5. 5.5 ΘΩΡΙ. Παραλληλόγραµµο πέναντι πλευρές παράλληλες. Ιδιότητες παραλληλογράµµου πέναντι πλευρές ίσες πέναντι γωνίες ίσες Οι διαγώνιοι διχοτοµούνται Το σηµείο τοµής των διαγωνίων είναι κέντρο συµµετρίας του παρ/µµου. 3. Κριτήρια ώστε ένα τετράπλευρο να είναι παρ/µµο πέναντι πλευρές ανά δύο ίσες ύο απέναντι πλευρές ίσες και παράλληλες πέναντι γωνίες ανά δύο ίσες Οι διαγώνιοι διχοτοµούνται 4. Ορθογώνιο Παρ/µµο που έχει µία γωνία ορθή 5. Ιδιότητες ορθογωνίου Έχει όλες τις ιδιότητες του παρ/µµου Όλες οι γωνίες ορθές Οι διαγώνιοι ίσες 6. Κριτήρια ώστε ένα τετράπλευρο να είναι ορθογώνιο Παρ/µµο και µια ορθή γωνία Παρ/µµο και διαγώνιοι ίσες Τρεις γωνίες ορθές Όλες τις γωνίες ίσες 7. Ρόµβος Παρ/µµο που έχει δύο διαδοχικές πλευρές ίσες
8. Ιδιότητες ρόµβου Έχει όλες τις ιδιότητες του παρ/µµου Όλες τις πλευρές ίσες Οι διαγώνιοι διχοτοµούνται, διχοτοµούν τις γωνίες του και είναι κάθετες 9. Κριτήρια ώστε ένα τετράπλευρο να είναι ρόµβος Όλες τις πλευρές ίσες Παρ/µµο και δύο διαδοχικές πλευρές ίσες Παρ/µµο και διαγώνιοι κάθετες Παρ/µµο και µία διαγώνιός του διχοτοµεί µία γωνία του 0. Τετράγωνο ορθογώνιο και ρόµβος ΣΟΛΙ ΜΘΟΟΙ. Όταν λέµε ότι, δύο τµήµατα διχοτοµούνται, σηµαίνει ότι έχουν ίδιο µέσο. A, διχοτοµούνται Ο = Ο και Ο = Ο O. Προσοχή : Άλλο διχοτόµηση γωνίας και άλλο διχοτόµηση τµηµάτων. ιχοτόµηση γωνίας ιχοτόµηση τµηµάτων Ο O x δ y 3. δ Μη συγχέουµε τη διαγώνιο ενός σχήµατος µε τη διχοτόµο γωνίας του. Στο σχήµα : Το είναι διαγώνιος, ενώ η δ είναι η διχοτόµος της γωνίας ˆ Υπάρχουν περιπτώσεις όπου αυτά συµπίπτουν
3 4. O x y Στο παραλληλόγραµµο, οι διαγώνιοι, διχοτοµούνται στο Ο, αλλά οι διχοτόµοι των γωνιών ˆ και ˆ είναι οι x και y αντίστοιχα 5. M Η προέκταση διάµεσου τµήµατος Μ κατά ίσο του Μ δηµιουργεί παραλληλόγραµµο. (ιευκολύνει κάποια θέµατα ιδιαίτερης δυσκολίας ). 6. Τα παραλληλόγραµµα µας προσφέρουν i) ίσες γωνίες ii) παραπληρωµατικές γωνίες iii) ίσα και παράλληλα τµήµατα πλευρές iv) ίσα τµήµατα πάνω στις διαγωνίους v) τρόπο απόδειξης ότι τρία η περισσότερα τµήµατα συντρέχουν, αποδεικνύοντας ότι έχουν κοινό µέσο. 7. Η λέξη ορθογώνιο σηµαίνει ορθογώνιο παραλληλόγραµµο και όχι ορθογώνιο τρίγωνο. 8. ύο είναι οι ιδιότητες των διαγωνίων του ορθογωνίου i) διχοτοµούνται ii) είναι ίσες 9. Φέρνοντας τις διαγώνιες ορθογωνίου, έχουµε i) τέσσερα ισοσκελή τρίγωνα, ανά δύο απέναντι ίσα. Παρακαλώ εντοπίστε τα. ii) τέσσερα ορθογώνια τρίγωνα ίσα. Παρακαλώ εντοπίστε τα.
4 0. Ένα τετράπλευρο µε ίσες διαγώνιες δε σηµαίνει ότι είναι ορθογώνιο. λέπε σχήµα. Πρέπει, οι διαγώνιοί και να διχοτοµούνται, δηλαδή να είναι και παραλληλόγραµµο.. Φέρνοντας τις διαγώνιες ρόµβου, έχουµε i) τέσσερα ισοσκελή τρίγωνα, ανά δύο απέναντι ίσα. Παρακαλώ εντοπίστε τα. ii) τέσσερα ορθογώνια τρίγωνα ίσα. Παρακαλώ εντοπίστε τα.. Τρεις είναι οι ιδιότητες των διαγωνίων του ρόµβου i) διχοτοµούνται ii) είναι κάθετες iii) διχοτοµούν τις γωνίες του Σε ένα τετράπλευρο, αν ισχύουν δύο από τις παραπάνω τρεις ιδιότητες, τότε ισχύει και η τρίτη και το τετράπλευρο είναι ρόµβος. 3. Φέρνοντας τις διαγώνιες τετραγώνου έχουµε οκτώ ορθογώνια και ισοσκελή τρίγωνα ανά τέσσερα ίσα. Παρακαλώ εντοπίστε τα. 4. Τέσσερις είναι οι ιδιότητες των διαγωνίων του τετραγώνου i) διχοτοµούνται ii) είναι κάθετες iii) διχοτοµούν τις γωνίες του iv) είναι ίσες Σε ένα τετράπλευρο, αν ισχύουν η (iv) και δύο από τις άλλες παραπάνω τρεις ιδιότητες, τότε το τετράπλευρο είναι τετράγωνο.
5 ΣΚΗΣΙΣ. Έστω παραλληλόγραµµο. πό τις κορυφές και φέρνουµε τις και Ζ κάθετες στην διαγώνιο. είξτε ότι το Ζ είναι παραλληλόγραµµο. Τα τρίγωνα και Ζ είναι ίσα, διότι = Ζ B = ως εντός εναλλάξ ɵ = 90 ο = Ζ Οπότε = Ζ πιπλέον είναι και // Ζ σαν κάθετα τµήµατα στην. ηλαδή = // Ζ, άρα το Ζ είναι παραλληλόγραµµο.. ίνεται τρίγωνο και ευθεία (ε) από το, παράλληλη στην. πό τυχαίο σηµείο της φέρνουµε παράλληλες στις και που τέµνουν την (ε) στα και Ζ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα και Ζ είναι ίσα. // και // παραλληλόγραµµο Άρα = και = Ζ Οµοίως από το παραλληλόγραµµο Ζ έχουµε Ζ = και Ζ = φού = και = Ζ προσθέτοντας κατά µέλη βρίσκουµε = Ζ ίναι λοιπόν τρ. = τρ. Ζ αφού έχουν ίσες πλευρές ε 3. Στις πλευρές και τριγώνου θεωρούµε σηµεία και αντίστοιχα, έτσι ώστε =. Φέρνουµε την και από το τη Ζ = //. Να αποδείξετε ότι η Ζ είναι διχοτόµος της γωνίας. Ζ = // Ζ παρ/µµο Ζ =// φού Ζ = και = = Ζ = κόµα αφού Ζ //, είναι και Ζ//, άρα Ζ = () σαν εντός εναλλάξ. Ζ () πό τις () και () = άρα η Ζ είναι διχοτόµος της γωνίας. Ζ
6 4. Έστω παραλληλόγραµµο και Θ, Η τα µέσα των και αντίστοιχα. ν οι Η και Θ τέµνονται στο Μ και οι Η και Θ στο Ν, να αποδείξετε ότι i) Tο ΜΘΝΗ είναι παραλληλόγραµµο ii) Οι,, ΜΝ συντρέχουν Θ i) παρ/µµο = // Ο Θ µέσο του και Η µέσο του Μ Ν Θ = // Η ΘΗ παρ/µµο Η Θ // Η Οµοίως αποδεικνύεται ότι ΘΗ παρ/µµο, άρα Η // Θ φού λοιπόν Θ // Η και Η // Θ το ΘΜΗΝ είναι παραλληλόγραµµο ii) Τα και σαν διαγώνιες του παρ/µµου διχοτοµούνται έστω στο Ο. Έστω Ο το κοινό τους µέσο Τα και ΘΗ είναι διαγώνιες του παρ/µµου ΘΗ, άρα η ΘΗ διέρχεται από το µέσο Ο της το οποίο είναι και µέσο της ΘΗ πίσης τα ΜΝ και ΘΗ είναι διαγώνιες του παρ/µµου ΜΘΝΗ, συνεπώς η ΜΝ διέρχεται από το µέσο Ο της ΘΗ το οποίο είναι και µέσο της ΜΝ πό τα παραπάνω προκύπτει ότι τα τµήµατα,, ΘΗ, ΜΝ έχουν κοινό µέσο το Ο, εποµένως συντρέχουν στο Ο.
7 5. Έστω το µέσο της πλευράς ενός παραλληλογράµµου, για το οποίο ισχύει =. Να αποδείξετε ότι i) Η διχοτόµος της γωνίας διέρχεται από το µέσο του τµήµατος και από το µέσο της πλευράς. ii) Οι διχοτόµοι των γωνιών και τέµνονται πάνω στην. i) Έστω ότι η διχοτόµος της γωνίας τέµνει το στο Ν και τη στο Η. µέσο του = λλά = Ν Άρα =, δηλαδή το τρίγωνο είναι ισοσκελές οπότε η διχοτόµος της γωνίας της κορυφής του θα είναι και διάµεσος συνεπώς Ν µέσο του κόµα έχουµε = και = Η ως εντός εναλλάξ, άρα = Η δηλαδή το τρίγωνο Η είναι ισοσκελές µε Η = =. Και αφού =, θα είναι Η =, άρα το Η είναι µέσο του ii) Φέρνουµε την Η τότε = Η () ως εντός εναλλάξ, φού το Η είναι µέσο του, θα είναι Η = = = =. Άρα το τρίγωνο Η είναι ισοσκελές, συνεπώς = Η. () πό τις () και () έχουµε ότι =, άρα η Η είναι διχοτόµος της. ποµένως οι διχοτόµοι των γωνιών και τέµνονται στο µέσο Η της Η
8 6. Φέρουµε τις εφαπτοµένες ε και ε ενός κύκλου διαµέτρου στα και. Πάνω στις ε και ε παίρνουµε σηµεία και αντίστοιχα έτσι ώστε =. Να αποδείξετε ότι η είναι παράλληλη στην ή ότι διέρχεται από το κέντρο του κύκλου. η περίπτωση : Τα και είναι στο ίδιο ηµιεπίπεδο ως προς την πειδή η είναι διάµετρος και, εφαπτόµενες, θα είναι = = 90 ο. Άρα οι και είναι παράλληλες σαν κάθετες στην. Και επειδή =, το είναι ορθογώνιο. Οπότε // η περίπτωση : Τα και είναι εκατέρωθεν της. Πάλι είναι = //, οπότε το είναι παρ/µµο. ποµένως οι διαγώνιοί του διχοτοµούνται. Και επειδή Ο µέσο της, η θα διέρχεται από το Ο. O O 7. ύο ίσοι κύκλοι µε κέντρα Ο και Κ εφάπτονται εξωτερικά στο. Θεωρούµε ένα σηµείο του κύκλου µε κέντρο το Ο και ένα σηµείο του άλλου κύκλου έτσι ώστε η γωνία να είναι ορθή. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΟΚ είναι παρ/µµο. πειδή οι κύκλοι είναι ίσοι θα είναι Ο = Κ Το τρίγωνο Ο είναι ισοσκελές, άρα =, οπότε Ο = 80 ο. Οµοίως είναι Κ = 80 ο Συνεπώς Ο + Κ = 360 ο ( + ) Ο λλά + = 90 ο αφού = 90 ο Οπότε Ο + Κ = 80 ο 90 ο Ο + Κ = 80 ο οπότε Ο// Κ Άρα τελικά Ο = // Κ, συνεπώς το ΟΚ είναι παραλληλόγραµµο. Κ
9 8. πό ένα εσωτερικό σηµείο Ο ενός ισοπλεύρου τριγώνου φέρουµε παράλληλες προς τις πλευρές,,, οι οποίες τέµνουν τις, και αντίστοιχα στα σηµεία,, Ζ. Να αποδείξετε ότι το άθροισµα Ο + Ο + ΟΖ είναι ίσο µε την πλευρά του ισοπλεύρου τριγώνου. Προεκτείνουµε την Ο η οποία τέµνει την σε σηµείο Κ. Τότε ɵ = = 60 ο και επειδή = 60 ο, το τρίγωνο Κ είναι ισόπλευρο άρα = Κ = Κ () Ο // ΟΚ = = 60 ο και ΚΟ = 60 ο το τρίγωνο ΟΚ είναι ισόπλευρο άρα Ο = ΟΚ = Κ Οπότε Ο + Ο = Ο + ΟΚ = Κ και λόγω της () Ο + Ο = Κ () Το ΟΚΖ είναι προφανώς παραλληλόγραµµο, άρα ΟΖ = Κ (3) () + (3) Ο + Ο + ΟΖ = Κ + Κ Ο + Ο + ΟΖ = Ο Κ Ζ 9. Έξω από ένα τετράγωνο κατασκευάζουµε τα ισόπλευρα τρίγωνα, Ζ, Η, Θ. Να αποδείξετε ότι το ΖΗΘ είναι τετράγωνο. Θ = 360 ο 60 ο 90 ο 60 ο = 50 ο Οµοίως Ζ = 50 ο Π Π τρ.θ = τρ.ζ Θ = Ζ Οµοίως αποδεικνύεται ότι Θ Θ = ΘΗ = ΗΖ, Οπότε ΘΖΗ είναι ρόµβος. Στο ισοσκελές τρίγωνο Θ, αφού η γωνία του είναι 50 ο, οι παρά τη βάση γωνίες του θα είναι 5 ο η κάθε µία. Οµοίως στο τρίγωνο Ζ. Συνεπώς Θ ɵ Ζ= 5 ο + 60 ο + 5 ο = 90 ο, εποµένως ο ρόµβος ΘΖΗ είναι τετράγωνο 5ο 5ο 50ο 90ο Η 5ο 50ο 90ο 5ο Ζ
0 0. Στο εσωτερικό ενός τετραγώνου κατασκευάζουµε το ισόπλευρο τρίγωνο Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές και να υπολογίσετε τις γωνίες του πειδή το τρίγωνο είναι ισόπλευρο, θα έχουµε ότι = 30 ο = Τα τρίγωνα και είναι ίσα διότι έχουν = = = και = 30 ο = Οπότε = άρα το τρίγωνο είναι ισοσκελές Στα ισοσκελή τρίγωνα και οι γωνίες των κορυφών τους είναι 30 ο, οπότε κάθε µία γωνία από τις προσκείµενες στις βάσεις τους θα είναι 75 ο. Οπότε = 5 ο = ɵ και ɵ =50 ο 30ο 30ο 75ο 75ο 75ο 75ο 5 ο 50ο 5ο