Κεφάλαιο 13ο Eπαναλαµβανόµενα παίγνια (Repeated Games)

Κεφάλαιο 13ο Eπαναλαµβανόµενα παίγνια (Repeated Gaes) Το δίληµµα των φυλακισµένων, όπως ξέρουµε έχει µια και µοναδική ισορροπία η οποία είναι σε αυστηρά κυρίαρχες στρατηγικές. C N C -8, -8 0, -10 N -10, 0-1, -1 C: confess N: not confess Όταν εξετάζαµε το συγκεκριµένο παίγνιο είχαµε δει ότι σε αυτό υπάρχει µια µόνο ισορροπία. Η ισορροπία αυτή είναι σε αυστηρά κυρίαρχες στρατηγικές. Προσπαθήσαµε να βρούµε µια άλλη λύση, πέρα από αυτή την «κακή» ισορροπία, όπου και οι δύο παίκτες σπαταλάνε 8 χρόνια στην φυλακή, και είδαµε ότι, δυστυχώς, δεν υπάρχει. Ας υποθέσουµε τώρα ότι αυτό το παίγνιο επαναλαµβάνεται πολλές φορές. Υπάρχει περίπτωση µε την επανάληψη να αλλάξουν τα αποτελέσµατα; Σε αυτό το παιγνίδι δεν επιτρέπεται ποτέ η συνεργασία. Αυτό το οποίο γίνεται είναι ότι οι παίκτες, κάθε λίγο κάνουν ένα έγκληµα και µετά ξαναβρίσκονται στην φυλακή. Το παιγνίδι επαναλαµβάνεται πολλές φορές µε την ίδια ακριβώς δοµή ανά περίοδο. Με τον ίδιο τρόπο µπορούµε να σκεφτούµε ένα άλλο παιγνίδι. Έστω ότι υπάρχουν δυο επιχειρήσεις στην αγορά. Οι επιχειρήσεις ανταγωνίζονται σε τιµές. Ξέρουµε ότι όταν οι επιχειρήσεις ανταγωνίζονται σε τιµές τότε: P = MC Π = 0 (τα κέρδη θα είναι µηδέν). Οι ίδιες οι επιχειρήσεις θα µπορούσαν να υπογράψουν µια συµφωνία ή να συνεργαστούν και να πετύχουν κάθε µία τα µισά των κερδών του µονοπωλητή (π ). Αυτό είναι ένα άλλο είδος διλήµµατος φυλακισµένων. Ας δούµε τι θα συµβεί αν αυτό το παίγνιο επαναλαµβάνεται ένα πεπερασµένο αριθµό φορών (ο αριθµός των επαναλήψεων είναι πεπερασµένος αρχικά) Τ: πεπερασµένο (αριθµός επαναλήψεων του παιγνίου) Τι θα συµβεί αν το Τ είναι πεπερασµένο; Θα αλλάξει το αποτέλεσµα; 193

Χαρακτηριστικό στην επανάληψη του παιγνίου είναι ότι και οι δύο παίκτες ξέρουν ότι θα κάνουνε Τ φορές το έγκληµα και ότι θα βρεθούν Τ φορές στην κατάσταση του διλήµµατος των φυλακισµένων. Μπορούµε συνεπώς να χρησιµοποιήσουµε την οπισθoγενή επαγωγή. Πάµε λοιπόν στο τελευταίο στάδιο για να δούµε τι θα συµβεί σε αυτό άσχετα µε το ότι έχει συµβεί στο παρελθόν: ( 8, 8). Με δεδοµένο ότι δεν υπάρχει µέλλον και επιπλέον δεν υπάρχει καµιά περίπτωση να εκτοξευθούν απειλές που να αλλάξουν τη συµπεριφορά των παικτών (στο µέλλον), το µόνο που θα κοιτάξει κάθε παίκτης είναι να µεγιστοποιήσει τα κέρδη του στο παρόν (το παρόν είναι η περίοδος Τ). Στην τελευταία περίοδο οι δύο παίκτες θα πάνε από 8 χρόνια φυλακή. Εµείς µπορούµε να σκεφτούµε διαφορετικά: ότι µιλάµε για µια αγορά, όπου ανταγωνίζονται δύο επιχειρήσεις για τις τιµές. Γεγονός που σηµαίνει ότι στην τελευταία περίοδο οι δύο επιχειρήσεις βρίσκονται σε ένα δίληµµα, όµοιο µε αυτό των φυλακισµένων, και επιλέγουν µια τιµή ίση µε το οριακό κόστος: P = MC και πετυχαίνουν κέρδη µηδέν. Το ερώτηµα που γεννάται τώρα είναι τι θα συµβεί την περίοδο Τ 1; Σηµείωση: Στην περίοδο Τ το παίγνιο τελειώνει και έτσι καµία από τις δυο επιχειρήσεις δεν µπορεί να κερδίσει κάτι µε το να εκτοξεύσει µια απειλή την περίοδο Τ-1. Επιπλέον τα κέρδη των επιχειρήσεων την περίοδο Τ είναι µηδενικά και το αποτέλεσµα (της τελευταίας περιόδου) δεν µπορεί να αλλάξει. Συνεπώς δεν έχει κανένα νόηµα να απειλήσει η µια επιχείρηση την άλλη, γεγονός που σηµαίνει ότι θα θέσουν τιµή ίση µε το οριακό κόστος και τα κέρδη τους θα είναι µηδενικά την περίοδο Τ-1. Την περίοδο Τ δεν υπάρχει καθόλου µέλλον. Την περίοδο (Τ 1) υπάρχει µέλλον αλλά είναι «µαύρο» και για τις δύο. εν υπάρχει η δυνατότητα να απειληθεί η αντίπαλος ότι θα τις µειωθούν τα κέρδη, διότι τα κέρδη της είναι ήδη στο ελάχιστο δυνατό. Με αυτή τη λογική και πηγαίνοντας προς τα πίσω θα βρούµε ότι όταν το παίγνιο επαναλαµβάνεται ένα πεπερασµένο αριθµό φορών, το αποτέλεσµα είναι κάθε περίοδο: 194

P = ΜC Π = 0 ή στο δίληµµα των φυλακισµένων: κάθε περίοδο και οι δύο φυλακισµένοι θα πηγαίνουν 8 χρόνια φυλακή ο καθένας. Επειδή υπάρχει η τελευταία περίοδος και είναι κοινή γνώση ότι υπάρχει (η τελευταία περίοδος), και επιπλέον ξέρουν και οι δύο ότι (την τελευταία περίοδο) δεν θα υπάρχει µέλλον, το αποτέλεσµα θα είναι και πάλι το ίδιο όπως το αποτέλεσµα ενός παιγνίου που επαναλαµβάνεται µόνο µια φορά. Αυτό αρκεί για να «ξεδιπλώσει» το επιχείρηµά µας, και να φτάσουµε να έχουµε το ίδιο αποτέλεσµα κάθε περίοδο. Εδώ, θέλουµε να βρούµε µια λύση του παιγνίου που να είναι τέλεια ισορροπία υποπαιγνίων. Γι αυτό αρχίζουµε από το τέλος. Σηµείωση: δεν µας ενδιαφέρουν οι ισορροπίες κατά Νash στα επαναλαµβανόµενα παίγνια. Μας ενδιαφέρουν οι τέλειες ισορροπίες υποπαιγνίων και βλέπουµε ότι το αποτέλεσµα του διλήµµατος των φυλακισµένων επαναλαµβάνεται ακόµα και όταν το παίγνιο επαναλαµβάνεται Τ περιόδους. Γι αυτό που πρέπει να πεισθούµε τώρα είναι ότι το να µοντελοποιήσουµε την κατάσταση σε ένα παίγνιο πεπερασµένου αριθµού περιόδων δεν είναι το λογικό. ηλαδή συνήθως ο τρόπος που βλέπουν οι παίκτες το παίγνιο είναι σαν να είναι ένα παίγνιο απείρων περιόδων. Γιατί; Ας πάµε στο παράδειγµα των δύο επιχειρήσεων, που ανταγωνίζονται σε τιµές. Ποια είναι η λογική του να πούµε ότι και οι δύο επιχειρήσεις ξέρουν ποια θα είναι η τελευταία περίοδος που θα ανταγωνιστούν στην αγορά; Είναι σαν να λέµε ότι µπαίνουν 2 επιχειρήσεις το 1950 στην αγορά, και ξέρουν ότι και οι δύο θα βγούνε από την αγορά το 2005 ό,τι και να συµβεί. Αυτό το πράγµα δεν είναι λογικό, ούτε συµβαίνει έτσι στην πραγµατικότητα. Συνήθως, δεν είναι γνωστό πότε θα σταµατήσει ο ανταγωνισµός στην αγορά, πότε θα τελειώσει το παίγνιο. Και γιατί δεν είναι γνωστό; Το πιο απλό που µπορούµε να σκεφτούµε είναι το εξής: η ζωή των επιχειρήσεων εξαρτάται από µακροοικονοµικά γεγονότα (αρνητικά shocks που µπορεί να έχει µια οικονοµία). Κάτι συµβαίνει εξωτερικά, η οικονοµία µπαίνει σε µια περίοδο ύφεσης µε αποτέλεσµα κάποιες από τις επιχειρήσεις να φύγουν από την αγορά διότι δεν είναι πλέον κερδοφόρες. Άρα, όλες οι επιχειρήσεις έχουν κάποιο κίνδυνο να φύγουν από την αγορά κάθε περίοδο, για λόγους εξωγενείς ή για λόγους που δεν µπορούν να ελέγξουν ή να προβλέψουν (π.χ. έχουν ένα κακό anager). Αν είναι έτσι τα πράγµατα, τότε τι αλλάζει; Αυτό που αλλάζει είναι ότι η τελευταία περίοδος δεν είναι γνωστή. Αν υποθέσουµε στο πιο απλό παράδειγµα ότι κάθε περίοδο κάθε επιχείρηση αντιµετωπίζει µια µικρή πιθανότητα να φύγει εκτός αγοράς. Πόσες περιόδους θα διαρκέσει αυτό το παίγνιο; 195

Σηµείωση: Υπάρχει διαφορά µεταξύ realization (πραγµατοποίησης) και rando process (τυχαία διαδικασία). Κάθε περίοδο υπάρχει µια µικρή θετική πιθανότητα να κλείσει η επιχείρηση. Αλλά πόσες περιόδους µπορεί να διαρκέσει η ζωή της επιχείρησης στην αγορά. Άπειρες. Άρα το παίγνιο για τις επιχειρήσεις διαρκεί άπειρες περιόδους. Το ενδιαφέρον είναι ότι όταν το Τ: ο αριθµός των περιόδων που ανταγωνίζονται οι επιχειρήσεις είναι άπειρος, δεν µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε την ίδια µέθοδο (να πάµε στο Τ= ). εν µπορεί να αναλυθεί η απειροστή περίοδος. Για τον ίδιο λόγο που δεν µπορούσαµε να το κάνουµε στο παράδειγµα των διαπραγµατεύσεων πάλι δεν µπορούµε να πάµε στην Τ = και µετά στην Τ = 1, Τ = 2 κ.ο.κ. Γιατί οι περίοδοι είναι άπειροι; Θα δώσουµε ένα παράδειγµα που δεν είναι ακριβώς το ίδιο. Όταν σκεφτόµαστε πόσα χρόνια θα ζήσουµε, ξέρουµε πόσο ακριβώς θα ζήσουµε; ΟΧΙ. Όταν το βλέπουµε από σήµερα δεν ξέρουµε πόσα χρόνια θα ζήσουµε. Με τον ίδιο τρόπο οι επιχειρήσεις δεν ξέρουν πόσα χρόνια θα ζήσουν. Ας δούµε το παράδειγµα που δώσαµε πριν. Ας πούµε ότι η κάθε επιχείρηση εξαρτάται από το πως πάει η παγκόσµια οικονοµία. Άρα υπάρχει µια µικρή περίπτωση να βγει έξω από την αγορά κάθε περίοδο. Όταν το βλέπει ο επιχειρηµατίας τώρα, πόσες περιόδους µπορεί να µείνει στην αγορά; Άπειρες, εδώ έχουµε µια στοχαστική ανέλιξη. Σηµείωση: αν υπήρχε συµβόλαιο, τότε θα είχαµε πεπερασµένο Τ. Αν υπήρχε δηλαδή τρόπος να ξέρουν και οι δύο επιχειρήσεις, ότι θα φύγουν από την αγορά ένα συγκεκριµένο χρόνο, τότε θα είχαµε το παράδοξο του Bertrand ακόµα και σε πεπερασµένες περιόδους. Όµως, συνήθως δεν είναι έτσι τα πράγµατα. Πρέπει να δούµε τι θα συµβεί. Αλλάζουν τα αποτελέσµατα αν βλέπει ex ante κανείς ότι οι περίοδοι είναι άπειροι; Αλλάζουν εντελώς! Χωρίς να µπούµε σε λεπτοµέρειες θα πούµε την βασική λογική. Το κόλπο ποιο είναι; Κάθε περίοδο, όποια και να είναι αυτή, οι αποµένουσες περίοδοι είναι ΑΠΕΙΡΕΣ. Άρα, αυτό που µπορεί να κάνει µια επιχείρηση είναι να πει στην άλλη: «αν σήµερα δεν συνεργαστείς µαζί µου και συνεργασία µπορεί να σηµαίνει να θέσει η αντίπαλος την τιµή του µονοπωλητή που θέτω και εγώ και έτσι και οι δυο µας να κάνουµε τα µισά κέρδη του µονοπωλητή, τότε από αύριο και µετά θα σε τιµωρήσω θέτοντας µια τιµή: P=MC µέχρι το τέλος της αγοράς». Γιατί µια τέτοια απειλή είναι αξιόπιστη; Θα πούµε κάτι που ξεχάσαµε να το πούµε πριν. Ας πούµε ότι έχουµε άπειρες περιόδους και µας προτείνεται ως ισορροπία ότι κάθε µια από αυτές τις άπειρες περιόδους, οι επιχειρήσεις θέτουν: P=MC. Είναι αυτή µια τέλεια ισορροπία υποπαιγνίων ή όχι; 196

P 1t *=P 2t *=c t=0, 1, 2,..., (1) Είναι αυτό µια τέλεια ισορροπία υποπαιγνίων; ΝΑΙ, διότι αν η µια αυξήσει λίγο την τιµή της θα χάσει όλη την αγορά. Ούτε έχει κίνητρο να την µειώσει κάτω από το οριακό κόστος. Άρα το (1) είναι µια από τις ισορροπίες του παιγνίου των απείρων περιόδων αλλά δεν είναι η µοναδική. Θα δείξουµε ότι υπάρχουν άπειρες ισορροπίες: ο,τιδήποτε µπορεί να συµβεί στο παίγνιο των απείρων περιόδων. Άρα τώρα ας πάµε πίσω να επαναλάβουµε την στρατηγική που είπαµε πριν, η οποία καλείται «Trigger strategy». «Trigger strategy»: «Αν συνεργαστείς µαζί µου συνεχίζω να συνεργάζοµαι. Αν όµως σήµερα µειώσεις την τιµή σου έστω και λίγο (ε > 0) από αύριο και πέρα εγώ θα θέσω µια τιµή P=MC». Σαν αποτέλεσµα, και ο άλλος θα θέσει µια τιµή ίση µε το MC, δηλαδή στην συνέχεια του παιγνίου θα βρισκόµαστε στην ισορροπία P=MC. Άρα τώρα τι συµβαίνει; Κάθε επιχείρηση σκέφτεται τα εξής δύο πράγµατα. (i) ή να µειώσει την τιµή της λιγάκι κάτω από την τιµή του αντιπάλου, και να πάρει όλα τα κέρδη της αγοράς σήµερα αλλά να χάσει κέρδη από αύριο µέχρι το άπειρο. (ii) ή να συνεχίσει να συνεργάζεται και να έχει τα µισά κέρδη απ όσα θα µπορούσε να πετύχει µε το να µειώσει λιγάκι την τιµή της, αλλά να έχει αυτά τα µισά κέρδη άπειρες περιόδους. Άρα η trigger strategy θα έχει 2 µέρη (όπου το πρώτο θα είναι η καλή θέληση): Trigger strategy: P io =P P P it = c (P,P ) ( P, P ) εάν Ht =,... 0 t 1 για κάθε άλλη περίπτωση Καλή θέληση σηµαίνει ότι στην περίοδο µηδέν, κάθε επιχείρηση θα θέσει µια τιµή ίση µε την τιµή του µονοπωλίου. Οπότε το trigger strategy µας λέει ότι η επιχείρηση i θα αρχίσει µε καλή θέληση, θα θέσει την τιµή του µονοπωλίου. Τις επόµενες περιόδους η στρατηγική έχει δύο µέλη: συνεχίζει µε την ίδια τιµή αν η ιστορία του παιγνιδιού µέχρι εκείνη τη στιγµή, ήταν «συνεργασία». ηλαδή αν και οι δύο επιχειρήσεις έθεταν τιµές ίσες µε P, κάθε περίοδο. Αν δεν συµβεί αυτό το πράγµα, η τιµή την περίοδο t θα είναι µε το MC. Περίοδος 0: οι επιχειρήσεις κάνουν ένα πείραµα. Θέτουν την τιµή του µονοπωλητή για να δούνε αν θα ξεκινήσει µια συνεργασία η οποία θα διαρκέσει µέχρι το άπειρο. 197

Αν για παράδειγµα την περίοδο t=1 η αντίπαλος έχει θέσει µια τιµή µικρότερη από την τιµή του µονοπωλίου, την περίοδο 2 η άλλη επιχείρηση θα θέσει τιµή ίση µε το MC. Αλλιώς αν έχουν θέσει τιµή ίση µε την τιµή του µονοπωλητή, θα συνεχίσει µε την τιµή του µονοπωλητή. Άρα αν κάποια από τις επιχειρήσεις αποκλίνει κάποια περίοδο, από εκεί και πέρα δεδοµένης της στρατηγικής trigger που θα ακολουθήσουν και οι δύο, θα πάµε στην ισορροπία: * Pt = P * t = c 1 2 : όπου κάθε µια θέτει την τιµή ίση µε το MC. Θα αποδείξουµε ότι το ζεύγος: (Trigger strategy, Trigger strategy) είναι τέλεια ισορροπία κατά Nash υποπαιγνίων, αν δ ½ (δ: συντελεστής προεξόφλησης). Αν δηλαδή η µια επιχείρηση ακολουθεί την Trigger strategy, η καλύτερη απάντηση που µπορεί να δώσει ο άλλος είναι η ίδια στρατηγική (Trigger strategy). Το ενδιαφέρον είναι ότι αυτή η στρατηγική έχει πολύ ισχυρές τιµωρίες. ηλαδή αν µια από τις επιχειρήσεις, µια περίοδο θέσει µια τιµή 1 cent λιγότερο από του µονοπωλητή, η άλλη επιχείρηση την τιµωρεί από την επόµενη περίοδο µέχρι το άπειρο, θέτοντας µια τιµή πολύ χαµηλή P=MC. Γιατί έχει κίνητρο να κατεβάσει την τιµή πολύ; Όσο µεγαλύτερη είναι η απειλούµενη τιµωρία, τόσο πιο εύκολο είναι να βρεθεί µια συνεργασία µεταξύ των δύο επιχειρήσεων. Άρα, πρέπει να βρούµε την πιο ισχυρή τιµωρία που είναι πιθανόν να θέσει µια από τις εταιρείες. Και αυτή είναι µια πολύ ισχυρή τιµωρία: κάνεις µια φορά την απόκλιση και η άλλη σε τιµωρεί για πάντα. Σηµείωση: Αρχίζουµε µε P io =P, διότι αν δεν ξεκινήσουν µε καλή θέληση, ποτέ δεν θα επιτευχθεί καλή ισορροπία. Μπορεί να το σκεφτόµαστε ως ένα πείραµα: δηλαδή θέλουµε να δούµε αν το αντίπαλος µας έχει στόχο να συνεργαστεί ή όχι. Ποιο το αποτέλεσµα του ζεύγους στρατηγικών (Trigger strategy, Trigger strategy); Αν και οι δύο επιχειρήσεις ακολουθήσουν την Trigger strategy, τότε ξεκινούν και οι δύο µε τις τιµές του µονοπωλητή. εδοµένου ότι την περίοδο µηδέν: P io =P και τη δεύτερη περίοδο θα θέσουν τιµή ίση µε του µονοπωλητή. εδοµένης της ιστορίας µέχρι την περίοδο 1 (που είναι τιµές µονοπωλητή) την περίοδο 2 θα θέσουν και οι δύο την τιµή του µονοπωλητή. Αυτό θα συνεχίζεται µέχρι το άπειρο. Οπότε θα βγει µια ιστορία όπου: H ( P, P ) t = 0 οι δύο επιχειρήσεις θα θέτουν την τιµή τους ίση µε εκείνη του µονοπωλητή, για κάθε περίοδο. 198

Ο συνδυασµός στρατηγικών (Trigger, Trigger) είναι µια τέλεια ισορροπία κατά Nash υποπαιγνίων αν δ ½. Η λογική εδώ είναι: Κάποιος µπορεί να πάρει µεγάλα κέρδη σήµερα και µικρά κέρδη στο µέλλον, ή µικρότερα σήµερα αλλά τα ίδια κέρδη για πάντα π 2. Άρα, ποια είναι η συνθήκη που χρειαζόµαστε; Τι χρειάζεται να είναι σχετικά µεγάλο; Το δ. Αν για παράδειγµα το µέλλον δεν παίζει κανένα ρόλο, η ισορροπία (Trigger strategy, Trigger strategy) δεν µπορεί ποτέ να επιτευχθεί. Οπότε η συνθήκη είναι: δ ½ (δηλαδή αρκετά µεγάλο δ). H ( P, P ) τι είναι; Είναι το τελικό αποτέλεσµα. Ότι κάθε περίοδο υπάρχει µια τιµή ίση t = 0 µε τον µονοπωλητή. Το µόνο που έµεινε να αποδείξουµε είναι γιατί το δ ½, όταν έχουµε δύο επιχειρήσεις. Θα δούµε µετά πως αλλάζει το δ αν υπάρχουν παραπάνω επιχειρήσεις. Ας πάρουµε µια επιχείρηση µια τυχαία περίοδο t. Η επιχείρηση αυτή µπορεί είτε: (i) να συνεχίσει µε την τιµή του µονοπωλητή ή (ii) να µειώσει την τιµή της. Ποια τα κέρδη της όταν συνεχίσει µε την τιµή του µονοπωλητή; Π δπ Π i (ακολουθεί)= + +... 2 2 Π = (1 + δ + δ 2 2 +...) Π 1 Π = = 2 1 δ 2(1 δ ) Ποια τα κέρδη αν µειώσει την τιµή της; Π i (απόκλιση) Π Αν αποκλίνει θα έχει κέρδη σχεδόν ίσα µε τον µονοπωλητή, διότι θα πρέπει να µειώσει την τιµή λίγο κάτω από το P. (P -ε) Το Π i (απόκλιση) είναι τα κέρδη της επιχείρησης όταν αποκλίνει από την στρατηγική, δεδοµένου ότι η άλλη επιχείρηση ακολουθεί την στρατηγική Trigger. Επαναλαµβάνουµε: δεδοµένου ότι η επιχείρηση j ακολουθεί το Trigger Strategy, θέλουµε να δούµε αν η επιχείρηση i έχει κίνητρο να αποκλίνει (να αλλάξει την τιµή της από P ) ή να ακολουθήσει την στρατηγική. 199

Άρα µε την απόκλιση, σήµερα πετυχαίνει περίπου τα κέρδη του µονοπωλίου, αλλά από αύριο πετυχαίνει µηδέν. Άρα συνολικά πετυχαίνει σχεδόν τα κέρδη του µονοπωλητή µιας περιόδου. Τι κέρδη θα έχει η ίδια επιχείρηση αν ακολουθήσει την στρατηγική Trigger; Θα έχει κάθε φορά κέρδη Π 2 αλλά προεξοφληµένα. Άρα δεν θα αποκλίνει από την στρατηγική αν Π i (ακολουθεί) Π i (απόκλιση) Π Π 2(1 δ ) 1 2 2δ 2δ 1 δ ½ Αν θέλαµε να κάνουµε την ίδια ανάλυση µε το παιχνίδι των φυλακισµένων, το αντίστοιχο Π είναι το 1. Όµως βλέπουµε το Π δεν παίζει κανένα ρόλο. Όταν είναι δύο άτοµα, το δ πρέπει να είναι µεγαλύτερο από το 0.5. Το τι κερδίζει κανείς µε την συνεργασία που παριστάνει το Π, δεν παίζει κανένα ρόλο. Βέβαια, αυτό που έχει σχέση είναι να δούµε τη διαφορά του 1 και 8 διότι Π = -1 και αν αποκλίνει θα έχει 8. Π i (απόκλιση)=0+δ( 8)+δ 2 ( 8)+... = 8[1+δ+δ 2 8 +...]+8 = + 8 1 δ Π i (ακολουθεί)= 1+δ( 1)+... 1 = 1(1+δ+...)= 1 δ Πi (απόκλιση) Πi (ακολουθεί) 8 1 + 8 1 δ 1 δ δ $1/8 Τι προβλέπεται αν αντί για δύο επιχειρήσεις έχουµε πολλές (n); Η κρίσιµη τιµή του δ θα είναι µεγαλύτερη. Γιατί; Εδώ υπάρχει µια σιωπηρή συνεργασία. Πότε είναι πιο εύκολο να συνεργαστούν: όταν είναι δύο ή πολλές επιχειρήσεις; Σίγουρα δύο. Άρα το κρίσιµο δ θα είναι µεγαλύτερο. Η κριτική τιµή του δ αν για παράδειγµα έχουµε τρεις επιχειρήσεις θα είναι µεγαλύτερη από το ½. Γιατί; Η συνθήκη δ ½ σηµαίνει ότι ακόµα και αν προεξοφλείται αρκετά το µέλλον, δηλαδή δ=½, οι δύο επιχειρήσεις µπορούν να συνεργαστούν χρησιµοποιώντας το Trigger Strategy. 200

Αν είναι όµως πολλές οι επιχειρήσεις πρέπει το µέλλον να παίζει περισσότερο ρόλο. Μα το µέλλον να παίζει περισσότερο ρόλο σηµαίνει δ πιο ψηλό. Το δ είναι αντίστροφο του επιτοκίου. Αν έχουµε n επιχειρήσεις: Π Πς Πi (ακολουθεί)= + +... n n Π = n ( 1 δ ) Πi (αποκλίνει) Π +δ 0+... Π Πi (ακολουθεί) Πi (αποκλίνει) Π Π n(1 δ) 1 n nδ 1 n( 1 δ ) n 1 nδ δ n 1 ή δ 1 1/n n Άρα, είναι πιο δύσκολο να γίνει η συνεργασία. Πρέπει οι επιχειρήσεις να θεωρούνε σηµαντικά τα µελλοντικά τους κέρδη. Και µπορούµε να δούµε τι γίνεται αν n=10. Αν έχουµε 10 επιχειρήσεις, η συνθήκη απαιτεί ένα δ 0.9. ηλαδή ήδη είµαστε σε ένα αρκετά ψηλό συντελεστή προεξόφλησης. Οπότε, µια ισορροπία, καλή ισορροπία συνεργασίας, είναι δύσκολη όταν ο αριθµός των επιχειρήσεων είναι πολύ µεγάλος. Γιατί είναι πιο δύσκολο να συνεργαστούν; ιότι όταν όλες οι άλλες συνεργάζονται και µια µειώσει την τιµή της, πιάνει όλη την αγορά. Άρα, από εκεί που είχε Π κέρδη πάει σε Π. Αυξάνει πάρα πολύ τα κέρδη της. n Άρα το κέρδος το τωρινό της επιχείρησης είναι πολύ µεγάλο. Αν λοιπόν οι µελλοντικές απώλειες δεν είναι σηµαντικές (το δ είναι µικρό) τότε η επιχείρηση θα σπάσει τη συµφωνία και θα πάρει τα σηµερινά κέρδη και δεν θα την ενδιαφέρουν οι απώλειες οι µελλοντικές. [Πως ορίζεται η ισορροπία κατά Nash; Λέµε ας πούµε ότι οι υπόλοιποι ακολουθούν. Εγώ τι κάνω; Ακολουθώ ή όχι; Αν το ακολουθώ, είναι µια ισορροπία κατά Nash. Αν δεν το ακολουθώ δεν είναι.] εν έχουµε κάνει καµιά αυστηρή ανάλυση του όλου θέµατος. Απλώς είπαµε ποια είναι η βασική λογική και γιατί πετυχαίνουµε µια καλή ισορροπία, µια ισορροπία σιωπηλής συνεργασίας (tacit collusion). Και γιατί είναι σιωπηρή συνεργασία; ιότι βάζουν την τιµή του µονοπωλητή, χωρίς να υπάρχει υπογραµµένο κανένα συµβόλαιο, χωρίς να υπάρχει καµιά ανοιχτή συµφωνία. 201

Απλά, µέσω των απειλών που κάθέ µια επιχείρηση εκτοξεύει στην αντίπαλό της όλες πετυχαίνουν την καλή ισορροπία. Με την ίδια λογική, µπορούµε να υποστηρίξουµε οποιαδήποτε άλλη τιµή µεταξύ του µονοπωλητή (P ) και του c. ηλαδή, θα µπορούσαµε να είχαµε το εξής Trigger Strategy: P oi =P, P > c P P it = c (P,P ) ( P, P εάν Ht =,... 0 t 1 στις άλλες περιπτώσεις ) Θα βγει το ίδιο αποτέλεσµα όπως πριν. Αν δ ½ αυτή είναι τέλεια ισορροπία κατά Nash υποπαιγνίων. Άρα τέλεια ισορροπία κατά Nash υποπαιγνίων µπορούµε να έχουµε και µε τιµή ίση µε το οριακό κόστος, και µε τιµή ίσή µε P. Tέλεια ισορροπία κατά Nash υποπαιγνίων έχουµε και για ο,τιδήποτε ενδιάµεσο. Όλα είναι τέλειες ισορροπίες κατά Nash υποπαιγνίων και όχι µόνο!!! Τι άλλο µπορεί να συµβεί εδώ; Τι άλλο µας λέει το θεώρηµα του Folk; Folk Theore: Οι επιχειρήσεις µπορεί να κάνουνε διάφορα κέρδη ανά περίοδο. Μπορεί µια να έχουν ψηλά κέρδη και µια χαµηλά. Τι µπορούµε να κάνουµε; Να πάρουµε όλα αυτά τα κέρδη, τα προεξοφληµένα και να βρούµε ποια είναι τα µέσα κέρδη ανά περίοδο. ηλαδή παίρνουµε µια επιχείρηση που κάνει κέρδη Π οi την περίοδο 0, Π 1i την πρώτη κλπ. Θα κάνουµε όλα αυτά τα κέρδη έναν µέσο όρο. (1 δ) Π =Π οi +δπ 1i +... = Π 142 + δπ43... Π 1 δ Τι λέµε; Υπάρχουν κάποια µέσα κέρδη ανά περίοδο. Τι µας λέει το θεώρηµα του Folk; Μας λέει: πάρτε οποιαδήποτε µέσα κέρδη ανά περίοδο, έτσι ώστε τα µέσα κέρδη να είναι µεγαλύτερα ή ίσα από το µηδέν και να είναι µικρότερα ή ίσα των κερδών του µονοπωλητή. Με ένα περιορισµό: τα κέρδη των δύο επιχειρήσεων αθροίζουν σε κέρδη µικρότερα ή ίσα του µονοπωλητή. Παράδειγµα: Έστω ότι τα κέρδη στην αγορά φθάνουνε µέχρι 10, όπου Π =10. Προφανώς αν οι επιχειρήσεις θέτουν µια τιµή ίση µε το MC θα κάνουν κέρδη µηδέν. Άρα τα κέρδη θα είναι από 0 µέχρι 10. 0...10 202

Ας πάρουµε δύο µέσα κέρδη της εταιρείας 1 και 2 έτσι ώστε: 0 Π 1 10 0 Π 2 10 Π 1 + Π 2 10 Μια πιθανότητα είναι τα µέσα κέρδη ανά περίοδο να είναι 5 για κάθε επιχείρηση. Άλλη πιθανότητα είναι µηδέν για την πρώτη εταιρεία και 10 για την άλλη. Ή για παράδειγµα 8 µε 2 ή 3 µε 3 ή 1 µε 1. εν είναι απαραίτητο να αθροίζουν στο 10. Αυτά τα κέρδη µπορούνε να πραγµατοποιηθούνε σε κάποια τέλεια ισορροπία κατά Nash. ηλαδή υπάρχουν στρατηγικές έτσι ώστε να µας δώσουν µια τέλεια ισορροπία υποπαιγνίων που το αποτέλεσµα της είναι οι επιχειρήσεις κατά µέσο όρο να πετυχαίνουν τα κέρδη: 0 Π1 10 0 Π 2 10 ηλαδή, ο,τιδήποτε µπορεί να συµβεί κάτω από τον ήλιο (under the sun). Τα πάντα είναι ισορροπία. ηλαδή πάµε από µια κατάσταση εντελώς ακραία όπου έχουµε κέρδη µηδέν - έχουµε το παράδοξο του Bertrand ή το παράδοξο του διλήµµατος των φυλακισµένων που έχει µια µόνο ισορροπία σε κυρίαρχες στρατηγικές, σε οτιδήποτε «κάτω από τον ήλιο» είναι ισορροπία. Βέβαια, αν οτιδήποτε «κάτω από τον ήλιο» είναι ισορροπία, ποια είναι η πιο πιθανή ισορροπία σύµφωνα µε το focal point; Η ισορροπία η οποία θα είναι αποτελεσµατική. Μια από τις αποτελεσµατικές ισορροπίες. Και αν όλα είναι συµµετρικά, η πιο πιθανή ισορροπία είναι: και οι δύο επιχειρήσεις να θέτουν µια τιµή ίση µε τον µονοπωλητή και να πετυχαίνουν τα µισά των κερδών του µονοπωλητή. Η συµµετρία µας δίνει µια πιο πιθανή ισορροπία το να µοιράζονται τα κέρδη εξίσου. Και το focal point µας δίνει µια ισορροπία η οποία είναι αποτελεσµατική. Απορία: Πότε µια ισορροπία είναι αποτελεσµατική; Αποτελεσµατική είναι µε την έννοια των παιχτών που συµµετέχουν στο παιγνίδι, όχι της οικονοµίας. Στο δίληµµα των φυλακισµένων η αποτελεσµατική ισορροπία είναι το ( 1, 1). Αυτό όµως δεν είναι καλό για την κοινωνία. εν υπάρχει µια µόνο αποτελεσµατική ισορροπία γενικά. Μπορεί η µια επιχείρηση να είναι εκτός αγοράς συνέχεια και η άλλη να είναι συνέχεια µονοπωλητής. Και αυτή είναι αποτελεσµατική ισορροπία. Έχει πολλές αποτελεσµατικές. 203

Στο δίληµµα των φυλακισµένων το ( 1, 1) είναι η αποτελεσµατική ισορροπία, γιατί οι δύο φυλακισµένοι ΣΥΝΟΛΙΚΑ θα µείνουν στην φυλακή λιγότερα χρόνια. Στις δύο επιχειρήσεις όµως, υπάρχουν πολλές ισορροπίες. Οι επιχειρήσεις αυτές, παρόλο που είναι συµµετρικές, µπορεί να κάνουνε διαφορετικά κέρδη για παράδειγµα η µια να κάνει όλα σχεδόν τα κέρδη και η άλλη σχεδόν καθόλου. Γιατί; ιότι το folk theore µας λέει ότι είναι πιθανόν να γίνει αυτό. Είναι αποτελεσµατικό αν το άθροισµα των κερδών των δύο επιχειρήσεων είναι ίσο µε τα κέρδη του µονοπωλητή. Τι µπορεί να συµβαίνει; Για παράδειγµα, οι τιµές την περίοδο: 1, 5, 9, 13, 17,... η µια επιχείρηση δρα ως µονοπωλητής και την περίοδο: 2, 3, 4, 6, 7, 8, 10, 11, 12... να δρα η άλλη επιχείρηση σαν µονοπωλητής. Τι αποτέλεσµα θα έχουµε από άποψη µέσων κερδών; Θα έχει η µια το 1/4 των κερδών του µονοπωλητή. Τα συνολικά κέρδη θα είναι τα κέρδη του µονοπωλητή, όµως δεν τα µοιράζονται εξίσου. Αυτή είναι µια ισορροπία πιθανή που µπορούµε να βρούµε στρατηγικές που θα την υποστηρίζουν όπου θα είναι αποτελεσµατική αλλά όχι συµµετρική. ηλαδή αποτελεσµατικότητα είναι το άθροισµα των κερδών των επιχειρήσεων να ισούται µε τα κέρδη του µονοπωλητή. 204