Μέθοδοι Ανάλυσης Απλών Δοκών & Πλαισίων (1) ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πλαστική Κατάρρευση Υπερστατικής Δοκού Πλαστική Κατάρρευση Συνεχούς Δοκού Η Εξίσωση Δυνατών Εργων Θεωρήματα Πλαστικής Αναλυσης Θεωρία Μηχανισμών Ορθογωνικά Πλαίσια & Πλαίσια Κεκλιμένης Στέγης
Για όλους τους υπολογισμούς που ακολουθούν υποθέτουμε ότι ισχύει η εξιδανίκευση ελαστική απολύτως πλαστική για την σχέση μεταξύ ροπής κάμψης και καμπυλότητας δοκού.
Στατική Μέθοδος Επαλληλία των διαγραμμάτων ροπών καμψης
Παράδειγμα: Αμφίπακτη δοκός με συγκεντρωμένο φορτίο Η παραμόρφωση της δοκού διέπεται από την σχέση / εξίσωση : Απο απλή στατική θεώρηση: Κάνοντας χρήση του συμβολισμού Macaulay, έχουμε: Οριακές συνθήκες: Κάνοντας χρήση των οριακών συνθηκών ευρίσκουμε ότι: & &
ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Family of Singularity Functions MACAULEY, W.H. (1919). Note on the Deflection of Beams, Mess. Math., Vol. 48, pp.129 130
Για την επίλυση του προβλήματος της ελαστικής παραμόρφωσης κάναμε χρήση των ακολούθων εξισώσεων: Συμβιβαστού Παραμορφώσεων Στατικής Ισορροπίας Ροπής Κάμψης Καμπυλότητος () Το παράπλευρο διάγραμμα ροπών κάμψης ισχύει όσο: Οταν, έχουμε τον σχηματισμό της πρώτης πλαστικής άρθρωσης στο Εάν θέλουμε, είναι δυνατόν να υπολογίσουμε μετατοπίσεις της δοκού σε οποιοδήποτε σημείο.
Για φορτίο: εξίσωση επιλύουμε ξανά την της δοκού, αλλά με, δηλαδή: Εχουμε τρείς (3) υπεραρίθμους (, & ) τις οποίες ευρίσκουμε κάνοντας χρήση των οριακών συνθηκών: Το αποτέλεσμα της ανάλυσης απεικονίζεται στο ανωτέρω διάγραμμα ροπών κάμψης. Εάν θέλουμε, είναι δυνατόν να υπολογίσουμε μετατοπίσεις της δοκού σε οποιοδήποτε σημείο.
Οταν, τότε έχουμε τον σχηματισμό δεύτερης πλαστικής άρθρωσης στο. Το πρόβλημα πλέον είναι ισοστατικό (δηλ. μηδέν υπεράριθμοι), και ετσι προσδιορίζουμε την κάνοντας χρήση μόνον των εξισώσεων στατικής ισορροπίας. Ετσι προσδιορίζουμε το παράπλευρο διάγραμμα ροπών κάμψης. Σημειώνουμε ότι για φορτία η στροφή της διατομής της δοκού στο σημείο δεν είναι πλέον συνεχής. Εάν θέλουμε, είναι δυνατόν να υπολογίσουμε μετατοπίσεις της δοκού σε οποιοδήποτε σημείο.
Οταν το φορτίο αγγίσει την τιμή, τότε σχηματίζεται στο σημείο τρίτη πλαστική άρθρωση, και η δοκός μετατρέπεται σε μηχανισμό κατάρρευσης. Η τιμή του φορτίου κατάρρευσης εξαρτάται μόνον από την πλαστική ροπή της διατομής της δοκού.
Το φορτίο πλαστικής κατάρρευσης εξαρτάται μόνον από την πλαστική ροπή κάμψης της δοκού. Το φορτίο πλαστικής κατάρρευσης της δοκού δεν εξαρτάται απο την σειρά σχηματισμού των πλαστικών αρθρώσεων. ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Η διακεκομμένη γραμμή απεικονίζει την καμπύλη φορτίου παραμόρφωσης της δοκού για την περίπτωση που είχαμε λάβει υπόψη την ακριβή καμπύλη (και όχι την εξιδανικευμένη ελαστική απολύτως πλαστική καμπύλη).
Συνθήκες ελαστικής ανάλυσης δοκού: Συνθήκη Συμβιβαστού Παραμορφώσεων Συνθήκη Στατικής Ισορροπίας Συνθήκη Ροπής Κάμψης Καμπυλότητος () Συνθήκες πλαστικής ανάλυσης δοκού: Συνθήκη Μηχανισμού Συνθήκη Στατικής Ισορροπίας Συνθήκη Πλαστικής Ροπής ( )
Παραδείγματα υπερστατικών δοκών
Πλαστική Κατάρρευση Συνεχούς Δοκού Παράδειγμα: Συνεχής δοκός σταθερής διατομής Το φορτίο του αριστερού ανοίγματος ελέγχει τον σχεδιασμό. Στο (c) εικονίζεται ο μηχανισμός κατάρρευσης (ικανοποιούνται και οι τρείς συνθήκες πλαστικής ανάλυσης εάν είναι η πλαστική ροπή της διατομής της δοκού, και επομένως, συμφώνως με θεώρημα που θα αποδείξουμε, είναι ο πραγματικός μηχανισμός). Εάν υποθέταμε οτι ο μηχανισμός κατάρρευσης ήταν το (d), τότε αμέσως θα συμπεραίναμε ότι:. Διαπιστώνουμε όμως ότι παραβιάζεται ( ) η Συνθήκη Πλαστικής Ροπής. Κάθε λύση που παράγεται από τυχούσα υπόθεση μηχανισμού πλαστικής κατάρρευσης είναι μή ασφαλής, ή, στην καλύτερη περίπτωση, είναι η σωστή λύση εαν ο μηχανισμός που επιλέξαμε τυχαία είναι ο σωστός μηχανισμός. Επομένως μία προσέγγιση του προβλήματος μπορεί να στηρίζεται στην εξέταση όλων των δυνατών μηχανισμών κατάρρευσης. Επιλέγεται ο μηχανισμός/λύση που απαιτεί την μεγαλύτερη πλαστική ροπή.
Πλαστική Κατάρρευση Συνεχούς Δοκού Παράδειγμα: Συνεχής δοκός σταθερής διατομής (συνέχεια) Εάν η πλαστική ροπή της δοκού ηταν τότε με την υπόθεση μηχανισμού (d) θα ικανοποιούνταν δύο απο τις τρεις Συνθήκες Πλαστικής Ανάλυσης. Μια λύση (που αντιστοιχεί σε τυχαίως επιλεγέντα μηχανισμό) που ικανοποιεί τις συνθήκες Στατικής Ισορροπίας & Πλαστικής Ροπής ειναι ασφαλής λύση έστω και αν δεν αντιστοιχεί στον πραγματικό μηχανισμό. Επομένως αναλύοντας το πρόβλημα, καταλήγουμε ότι: Τα όρια της ανωτέρω σχέσης είναι αρκετά ευρεία για πρακτική χρήση (για πλαίσια τα όρια είναι αρκετά στενότερα). Η σωστ η λύση όπως είδαμε είναι. Η ανωτέρω ανάλυση εισάγει την ιδέα των άνω και κάτω ορίων.
Πλαστική Κατάρρευση Συνεχούς Δοκού Παράδειγμα: Συνεχής δοκός με διαφορετική διατομή ανα άνοιγμα Η πλαστική ανάλυση επιτρέπει άμεσο σχεδιασμό/σύνθεση (direct design). Ο μελετητής δύναται να δοκιμάσει διάφορες διατομές με μεγάλη ευκολία. Σύνθεση # Βάρος Φορέα (αυθαίρετη κλίμακα) (αριστερό άνοιγμα) (δεξιό άνοιγμα) 1 6 6 12 2 7 4 11 3 6.5 5 11.5 Υποθέτουμε ότι το βάρος της δοκού είναι ανάλογο της πλαστικής ροπής Πρέπει να υπογραμμισθεί ότι η σύνθεση (design) με το μικρότερο βάρος φορέα δεν ειναι αναγκαία και ο οικονομικώτερος.
Πλαστική Κατάρρευση Συνεχούς Δοκού Παράδειγμα: Συνεχής δοκός τριών ανοιγμάτων Μηχανισμός στο αριστερό άνοιγμα: 12 129 2 Μηχανισμός στο μεσαίο άνοιγμα: 14 14 1.93 Μηχανισμός στο δεξιό άνοιγμα: 16 1412 1.92 Επιλέγουμε το μικρότερο, δηλαδή 1.92. Ο σωστός/πραγματικός μηχανισμός κατάρρευσης είναι ο μηχανισμός που αντιστοιχεί στο δεξιό άνοιγμα.
Πλαστική Κατάρρευση Συνεχούς Δοκού Παράδειγμα: Σχεδιασμός συνεχούς δοκός πολλαπλών ίσων ανοιγμάτων Συνεχής δοκός σταθερής διατομής Σημειώνεται ότι για τα εσωτερικά ανοίγματα το πρόβλημα είναι στατικώς απροσδιόριστο. Η ανωτέρω δοκός πολλαπλών ανοιγμάτων είναι δυνατόν να σχεδιαστεί δίδοντας στα εσωτερικά ανοίγματα την μικρότερη δυνατή πλαστική ροπή ( ) με κόστος την μικρή αύξηση της μεγίστης ροπής στα δύο ακραία ανοίγματα.
Εξισωση Δυνατών Εργων Εξισωση Δυνατων Εργων: Εάν σύστημα δυνάμεων που ευρίσκεται σε ισορροπία μετατοπισθεί ακολουθώντας δυνατές μετατοπίσεις, το έργο των εξωτερικών δυνάμεων ισούται με το έργο των εσωτερικών δυνάμεων.
Εξισωση Δυνατών Εργων Κάνουμε χρήση του μη ασφαλούς θεωρήματος (βλέπε κατωτέρω). Για κάθε τιμή του λαμβάνουμε και μία τιμή του. Επιλέγουμε την μεγίστη τιμή του (δηλαδή τον ασφαλέστερο σχεδιασμό). Η τιμή του που δίδει την μεγίστη τιμή του ειναι η τιμή για την οποία λαμβάνουμε.
Εξισωση Δυνατών Εργων Παράδειγμα: Συνεχής δοκός τριών ανοιγμάτων (αυτό το παράδειγμα το εξετάσαμε νωρίτερα κάνοντας χρήση της στατικής μεθόδου ).... ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Ακόμη και όταν η Εξίσωση Δυνατών Εργων χρησιμοποιείται στην ανάλυση, είναι σκόπιμο να σχεδιάζονται διαγράμματα ροπων κάμψης διότι διευκολύνουν την ανάλυση και αποτελούν εργαλείο ελέγχου των υπολογισμών.
Πλαστική Κατάρρευση Συνεχούς Δοκού ΑΣΚΗΣΕΙΣ: (1) Δίδεται η εικονιζομένη συνεχής δοκός σταθερής διατομής. Να ευρεθεί η δυσμενεστέρα θέση του κινητού φορτίου και να υπολογισθεί η αντίστοιχη/αναγκαία πλαστική ροπή της διατομής της δοκού. Επι τη ευκαιρία σημειώνεται ότι γραμμές επιρροής δεν ισχύουν στην πλαστική ανάλυση διότι η αρχή της επαλληλίας δεν ισχύει. (2) Για την εικονιζομένη δοκό, (α) να σχεδιασθούν όλοι οι δυνατοί μηχανισμοί, (β) να ευρεθεί ο μηχανισμός κατάρρευσης και η τιμή του φορτίου κατάρρευσης, και (γ) να σχεδιασθεί το αντίστοιχο διάγραμμα ροπών κάμψης.