Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Σχετικά έγγραφα
Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Κατανομές Απώλειας. Επιμέλεια Φυλλαδίου : Δρ. Σ. Σκλάβος

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο )

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΦΥΛΛΑΔΙΟ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εάν A = τότε ορίζουμε την ορίζουσα του πίνακα ως τον αριθμό. det( A) = = ( 2)4 3 1 = 8 3 = 11. τότε η ορίζουσά του πίνακα ισούται με

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

τέτοιες συναρτήσεις «πραγµατικές συναρτήσεις µε µία πραγµατική µεταβλητή». Σε αυτή

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

[A I 3 ] [I 3 A 1 ].

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

1 Ορίζουσες. Άσκηση 1.1 Θεωρούμε τον πίνακα. 1 x x x x 1 x x x x 1 x x x x 1 A =

7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7.2 ΜΗΤΡΕΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΜΟΡΦΗΣ (Ι)

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Πίνακες Γραμμικά Συστήματα

t t Αν κάποιος από αυτούς είναι αντιστρέψιμος, υπολογίστε τον αντίστροφό του. 2. Υπολογίστε την ορίζουσα του Δείξτε τα εξής.

ΟΣ GAUSS) Α.6 ΣΧΕΤΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ...

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες,

( ) 10 ( ) εποµ ένως. π π π π ή γενικότερα: π π. π π. π π. Άσκηση 1 (10 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 7ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Ορίζουσες Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος

Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος /58

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2

Πίνακες Ορίζουσες. Πίνακας: ορθογώνια διάταξη αριθμών που αποτελείται από γραμμές και στήλες.

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Οκτωβρίου 2007

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

Κεφάλαιο 6 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα

Ορίζουσες ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. Προηγείται της Γραµµικής Αλγεβρας. Εχει ενδιαφέρουσα γεωµετρική ερµηνεία. ΛΥ.

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 5 : Ορίζουσες. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

2. Ορίζουσες-ιδιότητες -ανάπτυγμα ορίζουσας. Σε κάθε τετραγωνικό πίνακα ν-τάξης Α, αντιστοιχεί ένας πραγματικός αριθμός,

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n

Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Λύση Για να είναι αντιστρέψιμος θα πρέπει η ορίζουσα του πίνακα να είναι διάφορη του μηδενός =

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΙΝΑΚΩΝ ή ΜΗΤΡΩΝ

Γραµµικη Αλγεβρα Ι. Ακαδηµαϊκο Ετος Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 1-2-ΠΙΝΑΚΕΣ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΠΑΝΗΠΙΣΤΗΜΙΟΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 17 Οκτωβρίου 2011

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12,

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

Γραμμική Άλγεβρα Ι,

Λύσεις και Υποδείξεις Επιλεγµένων Ασκήσεων

Δυναμική Μηχανών I. Επανάληψη: Μαθηματικά

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12)

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β)

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση

( A = A = 3 5 A 2 + B 2.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Α ΜΕΡΟΣ

x 2 = b 1 2x 1 + 4x 2 + x 3 = b 2. x 1 + 2x 2 + x 3 = b 3

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΤΜΗΜΑΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ Μαθηματικά για Οικονομολόγους II-Μάθημα 3 ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΟΡΙΖΟΥΣΑΣ

, ορίζουμε deta = ad bc. Πρόταση Ένας πίνακας Α είναι αντιστρέψιμος τότε και μόνο αν deta 0.

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Άλγεβρα των Πινάκων (2) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

Κεφάλαιο 6 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Γραμμική Άλγεβρα Ενότητα 4: Ορίζουσες

Στοιχεία Γραµµικής Αλγεβρας και Αναλυτικής Γεωµετρίας

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

όπου Η μήτρα ή πίνακας του συστήματος

b. Για κάθε θετικό ακέραιο m και για κάθε A. , υπάρχουν άπειρα το πλήθος πολυώνυμα ( x) [ x] m και ( A) 0.

Σημειώσεις για το μάθημα: «Βασικές Αρχές Θεωρίας Συστημάτων» (Μέρος Α )

2 3x 5x x

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος

Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη

Transcript:

Ορίζουσες ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 12 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας των ο- ϱιζουσών και των εφαρµογών τους. Το ϕυλλάδιο διατίθεται ΩΡΕΑΝ και απαγορεύεται η εµπορική εκµετάλλευση από οποιονδήποτε. email: kkiritsis@vitali.gr 1

Κ. Κυρίτσης 2 Ορίζουσες Περιεχόµενα 1 Ορισµός 3 2 Ιδιότητες 3 3 Υπολογισµός Οριζουσών 4 4 Εφαρµογές 4 4.1 Αντιστροφή Πίνακα........................ 4 4.2 Επίλυση Συστήµατος µε Ορίζουσες Μέθοδος Cramer..... 5

Κ. Κυρίτσης 3 Ορίζουσες 1 Ορισµός Για τον πίνακα 2 2 A = ( ) a b c d ορίζουµε την ορίζουσά του να είναι ο αριθµός det A = a d b c. (1) Χρησιµοποιείται και ο συµβολισµός det A = a b c d. (2) Για πίνακες µεγαλύτερης διάστασης η ορίζουσα ορίζεται επαγωγικά. Ξεκινάµε µε έναν πίνακα A διάστασης n n. Ορίζουµε την ελάσσονα ο- ϱίζουσα του a ij στοιχείου να είναι η ορίζουσα του πίνακα M ij ο οποίος προκύπτει από τον A αν διαγράψουµε την i γραµµή και την j στήλη (πρόκειται για την ορίζουσα ενός πίνακα (n 1) (n 1)). Την συµβολίζουµε µε det M ij. Εν συνεχεία ορίζουµε το συµπλήρωµα του a ij στοιχείου να είναι A ij = ( 1) i+j det M ij. Η ορίζουσα του αρχικού πίνακα A είναι τώρα det A = a 11 A 11 + a 12 A 12 + + a 1n A 1n = a 11 det M 11 a 12 det M 12 + ± a 1n det M 1n. (3) Στην δεύτερη σειρά της παραπάνω σχέσης, τα πρόσηµα πηγαίνουν εναλλάξ, ξεκινώντας µε το +. Ο ορισµός που δώσαµε υπολογίζει την ορίζουσα αναπτύσσοντας ως προς την πρώτη γραµµή. 2 Ιδιότητες Μερικές ϐασικές ιδιότητες των οριζουσών είναι οι εξής: 1. det(ab) = det(a) det(b). (4) 2. Αν A T ο ανάστροφος του πίνακα A, τότε ισχύει det(a T ) = det(a). (5) 3. Αν ο A έχει µια γραµµή ή στήλη µηδενική, A = 0.

Κ. Κυρίτσης 4 Ορίζουσες 4. Αν ο A έχει δύο ίδιες γραµµές ή στήλες είναι A = 0. 5. Αν ο A είναι τριγωνικός ή διαγώνιος, η ορίζουσα είναι το γινόµενο των στοιχείων της κυρίας διαγωνίου. Αν µε στοιχειώδεις πράξεις γραµµών ή στηλών από τον A πάρουµε τον B, τότε 1. Εναλλαγή γραµµών συνεπάγεται A = B. 2. Πολλαπλασιασµός γραµµής η στήλη µε αριθµό λ συνεπάγεται B = λ A. Κατά συνέπεια λa = λ n A. 3. Αν το πολλαπλάσιο µιας γραµµής ή στήλης προστεθεί σε άλλη γραµµή η στήλη αντίστοιχα, τότε B = A. 3 Υπολογισµός Οριζουσών Μια ορίζουσα n n µπορεί να αναπτυχθεί ως προς οποιαδήποτε γραµµή ή στήλη επιθυµούµε. Είναι det(a) = n a ij A ij = j=1 n a ij A ij. (6) Ενας µνηµονικός κανόνας για τα πρόσηµα στο ανάπτυγµα είναι ο εξής + +... +... + +.... (7)............ Για τον υπολογισµό µιας ορίζουσας εφαρµόζουµε στοιχειώδεις πράξεις γραµµών ή στηλών για να απλοποιήσουµε µια γραµµή ή στήλη και µετά αναπτύσσουµε ως προς αυτή την γραµµή ή στήλη. 4 Εφαρµογές 4.1 Αντιστροφή Πίνακα i=1 Ορίζουµε τον προσαρτηµένο πίνακα του A να είναι ο πίνακας µε στοιχεία adja = (A ij ) T. (8)

Κ. Κυρίτσης 5 Ορίζουσες Ισχύει ότι A adja = adja A = det(a)i n. (9) Αν det(a) 0, τότε ο αντίστροφος του A είναι A 1 = 1 det(a) adja. Αν det(a) = 0 ο πίνακας δεν αντιστρέφεται. 4.2 Επίλυση Συστήµατος µε Ορίζουσες Μέθοδος Cramer Εστω το τετραγωνικό γραµµικό σύστηµα A X = B. Ορίζουµε να είναι D = det A και D i = det A i, όπου A i ο πίνακας που προκύπτει από τον A αν αντικατασταθεί η i στήλη µε τον πίνακα B. Αν είναι D 0 τότε το σύστηµα έχει µοναδική λύση την x i = D i D.

Κ. Κυρίτσης 6 Ορίζουσες ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ Πανεπιστηµιακά Φροντιστήρια Μαθήµατα για: Πανεπιστήµιο Πειραιώς Οικονοµικό Πανεπιστήµιο Αθηνών Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών Πάντειον Πανεπιστήµιο Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο (ΕΜΠ) Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήµιο (ΕΑΠ) ΤΕΙ Αθηνών ΤΕΙ Πειραιώς... Σεµινάρια για ιαγωνισµούς ηµοσίου Προετοιµασία για: Εθνική Σχολή ηµόσιας ιοίκησης Εθνική Σχολή Τοπικής Αυτοδιοίκησης Υπουργείο Οικονοµικών Υπουργείο Εξωτερικών Υπουργείο ικαιοσύνης ιαγωνισµός Εκπαιδευτικών ιαγωνισµός Ευρύτερου ηµόσιου Τοµέα.

Κ. Κυρίτσης 7 Ορίζουσες Ξένες Γλώσσες Αγγλικά Κινέζικα TOEFL (εξεταστικό κέντρο) GMAT IELTS TOEIC GRE Εξειδικευµένα Σεµινάρια Επίσηµο Εξεταστικό Κέντρο TOEFL Στατιστικά Προγράµµατα (SPSS, StatView,... ) Matlab Mathematica Autocad Μηχανογραφηµένη Λογιστική Γλώσσες Προγραµµατισµού (C, C++, Java, Php,... )

Κ. Κυρίτσης 8 Ορίζουσες Πληροφορική (Πιστοποιήσεις) Βασικό Επίπεδο (απαραίτητο στον ΑΣΕΠ) Προχωρηµένο Επίπεδο Εξειδικευµένο Επίπεδο Πιστοποιηµένο Εξεταστικό Κέντρο ECDL Πιστοποιηµένο Εξεταστικό Κέντρο keycert Επισκεφθείτε την ιστοσελίδα µας www.vitali.gr και ενηµερωθείτε για τα προγράµµατά µας. ιευθυντής Εκπαίδευσης ρ. Χόντας Στυλιανός ιδάκτωρ Μηχανικός ΕΜΠ Ηλεκτρολόγος Μηχανικός & Μηχανικός Η/Υ