Κατανοµές ιαφάνειες ιαλέξεων - 0-0303 Περιεχόµενα της Ενότητας ειγµατοληψία και Κατανοµές Ενότητα η. ειγµατοληψία Πιθανοτικέςκαι και µη πιθανοτικές µέθοδοι. Εκτιµητές, ηµειακές εκτιµήεις, φάλµα δειγµατοληψίας 3. Κατανοµές (µέου, αναλογίας) 4. Περιγραφή της χέης Κατανοµών Πληθυµού και Κατανοµών 5. Ιδιότητες ηµειακών εκτιµητών 6. Εξέταη του Κεντρικού Οριακού Θεωρήµατος 7. Επίλυη Προβληµάτων Κατανοµών - - ειγµατοληψία ειγµατοληψία ειγµατοληψία: Η διαδικαία επιλογής δείγµατος από έναν πληθυµό. Στόχος είναι η εκτίµηητων των τιµών παραµέτρων του πληθυµού (π.χ. µέη τιµή, αναλογία, διακύµανη) Απαραίτητη γιατί υνήθως δεν είναι δυνατό να γίνουν µετρήεις εόλατα τοιχεία (µονάδες) ενόςπληθυµού. Ο πληθυµός µπορεί να είναι άπειρος ή πολύ µεγάλου µεγέθους Ο πληθυµός µπορεί να είναι θεωρητικός (π.χ. οι µονάδες που τον απαρτίζουν είναι µέρος µιας διαδικαίας ε εξέλιξη) Περιοριµοί χρόνου και οικονοµικού κότους Ηµέτρηη µπορεί να υνεπάγεται κατατροφή των µονάδων - 3-4 ειγµατοληψία Τα δείγµατα επιλέγονται από έναν πληθυµό τατιτικών µονάδων µε χρήη ενός δειγµατικούπλαιίου,, δηλαδή µιας λίταςυτηµατικής υτηµατικής καταγραφής των µονάδων που απαρτίζουν τον πληθυµό, π.χ. δίνοντας έναν αριθµό (από έως Ν) ) ε κάθε µονάδα. ύο τύποι δειγµάτων: Πιθανοτικά (ή τυχαία) δείγµατα: : οι δειγµατικές µονάδες επιλέγονται µε χρήη ενός µοντέλου πιθανότητας, π.χ. µε έναν πίνακα τυχαίων αριθµών που προκύπτουν από µια οµοιόµορφη κατανοµή πιθανότητας Μη-πιθανοτικά δείγµατα: : τα δείγµατα επιλέγονται µε µη τυχαίο τρόπο είγµατα ευκολίας: : επιλογή µε βάη την ευκολία προέγγιης των δειγµατικών µονάδων είγµατα που επιλέγονται µε βάη την κρίη του αναλυτή - 5 Τυχαία ειγµατοληψία Συνηθέτερα είδη τυχαίας δειγµατοληψίας Απλή τυχαία δειγµατοληψία Συτηµατική δειγµατοληψία Στρωµατοποιηµένη δειγµατοληψία ειγµατοληψία κατά υτάδες - 6 PDF processed with CutePDF evaluatio editio www.cutepdf.com
Κατανοµές ιαφάνειες ιαλέξεων - 0-0303 Αϖλή Τυχαία ειγµατοληψία Απλό τυχαίο δείγµα - Πεπεραµένος πληθυµός: Ένα απλό τυχαίο δείγµαµεγέθους µεγέθους από πληθυµό µεγέθους Νείναι ένα δείγµα επιλεγµένο µε τέτοιο τρόπο ώτε κάθε δυνατό δείγµα µεγέθους έχει την ίδια πιθανότητα να επιλεγεί. Σκοπός της χρήης τυχαίου δείγµατος από έναν πληθυµό είναι η µέγιτη δυνατή αντιπροωπευτικότητατων πληροφοριών που υλλέγονται από το δείγµα αναφορικά µε τα χαρακτηριτικά του πληθυµού. - 7 Αϖλή Τυχαία ειγµατοληψία Πλήθος τρόπων λήψης τοιχείων από πληθυµό Ν τοιχείων (αριθµός δειγµάτων µεγέθους ) Η διάταξη ενδιαφέρει Με χρήη υνδυατικής ανάλυης Χωρίς επανάθεη Με επανάθεη!! ( )! Η διάταξη δεν! + ( + )! ενδιαφέρει Από την πολλαπλαιατική αρχή της απαρίθµηης!( )!!( )! - 8 Αϖλή Τυχαία ειγµατοληψία Παράδειγµα Πλήθος τρόπων λήψης 0τοιχείων από πληθυµό 00τοιχείων (αριθµός δειγµάτων µεγέθους 0 ) Η διάταξη ενδιαφέρει Η διάταξη δεν ενδιαφέρει Χωρίς επανάθεη Με επανάθεη! 00, 0. 68 0! ( )! 0 0 00, 0 0 0-9 Αϖλή Τυχαία ειγµατοληψία Απλό τυχαίο δείγµα -Πεπεραµένος πληθυµός: Η πιθανότητα επιλογήςκάθε δυνατού δείγµατος µεγέθους µπορεί να υπολογιτεί θεωρητικά όταν ο πληθυµός είναι πεπεραµένος: ειγµατοληψία µε επανατοποθέτηη: Ένα τοιχείο µπορεί να υµπεριληφθεί το δείγµα περιότερες από µία φορές. Πλήθος δειγµάτων µεγέθους από πληθυµό µεγέθους Ν: Πιθανότητα επιλογής κάθε δείγµατος: - 0 Αϖλή Τυχαία ειγµατοληψία Αϖλή Τυχαία ειγµατοληψία Απλό τυχαίο δείγµα - Πεπεραµένος πληθυµός: ειγµατοληψία χωρίς επανατοποθέτηη: Ένα τοιχείο µπορεί να υµπεριληφθεί το δείγµα µονάχα µία φορά Πλήθος δειγµάτων µεγέθους από πληθυµό µεγέθους Ν: Πιθανότητα επιλογής κάθε δείγµατος:! ( )! ( )!! Πλήθος διαφορετικών δειγµάτων µεγέθους πληθυµό µεγέθους Ν:!!( )! από - Επιλογή τυχαίου δείγµατος -Πεπεραµένος πληθυµός: Γίνεται χρήη του δειγµατικού πλαιίου, δηλαδή µιας λίτας υτηµατικής καταγραφής των µονάδων που απαρτίζουν τον πληθυµό. Καταγράφονται οι µονάδες του πληθυµού δίνοντας έναν αριθµό (από έωςν)ε κάθε µονάδα. Τα τοιχεία του δειγµατικού πλαιίου ονοµάζονται µονάδες δειγµατοληψίας -
Κατανοµές ιαφάνειες ιαλέξεων -3 0-0303 µονάδες Πληθυµός Ν7 3 ειγµατικό πλαίιο 4 3 4 5 5 6 0 7 9 8 6 7 Λίτα µονάδων 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7-3 - 4 Αϖλή Τυχαία ειγµατοληψία Επιλογή τυχαίου δείγµατος -Πεπεραµένος πληθυµός: Τα τοιχεία του δείγµατος επιλέγονται µε τη χρήη (ψευδο)τυχαίων αριθµών. Αυτοί παράγονται από Η/Υ µε ειδικούς αλγόριθµους. Είναι ακολουθίες ψηφίων απότο 0έωςτο 9που επιλέγονται υνήθως από µια οµοιόµορφη κατανοµή, δηλαδή κάθε ψηφίο έχει την ίδια πιθανότητα εµφάνιης. Επίης, η πιθανότητα εµφάνιης κάθε ψηφίου ε µια υγκεκριµένη θέη την ακολουθία είναι ταθερή και ανεξάρτητηαπότο τοποια ψηφία έχουνπροηγηθεί. - 5 ΠΙΝΑΚΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 665740 9787 0644 43690 8755 3786 5593 47839 85686 09405 8096 5456 47 8473 0988 65669 39839 39949 546 5349 440 8798 663 6035 86547 360 84895 484 06876 87364 847 833 483 937 0430 73466 65573 8786 86695 3873 5549 78340 0608 65709 69846 99657 5043 56858 65437 584 773074 79773 86475 39670 335 6336 7576 8699 7633 70030 66478 7700 865 7835 30990 5449 83730 4595 655 87857 770430 34739 9497 0499 0806 537 4809 58703 6847 8957 0958 37799 80958 83058 6685 9678 36888 08479 333 9750 645 3659 8597 5767 54069 65464 660 7988 67008 4 668795 09700 37065 79588 5670 99504 9469 7593 837 6643 664568 7384 7430 683 76303 5377 769 4947 544 47043 665887 7697 40470 4478 9300 4869 4309 9535 9007 3743 444787 747 959 76830 85673 69460 53095 5596 9635 8449 3564 0606 4407 74038 7665 44796 06355 85854 855 0086 660378 9377 9368 3670 470 7696 7664 49580 955 6776 996 830 4667 783 3339 778 74746 6086 97980 48 555357 633 355 46778 5958 04064 09944 493 9406 68655 33998 770 854 955 38534 86565 7803 59376 6940 47635 9389 4673 699 06785 95943 076 7880 58369 439 97684-6 3 ειγµατικό πλαίιο 4 3 4 5 5 6 0 7 Επιλογή δείγµατος µεγέθους 5 Βήµα ο : Τυχαία επιλογή ηµείου έναρξης τον Π.Τ.Α. Βήµα ο: Επιλογή απλού τυχαίου δείγµατος µεγέθους 5µε ή χωρίς επανατοποθέτηη (ανάλογα µε το πρόβληµα) 9 8 6 7 Λίτα µονάδων 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7-7 ΠΙΝΑΚΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 665740 9787 0644 43690 8755 3786 5593 47839 85686 09405 8096 5456 47 8473 0988 65669 39839 39949 546 5349 440 8798 663 6035 86547 360 84895 484 06876 87364 847 833 483 937 0430 73466 65573 8786 86695 3873 5549 78340 0608 65709 69846 99657 5043 56858 65437 584 773074 79773 86475 39670 335 6336 7576 8699 7633 70030 66478 7700 865 7835 30990 5449 83730 4595 655 87857 770430 34739 9497 0499 0806 537 4809 58703 6847 8957 0958 37799 80958 83058 6685 9678 36888 08479 333 9750 645 3659 8597 5767 54069 65464 660 7988 67008 4 668795 09700 37065 79588 5670 99504 9469 7593 837 6643 664568 7384 7430 683 76303 5377 769 4947 544 47043 665887 7697 40470 4478 9300 4869 4309 9535 9007 3743 444787 747 959 76830 85673 69460 53095 5596 9635 8449 3564 0606 4407 74038 7665 44796 06355 85854 855 0086 660378 9377 9368 3670 470 7696 7664 49580 955 6776 996 830 4667 783 3339 778 74746 6086 97980 48 555357 633 355 46778 5958 04064 09944 493 9406 68655 33998 770 854 955 38534 86565 7803 59376 6940 47635 9389 4673 699 06785 95943 076 7880 58369 439 97684-8
Κατανοµές ιαφάνειες ιαλέξεων -4 0-0303 3 ειγµατικό πλαίιο 4 3 4 5 5 6 0 7 9 8 6 7 είγµα Λίτα µονάδων 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 Συτηµατική δειγµατοληψία Χρήιµη για τοιχεία καταγεγραµµένα ε δειγµατικό πλαίιο, καθώς και για τοιχεία διατεταγµένα το χώρο ή το χρόνο (π.χ. προϊόντα παραγόµενα ε ειρά). Η επιλογή δείγµατος µεγέθους από δειγµατικό πλαίιο (ή πληθυµό) µεγέθους Ν γίνεται µε υτηµατικό τυχαίο τρόπο ως εξής: Υπολογίζεται το διάτηµα (ή βήµα) δειγµατοληψίας ίο µε Ν/ Επιλέγεται τυχαία ένα ακέραιο ηµείο έναρξης,, έτω k, από το έως το Ν/ Επιλέγονται οι µονάδες µε ακέραια βήµατα ία µε Ν/,, δηλαδή αυτάµε αύξοντες αριθµούς { k, k+ν/ +Ν/, k+ν/ +Ν/,, k+( +(-) )Ν/ Ν/} - 9-0 Συτηµατική δειγµατοληψία Παράδειγµα: Έτω πληθυµός µεγέθους 000. Επιλογή δείγµατος µεγέθους 0. ιάτηµα (ή βήµα) δειγµατοληψίας / 00. Σηµείο έναρξης (k) : Επιλέγεται µε τυχαία λήψη από το ύνολο {,,,00} Έτω k3 Τότε, το επιλεγµένο δείγµα απαρτίζεται από τα τοιχεία : { k, k+ν/ +Ν/, k+ν/ +Ν/,, k+( +(-) )Ν/ Ν/} {3, 3, 3, 33, 43, 53, 63, 73, 83, 93} Συτηµατική δειγµατοληψία Παρέχει έναν απλό τρόπο επιλογής τυχαίου δείγµατος Τα τοιχεία του πληθυµού πρέπει να είναι τυχαία διατεταγµένα (τουλάχιτον ως προς τις τιµές των χαρακτηριτικών που µετρούνται), αλλιώς υπάρχει ο κίνδυνος µεροληψίας. π.χ. αν η διάταξη είναι περιοδική, υπάρχει ο κίνδυνος να υµπεριλαµβάνονται το δείγµα τοιχεία µε υτηµατικά µεγάλες (ή µικρές) τιµές ε χέη µε το ύνολο των τιµών. - - Στρωµατοϖοιηµένη δειγµατοληψία Ο πληθυµός µπορεί να υποδιαιρεθεί ε οµάδες (τρώµατα τρώµατα) µε βάη τις τιµές µιας ή περιότερων µεταβλητών τρωµατοποίηης (π.χ.ηλικιακή οµάδα, φύλο, ειοδηµατική οµάδα, κ.ο.κ) Τυχαία δείγµατα επιλέγονται από κάθε τρώµα και όχι από τον υνολικό πληθυµό. Η ένωή τους είναι το τελικό δείγµα. Είναι ιδιαίτερα χρήιµη όταν η µεταβλητότητα ε κάθε τρώµα είναι πολύ µικρότερηαπό τη µεταβλητότητα τον υνολικό πληθυµό Έχει υνήθως λιγότερο κότος από την απλή τυχαία δειγµατοληψία Παρέχει µεγαλύτερη ακρίβεια εκτίµηης Αυξάνει την αντιπροωπευτικότητα του δείγµατος - 3 Στρωµατοϖοιηµένη δειγµατοληψία Επιλογή τρωµατοποιηµένου τυχαίου δείγµατος: Επιλέγουµε το µέγεθος του δείγµατος,. Για κάθε τρώµα επιλέγουµε το µέγεθος δείγµατος i - υνήθως επιλέγουµε αναλογικά µεγέθη δείγµατος Αναλογικά µεγέθη είναι εύκολο να προδιοριτούν (αγνοώντας όµως τις διαφορές τη µεταβλητότητα των τρωµάτων) - 4
Κατανοµές ιαφάνειες ιαλέξεων -5 0-0303 Στρωµατοϖοιηµένη δειγµατοληψία Παράδειγµα: Έτω δειγµατικό πλαίιο όλων των 5000 πιτών πελατώντου ουπερµάρκετ ETTO ε µια περιοχή Το ETTO θέλει να εκτιµήει το µέο ποό χρέωης αυτών των πελατών ε όλες τις πιτωτικές κάρτες που κατέχουν, µαζί µε επιπλέον χαρακτηριτικά της χρήης της πίτωής τους. Η εταιρία αποφαίζει να τρωµατοποιήει τους πελάτες κατά ηλικία και να επιλέξει τρωµατοποιηµένοτυχαίο τυχαίο δείγµα µεγέθους 500 αναλογικά καικατόπιν κατόπιν να έρθει ε τηλεφωνική επαφή µε τα άτοµα αυτά. Πώς θα προχωρήει την επιλογή δείγµατος; Στρωµατοϖοιηµένη δειγµατοληψία Παράδειγµα Στρωµατοποίηη κατά ηλικία ιαφορετικές ηλικιακές οµάδες ενδέχεται να έχουν διαφορετική υµπεριφορά τη χρήη πίτωης Έτω πως επιλέγονται 5 ηλικιακές κατηγορίες: : 8-4, 5-34, 35-49, 50-64 ad 65-79 Επιλογή δείγµατος: Μέγεθος τελικού δείγµατος 500 (πληθυµός: Ν5000) Έτω Νi το µέγεθος κάθε τρώµατος Από κάθε τρώµα επιλέγονται (αναλογικά) µε απλή τυχαία δειγµατοληψία i 500 Νi /5000 τοιχεία - 5-6 ειγµατοληψία κατά υτάδες Υποθέτε ότι µας ενδιαφέρουν τα χαρακτηριτικά των νοικοκυριών ε µια πόλη Μονάδες δειγµατοληψίας είναι τα νοικοκυριά Μπορούµε να χωρίουµε την πόλη ε οικοδοµικά τετράγωνα ως µονάδες δειγµατοληψίας και κατόπιν να πάρουµε όλα τα νοικοκυριά των επιλεγµένων τετραγώνων Τα οικοδοµικά τετράγωνα ονοµάζονται «υτάδες»και η δειγµατοληψία ονοµάζεται δειγµατοληψία κατά υτάδες Το πλεονέκτηµά της είναι η ευκολίατης δειγµατοληψίας και το ενδεχόµενα µικρότερο κότος Όταν επιλέγονται όλες οι µονάδες δειγµατοληψίας κάθε υτάδας έχουµε δειγµατοληψία «ενός ταδίου» Πραγµατικές διαδικαίες δειγµατοληψίας είναι υνήθως πιο περίπλοκες και περιλαµβάνουν περιότερα τάδια - 7 Παράµετροι και Εκτιµητές - 8 Κατανοµές και Παράµετροι Πληθυµού πληθυµούτυχαίας µεταβλητής Χ: Η κατανοµή πιθανοτήτων της Χ, έτω f(), της οποίας όλες οι δυνατές τιµές της το ύνολο των τατιτικών µονάδων αποτελούν τον πληθυµόενδιαφέροντος. Παράµετροι πληθυµού τυχαίας µεταβλητής Χ: Οι παράµετροι (ταθερές ποότητες όπως ο µέος όρος µκαι η διακύµανη ή η αναλογία επιτυχιών pµιας µεταβλητής Beroulli) της κατανοµής πληθυµού ονοµάζονται παράµετροι πληθυµού ή απλά παράµετροι. Όταν η κατανοµή πληθυµού είναι γνωτή είναι προφανώς γνωτοί και οι παράµετροι πληθυµού. Τις περιότερες φορές όµως οι παράµετροι δεν είναι γνωτές και πρέπει να εκτιµηθούν από ένα ή περιότερα δείγµατα. - 9 Στατιτικές Συναρτήεις - Εκτιµητές Οι παράµετροι του πληθυµού εκτιµούνται χρηιµοποιώντας υναρτήεις των τιµών του δείγµατος που ονοµάζονται τατιτικές υναρτήεις ή απλά τατιτικές. Έτω πως έχουµε τυχαίο δείγµα µεγέθους. Ορίζουµε τις τυχαίες µεταβλητές Χ i τιµήτηςχτην i -λήψητοιχείουτουδείγµατος, i,, Οι µεταβλητές αυτές είναι τυχαίες καθώς µπορούν να λάβουν διαφορετικές τιµές, έτω i, ε διαφορετικά δείγµατα µεγέθους. Συνεπώς, ένα τυχαίο δείγµα µεγέθους µπορεί να περιγραφεί από τις τιµές των τυχαίων µεταβλητών. Όταν ο πληθυµός είναι άπειρος ή η δειγµατοληψία είναι µε επανατοποθέτηη, τότεοιχ i είναι ανεξάρτητες και ιόνοµες µε κατανοµή πιθανότητας f() - δηλαδή την κατανοµή πληθυµού. - 30
Κατανοµές ιαφάνειες ιαλέξεων -6 0-0303 Στατιτικές Συναρτήεις - Εκτιµητές Στατιτικές υναρτήεις ή εκτιµητές Παραδείγµατα: Για δείγµατα µεγέθους i i S i i ( ) i ˆ P, 0, i i { } ειγµατικός µέος ειγµατική διακύµανη ειγµατική αναλογία - 3 Στατιτικές Συναρτήεις - Εκτιµητές Στατιτικές υναρτήεις ή εκτιµητές Είναι τυχαίες µεταβλητές που χρηιµοποιούνται για να εκτιµήουν µια παράµετρο πληθυµού π.χ. δειγµατικός µέος, δειγµατική αναλογία, δειγµατική διακύµανη π.χ. : ο δειγµατικός µέος είναι ένας εκτιµητής του µέου του πληθυµού µ Αν ε ένα δείγµα 3, τότε η τιµή 3είναι η εκτίµηη του µ Βάη της διαδικαίας εκτίµηης είναι η κατανοµή δειγµατοληψίας - 3 Σηµειακή Εκτίµηη και Σφάλµα Παράδειγµα: Ειοδήµατα Σε µια µικρή γεωγραφική περιοχή το πλήθος των εργαζοµένων ανέρχεται ε 50άτοµα. Θέλουµε να αντλήουµε τις παρακάτω πληροφορίες: το µέο ειόδηµα των 50 εργαζοµένων και την διαπορά του ειοδήµατος την αναλογίατων εργαζοµένων µε ειόδηµα άνω των 850 ευρώ. - 33-34 Παράδειγµα: Ειοδήµατα Θα δούµε δυο τρόπους για να λάβουµε τις πληροφορίες αυτές. Απογραφή και των 50 εργαζοµένων Επιλογή τυχαίου δείγµατοςεργαζοµένων εργαζοµένων µε µέγεθος (έτω 30) Παράδειγµα: Ειοδήµατα Απογραφή και των 50 εργαζοµένων Αν τα δεδοµένα για όλους τους 50 εργαζοµένους είναι διαθέιµα οι ϖαράµετροι ϖληθυµού ϖου µας ενδιαφέρουν µϖορούν να υϖολογιτούν. Ας υϖοθέουµε ϖως είναι ϖρακτικά δυνατόν να διεξάγουµε αϖογραφή. Σύνολο εδοµένων - 35-36
Κατανοµές ιαφάνειες ιαλέξεων -7 0-0303 Παράδειγµα: Ειοδήµατα Σύνολο εδοµένων Παράδειγµα: Ειοδήµατα Μέο ειόδηµα τον πληθυµό i µ 800. 53 50 Τυπική απόκλιη τον πληθυµό ( i µ ). 50 49 5 Αναλογία πληθυµού µε ειόδηµα >850 ευρώ 34 p 0. 36 50-37 - 38 Παράδειγµα: Ειοδήµατα Το ως εκτιµητής του µ Το s ως i 30 450 30 ως εκτιµητής του s ( ) 9 Το ως εκτιµητής του p i 805 88364. 6 55. 9 Παρατήρηη: ιαφορετικό δείγµα θα οδηγούε ε διαφορετικές ηµειακές εκτιµήεις. 5 p ˆ 0. 67 30-39 Παράµετρος Πληθυµού µ Μέο ειόδηµα ϖληθυµού Τυϖική αϖόκλιη ειοδήµατος τον ϖληθυµό p Αναλογία µε ειόδηµα > 850 τον ϖληθυµό Περίληψη Σηµειακών Εκτιµήεων αϖό ένα Αϖλό Τυχαίο είγµα Τιµή Παραµέτρου Εκτιµητής Σηµείου Σηµειακή Εκτίµηη 800.53 ειγµατικό 805 µέο ειόδηµα 49.5 s ειγµατική τυϖ. αϖόκλιη ειοδήµατος 55. 5.5 0.36 ειγµατική 0.67 αναλογία µε ειόδηµα > 850-40 Στατιτική Συµϖεραµατολογία ιαδικαία της Στατιτικής Συµπεραµατολογίας Πληθυµός µε µέο µ ; Στην τιµή του βαίζουµε τα υµϖεράµατά µας για την τιµή του µ. Εϖιλέγουµε αϖλό τυχαίο δείγµα τοιχείων αϖό τον ϖληθυµό. Αϖό τα δειγµατικά δεδοµένα υϖολογίζουµε τον δειγµατικό µέο. Σηµειακή εκτίµηη Στην ηµειακή εκτίµηη χρηιµοϖοιούµε δειγµατικά δεδοµένα για να υϖολογίουµε την τιµή µιας τατιτικής ως µια εκτίµηη της τιµής µιας ϖαραµέτρου του ϖληθυµού. Η τιµή του είναι η ηµειακή εκτίµηη του µέου του ϖληθυµού µ. Η τιµή του s είναι η ηµειακή εκτίµηη της τυϖικής αϖόκλιης του ϖληθυµού. Η τιµή του είναι η ηµειακή εκτίµηη της αναλογίας του ϖληθυµού p. - 4-4
Κατανοµές ιαφάνειες ιαλέξεων -8 0-0303 Σφάλµα Όταν η αναµενόµενη τιµή ενός εκτιµητή είναι ίη µε την ϖαράµετρο ϖληθυµού ο εκτιµητής είναι αµερόληϖτος. Η αϖόλυτη τιµή της διαφοράς της τιµής ενός αµερόληϖτου εκτιµητή και της αντίτοιχης ϖαραµέτρου του ϖληθυµού ονοµάζεται φάλµα δειγµατοληψίας. Το φάλµα δειγµατοληψίας είναι αϖοτέλεµα της χρήης ενός υϖουνόλου του ϖληθυµού (το δείγµα), και όχι ολόκληρου του ϖληθυµού. Μϖορούµε να χρηιµοϖοιήουµε τατιτικές µεθόδους για να κάνουµε ϖιθανοτικές δηλώεις για το µέγεθος του φάλµατος δειγµατοληψίας. Σφάλµα Τα φάλµατα δειγµατοληψίας είναι: µ για τον δειγµατικό µέο s για την δειγµατική τυϖική αϖόκλιη p για την δειγµατική αναλογία - 43-44 Κατανοµές - 45 Θεωρητική κατανοµή πιθανοτήτων Τυχαία µεταβλητή είναι η δειγµατική τατιτική ειγµατικός Μέος, ειγµατική Αναλογία, ειγµατική ιακύµανη κ.ο.κ. Προκύπτει λαµβάνοντας όλατα δυνατά δείγµατα ταθερού µεγέθους Καταγραφή όλων των δυνατών τιµών της δειγµατικής τατιτικής και των πιθανοτήτων τους Π.χ. του Μέου: Η καταγραφή όλων των ζευγών [, P( ) ] - 46 Κατακευή Κατανοµών Χαρακτηριτικά Πληθυµού Υποθέτε έναν πληθυµό... Μέγεθος πληθυµού, 4 Τυχαία µεταβλητή Χ αριθµός υπερατικών κλήεων ενός νοικοκυριού ε τέερις διαδοχικές ηµέρες Τιµές της Χ :,, 3, 4 Παραδοχή: Οµοιόµορφη κατανοµή πληθυµού Πληθυµός {,, 3, 4 } µε ίδια πιθανότητα εµφάνιης κάθε τοιχείου (0.5) - 47 Συνοπτικά Μέτρα µ i. 5 ( i µ ) i i. Πληθυµού.3...0 3 4 Είναι µια οµοιόµορφη κατανοµή - 48
Κατανοµές ιαφάνειες ιαλέξεων -9 0-0303 Όλα τα υνατά είγµατα Μεγέθους Όλα τα υνατά είγµατα Μεγέθους 4 6 είγµατα η η Παρατήρηη Παρ. 3 4,,,3,4,,,3,4 3 3, 3, 3,3 3,4 4 4, 4, 4,3 4,4 ειγµατοληψία µε επανατοποθέτηη - 49 6 είγµατα 6 ειγµατικοί Μέοι η η Παρατήρηη Παρ. 3 4,,,3,4,,,3,4 3 3, 3, 3,3 3,4 4 4, 4, 4,3 4,4 ειγµατοληψία µε επανατοποθέτηη η η Παρατήρηη Παρ 3 4.0.5.0.5.5.0.5 3.0 3.0.5 3.0 3.5 4.5 3.0 3.5 4.0-50 Όλων των ειγµατικών Μέων Συνοπτικά Μέτρα Όλων των ειγµατικών Μέων 6 ειγµατικοί Μέοι η η Παρατήρηη Παρ 3 4.0.5.0.5.5.0.5 3.0 3.0.5 3.0 3.5 4.5 3.0 3.5 4.0 P( ).3...0.0.5.0.5 3.0 3.5 4.0-5 µ 6 i. 0 +. 5 + 6 + 4. 0 5 i. ( i µ ) i Σύνολο δυνατών δειγµάτων µεγέθους από τον πληθυµό των 4 τοιχείων (. 0. 5) + (. 5. 5) + + ( 4. 0. 5) 6 0. 79-5 Σύγκριη Πληθυµού P().3...0 3 4 P( ).3...0.5.5 3 3.5 4 του Μέου µ. 5. µ. 5 0. 79-53 - 54
Κατανοµές ιαφάνειες ιαλέξεων -0 0-0303 του Μέου Η κατανοµή δειγµατοληψίας του είναι η κατανοµή ϖιθανότητας όλων των δυνατών τιµών του δειγµατικού µέου. Αναµενόµενη τιµή του του Μέου Τυϖική αϖόκλιη του Πεϖεραµένος Πληθυµός ( ) Άϖειρος Πληθυµός όϖου: E ( ) µ µ µ ο µέος του ϖληθυµού - 55 Ένας ϖεϖεραµένος ϖληθυµός αντιµετωϖίζεται ως άϖειρος αν (α) / < 0.05 ή (β) η δειγµατοληψία είναι µε εϖανατοϖοθέτηη. ( ) / ( ) είναι η διόρθωη ϖεϖεραµένου ϖληθυµού. ονοµάζεται και τυϖικό φάλµα του µέου. - 56 του Μέου Μορφή της ς του Όταν το µέγεθος του τυχαίου δείγµατος είναι µεγάλο ( > 30), το κεντρικό οριακό θεώρηµα µας λέει ότι η κατανοµή δειγµατοληψίας του ϖροεγγίζεται αϖό µια κανονική κατανοµή. Όταν το µέγεθος του τυχαίου δείγµατος είναι µικρό ( < 30), η κατανοµή δειγµατοληψίας του µϖορεί να θεωρηθεί κανονική µόνο όταν η κατανοµή του ϖληθυµού είναι κανονική. του Μέου - Παράδειγµα Παρατηρείτε ότι η κατανοµή δειγµατοληψίας προεγγίζει την κανονική κατανοµή όοτο αυξάνει, ανεξάρτητα από τη µορφή της κατανοµής πληθυµού πληθυµού δειγµατοληψίας του για δειγµατοληψίας του για 5 δειγµατοληψίας του για 30-57 - 58 του Μέου - Παράδειγµα Βαθµοί ε ένα τετ Το αποτέλεµα ενός τετ ε 900 φοιτητές έχει µέη τιµή 990 µονάδες και τυπική απόκλιη 80 µονάδες. Πόη είναι η πιθανότητα από ένα τυχαίο δείγµα 30 φοιτητών να πάρουµε ως εκτίµηη του µέου αποτελέµατος τον πληθυµό µια τιµή που είναι ±0µονάδες από τον πραγµατικό µέο µ του πληθυµού; του Μέου - Παράδειγµα του του Κανονική ~ ( 9904,. 6 ) των βαθµών 80 4.6 30 Με άλλα λόγια, ποια είναι η πιθανότητα ο να είναι µεταξύ του 980 και του 000; E( ) 990-59 - 60
Κατανοµές ιαφάνειες ιαλέξεων - 0-0303 του Μέου - Παράδειγµα του των βαθµών του Μέου - Παράδειγµα του των βαθµών του 4.6 Υϖολογιµός κατά τα γνωτά της κανονικής κατανοµής ( 000) P 980 980 990 000 990 P Z 4. 6 4. 6 µ ± 0 Εµβαδόν? P ( 0. 68 Z 0. 68) P( Z 0. 68) 0. 757 0. 5034 980 990 000 Η ϖιθανότητα ο δειγµατικός µέος να είναι µεταξύ του 980 και του 000 είναι: P(980 < < 000) 0.5034-6 - 6 του Μέου - Παράδειγµα του του 980 990 000 των βαθµών 4.6 Εµβαδόν 0.5034-63 του Μέου Σχέη ανάµεα το Μέγεθος είγµατος και της ς του Υϖοθέτε ότι εϖιλέγουµε τυχαίο δείγµα 00 φοιτητών αντί για 30. E( ( ) µ ανεξάρτητα του µεγέθους δείγµατος. Στο ϖαράδειγµα Ε( ( ) 990. Όταν αυξάνει το µέγεθος δείγµατος, το τυϖικό φάλµα του µέου µειώνεται. Με την αύξηη του µεγέθους ε 00, το τυϖικό φάλµα του µέου µειώνεται ε: 80 8.0 00-64 του Μέου Σχέη ανάµεα το Μέγεθος είγµατος και της ς του του Μέου Σχέη ανάµεα το Μέγεθος είγµατος και της ς του Με 00, 8 Με 30, 4.6 Όταν 30, P(980 < < 000) 0.5034. Κατά τα γνωτά υϖολογίζουµε την P(980 < < 000) όταν 00. Όταν 00, P(980 < < 000) 0.7888. E( ) 990-65 Καθώς η κατανοµή δειγµατοληψίας µε 00 έχει µικρότερη τυϖική αϖόκλιη, τότε το έχει µικρότερη µεταβλητότητα και τείνει να είναι ϖιο κοντά το µέο του ϖληθυµού αϖό ότι ο όταν 30. - 66
Κατανοµές ιαφάνειες ιαλέξεων - 0-0303 του Μέου Σχέη ανάµεα το Μέγεθος είγµατος και της ς του του 8 Εµβαδόν 0.7888 Παράδειγµα Είτε αναλυτής το τµήµα ταθερής τηλεφωνίας ενός ϖαρόχου τηλεϖικοινωνιακών υϖηρειών. Η διάρκεια των υϖερατικών κλήεων είναι κανονικά κατανεµηµένη µε µ 8 mi. και mi. Αν εϖιλέξετε τυχαία δείγµατα 5 κλήεων, τι ϖοοτό των δειγµατικών µέων θα είναι µεταξύ 7.8 και 8. λεϖτών; 980 990 000-67 - 68 Άνω όριο Κάτω όριο.4 Z Z Επίλυη µ 7. 8 8 5 0. 50 µ 8. 8 5 0. 50 Τυποιηµένη Κανονική 0.3830 της Αναλογίας 7.8 8 8. -.50 0.50 Z - 69-70 της Αναλογίας Η κατανοµή δειγµατοληψίας του είναι η κατανοµή ϖιθανότητας όλων των δυνατών τιµών της δειγµατικής αναλογίας. Αναµενόµενη τιµή του όϖου: E ( ) µ p p ˆ p η αναλογία τον ϖληθυµό - 7 Πεϖεραµένος Πληθυµός της Αναλογίας Τυϖική αϖόκλιη του p( p) Άϖειρος Πληθυµός p( p) Ένας ϖεϖεραµένος ϖληθυµός αντιµετωϖίζεται ως άϖειρος αν (α) / < 0.05 ή (β) η δειγµατοληψία είναι µε εϖανατοϖοθέτηη. ( ) / ( ) είναι η διόρθωη ϖεϖεραµένου ϖληθυµού. ονοµάζεται και τυϖικό φάλµα της αναλογίας. - 7
Κατανοµές ιαφάνειες ιαλέξεων -3 0-0303 της Αναλογίας Μορφή της ς του της Αναλογίας Μορφή της ς του Η κατανοµή δειγµατοληψίας του µϖορεί να ϖροεγγιτεί αϖό µια κανονική κατανοµή όταν το µέγεθος του δείγµατος είναι εϖαρκώς µεγάλο. Το δείγµα θεωρείται εϖαρκώς µεγάλο όταν ικανοϖοιούνται οι ϖαρακάτω υνθήκες : p > 5 και ( p) > 5 Για τιµές του p κοντά το 0.50 µεγέθη δείγµατος γύρω το 0 εϖιτρέϖουν κανονική ϖροέγγιη. Για ϖολύ µικρές (κοντά το 0) ή ϖολύ µεγάλες (κοντά το ) τιµές του p αϖαιτούνται ϖολύ µεγαλύτερα δείγµατα. ή ιοδύναµα mi { p,( p) } > 5-73 - 74 της Αναλογίας - Παράδειγµα Βαθµοί ε ένα τετ Το 7% των αποτελεµάτων ενός τετ ε 900 φοιτητές είναι πάνω από τις 850 µονάδες. Πόη είναι η πιθανότητα από ένα τυχαίο δείγµα 30 φοιτητών να πάρουµε ως εκτίµηη της αναλογίας των βαθµών που είναι πάνω από τις 850 µονάδες µια τιµή που είναι ±0.05 από την πραγµατική αναλογία τον πληθυµό; Με άλλα λόγια, ποια είναι η πιθανότητα η να είναι µεταξύ του 0.67 και του 0.77; - 75 της Αναλογίας - Παράδειγµα Εϖειδή 30 και p 0.7 η ϖροέγγιη µε την κανονική κατανοµή είναι δυνατή: p 30(0.7).6 > 5 και ( - p) ) 30(0.8) 8.4 > 5-76 της Αναλογίας - Παράδειγµα του της Αναλογίας - Παράδειγµα του του 0. 7( 0. 7) 30 p ˆ. Κανονική ~ ( 0. 7, 0. 08 ) 0 08 Υϖολογιµός κατά τα γνωτά της κανονικής κατανοµής P (. 0. 77) P 0 67 0. 67 0. 7 0. 77 0. 7 P Z 0. 08 0. 08 ( 0. 6 Z 0. 6) P( Z 0. 6) 0. 79 0. 458 E ( ) 0. 7-77 Η ϖιθανότητα η δειγµατική αναλογία να είναι µεταξύ του 0.67 και του 0.77 είναι: P(0.67 < < 0.77) 0.458-78
Κατανοµές ιαφάνειες ιαλέξεων -4 0-0303 της Αναλογίας - Παράδειγµα του του p ˆ 0. 08 Ιδιότητες Σηµειακών Εκτιµητών Εµβαδόν 0.458 0.67 0.7 0.77-79 - 80 Ιδιότητες Σηµειακών Εκτιµητών Πριν χρηιµοϖοιήουµε µια δειγµατική τατιτική ως ηµειακό εκτιµητή, ελέγχουµε µε τη βοήθεια της τατιτικής θεωρίας αν η τατιτική έχει τις ϖαρακάτω ιδιότητες ϖου ϖρέϖει να ϖληρούν οι καλοί εκτιµητές: Ιδιότητες Σηµειακών Εκτιµητών Αµεροληψία Αν η αναµενόµενη τιµή της τατιτικής ιούται µε την ϖαράµετρο ϖληθυµού ϖου εκτιµά, η τατιτική είναι ένας αµερόληϖτος εκτιµητής της ϖαραµέτρου ϖληθυµού. Αµεροληψία Αϖοτελεµατικότητα P( ) Αµερόληπτος Μεροληπτικός Συνέϖεια A C - 8 µ Μέος πληθυµού - 8 Ιδιότητες Σηµειακών Εκτιµητών Αϖοτελεµατικότητα Μεταξύ δυο αµερόληϖτων εκτιµητών της ίδιας ϖαραµέτρου, ϖροτιµάται αυτός µε τη µικρότερη διακύµανη, δηλ. ο ϖιο αϖοτελεµατικός,, καθώς οι τιµές του τείνουν να είναι ϖιο κοντά την ϖαράµετρο ϖληθυµού. P( ) του Μέου A B της ιαµέου (για υµµετρικό πληθυµό) Ιδιότητες Σηµειακών Εκτιµητών Συνέϖεια Ένας εκτιµητής είναι υνεϖής αν οι τιµές του τείνουν να έρχονται ϖληιέτερα την ϖαράµετρο ϖληθυµού όο αυξάνει το µέγεθος του δείγµατος. P( Θˆ ) Μεγαλύτερο µέγεθος δείγµατος A B Μικρότερο µέγεθος δείγµατος µ - 83 Ε(Θ) Θ Θˆ - 84
Κατανοµές ιαφάνειες ιαλέξεων -5 0-0303 Ιδιότητες Σηµειακών Εκτιµητών. Αµεροληψία - Ubiasedess Ο Μέος της ς είναι ίοςµε τον Μέο του Πληθυµού. Αποτελεµατικότητα - Efficiecy Ο ειγµατικός Μέος είναι Πιο Κοντάτον Μέο του πληθυµού από Κάθε Άλλον Αµερόληπτο Εκτιµητή 3. Συνέπεια - Cosistecy Καθώς το Μέγεθος του είγµατος Αυξάνει, η Απόκλιη του ειγµατικού Μέου από τον Μέο του Πληθυµού Μειώνεται ειγµατοληψία από Κανονικούς Πληθυµούς - 85-86 Κεντρική Τάη ειγµατοληψία από Κανονικούς Πληθυµούς µ µ Πληθυµού 0 του Μέου ιαπορά Τυποποιηµένη µ 50 Κανονική ειγµατοληψία µε επανάθεη από πεπεραµένο πληθυµό ειγµατοληψία από 4 6 άπειρο πληθυµό ειγµατοληψία χωρίς 5.5 επανάθεη από πεπεραµένο πληθυµό µ - 50 µ µ 0 Z αν / 0.05 Κανονική ανεξαρτήτως του - 87-88 Z µ µ ειγµατοληψία από Μη-Κανονικούς Πληθυµούς - 89 ειγµατοληψία από Μη-Κανονικούς Πληθυµούς Κεντρική Τάη ιαπορά µ ειγµατοληψία µε επανάθεη από πεπεραµένο πληθυµό ειγµατοληψία από άπειρο πληθυµό ειγµατοληψία χωρίς επανάθεη από πεπεραµένο πληθυµό αν / 0.05 µ Πληθυµού 0 µ 50 4 5 30.8 µ - 50 Κανονική όταν το µεγάλο - 90
Κατανοµές ιαφάνειες ιαλέξεων -6 0-0303 Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Cetral Limit Theorem) Όταν το µέγεθος του δείγµατος αυξάνει επαρκώς ( 30)... - 9-9 Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα Όταν το µέγεθος του δείγµατος αυξάνει επαρκώς ( 30)... η κατανοµή δειγµατοληψίας γίνεται χεδόν κανονική. Όταν το µέγεθος του δείγµατος αυξάνει επαρκώς ( 30)... η κατανοµή δειγµατοληψίας γίνεται χεδόν κανονική. - 93 µ µ - 94 Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα Κ.Ο.Θ.:.:Αν οιχ,χ,,χ είναι ανεξάρτητες και ιόνοµες τυχαίες µεταβλητές µε µέη τιµή µ και πεπεραµένηδιακύµανη,και S i i είναι το άθροιµά τουςκαι S ο αριθµητικός τους µέος, τότε όο αυξάνει ο αριθµός τωντ.µ.χ ( µ, ) S ~ ~ µ, - 95 Σηµαία του Κ.Ο.Θ. Ανεξάρτητα από την κατανοµή των ανεξάρτητων και ιόνοµων τ.µ. Χ i, το άθροιµα και ο αριθµητικός τους µέος ακολουθούν την κανονική κατανοµή αυµπτωτικά,, δηλαδή όο αυξάνει το πλήθος τους. ΤοΚΟΘ εξηγεί: το ότι πολλές τυχαίες µεταβλητές ακολουθούν την πράξη την κανονική κατανοµή το ότι ηµαντικές κατανοµές µπορούν να προεγγιτούν από την κανονική κατανοµή την ευρύτατη χρήη της κανονικής κατανοµής τη δειγµατοληψία την ευρύτατη χρήη της κανονικής κατανοµής την τατιτική υµπεραµατολογία. - 96
Κατανοµές ιαφάνειες ιαλέξεων -7 0-0303 δειγµατοληψίας της µέης τιµής - Σύνοψη ΑνΧ,Χ,,Χ είναιένατυχαίοδείγµατηςτ.µ.χ,µεε(χ)µκαι Var() <, τότε ο δειγµατικός µέος i είναι µια τ.µ. µε E( ) µ και Var( ) Χ i αν το δείγµα λαµβάνεται από άπειρο πληθυµό ή η δειγµατοληψία είναι µε επανατοποθέτηη, διαφορετικά αν ο πληθυµός έχει µέγεθος Ν και το δείγµα έχει ληφθεί χωρίς επανατοποθέτηη Η ποότητα (Ν-)/(-) ονοµάζεται διόρθωη πεπεραµένου πληθυµού, καιόοαυξάνειτοντόοπληιάζειτηνµονάδα. Η ποότητα Χ Var( ) Χ ονοµάζεται τυπικό φάλµα του δειγµατικού µέου. - 97 δειγµατοληψίας της µέης τιµής - Σύνοψη Θεωρήµατα για την κατανοµή δειγµατοληψίας της µέης τιµής: α. Η τ.µ. Χ ακολουθεί οποιαδήποτε κατανοµή µε γνωτή διακύµανη µεγάλο δείγµα Από το κεντρικό οριακό θεώρηµα, όο το αυξάνει τόο η κατανοµή δειγµατοληψίας του µέου πληιάζει την τυποποιηµένη κανονική κατανοµή, ανεξάρτητα από το είδος της κατανοµής πληθυµού της Χ. Η προέγγιη είναι πρακτικά ικανοποιητική για 30. ( µ ) ~, όπου η δίνεται από τους προηγούµενους τύπους. - 98 δειγµατοληψίας της µέης τιµής - Σύνοψη Θεωρήµατα για την κατανοµή δειγµατοληψίας της µέης τιµής: β. Η τ.µ. Χ ακολουθεί την κανονική κατανοµή µε γνωτή διακύµανη ΑνηκατανοµήπληθυµούτηςΧείναικανονικήκαιηδιακύµανητου πληθυµού είναι γνωτή, τότε η κατανοµή του είναι κανονική ανεξάρτητα από το µέγεθος του δείγµατος. ( µ ) ~ ( µ, ) ~, όπου η δίνεται από τους προηγούµενους τύπους. - 99 δειγµατοληψίας της µέης τιµής - Σύνοψη Θεωρήµατα για την κατανοµή δειγµατοληψίας της µέης τιµής: γ. Η τ.µ. Χ ακολουθεί την κανονική κατανοµή µε άγνωτη διακύµανη Ανηδιακύµανητουπληθυµού είναιάγνωτηκαιηχακολουθεί την κανονική κατανοµή, τότε αν S είναι η δειγµατική διακύµανη, η τυχαία µεταβλητή µ t S / ακολουθεί την κατανοµή t-studet µε ν - βαθµούς ελευθερίας. - 00 t - Studet Καµπανοειδής Συµµετρική Πλατύτερες Ουρές Τυπική Κανονική 0 t (v 3) t (v 5) Όο αυξάνει το µέγεθος του δείγµατος (πρακτικά για v - 49) η κατανοµή t-studet πληιάζει την τυπική κανονική κατανοµή. Z t - 0 Τέλος Ενότητας - 0