(s s 2 )... (s s n ) (3.2) όπου s, s 2,... s n είναι οι ρίζες της (3.). Όταν το σύστημα είναι ευσταθές, τότε όλες οι ρίζες έχουν αρνητικό πραγματικό μέρος και επομένως ο κάθε παράγοντας (s s ) είναι θετικός, πράγμα που συνεπάγεται ότι οι συντελεστές α 0, α,..., α n πρέπει να είναι όλοι θετικοί. Άρα απαραίτητη συνθήκη για να είναι ένα σύστημα ευσταθές είναι όλοι οι συντελεστές της χαρακτηριστικής εξίσωσης να έχουν το ίδιο πρόσημο. Οι συζυγείς μιγαδικές ρίζες εμφανίζονται στη μορφή: (s a + jω)(s a jω) και για a < 0 μπορούν να γραφτούν: (s + a ) 2 + ω 2.

Ενότητα 3.2 8 Ακόμη όμως και συστήματα με ομόσημους όλους τους συντελεστές της χαρακτηριστικής εξίσωσης είναι δυνατόν να είναι ασταθή. Κριτήριο ευστάθειας Hurwitz Το κριτήριο ευστάθειας Hurwitz [] είναι ένας τρόπος ελέγχου της ευστάθειας ενός συστήματος από τις τιμές των συντελεστών της χαρακτηριστικής εξίσωσης. Από τους συντελεστές της χαρακτηριστικής εξίσωσης (3.) σχηματίζεται η ορίζουσα Hurwitz n τάξης που έχει τη μορφή: a a 3 a 5... 0 a 0 a 2 a 4... 0 0 a n = a 3...... 0 a 0 a 2..................... 0 0 0... a n Από την ορίζουσα αυτή προκύπτουν όλες οι ελάσσονες ορίζουσες Hurwitz i όπου i = l, 2,..., n l: = α α α 3 2 = = α α 2 α 0 α 3 α 0 α 2 α α 3 α 5 3 = α 0 α 2 α 4 = α α 2 α 3 + α 0 α α 5 α 0 α3 2 α 4 α 2 0 α α 3 κ.λπ. Η συνθήκη ευστάθειας Hurwitz διατυπώνεται ως εξής: για να είναι ένα σύστημα με θετικούς συντελεστές χαρακτηριστικής εξίσωσης ευσταθές, πρέπει όλες οι ορίζουσες Hurwitz να είναι μεγαλύτερες του μηδενός. i > 0 για i =, 2,..., n (3.3)

Ενότητα 3.2 9 Παράδειγμα 3.2.. Έστω ότι ένα σύστημα έχει χαρακτηριστική εξίσωση: 20s 3 + 42s 2 + 4s + = 0 Να βρεθεί αν το σύστημα είναι ευσταθές. Λύση: Οι ορίζουσες Hurwitz είναι: = 42 > 0 42 2 = = 42 4 20 > 0 20 4 42 0 3 = 20 4 0 0 42 Επειδή και η 3 = α 3 2 > 0 το σύστημα είναι ευσταθές. Γενικά για ένα σύστημα 3 ης τάξης επειδή η = α είναι πάντα θετική και η 3 = α 3 2 έχει το ίδιο πρόσημο με τη 2, η σχέση που προσδιορίζει την ευστάθεια του συστήματος είναι η ακόλουθη: 2 = α α 2 α 0 α 3 > 0 Το όριο ευστάθειας βρίσκεται αν θέσουμε 2 = 0. Κριτήριο ευστάθειας Routh Για συστήματα ανώτερης τάξης ο υπολογισμός των οριζουσών Hurwitz γίνεται επίπονος γι αυτό, χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των οριζουσών, μπορούμε να φέρουμε την ορίζουσα n σε διαγώνια μορφή δηλαδή μορφή όπου όλα τα στοιχεία αριστερά της διαγωνίου α + α n να είναι μηδέν. Η τιμή της ορίζουσας αυτής είναι ίση με το γινόμενο των διαγώνιων στοιχείων ενώ η τιμή κάθε ελάσσονας ορίζουσας i είναι ίση με το γινόμενο των διαγωνίων στοιχείων μέχρι τη σειρά i.

Ενότητα 3.2 0 Για απλοποίηση των υπολογισμών ο Routh [2] πρότεινε τη χρήση του παρακάτω πίνακα: Στήλες Σειρές 2 3 4 5 (s n ) α 0 α 2 α 4 α 6... 2 (s n ) α α 3 α 5 α 7... 3 (s n 2 ) α 3 α 32 α 33 α 34... 4... α 4 α 42 α 43... 5... α 5... -...... n (s 0 )... Πίνακας 3.: Πίνακας Routh Όπου οι τιμές των α ij υπολογίζονται από τις σχέσεις : α 3 = α α 2 α 0 α 3 α α 32 = α α 4 α 0 α 5 α α 33 = α α 6 α 0 α 7 α α 4 = α 3α 3 α α 32 α 3 α 42 = α 3α 5 α α 33 α 3... κ.λπ. Το κριτήριο ευστάθειας Routh διατυπώνεται ως εξής: οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξισώσης έχουν όλες αρνητικό πραγματικό μέρος όταν όλα τα στοιχεία της πρώτης στήλης του πίνακα Routh είναι θετικά (α 0, α, α 3, α 4, α 5,... > 0). To σύστημα έχει τόσες ρίζες στο δεξιό ημιεπίπεδο s όσες φορές παρουσιάζεται αλλαγή σημείου στην πρώτη στήλη. Παράδειγμα 3.2.2. Να προσδιορισθούν οι συνθήκες που πρέπει να πληρούν οι συντελεστές χαρακτηριστικής εξίσωσης 4 ης τάξης ώστε το σύστημα να είναι ευσταθές. Λύση: Η χαρακτηριστική εξίσωση 4 ης τάξης έχει τη μορφή: α 0 s 4 + α s 3 + α 2 s 2 + α 3 s + α 4 = 0 Από αυτή κατασκευάζουμε τον πίνακα Routh:

Ενότητα 3.2 s 4 α 0 α 2 α 4 s 3 α α 3 0 s 2 α 3 α 32 s α 4 0 όπου: α 3 = α α 2 α 0 α 3 α, α 32 = α 4 α 4 = α 3α 3 α α 32 α 3 = (α α 2 α 0 α 3 )α 3 α 2 α 4 α α 2 α 0 α 3 Οι συνθήκες για να είναι το σύστημα ευσταθές είναι:. α α 2 α 0 α 3 > 0 2. (α α 2 α 0 α 3 )α 3 > α 2 α 4 Παράδειγμα 3.2.3. Να προσδιορισθεί η ευστάθεια συστήματος με χαρακτηριστική εξίσωση: s 4 + 6s 3 + s 2 + 6s + 30 = 0 Λύση: Ό πίνακας Routh είναι: s 4 30 s 3 6 6 s 2 0 30 s -2 s 0 30 Εξετάζοντας τα στοιχεία της πρώτης στήλης:, 6, 0, -2, 30, παρατηρούμε ότι υπάρχουν δύο αλλαγές σημείου, άρα δύο ρίζες βρίσκονται στο δεξί ημιεπίπεδο s και το σύστημα είναι ασταθές. Αν στον πίνακα Routh οι τιμές των στοιχείων γίνουν πολύ μεγάλες, μπορούμε να διαιρέσουμε όλα τα στοιχεία μιας σειράς με οποιονδήποτε θετικό αριθμό χωρίς να μεταβληθούν τα αποτελέσματα.

Ενότητα 3.3 2 Από το κριτήριο Routh μπορούν να προσδιοριστούν επίσης τα όρια μέσα στα οποία επιτρέπεται η μεταβολή μιας παραμέτρου ώστε το σύστημα να παραμένει ευσταθές. Οι συντελεστές a ij υπολογίζονται ως συνάρτηση της υπό μελέτη παραμέτρου και γράφονται οι ανισότητες που εξασφαλίζουν ότι τα στοιχεία της πρώτης στήλης είναι θετικά: α 3, α 4, α 5... > 0 Παράδειγμα 3.2.4. Να βρεθούν τα όρια μεταβολής του K ώστε να είναι ευσταθές το σύστημα που έχει χαρακτηριστική εξίσωση: s 4 + 6s 3 + s 2 + 6s + K = 0 Λύση: Ο πίνακας Routh για το σύστημα είναι: K 6 6 0 0 K 60 6K 0 0 K Για να είναι το σύστημα ευσταθές πρέπει να ισχύουν οι σχέσεις: K > 0 (ισχύει πάντα για φυσικά συστήματα) 60 6K > 0 ή K < 0 Το όριο ευστάθειας είναι στο k = 0 όποτε το σύστημα έχει δύο ρίζες φανταστικές.

Ενότητα 3.3 3 3.3 Τόπος ριζών της χαρακτηριστικής εξίσωσης συστήματος κλειστού βρόχου 3.3. Διερεύνηση χαρακτηριστικής εξίσωσης Αν παραστήσουμε το γινόμενο όλων των συναρτήσεων μεταφοράς του βρόχου με G(s), τότε η χαρακτηριστική εξίσωση του συστήματος ρύθμισης είναι: + G(s) = 0 (3.4) Η συνάρτηση G(s) είναι η συνάρτηση μεταφοράς ανοικτού βρόχου, και το γινόμενο των συναρτήσεων μεταφοράς των στοιχείων του βρόχου που μπορεί να γραφεί υπό μορφή παραγόντων με τη γενική μορφή: G(s) = C (s z )(s z 2 )... (s z m ) (s s )(s s 2 )... (s s n ) (3.5) όπου z i είναι οι μηδενικές θέσεις και s i οι πόλοι όλων των συναρτήσεων μεταφοράς του βρόχου. Αν οι συναρτήσεις μεταφοράς των στοιχείων του βρόχου δίνονται με τη μορφή: T i s + ή T i s + τότε οι ρίζες s i και z i αντιστοιχούν με /T i και η σταθερά C συνδέεται με την ενίσχυση του σήματος στον βρόχο (ενίσχυση σε μόνιμη κατάσταση) από τη σχέση: m ( z i ) K = C n ( s i ) Είναι δηλαδή η σταθερά C όπως και η K ανάλογη προς τον συντελεστή αναλογίας του ρυθμιστή K C : C K C Αν συμβολίσουμε τον αριθμητή με: N = (s z i ), και τον παρανομαστή με: D = (s si ), τότε η χαρακτηριστική εξίσωση του συστήματος κλειστού βρόχου (3.4)

Ενότητα 3.3 4 μπορεί να γραφεί στη μορφή: CN + D = 0 (3.6) Για K C = 0 (σύστημα ανοικτού βρόχου) η σταθερά C = 0 και οι ρίζες της (3.6) συμπίπτουν με τις ρίζες του παρονομαστή D δηλαδή με τους πόλους της G(s). Για K C οι ρίζες της (3.6) τείνουν προς τις ρίζες του αριθμητή (CN >> D), δηλαδή προς τις μηδενικές θέσεις του συστήματος ανοικτού βρόχου. Για να βρεθούν οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης για ενδιάμεσες τιμές του K C, θα πρέπει να επιλυθεί η (3.6) για κάθε συγκεκριμένη τιμή K C. Η επίλυση της (3.6) δεν είναι εύκολη αναλυτικά, επειδή η χαρακτηριστική εξίσωση είναι συνήθως ανώτερη του 3 ου βαθμού. Για την εύρεση του γεωμετρικού τόπου των ριζών τής (3.4) για διάφορες τιμές χρησιμοποιείται η εξής μέθοδος [3]: Η εξίσωση (3.4) γράφεται στη μορφή: C (s z )(s z 2 )... (s z m ) (s s )(s s 2 )... (s s n ) = (3.7) Για να ισχύει η εξίσωση (3.7) πρέπει το αριστερό σκέλος να παριστάνει διάνυσμα με μέτρο και γωνία (2k + )π. Μπορεί δηλαδή η (3.7) να αναλυθεί στις εξισώσεις: C s z s z 2... s z m s s s s 2... s s n = (3.8) και (s z ) + (s z 2 ) + (s z m ) (s s ) (s s 2 )... (s s n ) = (2κ + )π (3.9) όπου k τυχόν ακέραιος (θετικός ή αρνητικός) ή μηδέν. Η θέση των ριζών βρίσκεται από τις εξισώσεις (3.8) και (3.9) με τη μέθοδο των διαδοχικών προσεγγίσεων.

Ενότητα 3.3 5 Η εξίσωση (3.9) λέγεται κριτήριο γωνιών, είναι ανεξάρτητη του K C και χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό του γεωμετρικού τόπου των ριζών. Για να ανήκει δηλαδή ένα σημείο στον τόπο θα πρέπει να ικανοποιεί το κριτήριο γωνιών. Αφού κατασκευασθεί ο τόπος, η συγκεκριμένη θέση των ριζών για κάθε τιμή K C βρίσκεται στη συνέχεια με τη βοήθεια της εξίσωσης (3.8). Ως παράδειγμα ας θεωρήσουμε ένα σύστημα ρύθμισης με συνάρτηση μεταφοράς ανοικτού βρόχου: όπου C = K T d T T 2 T 3. G(s) = G(s) = K(T d s + ) (T s + )(T 2 s + )(T 3 s + ) C(s + /T d ) (s + /T )(s + /T 2 )(s + /T 3 ) (3.20) Οι ρίζες της συνάρτησης G(s) είναι: s = /T, s 2 = /T 2, s 3 = /T 3 και η μηδενική θέση z = /T d. Η χαρακτηριστική εξίσωση του συστήματος ρύθμισης G(s) + = 0 είναι τρίτου βαθμού, υπάρχουν επομένως για κάθε τιμή K C εξίσωσης. τρεις ρίζες της χαρακτηριστικής Στο σχήμα 3.2 έχουν σημειωθεί οι πόλοι και η μηδενική θέση της G(s). Για να αποτελεί το σημείο s 0 (σχήμα 3.2) σημείο του τόπου ριζών, θα πρέπει να ικανοποιεί την (3.9), δηλαδή: ψ ϕ ϕ 2 ϕ 3 = (2κ + )π (3.2) Μετατοπίζοντας το σημείο s 0 μπορούμε να επιτύχουμε τη θέση όπου ικανοποιείται το κριτήριο γωνιών (εξίσωση (3.9)) δηλαδή να προσδιορίσουμε ένα σημείο του τόπου. Για να βρούμε για ποια τιμή K C ή C έχουμε ρίζα στο σημείο s 0, χρησιμοποιούμε την (3.8), δηλαδή: β C α α 2 α 3 = C = α α 2 α 3 β (3.22) όπου α, α 2, α 3 είναι τα διανύσματα από τους πόλους της G(s) και β το διάνυσμα από τη μηδενική θέση προς το σημείο s 0.

Ενότητα 3.3 6 Σχήμα 3.2: Χρήση του κριτηρίου γωνιών για τον προσδιορισμό του τόπου ριζών. Im S 0 2 3 3 2 - T 3 - T d - T 2 - T Re Περιοχές του τόπου Η εργασία του προσδιορισμού του τόπου ριζών απλοποιείται πολύ αν χρησιμοποιηθούν οι ακόλουθοι κανόνες που προκύπτουν από διερεύνηση των (3.7) (3.8) και (3.9) [3, 4]. 3.3.2 Κανόνες για τον προσδιορισμό του τόπου ριζών. Ο αριθμός των γεωμετρικών τόπων ή κλάδων ισούται με τον αριθμό των πόλων της G(s). 2. Κάθε κλάδος ξεκινάει από ένα πόλο της G(s) και καταλήγει σε μια μηδενική θέση της G(s). Για όλα τα φυσικά συστήματα ο αριθμός των μηδενικών θέσεων είναι μικρότερος ή ίσος με τον αριθμό των πόλων δηλαδή m < n. Όταν m < n, τότε n m κλάδοι του τόπου καταλήγουν στο άπειρο. 3. Οι τόποι είναι συμμετρικοί ως προς τον άξονα των πραγματικών αριθμών εφόσον οι μιγαδικές ρίζες εμφανίζονται πάντα σαν ζεύγος συζυγών μιγαδικών αριθμών. 4. Σημεία τού άξονα των πραγματικών αριθμών ανήκουν στον τόπο όταν ο αριθμός των μηδενικών θέσεων και πόλων δεξιά του υπόψη σημείου είναι περιττός. Στο παράδειγμα του σχήματος 3.2 ο τόπος πάνω στον άξονα των πραγματικών αριθμών είναι μεταξύ των δύο πόλων στο /T και /T 2 (αριστερά μιας ρίζας: του πόλου στο /T ) και μεταξύ της μηδενικής θέσης στο /T d και του πόλου στο /T 3 (αριστερά τριών σημείων: δύο πόλων και μιας μηδενικής θέσης).

Ενότητα 3.3 7 5. Οι κλάδοι απομακρύνονται ή πλησιάζουν τον άξονα των πραγματικών αριθμών σχηματίζοντας μαζί του ορθή γωνία. Το σημείο εξόδου ή εισόδου στον άξονα, s 0, υπολογίζεται από τη σχέση: n s 0 s i = m s 0 z i (3.23) όπου s 0 το σημείο εξόδου. 6. Ασύμπτωτοι: οι (n m) κλάδοι που καταλήγουν στο άπειρο ακολουθούν ασυμπτωτικά ευθείες που ξεκινούν ακτινικά ακτινωτά από το «κέντρο βάρους» των μηδενικών θέσεων και πόλων της G(s). Οι ασύμπτωτες αυτές σχηματίζουν μεταξύ τους ίσες γωνίες με τιμή 2π/n m, ενώ τέμνουν τον άξονα των πραγματικών αριθμών υπό γωνία (2κ + )π/(n m). Η σχετική θέση των ασύμπτωτων για n m =, 2, 3 και 4 δίνεται στο σχήμα 3.3. Σχήμα 3.3: Σχετική θέση ασύμπτωτων 80 o Re n-m= (i) ασύμπτωτος 80 o 90 o Re n-m=2 (ii) 2 ασύμπτωτοι 90 o 45 o Re n-m=4 n-m=3 20 o 60 o Re (iii) 3 ασύμπτωτοι (iv) 4 ασύμπτωτοι Η θέση στον άξονα των πραγματικών αριθμών απ όπου ξεκινούν οι ασύμπτωτοι υπολογίζεται από τη σχέση: [ n S α = s i ] m z i /(n m) (3.24)

Ενότητα 3.3 8 Γωνία απομάκρυνσης από πόλο ή προσέλευσης σε μηδενική θέση: η γωνία από την οποία ο τόπος εγκαταλείπει τον πόλο στο s k υπολογίζεται από τη σχέση: ψ = (s k z i ) (s k s i ) + π (3.25) i k Η σχέση (3.24) χρησιμοποιείται κυρίως για πόλους που δεν βρίσκονται πάνω στον άξονα των πραγματικών αριθμών. Για πόλους πάνω στον άξονα είναι ευκολότερη η χρησιμοποίηση του 4 ου κανόνα. Αν ο πόλος s k είναι q τάξης ξεκινάνε απ αυτόν q κλάδοι του τόπου σχηματίζοντας γωνίες: ϕ = (2κ + )π + (s k z i ) (s k s i ) (3.26) q i k για κ = 0,, 2..., q. Αντίστοιχοι τύποι ισχύουν για τον προσδιορισμό της γωνίας υπό την οποία ο τόπος πλησιάζει μια μηδενική θέση z k που είναι q τάξης: ϕ = (2κ + )π + (z k z i ) (z k z i ) (3.27) q i k Μια ιδιότητα του τόπου ριζών που βοηθά πολύ στο σχεδιασμό του, είναι η αντιστοιχία που υπάρχει μεταξύ του τόπου και της τροχιάς που ακολουθεί ένα σωματίδιο θετικά φορτισμένο ξεκινώντας από κάθε πόλο και ευρισκόμενο σε ένα ηλεκτροστατικό πεδίο που δημιουργείται από θετικά φορτία στους πόλους και αρνητικά φορτία στις μηδενικές θέσεις. Δηλαδή ο τόπος «απωθείται» από τους πόλους και «έλκεται» από τις μηδενικές θέσεις της G(s). 3.3.3 Σχεδιασμός τόπου ριζών Έστω το σύστημα ρύθμισης του σχήματος 3.4, που αποτελείται από διεργασία δύο βαθμίδων πρώτης τάξης σε σειρά, μετρητικό όργανο σταθερός χρόνου T m, αναλογικό ρυθμιστή και βαλβίδα χωρίς χρονική υστέρηση.

Ενότητα 3.3 9 Η συνάρτηση μεταφοράς ανοικτού βρόχου είναι: G(s) = K c K v K p K m (T s + )(T 2 s + )(T m s + ) = C (s + /T )(s + /T 2 )(s + /T m ) όπου ( ) KV K p K m C = K c T T 2 T m Σχήμα 3.4: Βρόχος τριών βαθμίδων. θ i + - K c K Kp v Ts T 2 s + + θ Km T m s+ G(s) = C (s + /T )(s + /T 2 )(s + /T m ) Έστω ότι T =, T 2 = 0.5 και T m = 0.2. Για τον σχεδιασμό του τόπου ριζών ακολουθείται η εξής σειρά: α) Σημειώνουμε στο πεδίο s τις μηδενικές θέσεις και τους πόλους της G(s). Στο παράδειγμά μας υπάρχουν 3 πόλοι οι s =, s 2 = 2 και s 3 = 5 και καμιά μηδενική θέση (σχήμα 3.5i). Ο τόπος επομένως θα έχει τρεις κλάδους που ξεκινούν από τους πόλους και καταλήγουν όλοι στο άπειρο (κανόνες και 2) β) Ο τόπος ριζών στον άξονα των πραγματικών αριθμών είναι αριστερά από περιττό αριθμό ριζών (πόλων + μηδενικών θέσεων) δηλαδή για το παράδειγμά μας μεταξύ και 2 και μεταξύ 5 και (κανόνας 4). Επομένως, ο ένας κλάδος του τόπου έχει ήδη προσδιορισθεί. Ξεκινάει από το 5 και ακολουθεί τον άξονα των πραγματικών αριθμών μέχρι το. Οι άλλοι δύο κλάδοι ξεκινούν από το 2 και και πλησιάζουν προς ένα κοινό σημείο (σημείο κρίσιμης απόσβεσης του συστήματος). γ) Αφού n = 3 και m = 0, υπάρχουν 3 ασύμπτωτοι που είναι τοποθετημένες όπως στο (σχήμα 3.3i). Το σημείο τομής των ασυμπτώτων με τον άξονα των πραγματικών αριθμών βρίσκεται από την εξίσωση (3.24) (κανόνας 6): s α = ( ) + ( 2) + ( 5) 3 = 2.66

Ενότητα 3.3 20 Σχήμα 3.5: Τόπος ριζών της (s + )(s + 2)(s + 5) + C = 0). Im 0.978 0.955 0.92 0.84 0.7 0.4 0.99 0.998 5 4 3 2 0.998 0.99 0.978 0.955 0.92 0.84 0.7 0.4 Re (i) Im C = 26-2.66 -.48-5 -2 - C = 26 (ii) Re Οι ασύμπτωτοι έχουν σχεδιασθεί στο (σχήμα 3.5). δ) Το σημείο εξόδου από τον οριζόντιο άξονα (R), το σημείο δηλαδή όπου οι κλάδοι που ξεκινούν από το 2 και το συναντώνται και στη συνέχεια εγκαταλείπουν τον άξονα των πραγματικών αριθμών, βρίσκεται εφαρμόζοντας τον κανόνα 5 με τη βοήθεια της εξίσωσης (3.23):

Ενότητα 3.3 2 s 0 + + s 0 + 2 + s 0 + 5 = 0 Συνήθως η (3.23) επιλύεται με τη μέθοδο των διαδοχικών προσεγγίσεων. Για να προσδιορίσουμε μια ικανοποιητική πρώτη προσέγγιση, χρησιμοποιούμε την αρχή της απώθησης του τόπου από τους πόλους (και έλξης του από τις μηδενικές θέσεις). Αν δεν υπήρχε ο πόλος στο s = 5, τότε η θέση εξόδου θα ήταν στο μέσο των πόλων στο και 2, δηλαδή στη θέση s =.5. Ο πόλος στη θέση s = 5 έχει σαν αποτέλεσμα την απώθηση του s 0 προς τα δεξιά στη θέση s 0 =.46. Αν ο τρίτος πόλος βρισκόταν πλησιέστερα στους δύο άλλους πόλους π.χ. στη θέση s = 3, τότε η επίδραση του θα ήταν εντονότερη και θα απωθούσε το σημείο s 0 ακόμη δεξιότερα, στη θέση s 0 =.4. Οι δύο κλάδοι εγκαταλείπουν τον άξονα σχηματίζοντας γωνία π/2 (κανόνας 5). ϵ) Προσδιορίζονται μερικά ακόμη σημεία του τόπου και κυρίως τα σημεία τομής των δύο κλάδων με τον άξονα των φανταστικών αριθμών χρησιμοποιώντας την εξίσωση (3.9). Η εργασία αυτή της δοκιμαστικής άθροισης των γωνιών μέχρι να επιτύχουμε το σημείο που πληρεί το κριτήριο γωνιών, απλουστεύεται με τη χρήση ειδικού γωνιομέτρου (spirule). Για το παράδειγμά μας βρέθηκε ότι το κριτήριο γωνιών ικανοποιείται στη θέση s = ±4.j. Με τα παραπάνω δεδομένα κατασκευάζεται ήδη ο τόπος ριζών όπως στο σχήμα 3.5ii ζ) Υπολογίζονται με τη βοήθεια της (3.8) οι τιμές C που αντιστοιχούν σε ορισμένα χαρακτηριστικά σημεία του τόπου π.χ. στο σημείο κρίσιμης απόσβεσης (s = ±.46): C =.46 +.46 + 2.46 + 5 = 0.88 (3.28) Στο σημείο τομής με τον άξονα των φανταστικών αριθμών (s = ±4.j): C max = 4.j + 4.j + 2 4.j + 5 = 26 (3.29) Επομένως για να είναι το σύστημα ευσταθές θα πρέπει το C να είναι μικρότερο του 26 ή ο συντελεστής ενίσχυσης του ρυθμιστή να είναι: K C < 26 T T 2 T m K V K p K m

Ενότητα 3.3 22 Συνήθως το σημείο τομής του τόπου με τον άξονα των φανταστικών αριθμών και η αντίστοιχη τιμή του K Cmax υπολογίζεται ακριβέστερα και απλούστερα με τη βοήθεια του πίνακα Routh. Στο παράδειγμα που εξετάζουμε, από τη χαρακτηριστική εξίσωση: προκύπτει ο πίνακας Routh: (s + )(s + 2)(s + 5) + C = 0 ή s 3 + 8s 2 + 7s + 0 + C = 0 s 3 7 s 2 8 0+C s 8 7 (0+C) 8 0 s 0 0+C Η μέγιστη τιμή του C (και η αντίστοιχη του K c ) υπολογίζεται ως το όριο ευστάθειας του συστήματος θέτοντας το συντελεστή της s ίσο με μηδέν (βλ. παράδειγμα 3.2.4) 8 7 (0 + C) = 0 από όπου προκύπτει: C = 36 0 = 26. Η αντίστοιχη τιμή του s για την οποία ο τόπος τέμνει τον άξονα των φανταστικών αριθμών υπολογίζεται από την εξίσωση της σειράς του s 2, αντικαθιστώντας την τιμή του C που βρέθηκε προηγουμένως: 8s 2 + 0 + C = 0 0 + 26 s = ±j 8 = 4.2j 3.3.4 Επίδραση των χαρακτηριστικών του ρυθμιστή στον τόπο ριζών A.Βρόχος δυο βαθμίδων-αναλογική ρύθμιση

Ενότητα 3.3 23 Η συνάρτηση ανοικτού βρόχου G(s) για σύστημα δεύτερης τάξης με αναλογική ρύθμιση έχει την ακόλουθη μορφή: G(s) = K (T s + )(T 2 s + ) = C (s + /T )(s + /T 2 ) Όπως φαίνεται από το σχήμα 3.6, ο τόπος των ριζών δεν περνάει στο δεξιό ήμισυ του πεδίου s για οποιαδήποτε τιμή του C. Για μικρές τιμές C (ή K C ) υπάρχουν δύο πραγματικές ρίζες, η έξοδος δηλαδή του συστήματος θα είναι υπεραποσβενόμενη. Για μεγαλύτερες τιμές του C ο τόπος εγκαταλείπει τον άξονα των πραγματικών αριθμών, εμφανίζονται δηλαδή δύο συζυγείς μιγαδικές ρίζες και η έξοδος αρχίζει να ταλαντώνεται. Η συχνότητα των ταλαντώσεων αυξάνει καθώς αυξάνει το K C. Σχήμα 3.6: Τόπος ριζών συστήματος Β τάξης με αναλογική ρύθμιση. Im - - T T 2 Re Αναλογική και ολοκληρωτική ρύθμιση Η συνάρτηση ανοικτού βρόχου στην περίπτωση αυτή είναι: G(s) = K( + /T is) (T s + )(T 2 s + ) = C( + /(T i s)) s(s + /T )(s + /T 2 ) Προστίθεται δηλαδή ένας πόλος στη θέση s = 0 και ένα μηδέν στη θέση /T i. Επομένως η μορφή που θα πάρει ο τόπος εξαρτάται από την τιμή του T i. Στο σχήμα 8.7 δίδονται χαρακτηριστικές μορφές του τόπου για τρεις διαφορετικές περιπτώσεις:

Ενότητα 3.3 24 α) Όταν T i < T < T 2 ή T i > T > T 2 β) Όταν T < T i < T 2 ή T > T i > T 2 γ) Όταν T < T 2 < T i ή T > T 2 > T i Όπως φαίνεται στο σχήμα 3.7i, για μεγάλες τιμές του T i το σύστημα παραμένει ευσταθές για όλες της τιμές του K C. Παρατηρούμε επομένως ότι ο τόπος των μιγαδικών ριζών έχει μετατοπιστεί προς τα δεξιά του μέσου των πόλων στο /T και /T 2, δηλαδή η απόσβεση των ταλαντώσεων είναι ασθενέστερη (μικρότερο πραγματικό μέρος ριζών) σε σύγκριση με την απόσβεση συστήματος με αναλογική ρύθμιση (σχήμα 3.6). Στην περίπτωση που T 2 < T i < T, όπως φαίνεται στο σχήμα 3.7ii, ο τόπος έχει μετατεθεί δεξιά μεταξύ των πόλων στο μηδέν και /T επομένως αν και το σύστημα παραμένει ευσταθές για όλες τις τιμές του K C, η απόκριση ταλαντώνεται εντονότερα. Στην τρίτη περίπτωση μικρών τιμών T i οι ασύμπτωτοι έχουν μετατεθεί στο δεξιό ήμισυ του πεδίου s δηλαδή το σύστημα για K C μεγαλύτερο από μια ορισμένη τιμή γίνεται ασταθές (σχήμα 3.7iii). Σχήμα 3.7: Τόπος ριζών συστήματος Β τάξης με αναλογική + ολοκληρωτική ρύθμιση. Im Im Im - T 2 - T - Ti Re - T 2 - T - T i Re - T i - T2 - T Re (i) T i > T > T 2 (ii) T > T i > T 2 (iii) T > T 2 > T i Αναλογική και διαφορική ρύθμιση Η συνάρτηση μεταφοράς ανοικτού βρόχου στην περίπτωση αυτή είναι: G(s) = K( + T d s) (T s + )(T 2 s + ) = C(s + /T d ) (s + /T )(s + /T 2 ) Προστίθεται δηλαδή μια μηδενική θέση στο s = /T d. Η μορφή του τόπου εξαρτάται και πάλι από τη σχετική θέση των T, T 2 και T d. Οι τρεις χαρακτηριστικές περιπτώσεις έχουν σχεδιασθεί στο σχήμα 3.8.

Ενότητα 3.3 25 Σχήμα 3.8: Σύστημα Β τάξης - Αναλογική διαφορική ρύθμιση. Im Im Im - T 2 - - T d T Re - T 2 - T d - T Re - - T 2 T - T d Re (i) T d < T 2 < T (ii) T 2 < T d < T (iii) T 2 < T < T d Όπως φαίνεται από το σχήμα 3.8i, έστω και για μικρές τιμές T d το σύστημα παρουσιάζεται «περισσότερο» ευσταθές σχετικά με την περίπτωση της αναλογικής ρύθμισης, αφού ο τόπος ριζών κάμπτεται και επιστρέφει στον άξονα των πραγματικών αριθμών για μεγάλες τιμές του K C. Όπως φαίνεται από τους τόπους 3.8ii και 3.8iii, για μεγαλύτερες τιμές T d το σύστημα είναι υπεραποσβενόμενο για όλες τις τιμές του K C. Αναλογική + Ολοκληρωτική + Διαφορική ρύθμιση Η συνάρτηση μεταφοράς ανοικτού βρόχου δίδεται στην περίπτωση αυτή από τη σχέση: G(s) = K( + T ds + /T i s) (T s + )(T 2 s + ) = C(s2 + /T d s + /T i T d ) s(s + /T )(s + /T 2 ) Προστίθεται δηλαδή ένας πόλος στη θέση s = 0 και δύο μηδενικές θέσεις, που μπορεί να έχουν πραγματικές ή μιγαδικές τιμές, ανάλογα με τη σχετική τιμή των T i και T d, (για 4T d > T i οι ρίζες είναι μιγαδικές). Σχήμα 3.9: Σύστημα Β τάξης - Αναλογική + Ολοκληρωτική + Διαφορική ρύθμιση. Im Im Re Re (i) Δύο συζυγείς μιγαδικές μηδενικές θέσεις (4T d > T i ) (ii) Δύο άνισες πραγματικές μηδενικές θέσεις (4T d < T i )

Ενότητα 3.3 26 Επειδή υπάρχουν πολλοί συνδυασμοί των τιμών T, T 2, T i και T d. που δίνουν διαφορετικούς τόπους ριζών έχουν σχεδιασθεί ενδεικτικά στο σχήμα 3.9 δύο περιπτώσεις: στην πρώτη περίπτωση υπάρχουν δύο συζυγείς μιγαδικές και στη δεύτερη δύο πραγματικές μηδενικές θέσεις. Γενικά στην περίπτωση του συνδυασμού των τριών τύπων ρύθμισης θα μπορούσαμε να πούμε ότι συνδυάζονται τα πλεονεκτήματα της ολοκληρωτικής ρύθμισης δηλαδή ο μηδενισμός της μόνιμης απόκλισης με τα πλεονεκτήματα της διαφορικής ρύθμισης δηλαδή μεγαλύτερη ευστάθεια του συστήματος. Β. Βρόχος τριών βαθμίδων Αναλογική ρύθμιση O τόπος ριζών συστήματος τριών βαθμίδων με αναλογική ρύθμιση έχει ήδη αναλυθεί και σχεδιαστεί (σχήμα 3.5ii). Το σύστημα γίνεται ασταθές όταν το C αυξηθεί πέρα από μια ορισμένη τιμή που εξαρτάται από τις τιμές των σταθερών χρόνου του συστήματος T, T 2 και T 3. Αναλογική και ολοκληρωτική ρύθμιση Με την εισαγωγή της ολοκληρωτικής ρύθμισης προστίθενται στη συνάρτηση μεταφοράς ανοικτού βρόχου G(s) μια μηδενική θέση για s = /T i και ένας πόλος στη θέση s = 0. Στο σχήμα 3.0 έχει σχεδιαστεί ο τόπος για τρεις χαρακτηριστικές τιμές της μηδενική θέσης /T i : α) Για T i > T > T 2 > T 3 β) Για T > T 2 > T i > T 3 γ) Για T > T 2 > T 3 > T i Για μεγάλες τιμές του T i (σχήμα 3.0i) η εισαγωγή της ολοκληρωτικής ρύθμισης δεν επηρεάζει πολύ τον τόπο ριζών, με δοσμένο ότι ο πόλος πού προστίθεται στο s = 0 είναι κοντά στη μηδενική θέση στο s = /T i. Για μικρότερες όμως τιμές του (σχήμα 3.0ii και 3.0iii) ο τόπος μετατοπίζεται προς τα δεξιά και επομένως το σύστημα γίνεται πιο ασταθές. Αναλογική + διαφορική ρύθμιση

Ενότητα 3.3 27 Σχήμα 3.0: Σύστημα Β τάξης - Αναλογική διαφορική ρύθμιση. Im Im Im - T i Re - T i Re Re (i) T i > T > T 2 > T 3 (ii) T > T 2 > T i > T 3 (iii) T > T 2 > T 3 > T i Η εισαγωγή της διαφορικής ρύθμισης έχει ως αποτέλεσμα την προσθήκη στη συνάρτηση μεταφοράς ανοικτού βρόχου G(s) μιας μηδενικής θέσης στο s = /T d. Τρεις χαρακτηριστικές μορφές του τόπου για διάφορες τιμές T d δίδονται στο σχήμα 3.. Σχήμα 3.: Βρόχος τριών βαθμίδων - Αναλογική διαφορική ρύθμιση. Im Im Im - T d Re - T d Re - T d Re (i) T d < T 3 < T 2 < T (ii) T 3 < T d < T 2 < T (iii) T 3 < T 2 < T d < T Όπως φαίνεται από το σχήμα 3., η ευστάθεια του συστήματος βελτιώνεται όσο αυξάνεται η τιμή του T d. Η μηδενική θέση στο /T d προχωρεί προς τα δεξιά με την αύξηση του T d, πράγμα που συνεπάγεται τη μετατόπιση των ασύμπτωτων προς τα αριστερά. Στα σχήματα 3.ii καί 3.iii οι ασύμπτωτοι έχουν περάσει στο αριστερό ήμισυ του πεδίου s και το σύστημα εμφανίζεται ευσταθές για όλες τις τιμές του K C. Αναλογική + ολοκληρωτική + διαφορική ρύθμιση Στη περίπτωση αυτή προστίθενται στη συνάρτηση μεταφοράς ανοικτού βρόχου G(s) δυο μηδενικές θέσεις στο s = ± 2T d 2 Td 2 4 T i T d και ένας πόλος στο s = 0. Τρεις χαρακτηριστικές μορφές του τόπου ριζών δίδονται στο σχήμα 3.2 και συγκεκριμένα:

Ενότητα 3.4 28 α) Για 4T d < T i β) Για 4T d = T i γ) Για 4T d > T i Όπως και στην περίπτωση του συστήματος των δύο βαθμίδων, ο συνδυασμός των τριών τύπων ρύθμισης έχει ως αποτέλεσμα την επίτευξη αφενός μεν του μηδενισμού της μόνιμης απόκλισης με την εισαγωγή της ολοκληρωτικής ρύθμισης αφετέρου δε της σταθεροποίησης του συστήματος με τη βοήθεια της διαφορικής ρύθμισης. Σχήμα 3.2: Βρόχος τριών βαθμίδων - Αναλογική διαφορική ρύθμιση. Im Im Im - T 3 - - T 2 T Re Re Re (i) 4T d < T i (ii) 4T d = T i (iii) 4T d > T i Ανακεφαλαιώνοντας θα μπορούσαμε να πούμε ότι με τη βοήθεια του τόπου ριζών μπορούμε να μελετήσουμε τη συμπεριφορά ενός συστήματος ρύθμισης και να κατανοήσουμε την επίδραση που έχουν οι διάφοροι τρόποι ρύθμισης, αναλογικός, ολοκληρωτικός, διαφορικός, και η τιμή των παραμέτρων K C, και T i και T d Τα φυσικά συστήματα έχουν συνήθως πραγματικές αρνητικές ρίζες (πλην των συστημάτων κινουμένων μαζών που παρουσιάζουν πολλές φορές συζυγείς μιγαδικές ρίζες με αρνητικό πραγματικό μέρος) και επομένως για μικρές τιμές τού K C, το σύστημα ρύθμισης έχει τις ρίζες του στον άξονα των πραγματικών αριθμών και εμφανίζει υπεραποσβενόμενη απόκριση (χωρίς ταλάντωση). Όσο αυξάνει το K C οι ρίζες εγκαταλείπουν τον άξονα των πραγματικών αριθμών, με αποτέλεσμα το σύστημα να παρουσιάζει υπεραποσβενόμενη ταλάντωση. Επειδή σε πολλές περιπτώσεις, ορισμένοι κλάδοι του τόπου ριζών περνούν στο δεξιό ήμισυ του πεδίου s, για μεγαλύτερες τιμές K C το σύστημα γίνεται ασταθές. Η ολοκληρωτική ρύθμιση έχει ως αποτέλεσμα την προσθήκη ενός πόλου στο s = 0 και μιας μηδενικής θέσης στο s = /T i. Η ολοκληρωτική ρύθμιση εισάγεται για να μηδενίσει τη μόνιμη απόκλιση (offset), αλλά ο πόλος που παρουσιάζεται στο s = 0 μεταθέτει εν γένει τον τόπο ριζών προς τα δεξιά με αποτέλεσμα το σύστημα να γίνεται λιγότερο ευσταθές, ιδίως για μικρές τιμές του T i. Αντίθετα, η διαφορική

Ενότητα 3.4 29 ρύθμιση με την προσθήκη μιας μηδενικής θέσης το s = /T d γενικά συμβάλλει στη σταθεροποίηση του συστήματος. 3.4 Λογαριθμική παράσταση της συχνοτικής απόκρισης (διάγραμμα Bode) 3.4. Γενικά Εξετάζοντας τα συστήματα ρύθμισης με τη μέθοδο της χαρακτηριστικής εύρουςφάσης (κριτήριο ευστάθειας Nyquist [5]) έγινε η διερεύνηση ευστάθειας του κλειστού βρόχου του συστήματος από την χαρακτηριστική του ανοιχτού βρόχου ρύθμισης. Με την μέθοδο της λογαριθμικής παράστασης της συχνοτικής απόκρισης - λογαριθμική παράσταση της χαρακτηριστικής εύρους-φάσης - η διαπίστωση της ευστάθειας ή αστάθειας του συστήματος είναι σχετικά πολύ πιο εύκολη. Η μέθοδος της λογαριθμικής παράστασης της χαρακτηριστικής εύρους-φάσης παρουσιάζει πλεονεκτήματα ιδιαίτερα κατά την σύνθεση διορθωτικών δικτύων συστημάτων αυτόματης ρύθμισης. Η μέθοδος της λογαριθμικής παράστασης της χαρακτηριστικής συχνότητας (απόκριση συχνότητας) κατά την εξέταση συστημάτων αυτομάτου ρύθμισης και ιδιαίτερα όταν πρόκειται να γίνει αριθμητική αξιολόγηση αυτών προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα: Ο πολλαπλασιασμός δύο συχνοτικών αποκρίσεων εκφράζεται με το άθροισμα δύο ευθύγραμμων τμημάτων. Οι αντίστροφες καμπύλες προκύπτουν από την απλή απεικόνιση του εύρους και της φάσης της συχνοτικής απόκρισης προς την τετμημένη του ορθογωνίου συστήματος συντεταγμένων. Στις περισσότερες περιπτώσεις των πρακτικών εφαρμογών, οι χαρακτηριστικές συχνότητας των συστημάτων αυτομάτου ρύθμισης μπορούν να προσεγγιστούν με ευθύγραμμα τμήματα, των οποίων τα σημεία θλάσης και οι γωνίες βρίσκονται σε άμεση σχέση με τους συντελεστές των συστημάτων.

Ενότητα 3.4 30 Για πρακτικές εφαρμογές συνήθως επαρκεί, μόνο, η εξέταση της καμπύλης του εύρους. Ως μειονεκτήματα της μεθόδου αυτής, για την εξέταση συστημάτων ρύθμισης, μπορούν να θεωρηθούν τα ακόλουθα: Η μέθοδος της λογαριθμικής συχνοτικής απόκρισης (διάγραμμα Bode [6]), δεν παρέχει ευκολία για τον προσδιορισμό του μέτρου και της φάσης του κλειστού βρόχου από το μέτρο και την φάση του ανοιχτού βρόχου ρύθμισης. Με την μέθοδο Bode παρίστανται ξεχωριστά οι καμπύλες του μέτρου και της φάσης του συστήματος και ως εκ τούτου δεν προσφέρεται καλή εικόνα του ολικού διαγράμματος της συνάρτησης μεταφοράς. Είναι γνωστό, ότι η συχνοτική απόκριση G(jω) είναι μία μιγαδική συνάρτηση και συνεπώς για την παράσταση αυτής υφίστανται οι ακόλουθοι δύο τρόποι: I Διαχωρισμός της συχνοτικής απόκρισης σε απόλυτη τιμή (μέτρο) και φάση: G(jω) = H(ω)e jθ(ω) (3.30) όπου: H(ω) = Εύρος της συχνοτικής απόκρισης, στη συγκεκριμένη περίπτωση χρησιμοποιείται ο όρος χαρακτηριστική συχνότητα. Θ(ω) = Φάση της συχνοτικής απόκρισης ή φάση της χαρακτηριστικής συχνότητας. II Διαχωρισμός σε πραγματικό και φανταστικό μέρος: G(jω) = P (ω) + jq(ω) (3.3) όπου: P (ω) = Πραγματικό μέρος της συχνοτικής απόκρισης ή αλλιώς πραγματικό μέρος της χαρακτηριστικής συχνότητας. Q(ω) = Φανταστικό μέρος της συχνοτικής απόκρισης ή αλλιώς φανταστικό μέρος της χαρακτηριστικής συχνότητας.

Ενότητα 3.4 3 Στην συνέχεια θα εξετασθεί η περίπτωση Ι, ενώ η περίπτωση ΙΙ θα εξετασθεί σε σχέση με τις πραγματικές και φανταστικές χαρακτηριστικές συχνότητες. Για την συχνοτική απόκριση ενός στοιχείου μεταφοράς ισχύει: G(jω) = H(ω)e jθ(ω) µϵ H(ω) = G(jω), Θ(ω) = argg(jω) Σχηματίζοντας τον φυσικό λογάριθμο της συχνοτικής απόκρισης προκύπτει: lng(jω) = lnh(ω) + jθ(ω) (3.32) για την περίπτωση που γίνει η παράσταση των συναρτήσεων lnh(ω) και Θ(ω) σε σχέση με τον φυσικό λογάριθμο lnh(ω), παράγονται οι καμπύλες των φυσικών λογαριθμικών χαρακτηριστικών συχνότητας του στοιχείου μεταφοράς. Ως διάσταση θα χρησιμοποιηθεί κατ αρχήν το Neper, το οποίο είναι γνωστό από τα συστήματα τηλεπικοινωνίας ως μέτρο για την απόσβεση. Το Neper ορίζεται από την ακόλουθο σχέση: Neper = lne. Για την περίπτωση που h είναι η τιμή ενός αριθμού H σε Neper, τότε ισχύει: h = lnh (3.33) Οι συντεταγμένες επομένως της φυσικής λογαριθμικής χαρακτηριστικής του εύρους συχνότητας μπορούν να δοθούν σε Neper. Στην πράξη όμως, χρησιμοποιείται ευρύτατα ως διάσταση το Decibel [db]. Για την περίπτωση που L είναι η τιμή σε Decibel ενός αριθμού H, τότε ισχύει η ακόλουθη σχέση: L = 20 log H (3.34) Η χάραξη της σχέσεως, L(ω) = 20 log H(ω) (3.35) γίνεται σε Decibel σε σχέση με τον δεκαδικό λογάριθμο της συχνότητας (log(ω)). Η καμπύλη που προκύπτει από την εφαρμογή της μεθόδου αυτής ονομάζεται λογαριθμική χαρακτηριστική εύρους-συχνότητας ή χαρακτηριστική απόσβεσης.

Ενότητα 3.4 32 Για την χάραξη της λογαριθμικής χαρακτηριστικής εύρους-συχνότητας ισχύουν οι ακόλουθες σχέσεις αναγωγής: Neper = 8.686dB και db = 0.5Neper. Σχετικά με την λογαριθμική παράσταση της συχνοτικής απόκρισης διευκρινίζεται ότι για την συχνοτική απόκριση ισχύει επίσης ότι: G(jω) = x α(jω) x i (jω) = x α0 x i0 e jϕ Το μέτρο H(ω) της συχνοτικής απόκρισης G(jω) είναι ο λόγος τους εύρους των σημάτων εξόδου και εισόδου του συστήματος. Στην αυτόματη ρύθμιση λοιπόν, εκφράζονται μεγέθη σε Decibel, τα οποία προκύπτουν από τον λόγο των μεγεθών με διαφορετικές διαστάσεις. Η φάση Θ(ω), σε μοίρες, χαράσσεται επίσης σχετικά με τον δεκαδικό λογάριθμο της συχνότητας (log(ω)) και η καμπύλη ονομάζεται λογαριθμική χαρακτηριστική φάσης-συχνότητας. Για την ανάπτυξη της μεθόδου της λογαριθμικής παράστασης της συχνοτικής απόκρισης συνέβαλε κατά κύριο λόγο ο Η.W.Bode με την εργασία του Network analysis and feedback amplifier design [7]. Για τη λογαριθμική παράσταση της συχνοτικής απόκρισης χρήσιμοι είναι και οι ακόλουθοι όροι: Η συχνότητα αυξάνεται κατά μία οκτάδα όταν διπλασιάζεται. Η συχνότητα αυξάνεται κατά μία δεκάδα όταν δεκαπλασιάζεται. Για τη λογαριθμική παράσταση της συχνοτικής απόκρισης γίνεται ο ακόλουθος συλλογισμός. Η συχνοτική απόκριση G(jω) προκύπτει από την συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος F (s) με αντικατάσταση του s = jω. Είναι γνωστό ότι η συνάρτηση μεταφοράς F (s) προκύπτει από το λόγο δύο πολυωνύμων του s. Κάθε πολυώνυμο μπορεί να αναλυθεί ως γινόμενο παραγόντων (s si) όπου si είναι οι ρίζες του πολυωνύμου, F (s) = K (s s )(s s 2 )...(s s m ) (s p )(s p 2 )...(s p n ) (3.36)

Ενότητα 3.4 33 όπου K = B 0 /A 0. Από την προηγούμενη σχέση για την συχνοτική απόκριση εξάγεται ότι: F (jω) = K (jω s )(jω s 2 )...(jω s m ) (jω p )(jω p 2 )...(jω p n ) (3.37) Οι παράγοντες που δίνονται στις παρενθέσεις αντιστοιχούν στις μιγαδικές ρίζες και για αυτό η συχνοτική απόκριση μπορεί να εκφρασθεί με τους παράγοντες G j (jω), οι οποίοι αποτελούν συχνοτικές αποκρίσεις χαρακτηριστικών στοιχείων μεταφοράς και επομένως το σύστημα μπορεί να θεωρηθεί ως μία εν σειρά συνδεσμολογία περισσοτέρων στοιχείων μεταφοράς. Τέτοια χαρακτηριστικά στοιχεία μεταφοράς είναι τα ακόλουθα: Στοιχεία με καθυστέρηση. Στοιχεία με ολοκληρωτική συμπεριφορά. Στοιχεία με διαφορική συμπεριφορά. Στοιχεία με ταλάντωση. Από τα προαναφερόμενα προκύπτει ότι: G(jω) = G (jω)g 2 (jω)...g n (jω) όπου G i (jω) = H i (ω)e jθ i(jω), i =, 2,..., n. Οι σχέσεις G i (jω) είναι συχνοτικές απόκρισης χαρακτηριστικών στοιχείων μεταφοράς και συνεπώς προκύπτει: G(jω) = H (ω)h 2 (ω)...h n (ω)e j[θ (ω)+θ 2 (ω)+...+θ n (ω)] Επομένως για τη λογαριθμική χαρακτηριστική εύρους-συχνότητας ισχύει: L(ω) = 20 log [H (ω)h 2 (ω)...h n (ω)] = 20 [log H (ω) +... + log H n (ω)] (3.38)

Ενότητα 3.4 34 και για την χαρακτηριστική φάσης-εύρους, Θ(ω) = Θ (ω) + Θ 2 (ω) +... + Θ n (ω) (3.39) Από τις σχέσεις (3.38) και (3.39), εξάγεται το συμπέρασμα ότι τόσο η χαρακτηριστική εύρους-συχνότητας όσο και η χαρακτηριστική φάσεως-συχνότητας, προσδιορίζονται από την άθροιση των λογαριθμικών συχνοτικών αποκρίσεων χαρακτηριστικών στοιχείων μεταφοράς και συνεπώς αρκεί, μόνο, η επίδειξη της λογαριθμικής παράστασης της συχνοτικής απόκρισης χαρακτηριστικών στοιχείων που θα γίνει στην συνέχεια. 3.4.2 Λογαριθμικές συχνοτικές αποκρίσεις χαρακτηριστικών στοιχείων μεταφοράς 3.4.2. Στοιχεία μεταφοράς με καθυστέρηση Η συχνοτική απόκριση του στοιχείου μεταφοράς με καθυστέρηση ης τάξης δίνεται από την ακόλουθη σχέση: G(jω) = + jωt = + (ωt ) 2 e j arctan(ωt ) (3.40) από την οποία προκύπτουν οι σχέσεις για την χαρακτηριστική εύρους-συχνότητας και φάσεως-συχνότητας της λογαριθμικής απόκρισης: µϵ G(jω) = + (ωt ) 2 και Θ(ω) = arctan(ωt ) και άρα για την λογαριθμική χαρακτηριστική εύρους-συχνότητας προκύπτει: ) L(ω) = 20 log ( + (ωt ) 2 (3.4) Το μεγάλο πλεονέκτημα της μεθόδου της λογαριθμικής παράστασης της συχνοτικής απόκρισης βρίσκεται στο γεγονός ότι είναι δυνατή μια απλή προσέγγιση των

Ενότητα 3.4 35 καμπυλών χωρίς την δημιουργία σοβαρού σφάλματος. Στη συγκεκριμένη περίπτωση είναι δυνατό για: ωt << να γίνει παράλειψη του παράγοντα ωt και για τιμές: ωt >> να γίνει η παράλειψη της μονάδας που βρίσκεται μέσα στην ρίζα. Σύμφωνα με τα προαναφερόμενα ισχύουν οι ακόλουθες προσεγγιστικές σχέσεις: για ωt << : L(ω) = 0 για ωt >> : L(ω) = 20 log(ωt ) = 20 log(ω) 20 log(t ) Για τιμές ω < /T η ευθεία συμπίπτει με τον άξονα 0dB, ενώ για τιμές ω > /T η ευθεία παρουσιάζει κλίση 20dB και αυτό ισχύει διότι: L(0ω) L(ω) = 20 log(0ω/ω) = 20dB. Το σημείο τομής των δύο ευθειών βρίσκεται στη θέση: ωt = ω = /T και ονομάζεται συχνότητα θλάσεως ή συχνότητα γωνίας. Η πραγματική καμπύλη της σχέσεως L(ω) μπορεί να δοθεί αφού πρώτα προσδιορισθεί η μέγιστη απόκλιση αυτής που βρίσκεται στο σημείο της συχνότητας θλάσεως: ω = /T. Στη συγκεκριμένη περίπτωση, η μέγιστη απόκλιση της πραγματικής καμπύλης κυμαίνεται στα: 20 log( 2) 3dB, στα σημεία: ω = 0.5/T, ω = 2/T η απόκλιση ελαττώνεται στο db. Η γραφική παράσταση της λογαριθμικής χαρακτηριστικής εύρους-συχνότητας της συχνοτικής απόκρισης δίνεται στο σχήμα 3.3. Σχήμα 3.3: Λογαριθμική χαρακτηριστική εύρους-συχνότητας του στοιχείου μεταφοράς με καθυστέρηση ης τάξης και T = sec. L(ω) [db] 0 5 0 5 20 25 0 2 0 ω [s-] 0 0 0 Λογαριθμική χαρακτηριστική φάσης-συχνότητας:

Ενότητα 3.4 36 Η φάση του στοιχείου μεταφοράς με καθυστέρηση ης τάξης δίνεται από τη σχέση: Θ(ω) = arctan(ωt ) (3.42) και χαράσσεται σε σχέση με τη λογαριθμική παράσταση της κυκλικής συχνότητας ω. Η λογαριθμική χαρακτηριστική φάσης-συχνότητας δίνεται στο σχήμα 3.4. Σχήμα 3.4: Λογαριθμική χαρακτηριστική φάσης-συχνότητας του στοιχείου μεταφοράς με καθυστέρηση ης τάξης και T = sec. Θ(ω) [deg] 0 30 60 90 0 2 0 ω [s-] 0 0 0 Η εξέταση της λογαριθμικής χαρακτηριστικής συχνότητας μπορεί να γενικευτεί, όταν αντί της κυκλικής συχνότητας ω ληφθεί υπόψη η συχνότητα: ω = ω/ω = ωt H χάραξη της λογαριθμικής χαρακτηριστικής συχνότητας γίνεται επομένως ανεξάρτητη από την επιλογή του T και ισχύει: G(jω) = /( + jω) και συνεπώς το σημείο θλάσης βρίσκεται, για όλες τις τιμές του T, στην θέση ω =. Στον πίνακα 3.2 δίνονται οι τιμές του μέτρου G σε db και της φάσης Θ(ω) σε μοίρες, καθώς επίσης και οι αποκλίσεις της πραγματικής καμπύλης δ σε G /db από τις ασύμπτωτες ευθείες που αποτελούν την προσέγγιση με τη μέθοδο Bode. Όπως προκύπτει και από τον πίνακα, οι αποκλίσεις είναι συμμετρικές ως προς την συχνότητα θλάσης, δηλαδή ισχύει για ω/ω = α και ω/ω = /α η αυτή απόκλιση.

Ενότητα 3.4 37 ω/ω G /db Θ( 0 ) δ/db 0.03 0.00 2 0.04 0.0 0.04 6 0.32 0.25 0.30 4 3.00.00 3.00 45 0.32 4.00 2.00 76 0.04 0.00 20.00 84 30.00 30.00 88 Πίνακας 3.2 3.4.2.2 Λογαριθμική συχνοτική απόκριση στοιχείου μεταφοράς με ολοκληρωτική συμπεριφορά Η συνάρτηση μεταφοράς του στοιχείου με ολοκληρωτική συμπεριφορά δίνεται από την ακόλουθη σχέση: F (s) = st Με αντικατάσταση όπου s = jω προκύπτει η συχνοτική απόκριση του στοιχείου με ολοκληρωτική συμπεριφορά: G(jω) = jωt = ωt e jπ/2 (3.43) και στη συνέχεια λαμβάνουμε: G(jω) = ωt και Θ(ω) = 90 o Για την λογαριθμική χαρακτηριστική εύρους-συχνότητας του στοιχείου με ολοκληρωτική συμπεριφορά ισχύει: L(ω) = 20 log(ωt ) (3.44) Ο σχεδιασμός της χαρακτηριστικής εύρους-συχνότητας για να γίνει ανεξάρτητος από την επιλεγόμενη σταθερά χρόνου, χαράσσεται η σχέση L(ω) σε σχέση με την γενική λογαριθμική έκφραση log(ω/ω ). Επομένως προκύπτει μία ευθεία, η οποία για την τιμή ω/ω = διέρχεται από τον άξονα db και η κλίση της είναι ίση με: